1

Trasferimento di momento lineare tFp

lFE

l

Anche per l’energia

Trasferimento di energia

FUna forza F trascina un corpo per la distanza l in un intervallo di tempo t. (*)

(*) mediavtl

0)( mondoE

Prodotto scalare di due vettori

Robert von Mayer, medico, 1840, pazzo suicida

Conservazione di Energia

2

E perchè????

La conservazione di energia e momento si spiega nel senso che è inevitabile, se spazio e tempo sono uniformi – se non esistono punti nello spazio o tempo che sono preferiti verso altri punti.

Uniformità dello spazio => conservazione di momento

Uniformità del tempo => conservazione di energia

Emmy Noether

3

Ci sono varie forme di energia, come energia di calore (che è pero una forma di energia cinetica) o energia di potenziale.La energia può “cambiare forma”, per esempio energia potenziale può diventare energia cinetica, ma l’energia non può essere creata o distrutta.

Come abbiamo visto:

Per portare un corpo di massa m da velocità 0 a velocità v si deve trasmettere il momento lineare

vmvmp

Ma si deve anche trasmettere l’energia

v vvvv

vmvmdvvmdldt

dvmdlamFdl

0

22

10

22

1

000

22

1 vm si chiama energia cinetica

4

Energia Potenzialeh

hgmrgmrFpotE )(

gmF

Dato un qualsiasi punto di riferimento:

Se ad ogni punto dello spazio si può associare una certa energia, si parla di “energia potenziale”

Una massa di 1kg ha al 10. piano di un palazzo (ogni piano 3 m) la energia

potenziale Joules

mkg

s

mmkg 3003008.9301

2

2

2

Rispetto al suolo

Rispetto al garage sotterraneo ha 330 Joule30m

33m

5

Se alziamo un corpo di peso ad una altezza , aumenta la sua energia potenziale come

Se abbassiamo lo stesso corpo per , si riduce la sua energia potenziale.

Se il corpo cade in caduta libera, la sua energia potenziale si trasforma in energia cinetica.

h

F2

21 vmhgmhF hgv 2

con tgtv )( 22

1)( tgtr e rgtggv 2)(2 22

1

Notate: precedentemente abbiamo concluso (considerando la distanza “r” invece della altezza “h”) :

Partendo dalla assunzione a=g=const. => Quale è la formulazione più semplice e generale? => minima azione

hF F h

h

6

Palla da biliardo

Precedentemente abbiamo visto che non siamo riusciti a risolvere il problema della palla da biliardo, usando solo la conservazione di momento lineare:

Se una palla a velocità v colpisce una palla ferma, le due palle dopo si muovono insieme con ognuno 1/2v, o una continua con v, l’altra rimane ferma?

(o una con 0.9v, l’altra con 0.1v etc)

7

22

1)( vminizialeE

Adesso possiamo risolvere il precedente problema delle palle di biliardo:

Sappiamo:

Abbiamo considerato due casi (si potrebbe immaginare tanti altri), che rispettano tutte e due la conservazione del momento lineare:

a) Dopo l’urto le due palle si muovono ognuna con vv finale 21

b) Dopo l’urto una palla rimane ferma, l’altra corre via con vv finale

Nel caso (a): )()( 24

122

12

122

12

1 inizialeEvmvmvmfinaleE Vietato!

Nel caso (b): )()( 22

1 inizialeEvmfinaleE E va bene!

Conservazione di energia e momento ci dicono cosa può succedere e cosa no

8

Da tutto ciò una volta si è concluso che il mondo è come un grande orologio: è determinato già adesso cosa succederà nel futuro.

Invece non è cosi. Abbiamo considerato solo l’urto centrale:

Se l’urto non e’ centrale, esistono tantissime possibiltà.

E nel caso di tante palle, già un minuscolo cambiamento della direzione della prima palla può creare un risultato molto diverso:

Allora, in verità regna il caso o il caos?

Assolutamente no! Lo vediamo più in avanti (se rimane tempo)

9

Esercizio: carrelli ferroviariCarro arriva con

Carri connessi continuano con velocità comune

Segue che

E’ una cosa possibile?

Descrivere in termini di trasferimento di energia e momento lineare

1)1( vcarrov 0)2( carrov1vv

2v

)()( finalepinizialep 21 2 vmvm

m m

121

2 vv

214

1212

12

1 )()( vmvmfinaleE )(21 inizialeE

E’ possibile, in quanto viene dissipata energia! Energia cinetica-> energia di calore

10

Esercizio: elica a vento

Problema: supponiamo che il vento abbia la velocità v1 molto prima dell’elica e dopo

averla attraversata abbia velocità v3. A quale velocità attraversa l’elica?

L’elica è considerata un disco che estrae energia dal flusso in modo uniforme.

Soluzione:

Il modulo della forza del vento sull’elica e dell’elica sul vento sono uguali.

La forza fra un volume d’aria e l’elica la chiameremo F.

La lunghezza del volume (nel direzione del flusso) la chiameremo x

Il tempo in cui il volume attraversa l’elica lo chiameremo t

La velocità dell’aria che attraversa l’elica risulta v2 = x/t

Dobbiamo determinare il rapporto fra x e t per risolvere il problema.

11

)( 23

212

1232

1212

1 vvmvmvmExF

)( 3131 vvmvmvmptF

Consideriamo anche che:

)()(22 bababa

)()()(

21

3121

31

3131 vvvv

vvvv

t

x

tF

xF

Vuol dire: la velocità dell’aria che attraversa l’elica è la media fra la velocità molto prima e molto dopo l’elica.

12

elica

x

v

1v2v

3v

potenza = energia/tempo vFtxF

tE

Più alto v, più alta la potenza! – perchè non possiamo alzare v sopra ?)( 3121 vv

tFp xFE

Perchè in tal caso t si abbassa, mentre x rimane uguale

Il flusso d’aria perderebbe troppo poco momento paragonato con la perdita d’energia

13

Di conseguenza: se vogliamo aumentare v2, dobbiamo estrarre il momento lineare “di eccesso”

forza

controforza

La vela esterna non si muove, x=0

Vela esterna

0 xFE

Viene solamente estratto momento lineare

tFp => v può aumentare

vento

14

15

E: Una pallottola da 30 g, con velocità iniziale di 500 m/s penetra per 12 cm in una parete di muratura prima di fermarsiDi quanto si riduce l’energia della pallottola?Qual è la forza media che ha agito sulla pallottola mentre entrava nella parete?Quanto tempo ha impiegato la pallottola per fermarsi?

Prima

Dopo

xUsiamo il sistema di riferimento del Laboratorio per descrivere il moto:

la parete è ferma in tale sistema

L’energia meccanica totale coincide con l’energia cinetica.Nell’ipotesi di un moto orizzontale come mostrato in figura, non c’è variazione dell’energia potenziale della forza peso

JJmvE i 375050010302

1

2

1 232

Nx

EFxFE xx

32

102.311012

3750

NmgP 294.81.91030 3 Circa 100 mila volte il peso

16

tempo impiegato dalla pallottola per fermarsi:

ptF

La quantità di moto finale è nullaQuella iniziale ha solo la componente x

13 155001030 kgmsmvi

st 032.031250

15

Il proiettile impiega 3.2 centesimi di secondo per fermarsi

17

La pallottola (da m=30 g, viene sparata orizzontalmente con velocità di 500 m/s) contro un blocco di legno di massa M=4kg appeso ad una fune di lunghezza L=2m.

Determinare la perdita di energia meccanica nell’urto.Se la pallottola è penetrata nel pendolo per un tratto di 3cm, stimare la forza media che

ha frenato la pallottola rispetto al blocco e la durata dell’urto

Vx mv

M m

3010 3 kg500 ms

4.030kg3.72 m

s

Js

mkgvMmEkin 9.2772.303.4

2

22

212

21

Da paragonare con 3750 J

O

Mm v

NF 32

10124103

3722

s

NF

ppt if 3

3

3

1012.010124

50072.31030

18

Urto centrale elastico-bersaglio fermo

• Per risolvere il sistema conviene metterlo in questa forma: v1

m1 m2

x

m1v1x m1v'1x m2v'2x12

m1v1x2 1

2m1v'1x

2 12

m2v' 2x2

m1 v1x v'1x m2v' 2x

m1 v1x2 v'1x

2 m2v' 2x2

• Dividendo membro a membro la seconda per la prima:

m1 v1x v'1x m2v' 2x

v1x v'1x v'2x xxxx vvmvvm 112111 '' 211211 ' mmvmmv xx

v'1xv1xm1 m2 m1 m2

v1x v1xm1 m2 m1 m2

v'2x 21

112

2'

mm

mvv xx

19

Il Principio della minima azione

,tFp ,xFE ,0)( mondoE

Bastano per il esame.

Però:

1) In situazioni complicate, con tante forze diverse che puntano in direzioni diverse, sarebbe molto difficile valutare per esempio

2) F=-F’ più precisamente vuol dire “per ogni forza c’è allo stesso tempo una contro forza” – nella teoria di relatività (e nell’elettromagnetismo) non è banale stabilire cosa vuol dire “allo stesso tempo”

3) Se si lavora con onde, invece di punti di massa, come applicare

Si usa un metodo più generale:

0)( mondop

?tFp

20

Si definisce :

T energia cinetica, V energia potenziale

L viene chiamato “funzione di Lagrange”

Legge della minima azione: ogni processo avviene così che

estremo (minimo o massimo) (*)

ha la dimensione di una “azione” :=

VTL

Ldt

Ldt Fdrdt

(*) Non per l’esame

21

AttritoGli esseri umani cercano da 3000 anni di capire come funziona il mondo. Perchè hanno trovato

solo 200-300 anni fa?

Forse perchè la conservazione di energia (e momento) sono contro intuitivi: nella vita quotidiana l’energia NON sembra MAI conservata

Perchè un corpo che si muove libero da forze esterne si trova raramente, c’è sempre la forza di attrito.

0)(,0)( mondopmondoE

22

Attrito statico: il corpo non è in moto

Al massimo nss Ff sf

nF Forza fra corpo e superficie

Attrito dinamico: corpo scivola

ndd Ff

df

nF Forza fra corpo e superficie

F

F

23

Esercizio

gmF

cosFFn

sinF

sf

sinFf s

sin Ff s

per

per

v = cost.

accelera

24

Una forza F di 400 N è necessaria per mettere in moto una scatola di massa m=40 kg sopra un pavimento di calcestruzzo.

a) Qual è il coefficiente di attrito statico tra la scatola ed il pavimento? b) Se il coefficiente di attrito dinamico tra una cassa di 20 kg ed il pavimento è di

0,30, quale forza orizzontale è necessaria per muovere la cassa a velocità costante sul pavimento?

a) Per trovare il coefficiente di attrito statico, occorre eguagliare la forza che spinge lascatola, alla forza di attrito che oppone resistenza al moto:

dove m è il coefficiente di attrito statico. Da questa eguaglianza risulta:

b) Si chiami d il coefficiente di attrito dinamico. Allora deve essere:

mgF

02,1/8,940

4002

smkg

N

mg

F

NsmkgmgF d 8,58/8,92030,0 2

25

Supponete di avere un tappo metallico appoggiato su un piano che è stato inclinato di un angolo rispetto al piano orizzontale. Dopo vari tentativi si trova che quando è aumentato fino a 17°, il tappo comincia a scivolare lungo il piano. Quale è il coefficiente di attrito statico s tra il tappo ed il piano inclinato?

Il tappo può cominciare a scivolare quando la forza di attrito statico raggiunge ilsuo massimo valore, e questo valore eguaglia quello della forza peso applicata altappo. Si deve avere:

Quindi:

017cos17 mgsenmg so

3,096,0

29,0

17

17

o

o

s cos

sen

26

Esercizio

T 2

T

r

t

rv

2

vFtrFt

EP

Potenza di un’asse rotante nF

nd FF

r

rFP nd

Per una ferrari importano però due cose: 1) potenza e

2) momento di forza

27

Momento di una forza

r

F

Frf

Il momento di forza dice “quando fortemente una forza vuol far rotare una asse”

asse leva

Forza preme fortemente

Stessa cosa

Molto fortemente Non fa girare

Fa girare poco

Se disegniamo la freccia rossa (forza) nel centro dell’asse, vediamo subito il prodotto vettoriale:

Descrive “quanto fortemente una forza vuol far rotare una asse” : momento di forza

f

28

1F

2F

01r

2r

Ci ricordiamo:

nrprFrFr n

2

11

2,

1,12 r

rF

r

rFF

n

n

Attenzione: ogni libro usa la sua nomenclatura, invece di f si trova anche , M, D …

r

Sempre quando si tratta di un movimento intorno ad un’asse, è più conveniente usare il momento di forza invece della forza.

Esempio: nel caso statico momento e contro-momento devono essere uguale (opposto)

2211 FrFr

22,11, FrFr nn

29

Rotazione

Per descrivere la cinematica di un punto di massa, abbiamo precedentemente usato le variabili

v (velocità), m (massa), F (forza), p (momento lineare)

Si potrebbe usare queste variabili anche per discutere il moto rotatorio – la fisica è sempre quella,

però, è più facile usare variabili più adatte al problema

r

v

m

E facendo così, si scopre una nuova proprietà del nostro mondo!

30

Visto il discorso fatto precedentemente, è chiaro che useremo la velocità angolare, =d/dt , invece di v

Con questa scelta e visto che r

dt

drv

la energia cinetica2

21 vmEcin

r

v

m

222

1 rmEcin

Irm :2 Momento di inerzia

diventa

Che ha la stessa forma come prima,

se sostituiamo non solo v con , ma anche m

con una nuova variabile

che chiamiamo , con :

22

1 IEcin

I

31

Attenzione!

Quando ero studente ho fatto confusione,

la massa (“sorgente” della forza di inerzia) viene chiamata “massa”,

Invece viene chiamata “momento di inerzia”.

Forse sarebbe meglio chiamare : “inerzia traslazionale”

e : “inerzia rotazionale”

m2rm

2rm

(Halliday, pag.219)

o simile

32

2rmMomento di inerzia, I, per un punto di massa m:

Per un oggetto composto da tanti punti: 2ii rmI

asse di rotazione

rr = distanza (minima)dalla asse di rotazione

Per corpo “continuo”: dmrI 2

Il momento di inerzia di un corpo dipende sempre dalla asse di rotazione.

Non per l’esame:

nel caso generale, se non vogliamo fare riferimento ad una certa asse, dobbiamo usare il tensore 3,2,1,, kjI kj

33

Riassunto:

A questo punto abbiamo sostituito le variabili

vFrf

2rmI

r

v

m

velocità angolare

momento di forza

momento di inerzia

fF

Im

velocità

forza

massa

34

lFr

:)(

Momento angolare

pt

pF

pF lprFr

prl

l

Manca ancora la sostituzione per il momento lineare

Il momento lineare è definito così:

Visto

che abbiamo già scelto la sostituzione per F: Fr

La nuova variabile – la chiamiamo -deve obbedire

Dalla seconda legge di Newton segue

e di conseguenza

Il momento angolare è una azione: s

mkg

2

35

prl

A questo punto conosciamo la nuova variabile, che deve sostituire p, è:

Però, nella sua definizione si trova sempre “p”!

Come possiamo sostituire vrmpr

Per i moduli sappiamo: rvr

v

r

v

m

?

Per la direzione sappiamo: per conta solo la componente di velocità perpendicolare a r. vr eee

(1)

(2)

(1) e (2) => vrr

2

1

36

Irml 2

fIl

rotazione

Fvmp

“Moto lineare”

=> Legge di Newton:

vrmprl vr

r

2

1e con e

fFrl

)(due lucidi fa abbiamo anche visto che

37

Insomma:

v

F

m

f

I

Velocità angolare

momento di forza

momento di inerzia

momento angolareIl

Movimento “lineare” rotazione

velocità

forza

massa

momento lineare

vmp

IlfvmpF

Frf

2rmI

prl

Frl

Con questi nuove variabili segue:

38

Per l’esame:

Si deve saper usare il prodotto vettoriale in generale

Però, per calcoli del movimento rotatorio non sarà necessario,

Basta considerare prl

Il etc

39

l(mondo) = cost.

Se lo spazio è invariante sotto rotazione, il momento angolare è conservato

40

Precedentemente abbiamo visto che la velocità non è una proprietà del punto di massa, ma dipende dall’osservatore

Il momento angolare di un punto di massa non dipende dall’ osservatore, ma è una proprietà del corpo

41

Le proprietà del mondo

sJl 34106.6

Tutta la materia è composta da atomi.

Gli atomi consistono di una shell di elettroni e un nucleo.

Il nucleo è fatto di protoni e neutroni.

Protoni e neutroni sono composti da quarks. p=(uud) n=(udd)

Alla fine tutta la materia e composta da quarks e elettroni

Fra i quarks e gli elettroni agiscono 3 “diverse” forze - debole: W,Z

elm.:

forte: gluoni

Elettroni e quarks hanno

I portatori delle forze hanno

21l

42

Le proprietà dell’elica a vento

Per ottimizzare le energie eoliche, vogliamo sapere

1) In generale: che potenza sviluppa una elica a vento a una certa velocità di rotazione (data una certa velocità del vento): se non sappiamo questa funzione P(w), non sappiamo che tipo di elica è ottimale, e non sappiamo scegliere il generatore giusto.

2) In particolare: che forza il vento deve creare per far cominciare a girare l’ elica: se serve un uragano per mettere in moto l’elica, essa sarebbe inutile.

Vogliamo conoscere il momento di forza creato dal vento sulla elica e la potenza risultante per tutte le velocità angolari, , dell’elica.

43

nF nF

d

nd FF rFP nd

Abbiamo visto che la potenza di una asse – per esempio di un’elica a vento – può essere misurata se si conosce:

Sapere e con precisione è però difficiler

r

F

r

E’ molto più facile misurare

Il momento di forza

Fr

Frf

d

44

vFP

fP

E scriviamo invece di (“caso lineare”)

Cominciamo la misura a => la elica gira libera, senza produrre energia

0Ff

Aumentando la forza frenante F, l’elica sarà rallentata sempre di più, si abbassa

Possiamo aumentare la forza frenante solo fino a quando diventa uguale alla forza del vento (per esempio in una galleria a vento) – la velocità angolare corrispondente chiamiamo u - per forze frenanti più grandi, l’elica si fermerà, perchè il momento di forza del vento e’ più piccolo del momento del forza frenante.

45

Così sembra, che non possiamo fare misura per < u.

Questo sarebbe un grande problema, perchè per ottimizzare un’elica a vento, essa deve essere costruita in modo tale, che cominci a girare il più presto, quando c’é un filo di vento – perciò vogliamo sapere, come si comporta nel momento di partenza, che vuol dire a piccoli.

Il problema può essere risolto se e solo se prendiamo in considerazione non solo il momento di forza causato dal vento e il momento di forza frenante, ma anche il momento di forza causata dalla accelerazione angolare del frenare.

frenoNewtonvento fff IlfNewtoncon

46

approssimiamo dalla misura sperimentale – osserviamo quanto fortemente l’elica rallenta in presenza del vento

invece può essere ottenuto con massa e forma dell’elica noti, o in alternativa misurando la forza frenante e la risultante decelerazione angolare in assenza di vento.

t

frenoNewtonvento fff IlfNewtoncon

Per valutare sperimentalmente

47

48

49

R diametro

2.60m

200giri

min

2002 rad

60s20.9 rad

s

sm

srad mRv 55.1260.9.20

f 1000giri

min

10002 rad

60s104.7 rad

s

f o

t

104.7 20.9

601.397 rad

s2

284.60.397.1 2

s

mmRa

srad

t

Un volano di diametro di 1.20 m gira a velocità angolare di 200giri/minQual è la sua velocità angolare in rad/s?Qual è il modulo della velocità lineare di un punto del bordo del volano?Qual è l’accelerazione angolare costante necessaria per portare a 1000 giri/min in 60 s la velocità angolare del volano?Qual è l’accelerazione tangenziale di un punto del bordo del volano?Quanti giri compirà in questi 60 s?

Rv

50

o ot 12t2

o ot 12t2

20.960 12 1.397602 1254 2414

3668rad

3668rad giro

2rad583.79giri

Quanti giri compirà in questi 60 s?

200giri

min

2002 rad

60s20.9 rad

s

f o

t

104.7 20.9

601.397 rad

s2

51

Accelerazione centripeta

(moto circolare uniforme)

r v

v

v

t

va

vvv )sin(

con rv 2)(

rt

rt

va

52

R

M

R

M

I miRi2

i1

1

MR2

Momento di inerzia di un punto materiale di massa M

Momento di inerzia di un anello omogeneo di massa M e raggio R rispetto al proprio asse

2RdmIanello

53

I dmanello R2

M

2dR2

0

2

M

2RIndichiamo con la densità lineare dell’anello:

dm d

M

2RRd

M

2d

ddm d

dR

x

y

Rdd

R

M

2RdmIanello

2220

22

0

2 02222

MRRM

RM

dRM

I

I=MR2 come se la massa dell’anello fosse concetrata in un punto materiale a distanza R dall’asse.

54

• a cui corrisponde un momento di inerzia:

dI dmr2 2M

R2 r3dr

• Applichiamo la definizione di momento di inerzia per i corpi continui:

R

M

drR

x

y

r

M

R2

I dIcorpo

2M

R2 r3dr0

R

2M

R2r4

4

0

R

2M

R2R4

4 0

1

2MR2

dm dSM

R2 2rdr 2M

R2 rdr

Momento di inerzia di un disco omogeneo di massa M e raggio R rispetto al proprio asse

Supponiamo che il disco ruoti attorno un asse, perpendicolare al disco passante per il suo centro (asse del disco).Indichiamo con la densità superficiale del disco:

•Suddividiamo il cerchio in tante corone circolari infinitesime e concentriche di spessore dr. A tutti gli effetti può essere considerato un anello di massa:

55

LM

M

L

LM

x x+dx

R=x

x

z

dm dx M

Ldx

M

L

• Introduciamo un sistema di riferimento come in figura

• Suddividiamo la sbarra in elementi infinitesimi di lunghezza dx,

– indichiamo con x la coordinata del primo estremo dell’elemento infinitesimo

– La distanza dell’elemento infinitesimo dall’asse di rotazione sarà proprio il valore assoluto di x.

I dmR2

sbarra dx x2

0

L

M

Lx2dx

0

L

M

L

x3

3

0

L

M

L

L3

3 0

1

3ML2

Sbarra di lunghezza L e massa M ruotante rispetto ad un asse passante per un estremo

Supponiamo che la sbarra ruoti attorno un asse, perpendicolare alla sbarra passante per un suo estremo.Indichiamo con la densità lineare della sbarra.

56

350giri

min

3502 rad

60s36.6 rad

s

JMIE 34.46.366.64892

1

2

1 22

Ipala 1

3ML2

1

3240kg 5.202 2163.2kgm2

I rotore 3Ipala 32163.2kgm2 6489.6kgm2

Ciascuna delle tre pale del rotore di un elicottero, mostrate in figura , è lunga 5.20m ed ha una massa di 240 kgQual è il momento di inerzia del rotore rispetto all’asse di rotazione? (le pale possono essere considerate come asticelle sottili)Qual è l’energia cinetica rotazionale del rotore alla velocità angolare di 350 giri/min?

57

Disco e bloccoDisco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20cm montato su mozzo orizzontale fisso. Un blocco di massa m=1.2 kg appeso a un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco.

Trovate: accelerazione di caduta del blocco,

accelerazione angolare del disco

la tensione del filo

amgmT 2

21 RMITR

con aR aMT 21

amgmaM 21 gmmMa 2

1

2

28.4

2.125.2

8.92.12

2

2

s

m

kgkgs

mkg

mM

gma

58

Insomma:

v

F

m

f

I

Velocità angolare

momento di forza

momento di inerzia

momento angolareIl

Movimento “lineare” rotazione

velocità

forza

massa

momento lineare

vmp

IlfvmpF

Frf

2rmI

prl

Frl

Con questi nuove variabili segue:

59

Disco e bloccoDisco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20cm montato su mozzo orizzontale fisso. Un blocco di massa m=1.2 kg appeso a un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco.

Trovate: accelerazione di caduta del blocco,

accelerazione angolare del disco

la tensione del filo

amgmT 2

21 RMITR

con aR aMT 21

amgmaM 21 gmmMa 2

1

2

28.4

2.125.2

8.92.12

2

2

s

m

kgkgs

mkg

mM

gma

60

Disco e bloccoDisco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20cm montato su mozzo orizzontale fisso. Un blocco di massa m=1.2 kg appeso a un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco.

Trovate: accelerazione di caduta del blocco,

accelerazione angolare del disco

la tensione del filo

Ns

mkgaMT 0.68.45.2

221

21

aMT 21con

e 28.4

s

ma

22420.0

8.4 2

srad

mR

a sm