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Università degli studi di Cagliari

Dipartimento di Meccanica, Chimica e Materiali

Corso di: Metodo agli elementi finiti Docente Ing. Filippo Bertolino

RELAZIONE TECNICA STUDIO DI UN VOLANO FORZATO IN UN

ALBERO SOTTOPOSTO A ROTAZIONE

Anno accademico 2013/2014

Studente:

Stefano Manca, Matr.: 47131

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SOMMARIO

PREMESSA ................................................................................................................................. 3

CAPITOLO 1 .............................................................................................................................. 4

Struttura analizzata ................................................................................................................... 4

Risultati teorici ......................................................................................................................... 5

CAPITOLO 2 ............................................................................................................................ 11

Risultati su Matlab ................................................................................................................. 11

CAPITOLO 3 ............................................................................................................................ 23

Risultati su Ansys ................................................................................................................... 23

CONCLUSIONI ........................................................................................................................ 33

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PREMESSA

Lo scopo di questa relazione è di porre a confronto le varie metodologie di calcolo

disponibili per studiare lo stesso problema proposto. Nel caso specifico si presenta una

comparazione tra la trattazione teorica calcolata a mano, un’altra mediante Matlab e

dopodiché un riscontro con il software Ansys. Infine verranno valutati i risultati ottenuti

ed eventualmente presentare una conclusione oggettiva del problema.

La condizione a cui ci si riferisce nel calcolo è quella di massima interferenza, in cui ci

si pone con la massima rotazione angolare affinché avvenga il distacco del volano

dall’albero.

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CAPITOLO 1

Struttura analizzata

La struttura che è stata studiata è composta da un albero sulla quale è stato forzato un

volano, con scopo di mantenere più uniforme la velocità angolare dell’albero motore,

espressa in radianti al secondo (calcolata successivamente alla condizione di massima

velocità).

Per quanto riguarda le dimensioni, prima del forzamento si hanno le seguenti grandezze

nominali dei due componenti:

- Dm

int = da = 80 [mm]; (diametro interno del volano = diametro dell’albero)

- Dm

est = 400 [mm]; (diametro esterno del mozzo)

-

= 5;

- [mm]; (spessore volano)

- ( ) [mm]; (larghezza volano)

Figura 1.1: Sezione con dimensioni albero/mozzo

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Mentre riguardo al tipo di materiale, è stato scelto l’acciaio, sia per l’albero che per il

volano, con caratteristiche fisiche e meccaniche:

- [MPa] (Modulo di Young)

- (coefficiente di Poisson)

- [kg/m3] (densità)

Risultati teorici

Lo scopo è di determinare quella velocità di rotazione che causa un distacco del volano

dall’albero, quindi quando il diametro interno del volano raggiunge la stessa dimensione

del diametro dell’albero. Si è deciso di porsi nella condizione di interferenza massima,

calcolata quindi con la pressione massima alla quale il mozzo può resistere prima di

andare in campo plastico. Sostituendo l’equazione della Pmax nell’interferenza generale

si ha una semplificazione matematica alla quale porta alla seguente equazione:

[mm]

In cui si ha:

[MPa] (Sollecitazione ammissibile)

Si ottiene: 0.2286 [mm] = 228.6 [μm]

Ponendosi nella condizione di distacco, la pressione dovuta all’interferenza tra albero e

volano non agirà più nei due componenti, quindi non genera alcuno spostamento (u) in

direzione radiale durante la rotazione dei medesimi. Lo spostamento sarà determinato

allora esclusivamente dall’azione rotazionale .

A questo punto è possibile determinare la velocità di rotazione di distacco mediante

la relazione:

( ) ( )

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In cui:

= spostamento radiale del mozzo (volano) [mm];

= spostamento radiale dell’albero [mm];

con equazioni:

( )

( ) ( ) (

) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

Nel caso specifico si pone , quindi il calcolo verrà eseguito nell’interfaccia tra

albero/mozzo. Sostituendo le due espressioni degli spostamenti nella relazione scritta in

precedenza e inserendo tutti i valori nel S.I. (metri, Pascal, kilogrammi e secondi) è

possibile esplicitare la velocità angolare come:

√

( )

[

(( ) (

) ( )

( )( )

) (( ) [

( )( )

)

]

√

( )

[

(( ) ( ) ( ) ( )( )

) (( ) [ ( )( )

)]

[rad/s]

e questa velocità presenta la massima raggiungibile, affinché si abbia il distacco, tra

tutte le velocità angolari che si determinerebbero con interferenze inferiori a quella

massima.

I singoli risultati degli spostamenti del volano e dell’albero con , saranno

(inclusi errori di approssimazione):

[mm] [mm]

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Per quanto riguarda la sollecitazione massima, verrà determinata nel mozzo all’altezza

del suo raggio interno, in cui, secondo la trattazione teorica, si ha la massima

sollecitazione equivalente nella condizione di distacco, nella quale lo sforzo radiale va a

zero e lo sforzo circonferenziale è massimo. Allora, utilizzando il criterio di Von Mises,

la sollecitazione equivalente sarà:

√ √

Essendo = 0.

L’equazione è:

( )

( )

( )

5.08 [Mpa]

Calcolato con .

Essendo la > = , ciò significa che si sta entrando nella condizione di

primo snervamento della sezione interna del mozzo. Questo risultato, secondo la teoria,

è corretto, perché quando si è prossimi alla imax basta aumentare di poco la velocità di

rotazione e si arriva allo snervamento (come determinato precedentemente).

Gli andamenti grafici delle sollecitazioni applicate lungo la sezione del volano sono:

8

Mentre i valori degli spostamenti radiali in funzione del raggio per l’albero e per il

volano saranno:

0

100

200

300

400

500

600

40 60 80 100 120 140 160 180 200

Ϭϴ

[M

Pa]

raggio r [mm]

Andamento sollecitazione circonferenziale

0

100

200

300

400

500

600

40 60 80 100 120 140 160 180 200

Ϭr

[MP

a]

raggio r [mm]

Andamento sollecitazione radiale

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Le ipotesi di base per effettuare il calcolo teorico sono state:

0,100

0,105

0,110

0,115

0,120

0,125

0,130

0,135

0,140

0,145

0,150

40 60 80 100 120 140 160 180 200

um

[m

m]

raggio r [mm]

Valori dello spostamento nel volano

0,00000

0,00020

0,00040

0,00060

0,00080

0,00100

0,00120

0 5 10 15 20 25 30 35 40

ua

[mm

]

raggio r [mm]

Valori dello spostamento nell'albero

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- nella sezione del volano si considera solo il momento torcente (Mt), si esclude

un eventuale momento flettente;

- la sollecitazione in direzione assiale ( ) nel volano viene considerata nulla;

- è stata considerata una sollecitazione radiale sul raggio interno del volano, al

momento del distacco, pari a zero. In realtà è presente una piccola componente

non nulla, ma comunque trascurabile rispetto agli sforzi in gioco.

- Si considerano piccoli spostamenti, quindi si ha in mano un problema di tipo

lineare con possibilità di applicare la sovrapposizione degli effetti.

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CAPITOLO 2

Risultati su Matlab

Mediante il programma “volano_calcolo.m”, si è potuto calcolare, mediante il metodo

in forma chiusa e il metodo incrementale, la massima interferenza in cui si ottiene la

massima velocità di rotazione, dopo aver dato come input i dati dimensionali e fisici

utilizzati nella trattazione teorica. Questo programma si ferma quando la sollecitazione

equivalente nell’interfaccia tra albero e mozzo è maggiore alla sollecitazione

ammissibile. Qui in seguito verranno presentati i risultati ottenuti con i due metodi sopra

citati:

- Con il metodo in forma chiusa

[mm]

[rad/s]

[MPa]

[mm]

[mm]

- Con il metodo incrementale

[mm]

[rad/s]

[MPa]

[mm]

[mm]

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Come è possibile notare, con il metodo in forma chiusa, i risultati ottenuti sono molto

simili a quelli teorici, mentre con il metodo incrementale si ha una lieve differenza

sull’interferenza massima, e di conseguenza su tutti gli altri risultati.

Mentre mediante l’utilizzo del programma “Ex_Volano_Quad4_Manca”, inserendo

come input, oltre ai soliti dati geometrici e fisici della struttura, anche l’interferenza

massima e la velocità di rotazione massima calcolati nella trattazione teorica, è possibile

determinare gli spostamenti e gli sforzi nodali. In questo caso si otterranno sia risultati

numerici che grafici; in particolare sono stampati numericamente gli spostamenti dei

singoli nodi costituenti la struttura e controlla che i vincoli d'interferenza siano stati

rispettati, con l’interferenza imposta, nei nodi dell’albero e del volano che vanno a

combaciare durante l’accoppiamento. Inoltre vengono stampate per ogni elemento le

sollecitazioni applicate espresse nel sistema cartesiano e dopodiché le sollecitazioni

massime radiali, circonferenziali ed equivalenti nell’interfaccia volano/albero. Tutto

questo viene eseguito per i due sistemi di carichi applicati alla struttura, in cui uno

rappresenta una situazione senza carichi esterni applicati, quindi nel caso di sola

interferenza, mentre il secondo sistema di forze rappresenta l’applicazione della velocità

di rotazione ω.

Il confronto del programma realizzato su Matlab con i risultati ottenuti su Ansys, ora è

più corretto per il fatto che sia in quest’ultimo che su Matlab sono stati utilizzati degli

elementi a 4 nodi.

I risultati ottenuti dal programma “Ex_Volano_Quad4_Manca” , inserendo in input i

dati ottenuti nel caso teorico ( 0.2286 [mm] , [rad/s]), dal carico 2,

quindi dalle forze generate dalla velocità di rotazione, sono:

[mm] (del nodo 104 del mozzo)

[mm] (del nodo 95 dell’albero)

Sono stati considerati due soli nodi tra i 18 evidenziati dal programma (9 per il mozzo e

9 per l’albero).

Verificando i valori degli spostamenti, l’interferenza sarà:

( ) [mm]

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Come ci si aspettava. Ponendo a confronto i singoli spostamenti, quelli teorici con quelli

ottenuti col programma, si possono notare gli stessi valori:

valori teorici:

[mm] [mm]

Dal programma:

[mm] [mm]

Mentre per quanto riguarda gli sforzi determinati all’interfaccia tra albero e mozzo, si

sono ottenuti i seguenti risultati:

Se si considera il caso teorico, si rammenta che lo sforzo radiale nel mozzo (con r=Rint)

è nullo, mentre in questo caso si ha una componente positiva. Questo non è corretto per

il fatto che, al momento del distacco del volano dall’albero, non si avrà alcuna pressione

interna agente sul volano, tanto meno di segno positiva, che sta a significare di trazione

(non è fisicamente possibile ottenere uno sforzo di trazione sul mozzo! Nel caso si abbia

ancora una componente di pressione interna, e quindi ci sia ancora interferenza, essa

genera una sollecitazione di compressione). Ciò significa che per il calcolo dello sforzo

equivalente entra in gioco, oltre lo sforzo circonferenziale, anche quello radiale nel

calcolo effettuato da Matlab, e si ha:

Secondo Von Mises

nell'albero -10.0 [MPa]

nel mozzo 16.9 [MPa]

nell'albero -30.6 [MPa]

nel mozzo 603.9 [MPa]

nell'albero 93.7 [MPa]

nel mozzo 587.0 [MPa]

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√ √

Mentre con Tresca

Nel calcolo teorico invece è stata imposta l’uguaglianza , ottenendo quindi

uno sforzo equivalente maggiore rispetto a quello calcolato con Matlab. Allora, come è

possibile notare, con il valore della velocità di rotazione [rad/s], non si ha il

superamento della sollecitazione ammissibile imposta (600 [MPa]), cosa che invece

avviene nel caso teorico. Ciò significa che lo snervamento, se lo si considera pari allo

sforzo ammissibile, avverrà con una velocità maggiore (pari a circa 54.1 [rad/s]),

risultato non corretto.

Questo errore è causato da un problema che presentano i programmi FEM: essi

approssimano i valori esatti degli sforzi, quindi determinano errori numerici, e sono

senza dubbio meno attendibili rispetto agli spostamenti individuati. Per poter annullare

questo deficit si dovrebbe utilizzare un programma non lineare tale che, al momento del

distacco, modifichi il vincolo imposto nel caso lineare (spostamenti identici dell’albero

e del mozzo) liberando così i due componenti.

Altro modo per migliorare il risultato è quello di infittire la mesh sia nell’albero che nel

mozzo. Nel caso in esame le mesh sono state realizzate con i seguenti valori:

ny = 8; % N. divisioni nello spessore del disco dy = Thick/ny; nxa = 10; % Mesh nell'albero dxa = Ray1/nxa; nxm = 50; % Mesh nel mozzo dxm = (Ray2 - Ray1)/nxm;

variando il numero delle suddivisioni come segue:

ny = 8; % N. divisioni nello spessore del disco dy = Thick/ny; nxa = 30; % Mesh nell'albero dxa = Ray1/nxa; nxm = 120; % Mesh nel mozzo dxm = (Ray2 - Ray1)/nxm;

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si ottengono i seguenti valori degli sforzi:

Come è possibile notare, gli sforzi radiali sono stati ridotti (in particolare la

sollecitazione radiale nel mozzo ora tende ad azzerarsi) mentre si ha un aumento dello

sforzo circonferenziale del mozzo e quindi di quello equivalente. La tendenza che si

rileva all’aumentare del numero di elementi per realizzare la mesh è la voluta riduzione

degli sforzi radiali agenti nel mozzo e nell’albero (si tende quindi ai valori nulli corretti)

ma un aumento della sollecitazione circonferenziale ed equivalente agenti sul volano.

Per quanto riguarda gli spostamenti, i loro valori rimangono invariati nei nodi presi in

esame.

Come risultati grafici e numerici sono state ottenute le sollecitazioni applicate al singolo

elemento, costituito da 4 nodi: è possibile notare che si determinano sforzi, oltre di tipo

circonferenziale e radiale, anche assiali (lungo z) e sforzi tangenziali (τ).

Sempre mediante il sistema di carico 2, sono stati determinati i seguenti grafici:

nell'albero -9.6 [MPa]

nel mozzo 2.6 [MPa]

nell'albero -31.3 [MPa]

nel mozzo 617.9 [MPa]

nell'albero 99.7 [MPa]

nel mozzo 615.4 [MPa]

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Figura 2.1: Geometria della struttura in 2D. La sezione sinistra

rappresenta una parte dell’albero, la sezione a destra il volano.

Figura 2.2: Immagine della struttura deformata in 2D

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Figura 2.3: Immagine della matrice di rigidezza

18

Figura 2.4: Andamento degli spostamenti radiali in [mm]

Figura 2.5: Andamento degli spostamenti verticali (assiali) in [mm]

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Figura 2.6: Andamento degli sforzi circonferenziali medi in [MPa]

Figura 2.7: Andamento degli sforzi radiali medi in [MPa]

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Figura 2.8: Andamento degli sforzi verticali medi in [MPa]

Figura 2.9: Andamento degli sforzi tangenziali medi in [MPa]

21

Figura 2.10: Andamento degli sforzi equivalenti secondo Tresca in [MPa]

Figura 2.11: Grafico degli sforzi equivalenti nella sezione dell’albero e del mozzo [MPa]

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Dalla figura 2.4 si può notare come gli spostamenti radiali siano più marcati nella

sezione del volano (da 0.11 ÷ 0.145 [mm] circa). In particolare gli spostamenti maggiori

si hanno al crescere del raggio, quindi in direzione radiale positiva.

Per quanto riguarda gli sforzi circonferenziali medi (Figura 2.6), si può notare come

nell’interfaccia tra albero/mozzo si ottiene una certa concentrazione tensionale pari a

550 ÷ 610 [MPa].

Lo stesso avviene per le sollecitazioni radiali medie, alla quale presentano

nell’interfaccia (figura 2.7) una certa concentrazione tensionale e vanno ad annullarsi

verso il raggio esterno del volano.

Il grafico ottenuto per gli sforzi radiali (figura 2.12), è identico a quello ottenuto per via

teorica, si arriva in entrambi i casi al valore massimo di circa 200 [Mpa] per

, mentre, a differenza del caso teorico, non si ha l’annullamento

nell’interfaccia tra mozzo e albero.

Figura 2.12: Grafico degli sforzi radiali nella sezione dell’albero e del mozzo [MPa]

23

CAPITOLO 3

Risultati su Ansys

Andando ad individuare per via grafica due nodi appartenenti alla zona di contatto

(nodo 42 e nodo 562), che in condizioni statiche risultano coincidenti, dopo aver

applicato la velocità di rotazione di distacco, i due si allontanano radialmente (in

direzione orizzontale x) di una quantità pari a:

Dove il nodo 42 appartiene all’albero, mentre il nodo 562 appartiene al volano; è

possibile determinare in questo modo l’interferenza:

( )

Come verifica sono stati analizzati altri due nodi, situati in questo caso nella zona

centrale di contatto (nodo 54 dell’albero e 662 del volano), per verificare ancora una

volta l’interferenza:

Con interferenza:

( )

Si ottiene quindi praticamente la stessa interferenza precedente. Ponendo a confronto

questa con quella teorica imposta come input ( 0.2286 [mm] = 228.6 [μm]) si ha

una differenza di circa 3.4 [μm], praticamente trascurabile. Ciò significa che con la

velocità di rotazione si raggiunge il distacco tra albero e mozzo.

Per quanto riguarda le sollecitazioni equivalenti, i valori massimi vengono raggiunti

nell’interfaccia albero/mozzo, secondo la teoria, quindi quando r = Rint; allora anche in

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questo caso si analizzano gli sforzi agenti sui nodi a contatto e, in particolare, nei nodi

54 e 662 si ha:

Il nodo 662, appartenente al volano, risulta quello più sollecitato. Si può confermare che

risulta inferiore alla sollecitazione ammissibile, considerata uguale a quella di

snervamento:

Ciò significa che non avviene snervamento.

Analizzando l’intero blocco di dati si scopre però che non è il nodo più sollecitato; il

nodo 619 appartenente al volano raggiunge una sollecitazione equivalente massima pari

a:

Quindi in quel punto si ha lo snervamento del materiale.

Tutti gli andamenti degli spostamenti e delle sollecitazioni sono illustrati qui in seguito

per avere un ottica migliore della soluzione.

Figura 3.1: Immagine linee della struttura

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Figura 3.2: Immagine mesh della struttura (prima del carico)

Figura 3.3: Immagine mesh della struttura (dopo il carico)

26

Figura 3.4: Immagine mesh della struttura deformata

Figura 3.5: Andamento spostamenti nodali in [m]

27

Figura 3.6: Andamento spostamenti nodali in direzione x in [m]

Figura 3.7: Andamento spostamenti nodali in direzione y in [m]

28

Figura 3.8: Andamento sforzi nodali calcolati con Von Mises in [Pa]

Figura 3.9: Andamento sforzi nodali in [Pa]

29

Figura 3.10: Andamento sforzi nodali circonferenziali in [Pa]

Figura 3.11: Andamento sforzi nodali radiali in [Pa]

30

Figura 3.12: Andamento sforzi sugli elementi in [Pa]

Figura 3.13: Andamento sforzi sugli elementi calcolati con Von Mises, in [Pa]

31

Figura 3.14: Immagine pressione di contatto in [Pa]

Figura 3.15: Immagine del contatto

32

Figura 3.16: Andamento delle forze Fx

Figura 3.17: Andamento delle forze Fy

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CONCLUSIONI

Dopo aver compiuto un’attenta analisi dei tre sistemi di calcolo, si può affermare come

la trattazione teorica semplifichi una condizione reale. In via di massima i risultati

ottenuti sono gli stessi per tutti e tre i casi, si notano particolari differenze numeriche nel

confronto con Ansys, che potrebbero essere sorte per imprecisioni di natura compilativa

nell’utilizzo del software.

Risultati numerici

Parametri determinati Teorico Matlab Ansys

[mm]

[mm]

[mm] 0.2286 0.2286

[MPa] 5.08 603.9 /

[MPa] 0 16.9 /

[MPa] 5.08 587.0

La comparazione grafica tra Matlab e Ansys potrebbe trarre in inganno: il numero di

elementi utilizzati per realizzare la struttura su Ansys sono di numero differente rispetto

a Matlab. Altra differenza è la dimensione dei singoli elementi: su Ansys si ha una

volontaria concentrazione di elementi nell’interfaccia tra albero e mozzo per permettere

di ottenere risultati più accurati nella zona di contatto, cosa che non avviene su Matlab,

nella quale tutti hanno una stessa dimensione costante. Ciò significa che la risoluzione

grafica è ben differente e gli andamenti ottenuti con Ansys tendono a diventare

discontinui e meno accurati man mano che ci si allontana dalla zona di contatto, mentre

su Matlab si ha una distribuzione più omogenea.

Il confronto dei grafici ottenuti però evidenziano che con Ansys si ottengono valori

elevati delle sollecitazioni radiali agli estremi del mozzo (per r=Rint e r=Rest):

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Mentre con Matlab:

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In realtà, al momento del distacco, si dovrebbe ottenere uno sforzo radiale come segue:

Quindi che si annulli nei due valori estremi del raggio.

Un confronto simile lo si può effettuare per gli spostamenti radiali; con Ansys si è

ottenuto:

0

100

200

300

400

500

600

40 60 80 100 120 140 160 180 200

Ϭr

[MP

a]

raggio r [mm]

Andamento sollecitazione radiale

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Mentre con Matlab il seguente andamento:

In un caso gli spostamenti lungo la sezione dell’albero sono circa nulli (caso Matlab),

nell’altro invece possiedono un valore non trascurabile e nello specifico di segno

negativo (su Ansys).

Le due considerazioni potrebbero portare alla conclusione del fatto che, secondo il

calcolo eseguito mediante Ansys, i due componenti fisici siano ancora forzati, avendo

quindi un valore di pressione che agisce sia nell’albero che nel mozzo per

compressione, dovuto all’interferenza.