UNIVERSITΓ DEGLI STUDI DI CAGLIARI
FacoltΓ di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
Corso di Laurea Triennale in Matematica
Tesi di laurea
LA FUNZIONE DELTA E
ALCUNE APPLICAZIONI
Relatore Candidato
Prof. Lucio Cadeddu Cristina Cambedda
A.A. 2010/2011
La funzione πΏ(π‘) fu introdotta dal
fisico Paul Dirac nella sua opera
Β«Principi di meccanica quantisticaΒ», del
1930.
La teoria fu sviluppata a partire da
Sobolev nel 1936, e successivamente da
Schwartz.
Definizione
πΏ π₯ = +β πππ π₯ = 0 0 πππ π₯ β 0
Ed Γ¨ tale che:
πΏ π₯ ππ₯ = 1+β
ββ
Il suo grafico Γ¨:
y
x
Si puΓ² definire anche come limite di
una successione di funzioni.
Ad esempio:
πΏπ(π₯) =
0 πππ ββ < π₯ < β1
2π
π πππ β1
2π< π₯ <
1
2π
0 πππ 1
2π< π₯ < +β
Il grafico di queste funzioni Γ¨:
π
ππ β
π
ππ
N
x
y
Al crescere di N
y
x
PerciΓ²
limπβ+β
πΏπ π₯ = πΏ π₯
Per descrivere la delta possono essere
utilizzate anche altre funzioni che
assumono valori vicino a π₯ = 0.
In generale Γ¨ sufficiente che:
β’ πΏπ π₯ β₯ 0 πππ β π₯ β β;
E per qualunque coppia di interi positivi a e b:
β’ limπβ+β
πΏπ π₯ ππ₯ = 0;π
π
β’ limπβ+β
πΏπ π₯ ππ₯ = 0;βπ
βπ
β’ limπβ+β
πΏπ π₯ ππ₯ = 1;π
βπ
Alcune proprietΓ
β’ πΏ ππ₯ ππ₯ =1
|π|
+β
ββ dove πΆ β 0
Da cui ricaviamo πΏ ππ₯ = πΏ π₯
|π|
Caso particolare: πΆ = β1
πΏ βπ₯ = πΏ π₯
La funzione delta Γ¨ lβanalogo continuo
della funzione discreta delta di
Kronecker, definita:
πΏππ = 1 π π π = π;0 π π π β π;
β’ Per la delta di Dirac vale:
se π π₯ Γ¨ continua nellβintervallo πΌ, π½ e
πΌ < π < π½
π π₯π½
πΌ
πΏ π₯ β π ππ₯ = π π
Dove
πΏ π₯ β π = +β π π π₯ = π;0 π π π₯ β π;
Γ la funzione delta traslata nel punto πΆ.
β’ Calcoliamo lβintegrale
π» π₯ = πΏ π‘ ππ‘ = 0 π π β β < π₯ < 0;1 π π 0 < π₯ < +β;
π₯
ββ
π» π₯ Γ¨ la funzione di Heaviside.
Il grafico:
y
x
1
0
Derivando la relazione precedente
π»β² π₯ = πΏ π₯
Si puΓ² ricavare la delta derivando una
funzione discontinua.
La funzione delta puΓ² rappresentare la
densitΓ di una massa unitaria posta
nellβorigine degli assi.
Infatti consideriamo la massa distribuita
uniformemente nellβintervallo
β1
2π,
1
2π
Per π β +β la massa si concentra
nellβorigine e la densitΓ coincide con la
funzione delta.
La densitΓ della massa sarΓ della forma:
βπ
ππ΅
π
ππ΅
N
x
y
La delta di Dirac trova applicazione
nella costruzione della funzione di
influenza, o funzione di Green, dal
nome del matematico George Green
che per primo ne sviluppΓ² il concetto.
Siano:
π π₯ continua in π, π , la funzione che
descrive lβazione di una forza su un
oggetto;
π (π₯) la funzione che rappresenta il
risultato dellβazione π(π₯).
A lβoperatore tale che:
π΄ π π₯ = π (π₯)
Supponiamo che valga il principio di
sovrapposizione.
π΄ π1 + π2 = π΄ π1 + π΄[π2]
e per c costante
π΄ ππ = ππ΄[π]
Cioè A è un operatore lineare.
Chiamiamo πΊ(π₯; π) il risultato nel punto
π₯ dellβazione esterna descritta dalla
funzione πΏ(π₯ β π) che agisce nel punto
π fissato.
π΄ πΏ π₯ β π = πΊ(π₯; π)
Suddividiamo la funzione π π₯ in
funzioni impulso
PerciΓ²
π π₯ = π π ππ πΏ(π₯ β π)
Questi impulsi sono uguali a
π π ππ πΏ(π₯ β π)
= π π ππ πΊ(π₯; π)
= π π ππ π΄ πΏ π₯ β π =
= π΄ π π ππ πΏ π₯ β π =
Calcoliamo
π΄ π π₯ = π΄ π π ππ πΏ π₯ β π =
Se consideriamo gli intervalli dπ
infinitesimi
π΄ π π₯ = πΊ π₯; π π π πππ
π
Dove π e π sono gli estremi del tratto
in cui applichiamo la forza π(π₯).
Consideriamo un esempio.
Vogliamo calcolare la flessione β(π₯) di
unβasta sottoposta allβazione della forza
π(π₯) applicata trasversalmente.
Supponiamo che valga il principio di
sovrapposizione.
π(π₯) Γ¨ la forza esterna e β(π₯) Γ¨ la
funzione di risposta.
La flessione totale dellβasta Γ¨
β π₯ = πΊ π₯; ππ
0
π π ππ
πΊ(π₯; π) Γ¨ la flessione nel punto π₯
conseguente allβapplicazione nel punto
π di una sollecitazione unitaria descritta
da πΏ(π₯ β π).
In generale la flessione puΓ² essere descritta
da
πΈπΌπ4β(π₯)
ππ₯4= π(π₯)
Integrando lβequazione compare la funzione
di Heaviside.
La flessione si ottiene alla quarta
integrazione, ed Γ¨ rappresentata da una
funzione polinomiale a tratti.
GRAZIE PER LβATTENZIONE!
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