Piatti --- Corso Rischi Bancari: VaR 1
TECNICHE DI MISURAZIONE DEI RISCHI DI MERCATO
VALUE AT RISKVaR
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Limiti delle misure di sensitivity
• Dipendono dalla fasein cui si trova ilmercato
• non consentonoconfronti
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Cosa significa confrontare una duration di 5 con un beta di2?
• Una misuraomogenea puòessere la perdita acui si è esposti perogni posizione
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la perdita su ogni posizione è confrontabile se:
������������
• Si riferisce allo stessoorizzonte temporale
• non è definita in termini diperdita assoluta, cioè pertutti i possibili scenari, masolo in una certapercentuale di scenari(max perdita potenziale)
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APPROCCIO INTUITIVO AL VAR
Si considerino 500 osservazioni (500 giorni);
relative ai guadagni su una certa posizione.
Si ipotizzi che le 10 variazioni (perdite) più sfavorevoli siano:
-20 -15 -14 -12 -10
-9 -8 -7 -6 -4
IL VAR RISPONDE ALLA DOMANDA:
QUAL E' LA MASSIMA PERDITA CHE POSSO
SUBIRE NEL 99% DEI CASI, ESCLUDENDO
L'1% DEI CASI PEGGIORI?
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PRIMO APPROCCIO AL VaR
Istogramma
0369
1215182124273033363942
-10,00
%-8,
50%-7,
00%-5,
50%-4,
00%-2,
50%-1,
00% 0,50%
2,00%
3,50%
5,00%
6,50%
8,00%
9,50%
11,00%
12,50%
14,00%
Classe
Freq
uenz
a
,00%
10,00%20,00%
30,00%40,00%
50,00%60,00%
70,00%80,00%
90,00%100,00%
110,00%
Frequenza % cumulativ a
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Volatilità rendimenti
( )
( )
2
1
22
1
1
1
11
σσ
µσ
µ
=
−−
=
=
+−=
∑
∑
=
=
−
−
n
tt
n
t
t
t
tttt
rn
nr
pdpp
r
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ANALISI DELLA FREQUENZA DI MANIFESTAZIONEDEI RENDIMENTI
Classe Frequenza % cumulativa
-7,00% 0 ,27%-6,50% 1 ,53%-6,00% 1 ,80%-5,50% 2 1,33%-5,00% 3 2,13%-4,50% 6 3,73%-4,00% 8 5,87%
………………………..-0,50% 31 45,60%0,00% 38 55,73%0,50% 28 63,20%1,00% 24 69,60%1,50% 20 74,93%
………………..6,50% 1 98,40%7,00% 2 98,93%7,50% 2 99,47%8,00% 0 99,47%8,50% 1 99,73%
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DISTRIBUZIONE NORMALE
funzione di densità e distribuzione cumulata (normale)
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
14,00
16,00
-10,00% -8,00% -6,00% -4,00% -2,00% 0,00% 2,00% 4,00% 6,00% 8,00% 10,00% 12,00% 14,00%
0,000,050,100,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,850,900,951,00
Probabilità di subire un rendimento inferiore al -4% = 7,61%
probabilità di subire un rendimento inferiore al -6.4% = 1%
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Se il valore di mercato dei titoli di quel tipo posseduti fosse pari a100.000 euro, avrei una probabilità del 7,61% di subire una perditamaggiore di 4.000 euro.
Con una probabilità non superiore all’1% posso invece incorrerepotenzialmente in perdite superiori al 6,4%: ossia in termini di valorepotrei perdere:
100.000*0.064= 6.400 euroIN GENERALE IL VaR PUO’ ESSERE OTTENUTO:
tPVaR P *** ασ=
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Definizione VaR
PERDITA MASSIMA POTENZIALE CHE UNA CERTA POSIZIONE PUO’ SUBIRE,CON UNA CERTA PROBABILITA’,
ENTRO UN ORIZZONTE TEMPORALE PREDEFINITO
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( )[ ][ ] %16400)(Pr
Pr≤>−
≤>−
∆+
∆+
Tt
tt
VMVMobVaRVMVMob α
QUINDI, LA PERDITA SARA’MINORE DI 6.400 euro CONPROBABILITA’ DEL 99%
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Modelli VaR
analitici o parametricisi itilizzano metodi
statistici per descrivereil movimento dei fattori
modelli di simulazionenon si stima la variazione
con riferimento a parametrima mediante simulazione
modelli
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Livelli di confidenza
MultiploDev. std
Livelloconfidenza
liv. conf. 1 coda
1 68% 84%2 95% 98%3 99.7% 99.85%1.65 95%2.33 99%
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IPOTESI SOTTOSTANTI IL VaR
• 1) orizzonte temporale di valutazione;• 2) la forma della distribuzione di
probabilità;• 3) livello di confidenza prescelto
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Scelta orizzonte temporale (influenza il rischio)
• Grado di liquiditàdel mercato
• distinzione tratrading risk einvestment risk
carenze informative
TGT •= σσ
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Forma della distribuzione di probabilità
• Dopo aver calcolato irendimenti di periodosi deve ipotizzare:
• 1) la forma della lorodistribuzione(normale); oppure
• 2) valutare la lorodistribuzione difrequenza mediantemodelli di simulazione
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Approccio varianza-covarianza
• si ipotizza ladistribuzione normaledei rendimenti
• sono quindisufficienti 2 soliparametri (media evarianza)
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Su quali fattori si basa la scelta dell’intervallo di confidenza?
> livello confidenza --------- > il valore a rischio
LA VARIABILE GUIDA E’:IL GRADO DI AVVERSIONE AL RISCHIO
=MINOR COSTO CAPITALE AZIONARIO
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Approccio parametricodelta-normal al VaR
FASI:1) mark to market2) stima della volatilità del fattore di rischio3) stima della sensibilità alle variazioni del fattore di rischio
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Tassi di interesse
∆i come variazione assoluta
tPDMVaR
PDM
iPDMP
i
ip
****
:sarà VaR il cuiper
**:prezzo del à volatilitla cui da
**
ασ
σσ
=
=
∆−≈∆
∆i come variazione percentuale
tiPDMVaR
iPDM
iiPDMP
i
ip
i
*****
:sarà VaR il cuiper
***:prezzo del à volatilitla cui da
***
ασ
σσ
=
=
∆−≈∆
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ESEMPLIFICAZIONEBTP decennaleprezzo di mercato 103rendimento effettivo a scadenza 10,5%valore nominale 10 mldvolatilità giornaliera tassi di interesse (in variazione assoluta) 0,12375%volatilità giornaliera tassi di interesse (in var. %) = 0,011786livello di confidenza del 99% alfa = 2,323duration modificata 6,5orizzonte temporale giornaliero
valutazione al mercato = 10 mld *103/100 = 10,3 mldVaR = 192.462.002,88
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Beta azionario
• La sensibilità del rendimento di untitolo azionario alle variazioni delrendimento di mercato può essere
espressa dal suo beta• (regressione lineare)
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Beta azionario
( )2
,cov
rm
maa
rrσ
β =
Il coefficiente Beta esprime il legame di proporzionalità
tra i rendimenti dei singoli investimenti ed il rendimento del portafoglio di mercato
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Modello CAPM
( )fmfa rrrr −+= βIl rendimento di un titolo azionario dipende dal
rendimento di un titolo a rischio nullocui viene sommato un premio per il rischio
pari alla differenza tra rendimento medio di mercato e rendimento del titolo a rischio nullo.
Tale premio, comune a tutti i titoli, viene moltiplicato per il grado di sensibilità che ciascun titolo ha
rispetto al mercato
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• Il Beta ha un effetto di leva sul premio per ilrischio, agendo da moltiplicatore se
• B>1 o da divisore se B<1
• il Beta è determinato da:• caratteristiche dell’impresa• dalla natura ciclica dei ricavi• dalla leva finanziaria ed operativa
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ESPOSIZIONE AL RISCHIO AZIONARIO
azmVMVaR βασ ⋅⋅⋅=
( )m
azrmaz
maz
rmazσ
σρσ
β⋅
== ,2
,cov
⋅⋅⋅⋅= ασρ azrmazVMVaR ,
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esemplificazione
VaR = 79.200.000
5.000.000.000*0,8%*1,65*1,2
Valore mercato azioni 5 mld
beta azione 1,2
alfa 1,65
volatilità mercato 0,8%
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VaR = 23.100.000
1.000.000*2.000*0,7%*1,65
ESPOSIZIONE AL RISCHIO DI CAMBIO
Posizione lunga in $ 1.000.000
cambio lira/$ 2.000
volatilità lira/$ 0,7%
alfa 1,65
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tVMVaR jijiji **** ,, δασ=
Valore a rischio dell’i-esimo titolo per il j-esimo fattore di rischio
approccio delta-normal…...formula LU pag. 192
Valorizzazioneal valore di mercato
Volatilità
Costante relativaall’intervallo
di confidenza
Sensibilità dellaposizione al variare
del fattoredi rischio
Orizzontetemporaledi valutazione
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rischio di tassoDM
rischio di cambio
1
SENSIBILITA'
rischio azionario
Beta
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Come si aggregano diversi fattori di
rischio?
∑=
≠n
iip VarVaR
1
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Rischio di portafoglio
yxyxyx
yxyx
yxyxyx
σσρσσσ
σσρ
σσσ
**2
:ottiene si **cov essendo
cov2
no medio quadratico scarto lo additiva proprietà della gode media la mentre:y e x variabili2 date
,22
yx
,yx,
,22
++=
=
++=
+
+
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utilizziamo questi concetti per il VaR
BABABAP VaRVarVaRVaRVaR ,22 2 ρ++=
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Portafoglio con n strumenti
[ ][ ]
[ ]
=
=
=
=
V
C
V
VCVVaR
n
n
nT
TP
1............
...1
var...var
1,
,1
221
ρ
ρ
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APPROCCI ALTERNATIVI AL VAR
DELTA NORMALASSET-NORMAL
SIMULAZIONE STORICASIMULAZIONE MONTE CARLO
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APPROCCIO DELTA-NORMAL
• Si analizza la volatilità dei fattori di rischio• si ipotizza che le variazioni di tali fattori siano
distribuite normalmente• si stima la correlazione tra il fattore di rischio i-
esimo ed il fattore di rischio j-esimo• l’impatto che le variazioni dei fattori di rischio
hanno sul valore di mercato delle posizionidipende dalla sensibilità delle stesse (duration,beta)
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Fattori di rischio Distribuiti normalmente
Si ottiene il valore della posizione
Partendo dai fattori di mercato
via misure di sensibilità
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Approccio asset-normal
• Si considerano le variazioni delle singoleposizioni
• si ipotizza che la distribuzione normaleriguardi il valore di mercato (prezzo) non ifattori di rischio
• non è necessario stimare la sensibilità delvalore di mercato alle variazioni dei fattoridi mercato
Piatti --- Corso Rischi Bancari: VaR 41
• Si stima la correlazione tra il valore dimercato della posizione i-esima ed il valoredi mercato della posizione j-esima
• la matrice varianza-covarianza diventaestremamente ampia al crescere delleposizioni
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ATTENZIONE
• E’ CRUCIALE LASTIMA:
• 1) DELLAVOLATILITA’(posizioni o fattori dirischio)
• 2) STIMA DELLACORRELAZIONE
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Metodi di stima della volatilità
• Evoluzione storica (hp di costanza dellavolatilità nel tempo)
• modelli GARCH (generalizedautoregressive conditionalheteroskedasticity)
• volatilità implicita estrapolata dai modelli diopzione
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VAR CON SIMULAZIONE STORICA
VALORE PORTAFOGLIO 650.000
INTERVALLO CONFIDENZA 95%
HOLDING PERIOD 1 gg
OSSPORTAFOGLIO VAR %
VAR. IPOTETICA
1 580.000 2 650.000 12,07% 728.448 3 562.000 -13,54% 562.000
462.000 -17,79% 534.342 484.000 4,76% 680.952 498.000 2,89% 668.802 521.000 4,62% 680.020 620.000 19,00% 773.512 589.000 -5,00% 617.500 611.000 3,74% 674.278
… … …… … …
624.000 2,13% 663.830 654.000 4,81% 681.250 632.000 -3,36% 628.135 619.000 -2,06% 636.630 570.000 -7,92% 598.546 640.000 12,28% 729.825 621.000 -2,97% 630.703 603.000 -2,90% 631.159 550.000 -8,79% 592.869
99 568.000 3,27% 671.273 100 599.000 5,46% 685.475
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ORDINAMENTO VARIAZIONI IP OTETICHE
1 773.512 2 729.825 3 728.448 4 685.475 5 681.250
… …… …
90 668.802 91 663.830 92 636.630 93 631.159 94 630.703 95 628.135 96 617.500 97 598.546 98 592.869 99 562.000
100 534.342
MEDIA 97° E 98° 595.708
VALORE MERCATO P ORTAF 650.000 VARIAZIONI S IMULATE 595.708 VAR 54.292
Piatti --- Corso Rischi Bancari: VaR 46
Controllo dei rischi: implicazioni organizzative
Organizzazione per attività di negoziazione vs/organizzazione per tipologie di rischio
Adozione di sistemi di trasferimento dei rischi astrutture competenti per gestirli
Individuazione di funzioni quali il risk managemente la funzione di controllo del rischio
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