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Svuotamento a potenziale di un serbatoio

◼ Risoluzione del problema col metodo variazionale

(*Svuotamento 2D di un serbatoio parallelepipedo in

termini di funzione di corrente ψ   e di funzione potenziale φ,

col metodo di minimizzazione del funzionale*)

Off[General::"spell"]

Off[General::"spell1"]

(*   Numero modi   *)

 Nmod  =  40;

(*intensità della vorticità*)ω0  =  0.;

(*Portata*)

q  =  1;

(*Dimensioni serbatoio*)

L  =  1;

h  =  1;

(*Posizione sbocco*)

a  =  .4;

 b  =  .6;

(* Velocità inbocco e sbocco*)

v1  =  q  / L;

v3  =  q  / ( b - a);

(* Valori al contorno della ψ *)

gb[x_] =0 0 ≤  x ≤  a

v3 (x - a)   a  <  x ≤  b

v1 L True

;

ga[x_]  :=  v1 x;

ϵ  =  10-20;

(*Funzione prolungata in tutto il dominio*)

Ψ0[x_, y_]  :=

(h - y)

h gb[x] +

y

h ga[x];

(*Campo di vorticità qualitativo*)

ωx[x_] = -ⅇ-(x/Θ) + ⅇ-((L-x)/Θ);

ωy[y_] = ⅇ-6 y/h;

ω[x_, y_] = ωx[x] ωy[y];

vort[r_, s_] =  0

Lωx[x] Sin r π  xL

ⅆx  0

hωy[y] Sin s π  yh

ⅆy ;

Θ  =  .1;

(*Coefficienti per lo sviluppo di ψ *)

c[r_, s_] =   vort[r, s] ω0 -h v3

π  s Sin r π  bL

- Sin r π  aL

   π 24

h r2

L+

L s2

h;

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(* Approssimante per ψ *)

ψ [x_, y_] = Ψ0[x, y] + i=1

 Nmod  j=1

 Nmod 

c[i, j] Sin i π  xL

 Sin j π  yh

;

 bco3[r_]  :=  Ifr ⩵  0, b - a,L

r

 π   Sin r π  b

L - Sin r π  a

L ;

 bco1[r_, s_]  :=  If[r ⩵  0, L Cos[s π ], 0];

zer[r_, s_]  :=  If[r ⩵  0 s ⩵  0, 0, 1]

var[s_]  :=  If[s ⩵  0, 1, 2];

(*Coefficienti per lo sviluppo di φ*)

d [r_, s_] =  zer[r, s]v3 bco3[r] - v1 bco1[r, s]

π 2   h r2

2 var[s] L+

  L s2

2 var[r] h + ϵ

  ;

φ[x_, y_] = i=0

 Nmod  j=0

 Nmod 

d [i, j] Cos i π  xL

 Cos j π  yh

;

◼ Grafici output

◻ Grafico della ψ  sulla superficie libera e sullo sbocco

(*Grafico della ψ   sulla superficie libera e sullo sbocco*)

Plot[{ga[xx], gb[xx]},  {xx, 0, 1}]

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

◻ ContourPlot di ψ ,  φ  :rete del moto

nct  =  50;

ContourPlot[Ψ0[x, y],  {x, 0, L},

{y, 0, h}, Contours →  nct, ContourShading →  False]

grψ  =  ContourPlot[ψ [x, y],  {x, 0, L},  {y, 0, h},

Contours →  nct, ContourShading →  False];

grφ  =  ContourPlot[φ[x, y],  {x, 0, L},  {y, 0, h},

Contours →  nct, ContourShading →  False];

{grψ , grφ, Show[grψ , grφ]}

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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

,

1.0

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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

,

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

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◻ Plot3D dell'approssimazione zero e della funzione di corrente

Plot3D[Ψ0[x, y],  {x, 0, L},  {y, 0, h}]

Plot3D[ψ [x, y],  {x, 0, L},  {y, 0, h}]

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◻ Andamento dell’approssimazione zero e della funzione di corrente a metà serbatoio

PlotΨ0xx, h  2,  {xx, 0, L}Plotψxx, h  2,  {xx, 0, L}, Exclusions →  None

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

◻ Campo di vorticità (se assegnato)

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