Meccanica - Capitolo 10 - Centro Studi Colombo · 2021. 7. 11. · Velocità angolare ω O P v x r...

Fondamenti di fisica

Meccanica: 10Cinematica ed energia di rotazionePosizione, velocità e accelerazione angolariCinematica rotazionaleRelazioni tra grandezze lineari e rotazionaliMoto di rotolamentoEnergia cinetica di rotazione e momento di inerziaConservazione della energia

Moto dirotazione

Moto di rotazione

Moto circolare uniformevelocità con modulo costante s(t) = R ϑ (t) Legge oraria

v ds td t

R d td t

R≡ = =( ) ( )ϑ

ω

ωϑ

≡d td t

( )

v(t)

ϑ(t)

P

O

y

x

ruT = −( sin ,cos )ϑ ϑ

R

x t R ty t R t( ) cos ( )( ) sin ( )

==

ϑϑ

rv t v t v t R t tx y( ) ( ( ), ( )) ( sin ( ),cos ( ))= = −ω ϑ ϑ

traiettoria

Oppure in modo equivalente …

θ velocità angolare

r r rv t R u t vu tT T( ) ( ) ( )= =ω⇒ ru T

Velocità angolare ω

OP

v

x

r r rv r≡ ×ω

r

ϑ(t)

π / 2

*z

y

r rω ω

πω

ϑ× ≡ = ≡ = =r r r v ds t

dtr d tdt

sin ( ) ( )2

ωϑ

≡d tdt

( )⇒

ω è diretto lungo l’asse di rotazioneil verso di ω è dato dalla “regola della mano destra”

* Vedasi la definizione di prodotto vettoriale in fisica propedeutica

Accelerazione normale (centripeta)

)(cos)()(sin)(

tRtvtRtv

y

x

ϑωϑω

=−=s(t)

v(t) = ωR u (t)

ϑ(t)

P ru N = ( cos , sin )− −ϑ ϑ

ru T = −( s in , c o s )ϑ ϑ

R

T

θO x

a tdv tdt

R t ddt

R t

a tdv tdt

R t ddt

R t

xx

yy

( )( )

cos ( ) cos ( )

( )( )

sin ( ) sin ( )

= = − = −

= = − = −

ω ϑϑ

ω ϑ

ω ϑϑ

ω ϑ

2

2

ra t a t a t R t tx y( ) ( ( ) , ( )) ( co s ( ), s in ( ))= = − −ω ϑ ϑ2

r r ra t R u t vRu tN N( ) ( ) ( )= =ω 2

2ru N

Rotazione dei corpi rigidi

O

d m

r

v

ϕ

R

z asse di rotazioneωϑ(t)

y

x

Ogni massa mi ha moto dipendente da R = distanza dall’asse

v dsdt

R ddt

r r= = = ≡ ×ϑ

ϕω ωsinr r

La RotazioneMoto di un punto con velocità scalare v intorno ad un asse fisso (perpendicolare al piano della figura)

Posizione angolare:θ > 0 per rotazioni antiorarieθ < 0 per rotazioni orarie

posizione angolare

Un radiante è l’ampiezza di un angolo che intercetta un arco di lunghezza pari al raggio della circonferenza

1 giro = 360° = 2π rad

1 rad = 57.3°

velocità angolare e accelerazione angolare

ω = dθ / dt

accelerazione angolare:∆θ = θf - θi α m = ∆ω/∆t

ωm = ∆θ / ∆t α = dω/dt = d2θ / dt2

convenzioni

ω > 0 per rotazioni antiorarieω < 0 per rotazioni orarie

Esempio 1Un vecchio giradischi fa ruotare in senso orarioi dischi a 33 1/3 giri/min.Quale è la sua velocità angolare in rad/sec ?

ω = -33 1/3 giri/min= - 33 1/3 (2π/60) rad/sec = - 3.49 rad/sec

Se un CD ruota a 22.4 rad/sec, quale è il modulo della sua velocità angolare in giri/min ?

ω = 22.0 rad/sec= (60/2π) 22.0 giri/min = 210 giri/min

N.B. ω è un vettore

Esempio 2Trovare il periodo di un disco che ruota a 45 giri/min

ω = 45 (2π/60) rad/sec = 4.7 rad/sec

ω = ∆θ / ∆t

T = (2π/ω) = 2π/4.7 s = 1.3 s

Cinematica rotazionale

Accelerazione

00

−−

=∆∆

=tt

ωωωα ω = ω0 + αt

αaωvθs

Grandezza angolare

Grandezza lineare

angolare costante

θ = θ 0 + ω0 t + ½ α t2

ω = ω0 + α t

ω2 = ω02 + 2α (θ - θ0)

Relazioni tra grandezze lineari e rotazionali

Esempio : la giostra gira con velocità angolare costante ω …

ω = 2π / T

vt = (2πr) / T

vt = ωr

Esempio : la giostra gira con

velocità angolare costante ω …

vt = ωr Tuttavia spostandosi dal centro di rotazione verso la periferia,

la velocità lineare vt cresce proporzionalmente al raggio r

accelerazione centripetaacp = v2/r acp

vt = ωr

acp = ω2racp = 350 g

Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright © 2005

La centrifuga

Centrifuga per microematocrito sino a 104 g

Viene utilizzata per separare le cellule dal plasma, ed il volume delle cellule rispetto a quello totale da il volume di ematocrito.

La centrifugaApparecchiature in grado di produrre accelerazioni centripete molto maggiori della accelerazione di gravità. In aeronautica per addestramento piloti:max 350 volte g per un carico di 2.2 tonnellate

Centrifuga per microematocrito sino a 104 g

Vengono utilizzate per separare le cellule dal plasma, ed il volume delle cellule rispetto a quello totale da il volume di ematocrito.

Es. provette vengono fatte ruotare a 11600 giri/min con il fondo a 9 cmdall’asse di rotazione.Acc. Centripeta = ω2 r = 131000 m/s2 , circa 13400 g.

e se la giostra accelera …

a = at + acp

a = (at2 + acp

2 )1/2

∆vt = ∆ω r

at = ∆vt / ∆t = r ∆ω / ∆t

at = r α

Accelerazione angolare α e totaler

r

αω

≡d td t

( )Accelerazione:

rr r r r

r rr

a d v td t

d rd t

dd t

r d rd t

≡ =×

= × + ×( ) ( )ω ω

ω

r r rv r≡ ×ω≡ α

r r r r r ra r r= × + × ×α ω ω( )

raT

raN

angolare

totale(lineare)

⇒

r r ra rT = ×αω

r

Moto accelerato

ω r r r ra rN = × ×ω ω( )

r r rv r≡ ×ω

Moto di puro rotolamento

Moto di puro rotolamento rotazione traslazione

+

=


VCM = 2πr / T= r (2π / T)= r ω

“ rotola senza scivolare ”


“ rotola senza scivolare ”

L’espressione

deriva dal fatto che il punto più basso della ruotaè in contatto statico col terreno

Energia cinetica di rotazione

I = mr2

Per un punto materiale di massa m …

( ) 22222

21

21

21

21 ωωω ImrrmmvEk ===≡

momento di inerzia

Energia cinetica di rotazione

I = mr2

I = Σ miri2

EK = ½ Σ mivi2

EK = ½ mv2

= ½ Σ miω2ri2

Per un corpo rigido esteso …

Momento di inerzia:[I] = [M] [L2]

Nel S.I. Kg m2EK = ½ Iω2

Energia cinetica e rotazionePer m puntiforme a distanza r dall’asse di rotazione

( ) 22222

21

21

21

21 ωωω ImrrmmvEk ===≡

L’energia cinetica di un corpo rigido in rotazione dipendedalla distribuzione della massa!

Il momento d’inerzia I dipendedalla forma geometrica del corpo,dalla sua distribuzione di massa (densità)

e dall’asse considerato

non è una proprietà intrinseca del corpo


momento d’inerzia Imanubrio

I = Σ miri2

= mr2 + mr2

= 2mr2


momento d’inerzia IAnello di massa M e raggio R

I = Σ miri2

= R2Σ mi= MR2


momento d’inerzia IDisco di massa M e raggio R

I = Σ miri2

= ½ MR2

Momento d’inerzia I

I R d m x d xzC o r p o

≡ = =∫ ∫2 2

0

3

3λλ

ll

i) rispetto ad un asse perpendicolare passante per un suo estremo

zx

R dm IM

z =l 2

3

densità lineare

l

l/M=λ

Esempio: asta omogenea di lunghezza e massa Ml

ii) rispetto ad un asse perpendicolare passanteper il suo centro di massa

122422

232/

0

2 lll MdxxIz ==∫≡λλ

Alcuni risultati per I

Conservazione dell’energia

BAABAk

Bkk WmmEEE →=−=−≡∆ 22

21

21 ωω

Anche per un moto rotazionale vale il teorema dell’energia cinetica

L’energia cinetica di un oggetto che rotola senza scivolare:

22

21

21 ωImvEk +≡

dove I è calcolato rispetto al centro dell’oggetto.

Del resto in assenza di forze non conservative l’energia meccanica si conserva …

+

Moto varioUn cilindro pieno di raggio 10 cm e massa 12 Kg, partendo

da fermo, rotola senza strisciare per una distanza di 6 m giù per il tetto di una casa inclinato di 30 °

Quando lascia il bordo del tetto, qual è la sua velocità angolare rispetto ad un asse passante per il suo centro di massa?

La parete esterna della casa è alta 5 m, a che distanza dal bordo del tetto atterrerà sul terreno piano? U=0




La parete esterna della casa è alta 5 m, a che distanza dal bordo del tetto atterrerà sul terreno piano?

U=0

• Consideriamo dapprima il moto di puro rotolamento sul tetto





U=0


• Le forze agenti sono la forza peso, la Normale, la forza di attrito statico.






• Le forze agenti sono la forza peso, la forza Normale, la forza di attrito statico.

• Possiamo trovare la velocità finale utilizzando la conservazione dell’energia meccanica totale

U=0

…

Kf =12

MvCM2 + K* =

12

MvCM2 +

12

I*ω2Ei =Ef ⇒ Ki +Ui =Kf +Uf

0 + MgLsen 30° =12

MvCM2 +

12

I*ω2 + 0

vCM = R ω vCM2 = R2ω2• La condizione di puro rotolamento:

I* =12

MR2• Il momento di inerzia del cilindro:

MgL sen30° =12

MR 2ω2 +12

12

MR2ω2

ω =4gLsen 30°

3R2 =4 × 9.81× 6 × 0.5

3 × .12 = 3924 = 62.6rads

…

vCM = Rω = 0.1 × 62.6 = 6.26ms

Al momento del distacco:

x = vxoty = yo + vyot − 1

2 gt2xo = 0m vxo = −6.26cos30° = −5.42 m

s

yo = 5m vyo = −6.26sen 30° = −3.13 ms

Determinare l’istante di impatto al suolo imponendo che y=0

yo + vyot − 12 gt2 = 0 ⇒ 4.9 t2 + 3.13t − 5 = 0

t1, 2 =−b ± b2 − 4ac

2a=

−3.13 ± 3.132 + 4 × 4.91 × 59.81

=−3.13 ± 10.39

9.81=

−1.37+0.74

La soluzione negativa è da scartare.• La distanza a cui atterrerà:

d = xf − xo = 4.01mx = vxot = −5.42 × .74 = −4.01m

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