Post on 01-May-2015
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Trasferimento di momento lineare tFp
lFE
l
Anche per l’energia
Trasferimento di energia
FUna forza F trascina un corpo per la distanza l in un intervallo di tempo t. (*)
(*) mediavtl
0)( mondoE
Prodotto scalare di due vettori
Robert von Mayer, medico, 1840, pazzo suicida
Conservazione di Energia
2
E perchè????
La conservazione di energia e momento si spiega nel senso che è inevitabile, se spazio e tempo sono uniformi – se non esistono punti nello spazio o tempo che sono preferiti verso altri punti.
Uniformità dello spazio => conservazione di momento
Uniformità del tempo => conservazione di energia
Emmy Noether
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Ci sono varie forme di energia, come energia di calore (che è pero una forma di energia cinetica) o energia di potenziale.La energia può “cambiare forma”, per esempio energia potenziale può diventare energia cinetica, ma l’energia non può essere creata o distrutta.
Come abbiamo visto:
Per portare un corpo di massa m da velocità 0 a velocità v si deve trasmettere il momento lineare
vmvmp
Ma si deve anche trasmettere l’energia
v vvvv
vmvmdvvmdldt
dvmdlamFdl
0
22
10
22
1
000
22
1 vm si chiama energia cinetica
4
Energia Potenzialeh
hgmrgmrFpotE )(
gmF
Dato un qualsiasi punto di riferimento:
Se ad ogni punto dello spazio si può associare una certa energia, si parla di “energia potenziale”
Una massa di 1kg ha al 10. piano di un palazzo (ogni piano 3 m) la energia
potenziale Joules
mkg
s
mmkg 3003008.9301
2
2
2
Rispetto al suolo
Rispetto al garage sotterraneo ha 330 Joule30m
33m
5
Se alziamo un corpo di peso ad una altezza , aumenta la sua energia potenziale come
Se abbassiamo lo stesso corpo per , si riduce la sua energia potenziale.
Se il corpo cade in caduta libera, la sua energia potenziale si trasforma in energia cinetica.
h
F2
21 vmhgmhF hgv 2
con tgtv )( 22
1)( tgtr e rgtggv 2)(2 22
1
Notate: precedentemente abbiamo concluso (considerando la distanza “r” invece della altezza “h”) :
Partendo dalla assunzione a=g=const. => Quale è la formulazione più semplice e generale? => minima azione
hF F h
h
6
Palla da biliardo
Precedentemente abbiamo visto che non siamo riusciti a risolvere il problema della palla da biliardo, usando solo la conservazione di momento lineare:
Se una palla a velocità v colpisce una palla ferma, le due palle dopo si muovono insieme con ognuno 1/2v, o una continua con v, l’altra rimane ferma?
(o una con 0.9v, l’altra con 0.1v etc)
7
22
1)( vminizialeE
Adesso possiamo risolvere il precedente problema delle palle di biliardo:
Sappiamo:
Abbiamo considerato due casi (si potrebbe immaginare tanti altri), che rispettano tutte e due la conservazione del momento lineare:
a) Dopo l’urto le due palle si muovono ognuna con vv finale 21
b) Dopo l’urto una palla rimane ferma, l’altra corre via con vv finale
Nel caso (a): )()( 24
122
12
122
12
1 inizialeEvmvmvmfinaleE Vietato!
Nel caso (b): )()( 22
1 inizialeEvmfinaleE E va bene!
Conservazione di energia e momento ci dicono cosa può succedere e cosa no
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Da tutto ciò una volta si è concluso che il mondo è come un grande orologio: è determinato già adesso cosa succederà nel futuro.
Invece non è cosi. Abbiamo considerato solo l’urto centrale:
Se l’urto non e’ centrale, esistono tantissime possibiltà.
E nel caso di tante palle, già un minuscolo cambiamento della direzione della prima palla può creare un risultato molto diverso:
Allora, in verità regna il caso o il caos?
Assolutamente no! Lo vediamo più in avanti (se rimane tempo)
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Esercizio: carrelli ferroviariCarro arriva con
Carri connessi continuano con velocità comune
Segue che
E’ una cosa possibile?
Descrivere in termini di trasferimento di energia e momento lineare
1)1( vcarrov 0)2( carrov1vv
2v
)()( finalepinizialep 21 2 vmvm
m m
121
2 vv
214
1212
12
1 )()( vmvmfinaleE )(21 inizialeE
E’ possibile, in quanto viene dissipata energia! Energia cinetica-> energia di calore
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Esercizio: elica a vento
Problema: supponiamo che il vento abbia la velocità v1 molto prima dell’elica e dopo
averla attraversata abbia velocità v3. A quale velocità attraversa l’elica?
L’elica è considerata un disco che estrae energia dal flusso in modo uniforme.
Soluzione:
Il modulo della forza del vento sull’elica e dell’elica sul vento sono uguali.
La forza fra un volume d’aria e l’elica la chiameremo F.
La lunghezza del volume (nel direzione del flusso) la chiameremo x
Il tempo in cui il volume attraversa l’elica lo chiameremo t
La velocità dell’aria che attraversa l’elica risulta v2 = x/t
Dobbiamo determinare il rapporto fra x e t per risolvere il problema.
11
)( 23
212
1232
1212
1 vvmvmvmExF
)( 3131 vvmvmvmptF
Consideriamo anche che:
)()(22 bababa
)()()(
21
3121
31
3131 vvvv
vvvv
t
x
tF
xF
Vuol dire: la velocità dell’aria che attraversa l’elica è la media fra la velocità molto prima e molto dopo l’elica.
12
elica
x
v
1v2v
3v
potenza = energia/tempo vFtxF
tE
Più alto v, più alta la potenza! – perchè non possiamo alzare v sopra ?)( 3121 vv
tFp xFE
Perchè in tal caso t si abbassa, mentre x rimane uguale
Il flusso d’aria perderebbe troppo poco momento paragonato con la perdita d’energia
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Di conseguenza: se vogliamo aumentare v2, dobbiamo estrarre il momento lineare “di eccesso”
forza
controforza
La vela esterna non si muove, x=0
Vela esterna
0 xFE
Viene solamente estratto momento lineare
tFp => v può aumentare
vento
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15
E: Una pallottola da 30 g, con velocità iniziale di 500 m/s penetra per 12 cm in una parete di muratura prima di fermarsiDi quanto si riduce l’energia della pallottola?Qual è la forza media che ha agito sulla pallottola mentre entrava nella parete?Quanto tempo ha impiegato la pallottola per fermarsi?
Prima
Dopo
xUsiamo il sistema di riferimento del Laboratorio per descrivere il moto:
la parete è ferma in tale sistema
L’energia meccanica totale coincide con l’energia cinetica.Nell’ipotesi di un moto orizzontale come mostrato in figura, non c’è variazione dell’energia potenziale della forza peso
JJmvE i 375050010302
1
2
1 232
Nx
EFxFE xx
32
102.311012
3750
NmgP 294.81.91030 3 Circa 100 mila volte il peso
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tempo impiegato dalla pallottola per fermarsi:
ptF
La quantità di moto finale è nullaQuella iniziale ha solo la componente x
13 155001030 kgmsmvi
st 032.031250
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Il proiettile impiega 3.2 centesimi di secondo per fermarsi
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La pallottola (da m=30 g, viene sparata orizzontalmente con velocità di 500 m/s) contro un blocco di legno di massa M=4kg appeso ad una fune di lunghezza L=2m.
Determinare la perdita di energia meccanica nell’urto.Se la pallottola è penetrata nel pendolo per un tratto di 3cm, stimare la forza media che
ha frenato la pallottola rispetto al blocco e la durata dell’urto
Vx mv
M m
3010 3 kg500 ms
4.030kg3.72 m
s
Js
mkgvMmEkin 9.2772.303.4
2
22
212
21
Da paragonare con 3750 J
O
Mm v
NF 32
10124103
3722
s
NF
ppt if 3
3
3
1012.010124
50072.31030
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Urto centrale elastico-bersaglio fermo
• Per risolvere il sistema conviene metterlo in questa forma: v1
m1 m2
x
m1v1x m1v'1x m2v'2x12
m1v1x2 1
2m1v'1x
2 12
m2v' 2x2
m1 v1x v'1x m2v' 2x
m1 v1x2 v'1x
2 m2v' 2x2
• Dividendo membro a membro la seconda per la prima:
m1 v1x v'1x m2v' 2x
v1x v'1x v'2x xxxx vvmvvm 112111 '' 211211 ' mmvmmv xx
v'1xv1xm1 m2 m1 m2
v1x v1xm1 m2 m1 m2
v'2x 21
112
2'
mm
mvv xx
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Il Principio della minima azione
,tFp ,xFE ,0)( mondoE
Bastano per il esame.
Però:
1) In situazioni complicate, con tante forze diverse che puntano in direzioni diverse, sarebbe molto difficile valutare per esempio
2) F=-F’ più precisamente vuol dire “per ogni forza c’è allo stesso tempo una contro forza” – nella teoria di relatività (e nell’elettromagnetismo) non è banale stabilire cosa vuol dire “allo stesso tempo”
3) Se si lavora con onde, invece di punti di massa, come applicare
Si usa un metodo più generale:
0)( mondop
?tFp
20
Si definisce :
T energia cinetica, V energia potenziale
L viene chiamato “funzione di Lagrange”
Legge della minima azione: ogni processo avviene così che
estremo (minimo o massimo) (*)
ha la dimensione di una “azione” :=
VTL
Ldt
Ldt Fdrdt
(*) Non per l’esame
21
AttritoGli esseri umani cercano da 3000 anni di capire come funziona il mondo. Perchè hanno trovato
solo 200-300 anni fa?
Forse perchè la conservazione di energia (e momento) sono contro intuitivi: nella vita quotidiana l’energia NON sembra MAI conservata
Perchè un corpo che si muove libero da forze esterne si trova raramente, c’è sempre la forza di attrito.
0)(,0)( mondopmondoE
22
Attrito statico: il corpo non è in moto
Al massimo nss Ff sf
nF Forza fra corpo e superficie
Attrito dinamico: corpo scivola
ndd Ff
df
nF Forza fra corpo e superficie
F
F
23
Esercizio
gmF
cosFFn
sinF
sf
sinFf s
sin Ff s
per
per
v = cost.
accelera
24
Una forza F di 400 N è necessaria per mettere in moto una scatola di massa m=40 kg sopra un pavimento di calcestruzzo.
a) Qual è il coefficiente di attrito statico tra la scatola ed il pavimento? b) Se il coefficiente di attrito dinamico tra una cassa di 20 kg ed il pavimento è di
0,30, quale forza orizzontale è necessaria per muovere la cassa a velocità costante sul pavimento?
a) Per trovare il coefficiente di attrito statico, occorre eguagliare la forza che spinge lascatola, alla forza di attrito che oppone resistenza al moto:
dove m è il coefficiente di attrito statico. Da questa eguaglianza risulta:
b) Si chiami d il coefficiente di attrito dinamico. Allora deve essere:
mgF
02,1/8,940
4002
smkg
N
mg
F
NsmkgmgF d 8,58/8,92030,0 2
25
Supponete di avere un tappo metallico appoggiato su un piano che è stato inclinato di un angolo rispetto al piano orizzontale. Dopo vari tentativi si trova che quando è aumentato fino a 17°, il tappo comincia a scivolare lungo il piano. Quale è il coefficiente di attrito statico s tra il tappo ed il piano inclinato?
Il tappo può cominciare a scivolare quando la forza di attrito statico raggiunge ilsuo massimo valore, e questo valore eguaglia quello della forza peso applicata altappo. Si deve avere:
Quindi:
017cos17 mgsenmg so
3,096,0
29,0
17
17
o
o
s cos
sen
26
Esercizio
T 2
T
r
t
rv
2
vFtrFt
EP
Potenza di un’asse rotante nF
nd FF
r
rFP nd
Per una ferrari importano però due cose: 1) potenza e
2) momento di forza
27
Momento di una forza
r
F
Frf
Il momento di forza dice “quando fortemente una forza vuol far rotare una asse”
asse leva
Forza preme fortemente
Stessa cosa
Molto fortemente Non fa girare
Fa girare poco
Se disegniamo la freccia rossa (forza) nel centro dell’asse, vediamo subito il prodotto vettoriale:
Descrive “quanto fortemente una forza vuol far rotare una asse” : momento di forza
f
28
1F
2F
01r
2r
Ci ricordiamo:
nrprFrFr n
2
11
2,
1,12 r
rF
r
rFF
n
n
Attenzione: ogni libro usa la sua nomenclatura, invece di f si trova anche , M, D …
r
Sempre quando si tratta di un movimento intorno ad un’asse, è più conveniente usare il momento di forza invece della forza.
Esempio: nel caso statico momento e contro-momento devono essere uguale (opposto)
2211 FrFr
22,11, FrFr nn
29
Rotazione
Per descrivere la cinematica di un punto di massa, abbiamo precedentemente usato le variabili
v (velocità), m (massa), F (forza), p (momento lineare)
Si potrebbe usare queste variabili anche per discutere il moto rotatorio – la fisica è sempre quella,
però, è più facile usare variabili più adatte al problema
r
v
m
E facendo così, si scopre una nuova proprietà del nostro mondo!
30
Visto il discorso fatto precedentemente, è chiaro che useremo la velocità angolare, =d/dt , invece di v
Con questa scelta e visto che r
dt
drv
la energia cinetica2
21 vmEcin
r
v
m
222
1 rmEcin
Irm :2 Momento di inerzia
diventa
Che ha la stessa forma come prima,
se sostituiamo non solo v con , ma anche m
con una nuova variabile
che chiamiamo , con :
22
1 IEcin
I
31
Attenzione!
Quando ero studente ho fatto confusione,
la massa (“sorgente” della forza di inerzia) viene chiamata “massa”,
Invece viene chiamata “momento di inerzia”.
Forse sarebbe meglio chiamare : “inerzia traslazionale”
e : “inerzia rotazionale”
m2rm
2rm
(Halliday, pag.219)
o simile
32
2rmMomento di inerzia, I, per un punto di massa m:
Per un oggetto composto da tanti punti: 2ii rmI
asse di rotazione
rr = distanza (minima)dalla asse di rotazione
Per corpo “continuo”: dmrI 2
Il momento di inerzia di un corpo dipende sempre dalla asse di rotazione.
Non per l’esame:
nel caso generale, se non vogliamo fare riferimento ad una certa asse, dobbiamo usare il tensore 3,2,1,, kjI kj
33
Riassunto:
A questo punto abbiamo sostituito le variabili
vFrf
2rmI
r
v
m
velocità angolare
momento di forza
momento di inerzia
fF
Im
velocità
forza
massa
34
lFr
:)(
Momento angolare
pt
pF
pF lprFr
prl
l
Manca ancora la sostituzione per il momento lineare
Il momento lineare è definito così:
Visto
che abbiamo già scelto la sostituzione per F: Fr
La nuova variabile – la chiamiamo -deve obbedire
Dalla seconda legge di Newton segue
e di conseguenza
Il momento angolare è una azione: s
mkg
2
35
prl
A questo punto conosciamo la nuova variabile, che deve sostituire p, è:
Però, nella sua definizione si trova sempre “p”!
Come possiamo sostituire vrmpr
Per i moduli sappiamo: rvr
v
r
v
m
?
Per la direzione sappiamo: per conta solo la componente di velocità perpendicolare a r. vr eee
(1)
(2)
(1) e (2) => vrr
2
1
36
Irml 2
fIl
rotazione
Fvmp
“Moto lineare”
=> Legge di Newton:
vrmprl vr
r
2
1e con e
fFrl
)(due lucidi fa abbiamo anche visto che
37
Insomma:
v
F
m
f
I
Velocità angolare
momento di forza
momento di inerzia
momento angolareIl
Movimento “lineare” rotazione
velocità
forza
massa
momento lineare
vmp
IlfvmpF
Frf
2rmI
prl
Frl
Con questi nuove variabili segue:
38
Per l’esame:
Si deve saper usare il prodotto vettoriale in generale
Però, per calcoli del movimento rotatorio non sarà necessario,
Basta considerare prl
Il etc
39
l(mondo) = cost.
Se lo spazio è invariante sotto rotazione, il momento angolare è conservato
40
Precedentemente abbiamo visto che la velocità non è una proprietà del punto di massa, ma dipende dall’osservatore
Il momento angolare di un punto di massa non dipende dall’ osservatore, ma è una proprietà del corpo
41
Le proprietà del mondo
sJl 34106.6
Tutta la materia è composta da atomi.
Gli atomi consistono di una shell di elettroni e un nucleo.
Il nucleo è fatto di protoni e neutroni.
Protoni e neutroni sono composti da quarks. p=(uud) n=(udd)
Alla fine tutta la materia e composta da quarks e elettroni
Fra i quarks e gli elettroni agiscono 3 “diverse” forze - debole: W,Z
elm.:
forte: gluoni
Elettroni e quarks hanno
I portatori delle forze hanno
21l
42
Le proprietà dell’elica a vento
Per ottimizzare le energie eoliche, vogliamo sapere
1) In generale: che potenza sviluppa una elica a vento a una certa velocità di rotazione (data una certa velocità del vento): se non sappiamo questa funzione P(w), non sappiamo che tipo di elica è ottimale, e non sappiamo scegliere il generatore giusto.
2) In particolare: che forza il vento deve creare per far cominciare a girare l’ elica: se serve un uragano per mettere in moto l’elica, essa sarebbe inutile.
Vogliamo conoscere il momento di forza creato dal vento sulla elica e la potenza risultante per tutte le velocità angolari, , dell’elica.
43
nF nF
d
nd FF rFP nd
Abbiamo visto che la potenza di una asse – per esempio di un’elica a vento – può essere misurata se si conosce:
Sapere e con precisione è però difficiler
r
F
r
E’ molto più facile misurare
Il momento di forza
Fr
Frf
d
44
vFP
fP
E scriviamo invece di (“caso lineare”)
Cominciamo la misura a => la elica gira libera, senza produrre energia
0Ff
Aumentando la forza frenante F, l’elica sarà rallentata sempre di più, si abbassa
Possiamo aumentare la forza frenante solo fino a quando diventa uguale alla forza del vento (per esempio in una galleria a vento) – la velocità angolare corrispondente chiamiamo u - per forze frenanti più grandi, l’elica si fermerà, perchè il momento di forza del vento e’ più piccolo del momento del forza frenante.
45
Così sembra, che non possiamo fare misura per < u.
Questo sarebbe un grande problema, perchè per ottimizzare un’elica a vento, essa deve essere costruita in modo tale, che cominci a girare il più presto, quando c’é un filo di vento – perciò vogliamo sapere, come si comporta nel momento di partenza, che vuol dire a piccoli.
Il problema può essere risolto se e solo se prendiamo in considerazione non solo il momento di forza causato dal vento e il momento di forza frenante, ma anche il momento di forza causata dalla accelerazione angolare del frenare.
frenoNewtonvento fff IlfNewtoncon
46
approssimiamo dalla misura sperimentale – osserviamo quanto fortemente l’elica rallenta in presenza del vento
invece può essere ottenuto con massa e forma dell’elica noti, o in alternativa misurando la forza frenante e la risultante decelerazione angolare in assenza di vento.
t
frenoNewtonvento fff IlfNewtoncon
Per valutare sperimentalmente
47
48
49
R diametro
2.60m
200giri
min
2002 rad
60s20.9 rad
s
sm
srad mRv 55.1260.9.20
f 1000giri
min
10002 rad
60s104.7 rad
s
f o
t
104.7 20.9
601.397 rad
s2
284.60.397.1 2
s
mmRa
srad
t
Un volano di diametro di 1.20 m gira a velocità angolare di 200giri/minQual è la sua velocità angolare in rad/s?Qual è il modulo della velocità lineare di un punto del bordo del volano?Qual è l’accelerazione angolare costante necessaria per portare a 1000 giri/min in 60 s la velocità angolare del volano?Qual è l’accelerazione tangenziale di un punto del bordo del volano?Quanti giri compirà in questi 60 s?
Rv
50
o ot 12t2
o ot 12t2
20.960 12 1.397602 1254 2414
3668rad
3668rad giro
2rad583.79giri
Quanti giri compirà in questi 60 s?
200giri
min
2002 rad
60s20.9 rad
s
f o
t
104.7 20.9
601.397 rad
s2
51
Accelerazione centripeta
(moto circolare uniforme)
r v
v
v
t
va
vvv )sin(
con rv 2)(
rt
rt
va
52
R
M
R
M
I miRi2
i1
1
MR2
Momento di inerzia di un punto materiale di massa M
Momento di inerzia di un anello omogeneo di massa M e raggio R rispetto al proprio asse
2RdmIanello
53
I dmanello R2
M
2dR2
0
2
M
2RIndichiamo con la densità lineare dell’anello:
dm d
M
2RRd
M
2d
ddm d
dR
x
y
Rdd
R
M
2RdmIanello
2220
22
0
2 02222
MRRM
RM
dRM
I
I=MR2 come se la massa dell’anello fosse concetrata in un punto materiale a distanza R dall’asse.
54
• a cui corrisponde un momento di inerzia:
dI dmr2 2M
R2 r3dr
• Applichiamo la definizione di momento di inerzia per i corpi continui:
R
M
drR
x
y
r
M
R2
I dIcorpo
2M
R2 r3dr0
R
2M
R2r4
4
0
R
2M
R2R4
4 0
1
2MR2
dm dSM
R2 2rdr 2M
R2 rdr
Momento di inerzia di un disco omogeneo di massa M e raggio R rispetto al proprio asse
Supponiamo che il disco ruoti attorno un asse, perpendicolare al disco passante per il suo centro (asse del disco).Indichiamo con la densità superficiale del disco:
•Suddividiamo il cerchio in tante corone circolari infinitesime e concentriche di spessore dr. A tutti gli effetti può essere considerato un anello di massa:
55
LM
M
L
LM
x x+dx
R=x
x
z
dm dx M
Ldx
M
L
• Introduciamo un sistema di riferimento come in figura
• Suddividiamo la sbarra in elementi infinitesimi di lunghezza dx,
– indichiamo con x la coordinata del primo estremo dell’elemento infinitesimo
– La distanza dell’elemento infinitesimo dall’asse di rotazione sarà proprio il valore assoluto di x.
I dmR2
sbarra dx x2
0
L
M
Lx2dx
0
L
M
L
x3
3
0
L
M
L
L3
3 0
1
3ML2
Sbarra di lunghezza L e massa M ruotante rispetto ad un asse passante per un estremo
Supponiamo che la sbarra ruoti attorno un asse, perpendicolare alla sbarra passante per un suo estremo.Indichiamo con la densità lineare della sbarra.
56
350giri
min
3502 rad
60s36.6 rad
s
JMIE 34.46.366.64892
1
2
1 22
Ipala 1
3ML2
1
3240kg 5.202 2163.2kgm2
I rotore 3Ipala 32163.2kgm2 6489.6kgm2
Ciascuna delle tre pale del rotore di un elicottero, mostrate in figura , è lunga 5.20m ed ha una massa di 240 kgQual è il momento di inerzia del rotore rispetto all’asse di rotazione? (le pale possono essere considerate come asticelle sottili)Qual è l’energia cinetica rotazionale del rotore alla velocità angolare di 350 giri/min?
57
Disco e bloccoDisco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20cm montato su mozzo orizzontale fisso. Un blocco di massa m=1.2 kg appeso a un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco.
Trovate: accelerazione di caduta del blocco,
accelerazione angolare del disco
la tensione del filo
amgmT 2
21 RMITR
con aR aMT 21
amgmaM 21 gmmMa 2
1
2
28.4
2.125.2
8.92.12
2
2
s
m
kgkgs
mkg
mM
gma
58
Insomma:
v
F
m
f
I
Velocità angolare
momento di forza
momento di inerzia
momento angolareIl
Movimento “lineare” rotazione
velocità
forza
massa
momento lineare
vmp
IlfvmpF
Frf
2rmI
prl
Frl
Con questi nuove variabili segue:
59
Disco e bloccoDisco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20cm montato su mozzo orizzontale fisso. Un blocco di massa m=1.2 kg appeso a un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco.
Trovate: accelerazione di caduta del blocco,
accelerazione angolare del disco
la tensione del filo
amgmT 2
21 RMITR
con aR aMT 21
amgmaM 21 gmmMa 2
1
2
28.4
2.125.2
8.92.12
2
2
s
m
kgkgs
mkg
mM
gma
60
Disco e bloccoDisco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20cm montato su mozzo orizzontale fisso. Un blocco di massa m=1.2 kg appeso a un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco.
Trovate: accelerazione di caduta del blocco,
accelerazione angolare del disco
la tensione del filo
Ns
mkgaMT 0.68.45.2
221
21
aMT 21con
e 28.4
s
ma
22420.0
8.4 2
srad
mR
a sm