Svolgimento Versione A
Esercizio 1 Rappresentiamo innanzitutto il vincoloA. Poiché |x+ y| 1 e |x y| = |y x| 1 significano rispettivamente1 x + y 1 e 1 y x 1, l’insieme A è dato dall’intersezione degli insiemi individuati da questedisequazioni:
x 1 y x+ 1 striscia di piano compresa tra le rettey = x 1 e y = x+ 1, rette incluse;
x 1 y x+ 1 striscia di piano compresa tra le rettey = x 1 e y = x+ 1, rette incluse.
L’insieme A è compatto e la funzione f è continua su A, quindi gli estremi assolutimaxA f eminA f esistono peril teorema di Weierstrass. Cerchiamo separatemente i candidati estremanti assoluti di f su A e A.
• Poiché A è aperto, il teorema di Fermat assicura che i candidati estremanti di f su A sono i punti critici dif (che in effetti è di classe C su tutto R2) appartenenti a A . Si ha
f (x, y) =f
x,f
y= (2x 1, 2y + 1)
e pertanto risulta
f (x, y) = (0, 0)2x 1 = 02y + 1 = 0
x = 1/2y = 1/2
.
Dunque l’unico punto critico di f è P0 = 12 ,
12 , il quale non appartiene ad A (sta su uno dei lati di A) e
quindi non va considerato quale possibile estremante di f su A (si noti che, sia perché P0 / A , sia perchéstiamo cercando estremi assoluti, lo studio della natura di P0 come punto critico di f è superfluo).
• Introdotti i punti P1 = (1, 0), P2 = (0, 1), P3 = ( 1, 0) e P4 = (0, 1) come in figura, la frontiera A èl’unione dei quattro segmenti P1P2, P2P3, P3P4 e P1P4, che possono essere parametrizzati in modo standardcome grafici:
P1P2 :y = x+ 1x [0, 1]
, P2P3 :y = x+ 1x [ 1, 0]
, P3P4 :y = x 1x [ 1, 0]
, P1P4 :y = x 1x [0, 1]
.
Si tratta allora di determinare i possibili estremanti delle restrizioni
1 (x) = f (x, x+ 1) = x2 ( x+ 1)2
x+ ( x+ 1) = 0 per x [0, 1] ,
2 (x) = f (x, x+ 1) = x2 (x+ 1)2
x+ (x+ 1) = 2x per x [ 1, 0] ,
3 (x) = f (x, x 1) = x2 ( x 1)2
x+ ( x 1) = 4x 2 per x [ 1, 0] ,
4 (x) = f (x, x 1) = x2 (x 1)2 x+ (x 1) = 2x 2 per x [0, 1] .
Come si vede subito (ad occhio oppure derivando), tali funzioni non hanno punti di estremo all’interno dei lorointervalli di definizione (in particolare, 1 è costante, 2 e 3 sono strettamente decrescenti, 4 è strettamentecrescente) e quindi gli estremanti di f su A sono da ricercarsi tra i soli vertici P1, P2, P3, P4 (si noti che,cercando estremi assoluti, lo studio della monotonia di f sui lati di A è superfluo).
Per determinare gli estremi assoluti di f su A (che esistono), basta ora confrontare i valori assunti da f nei 4candidati P1, P2, P3, P4 rintracciati sulle componenti in cui A è stato suddiviso. Risulta
f (P1) = f (P2) = 0, f (P3) = 2, f (P4) = 2,
e dunque si conclude cheminAf = f (P4) = 2 e max
Af = f (P3) = 2.
Esercizio 2 L’insiemeC è la chiusura di un dominio di Green diR3 edF C1 (C) (essendoF è di classeC sul suo dominiodomF = (x, y, z) R3 : x > 1 ed essendo C domF), dunque il teorema della divergenza assicura che ilflusso uscente cercato è dato da
C,ne (F) = +C
divF (x, y, z) dxdydz =C
2xdxdydz
(essendo divF (x, y, z) = 2x+ 0 + 0).Per calcolare l’integrale triplo a secondo membro, osserviamo che C è z-semplice, in quanto può essere riscrittocome
C = (x, y, z) R3 : (x, y) D, y1
2z y +
1
2doveD è individuato dalle disequazioni imposte su (x, y) dalla definizione di C, ossia
x2 + y2 12
y 12 y + 1
2x 0
, cioèx2 + y2 1
2y 1
2x 0
.
Allora
C
2xdxdydz =D
y+ 12
y 12
2x dz dxdy =D
2xy+ 1
2
y 12
dz dxdy =D
2x (2y + 1) dxdy
dove l’insiemeD è rappresentato in figura:
D = (x, y) R2 : x2 + y2 12 , y
12 , x 0 .
Integrando per orizzontali, si ottiene
D
2x (2y + 1) dxdy =
12
12
1/2 y2
0
2x (2y + 1) dx dy =
12
12
(2y + 1) x2x= 1/2 y2
x=0dy
=
12
12
(2y + 1)1
2y2 dy =
12
12
1
2+ y y2 2y3 dy
=y
2+y2
2
y3
3
y4
2
y= 12
y= 12
=23
96+1
62.
Dunque
C,ne (F) =23
96+1
62.
Esercizio 3 Osserviamo subito che, essendo 25x2 + y2 = 0 se e solo se x = y = 0, il dominio del campo F è dato dall’apertoconnesso (non semplicemente)
= (x, y) R2 : 25x2 + y2 = 0 = R2 \ {(0, 0)} .a) La curva 25x2 + y2 = 1 lungo cui si deve calcolare il lavoro del campo è l’ellisse
:x2
125
+ y2 = 1
di semiassi a = 15 e b = 1. Si noti che F non è di classe C1 nell’interno di (non è nemmeno definito
nell’origine) e pertanto non è possibile applicare il teorema di Green (che richiederebbe F C1 ).
Usando coordinate ellittiche, una parametrizzazione (regolare e semplice) di è data da
:x = 1
5 cosy = sin
, [0, 2 ] ,
la quale risulta concorde con l’orientamento prescritto, in quanto il punto mobile ( ) gira su in sensoantiorario al crescere dell’angolo . Dunque si ottiene
F · dP = +2
0
F ( ( )) · ( ) d =2
0
F1
5cos , sin · 1
5sin , cos d
=2
0
35 sin
25 125 cos2 + sin2
,515 cos
25 125 cos2 + sin2
· 1
5sin , cos d
=2
0
(3 5 sin , cos ) · 1
5sin , cos d =
2
0
3
5sin + sin2 + cos2 d
=2
0
3
5sin + 1 d =
3
5
2
0
sin d +2
0
d = 2 .
b) Controlliamo se F2x
F1y = 0 per ogni (x, y) R2 \ {(0, 0)}, dove
F = (F1, F2) con F1 (x, y) = 35y
25x2 + y2ed F2 (x, y) =
5x
25x2 + y2.
Si haF2x=5 25x2 + y2 5x (50x)
(25x2 + y2)2=125x2 + 5y2 250x2
(25x2 + y2)2=5y2 125x2
(25x2 + y2)2
eF1y=
5 25x2 + y2 5y (2y)
(25x2 + y2)2=
125x2 + 5y2 10y2
(25x2 + y2)2=
125x2 5y2
(25x2 + y2)2=5y2 125x2
(25x2 + y2)2
e dunque
rotF =F2x
F1y= 0 per ogni (x, y) R2 \ {(0, 0)} ,
cioè il campo F è irrotazionale in R2 \ {(0, 0)}.c) Per il teorema di equivalenza, il campo F non è conservativo su = R2 \ {(0, 0)} (pur essendo ivi irro-tazionale), in quanto al punto a) si è trovato un arco regolare chiuso interamente contenuto in lungo il qualeF compie lavoro non nullo.
Altri risultati
Versione B
1 minAf = f (0, 1) = 2,max
Af = f (1, 0) = 2.
2 C,ne (F) =11
81+2
273.
3 a) L+ (F) = 2 .
b) rotF =4y2 64x2
(16x2 + y2)2
4y2 64x2
(16x2 + y2)2 = 0 per ogni (x, y) R2 \ {(0, 0)} .
c) F non è conservativo su R2 \ {(0, 0)}, per quanto ottenuto al punto a).
Versione C
1 minAf = f (0, 1) = 2,max
Af = f ( 1, 0) = 4.
2 C,ne (F) =45
256.
3 a) L+ (F) = 2 .
b) rotF =3y2 27x2
(9x2 + y2)23y2 27x2
(9x2 + y2)2= 0 per ogni (x, y) R2 \ {(0, 0)} .
c) F non è conservativo su R2 \ {(0, 0)}, per quanto ottenuto al punto a).
Versione D
1 minAf = f (0, 1) = 2,max
Af = f (1, 0) = 4.
2 C,ne (F) =143
2592+1
546.
3 a) L+ (F) = 2 .
b) rotF =2y2 8x2
(4x2 + y2)2
2y2 8x2
(4x2 + y2)2 = 0 per ogni (x, y) R2 \ {(0, 0)} .
c) F non è conservativo su R2 \ {(0, 0)}, per quanto ottenuto al punto a).
Top Related