F R O N T M A T T E R

Appunti di Segnali e Sistemi

Matteo LesinigoB O D Y

1. Concetti Basilari

In questa prima parte faremo alcuni richiami su concetti basilari per la comprensionedel seguito. In particolare ci concentreremo sulle formule di Lagrange e sulladefinizione di risposta all’impulso.

1.1. Formule di Lagrange. Si consideri un sistema lineare tempo invariante adimensioni finite del tipo:

(1.1) ; x° = A x + B uy = C x + D u

La generica soluzione di tale sistema si può ottenere mediante le cosiddetteequazioni di Lagrange:

(1.2)xHtL = eA t x0 + ‡

0

teA Ht-tL B uHtL d t

yHtL = C eA t x0 + ‡0

tC eA Ht-tL B uHtL d t + D uHtL

In particolare la seconda delle 1.1 si può riscrivere mediante la distribuzione di Diracnel seguente modo:

(1.3) yHtL = C eA t x0 + ‡0

t

C eA Ht-tL B uHtL + D dHt - tL uHtL d t

In particolare l’ultimo integrale è un integrale di convoluzione tra l’ingresso u e unafunzione g chiamata risposta all’impulso.

(1.4) gHtL = C eA t B + D dHtLIn particolare si individuano il movimento libero e forzato dello stato e dell’uscita:

(1.5)

xl HtL = eA t x0

x f HtL = ‡0

teA Ht-tL B uHtL d t

yl HtL = C eA t x0

yf HtL = ‡0

t

C eA Ht-tL B uHtL + D dHt - tL uHtL d t

La matrice eA t prende il nome di matrice di transizione o matrice esponenziale. Inparticolare si definisce formalmente nel seguente modo:

(1.6) eA t = „k=0

+¶Ak tkÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

k !

Tale matrice ha inoltre la proprietà di commutare con la sua derivata.

1.2. Calcolo della matrice esponenziale. Per calcolare la matrice esponenziale inmodo esplicito si possono seguire varie strade. In particolare l’idea consiste nel ridurrela matrice A ad una forma tale per cui il calcolo dell’esponenziale sia poi semplificato.Vi possono a tal proposito essere due situazioni.1.2.1. A non singolare. In questo caso si può determinare una trasformazione P tale che:

(1.7) A = P L P-1

L = P-1 A P

Tale che la matrice L sia diagonale. Tale trasformazione è semplicemente ricavabilemediante gli autovettori di A. In particolare siano v1 , ..., vn gli autovettori di A bastascegliere P = @v1 , v2 , ..., vnD per diagonalizzare la matrice. Il calcolo della matriceesponenziale segue dal fatto che:

(1.8) eA t = eP L P-1= P eL P-1 = P

i

k

jjjjjjjjjjjjjjj

el1 0 0 00 el2 0 00 0 00 0 0 eln

y

{

zzzzzzzzzzzzzzz P-1

1.2.2. A singolare. In questo caso non è possibile diagonalizzare la matrice ma è semprepossibile trasformarla in una forma più semplice chiamata forma di Jordan. Tale formaè fatta nel seguente modo:

(1.9) AJ =

i

k

jjjjjjjjjjjj

J1 0 0 00 J2 0 00 0 00 0 0 Jn

y

{

zzzzzzzzzzzz

Ove ogni blocco corrisponde ad un preciso autovalore e ha dimensione pari allamolteplicità algebrica di tale autovalore. Ciascun blocco è a sua volta fatto da alcunisottoblocchi:

(1.10) Ji =

i

k

jjjjjjjjjjjjj

Ji1 0 0 00 Ji2 0 00 0 00 0 0 Jig

y

{

zzzzzzzzzzzzz

Ove il numero dei miniblocchi è determinata dalla molteplicità geometricadell’autovalore i - esimo. Infine ciascun miniblocco Jij che ha dimensioni determinatedagli indici di Segrè ( in ogni caso decrescenti ovvero miniblocchi più in “alto” devonoessere più grandi di miniblocchi più “bassi”) ha la seguente forma:

2 Segnali e Sistemi

(1.11) Jij =

i

k

jjjjjjjjjjjj

li 1 0 00 li 1 00 0 10 0 0 li

y

{

zzzzzzzzzzzz

Il calcolo della matrice esponenziale si effettua trovando la trasformazione T cheapplicata ad A consente di ottenere la forma Aj ed applicandola alla matriceesponenziale della forma di Jordan che è costituita dai blocchi precedentementeintrodotti in cui il generico miniblocco eJij è determinato come segue:

(1.12) eJij = eli

i

k

jjjjjjjjjjjjjj

1 t t2ÅÅÅÅÅÅ2

t3ÅÅÅÅÅÅ3!

0 1 0 0 t0 0 0 1

y

{

zzzzzzzzzzzzzz

2. Stabilità

Per stabilità si intende la proprietà dei sistemi dinamici di “dimenticarsi” dello statoiniziale dopo un certo periodo di tempo. In particolare sistemi asintoticamente stabilicon dato iniziale diverso ma con il medesimo ingresso forzato presenteranno dopo uncerto periodo di tempo la stessa uscita. Si hanno due possibili tipi di stabilità: lasemplice stabilità e l’asintotica stabilità. La semplice stabilità richiede che un sistemadinamico sottoposto a dati iniziali leggermente diversi abbia movimento libero limitatonel tempo. L’asintotica stabilità richiede invece che tale movimento libero tenda a zero.

Proposition 2.1. Un sistema è asintoticamente stabile se e solo se tutti gli autovaloridella matrice A hanno parte reale negativa. Un sistema è semplicemente stabile se esolo se tutti gli autovalori della matrice A hanno parte reale non positiva e quelli conparte reale nulla hanno molteplicità algebrica uguale a quella geometrica. Negli altricasi il sistema è instabile.

Definition 2.2. La matrice A di un sistema asintoticamente stabile prende il nome dimatrice di Hurwitz.

Theorem 2.3. Disequazione di Lyapunov

A è Hurwitz se e solo se $ P > 0 (s.d.p.) che soddisfi la seguente LMI:

(2.1) A * P + P A < 0

Proof. Supponiamo per assurdo che A non sia Hurwitz. Allora considerato un genericoautovettore di A possiamo scrivere A xi = li xi dove almeno un li è tale cheReHli L ¥ 0.Allora considerato xk tale che ReHlk L ¥ 0si ha:

x* A* P x + x* P A x = lk x* P x + lk x* P x = 2 lk x* P x ¥ 0

da cui l’assurdo. Viceversa supponendo che A sia Hurwitz posso definire la seguentematrice P:

Segnali e Sistemi 3

P = ‡0

+¶

eA* t eA t d t

e si verifica facilmente che tale matrice è ben definita, è s.d.p. e soddisfa ladisequazione. Infatti essendo A Hurwitz esistono due numeri a e b positivi tali che:

»» eA t »» § a e- b t

e dunque la matrice P è ben definita. Inoltre tale matrice è simmetrica percostruzione ed è definita positiva in quanto i suoi autovalori sono degli esponenziali ecome tali sono positivi. Infine tale matrice soddisfa l’equazione poichè:

A * P + P A =

‡0

+¶

A * eA* t eA t + eA* t eA t A d t = ‡0

+¶

d

ÅÅÅÅÅÅÅÅdt

IeA* t eA t M d t = -I < 0

·

Corollary 2.5. Disequazione di Lyapunov

A è Hurwitz se e solo se $ S > 0che soddisfi la seguente LMI:

(2.2) A S + S A* < 0

Proof. Segue banalmente dal Theorem 2.3 scegliendo S = P-1 .

·

3. Bounds

Theorem 3.1. Se A è Hurwitz il movimento libero dello stato appartiene a L2 H0, +¶L .

Proof.

(3.1)»» xl HtL »»22 =

‡0

+¶

xl HtL* xl HtL d t = ‡0

+¶

xH0L* eA* t eA t xH0L d t = xH0L* P xH0L < +¶

dove P è quella di Theorem 2.3.·

Proposition 3.3. La norma del movimento libero dello stato si ottiene mediante larelazione:

(3.2) »» xl HtL »»22 = x H0L* P xH0Love P soddisfa la seguente LME

A* P + P A + I = 0

Theorem 3.4. (1) Se A è Hurwitz $ a, b positivi tali che »» eA t »» § a e- b t . (2) Se A è Hurwitz allora:

4 Segnali e Sistemi

(3.3) »» P »» = »» ‡0

+¶

eA* t eA t d t »» < +¶

Proof. Consideriamo il miniblocco della matrice esponenziale.

»» eJij t »» = eReHli L t »» Xi J HtL »»Fissiamo > 0tale che ReHli L + i < 0. Ne segue che :

»» eJij t »» = eHReHli L+i L t e-i t »» Xij HtL »»inoltre e-i t »» Ti J HtL »» § aij < +¶ . Dunque:

»» eAJ t »» § maxi, j

8aij < emax i 8ReHli L+i < t = aêê e- b t

e infine:

»» eA t »» = »» T eA t T-1 »» § »» T »» »» T-1 »» aêê e- b t = a e- b t

·

Theorem 3.6. Se A è Hurwitz si ha

(3.4) »» eA t »» § $%%%%%%%%%%%%%%%%%%lmax HPLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅlmin HPL

ove P soddisfa A * P + P A < 0.

Proof. Consideriamo l’equazione di Lyapunov e pre e postmoltiplichiamola comesegue:

0 > eA* t HA * P + P AL eA t =d

ÅÅÅÅÅÅÅÅdt

IeA* t P eA t Mintegrando tra 0 e t si ha:

eA* t P eAt < P

e dunque grazie all’ordinamento parziale delle matrici s.d.p. si può scrivere:

lmin HPL I < P < lmax HPL Ie possiamo quindi concludere:

lmin HPL eA* t eAt = lmin HPL »» eA t »»2 < lmax HPL fl »» eA t »» § $%%%%%%%%%%%%%%%%%%lmax HPLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅlmin HPL

·

Theorem 3.8. Data una matrice A generica e un numero b tale che A + b I sia Hurwitzvale:

(3.5) »» eA t »» § $%%%%%%%%%%%%%%%%%%lmax HPLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅlmin HPL e- b t

ove P soddisfa HA + b IL * P + P HA + b IL < 0.

Segnali e Sistemi 5

Proof. Grazie a Theorem 3.6 si conclude immediatamente che:

»» eHA+ b IL t »» § $%%%%%%%%%%%%%%%%%%lmax HPLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅlmin HPL

ma »» eHA+ b IL t »» = »» eA t »» »» eb I t »» = »» eA t »» eb t e dunque dividendo ambo i membri pereb t si conclude.·

Theorem 3.10. Data una matrice generica A si ha che:

(3.6) »» xl HtL »» < e mHAL t »» xH0L »»dove m(A) è la cosiddetta misura di Lozinsky definita come segue:

mHAL = limdtØ0 »»A+I dt »»-1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅdt

Proof. Consideriamo la derivata della norma movimento libero dello stato:

dÅÅÅÅÅÅÅÅdt

»» xl HtL »» =d

ÅÅÅÅÅÅÅÅdt

»» eA t xH0L »» =

limdtØ0

H »» xl Ht + dtL »» - »» xl HtL »»LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅdt

§ limdtØ0

H »» eA dt »» -1L »» xL HtL »»ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅdt

=

limdtØ0

H »» I + A dt + ... »» -1LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

dt»» xL HtL »» =

limdtØ0

H »» I + A dt »» -1LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

dt»» xL HtL »» = mHAL »» xL HtL »»

Dividendo per la norma del movimento libero e integrando il primo e l’ultimo membrosi ha:

(3.7) ‡0

t

dÅÅÅÅÅÅdt »» xl HtL »»ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ»» xL HtL »» d t = logK »» xl HtL »»

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ»» xH0L »» O § ‡0

tmHAL d t = mHAL t

e dunque »» xl HtL »» § e mHAL t »» xH0L »» .·

Theorem 3.12. Se mHAL < 0 fl A è Hurwitz .

Theorem 3.13. »» eAt »» § emHAL t " t ¥ 0 .

4. Raggiungibilità

La raggiungibilità è la proprietà di un sistema dinamico di poter raggiungere unqualunque stato in un tempo tê fissato partendo da uno stato iniziale nullo mediantel’applicazione di un ingresso u .

Theorem 4.1. HA, BL è completamente raggiungibile se e solo se la matrice di Kalmandi raggiungibilità Kr ha rango pieno.

Kr = AB A B A2 B An-1 BE

6 Segnali e Sistemi

Proposition 4.2. Se HA, BL è completamente raggiungibile il particolare ingresso u chepermette di raggiungere lo stato assegnato nel tempo prefissato è definito come segue:

uHtL = B* eA* Htê-tL Wtê-1 xêê

dove Wtê è il cosiddetto Grammiano di raggiungibilità ed è definito nel seguente modo:

Wtê = ‡0

tê

eAt B B* eA* t d t

Theorem 4.3. HA, BL è completamente raggiungibile se e solo se il Grammiano diraggiungibilità ha rango pieno " t ¥ 0.

Theorem 4.4. HA, BL è completamente raggiungibile se e solo se la matrice A puòessere messa in forma compagna (forma canonica di controllo) mediante unatrasformazione Tcon invertibile.

Acom =

i

k

jjjjjjjjjjjjjjjjj

0 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

-an -an-1 ... ... -a1

y

{

zzzzzzzzzzzzzzzzz

Tcon-1 =

i

k

jjjjjjjjjjjjjjjjj

an-1 an-2 an-3 ... 1an-2 an-3 ... 1 0an-3 ... 1 0 0

... 1 0 0 01 0 0 0 0

y

{

zzzzzzzzzzzzzzzzz

Theorem 4.5. PBH Test di Raggiungibilità

HA, BL è completamente raggiungibile se e solo se la matrice:

(4.1) Prag = @s I - A - BDHa rango pieno " s e !.

Proof. Supponiamo che tale matrice perda di rango. Allora si ha:

Prag x = 0

ovvero

Hs I - AL x = 0 fl A x = s xB x = 0

Questo significa che esiste s , autovalore di A, e un autovettore non nullo associato adesso tale che B x = 0.Allora la matrice di Kalman non può avere rango pieno (infatti xnon nullo appartiene al nucleo di Kr ) e quindi la matrice non è raggiungibile.

Theorem 4.7. Lemma di Lyapunov(1) Se (A, BL èraggiungibile ogni soluzione S della seguente equazione di Lyapunov è

invertibile.

Segnali e Sistemi 7

(4.2) A S + SA* + B B* = 0

(2) Se e solo se (A,B) è raggiungibile e A è Hurwitz allora esiste una sola soluzionedell’equazione di Lyapunov sopra introdotta e tale soluzione è simmetrica definitapositiva definita dal Grammiano di raggiungibilità su tempo infinito:

(4.3) S = ‡0

+¶

eA t B B* eA* t d t

Proposition 4.8. Scomposizione di Kalman di RaggiungibilitàSia cr una base dello spazio generato dalle colonne della matrice di Kalman di

raggiungibilità. Si ha che tale spazio è uno spazio A-invariante e incluso nell’immaginedella matrice B. Conseguentemente è possibile costruire una matrice Trag

-1 costituitadagli elementi della base di cr più da altri vettori indipendenti da essi che vadano acompletare una base n-dimensionale (ove n è la dimensione di A). Allora si ha che:

(4.4) Trag A Trag-1 =

ikjjjj Ar Ar

~

0 Anr

y{zzzz

Ove la matrice Ar è la parte raggiungibile del sistema e la matrice A nr costituisce laparte non raggiungibile. A seguito della trasformazione il vettore B diventa:

(4.5) Trag B = KBr

0O

5. Assegnamento degli autovalori mediante retroazione

E’ la proprietà di un sistema dinamico di poter fissare arbitrariamente gli autovalorimediante retroazione statica dell’uscita.

Theorem 5.1. E’ possibile fissare arbitrariamente tutti gli autovalori della matriceA + B K del sistema retroazionato se e solo se HA, BL è completamente raggiungibile.

Theorem 5.2. Formula di AckermannUn controllore statico del sistema che fissi arbitrariamente gli autovalori si può

ottenere mediante la nota formula di Ackermann:

(5.1) K = - @0 0 0 ... 1D Kr-1 IAn + b1 An-1 + ... + bn IM

ove i bi sono i coefficienti del polinomio caratteristico desiderato.

Theorem 5.3. Formula di Bass-GuraUn controllore statico del sistema che fissi arbitrariamente gli autovalori si può

ottenere mediante la nota formula di Bass-Gura:

(5.2) K = Kcon TconKcon = @an - bn an-1 - bn-1 ... a1 - b1D

ove la matrice Tcon è stata introdotta in Theorem 4.4.

8 Segnali e Sistemi

Definition 5.4. Un sistema si dice stabilizzabile se è possibile operare una retroazionestatica dell’uscita che renda il sistema stabile. In particolare equivale a richiedere chegli autovalori della parte non raggiungibile siano stabili.

Theorem 5.5. HA, BL raggiungibile fl HA, BL stabilizzabile

Theorem 5.6. HA, BLè stabilizzabile se e solo se la parte non raggiungibile di A èHurwitz.

Theorem 5.7. PBH test di Stabilizzabilità

HA, BL è stabilizzabile se e solo se la matrice:

(5.3) Prag = @s I - A - BDHa rango pieno " s e ! : ReHsL ¥ 0.

Theorem 5.8. Riparametrizzazione dei K-stabilizzanti in un insieme convesso.In generale l’insieme dei controllori K tali che il sistema retroazionato sia stabile

non costituisce un insieme convesso. Tuttavia mediante l’equazione di Lyapunov èpossibile sovraparametrizzare il problema in un insieme convesso. Infatti K èstabilizzante se e solo se $ S > 0 :

(5.4) HA + B KL S + SHA + B KL* < 0

Tuttavia chiamando K S = W fl K = W S-1 si ottiene facilmente che l’insieme8W, S< delle soluzioni dell’equazione riscritta nelle nuove variabili è convesso:

(5.5) A S + S A* + B W + W* B* < 0

6. Osservabilità

E’ la proprietà di un sistema di non presentare particolari dati iniziali non nulli taliche il movimento libero a loro corrispondente sia identicamente nullo.

Theorem 6.1. HA, BL è completamente osservabile se e solo se la matrice di Kalman diosservabilità Ko ha rango pieno.

K0 =

i

k

jjjjjjjjjjjjjjjjjjj

CC AC A2

ªC An-1

y

{

zzzzzzzzzzzzzzzzzzz

Theorem 6.2. HA, BL è completamente raggiungibile se e solo se il Grammiano diraggiungibilità definito sotto ha rango pieno " t ¥ 0.

(6.1) Wtê = ‡0

tê

eA* t C* B eA t d t

Theorem 6.3. PBH Test di Osservabilità

HA, BL è completamente raggiungibile se e solo se la matrice:

Segnali e Sistemi 9

(6.2) Poss = K s I - AC

O

Ha rango pieno " s e !.

Theorem 6.4. Lemma di Lyapunov(1) Se (A, CL èosservabile ogni soluzione P della seguente equazione di Lyapunov è

invertibile.

(6.3) A * P + PA + C* C = 0

(2) (A,C) è osservabile e A è Hurwitz se e solo se esiste una sola soluzionedell’equazione di Lyapunov sopra introdotta. Tale soluzione è simmetrica definitapositiva ed è il Grammiano di osservabilità su tempo infinito:

(6.4) P = ‡0

+¶

eA* t C* C eAt d t

Corollary 6.5. Sia J = »» yl HtL »»22 . Allora se A è Hurwitz e la coppia HA, CLè osservabile vale:

(6.5) J = »» yl HtL »»22 = ‡0

+¶

y* HtL yHtL d t = x0* P x0

Ove P è l’unica soluzione definita positiva della Equation 6.3.

Proof. Per assurdo P non sia definita positiva ma solo semidefinita positiva. Sia allorax 0 tale che P x = 0. Allora si avrebbe:

0 = x* P x = ‡0

+¶

»» C eA t »»2 d t fl C eA t x = 0 " t ¥ 0

E questo equivale alla non osservabilità della coppia HA, CL.

7. Rivelabilità e ricostruzione dello stato

E’ la proprietà che un sistema dinamico ha di poter utilizzare un ricostruttore staticoche consenta dopo un certo tempo di “ricostruire” lo stato interno di un sistema. Inoltreci si può chiedere se sia possibile fissare a piacere la dinamica del ricostruttoremedesimo (ovvero la dinamica di A + L CL.Theorem 7.1. E’ possibile fissare arbitrariamente tutti gli autovalori della matriceA + L C del sistema con il ricostruttore se e solo se HA, CL è completamente osservabile.

Definition 7.2. Un sistema si dice rivelabile se è possibile fissare L tale che A + L Csia Hurwitz. In particolare equivale a richiedere che gli autovalori della parte nonosservabile siano stabili.

Theorem 7.3. HA, CL osservabile fl HA, CL rivelabile

Theorem 7.4. HA, CLè rivelabile se e solo se la parte non osservabile di A è Hurwitz.

Theorem 7.5. PBH test di Rivelabilità

HA, CL è rivelabile se e solo se la matrice:

10 Segnali e Sistemi

(7.1) Poss = K s I - AC

O

Ha rango pieno " s e ! : ReHsL ¥ 0.

Theorem 7.6. Riparametrizzazione degli L-rivelabilizzanti in un insieme convesso.In generale l’insieme dei controllori L tali che il sistema ricostruito sia stabile non

costituisce un insieme convesso. Tuttavia mediante l’equazione di Lyapunov è possibilesovraparametrizzare il problema in un insieme convesso. Infatti L è rivelabilizzante se esolo se $ P > 0 :

(7.2) HA + L CL* P + PHA + L CL < 0

Tuttavia chiamando P L = W fl L = P-1 W si ottiene facilmente che l’insieme8W, P< delle soluzioni dell’equazione riscritta nelle nuove variabili è convesso:

(7.3) A * P + P A + C* W* + W C < 0

8. Zeri e Poli

8.1. Richiami sulla trasformata di Laplace. La trasformata di Laplace è unatrasformazione complessa che porta una funzione dal dominio del tempo nel dominiodelle frequenze. In particolare la trasformata monolatera di una funzione u è definitacome segue.

(8.1) UHsL = ‡0

+¶

e-s t uHtL d t.

In particolare data la risposta all’impulso gHtL la sua trasformata viene chiamatafunzione di trasferimento e riveste un ruolo molto importante nel seguito dellatrattazione. Si può agevolmente verificare che si ha:

(8.2) GHsL = CHs I - AL-1 B + D

La funzione di trasferimento è una matrice ad elementi razionali propri ostrettamente propri. In generale se D = 0la f.d.t. è strettamente propria, viceversa èsolamente propria. Si noti inoltre che GH¶L = D. Il ruolo importantissimo della f.d.t. èmesso pienamente in luce dal fatto che la trasformata dell’uscita forzata è il prodotto trala f.d.t. e la trasformata dell’ingresso:

(8.3) Yf HsL = GHsL UHsL8.2. Zeri e poli (caso SISO). Considerando un sistema ad un ingresso ed una uscita laf.d.t. è una funzione scalare razionale e può essere dunque scritta come rapporto di duepolinomi:

(8.4) GHsL =Nt HsLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅDt HsL

I valori di s che annullano Nt prendono il nome di zeri di trasmissione e i valori di sche annullano Dt prendono il nome di poli di trasmissione. Considerando invece lascrittura della f.d.t. a partire dalla Equation 8.2 e ricordandosi la formula per il calcolodell’inversa di una matrice si può scrivere:

Segnali e Sistemi 11

I valori di s che annullano Nt prendono il nome di zeri di trasmissione e i valori di sche annullano Dt prendono il nome di poli di trasmissione. Considerando invece lascrittura della f.d.t. a partire dalla Equation 8.2 e ricordandosi la formula per il calcolodell’inversa di una matrice si può scrivere:

(8.5)GHsL =

C AlgHs I - AL BÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

detHs I - AL + D =C AlgHs I - AL B + D detHs I - ALÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

detHs I - AL =Ni HsLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅDi HsL

Ni HsL = C AlgHs I - AL B + D detHs I - ALDi HsL = detHs I - AL

I valori di s che annullano Ni prendono il nome di zeri invarianti mentre i valori di sche annullano Di prendono il nome di poli invarianti o autovalori del sistema. L’insiemedegli zeri invarianti coincide con quello degli zeri di trasmissione se il sistema è informa (lo stesso discorso vale per i poli).

Theorem 8.1. Proprietà Bloccante degli zeri di trasmissionel è uno zero di trasmissione se e solo se:

(8.6) $ uHtL = uêê elt + ‚ai dHiL HtLtale che yf HtL = 0 " t > 0.

Proof. Scegliamo un segnale che abbia come trasformata di Laplace:

UHsL =Dt HsLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅs - l

=Dt HlLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅs - l

+ pHsLove pHsL è un polinomio opportuno di grado n-1. L’ antitrasformata di tale segnale

sarebbe:

uHtL = Dt HlL elt + ‚ai dHiL HtLValutando la risposta forzata a tale ingresso e tenendo presente che l è zero di

trasmissione (*) si ha:

Yf HsL = GHsL UHsL =Nt HsLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅDt HsL UHsL =

Nt HsLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅs - l

=H*L NêêêHsL fl yf HtL = ‚ ni dHiL HtL

e dunque per tempi strettamenti maggiori di zero la risposta forzata è nulla.·

Theorem 8.3. l è uno zero invariante se e solo se la matrice di sistema PHsL perde rango in s = l .

(8.7) PHsL = K s I - A -BC D O

Proof. Si ha che:

PHsL = K s I - A 0C I O

ikjjj Hs I - AL-1 0

0 GHsLy{zzz K s I - A -B

0 I O

dunque:

12 Segnali e Sistemi

detHPHsLL = detHs I - AL detHs I - AL-1 GHsL det Hs I - AL =det Hs I - AL ICHs I - AL-1 B + DM =

C AlgHs I - AL B + D detHs I - AL = Ni HsL·

Proposition 8.5.Se la matrice di sistema è quadrata gli autovalori della parte non raggiungibile (zeri

di disaccoppiamento di ingresso) e di quella non osservabile (zeri di disaccoppiamentodi uscita) sono zeri invarianti.

Theorem 8.6. Proprietà Bloccante degli zeri invariantil è uno zero invariante se e solo se esistono un ingresso uHtL = uêê el t e uno stato

iniziale xêê con à xêê

uêê Ã 0 tale che yHtL = 0 " t ¥ 0.

Proof. Supponiamo che l sia uno zero invariante. Allora $ xêê, uêê con à xêê

uêê Ã 0tale che:

K l I - A -BC D O K xêê

uêêO = 0.

Allora si può costruire uHtL = uêê elt , xH0L = xêê.Si ha che yH0L = C xêê + D uêê = 0 e y° H0L = CHA xêê + B uêêL + D uêê l = C l xêê + Dl uêê = 0

questo ragionamento si può iterare per le varie derivate della y e dallo sviluppo di MacLaurin si ha che la y deve essere identicamente nulla.

Theorem 8.8.Uno zero di trasmissione è anche uno zero invariante.

Proof. Se lo zero è uno zero di trasmissione vale la proprietà bloccante e dunquel’uscita forzata è identicamente nulla. Scegliendo l’ingresso che realizza questaproprietà della forma uêê eA t ed individuando come stato iniziale lo stato in cui porterebbeil sistema la sommatoria di derivate delle delte si ha che vale anche la proprietàbloccante degli zeri invarianti e dunque l è zero invariante.

·

Theorem 8.10. L’insieme degli zeri invarianti e degli zeri di trasmissione coincide se e solo se il

sistema è in forma minima.

Theorem 8.11. Condizione necessaria e sufficiente per la BIBO stabilità è che i poli del sistema

abbiano parte reale negativa.

Theorem 8.12. l è un polo di trasmissione se e solo se esiste un ingresso della forma

uHtL = ⁄ai dHiL HtL tale che yf HtL = yêê elt , t > 0.

Proof. Consideriamo un ingresso la cui antitrasformata sia:

Segnali e Sistemi 13

UHsL =Dt HsLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅs - l

= Dêêêt HsL

L’uscita forzata corrispondente è:

Yf HsL = GHsL UHsL =Nt HsLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅs - l

=Nt HlLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅs - l

+ NtêêêêHsL

e antitrasformando si conclude.·

8.3. Sistemi MIMO e forma di Smith Mc Millan. Nel caso di sistemi MIMO la f.d.t.sarà una matrice. Tale matrice si può riscrivere senza eccessive difficoltà nella forma:

(8.8) GHsL =NHsLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅYHsL

ove YHsLè il polinomio minimo comune multiplo tra tutti i denominatori deglielementi Gij e NHsL è una opportuna matrice polinomiale. E’ possibile dimostrare cheesistono sempre due matrici polinomiali unimodulari che trasformano la matrice N inuna matrice dalla struttura più semplice, in particolare una matrice che abbia elementinon nulli solo sulla diagonale principale.

(8.9)

NHsL =

i

kjjjjjjjj

N11 HsL N12 HsL N13 HsL ...N21 HsL N22 HsL N33 HsL ...

ª ª ª

y

{zzzzzzzz = U1 HsL

i

kjjjjjjjj

n1 HsL 0 0 ...ª 0 0 0 nr HsL

y

{zzzzzzzz U2 HsL

è possibile calcolare gli elementi ni HsLanche senza trovare le due matrici unimodulariche effettuano la trasformazione. In particolare si ha:

(8.10) ni HsL =Di HsLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

Di-1 HsL , D0 HsL = 1

Ove Di HsLè il massimo comun divisore monico dei minori di ordine i di NHsL.Si riesce così a definire la forma di Smith Mc Millan della GHsL .

(8.11)

GHsL = U1 HsL i

k

jjjjjjjjjjj

n1 HsLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅYHsL 0 0 ...

ª 0

0 0 nr HsLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅYHsL

y

{

zzzzzzzzzzz U2 HsL =

U1 HsL i

k

jjjjjjjjjjjj

1 HsLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅy1 HsL 0 0 ...

ª 0

0 0 r HsLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅyr HsL

y

{

zzzzzzzzzzzz U2 HsL

Ove la seconda forma si ottiene dopo aver effettuato le dovute semplificazioni tranumeratori e denominatori. In questo senso si definiscano pzt = ¤ i HsLppt HsL = ¤yi HsL . Gli zeri di pzt sono zeri di trasmissione e i poli di ppt sono i poli ditrasmissione del sistema.

14 Segnali e Sistemi

Theorem 8.14. l è uno zero di trasmissione se e solo se esiste un vettore polinomiale non nullo

zHsL tale che:Ë caso matrice TALL: limsØl GHsL zHsL = 0Ë caso matrice FAT: limsØl zHsL* GHsL = 0

Theorem 8.15. Proprietà Bloccante degli zeri di trasmissione per matrici TALLl è uno zero di trasmissione se e solo se:

(8.12) $ uHtL = uêê elt + ‚ai dHiL HtLtale che yf HtL = 0 " t > 0.

Theorem 8.16. Proprietà Bloccante degli zeri di trasmissione per matrici FATl è uno zero di trasmissione se e solo se la proprietà illustrata nel Theorem 8.15 è

valida per il sistema trasposto.

Theorem 8.17. Poli per sistemi TALLl è un polo di trasmissione se e solo se esiste un ingresso della forma

uHtL = ⁄ai dHiL HtL tale che yf HtL = yêê elt , t > 0.

Theorem 8.18. Poli per sistemi FATl è un polo di trasmissione se e solo se la proprietà illustrata nel Theorem 8.17 è

valida per il sistema trasposto.

Theorem 8.19. l è uno zero invariante se e solo se è una radice dei polinomi ai HsLdella forma di

Smith della matrice di sistema PHsL .

(8.13) PHsL = K s I - A -BC D O = U1 HsL

i

kjjjjjjj

a1 HsL 0 00 00 0 ak HsL

y

{zzzzzzz U2 HsL

Theorem 8.20. l è uno zero di trasmissione se e solo se esiste un vettore non nullo z tale che:Ë caso matrice TALL: GHlL z = 0Ë caso matrice FAT: z* GHlL = 0

Theorem 8.21. Proprietà Bloccante degli zeri invarianti caso di sistemi TALLl è uno zero invariante se e solo se esistono un ingresso uHtL = uêê el t e uno stato

iniziale xêê con à xêê

uêê Ã 0 tale che yHtL = 0 " t ¥ 0.

Theorem 8.22. Proprietà Bloccante degli zeri invarianti caso di sistemi FATl è uno zero invariante se e solo se la proprietà espressa nel Theorem 8.21 è

applicabile al sistema trasposto.

Proposition 8.23.

Segnali e Sistemi 15

Se l è un autovalore della parte non osservabile di un sistema TALL allora esiste

à xêê

0 Ã tale che:

(8.14) PHlL Ã xêê

0 Ã = 0

l prende il nome di zero di disaccoppiamento d’uscita ed è anche zero invariante.

Proposition 8.24. Se l è un autovalore della parte non raggiungibile di un sistema FAT allora esiste

à xêê

0 Ã tale che:

(8.15) Ã xêê

0 Ã* PHlL = 0

l prende il nome di zero di disaccoppiamento d’ingresso ed è anche zero invariante.

Theorem 8.25.Uno zero di trasmissione è anche uno zero invariante.

Theorem 8.26. L’insieme degli zeri invarianti e degli zeri di trasmissione coincide se e solo se il

sistema è in forma minima.

8.4. Sistema Inverso. In questa parte accenniamo brevemente a cosa sia un sistemainverso e ad alcune sue proprietà. Tale definizione è valida nel caso di matrice quadrata.Un sistema inverso è un sistema che messo in cascata al sistema originale fa sì che i duesistemi nella loro totalità operino come l’identità. Il sistema inverso ha una forma notain funzione delle 4 matrici di sistema.

(8.16) S1 :lomno

x° = A x + B uy = C x + D u

fl S1-1 :

lomno

x° = HA - B D-1 CL x + B D-1 yu = -D-1 C x + D-1 y

La funzione di trasferimento di tale sistema inverso si scrive nella forma:

(8.17) GS1-1 HsL = -D-1 C Is I - A + B D-1 CM-1

B D-1 + D-1 = HGS1 HsLL-1

Gli autovalori del sistema inverso corrispondono agli zeri invarianti del sistemaoriginale.

8.5. Zeri all'infinito. Per sistemi SISO la struttura della funzione di trasferimento pervalori di s tendenti a infinito diventa la seguente:

(8.18) GHsL = s-r NêêêHsLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅDHsL

ove NêêêHsLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅDHsL è una funzione razionale bipropria (grado del numeratore uguale al grado

del denominatore. Anche per sistemi MIMO è possibile giungere a un risultato analogo. Se la funzione

di trasferimento perde rango in s = +¶ si parla della presenza di zeri all’infinito. Sitenga presente che GH+¶L = D . E’ comunque interessante il fatto che sia semprepossibile trovare due matrici unimodulari razionali proprie che trasformino la f.d.t. inuna forma più adatta a mettere in luce gli zeri all’infinito e il loro ordine.

16 Segnali e Sistemi

Anche per sistemi MIMO è possibile giungere a un risultato analogo. Se la funzionedi trasferimento perde rango in s = +¶ si parla della presenza di zeri all’infinito. Sitenga presente che GH+¶L = D . E’ comunque interessante il fatto che sia semprepossibile trovare due matrici unimodulari razionali proprie che trasformino la f.d.t. inuna forma più adatta a mettere in luce gli zeri all’infinito e il loro ordine.

(8.19) GHsL = UHsL

i

k

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjj

s-d1 0 00 s-d2 00 0 0ª ª ª s-dk

0 0 0 0

y

{

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzz VHsL

ove di > 0è l’ordine degli zeri all’infinito.Come per il calcolo della forma di Smith Mc Millan anche in questo caso è possibile

ricavare i coefficienti di senza conoscere le matrici UHsL e V HsL. In particolare èsufficiente usare le seguenti relazioni:

(8.20) di+1 = ri+1 - rid1 = r1

dove ri indica il grado relativo minimo tra tutti i minori di ordine i non nulli dellamatrice GHsL.

9. Norme

9.1. Norme dei segnali. Lemma 9.1.

Sia S la soluzione simmetrica e definita positiva dell’equazione di Lyapunov

A S + S A* + B B* = 0

Le seguenti condizioni sono vere:(1) sup

»»u»»2 §1»» yl »»¶ = sup

»»u»»2 §1supt¥0

è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!yl HtL* yHlL = Hlmax HC S C*LL1ê2

(2) sup»»u»»2 §1

»» yl »»¶ = sup»»u»»2 §1

supt¥0

maxi

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒyLi HtL

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ= Hdmax HC S C* LL1ê2

ove dmax è il massimo elemento sulla diagonale.

Definition 9.2. Bibo StabilitàUn sistema si dice BIBO stabile se " u e L¶ fl y f e L¶ .

Theorem 9.3. Un sistema è BIBO stabile se e solo se vale una delle seguenti condizioni equivalenti:

(1) gHtL e L1

(2) limtØ+¶ gHtL = 0

Proof. 1 fl BIBO).

Segnali e Sistemi 17

»» y f HtL »» = »» ‡0

tgHt - tL uHtL d t »» § ‡

0

t»» gHt - tL »» »» uHtL »»

d t § M ‡0

s

»» gHsL »» d s §M =sup»»u»» M ‡

0

+¶

»» gHtL »» d t <H1L +¶

2 fl 1LSe vale la 2 allora Aêêê (realizzazione minima) è necessariamente Hurwitz. Ma

allora:

»» g »»1 = ‡0

+¶

»» gHtL »» d t = ‡0

+¶

»» Cêêê eAêêê

t Bêê+ Dêêê

dHtL »»

d t § ‡0

+¶

»» Cêêê eAêêê

t Bêê »» + »» Dêêê dHtL »» d t § »» Cêêê »» »» Bêê »»

‡0

+¶

»» eAêêê

t »» d t + »» Dêêê »» § »» Cêêê »» »» Bêê »» aÅÅÅÅÅÅb

+ »» Dêêê »» < +¶

BIBOfl2) Mostriamo che se la 2 non vale allora il sistema non è BIBO stabile. Senon vale la 2 infatti esiste un elemento gij HtL : limtØ+¶ » gij HtL » 0.Considero dunqueun istante t > 0e un segnale di ingresso di questo tipo:

uHtL = ej sgnHgij Ht - tLLMa allora si ha:

yfi HtL =

‡0

tei

* gHt - tL ej sgnHgij Ht - tLL d t = ‡0

tgij Ht - tL sgnHgij Ht - tLL d t =

‡0

t» gij Ht - tL » d t = ‡

0

tÀ gij HsL À d s öøø

tØ+¶+¶

·

9.2. Norme dei sistemi. Definition 9.7. Norma !1 di GHsL (ben definita per sistemi BIBO stabili)

Data una funzione di trasferimento GHsL la sua norma !1 è data da:

(9.1) »» GHsL »»1 = ‡0

+¶

maxi

‚j

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒgij HtL

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒd t

che nel caso scalare si riduce alla norma della risposta all’impulso nello spazio diLebesgue L1.

Theorem 9.8. Interpretazione sistemistica della norma !1 .

(9.2) »» GHsL »»1 = supu e L¶

»» yf HtL »»¶ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ»» uHtL »»¶

Proof. Scriviamo:

18 Segnali e Sistemi

yfi HtL = ‡0

tei

' gHt - tL uHtL d t = ‡0

+¶

‚j

gij Ht - tL uj HtL d t

Applicando il modulo ad ambo i membri si ottiene:

» yfi HtL » =

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ

‡0

t

‚j

gij Ht - tL uj HtL d t

ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ§ ‡

0

t

‚j

H » gij Ht - tL » » uj HtL »L d t §

Hmaxt<t max j » uj HtL »L ‡0

t

‚j

H » gij Ht - tL »L d t

facendo un cambio di variabile nell’integrale e il massimo sugli i e sui t ad ambo imembri si giunge infine a:

maxi maxt H » yfi HtL »L §

Hmaxt<t max j » uj HtL »L ‡0

tmaxi ‚

j

H » gij HsL »L d s §

maxt max j H » uj HtL »L »» GHsL »»1e da qui si giunge a:

»» y f HtL »»¶ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ»» uHtL »»¶ =maxi maxt H » yfi HtL »LÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅmaxt max j H » uj HtL »L § »» GHsL »»1

Per dimostrare la Equation 9.2 (ovvero che l’ultima equazione è soddisfatta colsegno di uguale è sufficiente prendere come ingresso:

ui HtL = sgnHgij HT - tLL·

Definition 9.10. Norma !2 di GHsLData una funzione di trasferimento GHsL la sua norma !2 è data da:

(9.3)»» GHsL »»22 =

‡0

+¶

TraceAg' HtL gHtLE d t =1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 p

‡-¶

+¶

TraceAG' H- j wL GH j wLE d w

Tale norma è ben definita se e solo se GHsL è strettamente propria HD = 0Le non hapoli in s = j w . Tale norma nel caso SISO corrisponde all’energia contenuta nellafunzione di trasferimento.

Theorem 9.11. Caratterizzazione sistemistica della norma !2 di GHsL : 1interpretazione

Si consideri il caso di sistema con matrice A Hurwitz, stato iniziale nullo e assenzadi risposta forzata dell’uscita HD = 0L.Allora vale:

Segnali e Sistemi 19

(9.4) »» GHsL »»22 = ‚i‡

0

+¶

»» gHtL ei »»2 d t

Proof.

‚i‡

0

+¶

»» gHtL ei »»2 d t = »» GHsL »»22 =

‚i‡

0

+¶

e'i g' HtL gHtL ei d t = ‡

0

+¶

TraceAg' HtL gHtLE d t =

1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 p

‡-¶

+¶

TraceAG' H- j wL GH j wLE d w = »» GHsL »»22

·

Theorem 9.13. Caratterizzazione sistemistica della norma !2 di GHsL : 2interpretazione

Si consideri il caso di sistema con matrice A Hurwitz, stato iniziale nullo e assenzadi risposta forzata dell’uscita HD = 0L.Si consideri inoltre un ingresso stocastico di tiporumore bianco di media nulla e intensità unitaria. Ovvero sia uHtL = WNH0, IL . Alloravale:

(9.5) »» GHsL »»22 = limTØ+¶ "I »» yHtL »»2 M = limT Ø+¶

1ÅÅÅÅÅÅT

‡0

T»» yHtL »»2 d t

Proof. Dato che lo stato iniziale è nullo si ha:

yHtL = ‡0

tgHt - tL uHtL d t

Segue naturalmente che:

yHtL y ' HtL = ‡0

tgHt - tL uHtL d t ‡

0

tu' HrL g' Ht - rL d r =

‡0

t

‡0

tgHt - tL uHtL u' HrL g' Ht - rL d r d t

Il valore atteso di tale quantità (varianza dell’uscita) diventa:

"HyHtL y ' HtLL = ‡0

t

‡0

tgHt - tL "IuHtL u' HrLM g' Ht - rL d r d t =

‡0

t

‡0

tgHt - tL dHt - rL I g' Ht - rL d r d t = ‡

0

tgHt - tL g' Ht - tL d t

Prendendo la traccia di tale valore atteso, facendo un cambio di variabilenell’integrale, facendo il limite per t Ø +¶ e sfruttando il teorema di Parseval siconclude.

·

20 Segnali e Sistemi

Theorem 9.15. Caratterizzazione sistemistica della norma !2 di GHsL : 3interpretazione

Vale la seguente:

(9.6) »» GHsL »»22 = TraceIB' P BM = TraceIC S C' Move P ¥ 0, (rispettivamente S ) soddisfa la seguente equazione di Lyapunov.

A' P + P A + C' C = 0A S + S A' + B B' = 0

Proof. Si ha in modo semplice sfruttando la definizione di norma due e di rispostaall’impulso:

»» GHsL »»22 = ‡0

+¶

TraceAgHtL g' HtLE d t =

Trace ‡0

+¶

C eA t B B' eA' t C' d t = Trace

Ä

Ç

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅC ‡

0

+¶

eA t B B' eA' t d t´̈ ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨̈ ¨̈ ƨ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨̈ ¨̈

S

C'

É

Ö

ÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑD’altra parte è noto che date due matrici T ed R si ha Trace@T RD = Trace@R TD .

Sfruttando ciò si dimostra l’altra delle due formule.·

Proposition 9.17. Osservazione per il calcolo di norme !2 :

(9.7) »» GHsL »»22 = »» G' H-sL »»22

Definition 9.18. Spazi funzionali "2 e "2¶ :

Ë "2 : è lo spazio funzionale delle funzioni razionali strettamente proprie con poli aparte reale negativa.

Ë "2¶ : è lo spazio funzionale delle funzioni razionali strettamente proprie con poli a

parte reale positiva.Theorem 9.19. Decomposizione della GHsL in funzioni appartenenti ad "2 e "2

¶

Sia data una f.d.t. unmixed (senza poli sull’asse immaginario. Allora è semprepossibile scrivere la f.d.t. come somma di due matrici di cui una appartenente ad "2 chechiameremo Gs HsL e una appartenente "2

¶ che chiameremo Ga HsL. Vale allora laseguente:

(9.8) »» GHsL »»22 = »» Gs HsL »»22 + »» Ga HsL »»22

Definition 9.20. Norma !¶ di GHsLData una funzione di trasferimento GHsL la sua norma !¶ è data da:

(9.9) »» GHsL »»¶ = supw

»» GH j wL »»

Ove si è scelta una opportuna norma matriciale (ad esempio la norma 2).

Theorem 9.21.

Segnali e Sistemi 21

GHsLe !¶ ñ GHsLè una funzione razionale propria senza poli con parte reale nulla.

Theorem 9.22. GHsLe !2 ï GHsL e!¶ .

Definition 9.23. Norma "¶ di GHsLData una funzione di trasferimento GHsL la sua norma "¶ è data da:

(9.10) »» GHsL »»¶ = supReHsL>0

»» GHsL »»

Theorem 9.24. GHsLe "¶ ñ GHsLè una funzione razionale propria con poli a parte reale negativa

(GHsLè analitica per ReHsL > 0LTheorem 9.25. Significato sistemistico della norma in !¶ .

(9.11) GHsL¥¶ = supu e!2 , u0

GHsL u¥2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅu¥2

Theorem 9.26. Significato sistemistico della norma in "¶ .

(9.12) GHsL¥¶ = supu e!2 , u0

y¥2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅu¥2

Definition 9.27. Si dice matrice Hamiltoniana una matrice di questo tipo:

H =ikjjj F L

M -F'y{zzz e #2 nµ2 n

Theorem 9.28. Condizione sufficiente affinchè una matrice sia HamiltonianaH è Hamiltoniana se soddisfa la seguente LME:

(9.13) H J + J H ' = 0

ove J = K 0 -In

In 0 O . Si nota che H è simile a -H ' ovvero lo spettro di H è

simmetrico rispetto all’asse immaginario.

Theorem 9.29. Bound per la norma ¶.GHsL¥¶ < g ñD¥ < g e la matrice Hamiltoniana H non ha autovalori con parte

reale nulla.

(9.14) H =ikjjjjj

A + BHg2 I - D' DL-1 D' C BHg2 I - D' DL-1

B'

-C ' HI - g-2 D D' L-1 C -A' - C' DHg2 I - D' DL-1

B'

y{zzzzz

Proof. Per semplicità ci limitiamo al caso in cui D sia nulla. Evidentemente D¥ < g èverificato (g è un numero positivo). Basta dunque verificare che H non abbia autovaloriin s = j w. H risulta essere :

H =ikjjjjj

A B B'ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅg2

-C' C -A'

y{zzzzz

22 Segnali e Sistemi

Per assurdo pensiamo che esistano autovalori sull’asse immaginario. Allora:

H Ã x1

x2à = j w à x1

x2Ã

ovvero:

loomnoo

A x1 + B B'ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅg2 x2 = j w x1

-A' x2 + -C' C x2 = j w x2

fl

looomnoooH j w I - A L x1 = B B'

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅg2 x2

I j w I + A ' M x2 = -C' C x1

fllooomnooo

x1 = H j w I - A L-1 B B'ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅg2 x2

x2 = -I j w I + A ' M-1 C' C x1

Ridefinendo z1 = C x1 e z2 = B' x2 si trova:

z2 = B' I- j w I - A ' M-1 C' CH j w I - A L-1

BÅÅÅÅÅÅÅÅÅg2 z2 = G' H- j wL GH j wL z2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

g2

fl G' H- j wL GH j wL z2 = g2 z2

Cioè g2 è autovalore della matrice G' H- j wL GH j wL . Se z2 è non nullo si può scrivere:

GH j wL¥¶2 ¥ g2 fl GH j wL¥¶ ¥ g

Per dimostrare l’altra implicazione si supponga per assurdo che GH j wL¥¶ ¥ g. Apartire da questa considerazione e dal fatto che GH¶L¥¶ = 0 si trova che $ wêêê :GH j wêêêL¥¶ = g . A questo punto si può invertire il ragionamento facendo al contrario ipassaggi svolti e si conclude.

·

Theorem 9.31. Bound per la norma ¶ per funzioni stabili.Sia data una GHsL e "¶ .Allora:»» GHsL »»¶ < g ó »» D »» < g ed esiste P ¥ 0soluzione della seguente equazione di

Riccati:

(9.15) A' P + P A + IP B + C' DM Ig2 I + D' DM-1 IB' P + D' CM + C' C = 0

Tale che:

AÔ

= A + BIg2 I - D' DM-1 ID' C + B' PM sia Hurwitz.

Proof. Consideriamo per semplicità il caso in cui D = 0. Le equazioni diventano:

A' P + P A +P B B' PÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

g2 + C' C = 0

AÔ

= A +B B' PÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

g2

Iniziamo col dimostrare che se l’equazione è soddisfatta allora la norma è minore dig . Supponendo che esista P che verifica l’equazione di Riccati ci si accorge che:

Segnali e Sistemi 23

H K IPO =

ikjjjjj

A B B'ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅg2

-C' C -A'

y{zzzzz K I

PO = K I

PO AÔ

e notiamo che gli autovalori di Aêêê sono gli autovalori stabili di H . Se Aêêê non haautovalori nulli allora anche H non ha autovalori nulli e dunque per il Theorem 9.29 sidimostra l’implicazione.

Viceversa se la norma infinita della funzione di trasferimento è minore di g lamatrice Hamiltoniana H è unmixed e dunque basta mostrare che esiste un vettore nonnullo … X

Y … che soddisfi l’equazione:

H Ã XY

à = à XY

à AÔ

Scrivendo tale equazione in forma di sistema si ha:

loooomnoooo

A X + B B'ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅg2 Y = X A

Ô

-C' C X - A' Y = Y AÔ

Supponendo ora che X sia invertibile (è possibile mostrare che deve essere così) siha moltiplicando a sinistra per Y X-1 , a destra per X-1 e sostituendo Aêêê con la suaespressione:

Y X-1 A + Y X-1 B B'ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

g2 Y X-1 + C' C + A' Y X-1 = 0

Che è l’equazione di Riccati una volta posto P = Y X-1 . Inoltre si dimostra

facilmente che AÔ

è Hurwitz in quanto simile ad A (dalla definizione di P e dalla primaequazione). E ' inoltre semplice mostrare che P sia simmetrica. Mostriamo ora cheeffettivamente X deve essere invertibile. Supponiamo dunque per assurdo che non losia, ovvero che esista un vettore v 0 tale che X v = 0. Si ha:

loooomnoooo

A X + B B'ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅg2 Y = X A

Ô

-C' C X - A' Y = Y AÔ fl

loooomnoooo

Y* A X + Y * B B'ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅg2 Y = Y * X A

Ô

-X* C' C X - X* A' Y = X* Y AÔ

Ma poichè Y * X = X* Y si può scrivere:

Y * A X + Y * B B'ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

g2 Y = -X* C ' C X - X* A' Y

fl v* Y * A X v + v* Y * B B'ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

g2 Y v =

-v* X* C' C X - v* X* A' Y v fl v* Y * B B'ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

g2 Y v = 0

fl »» B' Y v »»22 = 0 fl B Y v = 0 fl X AÔ

v = 0

Perciò se v e ker HXL ñ AÔ

v e ker HXLñ AkÔ

v e ker HXLñ B' Y AkÔ

v = 0Ora è possibile mostrare la contraddizione che deriva dall’aver supposto X non

invertibile. Si mostra che … XY …non è n-dimensionale come ipotizzato inizialmente.

Consideriamo il polinomio annullante di grado minimo di AÔ

: nm JAÔN = Jl I - A

ÔN nJAÔN ove

nJAÔN è un polinomio opportuno di grado minore di nm JAÔN. Allora:

24 Segnali e Sistemi

Ora è possibile mostrare la contraddizione che deriva dall’aver supposto X noninvertibile. Si mostra che … X

Y …non è n-dimensionale come ipotizzato inizialmente.

Consideriamo il polinomio annullante di grado minimo di AÔ

: nm JAÔN = Jl I - A

ÔN nJAÔN ove

nJAÔN è un polinomio opportuno di grado minore di nm JAÔN. Allora:

Jl I - AÔN nJAÔN v

´̈ ¨¨¨̈ ¨ ƨ¨̈ ¨y0

= 0 fl AÔ

y = l y fl B' HY yL = 0 fl X y = 0 fl y e ker HXL

d’altra parte per la seconda equazione si ha:

A' Y y = -Y AÔ

y = -l Y y

e per la stabilità di A: Y y = 0.Dunque si ha: … XY … y = 0 ma questo è incompatibile

col fatto che … XY … sia n-dimensionale.

·

Theorem 9.33. Bound per la norma ¶ per funzioni stabili.Sia data una GHsL e "¶ .Allora:»» GHsL »»¶ < g ó »» D »» < g ed esiste P > 0soluzione della seguente LMI:

(9.16)ikjjj A' P + P A + C' C P B + C' D

B' P + D' C -g2 I + D' Dy{zzz < 0

Proof. Basta fare riferimento al seguente lemma di Schur.·

Lemma 9.35. (di Schur)

(9.17) ikjjj R S

S' Ty{zzz > 0 ñ

lmnR > 0R - S T-1 ST > 0

ñ lomno

T > 0T - S T R-1 S > 0

Theorem 9.36. Bound per la norma ¶ per funzioni stabili.Sia data una GHsL e "¶ .Allora:»» GHsL »»¶ < g ó »» D »» < g ed esiste S ¥ 0soluzione della seguente equazione di

Riccati:

(9.18) A S + S A' + IS C' + B D' M Ig2 I + D D' M-1 HC S + D BL + B B' = 0

Tale che:

AÔ

= A + IS C' + B D' M Ig2 I - D D' M-1 C sia Hurwitz.

Theorem 9.37. Bound per la norma ¶ per funzioni stabili.Sia data una GHsL e "¶ .Allora:»» GHsL »»¶ < g ó »» D »» < g ed esiste S > 0soluzione della seguente LMI:

(9.19)ikjjj A S + S A' + B B' S C' + B D'

C S + D B' -g2 I + D D'y{zzz < 0

Segnali e Sistemi 25

Definition 9.38. Gamma EntropiaSi consideri ora una funzione di trasferimento GHsL e "2 . Supponiamo inoltre che

GHsL¥¶ < g. Allora la quantità:

(9.20) Ig HGL = -g2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 p

‡-¶

+¶

ln det ikjjjI -

G' H- j wL GH j wLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

g2y{zzz d w

Risulta ben definita e positiva. La condizione sulla norma infinito implica infatti cheil massimo valor singolare della GHsL sia minore in modulo di g e ciò consente che ildeterminante dell’identità meno la matrice G ' H- j wL GH j wL êg2 sia strettamentepositivo e minore di 1.

Theorem 9.39. Bound sulla Gamma Entropia

(9.21) Ig HGL ¥ GHsL¥22

Proof. Sia per brevità Gêêê= G' H- j wLe G = GH j wL.Si ha:

ln detikjjjI -

Gêêê G

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅg2

y{zzz = ln  li

ikjjjI -

Gêêê G

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅg2

y{zzz = ln Âi

kjjj1 - li

ikjjj Gêêê

GÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

g2y{zzzy{zzz =

ln Âikjjj1 -

si2 HGL

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅg2

y{zzz = „ lnik

jjj1 -si

2 HGLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

g2y{zzz

Quindi:

Ig HGL =

1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 p

‡-¶

+¶

„-g2 lnikjjj1 -

si2 HGL

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅg2

y{zzz d w ¥

1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 p

‡-¶

+¶

‚si2 HGL d w =

1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 p

‡-¶

+¶

TraceAG' H- j wL GH j wLE d w = GHsL¥22

Ove si è sfruttato il fatto che per valori di x compresi tra zero e uno vale la sequentedisequazione:

-lnikjjj1 -

x2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅg2

y{zzz ¥

x2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅg2

·

Theorem 9.41. Bound sulla Gamma Entropia

(9.22) Ig HGL § - b lnK1 -1ÅÅÅÅÅÅbO GHsL¥2

2 , b =g2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅGHsL¥¶> 1

Proof. Si introducano le due seguenti quantità:

Ri =g2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅsi 2 HGL , b =

g2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅGHsL¥¶

tra le quali sussiste la relazione:

Ri ¥ b > 1

26 Segnali e Sistemi

Si osservi inoltre che la funzione x lnH1 - 1 ê xLè monotona crescente per x > 1ed ènegativa. Allora possiamo dedurre che:

Ri lnK1 -1

ÅÅÅÅÅÅÅÅRi

O ¥ b lnK1 -1ÅÅÅÅÅÅbO fl -lnK1 -

1ÅÅÅÅÅÅÅÅRi

O § -b

ÅÅÅÅÅÅÅÅRi

lnK1 -1ÅÅÅÅÅÅbO

Dunque si può scrivere la g - entropia come:

Ig HGL = Ig HGL =1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 p

‡-¶

+¶

‚-g2 lnK1 -1

ÅÅÅÅÅÅÅÅRi

O d w §

1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 p

‡-¶

+¶

‚-g2 b

ÅÅÅÅÅÅÅÅRi

lnK1 -1ÅÅÅÅÅÅbO d w =

- b lnK1 -1ÅÅÅÅÅÅbO

1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 p

‡-¶

+¶

‚si2 HGL d w = - b lnK1 -

1ÅÅÅÅÅÅbO GHsL¥2

2

·

Proposition 9.43. Nota sulla g - EntropiaIn base ai due teoremi precedenti è immediato dedurre analizzando il comportamento

della funzione - b lnI1 - 1ÅÅÅÅÅb Mche per g tendente a infinito la g - entropia tende allanorma 2.

Theorem 9.44. Calcolo della g-Entropia

(9.23) Ig HGL = TraceAB' P BEdove P risolve la seguente equazione di Lyapunov:

A' P + P A +P B B' PÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

g2 + C' C = 0

tale che Aêêê= A + B B' PÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅg2 sia Hurwitz.

Proof. Ci limitiamo ad un accenno di dimostrazione. Si definisca:

Y HsL = I -B' PHs I - AL-1 BÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

g2 e"¶

Grazie alla stabilità di Aêêê si ha che anche Y -1 HsLe "¶ . Y HsL prende il nome di fattorespettrale minimo di I - G' H-sL GHsLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅg2 , ovvero è una funzioneche realizza l’uguaglianza:

I -G ' H-sL GHsLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

g2 = Y ' H-sL Y HsL

Sostituendo I - G' H-sL GHsLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅg2 con il fattore spettrale minimo nella definizione dig - Entropia e sfruttando le formule integrali di Cauchy si può concludere ladimostrazione.

·

Proposition 9.46. Interpretazione della g - EntropiaSi consideri un sistema retroazionato con retroazione che abbia funzione di

trasferimento (della sola retroazione) DH j wL stocastica e tale che DH j w1 L siaindipendente da DH j w2 L.Si supponga inoltre che tale variabile casuale siauniformemente distribuita sul cerchio di raggio 1ÅÅÅÅg . La norma due della funzione ditrasferimento dell’intero sistema esiste perchè grazie al teorema del piccolo guadagno laretroazione non riesce a destabilizzare il sistema. Tale norma risulta tuttavia unavariabile aleatoria, dipendente da D . Si ha a tal proposito:

Segnali e Sistemi 27

Si consideri un sistema retroazionato con retroazione che abbia funzione ditrasferimento (della sola retroazione) DH j wL stocastica e tale che DH j w1 L siaindipendente da DH j w2 L.Si supponga inoltre che tale variabile casuale siauniformemente distribuita sul cerchio di raggio 1ÅÅÅÅg . La norma due della funzione ditrasferimento dell’intero sistema esiste perchè grazie al teorema del piccolo guadagno laretroazione non riesce a destabilizzare il sistema. Tale norma risulta tuttavia unavariabile aleatoria, dipendente da D . Si ha a tal proposito:

(9.24) "D

àÜááááááááá

GHsLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1 - GHsL DHsL 2

2ãâäääääääää = Ig

10. Sistemi Retroazionati

Si consideri un sistema S retroazionato come quello in figura:

Figure 1.

Siamo interessati alla funzione di trasferimento tra l’ingresso dêê

= I dv M e l’uscita

uêê = I uurM . Tale funzione di trasferimento è la seguente matrice THsL :

(10.1) THsL =ikjjjj

HI - CHsL GHsLL-1 HI - CHsL GHsLL-1 CHsLHI - GHsL CHsLL-1 GHsL HI - GHsL CHsLL-1

y{zzzz

Theorem 10.1. Stabilità del sistema retroazionatoS è asintoticamente stabile se e solo se THsL e "¶ ovvero se e solo se le quattro

matrici che compongono THsL sono asintoticamente stabili.

Theorem 10.2. Stabilità del sistema retroazionatoSe GHsL e "¶ e CHsL e "¶ :S è stabile se e solo se detHI - GHsL CHsLL 0 per s : ReHsL ¥ 0.

Theorem 10.3. del Piccolo GuadagnoSe GHsL e "¶ e CHsL e "¶ :

(1) S è asintoticamente stabile " CHsL e "¶ : CHsL¥¶ < 1 êa se GHsL¥¶ § a(2) Se GHsL¥¶ > a fl $ CHsL e"¶ : CHsL¥¶ < 1 êa tale che S non sia

asintoticamente stabileProof. Iniziamo col dimostrare la prima implicazione:

GHsL CHsL¥¶ § GHsL ¥ CHsL¥¶ < a 1ÅÅÅÅÅÅa

= 1

28 Segnali e Sistemi

Ma allora: supReHsL>0

GHsL CHsL¥ < 1. Inoltre gli autovalori di una matrice sono in

modulo sempre minori del valore singolare massimo. Dunque si ha:» li HGHsL CHsL » § GHsL CHsL¥¶ < 1 " i, " s : ReHsL ¥ 0. Ma allora si ha:

‰ » li HGHsL CHsL » < 1, " s : ReHsL ¥ 0

e ciò implica detHI - GHsL CHsLL 0 per s : ReHsL ¥ 0. Grazie al Theorem 10.2 seguela tesi.

Bisogna ora dimostrare la seconda implicazione del teorema.Supponiamo che GHsL¥¶ > a . Allora è possibile costruire una CHsL e "¶ che

destabilizza. Sia GHsL¥¶ = a + .Supponiamo inoltre che GHsL sia TALL (talesupposizione non è restrittiva e per il caso FAT basta procedere con le dovutemodifiche). Possiamo mettere la GHsL in forma di Smith Mc Millan.

GHsL = U1 HsL KSHsL0

O U2 HsL

Definiamo dunque una funzione CHsL tale che in corrispondenza del particolarevalore wêêê in cui si ha GH j wêêêL¥ = a + valga:

CH j wêêêL =1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅa +

U2' H- j wêêêL H I 0 L U1

' H- j wêêêLUna volta trovata CHsLstabile che realizza l’uguaglianza appena evidenziata è facile

mostrare che: detHI - GH j wêêêL CH j wêêêLL = 0 e che CHsL¥¶ = 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅa+ < 1ÅÅÅÅÅa .·

11. Stabilità dei sistemi incerti

11.1. Incertezza sulla matrice A. Supponiamo ora che la matrice del sistema A non sia più nota con certezza ma sia

soggetta ad errori. Interpretiamo questo fatto supponendo che la matrcie dinamica sia:

(11.1) Ain = A + L D N

ove si suppone che A sia nota e sia Hurwitz (matrice nominale), L ed N siano note esiano matrici di struttura e D sia una matrice incerta non strutturata.

Definition 11.1. Si definisce RAGGIO COMPLESSO il minimo valore della norma diD (con D complesso) tale che la matrice Ain abbia un autovalore instabile HReHsL = 0L . Inparticolare si ha:

Ë RC HA, L, NL = 8inf D¥, D complesso : A + L D N ha un autovalore in s = j w<Ë RC HA, L, NL = infw 8inf D¥, D complesso : det HI - D GH j wLL = 0<ove GHsL = NHs I - AL-1 L.Mostriamo l’uguaglianza delle due definizioni:

Segnali e Sistemi 29

detHs I - Ain L =det Hs I - A - L D NL = det IHs I - AL II - Hs I - AL-1 L D NMM =

det Hs I - AL det II - Hs I - AL-1 L D NM =

det Hs I - AL det II - D NHs I - AL-1 L Move si è sfruttato il fatto che (a meno di autovalori nulli:

detHI - X Y L = ‰H1 - li HX Y LL = ‰H1 - l j HY XL = detHI - Y XLpertanto:

detH j w I - Ain L = 0 ñ detH j w I - AL´¨¨¨¨¨¨¨¨̈¨¨¨̈ ¨̈ ƨ¨¨¨¨¨¨¨̈¨̈ ¨̈0

det HI - D GH j wLL = 0

da cui l’uguaglianza tra le due definizioni.

Theorem 11.2. Calcolo del Raggio Complesso:

(11.2) RC HA, L, NL =1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅGHsL¥¶, GHsL = NHs I - AL-1 L

Proof. L’incertezza sulla matrice di sistema può anche essere vista in termini diretroazione mediante una matrice incerta D . In particolare ciò è possibile mediante ilblocco GHsL definito sopra in andata e il blocco D in ritorno. Grazie al teorema delpiccolo guadagno è noto che se la norma di D è minore o uguale ad a il sistema saràstabile finchè la norma GHsL¥¶ sarà minore di 1 êa . Da ciò è possibile determinare amin

che realizza le condizioni e tale amin è proprio 1 ê GHsL¥¶ .·

Definition 11.4. Si definisce RAGGIO REALE il minimo valore della norma di D (conD reale) tale che la matrice Ain abbia un autovalore instabile HReHsL = 0L . In particolaresi ha:

Ë RR HA, L, NL = 8inf D¥, D reale : A + L D N ha un autovalore in s = j w<Ë RR HA, L, NL = infw 8inf D¥, D reale : det HI - D GH j wLL = 0<ove GHsL = NHs I - AL-1 L.

Theorem 11.5. Calcolo del Raggio Complesso:

(11.3)

RR HA, L, NL =1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

supw infg eH0,1D s2 ikjjjj

ReHGH j wLL -g ImHGH j wLLImHGH j wLLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅg ReHGH j wLL

y{zzzz

,

GHsL = NHs I - AL-1 L

ove s2 è il secondo valor singolare più grande in modulo.Vale anche:

RR HA, L, NL = infw 1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅmreale HGH j wLL

30 Segnali e Sistemi

ove mreale HML = infg eH0,1D s2 ikjjjj

ReHML -g ImHMLImHMLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅg ReHM L

y{zzzz

Theorem 11.6.

(11.4) RC HA, L, NL § RR HA, L, NL

Supponiamo infine che la matrice di sistema incerta Ain provenga da un certoinsieme norm bounded di matrici (insieme di incertezza) che indichiamo con # :

# = 8Ain = A + L DN, D complesso : D¥ § a<Definition 11.7. Si dice che l’insieme delle matrici incerte # è robustamente stabile se" Ain $ P > 0 tale che:

(11.5) Ain* P + P Ain < 0, " Ain e #

NB: La matrice P può dipendere dalla particolare scelta di Ain , non è sempre lastessa per tutte le matrici di #.

Theorem 11.8. Condizione sufficiente di robusta stabilità:

(11.6) RC HA, L, NL > a ï# robustamente stabile

Definition 11.9. Si dice che l’insieme delle matrici incerte # è quadraticamente stabilese $ P > 0 tale che:

(11.7) Ain* P + P Ain < 0, " Ain e #

NB: La matrice P non deve dipendere dalla particolare scelta di Ain ma è sempre lastessa per tutte le matrici di #.

Theorem 11.10. # quadraticamente stabilefl# robustamente stabile

Proof. La dimostrazione è immediata e segue dalle definizioni di insiemequadraticamente stabile e robustamente stabile.

·

Theorem 11.12. CNS di quadratica stabilità:

(11.8) RC HA, L, NL > a ó# quadraticamente stabile

Proof. Supponiamo che RC HA, L, NL > a . Allora$ P > 0 : A' P + P A + a2 P L L' P + N ' N < 0. Usando dunque il medodo detto dicompletamento dei quadrati è possibile dire che:

0 > A' P + P A + a2 P L L' P + N ' N ¥

A' P + P A + a2 P L L' P + N ' D* D NÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅa2 =

A' P + P A + 1ÅÅÅÅÅÅÅa2 HP L a2 - N ' D*L HL' P a2 - D NL + P L D N +

N ' D* L' P = Ain* P + P Ain + 1ÅÅÅÅÅÅÅa2 ¥ Ain

* P + P Ain

Procedendo al contrario di dimostra l’altra implicazione.

Segnali e Sistemi 31

·

Theorem 11.14. DestabilizzazioneSe RC HA, L, NL § a esiste D complesso di norma § a che destabilizza il sistema,

dunque in questo caso il sistema non è robustamente stabile e di conseguenza non ènemmeno quadraticamente stabile.

Proof. Segue direttamente dall’applicazione del teorema del piccolo guadagno.·

11.2. Incertezza Politopica. In questa sezione supporremo sempre che la matrice A sia incerta ma a differenza del

caso precedente supporremo che possa appartenere ad un insieme di incertezza #leggeremente diverso dal precedente:

# = 9Ain = ‚ bi Ai , : ‚ bi = 1, bi ¥ 0=Ovvero supporremo che Ain possa essere una qualunque combinazione lineare

convessa di matrici note Ai .

Theorem 11.16. CNS di quadratica stabilità# è quadraticamente stabile se e solo se $ P > 0 che soddifi la seguente LMI " i.

(11.9) Ai' P + P Ai < 0

Proof. Supponiamo che tale P esista. Allora si ha:

Ain' P + P Ain = ‚ bi IAi

' P + P Ai M < 0

invertendo il ragionamento segue l’altra implicazione.·

Theorem 11.18. Condizione sufficiente di Robusta Stabilità# è robustamente stabile se $ Pi > 0, G, V che soddifino la seguente LMI " i.

(11.10)ikjjjj

Ai' G + G' Ai Pi + Ai

' V - G'

Pi + V ' Ai - G -V ' - Vy{zzzz < 0

Osservazione. Se l’insieme # è quadraticamente stabile allora è anche robustamentestabile. Nel teorema basta infatti prendere Pi = P, V = I, G = P per concludere.

Proof. Moltiplichiamo la LMI per bi e sommiamo su i .

„ bi ikjjjj

Ai' G + G' Ai Pin + Ai

' V - G'

Pin + V ' Ai - G -V ' - Vy{zzzz =

ikjjjj

Ain' G + G' Ain Pin + Ain

' V - G'

Pin + V ' Ain - G -V ' - Vy{zzzz < 0

Successivamente si valuti la forma quadratica:

32 Segnali e Sistemi

H I Ain L ikjjjj

Ain' G + G' Ain Pin + Ain

' V - G'

Pin + V ' Ain - G -V ' - Vy{zzzz K I

AinO =

Ain' Pin + Pin Ain < 0

11.3. Incertezza intervallare. In questa sezione ci occuperemo sempre di incertezza ma anzichè pensare alla

matrice A penseremo al polinomio caratteristico di tale matrice e supporremo che icoefficienti di tale polinomio siano ignoti ma possano cadere solo in intervalli prefissati(i icui estremi abbiano tutti lo stesso segno). In paricolare cerchiamo criteri checonsentano di affermare se il polinomio:

(11.11) $HsL = ‚ai sn-1 ai e @ai m ; ai M Dsia Hurwitz o meno.

Theorem 11.20. di KaritonovIl polinomio $HsL è Hurwitz se e solo se il diagramma di $H j wL, w ¥ 0, non passa

per l’origine e la varianza di fase di tale diagramma da w = 0 a w = +¶ è multipla dip ê2 in senso antiorario.

Theorem 11.21. Il polinomio $HsL è robustamente Hurwitz se e solo se sono Hurwitz i seguenti 4

polinomi.

(11.12)

an M + an-1 M s + an-2 m s2 + an-3 m s3 + an-4 M s4 + an-5 M s5 + ...an m + an-1 M s + an-2 M s2 + an-3 m s3 + an-4 m s4 + an-5 M s5 + ...an M + an-1 m s + an-2 m s2 + an-3 M s3 + an-4 M s4 + an-5 m s5 + ...an m + an-1 m s + an-2 M s2 + an-3 M s3 + an-4 m s4 + an-5 m s5 + ...

Ovvero schematicamente indicando con I l’estermo inferiore degli intervalli e con Squello superiore, partendo dal coefficiente corrsipondente al termine polinomiale digrado nullo i polinomi hanno coefficienti:

SSIISSIISSIISSII ...ISSIISSIISSIISSII ...SIISSIISSIISSIISS ...IISSIISSIISSIISSII ...

12. Stabilizzazione Robusta

Si supponga di dover sintetizzare una legge di controllo del tipo u = K x tale che ilsistema retroazionato sia stabile qualunque sia l’incertezza che agisce sul sistema.

12.1. Caso Norm Bounded. Si consideri il sistema che abbia equazione di stato x° = Ain x + Bin u ove si abbia

Ain = A + L D N1 e Bin = B + L D N2 . Si supponga inoltre che D sia una matricecomplessa incerta e norm-bounded con norma minore o uguale ad a . La matrice delsistema retroazionato diventa pertanto Ain + Bin K = A + B K + L DHN1 + N2 KL. Sipensi poi di riscrivere il sistema come segue:

Segnali e Sistemi 33

Si consideri il sistema che abbia equazione di stato x° = Ain x + Bin u ove si abbiaAin = A + L D N1 e Bin = B + L D N2 . Si supponga inoltre che D sia una matricecomplessa incerta e norm-bounded con norma minore o uguale ad a . La matrice delsistema retroazionato diventa pertanto Ain + Bin K = A + B K + L DHN1 + N2 KL. Sipensi poi di riscrivere il sistema come segue:

x° = HA + B KL x + L wz = HN1 + N2 KL x

w = D z

La funzione di trasferimento ingresso-uscita risulta essere:

GK HsL = HN1 + N2 KL Hs I - A - B KL-1 L

Allora grazie al teorema del piccolo guadagno si ha che il sistema è quadraticamentestabile se e solo se GK HsL¥¶ < 1 êa.

Theorem 12.1.CNS di quadratica stabilitàIl sistema retroazionato è quadraticamente stabile se e solo se $ S > 0 soluzione

della seguente disequazione di Riccati:

(12.1)HA + B KL S + SHA + B KL* +

a2 SHN1 + N2 KL* HN1 + N2 KL S + L L' < 0

Tale disequazione si può riscrivere riparametrizzandone le soluzioni in un insiemeconvesso. Si ponga infatti K S = W . L‘ equazione di Riccati viene soddisfatta se e solose $ S > 0 tale che:

(12.2)ikjjjj

A S + S A' + B W + W ' B + L L' S N1 + W ' N2'

N1 S + N2 W - 1ÅÅÅÅÅÅÅa2 Iy{zzzz < 0

12.2. Caso politopico. Si consideri un caso del tutto analogo al precedente in cui però l’incertezza sia di

tipo politopico. Vale il seguente:

Theorem 12.2. CNS di quadratica stabilitàIl sistema retroazionato è quadraticamente stabile se e solo se $ S > 0 che soddisfa:

(12.3) HAi + Bi KL S + SHAi + Bi KL* < 0 " i

o equivalentemente la versione riparametrizzata mediante W = K S :

(12.4) Ai S + S Ai' + W ' Bi

' + Bi W < 0 " i

12.3. Sintesi in !-infinito. Si consideri un sistema incerto che abbia matrice incerta modellizzata mediante

retroazione dell’uscita modulata attarverso una matrice stocastica D e retroazionestabilizzante tramite un controllore mediante variabili di stato del tipo u = K x . Talesistema S è descritto dalle equazioni:

x° = A x + B1 w + B2 uz = C x + D u

u = K xw = D z

34 Segnali e Sistemi

Ci si chiede se sia possibile scegliere il controllore in modo tale che la funzione ditrasferimento tra w e z abbia norma infinita minore di un certo valore g fissato.

Il problema è equivalente a richiedere che:

(12.5) supw eL2 z¥2

2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅw¥22 < g2 ó‡

0

¶

z' HtL zHtL - g2 w' HtL wHtL d t < 0 " w e L2

Vale a tal proposito il seguente teorema:

Theorem 12.3. Sk ¥¶ < g ó $ P > 0che soddisfa la seguente LMI:

(12.6)HA + B2 KL* P + PHA + B2 KL +

P B1 B1* P

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅg2 + HC + D KL* HC + D KL < 0

Raccogliendo nella disequazione i termini in K e chiamandoli QK si ha:

QK = K ' B2' P + P B2 K + K ' D' C + C' D K + K% D% D K

Assumendo inoltre che D' D > 0e procedendo col metodo di completamento deiquadrati si ha:

JK ' + IC' D + P B2 M ID' DM-1 N ID' DM JJK + ID' DM-1

IB2' P + D' CMN - IC% D + P B2 M ID' D-1 M ID' C + B2

' PMe chiamando K* = -HD' D-1 L ID' C + B2

' PM si ha infine:

(12.7)A' P + P A +

P B1 B1' P

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅg2 - IP B2 + C' DM ID' D-1 M IB2

' P + D' CM +

C ' C + IK ' - K* ' M HK - K* L < 0

Theorem 12.4. K-stabilizzante che soddisfi la condizione sulla normaSupponendo che esista P ¥ 0 tale che:

(12.8)A' P + P A +

P B1 B1' P

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅg2 -

IP B2 + C' DM ID' D-1 M IB2' P + D' CM + C ' C < 0

o

(12.9)A' P + P A +

P B1 B1' P

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅg2 -

IP B2 + C' DM ID' D-1 M IB2' P + D' CM + C ' C = 0

con in più il vincolo che Aêêê= A + B1 B1

' PÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅg2 - B2 HD' D-1 L IB2' P + D' CM sia Hurwitz

allora K = K* risolve il problema della stabilizzazione ed è tale che Sk ¥¶ < g eA + B2 K sia Hurwitz.

NB: vale anche il viceversa.

Proof. Il teorema è praticamente dimostrato a meno di mostrare che la matriceA + B2 K sia Hurwitz. Supponiamo dunque per assurdo che tale matrice non siaHurwitz e che l sia un suo autovalore instabile. Moltiplicando a sinistra per x' e adestra per x l’equazione si ha:

Segnali e Sistemi 35

Proof. Il teorema è praticamente dimostrato a meno di mostrare che la matriceA + B2 K sia Hurwitz. Supponiamo dunque per assurdo che tale matrice non siaHurwitz e che l sia un suo autovalore instabile. Moltiplicando a sinistra per x' e adestra per x l’equazione si ha:

0 = x' A' P x + x' P A x + x' P B1 B1

' PÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

g2 x -

x' IP B2 + C' DM ID' D-1 M IB2' P + D' CM x + x' C ' C x =

2 ReHlL x' P x + x' P B1 B1

' PÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

g2 x + x' HC + D KL' HC + D KL x

e poichè tutti gli addendi sono positivi (il primo lo è per ipotesi) ogni terminedovrebbe essere nullo. In particolare si trova che:

B1

' P xÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

g

¥ =

0 flB1

' P xÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

g= 0 fl

B1 B1' P x

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅg2 = 0 fl l x = A x + B2 K x = Aêêê

x

ma ciò è assurdo poichè Aêêê è Hurwitz per ipotesi e dunque non ha autovalori positivi.·

L’ingresso u* che si ottiene scegliendo k = k* prende il nome di miglior controllo ocontrollore centrale e si può dimostrare che è quel particolare valore che minimizza lag - entropiadel sistema ad anello chiuso. Si può dimostrare che il punto di peggiordisturbo (quello che bliancia il gioco differenziale descritto nell’Equation 12.5 è dato daw* = B1

' B1 PÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅg2 . Se g Ø +¶ l’equazione del teorema si riduce alla equazione classica di Riccati e la

richiesta Aêêê Hurwitz si traduce nella richiesta matrice controllata A + B2 K Hurwitz. Inquesto caso il problema risulta di controllo ottimo in "2 e il gioco differenziale diventa:

mink ‡0

+¶

z' z d t

In questo caso le ipotesi di esistenza di una matrice P che soddisfi l’equazione diRiccati risultano molto blande, A, B2 stabilizzabile e A, B2 , C, D senza zeri con partereale nulla.

13. Cenni a sistemi non lineari e alla quantizzazione

Si consideri ora un sistema del tipo:

(13.1) x° = f HxLLa funzione f prende il nome di campo vettore. Sotto opportune ipotesi di

Lipschitzianità su tale campo si ha che la soluzione del problema è ben definita.Supponiamo per semplicità che f H0L = 0 ovvero che l’origine sia un punto di equilibriodel sistema. Diamo ora alcune definizioni:

36 Segnali e Sistemi

Definition 13.1. L’origine è un equilibrio stabile se" > 0, $ d : xH0L¥ § d fl xHtL¥ § , " t ¥ 0.

Definition 13.2. L’origine è un equilibrio asintoticamente stabile se xHtL¥ Ø 0altendere di t a infinito.

Definition 13.3. L’insieme degli stati iniziali tali che le traiettorie converganoall’origine si chiama regione di attrazione.

Definition 13.4. Un sistema per cui ogni stato iniziale dia origine ad una traiettoria checonverge all’origine si chiama GAS (Globally Asyntotically Stable)

NB: Nei sistemi non lineari può esserci attrattività senza che ci sia stabilità.

Definition 13.5. Un sistema per cui ogni stato iniziale dia origine ad una traiettoriadominata in norma dal termine c xH0L¥ e-lt ove c è una costante opportuna prende ilnome di GES (Globally Exponential Stable)

Definition 13.6. Si dice funzione di Lyapunov una funzione V che goda delle seguentiproprietà:

(1) V e C1 H#n L(2) VH0L = 0(3) VHxL > 0, " x 0.

Definition 13.7. Una funzione di Lyapunov illimitata per »» x »» Ø +¶ si diceradialmente illimitata.

Theorem 13.8. di LyapunovSupponiamo che esista per il sistema una funzione di Lyapunov V . Se

V°= d VÅÅÅÅÅÅÅÅÅd x x° = d VÅÅÅÅÅÅÅÅÅd x f HxL § 0 l’origine è equilibrio stabile. Se V°

< 0 l’origine èasintoticamente stabile. Se V°

< 0 e V non è radialmente illimitata allora il sistema èGAS.

13.1. Controllo Quantizzato. Si consideri un sistema del tipo x° = A x + B u tale che gli ingressi non possano

assumere un qualunque valore ma possano provenire solo da un insieme & quantizzato.

Definition 13.9. & si dice quantizzato in senso stretto se & è chiuso e discreto. Inparticolare la cardinalità di qualunque insieme del tipo &›' con ' e#n limitato deveessere finita.

Definition 13.10. & si dice quantizzato in senso lato o debole se & è chiuso e & î 80< èdiscreto. In questo senso sono note le parametrizzazioni di tipo esponenziale u = r qi ,i e $.

Supponiamo ora che dato un qualsiasi elemento di #n sia possibile costruire unamappa (H ÿ L tale che associ ad ogni elemento di #n il più vicino elemento di & . Siintroduca inoltre la quantità (e H ÿ Lche associa ad ogni elemento l’errore diquantizzazione.

Scegliamo ora un controllore K tale che Aêêê= A + B K sia Hurwitz. L’ingresso reale

risulterà tuttavia dato da u = (HK xL = K x + (e HK xL.Dunque il sistema si può riscriverenella forma:

Segnali e Sistemi 37

x° = HA + B KL x + B (e HK xLTheorem 13.11. Errore di quantizzazione assoluto limitato

Se l’errore di quantizzazione assoluto è limitato H(e HwL¥ § E " w e #n L si ha:

(13.2) lim suptØ+¶ xHtL¥ § E Gk ¥1

Proof. Si ha:

xHtL = eAêêê

t xH0L + ‡0

teA

êêêHt-tL B (e HK xHtLL d t fl xHtL =

±eAêêê

tµ xH0L¥ + E ‡0

t± eA

êêêHt-tL B µ d t = ±eAêêê

t µ xH0L¥ + E Gk¥1

e facendo il limite si conclude.·

Theorem 13.13. Errore di quantizzazione relativo limitatoSi consideri il sistema x° = F x + B u , y = C x , con F Hurwitz. Sia inoltre

gs = ±CHs I - FL-1 Bµ¶

= G¥¶ .Se l’errore di quantizzazione relativo è limitato I" w e #n (e HwL¥2 § ge w¥2 M

allora il sistema:

(13.3) x° = F x + B(e HC xLè GAS.

Proof. Sia g > gs tale che g ge < 1. Si consideri inoltre una matriceQ > 0 : ±Q1ê2 Hs I - FL-1

Bµ¶

+ gs < g .Si denoti con Cêêê il vettore I C

Q1ê2 M e con Gêêê la seguente:

Gêêê= CêêêHs I - FL-1

B = K GQ1ê2 Hs I - FL-1 B

O

Naturalmente vale:

Gêêꥶ § G¥¶ + Q1ê2 Hs I - FL-1 B

¶< g

Allora $ P > 0 che soddisfa:

F' P + P F +P B B' PÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

g2 + C ' C + Q = 0

Si scelga ora per il sistema la funzione di Lyapunov VHxL = x' P x .Per concludere la dimostrazione basta mostrare che V°

< 0 " x 0.

V° HxL =VÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅx

x° = 2 x' PHF x + B (e HyLL = x' P F x + x' F' P x + 2 x' P B (e HyL =

38 Segnali e Sistemi

-x' P B B' PÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

g2 x - x' C' C x - x' Q x + 2 x' P B (e HyL =

-x' P B B' PÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

g2 x - g2 (e HyL' (e HyL - y' y -

x' Q x + 2 x' P B (e HyL + g2 (e HyL' (e HyL =

-ikjjj x' P B

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅg

- g (e HyL'y{zzz ikjjj x P B'

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅg

- g (e HyLy{zzz + g2 (e HyL' (e HyL -

y' y - x' Q x § g2 (e HyL' (e HyL - y' y - x' Q x §

g2 ge2 y¥2

2 - y¥22 = y¥2

2 Ig2 ge2 - 1M < 0

·

Segnali e Sistemi 39