Tabelle funzionali Riguardano dati in cui si vuole verificare una relazione tra più grandezze. Si organizzano le tabelle delle migliori stime delle coppie di grandezze e delle rispettive incertezze totali. Si dovrà decidere di organizzare le grandezze una come dipendente, y, che vari al variare di un’altra (o più) detta indipendente (indipendenti) in generale x, etichette date da y=f(x)=y(x). La scelta della dipendente dipende dall’incertezza relativa maggiore, la tabella all’inizio si organizzerà senza le etichette y e x, che saranno date dopo lo studio delle incertezze relative.

1

Lezion

e6

Utilizziamo il nostro sistema a portata di mano e ben controllabile

La tabella funzionale è la parte conclusiva di un processo di raccolta dati e di propagazione e combinazione delle incertezze.

Per avere maggiore precisione prendiamo più periodi, per un numero sufficiente di volte, almeno dieci per avere una buona stima del valore medio, qui si utilizzano sei per una migliore visualizzazione didattica e per fare un calcolo più immediato.

2

chesommatoaσΤ dà per δT lo stesso valore numerico

Usiamo media e deviazione standard del campione, e la propagazione delle incertezze

Questo è solo l’incertezza statistica, dovremmo tener conto anche di quella di lettura (ε3T),

ε3T =12

0.01 s, quindi εT = 0.00173

Tabella funzionale adattata per un’analisi più chiara: linearizzazione della legge.

T = cost g

l ≡ y = A+Bx

dove y ≡ T e x ≡ l

4Possiamo verificare quale ipotesi è accettabile studiando la misura della costante.

Quello che studieremo è come minimizzare la distanza della curva (retta) Y=A+Bx ideale, che passi il più vicino possibile, in media, ai punti, nei limiti delle barre di incertezza. Come si osserva la presentazione grafica è di immediata comprensione ed analisi se si sceglie con variabile y quella con maggiore incertezza relativa.

2

2

3

3

4

4

50 150 250 350 x

y

Si ottiene che, se ogni variabile è affetta da incertezze casuali, quindi segue una gaussiana, i parametri A e B che più “verosimilmente” (principio di massima verosimiglianza) descrivono i dati sono:

5

dove la quantità al denominatore è di solito indicata

semplicemente con Δ.

ESERCIZIO

2

2

3

3

4

4

50 150 250 350 x

y

Fare l’analisi dimensionale di coefficienti A e B. Se la grandezze x e y seguono delle gaussiana, a loro volta anche A e B seguiranno delle gaussiane.

6

Verificare l’analisi dimensionale con la relazione Y=A+BX.

Svolgimentoalla

Considerazioni alla su valore ideale e stima σY, intuitivamente accettabile perché per due punti infatti si avrebbe σY= 0/0 - indeterminato

Lasta1s1caperme5eràanchedidire

7

σY (stima) =yi −Yi( )2

i=1

N

∑N − 2

L’incertezza statistica sulla legge si riduce a con N numero di coppie di dati. σY non è altro che la distanza media dei punti dalla retta Y=A+BX. Ma la migliore stima è

σY (ideale) =yi −Yi( )2

i=1

N

∑N

2

2

3

3

4

4

50 150 250 350 x

y

8

La statistica permetterà di abbattere anche in questo caso l’incertezza casuale

9

La statistica permetterà di abbattere l’incertezza casuale se …

Diversamente:

δ (*)yi = σY2 +δ 2yi

dove la legge non risulta appropriata ma possiamo comunque fornire una previsione, ovviamente con un’incertezza maggiore.

Verificadiunalegge

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Nell’approccio brutale fornito per l’introduzione, si utilizza l’espediente della retta di massima a minima pendenza

0,95

1,15

1,35

1,55

1,75

1,95

0,4 0,6 0,8 1,0

Tinfunzione√l

√l[m1/2]

T[s]

l [m] δl [m]0,440 0,0005 0,645 0,0005 0,885 0,0005

√ l [m1/2] δ√ l [m1/2] δ√l /√l 0,6633 1,7E-04 2,5E-04 0,8031 2,0E-04 2,5E-04 0,9407 2,4E-04 2,5E-04

T [s] σT (s) εT (s) δT [s] δT/T 1,01 0,04 0,0017 0,04 0,04 1,42 0,021 0,0017 0,021 0,01 1,70 0,04 0,0017 0,04 0,02 1,97 0,03 0,0017 0,03 0,02

y δy

x δx

Prima di tutto scelta della variabile dipendente

Lezion

e7

Lasta1s1caperme5edidire

11

che la migliore stima della curva, in questo caso una retta, è

data dai parametri stimati per la retta Y = A+ B X

secondo le seguenti formule

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

0,4 0,6 0,8 1,0

Tinfunzione√l

√l[m1/2]

T[s]

Per ora possiamo utilizzare i coefficienti, che otteniamo da fogli elettronici

y=2,15E+00x-3,25E-02

Perorau1lizziamoleformulesenzaderivarle

Comeeserciziopossiamoverificarecheexcelfaccialeoperazionigiuste

u1lizzandolevarieΣ.Perleincertezzedobbiamoesserenoiaprendereunadecisione,sulla

basedelfa5osesiaononsia“appropriato”ilmodello-ipotesi,in

questocasoY=A+BX

eppoisvolgere(calcoliconchiarimen1allalavagna)13

Organizzateviida1inmododao5enereiprodoK,enotatecheinalcunicasiguadagnatecifresignifica1ve

A = Σx2Σy−ΣxΣxy

ΔB = NΣxy−ΣxΣy

ΔΔ = NΣx2 − Σx( )2

Fare prima l’analisi dimensionale delle formule sopra, per verificare se ci sono errori

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δY = σY2 +εT

2

δY = σY2 +δT

2

? Come mai?

? Come mai?

Svolgimento con chiarimenti ulteriori alla

?Comemai?

15

0,95

1,15

1,35

1,55

1,75

1,95

0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

Tinfunzione√l

√l[m1/2]

T[s]

√l[m1/2]

Le tre coppie di dati con l maggiore sembrano allineati

meglio.

Nonbastanolemisure,masidovrebbeconoscerecomesonostatecondoKe.

La legge vale per le piccole oscillazioni, nel prendere i dati,

gli studenti hanno ritenuto la misura a varie lunghezze

affidabile, partendo dalla stessa distanza dalla posizione a riposo, per il dato a l minore, l’angolo

risulta considerevole.

16

Fiducia del 95 %, significatività per il rigetto 5 %

z = x − X( ) /σ

z=+1.96

Fiducia del 99 %, significatività per il rigetto 1 %

G(z)

z=+2.58 y=1,99E+00x+9,61E-02

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Tinfunzione√l

√l[m1/2]

T[s]

Verificatalalegge,quantorisultag?

17

B = 2πg≡ g = 4π

2

B2

δgg= 2δB

B

l’

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L’incertezzadiaccuratezzasipuòdeterminaremediantelaverificadileggifisiche.

Nelle misure effettuate avevamo un’incertezza sulla posizione del centro di massa, che la regressione, in questo caso lineare, ci permette di isolare, nonché di stimare. Abbiamo dimostrato che la legge può essere accettata per i nostri dati, ma dall’osservazione dell’esperienza, e, vedi metodo scientifico, ci accorgiamo che in realtà l contiene una parte di indeterminaziona perché non sappiamo dove sia precisamente il baricentro.

T = 2π lg

l

Possiamo considerare quindi l= l’ + l?

T = 2π l '+ l?g

≡ T 2 = 4π 2 l '+ l?g

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=4π 2

gl '+ 4π

2l?g

Y = = B x + AY= T2 X= l’

l?

Possiamo verificare anche la legge, scritta in questo modo, e fornire g e l?.

1,7

2,2

2,7

3,2

3,7

4,2

4,7

5,2

5,7

340 540 740 940 1140 1340y=T

2[s

2 ]

x= l [mm]

Misuro indirettamente l?

19

Possiamo considerare quindi l= l’ + l?

T 2 =4π 2

gl '+ 4π

2l?g

Y = A+BX

l? = A B

B = 4π2

g

A = 4π2l?g

Esercizio prendere i dati in classe, verificare direttamente la legge T 2 =T 2(l’)

1,7

2,2

2,7

3,2

3,7

4,2

4,7

5,2

5,7

340 540 740 940 1140 1340y=T

2[s

2 ]

x= l [mm]

Fornire la misura di g e la misura di l?.

20

T 2 =4π 2

gl '+ 4π

2l?g

Y = A+BX

B = 4π2

g

A = 4π2l?g