C.GOLIAAerodinamica Capitolo6|1
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Capitolo6
StratoLimite
Scopodelcapitolo6
Fornireallostudenteleconoscenzedi: baseecapacitdielaborarestrumenti idoneialcalcolodistrati limitidiparetepercampi
pianiedassialsimmetrici stratilimitisimililaminari stratilimitisimiliturbolenti formulazioniintegralielorointegrazione evoluzionedellostratolimite(laminaretransizioneturbolentoseparazione), calcolodeivariregimi
SiproponeunProgettodiricercaperilcalcolocompletodistratolimitesuprofili.
C.GOLIAAerodinamica Capitolo6|2
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IndicedelCapitolo6
.6.1 Generalit ........................................................................................................................................................ 2
.6.2 Le approssimazioni di Prandtl per lo Strato Limite Dinamico ....................................................................... 5
.6.3 Effetti del Gradiente di Pressione sullo Sviluppo dello Strato Limite ........................................................ 11
.6.4 Parametri di Interesse dello Strato Limite .................................................................................................... 16
.6.5 Soluzioni simili ............................................................................................................................................ 19 .6.5.1 Campi potenziali che ammettono soluzioni di strato limite simili ...................................................... 23 .6.5.2 Lo strato limite simile isobaro (lastra piana o intorno del punto di massima velocit) ....................... 24 .6.5.3 Strato limite nellintorno di un punto di ristagno (piano) .................................................................... 25
.6.6 Metodi Integrali ........................................................................................................................................... 27 .6.6.1 Strato limite isobaro ............................................................................................................................ 30
.6.6.1.1 Regime laminare ........................................................................................................................ 30 Esercizio6.1......................................................................................................................................................... 32 Esercizio6.2......................................................................................................................................................... 32 Esercizio6.3......................................................................................................................................................... 32 .6.6.1.2 Regime turbolento ..................................................................................................................... 32
.6.6.2 Strato limite con gradiente di pressione .............................................................................................. 33 Esercizio6.4**(fondamentale) ........................................................................................................................... 34 Esercizio6.5......................................................................................................................................................... 34
.6.7 Metodo di Thwaites per Strato Limite Laminare ......................................................................................... 35 Esercizio6.6 ..................................................................................................................................................... 36
Esercizio6.7(fondamentale) .............................................................................................................................. 36 .6.8 Metodi integrali per strati limiti assialsimmetrici .................................................................................... 36 Esercizio6.8 ................................................................................................................................................................ 37 Esercizio6.9 ................................................................................................................................................................ 37 Esercizio6.10 .............................................................................................................................................................. 37 Esercizio6.11 .............................................................................................................................................................. 37 Esercizio6.12 .............................................................................................................................................................. 37 Esercizio6.13 .............................................................................................................................................................. 37 .6.9 Introduzione alla Turbolenza .................................................................................................................. 38 Esercizio6.14 .............................................................................................................................................................. 38 Esercizio6.15 .............................................................................................................................................................. 38 Esercizio6.16 .............................................................................................................................................................. 39
.6.9.1 Fenomenologia della Turbolenza ........................................................................................................ 39 Esercizio6.17(svolto) ............................................................................................................................................. 42 Determinazionedeiparametridiinteresseperuncasodistratolimiteturbolentosulastrapiana ...................... 42 .6.9.2 Propriet generali della turbolenza ...................................................................................................... 45 .6.9.3 Analisi mediata delle equazioni .......................................................................................................... 46 .6.10. Lo Strato limite turbolento ............................................................................................................................ 48 .6.10.1 Metodo di Head .......................................................................................................................................... 50
.6.11 PROCEDURE DI CALCOLO PER STRATI LIMITE COMPLETI ...................................................... 51 .6.11.1 Strato limite su lastra piana ................................................................................................................. 52 6.11.2 Strato limite con gradiente di ............................................................................................................. 53
Lafenomenologiadibollalaminaresulbordodiattaccostatagicommentatainparagrafiprecedenti(tipicadiprofilisottiliconaltacurvaturasuldorsoapiccoliangolidiincidenzaeReynoldsmoderati) .. 53
CHEK-OUT ................................................................................................................................................................ 55
C.GOLIAAerodinamica Capitolo6|3
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IndiceanaliticodelCapitolo6ascissax(curvilineatangenteallaparete)ditipotemporale 10
Blasius 18bollalaminare 50Bradshaw 42Coefficientediattrito(locale)diparete 16componentesignificativanellinternodellostratolimitedeltensoredeglisforzi 9
componentesignificativanellinternodellostratolimitedivorticit 9
condizionediflessoperilprofilodivelocit 11condizionidisimilitudini 19corpiaerodinamicamentesnelli 4corpiaerodinamicamentetozzi 4corpiaerodinamici 4corpitozzi 4correlazionediLudwiegeTillmann 48Crabtree 51crisidellaresistenza 38criteriodiseparazionestratolimiteturboento48criteriodiMichelperlatransizione 36definizionedistratolimite 5diedripiani 21difettodimassa 15equazionedellacontinuit 6equazionedellaquantitdimotoindirezionenormaleallaparete 7
equazionediBlasius 19equazionediVonKarman 26equazioneintegraledivonKarmanturbolenta 46equazioneperlavelocitditrascinamento 47equazioni(approssimate)diPrandtldelloStratoLimite(laminare) 9
equazionidiEulero 2equazionidiFalknerSkan 19equazionidiNavierStokes 2equazionidiPrandtldelloStratoLimite 4esperimentodiSchubauer&Skranstad 39Falkner&Skan 19fattorediforma 16fattorediformaH 26fattorediformaH1 47flussiallaOseen 37flussiallaStokescreepingflows 37flussoseparato 11funzionidiStratoLimitediThwaites 32gradientedipressionefavorevole 11gradientedipressionesfavorevole 11Hperstratilimitelaminare 16Hperstratilimiteturbolenti 16Hinze 42intensitpercentualediturbolenza 35IVP 20
lascissay(normaleallaparete)ditipospaziale 10
lapressionesitrasmetteinalterataindirezionenormaleallaparetenellinternodellostratolimite 8
massimodelloforzoviscoso 13metododiThwaithes 50motocompletamenteturbolento 40Norton 51numerodiStrouhal 37occhidigatto 40ondediTollmienSchlicting 40ordinedigrandezza 4ordinedigrandezzadeglieffetticonvettivi 5ordinedigrandezzadeglieffettidiffusiviviscosi6OwenKlanfer 51paradossodidAlembert 2parametro""diburst 51parametrodiformadiThwaites 31parametrodiPohlhausen 30polinomialediPohlhausen 30Prandtl 3pressionediparetep(x),quellachederivadalleequazionidiEulero(stazionarie)calcolatesullaparete 8
problemadellachiusura 44profilodiPohlhausen 29profilodivelocitpresenterunflessonelpuntodimaxsforzoviscoso. 12
puntodiseparazione 11Quantitdimotonelladirezionex 7quantitfluttuante 43quantitmedia 43RANS 43regimelaminare 35;36regimesubcritico 38regimesupercritico. 38regimeturbolento 35Reynolds 36;42;44ricircolazione 11sciadiVonKarman 37separazionelaminare 13separazionelaminareinzonecongradientedipressionesfavorevole 13
sforzidiReynolds 44soluzionedellequazioneintegralediVonKarman 27
spanwisevorticity 40spessorediquantitdimoto 16spessoredispostamento 15StratiLimite 3stratolimitedefinitosoltantodalgradientedipressionelungolaparetedelcorpo 10
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stratolimiteisobaropuntodiflessodelprofilodivelocitsullaparete 12
stratolimiteproblemaditipoparabolico 10stratolimiteturbolentoisobaropotenzaadunsettimo: 29
sviluppodellostratolimitesudiunlastracurva 12
teoriaintegraleequazionedifferenzialeordinaria 24
teoriaintegraleperunacolonnaelementarediStratolimite 24
Timman 34TPBVP 20Tracomabridge 37
transizione 35;36transizionesulastrapiana 38trasformazionedicoordinatesimili 18turbolento 36turbulentspots 40valoriincognitidif(0)perlaFalknerSkan 21VanDriest 18velocitditrascinamento 47VonKarman 24VonKarman 42vorticidivonKarman 38x=scomecoordinatacurvilinea 10zonadiflussoinverso 11
C.GOLIAAerodinamica Capitolo6|2
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.6.1 GeneralitLadeterminazionedicampidimotostazionarieviscosirichiedelarisoluzionedelleequazionidiNavierStokesche,nelleipotesipisemplici(M2
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Prandtl(1904)osservperprimocomevarianoicampidimotoinpresenzadiunaparetealvariaredelReL.EglinotchepergrandivaloridelReL(tipicamentemaggioridi1000)glieffettiviscosisulladeviazionedellelineedicorrenteeranosensibilisoloinunazonamoltosottileequasiaderenteallaparete.
Fig.(6. 1) Effetti della viscosit sulle linee di corrente (non in scala, molto magnificati)
Eglistimperquestazonaspessoridellordine:
perregimilaminare [tipicamentepervaloridiRex3106]
Prandtlchiamtalizone,moltosottili,incuiglieffettiviscosisonodellostessoordinediquelliconvettivi:
StratiLimitePeravereunasensazionetattiledellordinedigrandezzadeglispessoridellostratolimite,osserviamolatabellinaricavataconlestimesoprafatte.
Rex 104 105 106 107 108
(/x)lam 0.050 0.016 0.005 (/x)turb 0.023 0.014 0.009
DallanalisidellatabellasinotacheperRex=10
6(casoincuipossonocoesisterestratilimitilaminareoturbolento)allafinediunalastralunga1metro(nederivaunavelocitdipocoinferiorea10m/sper lariaedi1m/sper lacqua)glieffettiviscosisonoapprezzabilialmassimoentrounaregioneaderenteallapareteespessa5millimetrise il regime laminare,espessa23millimetriseilregimeturbolento.
Unazonaveramentemoltosottile,daquisigiustificaladenominazionediStratoLimite!
Ivalorideglispessoridiquestistratisono,quindi,tantopiccolidapoterassumere,inprimaapprossimazione,chelelineedicorrenteesternesonopocoinfluenzatedallapresenzadellapareteedairelativieffettiviscosi.
xRe5
x
5/1xRe37.0
x
C.GOLIAAerodinamica Capitolo6|4
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Neseguechelasoluzioneeuleriana(senzaattritoequindisenzastratolimite)daruncampodipressionisuperficiali(calcolabileconilteoremadiBernoulliunavoltanotoilcampodivelocit)dipocodifferentedalcampodipressionimisuratosullapareteincondizionireali.Noncredibile, infatti,pensareche lapressionecalcolatasullaparetesiamoltodifferentedaquellamisurataaldifuoridellostratolimite,cheadappena5millimetrididistanzadaessa.
Ovviamentelaraffigurazioneprimafattavalesolopercorpiaerodinamicamentesnellii.e.piccolospessore,piccolocamber,piccoloangolodiattacco,ciocondizioni incui ilcorpo introducepiccolidisturbiallacorrente.
Percorpiaerodinamicamente tozzi,cioogniqualvoltachealmenounadellecondizioniprimadefinite vienemeno, le cose variano. Lo stratolimite non sar capace di rimanere attaccatosemprealcorpo,siseparercreandozonedidistaccoediricircolazione.Inquestezonelelineedicorrentenonseguirannopilaformadelcorpo(equindilusodellepressionicalcolateconleequazionidiEuleroedilteoremadiBernoullicompletamenteerrato).
Cipremesso, linteressediPrandtlsispostadanalizzare la forma (approssimata) delle equazionichesonovalidenellinternodelloStratoLimite.AtalpropositoPrandtlanalizztuttiiterminipresentinelleequazionidiNavierStokes,peranalizzarnelatrascurabilitdialcuniterminirispettoaglialtri,imponendosololadefinizioneche:
nellinternodellostratolimitelordinedigrandezza(massimo)deiterminiviscosideveesserepariaquello(massimo)deiterminiconvettivi.
Inbaseataleanalisisiderivanoequazioniapprossimate(detteequazionidiPrandtldelloStratoLimite)chepermettonounasempliceprocedura.Unavoltaritrovata lasoluzioneEulerianasulcorpo (i,.e.determinare ladistribuzionedivelocitUe(x)detteesterneovveroeuleriane,calcolabileadesempioconunsemplicemetodoapannelli),sipotrcalcolaresuccessivamente,conunaltrocodicelosviluppodellostratolimitesullaparete:glieffettidiattrito(coefficientidiattritolocale),ilpuntoditransizionelaminareturbolento,lostratolimiteturbolento,laseparazioneturbolenta,equindi lazonadiricircolazioneedisciadovesiassumepressionecostantemoltoprossimaaquellaatmosferica(vieneamancareilrecuperodipressioneinquantolavelocitnonvaazerosulcorpo).Inquestomodopossiamodeterminare,perognipuntodelcorpo,oltrelapressione(direzionenormaleallasuperficie)anchelosforzoviscoso(direzionetangenteallasuperficie)esipucoscalcolare[comevistoall'iniziodelcorso],conunasempliceintegrazionesuperficiale,ilsistemadiForzeaerodinamiche:Portanza,laResistenza(diattritoedipressione)edilMomentoMorispettoalpuntoO(bordodiattaccoofuocoaddellacordaperprofilialari)equantoaltro.
PercorpiaerodinamicidisolitosiscegliecomesuperficiediriferimentoSquellainpiantaS=cb [ccorda,bapertura (unitariaperprofili)]e lacordacome lunghezzadiriferimentoL=c.
Fig.(6. 2) Corpi aerodinamicamente tozzi
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Percorpitozzidisolitosiscegliecomesuperficiediriferimentola(massima)sezionefrontale,eilrelativodiametroequivalentecomelunghezzadiriferimento .
In lineadimassima i coefficientiaerodinamici saranno funzionedellangolodiattacco,delnumerodiReynoldsrelativoallalunghezzadiriferimento,delnumerodiMach,ed,ovviamentedellaformadelcorpoedellascabrositdellasuperficie..6.2 LEAPPROSSIMAZIONIDIPRANDTLPERLOSTRATOLIMITEDINAMICO
Leequazioniapprossimatedello strato limite (equazionidiPrandtl)vengono ricavate,adunprimolivellodistudio,medianteun'analisidegliordinidigrandezzadeivariterminidelleequazionicompletediNavierStokes,osservandoche lescaledelle lunghezzeedellevelocitnelladirezionetangenteallasuperficie(x)sonodigran lungamaggioridiquellenelladirezionenormaleallaparete(y).
Ilfattochelordinedigrandezzavariaasecondoledirezioni,pusembrarealliniziostrano,maperconvincerelincredulostudente,siproponeunpiccoloesperimentoschematizzatoinfigura:
1. accendereunacandelaevisualizzarelalonedellafiammella,2. porreilditoverticalmentea3mmcircadallafiammaindirezionelatera
lex(eapprezzareiltepore)3. porre ilditoorizzontalmentea3mmcircasopra lafiamma indirezione
assialez(edapprezzareilbruciore),4. dopopochisecondimettere,dicorsa,ilditosottoilrubinettodellacqua,5. infinerimeditaresulladipendenzadegliordinidigrandezzadalledirezioni.Approfondimentifuturianalizzeranno,piseriamenteerigorosamente,lostratolimiteconla
tecnicadelleespansioniasintotiche.
Leconsiderazionirisolutivediscendonodalladefinizioneripropostadistratolimite:
zona(inprossimitdipareteoinscia)incuil'ordinedigrandezzadeglieffetticonvettivi(i.e.flussodiquantitdimoto)pariaquellodeglieffettidiffusivi[i.e.divergenzadeltensoredegli
sforzi,attrito].
Fig.(6. 3) Schema dei processi che compongono lo strato limte
SL
x
(x)
U
convezione
diffusione viscosa
U
u(y)
C.GOLIAAerodinamica Capitolo6|6
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Daquestaultimadefinizione sipu stimaremolto semplicemente l'ordinedigrandezzadellospessore(x)dellostratolimitesuparete,considerando(Fig.6.3)che: L'ordinedigrandezzadeglieffetticonvettivinelladirezione(x)delflusso sem
plicementeU2/x L'ordinedigrandezzadeglieffettidiffusiviviscosi normalmenteallaparete
(direzioney)semplicemente/(U/)/,
Dall'eguaglianzadegliordinidigrandezzanediscendelastima:
(6.4)
Inbaseallemotivazionisoprafattesipuassumereche:
(0
C.GOLIAAerodinamica Capitolo6|7
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Perquantoriguarda lapressione,essendo lospessoredelloStratoLimitemoltopiccolo,assumiamochelordinedigrandezzadellascaladipressionesiaquelladiriferimento,ricavabiledalteoremadiBernoulli.
InconclusioneriportiamogliordinidellescaledituttelegrandezzeedeglioperatorichecompaiononelleequazionidiNavierStokes:
O(u)=U O(v)=U/L O(x)=L O(y)=O(u/x)=U/L O(u/y)=U/ O(v/x)=(U)/L O(v/y)=(U)/(L)=U/LO((*)/x)=(*)/L O((*)/y)=(*)/ O(p)=prifUe2
Possiamooraanalizzarelealtreequazioni.
Quantitdimotonelladirezionex(direzionelungolasuperficie):
(6.8)
Dallesamedella(6.8)siricava:
cheidueterminiconvettivisonodellostessoordinedelterminedipressione,
che dei due termini nella parentesi quadra a destra dellequazione il primo termine(2u/x2)trascurabilerispettoalsecondo(2u/y2)essendo
C.GOLIAAerodinamica Capitolo6|8
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Dallesamedella(6.11),siderivacheidueterminiconvettivi(asinistradellequazione)sonotutti dello stesso ordine e che, dei due termini nella parentesi quadra (a destradellequazione),ilprimotermine(2v/x2)trascurabilerispettoalsecondo(2v/y2)attesalapiccolezzadirispettoadL.Nederiva:
22
2
2
2
UUULL
v v 1 p vu vx y y y
+ = +
(6.12)
Richiamando,dalla(6.4),lordinedi U 2/L,nederivanogliordinidigrandezzadeiterminidella(6.11):
2 22
22
2
2
U UULL
v v 1 p vu vx y y y
+ = +
(6.13)
Dalla (6.13) si nota che le scale dei termini convettivi e diffusivi viscosi sono entrambedellordineU2 /L2mentrequellodelgradientedipressioneindirezione(y)normaleallapareteU2/ .Facendoilrapportotralordinedelgradientedipressioneindirezione(y)normaleallapareteU2/rispettoaglialtriterminiU2 /L2siricava:
[U2/]/[U2 /L2]=(L/ )2
Essendo
C.GOLIAAerodinamica Capitolo6|9
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(6.17)
Notiamo infineche,con leapprossimazionifattesullescale(intabella),sipudimostrarechenellinternodellostratolimite:
lunicacomponentesignificativadeltensoredeglisforzi:
xyuy
=
(6.18)
l'unicacomponentesignificativadivorticit(normalealpianodelmoto):
zuy
=
(6.19)
Questedueultimeequazionisonomoltoimportantiperch,amenodelsegnoedellaviscositdinamica (costante), indicanochenell'internodello strato limitegliandamentidegli sforziviscosiedellavorticitsonopraticamentesimili.
Indefinitivaleequazioni(approssimate)diPrandtldelloStratoLimite(laminare)sono:
continuit: (6.20)
compxQ.d.M.: 2
ee 2
dUu u uu v Ux y dx y
+ = +
(6.21)
compyQ.d.M.: (6.22)
Notache:ilsistemadiequazionichenederivaalquantostrano:Perlacomponenteudellavelocitsiritrova: massimaderivatarispettoallascissaxpariad1 massimaderivatarispettoallaordinataypariad2
Perlacomponentevdellavelocitsiritrova: lamassimaderivatarispettoallascissaxpariad0 lamassimaderivatarispettoallaordinatapariad1Ilterminenonomogeneo(chedeterminauncasorispettoadunaltro)UedUe/dx
Data la limitatezzadegliapprofondimentimatematicidisponibiliallostudente fuordi luogodimostrarecompiutamentelecondizionialcontornocompatibiliconilsistemadiequazionidifferenzialiaderivateparziali(6.20,6.21,6.22).
Lintuitoed ilrozzobuonsenso,portanoapensareche(estendendoquantoappresoper leequazioniaderivateordinarie)occorronotantecondizioniquantoilvaloredellemassimaderivata.
Questoportaaconcludereche:
dxdp1
dxdUU
=
+
=yu
xv:era N.S. nelle xy
=yu
xv:era N.S. nelle z
0yv
xu
=
+
yp0
=
C.GOLIAAerodinamica Capitolo6|10
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perlaunecessitano1+2=3condizioni
perlavnecessita1condizione.
Macomedistribuirequestecondizionitralevariabiliindipendenti(xey)?
Considerazionifisicheedmoltobuonsensoportanoaconcludereche.
Occorre una condizione sulla u nella direzione x : pare logico porre questa condizioneallascissax=0:
condizioneu(0,y)=funzionenota
Occorronoduecondizionisullaunelladirezioney:parelogicoporre(pertuttiivaloridix)unacondizionisullaparete(y=0)edimporrelaltracondizioneallesternodellostratolimite*(simbologiaperindicarey>)perimporreilraccordoconlavelociteulerianaesternaUe(x),
condizioneu(x,0)=0condizioneu(x,+)=Ue(x)
Occorre una condizione sulla v nella direzione y : pare logico porre questa condizioneallascissay=0:
condizionev(x,y)=nota=0(perpareteimpermeabile)
Comesivedenonvicontrollosullandamentodellev(x,+)edellev(0,y)esinotacheviunaqualchediscriminazionesuiruolidegliassixey.
NondimentichiamocheleequazionidelloStratoLimitediPrandtlsonoapprossimazioni.
Sipurimediarealmancatocontrollosullevsulbordoesternodellostratolimiteconoperazioniiterative,maquestosarargomentodiapprofondimentifuturi.
Eventualiapprofondimentifuturirivelerannoanchecheilproblemadellostratolimiteditipoparabolico,ciohauncarattereevolutivolungolascissax(curvilineaetangenteallaparete)chedettaessereditipotemporale,nelmentrelascissay(normaleallaparete)dettaessereditipospaziale.
Lanalisi,finorarigorosamentederivataperunageometriapiana,puessereestesaadunaqualsiasigeometriacurva,assumendocomeassedellexlascissacurvilinea(s)alcorpoecomeasseylascissanormale(n)(chevariapuntoapunto)alcorpo.Sipudimostrarechequestosaraccettabileselospessoredellostratolimite(x)piccolorispettoalraggiodicurvaturadelcorpoR(x).InrealtperleequazionidiPrandtl(6.20,6.21,6.22)sarebbepilogicousareperl'ascissacurvilineailsimbolo"s"invecedi"x",eperl'ascissanormaleallapareteilsimbolo"n"inveceche"y".
MailrispettofilialeperlamemoriadiPrandtlvietacategoricamentetalelogicit.
Inconclusione:
Levariabilix,ysonocoordinatedistratolimite,chedescrivonorispettivamentelaposizionediunpuntogenericonellinternodellostratolimitetramitelascissacurvilinealungolaparetedelcorpo(apartiredaunpuntodaspecificare)eladistanzadallaparete,
C.GOLIAAerodinamica Capitolo6|11
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Questecoordinatenonsonoquindicapacidispecificareilcorpo,masololaposizionediunpuntorispettoalcorpo.
Il corpo definito soltanto dalla distribuzione delle velocit esterne eulerianeUe(x),
Devonoessereassegnatelecondizioniiniziali della componente u(x,y) adunascissainiziale(siaadesempiox=0deve essere nota la distribuzioneu(0,y),
Le equazioni sono capaci di fornire,marciandolungolassex,levoluzionedelprofilou(x,y)soddisfacendodivoltainvoltalecondizioniady=0[dinoslipediimpermeabilit]eady=(x)[raccordo con la corrente eulerianaesterna]{questaevoluzionerappresenta lessenzadelcarattereparabolicodelsistemadiequazioni}
Unarappresentazionepittoricadiquestofenomenoevolutivodatainfigura(6.4)..6.3 EFFETTI DELGRADIENTEDIPRESSIONE SULLO SVILUPPODELLO STRATO
LIMITE
Comevisto,usandos=xcomecoordinatacurvilinea,lostratolimitedefinitosoltantoinbasealgradientedipressione lungo laparetedelcorpo(unicoterminenonomogeneo),datodallasoluzioneEuleriana(esterna):
1 dp dU(s)U(s)ds ds
= (6.23)
Se lavelociteulerianasullapareteU(s)aumenta/diminuiscecon lascissas=x lapressionediminuir/aumenter.Ilpuntoincuilavelociteulerianamassima,dU/ds=0,corrispondealcasoisobarodp/ds=0.
Ovviamenteloscorrimentodiunaparticellafluidanellinternodiunostratolimiteostacolatodaglieffettidiattritoche,diffondendodallapareteversoilfluidogeneranovorticit.
Ilmotodellaparticellaagevolatose lapressionedecresce; laparticellapu, infattisfruttaresialapressionedinamica(backwind)cheilrisultantedeglisforzidipressionepervinceregliattriti.Inquestocasosidiceche ilgradientedipressionefavorevole[lavelociteuleriana(esterna)Ue(s)aumentacons,lapressionediminuiscecons].
Alcontrarioselapressioneaumentalungolaparetedelcorpo(inquantolavelociteulerianaUe(s)diminuiscecons)ilgradientedipressionesfavorevole,tantocheleparticellefluideinprossimitdellaparetepotrebberononessereingradodirisalireilcorpo.Adunacertaascissa
Fig.(6. 4) Andamento dello strato limite (molto magnificato) su di un profilo
C.GOLIAAerodinamica Capitolo6|12
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si fermano (puntodiseparazione), esuccessivamente invertono ilsensodelmoto (zonadiflussoinverso,i.e.ricircolazione,flussoseparato).
Peranalizzareglieffettidelgradientedipressionesullosviluppodellostratolimite,consideriamoduetipiciprofilidivelocit,unoincondizionidigradientedipressionefavorevoleelaltroincondizionidigradientesfavorevole.
Fig.(6. 5) Effetto del gradiente di pressione sulla forma dei profili di velocit nello strato limite
Notiamoche,perregimilaminari,losforzoviscosoproporzionalealladerivatadellavelocit
nelladirezionenormale: zuy
= =
equindiproporzionaleallapendenzadellacurva
u(y).
Ilpuntonellinternodellostratolimiteincuilosforzoviscosomassimodefinitoda.
Inquestecondizioni,dalladipendenzadi du/dy,risulta: ,chelacondizionedifles
soperilprofilodivelocit.Quindilosforzodiattritomassimoladdoveilprofilodivelocitu(y)presentaunflesso.Perpoterchiudere ilproblemaesaminiamo lequazionediPrandtl (6.21)valutandolasiasullaparetechesulbordoesternodellostratolimite.
SullapareteDovendoessere(dalla(6.10)u(0)=v(0)=0;iltermineconvettivonullo.Neconseguechesoloilgradientedipressionedevebilanciarequelcherestadelladivergenzadeltensoredeglisforzi:
wal
dpdx y
=
ovverosullaparete:2
2wal
1 dp udx y
=
(6.24)
BordoesternodellostratolimiteValutandolequazionediPrandtlallestremitdellostratolimitey+(lattritoperdefinizionedevetendereasvanire)risulta:
(6.25)
0dyd
=
0dy
ud2
2=
w2
2
yu
dxdp1
=
( ) 00yu
y,0
yu
2
2
2
2
yu0
y
==
( )
limite strato dello esterno bordo
2
2
00yu
y,0
yu 400ivorticidivonKarmandiventanoinstabilielasciadiventaturbolenta,ilCDdiminuisceconReD.PerReD
C.GOLIAAerodinamica Capitolo6|42
Aero_Cap6a.docx [Data pubblicazione]
perregimeturbolento. (6.95)
Esercizio6.17(svolto)Determinazionedeiparametridi interesseperun caso di strato limite turbolento su lastrapianaQuesto esercizio intende fornire allo studentel'ordinequantitativodituttiiparametridicuisiparlatofinora.Consideriamouna lastrapiana immersa inunacorrentediariaconvelocitasintoticadiU=50m/s.
Perl'arialaviscositcinematica:=1.46105[m2/s]
PartelaminareInquestapartelostratolimitesisviluppainmodosimile,allaBlasius,dacuideriva:
Latransizionesiverificaallorquandorisulta(Michel):
ovveroquandosiha:
dacui:Rex,trans=2525000;Re,trans=1055 ;Re*,trans=2734 Nederivachelatransizionesiverificaall'ascissa: xtrans=2525000(/U)=0.7373[m]Allatransizionesiha:
(xtrans) = xtrans5.0/sqrt(2525000) = 0.00232 [m](xtrans) = xtrans0.664/sqrt(2525000) = 0.0003 [m]*(xtrans) = xtrans1.7208/sqrt(2525000) = 0.000798 [m]cf(xtrans) = 0.664/sqrt(2525000) = 0.00042
Parteturbolenta:Calcoliamolecaratteristichedellostratolimiteturbolento,pocooltreallatransizione,adx=1[m].
AtaleascissailRex=1x50/(1.46105)=34246573.425106
Sipuassumere,condiscretaapprossimazione(leggedell'1/7),che:
dacui:
(x=1) = 0.37/(3424657)1/5 = 0.01825 [m]
(x=1) = 0.036/(3424657)1/5 = 0.00178 [m]
*(x=1) = 0.046/(3424657)1/5 = 0.00227 [m]
( ) 5/1xf
Re0576.0c =
xRe0.5
x)x(
=
xRe7208.1
x)x(*
=
xRe664.0
x)x(
=
xf
Re664.0
xc =
=
( ) 4.0.trans,x.trans. Re9.2Re ( ) ( ) 4.0.trans,x5.0.trans.x Re9.2Re664.0
( ) ( ) ( ) ( ) 51
xf51
x51
x51
x Re0592.0c ;Re046.0x* ;Re036.0
x ; Re37.0
x
xtran
x
U costante
C.GOLIAAerodinamica Capitolo6|43
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cf(x=1) = 0.0592/(3424657)1/5 = 0.00292
Fineeserciziosvolto
Apartiredaglianni40sonostatimessiadisposizionedeiricercatoristrumentazionisofisticate(qualilanemometroafilocaldo,lanemometrolaserdoppler,laP.I.V.)chehannoconsentitolamisuradi flussi fluttuanti inunampio spettrodi frequenze,con risoluzionimoltodettagliate.Questehannopermessounadescrizionequantitativaepuntualedellaturbolenza.Nel1940 ilUSNationalBureauofStandards,costruunnuovo tunnelaventoconun livellomoltobassoditurbolenza (=0.02; ivalorineitunneleuropeideltempoeranodell'ordinedi1.2). Inquestotunnelfueseguito (19401941) ilfamosoesperimentodiSchubauer&Skramstadche,perragionibelliche,vennetenutosegretofinoal1947.L'esperimentoconsistevanelmisurareconunfilocaldolevelocitavariedistanzedalbordodiattaccodiunalastrapianaeccitatadaunsottilefilovibrantesulbordodiattacco.L'interpretazionedeirisultatisperimentalidiquestaseriediesperimentiportaadunoschemadiprocessodellatransizionelaminareturbolento(inmotinondisturbati)deltipo:(i.e.nell'avanzaredalbordodiattaccoavallesiritrovanoleseguentizoneconlerelativefe
nomenologie):
regimelaminaredalbordodiattaccofinoaRex=9100092000 ondediinstabilitallaTS(i.e.ondediTollmienSchlichting)chesonoondevorticosebidimensionali,chesipropaganoversovalleconunavelocitdipocoinferioreaquelladellacorrente,conassenormaleallavelocitesternadettiocchidigatto,predettidallanalisilinearediinstabilit) leondeTSsidistorconodiventanotridimensionali(spanwisevorticity) leondeTScomincianoarompersi(inzoneadaltisforziviscosilocalizzati) leondepresentanounassequasiparalleloalladirezionedelmotobase con la coalescenza di onde nella direzione delmoto, si formano focolai di turbolenza"turbulentspots"conintensefluttuazionilocalichesispandonoavalle
laminare transizione turbolento
OndeT.S.
Vorticitdistorta
Rotturadei vortici
Nucleiturbolenti
Turbolenzacompleta
C.GOLIAAerodinamica Capitolo6|44
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dallaconfluenzadei"turbulentspots" ilregimedimoto diventacompletamenteturbolento(Rex=2.72.8milioni).
LesperimentosiriferivaadunavelocitesternadiU=24.4m/s(Reunitario=1.67milioni)
LatransizioneiniziaaRex=91000efinisceaRex=2.8milioni!Perunavelocitdi24.4m/squestiRexcorrispondonoaxcrit.=0.055m.; xtrans=2.275, la lun
ghezzadellazonaditransizioneparia2.222metri.Se ripetiamo idealmente gliesperimenti descritti e registriamo la variazione neltempodiunsegnaleelettricoproporzionaleadesempioalla velocit puntuale, ritroviamo andamenti del tipo in figura. Nelcaso laminare lavelocitcostanteneltempo,pertutti ipunti,anchese,ovviamente,
conintensitdifferenti.LasoluzionecoerenteconleequazionidiNavierStokes. Nellatransizione,semisuriamo lavelocit inunpunto,ritroviamo intervalliditempo incui
essacostante(ecircapariaquellalaminare)edaltriintervalliditempoincuisiritrovanoampieoscillazione(fenomenodiintermittenza).
Con tecniche di visualizzazioneistantanee, si ritrovano (per untempofissato)zonevorticoseseparate nettamente dalle zonelaminari.Con visualizzazione stroboscopiche,adistantiditempodifferenti, si ritrova che tale fenomenologia dovuta a nuclei vorticosicheviaggianoconunavelocitdipoco inferiore a quella media(pensaal topo che corre sotto iltappeto).Dalchesievincechelanalisidelsolomotomediononforniscelacompletadifferenzatralaminariteturbolenza.Nelmotolaminareinunostratolimitetuttelelineedicorrentescorronocostantementesiapureconvelocitdiversa.Lostratolimiteturbolentoinvececompostodanucleivorticosilacuifrontieranettamentedistinguibiledalfluidoesterno.
Ladifferenzatralaminareeturbolentoquindimoltomaggiorediquantosipotrebbedesumeredaiprofilimediatidivelocit
t t t
u
laminare transizione turbolento
laminare
turbolento
Sottostratolaminare
C.GOLIAAerodinamica Capitolo6|45
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Questinucleiintermittentisonodidimensionidifferenti,lontanodalleparetihannodimensionidellordinedellospessoredellostratolimite,quellipiinternihanno,manmanoversolaparete,dimensioniinferiori,finoadiventaremicroscopicinelleimmediatevicinanzedellaparetiperfinireadannullarsisudiessa,percuinelle immediatevicinanzedelleparetideveesisterenecessariamenteunsottostratolaminaresottilissimo.Eovviochelecapacitditrasportosonocompletamentedifferenti. nel laminare ladiffusionederivadafenomenia livellomolecolare(laviscositcinematica
proporzionalealprodottodelcamminoliberomolecolareperlavelocitdelsuono), nelturbolentoladiffusionederivaessenzialmentedallefluttuazionidellavelocitequindii
fenomenidiffusivisononotevolmentemaggiori..6.9.2 Proprietgeneralidellaturbolenza
Sebbene presente praticamente in tutti i problemi fluidodinamici (la lubrificazione forselunicoproblemaincuilaturbolenzaleccezioneenonlaregola)emalgradolenormeattivitdiricercachetuttoralanalizza,ilregimeturbolentorestaancoraunproblemanonchiuso.Definizionistoriche:VonKarman(1937): laturbolenzaunmotoirregolarecheappareinfluidi(liquidiegassosi),
attornoaparetisolideenellescie,Hinze(1975): ilmototurbolentodiunfluidounacondizioneirregolarediflussoincui
lequantitmostranounavariazionerandomneltempoenellospazio,taleperdapoteressererisolta(descritta)dadistintivaloriemediestatistiche,
Bradshaw(1976): laturbolenzacaratterizzatadaunampiospettrodiscale: lescaletemporali sono rappresentate da frequenze, le scale spaziali da lunghezzedondachepossonoesserefornitedaunanalisidiFourierdellevoluzionespaziotemporaledelfenomeno.
Conclusioniimportanti: laturbolenzanoncaos:essadescrivibilemedianteunanalisistatistica, lepipiccolescalediturbolenzasonoordinariamentemaggioridiquellemolecolari(cam
minoliberomolecolarelclm,tempomolecolaretmol=a/lclm,dovealavelocitdelsuono).Diconseguenza laturbolenzapuessereanalizzatadateoriemacroscopiche, i.e.sonoapplicabilileequazionidiNavierStokes,
laturbolenzageneratadallaperditadistabilitdelregimelaminare, laturbolenzairregolarit,caratterizzatadanucleivorticosidivariaedampiascala.Manon
tuttiicampivorticosisononecessariamenteturbolenti, laturbolenzaunfenomenofortementedissipativo;peresisteredeveesserecontinuamen
tealimentatadaenergiaaltrimentidecaderapidamente.Lenergianecessariaasostenerlatipicamentefornitadascorrimentiviscosi(perquestoilnumerodiReynoldsdeveessereelevato)odafenomenidigalleggiamentoviscoso(perquestoilnumerodiGrashoffdeveessereelevato),
C.GOLIAAerodinamica Capitolo6|46
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la turbolenza tipicamente tridimensionale ed instazionaria. Il termine di stretchingnellequazionedellavorticitunimportantefattorecheregolailtrasferimentoenergetico.Unanalisi2Dnonpotrmaiessercompletamentesoddisfacente,
La turbolenza regolatadauna cascatadi flussienergetici fluttuanti: le grosse strutturevorticoseprendonoenergiadalmotoesterno,elatrasferisconoastrutturemanmanopipiccole,chediventanosemprepidissipative.Ilmassimodelladissipazionesirealizzavicinoallaparete.Nelleimmediatevicinanzedellaparetequestestrutturevorticosenonpossonoesistere,quindisideverealizzarenecessariamenteunsottostrato laminarecheregoler losforzodiparete.
Conclusionedelleconclusioni
laturbolenzamateriaostica,nonancoracompletamentedefinita,moltisonoilavoriincorsomarappresentaunopportunitperigiovani.
.6.9.3 AnalisimediatadelleequazioniComedettoprima,ilcampoturbolento,diperseirregolareedinstazionario,puessereanalizzatomedianteanalisistatistiche.Traivaritipidistatistiche,quelladellamediatemporalepropostadaReynolds(1885),lapisempliceeserveabbastanzabeneifabbisognicomuni.
Nota:altremediesonopossibili:quellaspaziale:quelladiinsieme.,cherichiedonoanalisiedapproccidifferenti;mavalendoilprincipiodiergodicit:tuttelemediesonoallafineequivalenti,ciaccontentiamosperanzosicheilrisultatofinaledeve(odovrebbe?)esserelostesso.
Considerandosolocampiincompressibili(=costante,i.e.nonvisarannofluttuazionididensit)rimanequindidaanalizzarelequantitinstazionarieper:V(r,t), p(r,t), T(r,t)
Queste verranno assunte essere somma di una quantit media (sovra-barrata): ( ) ( ) ( )V r ,p r , T r di una quantit fluttuante (apicata) ( ) ( ) ( )V' r,t ,p' r,t , T' r,t
(6.96)
Lamediadellagenericagrandezzafdefinitacome:
(6.97)
Ladefinizionevabene teoricamente (ilperiodo infinito),maaspettareuninfinit tropposcomodo(lafinedelmondo!).Inrealtbastaprendereunperiododitempoabbastanzapigrandediquellomassimorilevabilenellafluttuazione
[inpraticaperproblemidi fluidodinamicaconV=20m/sbastaunperiododi20 secondi;perproblemigeostrofici(macrometeorologia)sipuarrivareaqualcheora!].
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t,r'TrTt,rT;t,r'prpt,rp;t,r'VrVt,rV +=+=+=
( )
=
Periodo
0Periodo
dt)t,r(fPeriodo
1limr f
C.GOLIAAerodinamica Capitolo6|47
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LeequazionidiNavierStokesmediateprendono ilnomediRANS(ReynoldsAveraged NavierStokes)ConsideriamoleequazionidiNavierStokesincompressibilecomplete:
(Nota:abbiamousatolaformaconservativa(dettadivergente),i.e.ilbilancioq.d.m.)
Introduciamonelleequazionilegrandezzedicampo(Velocit,pressioneeTemperatura)espressecomesommadeivalorimediedellelorooscillazioni:
otterremo:
Essendointeressatialvalormedio,applichiamoaquesteequazionil'operatoredimedia,ottenendo:
(Nota:abbiamofattousodellacontinuitperavereunaequazionediequilibrio)
IlmaggiorecontributodiReynoldsfudispostareadestradelleequazioniiterminidellefluttuazioni,inquestomododefinendo:
e(questaespressionerigorosamentevalidasoltantoperstratilimite):
leequazionidiNavierStokesturbolente(mediate)sipossonoscriverequindi:
0V =
+= TDtDTc 2v
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t,r'TrTt,rT;t,r'prpt,rp;t,r'VrVt,rV +=+=+=
( ) 0'VV =+
( )( ){ } 'VV'pp'VV'VVt'V
tV 22 ++=
+++
+
( ) ( ) ( )'VV'TT'TT'VVt'T
tTc 22v +++=
+++
+
0V =
( )Vp
x'u'u
DtVD 2
j
ji +=
+
( )2
i
j
i
j
j
i
j
i2
i
ivv x
'uxu
x'u
xu
2T
x'T'uc
DtTDc
+
+
+
+=
+
( )
ento turbol+ laminare = sforzo
'u'uxu
xu
= turblamjij
i
j
iij +=
+
o turbolent+ laminare= caloredi flusso
'T'uc xT q iv
ii +
=
'v'uyu
yu
0V =
( ) V p V V t V 2 + =
+
C.GOLIAAerodinamica Capitolo6|48
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IlproblemasispostaquindinellamodellazionedeicosiddettisforzidiReynolds,ovveroilproblemadellachiusura
Notiamoche:ladizioneusataperlosforzoturbolento: bengiustifi
catadallaconsiderazionecheiltensoredeglisforzi,perdefinizione,pariamenoilflussodiffusivodiquantitdimoto,sicch,perlafattispecie,siidentificatalafluttuazioneturbolentaadunfenomenodiffusivo(dellostessotipodiquellocheavvienealivellomolecolare)
Daquestopuntoinpoiometteremo,persemplicitdinotazione,ilsegnobarratoperlequantitmedie.
.6.10.LOSTRATOLIMITETURBOLENTO
Assumendochelacoordinata"x"siaparallelaallacorrenteesterna,ela"y"normaleallaparete,conl'ipotesichelospessoredellostratolimitesiapiccolo:(x)
C.GOLIAAerodinamica Capitolo6|49
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Questalaformapigeneraledellequazionidiequilibrioperlostratolimiteincompressibileturbolento.
L'ultimotermineadestrarappresenta l'effettodeglisforzinormaliturbolenti;essocomunementetrascuratonell'analisidistratilimiti,anchesepotrebbeessereimportanteneipressidelpuntodiseparazioneturbolento.Seadottiamo,perstratilimite,lenotazionisinteticheperlosforzototaleeperilflussodicaloretotale:
e
ilsistemadiequazionidellostratolimitesiscriveinformacompattacome:
Ilsistemadiequazionideveesserecompletatodallecondizionialcontorno:
L'equazioneintegraledivonKarmanturbolentaperlaquantitdimotorisultaessere:
Disolitol'ultimoterminevienetrascurato,perchritenutodiordineinferiore.E'dapuntualizzareperchenellevicinanzedellaseparazionetaleterminerisultaesseredellostessoordinedelcfpercuidovrebbeesseretenutoinconto.
Trascurandotaletermine, l'equazionediVonKarmanper lostrato limiteturbolentomantienelastessaformadelcasolaminare:
(6.98)
Ma,mentrenelcasolaminareiparametri,H,cfpotevanoesserefacilmentecorrelatialprofilodivelocitassunto[equindinederivavaesplicitamenteunaequazionedifferenzialeordinariadarisolvere],nelcasoturbolentolacorrelazionetraiparametri,H,cfmoltopicomplicata,epurichiederel'usodiulteriorirelazioni(taloraanchealtreequazionidifferenziali).
+=
+ 22 'v'u
x'v'u
yu
ydxdUU
yuv
xuu
'v'uyu
turblam
=+= 'T'vcyTqqq vturblam
=+=
0yv
xu
=
+
y1
dxdUU
yuv
xuu
+=
+
yu
yq
yTv
xTucv
+
=
+
)x(T=(x,0)T ; 0'v'u)0,x(v)0,x(u :paretesulla w===
)x(T)(x,T ; )x(U),x(u :S.L. dello esternoall' eT ==
( ) dxU
'v'u
dxd
2c
dxdU
UH2
dxd
0 2
22
f
+=
++
( )2c
dxdU
UH2
dxd f=++
C.GOLIAAerodinamica Capitolo6|50
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Comenel laminare,ancheper lostrato limiteturbolentosonostatipropostimoltimetodiallaThwaitescheintegranoinmodoapprossimatola(6.81)accoppiatadacorrelazioniperilcoefficientediattritoallaparete.Preferiamoinquestocontestoproporreallostudenteunnuovometodo(Head)cheillustracomeper ilturbolentooccorretaloraricorrereanuoveequazionidibilancioperritrovaregrandezzecheaiutanolecorrelazionitralegrandezzeturbolentediinteresse..6.10.1MetododiHead
LequazionedivonKarmanunaequazionedifferenziale per la variazione dello spessore di quantit dimotochevienecorrelatacon lo spessoredi spostamento(ovveroilfattorediformaH=()eilcoefficientediattritolocali.Neiregimilaminaritalicorrelazioniavvengonoattraversoilprofilodivelocit.Neiregimiturbolenticinonpossibile.Sivistonelcasodellalastrapiana(stratolimiteisobaro)chesidevericorrereadunacorrelazioneperilcoefficientediattrito.Per strato limitonon isobaro,restailproblemadicorrelarecon*.Scopodiquestometododiproporreunaformulazioneintegraleperstratilimititurbolentidoveallasolitaequazionedivon Karmanper,siaggiungeunulterioreequazionedifferenzialeperlevoluzionedelfattorediformaH.Nonostantelasempliceimplementazionequestometodoforniscerisultatidigranlungamiglioritraquellicheusanoformulazioniintegrali,percuimoltousatonelleapplicazionitecnicheedestensibilealcompressibile.
IlmetododiHeadsibasasull'ideachelostratolimiteturbolentocrescetramiteunprocessoditrascinamentodiflussononturbolentochesulbordoesternovieneinglobatonellaregioneturbolenta.
LaportatavolumetricaQ(x)chepassaadunadatastazioneperdefinizione:
(6.99)
Dalbilancioglobalediuncolonnaelementare(dx)distratolimitederivache:lavelocitditrascinamentoVE:
(6.100)
ildifettodivolumeespressotramitelospessoredispostamento
(6.101)
Integrandol'espressionedeldifettodivolumesiricava:
(6.102)
dyu)x(Q)x(
0
=
dxdQVE =
( )dyuUU*)x(
0ee
=
( )*UQQUU* eee ==
y= (x)
Q(x) Q(x+dx)
dx
VE dx
C.GOLIAAerodinamica Capitolo6|51
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Percuil'equazioneperlavelocitditrascinamento:
(6.103)
IlmetododiHeadassumechelacomponentenormalealbordodellostratolimitedellavelocitditrascinamento,VE,dipendesoltantodalfattorediformaHtramitel'equazione:
( ) ( )E e 1e e
V 1 dU * F H H
U U dx = = (6.104)
SesidefinisceunfattorediformaH1:
(6.105)
l'equazioneditrascinamentopuesserescrittacome:
(6.106)
HeadassumecheH1edFsonocorrelabilialfattorediformaHmediantelerelazioni:
(6.107)
edusa,perilcoefficientediattrito,lacorrelazionediLudwiegeTillmann:
(6.108)
IlmetododiHeadsibasaquindisudueequazionidifferenziali:
(6.109)
chevengonointegrateconl'ausiliodelletreequazioniscalaridefiniteperF(H1),H1(H),cf().Lecondizioniinizialirichiedonolaspecificazione,all'ascissainiziale,dellospessorediquantitdimotoedelfattorediformaH.Perilcriteriodiseparazionedellostratolimiteturbolento(fattosuH=2.5)valgonoleconsiderazionigidetteprecedentemente.
( )[ ]dx
*UdV eE
=
=*H1
( ) FUHUdxd
e1e =
( ) 6169.01 0.3H0306.0F =
( )( )
+
+=
1.6 H: 3.3778.9H5501.0
1.6 H: 3.31.1H8234.0H
064.3
287.1
1
( )268.0
eH678.0f
U10246.0c
=
( )2c
dxdU
UH2
dxd f=++ ( ) FUHU
dxd
e1e =
C.GOLIAAerodinamica Capitolo6|52
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.6.11 PROCEDUREDICALCOLOPERSTRATILIMITECOMPLETI
Unaproceduradicalcoloperunostratolimitecompletodovrtenereincontosialapartelaminarechelatransizioneedinfinelaparteturbolenta,edilcodicedovressereestesofinoalpuntodiseparazione.Neiparagrafiprecedentiabbiamoesposto letecnichedicalcolo,nonch i criteriper ladeterminazionedelpuntoditransizionenonchdellaseparazione(incampo laminareed incampoturbolento).Consideriamopersemplicitiduecasi: ilprimosemplice(diinteresseformativodibase)lostratolimitesulastrapiana(velocit
esternaeulerianacostante=pressionecostante), ilsecondopigenerale(diinteressepratico)distratolimitecongradientedipressione.E'dapremetterecheinentrambiicasi,disolitosiconsidera(perovvimotividisemplificazione)che latransizioneavvengapuntualmente: ilmodellodicalcoloper lostrato limitesarquindicambiatobruscamenteall'ascissacurvilineaallaqualesisarannodeterminate lecondizionidicambiamento(transizione)delregimedimoto..6.11.1 StratolimitesulastrapianaIn questo caso il calcolo iniziadalbordodiattacco,all'ascissax=0,perlaqualesiassumechetuttiglispessoridistrato limite ( di spostamento, dellaquantit dimoto e dell'energiacinetica)sononulli.E'danotarecheineffettinelleimmediatevicinanzedelbordodi attacco le ipotesi di stratolimitenon sonovalide,percuipotrebberoesisteredelledifficoltnumerichechedisolitosialleviano partendo non dall'ascissa x=0 ma da un'ascissaimmediatamentesuccessiva:x=0+x.E'darilevareinoltrecheinquestoproblemanonsipotrverificareseparazione.Ilcalcolosiavviaquindiipotizzandounregimelaminarefinoallatransizione(determinataades.conilcriteriodiMichel)chesisupponeavvenirepuntualmente.Inquestaascissaditransizionesiassumecontinuitperlospessorediquantitdimotoma,occorretenereincontoche,acausadelledifferenzeneiprofilidivelocittraunostratolimitelaminareeduno turbolento, il fattoredi formaH= nonpotressere lo stesso (equindicontinuo).IlsaltodiHnellatransizionevienedisolitoassuntoinfunzionedelRelocale:
(6.110)
*
( )
50000 Rese 357.1 50000 Rese Relog114.0821.0
H
>+
=
H
Hturbolentolaminare
xtransizione x
xturbolentax=0
C.GOLIAAerodinamica Capitolo6|53
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Avolte,perilcalcolodellaparteturbolenta,convieneintrodurreun'ascissafittiziaxturb,chehaorigineamontedelpuntoditransizioneedtaleche,nelpuntoditransizione,siverifichi lostessovaloredellospessorediquantitdimoto.Questaascissa fittiziaagevolaenormemente ilcalcolomanualedello strato limite turbolentofacendousodellevarie formuleproposteper ladeterminazionedeiparametridi interessedistratolimite.Instimediprimaapprossimazionetaloralecitoignorarecompletamentelapartelaminare,inquanto,peraltiRe,questamoltopocoestesa.6.11.2 Stratolimitecongradientedipressione
Inquestocaso(perprofilialari)sipartedalpuntodiristagnoanterioredicuisiconoscelospessorediquantitdimoto[unasoluzionesimile,vediancheesercizio6.4].Ipotizzandoun regime laminaresiprocede (lungo ildorsoo lungo ilventre)con ilmetododiThwaithesusandolasoluzioneeulerianadivelocitsulprofiloedilReynoldsriferitoallaUedallacorda.Sipossonoincontrarevariesituazionichederivanodallalocalizzazionedelpuntoditransizioneinrelazioneallaeventualeseparazionelaminare.Ilproblemadiscendedallaeventualitchesiverifichilaseparazionelaminareprimadellatransizionealturbolento.
Nelprimocaso(presenzadiunabollalaminare)sidovresaminarelapossibilitdiunriattaccoturbolento.
La fenomenologiadibolla laminaresulbordodiattaccostatagicommentata inparagrafiprecedenti(tipicadiprofilisottiliconaltacurvaturasuldorsoapiccoliangolidiincidenzaeReynoldsmoderati)
AnumeridiReynoldsrelativamentebassinellazonadiseparazionelaminareimoticonvettividiricircolazioneintroduconodisturbitalidainnescarenellostratolimitesovrastantelatransizionealturbolento(allasezionedimassimaestensionedellabolla).Sirealizzacosunprofilodivelocitmoltoschiacciatoedenergicochepuraggiungerelasuperficieperrealizzareunriattaccoturbolento.Inquestomodosirealizzaunabolla(inpartelaminareedinparteturbolenta)intrappolatatrailpuntodiseparazionelaminareequellodiriattaccoturbolento.Duedistintitipidibollesonostatiosservati:1. unabollacorta (dellaestensionedello1%dellacorda,equivalenteacirca100spessoridi
spostamentoallaseparazione)cheesercitauneffettotrascurabilesulpiccodisuzione immediatamenteavalledellabolla,equindiunpiccoloeffettosulladistribuzionedipressionieulerianedibase(campoesterno).
2. unabollalungachepuavereunaestensionemoltoampia(da23%dellacorda,equivalentea10000spessoridispostamentoallaseparazione,finoaricopriretuttoildorsodelprofilo)cheesercitaunanotevoleinfluenzasulledistribuzionidipressione(campoesterno).
Unutileesemplicecriterio(OwenKlanfer)perstabilireiltipodibolla,usacomeparametroilvaloredelnumerodiReynoldsbasatosullospessoredispostamentoalpuntodiseparazione:
: Se
C.GOLIAAerodinamica Capitolo6|54
Aero_Cap6a.docx [Data pubblicazione]
Se >550sicreaunabollacortachesimuoveversocodaall'aumentaredell'angolodiincidenza.
Pervaloriintermedisipossonoverificareentrambiicasi.Unateoriasemiempiricacheanalizzalacrescitael'esplosionedellebollelaminaristataelaboratadaNorton,Questaanalizza,inparticolare,lecondizioninecessarieperilriattaccodellostratolimiteoperlaesplosionedellabollainfunzionedellecaratteristichedistratolimiteedelladistribuzionedellevelociteulerianeavalledellaseparazione.Ilmodellosibasasull'ipotesichelabollasiadivisainunapartelaminareedinunaparteturbolenta,echenellazonalaminarelavelocitesternarimangapraticamentecostante.Irisultatiditalemodellazioneportanoalleseguenticonclusioni: La lunghezzadellaparte laminaredellabolladipendedalnumerodiReynoldsbasatosullo
spessorediquantitdimotoalpuntodiseparazione:
Ilriattaccoturbolentodipendedalparametro""diburst(esplosione)diCrabtree[chedipendeinmododeboledal(Re)S]calcolabileinbaseallevelociteulerianeall'ascissadiseparazioneUe,Sedall'ascissadiriattaccoUe,R:
:
Perpoterapplicaretalecriteriooccorrevalutarelevelociteulerianeall'ipoteticopuntodiriattacco,atalfineunastimadellalocazioneditalepuntovienefattamediantelavalutazionedellalunghezzadellabollaincondizionediburst:
Indefinitivanediscendonoiseguenticriteri:
(Re)S
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CHEKOUT
Lostudentedovrebbeesserecoscientedi:
concettodistratolimite ordinedigrandezzainfunzionedelReynolds equazionidellostratolimite parametriingegnerisitici(spessoridispostamento,quantitdimoto,fattorediforma) soluzionisimili formulazioneintegrale metododiThwaites fenomenologiedellaturbolenza criterioditransizioneeraccordotrasoluzioni analisimediatadelleequazioniRANS stratolimiteturbolento metododiHeads operareconmetodinumericisustratilimiticompleti