Modellare1
Daniele Marini
Sintesi e analisi
Dalla forma geometrica all’immagine
dall’immagine alla forma geometrica
Problema direttoe
problema inverso
Quale schema di rappresentazione
• per il rendering di forme statiche?• per il rendering di forme animate o dinamiche?• oggetti rigidi o flessibili o malleabili?• forme per la codifica?• Quali tipi di forma: semplici e geometriche o complesse come una testa?
NON ESISTE LO SCHEMA UNICO UNIVERSALE
Modello
Descrive il metodo o lo schema di rappresentazioneutilizzato nella sintesi di immagini. I principali:
• mesh o griglia poligonale• poliedri• patch parametriche (bicubiche ..)• CSG (geometria solida costruttiva)• suddivisione spaziale (voxel)• implicite: x2 + y2 + z2 = r2
Oggetto di studio del CAD
Elementi base
Quadrilatero (o triangolo)
Patch parametrica
CSG
voxel quadrica
Poliedri
Vertici, spigoli, facce, oggetti
Semplice, a volte costoso, problemi di precisione eaccuratezza, dipende dalla curvatura, può essereautomatizzato (tastatori 3d, luce strutturata, o con algoritmi - es. sweep -trascinamento)
Con sistemi automatici si generano molti triangoli: problema della decimazione dei triangoli
Importanza della struttura dati:struttura di un disegno piano
Struttura di una scena
Procedimenti costruttivi:estrusione e rotazione
Rotazione
Funzioni di Bernstein blending functions
€
Cx (t0) = P0xB0(t0) + P1xB1(t0) + P2xB2(t0) + P3xB3(t0)
Costruire una curva di Bezier
Vincoli di continuita’ agli estremi del poligono
Superfici parametriche:Bezier
Patch bicubiche parametriche
P(u,v) = i j Ci,j Bi(u)Bj(v)
Ci,j sono 16 punti di controllo
u, v sono parametri reali in (0,1)
P è un polinomio bi cubico
Valutare la superficie parametrica
• Valutazione diretta• Algoritmi progressivi: De Casteljou -
interpolazione lineare progressiva, es: parabola
€
b01(t) = (1− t)bo + tb1
b11(t) = (1− t)b1 + tb2
b02(t) = (1− t)b0
1(t) + tb11(t) = (1− t)2bo + 2t(1− t)b1 + t 2b2
b0
b1
b2
b01
b11
b02
NURBS• Non Uniform Rational B Splines: si considerano i
pesi wi
• se i pesi sono tutti =1 si hanno le curve di Bezier
€
P( t) = CiBi(t)i =0
3
∑
€
P( t) =w0C0B0(t)+ w1C1B1( t)+ w2C2B2(t)+ w3C3B3( t)
w0B0(t)+ w1B1( t)+ w2B2(t)+ w3B3( t)=
wiCiBi(t)i =0
3
∑
wiBi(t)i =0
3
∑
Curve parametriche per interpolazione
• Spline cubiche
• Funzioni di Hermite:
€
P( t) = C0 C1 C2 C3[ ]
1 −3 3 −1
0 3 −6 3
0 0 3 −3
0 0 0 1
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
t0 = 1
t1
t2
t3
⎡
⎣
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
Mesh con curve parametriche
Lofting
• Data una curva parametrica bicubica, con c0, c1, c2, c3 punti di controllo:
P(u) = c0 u3 + c1 u2 + c2 u + c3
• Essa rappresenti la sezione trasversale di una forma da trascinare per costruire un poliedro, generando altre sezioni trasversali a intervalli determinati. • Lungo la sezione vanno individuati i vertici che verranno collegati da un profilo all’altro per creare un poliedro.• E’ necessario definire un sistema di riferimento chiamato “frame” per definire l’orientamento di ogni faccia del poliedro.
Costruzione per trascinamento lungo curve parametriche
Occorre anche definire come suddividere in intervallila sezione: • la divisione di u in intervalli uguali può produrrequadrangoli non uniformi, • si sceglie la parametrizzazione rispetto alla lunghezza degli archi: se la curvatura è elevatasi avranno più poliedri rispetto a tratti con curvatura bassa.
Per definire il “frame” - frame di Frenet:
l’origine è un punto campione P , si definiscono 3 vettoriT, N, B con T vettore unitario tangente alla curva in P:
T = V / |V| e V =3au2+ 2bu + c derivata della curva
N = K/ |K| dove K = V x A x V/ |V| e A derivata secondadella curva (A = 6au + 2b)
B = T x N
Oggetti complessi composti da molte patch si creanocon tecniche di interpolazione di punti campione,imponendo continuità tra le varie “patch”.
La continuità imitata al primo ordine garantiscel’assenza di “buchi”, ma dà luogo a superfici con“spigoli” indesiderati. Si impongono continuitàdella derivata prima e secondo.
Decimazione dei triangoli
• Perche’ triangoli
• Come decimare? – Ridurre i triangoli in
regioni “piatte”– Preservare l’aspetto
• Stimare la curvatura:
€
Δf
Δu,Δf
Δv
Metodo di Schroeder• Determinare gli spigoli “rilevanti per
l’aspetto”: vanno tenuti• Classificare i vertici:
1. Punti interni generici2. Punti comuni a triangoli con T connessione3. Punti del contorno4. Punti di uno spigolo rilevante per l’aspetto5. Punti comunia 3 o piu’ spigoli rilevanti per
l’aspetto (punti vertice)
Punti interni genericiSi possono eliminare se il gradiente e’ inferiore a una soglia
Punti comuni a triangoli con T connessioneNon si possono eliminare
Punti del contornoSi possono eliminare se la distanza dalla retta congiungente I vertici
adiacenti e’ inferiore a una sogliaPunti di uno spigolo rilevante per l’aspetto
Si possono eliminare se la distanza dalla retta congiungente I vertici adiacenti e’ inferiore a una soglia
Punti comunia 3 o piu’ spigoli rilevanti per l’aspetto (punti vertice)
Non si possono eliminare
Triangolazione
• Triangolazione di Delaunay e diagrammi di Voronoi
Partizione del piano in
celle t.c. tutti i punti di
una cella sono piu’
vicini al vertice
generatore della cella
di ogni altro punto
Algoritmo di Sibson
• Data una coppia di tirangoli adiacenti, si esamina e si scambiano se un vertice e’ interno al cerchio circoscritto:
Un esempio
Solidi primitivi
CSG
Albero CSG
Esempio CSG
La modellazione solida richiede specificheinformazioni per individuare sottospazi e per determinare se un punto appartiene a un semispazio.
In ogni caso si tratta di definire semispazi e applicareoperazioni insiemistiche per aggregare semispazi.
Un semispazio algebrico è definito come:
( ){ }H x y z p x y z= ≤, , | ( , , ) 0
e p(x,y,z) è un polinomio reale con coefficienti reali
Schemi di rappresentazione per la modellazione solida:
• CSG• Boundary representation (Brep)• suddivisione spaziale• superfici mediali
ciascuno schema deve permettere di risolvere il problemadell’appartenenza di un punto al semispazio individuatodal solido
Con lo schema CSG si possono ottenere forme assaicomplesse applicando tecniche di “sweep”
Nello schema Brep un solido è rappresentato da unasuperficie delimitata da facce spigoli e vertici. Glielementi di una rappresentazione Brep possonointersecarsi solo lungo spigoli o vertici descrittinella struttura. Operatori booleani possono essereapplicati anche a uno schema Brep.
Gli schemi Brep si dividono in due grandi classi:
manifold Brepnon manifold Brep
manifold (varietà lineari) ammettono spigoli comunia due sole facce e vertici comuni a più spigoli raccolti in un conoide
non manifold ammettono un numero pari qualsiasidi facce comuni a uno spigolo, si distingue internoed esterno
Formula di Eulerosenza buchi
V - E + F = 2
• V = vertici
• E = lati
• F = facce
Schemi a suddivisione spaziale sono:
• mesh - conformi al contorno• BSP tree - non conformi al contorno
Mesh possono essere organizzate in tetraedri,esaedri o altri poliedri - usate nel calcolo adelementi finiti.
Binary Space Partition Trees sono suddivisioniricorsive dello spazio 3D in regioni disgiunte,la radice denota un piano separatore - un esempioè octree
Si possono anche usare griglie rettilinee deformabiliche si conformano al contorno, altrimenti il contornoè approssimato
Rappresentazione a superfici mediali: generalizzanoassi mediali per descrizione di superfici, sono pocoutilizzate:
Formalmente è definito come la chiusura del luogo dei centri di dischi inscritti nel dominio o del luogo dei centri delle sfere massimali inscritte nel dominio. Variando il raggio delle sfere si ottengono dilatazioni dei solidi.
La conversione tra schemi di rappresentazione non è semplice:da CSG a Brep è ben compresa e facile;da Brep a CSG ci sono punti oscuri in particolare perconformare la rappresentazione al contorno;nel caso dei poliedri la conversione Brep -> CSG è analoga alla conversione Brep -> BSP tree.
Ogni sistema di modellazione deve risolvere i problemi:
• intersezione tra superfici• offset di una superficie (luogo di punti a distanza costante da una superficie• blending - superficie smooth tra due superfici• deformazioni locali o globali
Approcci emergenti sono:
Feature based designConstraint based design
Feature based consiste nel definire elementi di forma aventiun significato specifico (slitte, fori, tasche, …)
Modellazione a vincoli significa imporre vincoli numericio geometrici (anche fisici o strutturali) a un modello.La valutazione dei vincoli è assai complessa: il problemapuò essere sovradeterminato (troppi vincoli), sottodeterminato(troppo pochi); in generale si esprimono con sistemi di equazioni.
Suddivisione spaziale
Voxel
Meta balls o soft balls
• simulare forme naturali, soffici, prive di bordi
• rappresentare forme costruite con la creta
• meta balls: simili a gocce d’acqua, quando si avvicinano si uniscono; si possono descrivere con funzioni di potenziale
Ad esempio si immagini di avvolgere con un
drappo una scena fatta di forme geometriche
Esempi di fusione
Modellazione con soft balls
una sfera
soffice cui è
stato sottratto
un cubo
soffice
Primitive soft
• Derivano da superfici equipotenziali, ovvero campi scalari descritti da una funzione f(x,y) dipendente da una distanza d.
• La funzione f(x,y) è implicita!– es: circonferenza:
• forma esplicita parametrica: x(t)=r*cos(t); y(t)=r*sin(t)
• forma implicita: f(x,y)=r*r=x*x+y*y=x2+y2
• risolvere per funzioni implicite è complesso
Primitive soft (cont)
• La forma implicita identifica un lugo di punti, a noi interessa trovare tutti i punti che soddisfano l’equazione, dobbiamo valutarla per prove ed errori
Primitive soft (cont)
• Se abbiamo due o più equazioni implicite possima sommarle, dovremo valutare il campo risultante: in ogni punto dello spazio il campo è il risultato del contributo dei due (o più) campi descritti da ogni singola funzione
Primitive soft (cont) dobbiamo avere:
• una funzione generatrice di un campo, in ogni punto P il campo è funzione della distanza d(P) da un punto dato (es. campo termico, campo di intensità di illuminazione, ...) • una funzione che descrive il “potenziale del campo” f(d(P)). Dà il valore del campo in ogni punto (funzione di un vettore ad argomenti scalari, es: f(P) = (1-d2/R2)2 con d<= R (distanza)• se abbiamo più generatori del campo dobbiamo miscelarne il contributo per valutare il campo di potenziale totale• il campo risultante si rappresenta visualizzando superfici equipotenziali, o iso superfici. Si usa molto marching cubes
La modellazione con funzioni implicite e isosuperfici si presta alla animazione di forme e alla soluzione efficiente della ricerca di collisioni
Esempi di MetaBalls
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