Campo prodotto dalle matasse delle diverse cave

I

I

IIII

III

III

1 2 3 45

67

8

9

10

4847464544

4342

41

40

39

Corona di statoreA

I

I

I

IIII

III

III

11

23

10

12

13

14

1516

1718

1920

21222426

39

37

36

35

3433

3231

3029

282725

38

Corona di rotore

BD

C

Campo prodotto dalle matasse delle diverse cave

I I I I II II II II III III III III

11 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 26 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 25 38

A B C D A

Struttura degli avvolgimenti

+

+ +

Corona di statore

Traferro

++

ni

Corona di rotore +

+

Nelle cave sono alloggiati “lati attivi dei rispettivi avvolgimenti, le

matasse sono costituite da n conduttori percorsi dalla corrente i; i

lati attivi sono collegati tra di loro a costituire le fasi

dell’avvolgimento stesso, mediante collegamenti che giacciono

sulle testate della macchina

Ipotesi di campo

Campo rotante: il calcolo del campo al traferro richiederebbe la soluzione

delle equazioni di Maxwell in una geometria complicata e in presenza di mezzi

non lineari; per semplificare il problema si introducono le seguenti

ipotesi di campo:

1. la permeabilità del ferro si suppone infinita;

2. la distribuzione del campo magnetico si ritiene identica in tutti i piani

perpendicolari all’asse della macchina;perpendicolari all’asse della macchina;

3. l’andamento delle linee del campo magnetico al traferro si suppone radiale

Campo generato dalle

matasse di una cava

Campo magnetico prodotto da una fase

Essendo il traferro di piccolo spessore (qualche millimetro), è possibile

trascurare la curvatura delle superfici ad esso affacciate e quindi studiare il

campo in coordinate lineari invece che angolari

1° polo 3° polo 2° polo 4° polo

δ A

x

0

x

Hal traferro

τ

2τ 0

3τ

A′ B C D

l1 l2 l3 l4

0B

Hferro

ferroferro =

µ=

Campo magnetico prodotto da una fase

H H H HA A A A⋅ − ⋅ = ⇒ =δ δ' '0

=⋅−⋅

=⋅−⋅

=⋅−⋅

niδHδH

0δHδH

niδHδH

DA

CA

BA

Circuitazione magnetica in corrispondenza delle linee passanti per A, B, C, D

(1)

DA

Solenoidalità di B in corrispondenza della superficie cilindrica S

( )( ) ( )( )[ ] 0HH0lτHµlτHµ2 BAB0A0 =+⇒=+

H Hni

H Hni

A C

B D

= =

= = −

2

2

δ

δ

Dalle (1) e (2) si ottiene:

(2)Rotore

Statore

S

δ

Campo magnetico prodotto da una fase

( )H x

n ise x e x

n ise x

=

+ < < < <

− < <

20

2

3

22

2 2

3

2

δ

τ ττ

δ

τ τ

,

,

Scegliendo l’origine delle coordinate nel centro di un polo il campo H(x),

nell’intervallo [0, 2τ], ha la seguente espressione:

2 2 2δ

Il campo risulta periodico, di periodo 2τ, e simmetrico rispetto all’origine.

Lo sviluppo del campo in armoniche, mediante la Serie di Fourier fornisce la

espressione della prima armonica del campo:

( )

=

τ

πxHxH M cos)1( δπ 2

4 niH M =

Campo magnetico prodotto da una fase

H

x

τ/2−τ/2 3τ/2

H

x

Onda stazionaria

( )

=

τ

π

πδ

xnixH cos

2)1(

( ) ( )txnI

txH M ωτ

π

πδcoscos

2,

=

δπ

nIHM

22=

( ) ( )

=

τ

πω

xtHtxH M coscos,

Campo magnetico prodotto da una fase

la espressione dell’onda stazionaria può essere riscritta come segue:

( ) ( )txHtxH M ω

τ

πcoscos,

=

( ) ( ) ( ) ( )βαβαβα −++= cos2

1cos

2

1coscos

Tenendo conto della relazione trigonometrica:

la espressione dell’onda stazionaria può essere riscritta come segue:

( )

++

−= tω

τ

πcos

2

1tω

τ

πcos

2

1tx,

xH

xHH MM

( )

++

−=

v

xtH

v

xtHtxH MM ωω cos

2

1cos

2

1,

Raccogliendo ω e ponendo v =ωτ

π

Campo magnetico prodotto da una fase

Un’onda stazionaria si può decomporre in due onde traslanti, una progressiva

(velocità v diretta secondo x) e una regressiva (velocità v diretta secondo −x).

Nel caso in esame tali onde sono indicate come campi rotanti (diretto ed

inverso). Essi sono campi di ampiezza costante rotanti al traferro con velocità

angolare costante ωc

v =ωτ

Essendo e valendo la relazione: Rπ2pτ2 =

ωωτ

π

ωc

v

R R p= = =

v =ωτ

πEssendo e valendo la relazione: Rπ2pτ2 =

Il numero di giri al minuto si ottiene considerando che:

60

n2πω c

c =p

f60nc = per f = 50 Hz,

p = 2giri/min5001nc =

Campo magnetico prodotto da una fase

Campo prodotto dalle matasse delle diverse cave

Per un avvolgimento distribuito

l’andamento spaziale del campo

è più simile ad una sinusoide,

per via della sovrapposizione

dei campi generati dalle

matasse delle diverse cave

+ + + + + ++ + + + + +

2° polo 3° polo1° polo 4° polo

( ) π x

x

H

τ

2τ0

3τ

( )

=

=

⋅⋅=

τ

π

τ

π

xH

xHqkxH

M

Mat

cos

cos1)1(,

( )

=

τ

π xHxH M cos1)1(

δπ

nqIkH aM

22=

Campo prodotto da un avvolgimento polifase

Si suppone che:

1. Gli avvolgimenti siano tutti uguali ed equispaziati, cioè che ogni fase sia

spazialmente sfasata dalle fasi vicine di (2τ/m);

2. Il sistema di tensioni polifase sia simmetrico con pulsazione ω.

Essendo il circuito magnetico della macchina dotato di simmetria assiale, le

correnti assorbite dalle m fasi dell’avvolgimento, soggette al sistema delle m

tensioni simmetriche, costituiscono un sistema di m correnti equilibrato:tensioni simmetriche, costituiscono un sistema di m correnti equilibrato:

( ) ( )

( )

( ) ( )

i t I t

i t I tm

i t I t mm

M

M

m M

1

2

2

12

=

= −

= − −

cos

cos

...

cos

ω

ωπ

ωπ

( ) ( )

( )

( )

−=

−=

=

3

4πωtcosIti

3

2πωtcosIti

ωtcosIti

M3

M2

M1Per m = 3

Campo prodotto da un avvolgimento polifase

Correnti di avvolgimento in uno statore trifase:

Campo prodotto da un avvolgimento polifase

Nel caso trifase si ha:

( ) ( )

( )

−++

−=

−

−=

++

−=

=

2πx1πx144πx

π3

4ωt

τ

πxcos

2

1ωt

τ

πxcos

2

1π

3

2ωtcosπ

3

2

τ

πxcostx,

ωtτ

πxcos

2

1ωt

τ

πxcos

2

1ωtcos

τ

πxcostx,

2

1

MMM

MMM

HHHH

HHHH

Il campo generato da ogni fase può essere scomposto nel campo

rotante diretto ed inverso; sommando i tre campi, i campi diretti si

sommano, mentre quelli inversi si elidono

( )

−++

−=

−

−= π

3

2ωt

τ

πxcos

2

1ωt

τ

πxcos

2

1π

3

4ωtcosπ

3

4

τ

πxcostx,3 MMM HHHH

( ) ( ) ( ) ( )

−=

−=++= ωt

τ

πxcosωt

τ

πxcos

2

3tx,tx,tx,tx, ,321 TMM HHHHHH

Campo prodotto da un avvolgimento trifase

Campo prodotto da un avvolgimento polifase

Campo prodotto da un avvolgimento polifase

Nel caso bifase, l’avvolgimento è costituito da due avvolgimenti uguali sfasati

spazialmente lungo il traferro di 90°. Gli avvolgimenti vengono alimentati con

due tensioni sinusoidali con pulsazione ω sfasate nel tempo di π/2. Trascurando

tutti i fenomeni di non linearità del sistema, le correnti che circolano nei due

avvolgimenti risultano anch’esse sinusoidali con pulsazione ω e sfasate nel

tempo di π/2. Risulta quindi, con riferimento sempre alla sola prima armonica

spaziale del campospaziale del campo

( )

+++

−=

+

+=

++

−=

=

πτ

πω

τ

πω

π

τ

ππω

τ

πω

τ

πω

τ

πω

xtH

xtH

xtHtxH

xtH

xtH

xtHtxH

MMMMMMa

MMMMMMp

cos2

1cos

2

1

2cos

2cos),(

cos2

1cos

2

1coscos),(

Campo prodotto da un avvolgimento bifase

Fem indotta dal campo in una fase statorica

B

x

O

vc

BM

( )

−= ωt

τ

πxcosBtx,B M

O

Poiché il campo si muove rispetto agli avvolgimenti di statore, il

flusso concatenato con questi varia nel tempo, determinando in essi

l’insorgere di una fem indotta

( )e td

dt= −

ϕ

Fem indotta dal campo in una fase statorica

B

x

O

vc

BM

Il flusso varia con legge sinusoidale e pulsazione

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )tpωcosπ

τlH2µpωtpωsin

π

τlH2µ

dt

dte

tpωsinπ

τlH2µvt

τ

πsinπ

τH2µldxvtx

τ

πcosHµt

cM0ccM0

cM0M0

τ

0

M0

−=

−=

=

=

−= ∫ϕ

cpωω =

Fem indotta dal campo in una fase statorica

Il valore efficace Φ del flusso concatenato con la spira vale:

π

lτHµ2 M0=Φ

Considerando i numeri complessi rappresentativi (trasformata di Steinmetz) del

flusso concatenato con una spira, Φ, e della fem in tale spira, Es, si ha:

ΦjωE −=s

Se l’avvolgimento è costituito da Ns spire (corrispondenti a 2N conduttori attivi),

si può dimostrare che il fasore della f.e.m. indotta in esso dal campo rotante è:

ka è il fattore di avvolgimento ed è minore di 1; il flusso è quello che si

concatena con la spira al centro della fase

Φ2

jΦjEN

kNk asa ωω −=−= Φ= NkE a22

ω

Fem indotta dal campo in una fase statorica

B

vc

BM

x

O

Fem indotta dal campo in tre fasi statoriche

B

x

vc

BM

1 2 3

O

Un campo rotante induce nelle tre fasi di un avvolgimento distanziate tra loro di

120 º tre fem sfasate nel tempo di un terzo del periodo

Campo rotante

• Un avvolgimento di fase percorso da corrente sinusoidale genera al traferro

un’onda stazionaria, scomponibile in due onde controrotanti

• Tre avvolgimenti sfasati spazialmente di 120° (se la macchina è a due poli, p=1,

in generale di 120°/p) e percorsi da tre correnti sfasate nel tempo di un terzo di

periodo, generano al traferro un campo rotante

• Due avvolgimenti sfasati spazialmente di 90° (se la macchina è a due poli, in

generale di 90°/p) e percorsi da due correnti sfasate nel tempo di un quarto di generale di 90°/p) e percorsi da due correnti sfasate nel tempo di un quarto di

periodo, generano al traferro un campo rotante

• In entrambi i casi il campo rotante ruota al traferro con velocità angolare

ωc = ω /p

• Un campo rotante genera nell’avvolgimento di una fase una fem indotta

sinusoidale nel tempo di pulsazione ω = p ωc

• Le fem indotte negli avvolgimenti di tre fasi equispaziate disposte a 120° l’una

dall’altra sono sfasate nel tempo di 2/3 π