Post on 06-Oct-2020
1. NUMERI ED OPERAZIONI SUI NUMERI
/m
m nn
x x x
1 0 1 2
1
2
3
4
5
4
a b a b a b a b
1
2
Operazioni sui numeri
3
Nota: operazione impossibile
non esiste!
1
0 0
aa
4
1 2
volte
0 , , n
n
n a a a a a a a a a a 310 1000
00 1n a
volte
1 10, : 0 n j
j
j
n j n a aa a a aa
33
110 0,001
10
Proprietà delle potenze:
5
Scomposizione di un numero secondo (le potenze di) numeri primi
𝑛 è un numero primo se è divisibile solamente per l’unità e se stesso: numeri primi: 2,3,5,7,11,13,17,⋯
6
Come riconoscere l’equivalenza (o non) tra frazioni?
Frazioni equivalenti (non equivalenti) hanno la stessa (diversa) forma irriducibile
Sì, è irreducibile
7
Prodotto di numeri razionali:
Somma di numeri razionali: 1) via minimo comune multiplo
2) via diretta
Risultati delle operazioni non necessariamente irreducibili!
8
Rappresentazione decimale dei numeri
Numero razionale: cifre decimali finite o periodiche
Numero irrazionale: numero infinito di cifre decimali
Troncamento con numero di cifre crescenti: restringimento dell’intervallo in cui si colloca il numero esatto
9
Troncamento nella rappresentazione decimale di un parametro chimico-fisico: stesso significato ma diversa origine!
Esempio: distanza 𝑑 misurata con un regolo avente suddivisioni (tacche) in millimetri: 𝑑 = 12,1 cm
nel significato di: 12,05 cm< 𝑑 ≤ 12,15 cm
In questo caso il troncamento non è scelto a priori, ma è determinato dall’incertezza (errore) della misura
Stima dell’errore (incertezza) 𝑒𝑑 della misura del parametro 𝑑: 𝑒𝑑 = 0,05 cm
Cifre significative di un parametro: cifre decimali riportate e non affette da errore
𝑑 = 12,1 cm: 3 cifre significative
Normalmente si suppone che tutte le cifre riportate siano significative
Esempio: come si dovrebbe riportare in metri una distanza 𝑑 = 3,5 km?
3,45km< 𝑑 ≤ 3,55km 𝑒𝑑 = 50m
𝑑 = 3500m ⇒ 3499,5m< 𝑑 ≤ 3500,5m, 𝑒𝑑 = 0,5m : sbagliato!
𝑑 = 35 ∙ 102m ⇒ 34,5 ∙ 102m< 𝑑 ≤ 35,5 ∙ 102m, 𝑒𝑑 = 50m : corretto!
10
Stesso significato per i parametri chimico-fisici tabulati, ad esempio costante dei gas: 𝑅 = 8,314 J/mol K
Implicito: 𝑅 di per sé è un numero con infinite cifre decimali (numero irrazionale) e se ne riporta la forma troncata con 4 cifre significative, cioè: 8,3135 J/mol K < 𝑅 ≤ 8,3145 J/mol K
𝑝
11
Quali cifre riportare nella somma di parametri?
Esempio: dati due parametri 𝑝1 = 12,1 e 𝑝2 = 0,512 , quale valore riportare per la loro somma 𝑝 = 𝑝1 + 𝑝2?
Riportando la soma algebrica, 𝑝 = 12,1 + 0,512 = 12,612 , si attribuirebbe a 𝑝 una incertezza 𝑒𝑝 = 0,0005. E’ corretto?
Estremo inferiore/superiore di 𝑝 = somma degli estremi inferiori/superiori degli addendi
𝑝1
𝑝1 − 𝑒𝑝1 𝑝1 + 𝑒𝑝1
𝑝2
𝑝2 − 𝑒𝑝2 𝑝2 + 𝑒𝑝2
𝑝
𝑝 − 𝑒𝑝 𝑝 + 𝑒𝑝
𝑝 + 𝑒𝑝 = 𝑝1 + 𝑒𝑝1 + 𝑝2 + 𝑒𝑝2 = 𝑝1 + 𝑝2 + 𝑒𝑝1 + 𝑒𝑝2 𝑒𝑝 = 𝑒𝑝1+𝑒𝑝2 = 0,05 + 0,0005 ≅ 0,05
Nella somma prevale la maggiore delle incertezze degli addendi!
Risultato corretto: 𝑝 = 12,6 12.55 < 𝑝 ≤ 12,65
Somma degli errori assoluti nell’addizione!
12
E se i due parametri nella somma hanno la stessa incertezza?
Ad esempio: 𝑝1 = 12,1 𝑝2 = 0,5 𝑒𝑝1 = 𝑒𝑝2 = 0,05 𝑒𝑝 = 𝑒𝑝1 + 𝑒𝑝2 = 0,1 ?
Una analisi più accurata prederebbe un addensamento dei valori più probabili verso il centro dell’intervallo ⇒ Sovrastima dell’incertezza con 𝑒𝑝 = 0,1
In pratica si tronca alla stessa cifra decimale:
𝑝 = 𝑝1 + 𝑝2 = 12,6 12,55 < 𝑝 ≤ 12,65 𝑒𝑝 = 0,05
E nell’operazione di sottrazione?
𝑝 = 𝑝1 − 𝑝2 = 𝑝1 + (−𝑝2)
Equivalenza con la somma attraverso l’opposto ⇒ stesse regole della somma per l’individuazione dell’incertezza
13
Quali cifre riportare nel prodotto di parametri?
Un esempio: 𝑝1 = 12,1 𝑝2 = 0,15 𝑝 = 𝑝1𝑝2?
Estremi inferiore/superiore di 𝑝 = prodotti degli estremi inferiori/superiori dei fattori
𝑝1
12,05 12,15
12,1 𝑝2
0,145 0,155
0,15
𝑝
12,05 ∙ 0,145 12,15 ∙ 0,155
12,1 ∙ 0,15 𝑝
1,74725 1,88325
1,815
Ragionevole intervallo di incertezza: 𝑝
1,75 1,85
1,8 Risultato: 𝑝 = 1,8
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C’è una strada più diretta: confronto tra gli errori (incertezze) relativi
Errori relativi sui fattori: 𝑒𝑝1 𝑝1 = 0,05 12,1 ≅ 0,004 𝑒𝑝2 𝑝2 = 0,005 0,15 ≅ 0,03
Incertezza sul prodotto dall’estremo superiore:
𝑝 1 + 𝑒𝑝 𝑝 = 𝑝 + 𝑒𝑝 = (𝑝1 + 𝑒𝑝1) 𝑝2 + 𝑒𝑝2 = 𝑝1𝑝2(1 + 𝑒𝑝1 𝑝1 )(1 + 𝑒𝑝2 𝑝2)
1 + 𝑒𝑝 𝑝 = (1 + 𝑒𝑝1 𝑝1 )(1 + 𝑒𝑝2 𝑝2)
𝑒𝑝 𝑝 = 𝑒𝑝1 𝑝1 + 𝑒𝑝2 𝑝2 +(𝑒𝑝1 𝑝1) (𝑒𝑝2 𝑝2 ) ≅ 𝑒𝑝1 𝑝1 + 𝑒𝑝2 𝑝2
Trascurabile!
Gli errori relativi si sommano nel prodotto 𝑒𝑝 𝑝 ≅ 0,004 + 0,03 ≅ 0,03 = 𝑒𝑝2 𝑝2
Nel prodotto prevale la maggiore delle incertezze relative
𝑒𝑝 ≅ 0,03 ∙ 𝑝 ≅ 0,06 ⇒ 𝑝 = 1,8
Regola pratica: numero cifre significative nel prodotto = minimo del numero di cifre significative dei fattori ⇒ 12,1 ∙ 0,15 = 1,8
3 2 2
15
Nella precedente trattazione era implicito che tutti i parametri fossero positivi
Generalizzazione a parametri generici: errore relativo (sempre positivo): 𝑒𝑝 |𝑝|
errore relativo nel prodotto 𝑝 = 𝑝1 ∙ 𝑝2: 1 2
1 2| | | | | |
p pp e ee
p p p
E nella divisione 𝑝 = 𝑎 𝑏 = 𝑎 ∙ 1 𝑏 ?
E’ sufficiente valutare l’errore 𝑒1 𝑏 del reciproco 1 𝑏 , noto l’errore 𝑒𝑏 sul
parametro 𝑏
𝑏 − 𝑒𝑏 𝑏 + 𝑒𝑏
𝑏
1 𝑏 − 𝑒1 𝑏
1 𝑏
1 𝑏 + 𝑒1 𝑏
1/ 1/1 1 1 1 b
b bb b b
ee e
b b e b e b b b e
1/
1 /b b b
b
e e e
b b e b
Errore relativo sul reciproco = errore relativo sul parametro