1

Suono, luce, onde radio ... sono tutte: perturbazioni di una proprietà fisica, con origine in una sorgente

Onde meccaniche: oscillazioni del mezzo in cui si propaganoOnde elettromagnetiche: oscillazioni del campo e.m.

mentre la velocità di propagazione dipende dalle caratteristiche del mezzo quali la sua elasticità, densità etc.

la frequenza delle onde dipende dalla sorgente

i costituenti del mezzo in cui si propaga l’onda oscillano intorno alla loro posizione di equilibrio

un onda e’ una perturbazione che si propaga nel tempo e nello spazio

attenzione :

Fenomeni OndulatoriFenomeni Ondulatori una perturbazione e’ la variazione rispetto alla configurazione di equilibrio di una o piu’ grandezze caratteristiche di un sistema fisico

i fenomeni ondulatori non comportano il trasporto di materia :

cio’ che si propaga sono l’energia, la quantita’ di moto e il momento della quantita’ di moto trasportati dall’onda

ma non viaggiano da un punto all’altro dello spazio

ma attenzione: l’affermazione che la velocità di propagazione dipende soltanto dalle caratteristiche del mezzo e’ vero, a rigore, solo nei mezzi non dispersivi

2

infatti se il profilo della perturbazione fa una pura traslazione si dovra’ avere:

una perturbazione scalare viene rappresentata matematicamente dalla “funzione d’onda”

( , , , ) ( , )x y z t r t

( , )x t f x Vt

la traslazione di un onda che si propaghinel caso unidimensionale, di propagazione lungo l’asse delle ascisse

e’ descrivibile comesenza distorsione ne’ attenuazione

( d , d ) ( , )x x t t x t

,x t f x Vt

d df x x V t t in tale caso infatti

d d ( )f x V t x V t f x V t dato che

e affinche’ cio’ sia vero deve essere

dx V dtcon

dx V dt

se l’onda si sposta verso destra, onda progressiva, dovra’ essere descritta da unafunzione del tipo f(x-vt) se si sposta verso sinistra, onda regressiva, da una f(x+vt)

lungo l’asse delle x

3

f puo’ essere una funzione qualsiasi, purche’ abbia come argomento una combinazione lineare di spazio e tempo

2 22

2 2V

t x

equazione delle onde o di “D’Alambert” caso unidimensionale

le soluzioni con opportune condizioni iniziali sono del tipo:

0( ) infatti se, s kx k t v

d d

d d

f f s fk

x s x s

2 22

2 2

d

d

f fk

x s

d d

d d

f f s fk

t s t s

v

2 22

2 2

d

d

f fk

t s

2v

2 2

2 2

f f

t x

2vdunque si avra’ e cio’ significa che se f ha come argomento una

0( , ) ( )x t f k x t v

combinazione lineare di spazio e tempo soddisfera’ sempre all’equazione di D’Alambert

ovvero

2 2

2 2 2

1

x V t

4

segno negativo onda progressiva

fronte d’onda = luogo dei punti che hanno tutti la stessa fase

0 + = kx kVt = fase dell’onda

V = velocita’ di fase

0( ) kx t

k = numero d’onda

= kV = pulsazione dell’onda

= fase iniziale

nomenclatura:

segno positivo onda regressiva

= funzione d’onda 0( , ) ( )x t f k x Vt

5

la linearita’ dell’equazione di D’Alalmbert garantisce che valga il principio di sovrapposizione

1 ( )f x Vt 2 ( )f x Vt se e’ una soluzione e

e’ un’altra possibile soluzione per il principio di sovrapposizione anche

3 1 2 ( ) ( )f x Vt f x Vt

e’ una possibile soluzione

6

avra’ , in coordinate cartesiane, tre se la perturbazione ha carattere vettoriale la

2 2

2 2 2

1

x V t

equivale alle tre equazioni scalari

2 2

2 2 2

1x x

x V t

2 2

2 2 2

1y y

y V t

2 2

2 2 2

1z z

z V t

e

x y ze

la ˆˆ ˆx y zi j k

componenti

se

Perturbazioni vettoriali

con ciascuna componente a sua volta funzione di x,y,z,t

onda piana uniforme( , ) costy z se in più

(solo parte progressiva): ( , ) ( )x y z f x Vt onda piana

una possibile soluzione all’equazione di D’Alambert unidimensionale e’

( )x A f x V t si ha

7

0y z si ha un onda longitudinale ( onda sonora in aria)

0x si ha un onda trasversale

se in più / costy z

è su un piano perpendicolare a ir r

l’ onda e’ polarizzata linearmente

(può cambiare solo il modulo)

^

^

^

se

se

Onde longitudinali e trasversali

Polarizzazione delle onde trasversali

( onda e.m. nel vuoto)

supponiamo che la perturbazione vettoriale si stia propagando lungo l’asse delle ascisse

0x

0y 0z e/o

e

e

Se l’estremo del vettore d’onda disegna un cerchio o un’ellisse nel piano trasversale: Polarizzazione circolare o ellittica.

8

Intensita’ delle ondesi definisce “ intensita “ dell’onda la quantita’ di energia che, in media , attraversa una superficie di area unitaria, nell’unita’ di tempola superficie e’ disposta perpendicolarmente alla direzione di propagazione dell’onda

quindi se si esprime l’intensita’ in funzione della densita’ volumetrica di energia e della velocita’ di propagazione dell’onda

riesce: = energia/volume

media mediaE PI

At A [watt/m2]

vI

v = velocita’ di propagazionev

vmedia mediaE E

IAt At

vmediaE

V

moltiplicando e dividendo per la velocita’ di propagazione dell’onda

9

Onde armoniche piane uniformi

Vai al Physlet “ Ch 8.9.1”

0( , ) [ ( ) ]x t Asen k x Vt

( , ) ( )x t Asen kx t posto kV

V

periodicita’ spaziale e temporale

2T

periodo temporale detto “periodo”

2

k

periodo spaziale detto “lunghezza d’onda”

descrivono una perturbazione periodica in cui la forma della funzione d’onda e’ di tipo sinusoidale, ad esempio per un onda che si propaghi lungo l’asse delle ascisse e’ del tipo :

nota bene : l’onda piana armonica si estende tra ∞ e ∞ e il fronte d’onda e’ un piano

e 0 0 si ha

l’ ampiezza A e’ costante

kV da si ricava dove1

T e’ la frequanza

10

( , )x t Asen kx t i kx tIm Ae

Espressioni di un onda piana uniforme armonica progressiva di tipo sinusoidale:

dunque x,t) puo’ essere considerata come la parte immaginaria

i kx tAe

l’onda piana armonica progressiva con

( , ) i kx tx t Ae mentre un onda piana armonica regressiva e’ rappresentata da

( , ) i kx tx t Ae

una funzione d’onda del tipo

del numero complesso

quindi nel piano complesso la (x,t) sara’ rappresentata geometricamente da un vettore rotante o “fasore”

quindi in generale si usa rappresentare

se un vettore ruota con velocità angolare costante = 0 , le sue proiezioni sugli assi cartesiani oscillano armonicamente

11

ˆsin ( ) sin( )A k t A t n r k rv

onda piana e uniforme, progressiva, lungo x:

ˆ( ) ( )f x t f t i rv v

ˆ( )f t n r v

onda piana e uniforme, progressiva, lungo una direzione qualsiasi dello spazio individuata dal versore

n̂onda piana e uniforme armonica, progressiva lungo la direzione individuata dal versore

n̂

2ˆ ˆcon k vettore di propagazione

k n n

( , ) ( )x t f x t v

P

^

P

i ^

12

Onde armoniche sferiche

il fronte d’onda e’ una sfera

sorgenti puntiformi producono onde sferiche

( , )( , ) ( )

gr t f r t

r

v

generica onda sferica:( , )

( , ) ( )g

r t f r tr

v

generica onda sferica armonica:( , )

( , ) sin( )g

r t kr tr

onda sferica, armonica e uniforme: ( , ) sin( )A

r t kr tr

da notare come in tutti i casi l’ampiezza decresca come1

r

attenzione: anche se il fronte d’onda e’ una sfera in generale l’energia non e’ necessariamente distribuita in modo uniforme sul fronte d’onda sferico

13

onda armonica piana come limite di onda sferica per r ∞

a grande distanza dalla sorgente, presa una piccola porzione del fronte d’onda onda piana

14

in particolare V è la velocità con cui si muove un qualsiasi punto (fase fissa) dell’onda, per esempio un massimo:

Velocita’ di fase e di gruppo

l’ onda armonica , detta anche monocromatica, si propaga con velocita’ V

la velocità di fase e’ utile solo nel caso di un onda armonica monocromatica

V e’ detta anche velocita’ di fase Vf ma attenzione :

(esempio : luce nel vuoto ...)

mezzo non dispersivo,

in generale la velocita’ di propagazione dell’onda dipende dal numero d’onda K

fse V è la stessa per ogni k

V costf cioè k

15

le onde armoniche mantengono la loro forma anche in un mezzo dispersivo, ma viaggiano a velocità diversa (secondo k ) le onde di altra forma, invece, propagandosi in un mezzo dispersivo si deformano

nei mezzi non dispersivi la velocita’ di fase e’ una costante e non dipende dalla

fg f

dvv v k

dk nei mezzi dispersivi vale la relazione

dove g

dv

dk

nei mezzi dispersivi la velocita’ di fase dipende dalla frequenza e quindi anche dal

( ) ( ) f relazione di dispersione nei mezzi dispersivik V k k

( ) f relazione di dispersione nei mezzi non dispersivik V k vale a dire che e k sono direttamente proporzionali

pulsazione e quindi nemmeno dal numero d’onda k, se Vf = cost

numero d’onda k ossia Vf = Vf (k)