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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Necessità di introduzione dei tensori
Vogliamo esprimere lo stato tensionale in un punto generico. Se consideriamo le componenti (t1, t2 e t3) del vettore sforzo t associate alle superfici normali ai versori degli assi coordinati lo sforzo complessivamente esercitato sul punto P si può esprimere mediante la terna di questi vettori.
A sua volta la generica componente (t1, t2 o t3) sarà descritta dalle tre componenti lungo gli assi del sistema di riferimento.
2
Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Necessità di introduzione dei tensori
11
1213
23
21
22
Analogamente possiamo immaginare di costruire intorno al punto P un parallelepido infinitesimo e di esprimere su ogni faccia lo sforzo come somma delle tre componenti dirette secondo gli assi del sistema di riferimento
3
Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Necessità di introduzione dei tensori
lo sforzo complessivo può essere dunque indicato con il seguente oggetto, chiamato tensore degli sforzi (o stress): .
333232131
323222121
313212111
3
2
1
eee
eee
eee
t
t
t
tre componenti del vettore sforzo
descritte da nove componenti del tensore degli
sforzi
≡
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
sforzo
• Il primo pedice indica la superficie attraverso la direzione normale alla stessa• Il secondo pedice la direzione lungo la quale lo sforzo è diretto
x
yz
zy
Gli sforzi in genere si indicano con oppure
solidi fluidi
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Rappresentazione dei tensori (matrice)
333231
232221
131211
AAA
AAA
AAA
A
Una modalità di rappresentazione di un tensore si ottiene ordinando le componenti in una tabella di tre righe e tre colonne
Un tensore viene indicato in genere con una lettera maiuscola
Nello spazio a 3D un tensore può essere rappresentato da un insieme ordinato di 9 scalari
le componenti del tensore
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Rappresentazione dei tensori (somma componenti)
Il tensore può essere rappresentato come somma di nove elementi (le componenti del tensore) ad ognuno dei quali viene associata una coppia di versori della terna di riferimento
322322221221311321121111 AAAAAA eeeeeeeeeeeeA
jiij333323321331 AAAA eeeeeeee notazione di Einstein
3
1i
3
1jjiijjiij AA eeee
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Diade
Si definisce diade un tensore le cui componenti sono costituite da coppie ordinate delle componenti di due vettori.Ad esempio se ho due vettori v e w
La diade rappresenta quindi una sottoclasse dei tensori
3
1i
3
1jjijijiji wvwv eeeevw
Il prodotto vw è indicato come prodotto diadico
jiee vengono indicati come unità diadica
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Calcolo tensoriale
Uno dei principali aspetti del calcolo tensoriale è lo sviluppo sistematico di notazioni formali che consentano di rendere compatta la descrizione di operazioni, trasformazioni, proprietà ... che coinvolgono i tensori
• somma di tensori• prodotto di uno scalare per un tensore• prodotto scalare di un vettore per un tensore• prodotto scalare di due tensori• doppio prodotto scalare di due tensori• prodotto vettoriale di un vettore per un tensore
Operazioni
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Operazioni tra tensori - Somma
CBA
La somma di due tensori è un tensore che ha come componenti la somma delle componenti dei due tensori addendi
tensore del secondo ordine
tensore del secondo ordine
tensore del secondo ordine
Il vettore si definisce tensore del primo ordine
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Somma tra tensori come matrici
BA
In forma di matrice si ha:
333231
232221
131211
333231
232221
131211
BBB
BBB
BBB
AAA
AAA
AAA
333332323131
232322222121
131312121111
BABABA
BABABA
BABABA
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Somma tra tensori (somma componenti)
jiijijjiijjiij BABA eeeeeeBA
Scrivendo i tensori come somma delle componenti si ha
i j
jiijij BA ee
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Operazioni tra tensori - Somma
Proprietà
CBACBA Associativa
ABBA Commutativa
Esiste l’elemento neutro A0A
Esiste l’elemento opposto
0A-A
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Operazioni tra tensori – Prodotto con scalare
Il prodotto di un tensore per uno scalare
è un tensore che ha come componenti il prodotto delle componenti del tensore per lo scalare
BA
tensorescalare tensore
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Operazioni tra tensori – Prodotto con scalare
jiijA eeA In forma di somma delle componenti
333231
232221
131211
AAA
AAA
AAA
AIn forma di matrice
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Prodotto scalare tensore vettore
Il prodotto scalare di un tensore per un vettore da come risultato un vettore
cbA
vettoretensore vettore
Operatore lineare che trasforma un vettore in un altro vettore attraverso un prodotto scalare
definizione di tensore
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Prodotto scalare tensore vettore
In forma di matrice prodotto scalare righe per colonne
333232131
323222121
313212111
3
2
1
333231
232221
131211
bAbAbA
bAbAbA
bAbAbA
b
b
b
AAA
AAA
AAA
bA
3
1
3
13
2
1
3
13
3
12
3
11
i jijijijij
jj
jj
jj
jjj
jjj
jjj
bAbA
bA
bA
bA
bA
bA
bA
ee
notazione di Einstein
come matrice come somma delle componenti
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Prodotto scalare tensore vettore
Esprimendo il tensore come somma di 9 componenti associate alle coppie di versori il prodotto scalare risulta
i j k
kjikijk
kki j
jiij bAbA eeeeeebA
Stesso risultato di prima
ijijjkikijkkjiij bAbAbA eeeeebA
ijiji
ij
jiji j k
ijkkij bAbAbA eee
Utilizzando la notazione di Einstein si ha:
1jk se i=j 0jk se i≠j delta di kronecker
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Prodotto scalare vettore tensore
In forma di matrice prodotto scalare righe per colonne
333232131
323222121
313212111
333231
232221
131211
321
AbAbAb
AbAbAb
AbAbAb
AAA
AAA
AAA
bbbAb
Non gode quindi della proprietà commutativa a differenza del prodotto scalare tra vettori
AbbA
333232131
323222121
313212111
bAbAbA
bAbAbA
bAbAbADiverso da quello ottenuto in
precedenza perbA
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Prodotto scalare tra due tensori
Il prodotto scalare tra due tensori è un tensore
CBA
tensoretensore tensore
Le componenti del tensore risultante si ottengono effettuando un prodotto righe per colonne
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Prodotto scalare tra due tensori
333231
232221
131211
333231
232221
131211
BBB
BBB
BBB
AAA
AAA
AAA
BA
.........
.........
......BABABA 311321121111
In forma di matrici:
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Prodotto scalare tra due tensori
In forma di somma di componenti:
l
k lkklj
i jiij BA eeeeBA
i j
lkjiklk l
ijBA eeee
i
jkj
liklk l
ijBA ee
lijliji l
lij
jlij BABA eeee
notazione Einstein
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Prodotto scalare tra due tensori
liklijlkkljiij BABA eeeeeeBA
a differenza del prodotto scalare tra vettori questo non gode della proprietà commutativa. Infatti
jkklijjiijlkkl BAAB eeeeeeAB diversi!
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Prodotto scalare tra due tensori
Avendo trovato che
i lli
jjlijBA eeBA
Significa che la componente il del tensore risultante (C) è
j
jlijBA
Ad esempio
3
13223
jjjBAC
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Doppio prodotto scalare
Si può definire il doppio prodotto scalare tra tensori che è uno scalare.
lkjiklijlkkljiij BABA eeeeeeeeBA ::
jiijlikjiklij BABA eeeee
BA :
tensore tensore scalare
Simbolo del doppio prodotto scalare
Si utilizza ad esempio nell’equazione di bilancio dell’energia meccanica per il calcolo del termine che esprime la conversione irreversibile dell’energia cinetica in energia interna o termica (dissipazione viscosa)
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Prodotto vettoriale tensore vettore
Il prodotto vettoriale di un tensore per un vettore da come risultato un tensore
i l j kkijjklli vAeevA
La componente il del tensore risultante è quindi
j k
kijjklil vAB
indice di permutazione
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Schema di sintesi delle operazioni con i tensori
Si può formulare una semplice regola per memorizzare le operazioni:Si prende il prodotto scalare o vettoriale dei due versori più vicini al simbolo dell’operazione (quelli sui due lati del simbolo) e si mette tra parentesi. Gli altri versori vanno a moltiplicare
kji eee
kji eee jkie
Esempio:
Introducendo il delta di Kronecker
kkjiij bA eeebA
1jk se i=j 0jk se i≠j
kjikij eeebAbA
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Schema di sintesi delle operazioni con i tensori
Nel caso del doppio prodotto scalare l’operazione si ripete 2 volte prima con quelli vicini poi con quelli lontani
lkji : eeee
likj eeee
iljkIntroducendo il delta di Kronecker
lkji : eeee
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Schema di sintesi delle operazioni con i tensori
lkji eeee
lkji eeee Introducendo il delta di Kronecker
jkli ee
Prodotto scalare tra 2 tensori
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Schema di sintesi delle operazioni con i tensoriUtilizzando le unità diadiche è possibile costruire il seguente schema utile per memorizzare le operazioni con i tensori
iljklikjlkji : eeeeeeee
jkikjikji eeeeeee
ijkkjikji eeeeeee
jklilkjilkji eeeeeeeeee
liijkkjikji eeeeeeee
Doppio prodotto scalare T T
Prodotto scalare T v
Prodotto scalare T T
Prodotto vettoriale T v
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Tensore nullo
Esiste il tensore nullo (0) che ha le seguenti proprietà
A0A 00
000
000
000
0
Il tensore nullo ha tutte le componenti nulle
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Tensore unità
Il tensore unità (I) restituisce inalterato il vettore o tensore su cui opera scalarmente
aaI AAI In termini di componenti il tensore unità è esprimibile come
332211ii eeeeI
Come matrice
100
010
001
I
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Tensore unità
Infatti se facciamo il prodotto scalare
aI
3
2
1
3
2
1
3
2
1
a
a
a
a00
0a0
00a
a
a
a
100
010
001
aI
quindi
aaI
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Tensore isotropo
Si definisce tensore isotropo I
un tensore ottenuto dal prodotto del tensore unità per uno scalare ()
00
00
00
I
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Tensore isotropo
Il prodotto scalare di un tensore isotropo per un vettore (b) trasforma il vettore (b) in un altro vettore (c) avente:
• stessa direzione di b• verso uguale (>0) opposto (<0) a b• modulo pari al prodotto del modulo del vettore b per lo scalare
cbI
3
2
1
3
2
1
b
b
b
b
b
b
00
00
00
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Tensore trasposto
Dato un tensore A si definisce
tensore trasposto di ATA
tale cheTAbbA
risulta jiijA eeA jijiA eeA T
333231
232221
131211
AAA
AAA
AAA
A
332313
322212
312111
AAA
AAA
AAATA
36
Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Tensore trasposto
Verifichiamo cheTAbbA
333232131
323222121
313212111
3
2
1
333231
232221
131211
bAbAbA
bAbAbA
bAbAbA
b
b
b
AAA
AAA
AAA
bA
333232131
323222121
313212111
332313
322212
312111
321
bAbAbA
bAbAbA
bAbAbA
AAA
AAA
AAA
bbbTAb
Facciamo il prodotto scalare usando la notazione matriciale (il prodotto è righe per colonne)
Vettore riga si potrebbe definire come vettore trasposto del vettore colonna
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Tensore simmetrico e antisimmetrico
Si definisce simmetrico un tensore uguale al suo trasporto
TAA
jiij AA Deve essere
Per un tensore simmetrico AbbA
332313
232212
131211
AAA
AAA
AAA
ATensore simmetrico
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Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Tensore simmetrico e antisimmetrico
Si definisce antisimmetrico un tensore per cui
jiij AA
0Aii
0AA
A0A
AA0
2313
2312
1312
A
40
Simulazione Numerica dei Fenomeni di Trasporto
Parte simmetrica e antisimmetrica di un tensore
Ogni tensore può essere scomposto in una parte simmetrica ed una antisimmetrica
TT AAAAA 2
1
2
1
parte simmetrica parte antisimmetrica
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