Corso diProgetto di Strutture
POTENZA, a.a. 2012 – 2013
Dott. Marco VONADiSGG, Università di Basilicata
[email protected] http://www.unibas.it/utenti/vona/
Soluzioni per il problema
delle piastre
LA PIASTRA INDEFINITA APPOGGIATA SU DUE LATI
x
yUna piastra si consideraindefinitamente appoggiata se hauna dimensione longitudinaley ,nella direzione parallela agli appoggi,tanto maggiore della direzionetrasversale x da poter essereconsideratadi lunghezzaindefinita
L
x
Soggetta ad un carico esternoortogonale al piano della piastra èevidente che la deformata saràcontenuta soltanto nel piano (x, z)ovvero sarà una deformazione ditipo cilindrico ed indipendente day
consideratadi lunghezzaindefinita
LA PIASTRA INDEFINITA APPOGGIATA SU DUE LATI
Possiamo considerare l’analogia conla una trave appoggiata
In tal caso la deformata dipendesoltanto dalla coordinatalongitudinalex (come per le travi)L
x
p0
( )33400 2
24xLLxx
EJ
pw +−=
12
3hJ =
Per una trave appoggiata agli estremi, di altezzah e larghezzaunitaria, e soggetta ad un carico uniformemente ripartitop0 ladeformata è data da:
LA PIASTRA INDEFINITA APPOGGIATA SU DUE LATI
Analogia Trave – Piastra
La deformata cilindricacorrispondeal caricop0 uniforme con:
• Mx Pari al momento di una trave appoggiata e caricata conp0
• My Pari aνMx
• La deformazione è uguale a quella della trave appoggiatamoltiplicata per (1 – ν )2
Tali risultati si spieganoconsiderando ilcomportamento di unastriscia isolata, dilarghezza unitaria, di unapiastra generica
y
L = 1
1+εy
1-εyσσσσx
( )20 1 ν−= ww
LA PIASTRA INDEFINITA APPOGGIATA SU DUE LATI
La deformazione trasversale dovuta all’effetto Poisson ha valore:
Nella piastra indefinita, invece, la deformazione trasversale è nulla
Ex
xy
σνενε −=⋅−=
0=ε ( ) 01 =−= νσσε L = 1
0=yε ( ) 01 =−= xxy E
νσσε
Le tensioni e sollecitazioni valgono quindi
xy σνσ ⋅=xy MM ⋅=ν
Infine la deformazione vale:
( ) xyxx EEσννσσε
211 −=−=
y
LA PIASTRA INDEFINITA APPOGGIATA SU DUE LATI
x
yPer l’analogia con la trave risultaevidente che considerando delle singolestrisce di larghezza unitaria ciascuna diqueste potrà essere trattata come latrave appena descritta. La deformatacilindrica (funzione solo dix) vale:
L
x
( )3340 224
)( xLLxxD
pxw +−=
Si ricava inoltre:
( )LxxD
p
x
w −=∂∂ 20
2
2
20
2
2
2
=∂∂
∂=∂∂
xy
w
y
w
LA PIASTRA INDEFINITA APPOGGIATA SU DUE LATI
−=20
LxpQx
0=yQ
Le sollecitazioni taglianti valgono:
0pp =x
y
( )Lxxp
Mx 22
20 −=
xy MM ⋅=ν
0=xyM
I momenti flettenti
L
x
Da quanto finora visto risulta evidente che la risoluzione delproblema delle piastre consiste nella determinazione della
deformataw nota la quale è possibile tramite leequazioni diequilibrio e di collegamentodeterminare tutte le caratteristichedella sollecitazione
METODI DI RISOLUZIONE DELLE PIASTRE
Equazionidi equilibrioNoti abbassamentiw Equazionidi equilibrioe collegamento
Noti abbassamentiw
Sollecitazioni
La risoluzione del problema in coordinate rettangolari equivalealla risoluzione dell’equazione di Lagrangeportando in conto lecondizioni al contorno
I metodi di risoluzione del problema delle piastre sono moltissimia seconda dei vari casi particolari a cui ci si riferisce
Tra i più comuni e che di seguito sono trattati ricordiamo
METODI DI RISOLUZIONE DELLE PIASTRE: ESEMPI
Metodo di risoluzione di NAVIER per la piastrarettangolare appoggiatarettangolare appoggiata
Metodo di risoluzione alleDIFFERENZE FINITE
Metodo di risoluzione agliELEMENTI FINITE
La soluzione di Navier per la piastra di forma rettangolareappoggiata sul contorno deriva dalla teoria di Kirchhoff
LA SOLUZIONE DI NAVIER
È necessario innanzi tutto ricordare losviluppo in serie di Fourier dei seni
( ) ∑∞
=
⋅=1
sinn
n a
xnaxf
πax ≤≤0
Data una generica funzionef(x) della variabilex definita in unintervallo 0 – asi definisce sviluppo di Fourier in serie di senidella funzione f(x) in un intervallo 0 – a convergente in ognipunto dell’intervallo ad f(x) la seguente espressione:
LA SOLUZIONE DI NAVIER
Sviluppo in serie di Fourier dei seni
I coefficienti a1 , a2 , …., an si chiamano coefficienti di Fourierdella funzionef(x) nell’intervallo0 – a
Per determinare i coefficienti di Fourier di un data funzione siprocede nel seguente modo
( ) ∑∞
=
⋅=1
sinsinsinn
n a
xr
a
xna
a
xrxf
πππMoltiplicando entrambi i membri per ( )axrπsin
Essendor un qualsiasi intero positivo
Integrando in x tra 0 ed a
LA SOLUZIONE DI NAVIER
( ) ∑ ∫∫∞
=
⋅=1 00
sinsinsinn
a
n
a
dxa
xr
a
xnadx
a
xrxf
πππ
Com’è noto per un sistema di funzioni ORTOGONALI si ha:
=∫a
dxa
xr
a
xn
0
sinsinππ
nra
nr
=⇒
≠⇒
2
0
( )2
sin0
aadx
a
xrxf r
a
=∫π ( ) dx
a
xnxf
aa
a
n ∫=0
sin2 π
Per cui la sommatoria si riduce al solo terminen = r
Consideriamo la somma parziale:
LA SOLUZIONE DI NAVIER
∑=
⋅=q
nnq a
xraS
1
sinπ
Ovvero la serie di Fourier interrotta al suo termineq-esimo
Si può dimostrare cheSq approssima la media dif(x)nell’intervallo 0 – a . L’approssimazione migliora con l’aumentodel numero di termini (q) considerati
In sostanza per
L’errore tende ad annullarsi
∞→q
Sotto ipotesi generalmente verificate lo sviluppo in serie di seniconverge allaf(x) in ogni punto eccettuati eventualmente gliestremi
Per una funzione simmetrica sono nulli tutti i termini di Fourier diordine PARI mentre per una funzione antisimmetrica sono nulli iterminidi ordineDISPARI
LA SOLUZIONE DI NAVIER
terminidi ordineDISPARI
Sviluppo in doppia serie di seni per una funzione didue variabili
( ) ∑∑∞
=
∞
=
⋅=1 1
sinsin,m n
mn b
yn
a
xmayxf
ππ
( )∫ ∫=
=
=
=
=ax
x
by
y
mn dxdyb
yn
a
xmyxf
aba
0 0
sinsin,4 ππ
LA SOLUZIONE DI NAVIER
ya
b
Considerando una piastra rettangolare
xPer quanto visto in relazione allo sviluppo in serie di Fourier sipuò affermare che lo sviluppo in doppia serie di seni si annulla sulcontorno insieme con le sue derivate seconde, ovvero:
2
2
2
2;
yx ∂∂
∂∂
LA SOLUZIONE DI NAVIER
Consideriamo una piastra rettangolare appoggiata caricatasinusoidalmente. Supponiamo che sia sinusoidale anche ladeformata ovvero che risponda ad una legge del tipo:
b
yn
a
xmaw mn
ππsinsin=
Applicandoquantovisto in precedenzasullo sviluppoin seriedi
Sul contorno lecondizioni sono:
0=w 0;02
2
2
2
=∂∂=
∂∂
y
w
x
w
Applicando l’operatore di Laplace alla legge della deformata
wb
n
a
m
b
yn
a
xma
b
n
a
mw mn
+−=
+−=
2
2
2
22
2
2
2
22 sinsin ππππ
Applicandoquantovisto in precedenzasullo sviluppoin seriediFourier si ha:
LA SOLUZIONE DI NAVIER
b
yn
a
xma
b
n
a
mw mn
πππ sinsin2
2
2
2
242
+=∆
Quindi:
Sostituendo nell’equazione di Lagrange e risolvendo rispetto alcaricoesternosi ha:
b
yn
a
xmbb mnz
ππsinsin=
D
bw z=∆2 2
2
2
2
24
+
=
b
n
a
mD
ba mn
mn
π
caricoesternosi ha:
Inversamente dato un carico esterno si può determinare ladeformataw e risulta
LA SOLUZIONE DI NAVIER
( ) ∑∑∞ ∞
⋅= sinsin, mnz b
yn
a
xmbyxb
ππ
Consideriamo una piastra rettangolare appoggiata comunquecaricata
Basta sviluppare il carico esterno in serie di seni (Fourier)ponendo:
Noti quindi i coefficientibmn si può determinare la deformata
( ) ∑∑= =
⋅=1 1
sinsin,m n
mnz babyxb
( ) ∑∑∞
=
∞
=
⋅=1 1
sinsin,m n
mn b
yn
a
xmayxw
ππ
Il carico e quindi la deformata vengono decomposti in ondesinusoidali
LA SOLUZIONE DI NAVIER
Questo procedimento che consiste nel decomporre il carico e ladeformata in onde sinusoidali prende il nome di
Soluzione di NAVIER
È importante ricordare che l’utilizzo di tale procedimento discomposizione i serie di seni per la risoluzione del problema dellapiastradipendonodal verificarsidelleseguenticondizioni:piastradipendonodal verificarsidelleseguenticondizioni:
• La funzione incognita sia finita in tutto il suo campo didefinizione
• Si annulli insieme alle sue derivate sul contorno deldominio rettangolare
• Nell’equazione compaiano solo derivata di ordine paririspetto alla variabili
LA SOLUZIONE DI NAVIER
Applicazione e gradi di approssimazione del metodo diSoluzione di NAVIER
Nelle applicazioni pratiche non è possibile considerare gli infintitermini delle doppie serie relative ai carichi e alla deformata
Si pone quindi:
( ) ∑∑= =
⋅=q
m
q
nmnz b
yn
a
xmbyxb
1 1
sinsin,ππ
( ) ∑∑= =
⋅=q
m
q
nmn b
yn
a
xmayxw
1 1
sinsin,ππ
Si prendono in considerazione soltanto i primiq2 termini della serie
LA SOLUZIONE DI NAVIER
ESEMPIO: Piastra rettangolare caricata uniformemente
Dall’espressione: ( )∫ ∫=
=
=
=
=ax
x
by
y
mn dxdyb
yn
a
xmyxf
aba
0 0
sinsin,4 ππ
Si ottiene:zmn b
mnb
16= Pern edm disparimn
2
2
2
2
;y
w
x
w
∂∂
∂∂
Si possono quindi ricavare i coefficienti di Fourier per
( ) 2max 100410.0 abM z ⋅⋅+⋅= ν
Considerando solo il I termine si ottiene :
D
abw z
4
max 00416.0 ⋅⋅=
LA SOLUZIONE DI NAVIER
ESEMPIO: Piastra rettangolare caricata uniformemente
( ) 2max 100368.0 abM z ⋅⋅+⋅= ν
I valori esatti sono invece:
D
abw z
4
max 00406.0 ⋅⋅=
L’errore percentualechesi compiesulla deformataè pari a 2.5%.L’errore percentualechesi compiesulla deformataè pari a 2.5%.La convergenza è praticamente immediata
Per il momentoM l’errore è pari a circa il 10%.La convergenzaè più lenta
Per ottenere più rapidità di convergenza ci sono ulterioriprocedimenti variabili in funzione degli specifici casi a cui ci siriferisce
METODO SEMPLIFICATO DI GRASHOF
Il metodo semplificato di Grashof per la soluzione delproblema della piastra rettangolare appoggiata sul contorno
y
bz
x
Si immagina che la piastra sia costituita da strisce affiancate nelledue direzionix e y. Le strisce nella direzione x portano la quotaparte del carico esterno bz,x quelle in direzione y la quota parte delcarico esterno bz,y con:
yzxzz bbb ,, +=
METODO SEMPLIFICATO DI GRASHOF
La congruenza è imposta in corrispondenza del centro dellapiastra. Si intuisce che le due strisce centrali, nelle direzioniortogonali x e y, hanno lo stesso abbassamento
4lp
Poiché gli abbassamenti sono proporzionali al carico ed alledimensioni della piastra secondo l’espressione:
4xxlp4yylp
Per la striscia parallela ax
Per la striscia parallela ay
Deve risultare:44yyxx lplp =
Da cui:44
4
yx
yx ll
lpp
+= 44
4
yx
xy ll
lpp
+=
METODO SEMPLIFICATO DI GRASHOF
I corrispondenti momenti valgono
44
2222
8
1
8
1
yx
yxyxxx ll
llpllpM
+==
44
2222
8
1
8
1
yx
yxxyyy ll
llpllpM
+==
È da notare che nella direzione del lato minore si ottiene laÈ da notare che nella direzione del lato minore si ottiene lasollecitazione maggiore:
2
2
x
y
y
x
l
l
M
M =
Come d’altronde si può intuire considerando che, a parità diabbassamento in mezzeria, la striscia più corta deve avere unacurvatura maggiore quindi un momento maggiore
METODO SEMPLIFICATO DI GRASHOF
Ne consegue che per piastre di forma allungata la collaborazionetra le strisce di lunghezza maggiore diventa irrilevante
y
bz
2
2
y
x
x
y
M
M
l
l
x
0625.04
111.03
25.02
11yx Ml
METODO SEMPLIFICATO DI GRASHOF
Nella realtà al funzionamento a graticcio considerato dal metododi Grashof si sovrappone l’interazione torsionale tra strisceparallele
SP1P
Q1Q ϕϕϕϕS
Consideriamo due strisce adiacenti individuate rispettivamente daipunti PSP1 e QTQ1. Le rotazioni delle strisce in S (ϕS) ed in T (ϕT)considerate indipendenti sono diverse il che implica che le strisceortogonali sono soggette a torsione.
T
ϕϕϕϕT
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