Aero_2009_Cap6a.pdf

C.GOLIAAerodinamica Capitolo6|1

Aero_Cap6a.docx [Data pubblicazione]

Capitolo6

StratoLimite

Scopodelcapitolo6

Fornireallostudenteleconoscenzedi: baseecapacitdielaborarestrumenti idoneialcalcolodistrati limitidiparetepercampi

pianiedassialsimmetrici stratilimitisimililaminari stratilimitisimiliturbolenti formulazioniintegralielorointegrazione evoluzionedellostratolimite(laminaretransizioneturbolentoseparazione), calcolodeivariregimi

SiproponeunProgettodiricercaperilcalcolocompletodistratolimitesuprofili.



IndicedelCapitolo6

.6.1 Generalit ........................................................................................................................................................ 2

.6.2 Le approssimazioni di Prandtl per lo Strato Limite Dinamico ....................................................................... 5

.6.3 Effetti del Gradiente di Pressione sullo Sviluppo dello Strato Limite ........................................................ 11

.6.4 Parametri di Interesse dello Strato Limite .................................................................................................... 16

.6.5 Soluzioni simili ............................................................................................................................................ 19 .6.5.1 Campi potenziali che ammettono soluzioni di strato limite simili ...................................................... 23 .6.5.2 Lo strato limite simile isobaro (lastra piana o intorno del punto di massima velocit) ....................... 24 .6.5.3 Strato limite nellintorno di un punto di ristagno (piano) .................................................................... 25

.6.6 Metodi Integrali ........................................................................................................................................... 27 .6.6.1 Strato limite isobaro ............................................................................................................................ 30

.6.6.1.1 Regime laminare ........................................................................................................................ 30 Esercizio6.1......................................................................................................................................................... 32 Esercizio6.2......................................................................................................................................................... 32 Esercizio6.3......................................................................................................................................................... 32 .6.6.1.2 Regime turbolento ..................................................................................................................... 32

.6.6.2 Strato limite con gradiente di pressione .............................................................................................. 33 Esercizio6.4**(fondamentale) ........................................................................................................................... 34 Esercizio6.5......................................................................................................................................................... 34

.6.7 Metodo di Thwaites per Strato Limite Laminare ......................................................................................... 35 Esercizio6.6 ..................................................................................................................................................... 36

Esercizio6.7(fondamentale) .............................................................................................................................. 36 .6.8 Metodi integrali per strati limiti assialsimmetrici .................................................................................... 36 Esercizio6.8 ................................................................................................................................................................ 37 Esercizio6.9 ................................................................................................................................................................ 37 Esercizio6.10 .............................................................................................................................................................. 37 Esercizio6.11 .............................................................................................................................................................. 37 Esercizio6.12 .............................................................................................................................................................. 37 Esercizio6.13 .............................................................................................................................................................. 37 .6.9 Introduzione alla Turbolenza .................................................................................................................. 38 Esercizio6.14 .............................................................................................................................................................. 38 Esercizio6.15 .............................................................................................................................................................. 38 Esercizio6.16 .............................................................................................................................................................. 39

.6.9.1 Fenomenologia della Turbolenza ........................................................................................................ 39 Esercizio6.17(svolto) ............................................................................................................................................. 42 Determinazionedeiparametridiinteresseperuncasodistratolimiteturbolentosulastrapiana ...................... 42 .6.9.2 Propriet generali della turbolenza ...................................................................................................... 45 .6.9.3 Analisi mediata delle equazioni .......................................................................................................... 46 .6.10. Lo Strato limite turbolento ............................................................................................................................ 48 .6.10.1 Metodo di Head .......................................................................................................................................... 50

.6.11 PROCEDURE DI CALCOLO PER STRATI LIMITE COMPLETI ...................................................... 51 .6.11.1 Strato limite su lastra piana ................................................................................................................. 52 6.11.2 Strato limite con gradiente di ............................................................................................................. 53

Lafenomenologiadibollalaminaresulbordodiattaccostatagicommentatainparagrafiprecedenti(tipicadiprofilisottiliconaltacurvaturasuldorsoapiccoliangolidiincidenzaeReynoldsmoderati) .. 53

CHEK-OUT ................................................................................................................................................................ 55



IndiceanaliticodelCapitolo6ascissax(curvilineatangenteallaparete)ditipotemporale 10

Blasius 18bollalaminare 50Bradshaw 42Coefficientediattrito(locale)diparete 16componentesignificativanellinternodellostratolimitedeltensoredeglisforzi 9

componentesignificativanellinternodellostratolimitedivorticit 9

condizionediflessoperilprofilodivelocit 11condizionidisimilitudini 19corpiaerodinamicamentesnelli 4corpiaerodinamicamentetozzi 4corpiaerodinamici 4corpitozzi 4correlazionediLudwiegeTillmann 48Crabtree 51crisidellaresistenza 38criteriodiseparazionestratolimiteturboento48criteriodiMichelperlatransizione 36definizionedistratolimite 5diedripiani 21difettodimassa 15equazionedellacontinuit 6equazionedellaquantitdimotoindirezionenormaleallaparete 7

equazionediBlasius 19equazionediVonKarman 26equazioneintegraledivonKarmanturbolenta 46equazioneperlavelocitditrascinamento 47equazioni(approssimate)diPrandtldelloStratoLimite(laminare) 9

equazionidiEulero 2equazionidiFalknerSkan 19equazionidiNavierStokes 2equazionidiPrandtldelloStratoLimite 4esperimentodiSchubauer&Skranstad 39Falkner&Skan 19fattorediforma 16fattorediformaH 26fattorediformaH1 47flussiallaOseen 37flussiallaStokescreepingflows 37flussoseparato 11funzionidiStratoLimitediThwaites 32gradientedipressionefavorevole 11gradientedipressionesfavorevole 11Hperstratilimitelaminare 16Hperstratilimiteturbolenti 16Hinze 42intensitpercentualediturbolenza 35IVP 20

lascissay(normaleallaparete)ditipospaziale 10

lapressionesitrasmetteinalterataindirezionenormaleallaparetenellinternodellostratolimite 8

massimodelloforzoviscoso 13metododiThwaithes 50motocompletamenteturbolento 40Norton 51numerodiStrouhal 37occhidigatto 40ondediTollmienSchlicting 40ordinedigrandezza 4ordinedigrandezzadeglieffetticonvettivi 5ordinedigrandezzadeglieffettidiffusiviviscosi6OwenKlanfer 51paradossodidAlembert 2parametro""diburst 51parametrodiformadiThwaites 31parametrodiPohlhausen 30polinomialediPohlhausen 30Prandtl 3pressionediparetep(x),quellachederivadalleequazionidiEulero(stazionarie)calcolatesullaparete 8

problemadellachiusura 44profilodiPohlhausen 29profilodivelocitpresenterunflessonelpuntodimaxsforzoviscoso. 12

puntodiseparazione 11Quantitdimotonelladirezionex 7quantitfluttuante 43quantitmedia 43RANS 43regimelaminare 35;36regimesubcritico 38regimesupercritico. 38regimeturbolento 35Reynolds 36;42;44ricircolazione 11sciadiVonKarman 37separazionelaminare 13separazionelaminareinzonecongradientedipressionesfavorevole 13

sforzidiReynolds 44soluzionedellequazioneintegralediVonKarman 27

spanwisevorticity 40spessorediquantitdimoto 16spessoredispostamento 15StratiLimite 3stratolimitedefinitosoltantodalgradientedipressionelungolaparetedelcorpo 10



stratolimiteisobaropuntodiflessodelprofilodivelocitsullaparete 12

stratolimiteproblemaditipoparabolico 10stratolimiteturbolentoisobaropotenzaadunsettimo: 29

sviluppodellostratolimitesudiunlastracurva 12

teoriaintegraleequazionedifferenzialeordinaria 24

teoriaintegraleperunacolonnaelementarediStratolimite 24

Timman 34TPBVP 20Tracomabridge 37

transizione 35;36transizionesulastrapiana 38trasformazionedicoordinatesimili 18turbolento 36turbulentspots 40valoriincognitidif(0)perlaFalknerSkan 21VanDriest 18velocitditrascinamento 47VonKarman 24VonKarman 42vorticidivonKarman 38x=scomecoordinatacurvilinea 10zonadiflussoinverso 11



.6.1 GeneralitLadeterminazionedicampidimotostazionarieviscosirichiedelarisoluzionedelleequazionidiNavierStokesche,nelleipotesipisemplici(M2



Prandtl(1904)osservperprimocomevarianoicampidimotoinpresenzadiunaparetealvariaredelReL.EglinotchepergrandivaloridelReL(tipicamentemaggioridi1000)glieffettiviscosisulladeviazionedellelineedicorrenteeranosensibilisoloinunazonamoltosottileequasiaderenteallaparete.

Fig.(6. 1) Effetti della viscosit sulle linee di corrente (non in scala, molto magnificati)

Eglistimperquestazonaspessoridellordine:

perregimilaminare [tipicamentepervaloridiRex3106]

Prandtlchiamtalizone,moltosottili,incuiglieffettiviscosisonodellostessoordinediquelliconvettivi:

StratiLimitePeravereunasensazionetattiledellordinedigrandezzadeglispessoridellostratolimite,osserviamolatabellinaricavataconlestimesoprafatte.

Rex 104 105 106 107 108

(/x)lam 0.050 0.016 0.005 (/x)turb 0.023 0.014 0.009

DallanalisidellatabellasinotacheperRex=10

6(casoincuipossonocoesisterestratilimitilaminareoturbolento)allafinediunalastralunga1metro(nederivaunavelocitdipocoinferiorea10m/sper lariaedi1m/sper lacqua)glieffettiviscosisonoapprezzabilialmassimoentrounaregioneaderenteallapareteespessa5millimetrise il regime laminare,espessa23millimetriseilregimeturbolento.

Unazonaveramentemoltosottile,daquisigiustificaladenominazionediStratoLimite!

Ivalorideglispessoridiquestistratisono,quindi,tantopiccolidapoterassumere,inprimaapprossimazione,chelelineedicorrenteesternesonopocoinfluenzatedallapresenzadellapareteedairelativieffettiviscosi.

xRe5

x

5/1xRe37.0

x



Neseguechelasoluzioneeuleriana(senzaattritoequindisenzastratolimite)daruncampodipressionisuperficiali(calcolabileconilteoremadiBernoulliunavoltanotoilcampodivelocit)dipocodifferentedalcampodipressionimisuratosullapareteincondizionireali.Noncredibile, infatti,pensareche lapressionecalcolatasullaparetesiamoltodifferentedaquellamisurataaldifuoridellostratolimite,cheadappena5millimetrididistanzadaessa.

Ovviamentelaraffigurazioneprimafattavalesolopercorpiaerodinamicamentesnellii.e.piccolospessore,piccolocamber,piccoloangolodiattacco,ciocondizioni incui ilcorpo introducepiccolidisturbiallacorrente.

Percorpiaerodinamicamente tozzi,cioogniqualvoltachealmenounadellecondizioniprimadefinite vienemeno, le cose variano. Lo stratolimite non sar capace di rimanere attaccatosemprealcorpo,siseparercreandozonedidistaccoediricircolazione.Inquestezonelelineedicorrentenonseguirannopilaformadelcorpo(equindilusodellepressionicalcolateconleequazionidiEuleroedilteoremadiBernoullicompletamenteerrato).

Cipremesso, linteressediPrandtlsispostadanalizzare la forma (approssimata) delle equazionichesonovalidenellinternodelloStratoLimite.AtalpropositoPrandtlanalizztuttiiterminipresentinelleequazionidiNavierStokes,peranalizzarnelatrascurabilitdialcuniterminirispettoaglialtri,imponendosololadefinizioneche:

nellinternodellostratolimitelordinedigrandezza(massimo)deiterminiviscosideveesserepariaquello(massimo)deiterminiconvettivi.

Inbaseataleanalisisiderivanoequazioniapprossimate(detteequazionidiPrandtldelloStratoLimite)chepermettonounasempliceprocedura.Unavoltaritrovata lasoluzioneEulerianasulcorpo (i,.e.determinare ladistribuzionedivelocitUe(x)detteesterneovveroeuleriane,calcolabileadesempioconunsemplicemetodoapannelli),sipotrcalcolaresuccessivamente,conunaltrocodicelosviluppodellostratolimitesullaparete:glieffettidiattrito(coefficientidiattritolocale),ilpuntoditransizionelaminareturbolento,lostratolimiteturbolento,laseparazioneturbolenta,equindi lazonadiricircolazioneedisciadovesiassumepressionecostantemoltoprossimaaquellaatmosferica(vieneamancareilrecuperodipressioneinquantolavelocitnonvaazerosulcorpo).Inquestomodopossiamodeterminare,perognipuntodelcorpo,oltrelapressione(direzionenormaleallasuperficie)anchelosforzoviscoso(direzionetangenteallasuperficie)esipucoscalcolare[comevistoall'iniziodelcorso],conunasempliceintegrazionesuperficiale,ilsistemadiForzeaerodinamiche:Portanza,laResistenza(diattritoedipressione)edilMomentoMorispettoalpuntoO(bordodiattaccoofuocoaddellacordaperprofilialari)equantoaltro.

PercorpiaerodinamicidisolitosiscegliecomesuperficiediriferimentoSquellainpiantaS=cb [ccorda,bapertura (unitariaperprofili)]e lacordacome lunghezzadiriferimentoL=c.

Fig.(6. 2) Corpi aerodinamicamente tozzi



Percorpitozzidisolitosiscegliecomesuperficiediriferimentola(massima)sezionefrontale,eilrelativodiametroequivalentecomelunghezzadiriferimento .

In lineadimassima i coefficientiaerodinamici saranno funzionedellangolodiattacco,delnumerodiReynoldsrelativoallalunghezzadiriferimento,delnumerodiMach,ed,ovviamentedellaformadelcorpoedellascabrositdellasuperficie..6.2 LEAPPROSSIMAZIONIDIPRANDTLPERLOSTRATOLIMITEDINAMICO

Leequazioniapprossimatedello strato limite (equazionidiPrandtl)vengono ricavate,adunprimolivellodistudio,medianteun'analisidegliordinidigrandezzadeivariterminidelleequazionicompletediNavierStokes,osservandoche lescaledelle lunghezzeedellevelocitnelladirezionetangenteallasuperficie(x)sonodigran lungamaggioridiquellenelladirezionenormaleallaparete(y).

Ilfattochelordinedigrandezzavariaasecondoledirezioni,pusembrarealliniziostrano,maperconvincerelincredulostudente,siproponeunpiccoloesperimentoschematizzatoinfigura:

1. accendereunacandelaevisualizzarelalonedellafiammella,2. porreilditoverticalmentea3mmcircadallafiammaindirezionelatera

lex(eapprezzareiltepore)3. porre ilditoorizzontalmentea3mmcircasopra lafiamma indirezione

assialez(edapprezzareilbruciore),4. dopopochisecondimettere,dicorsa,ilditosottoilrubinettodellacqua,5. infinerimeditaresulladipendenzadegliordinidigrandezzadalledirezioni.Approfondimentifuturianalizzeranno,piseriamenteerigorosamente,lostratolimiteconla

tecnicadelleespansioniasintotiche.

Leconsiderazionirisolutivediscendonodalladefinizioneripropostadistratolimite:

zona(inprossimitdipareteoinscia)incuil'ordinedigrandezzadeglieffetticonvettivi(i.e.flussodiquantitdimoto)pariaquellodeglieffettidiffusivi[i.e.divergenzadeltensoredegli

sforzi,attrito].

Fig.(6. 3) Schema dei processi che compongono lo strato limte

SL

x

(x)

U

convezione

diffusione viscosa

U

u(y)



Daquestaultimadefinizione sipu stimaremolto semplicemente l'ordinedigrandezzadellospessore(x)dellostratolimitesuparete,considerando(Fig.6.3)che: L'ordinedigrandezzadeglieffetticonvettivinelladirezione(x)delflusso sem

plicementeU2/x L'ordinedigrandezzadeglieffettidiffusiviviscosi normalmenteallaparete

(direzioney)semplicemente/(U/)/,

Dall'eguaglianzadegliordinidigrandezzanediscendelastima:

(6.4)

Inbaseallemotivazionisoprafattesipuassumereche:

(0



Perquantoriguarda lapressione,essendo lospessoredelloStratoLimitemoltopiccolo,assumiamochelordinedigrandezzadellascaladipressionesiaquelladiriferimento,ricavabiledalteoremadiBernoulli.

InconclusioneriportiamogliordinidellescaledituttelegrandezzeedeglioperatorichecompaiononelleequazionidiNavierStokes:

O(u)=U O(v)=U/L O(x)=L O(y)=O(u/x)=U/L O(u/y)=U/ O(v/x)=(U)/L O(v/y)=(U)/(L)=U/LO((*)/x)=(*)/L O((*)/y)=(*)/ O(p)=prifUe2

Possiamooraanalizzarelealtreequazioni.

Quantitdimotonelladirezionex(direzionelungolasuperficie):

(6.8)

Dallesamedella(6.8)siricava:

cheidueterminiconvettivisonodellostessoordinedelterminedipressione,

che dei due termini nella parentesi quadra a destra dellequazione il primo termine(2u/x2)trascurabilerispettoalsecondo(2u/y2)essendo



Dallesamedella(6.11),siderivacheidueterminiconvettivi(asinistradellequazione)sonotutti dello stesso ordine e che, dei due termini nella parentesi quadra (a destradellequazione),ilprimotermine(2v/x2)trascurabilerispettoalsecondo(2v/y2)attesalapiccolezzadirispettoadL.Nederiva:

22

2

2

2

UUULL

v v 1 p vu vx y y y

+ = +

(6.12)

Richiamando,dalla(6.4),lordinedi U 2/L,nederivanogliordinidigrandezzadeiterminidella(6.11):

2 22

22

2

2

U UULL

v v 1 p vu vx y y y

+ = +

(6.13)

Dalla (6.13) si nota che le scale dei termini convettivi e diffusivi viscosi sono entrambedellordineU2 /L2mentrequellodelgradientedipressioneindirezione(y)normaleallapareteU2/ .Facendoilrapportotralordinedelgradientedipressioneindirezione(y)normaleallapareteU2/rispettoaglialtriterminiU2 /L2siricava:

[U2/]/[U2 /L2]=(L/ )2

Essendo



(6.17)

Notiamo infineche,con leapprossimazionifattesullescale(intabella),sipudimostrarechenellinternodellostratolimite:

lunicacomponentesignificativadeltensoredeglisforzi:

xyuy

=

(6.18)

l'unicacomponentesignificativadivorticit(normalealpianodelmoto):

zuy

=

(6.19)

Questedueultimeequazionisonomoltoimportantiperch,amenodelsegnoedellaviscositdinamica (costante), indicanochenell'internodello strato limitegliandamentidegli sforziviscosiedellavorticitsonopraticamentesimili.

Indefinitivaleequazioni(approssimate)diPrandtldelloStratoLimite(laminare)sono:

continuit: (6.20)

compxQ.d.M.: 2

ee 2

dUu u uu v Ux y dx y

+ = +

(6.21)

compyQ.d.M.: (6.22)

Notache:ilsistemadiequazionichenederivaalquantostrano:Perlacomponenteudellavelocitsiritrova: massimaderivatarispettoallascissaxpariad1 massimaderivatarispettoallaordinataypariad2

Perlacomponentevdellavelocitsiritrova: lamassimaderivatarispettoallascissaxpariad0 lamassimaderivatarispettoallaordinatapariad1Ilterminenonomogeneo(chedeterminauncasorispettoadunaltro)UedUe/dx

Data la limitatezzadegliapprofondimentimatematicidisponibiliallostudente fuordi luogodimostrarecompiutamentelecondizionialcontornocompatibiliconilsistemadiequazionidifferenzialiaderivateparziali(6.20,6.21,6.22).

Lintuitoed ilrozzobuonsenso,portanoapensareche(estendendoquantoappresoper leequazioniaderivateordinarie)occorronotantecondizioniquantoilvaloredellemassimaderivata.

Questoportaaconcludereche:

dxdp1

dxdUU

=

+

=yu

xv:era N.S. nelle xy

=yu

xv:era N.S. nelle z

0yv

xu

=

+

yp0

=



perlaunecessitano1+2=3condizioni

perlavnecessita1condizione.

Macomedistribuirequestecondizionitralevariabiliindipendenti(xey)?

Considerazionifisicheedmoltobuonsensoportanoaconcludereche.

Occorre una condizione sulla u nella direzione x : pare logico porre questa condizioneallascissax=0:

condizioneu(0,y)=funzionenota

Occorronoduecondizionisullaunelladirezioney:parelogicoporre(pertuttiivaloridix)unacondizionisullaparete(y=0)edimporrelaltracondizioneallesternodellostratolimite*(simbologiaperindicarey>)perimporreilraccordoconlavelociteulerianaesternaUe(x),

condizioneu(x,0)=0condizioneu(x,+)=Ue(x)

Occorre una condizione sulla v nella direzione y : pare logico porre questa condizioneallascissay=0:

condizionev(x,y)=nota=0(perpareteimpermeabile)

Comesivedenonvicontrollosullandamentodellev(x,+)edellev(0,y)esinotacheviunaqualchediscriminazionesuiruolidegliassixey.

NondimentichiamocheleequazionidelloStratoLimitediPrandtlsonoapprossimazioni.

Sipurimediarealmancatocontrollosullevsulbordoesternodellostratolimiteconoperazioniiterative,maquestosarargomentodiapprofondimentifuturi.

Eventualiapprofondimentifuturirivelerannoanchecheilproblemadellostratolimiteditipoparabolico,ciohauncarattereevolutivolungolascissax(curvilineaetangenteallaparete)chedettaessereditipotemporale,nelmentrelascissay(normaleallaparete)dettaessereditipospaziale.

Lanalisi,finorarigorosamentederivataperunageometriapiana,puessereestesaadunaqualsiasigeometriacurva,assumendocomeassedellexlascissacurvilinea(s)alcorpoecomeasseylascissanormale(n)(chevariapuntoapunto)alcorpo.Sipudimostrarechequestosaraccettabileselospessoredellostratolimite(x)piccolorispettoalraggiodicurvaturadelcorpoR(x).InrealtperleequazionidiPrandtl(6.20,6.21,6.22)sarebbepilogicousareperl'ascissacurvilineailsimbolo"s"invecedi"x",eperl'ascissanormaleallapareteilsimbolo"n"inveceche"y".

MailrispettofilialeperlamemoriadiPrandtlvietacategoricamentetalelogicit.

Inconclusione:

Levariabilix,ysonocoordinatedistratolimite,chedescrivonorispettivamentelaposizionediunpuntogenericonellinternodellostratolimitetramitelascissacurvilinealungolaparetedelcorpo(apartiredaunpuntodaspecificare)eladistanzadallaparete,



Questecoordinatenonsonoquindicapacidispecificareilcorpo,masololaposizionediunpuntorispettoalcorpo.

Il corpo definito soltanto dalla distribuzione delle velocit esterne eulerianeUe(x),

Devonoessereassegnatelecondizioniiniziali della componente u(x,y) adunascissainiziale(siaadesempiox=0deve essere nota la distribuzioneu(0,y),

Le equazioni sono capaci di fornire,marciandolungolassex,levoluzionedelprofilou(x,y)soddisfacendodivoltainvoltalecondizioniady=0[dinoslipediimpermeabilit]eady=(x)[raccordo con la corrente eulerianaesterna]{questaevoluzionerappresenta lessenzadelcarattereparabolicodelsistemadiequazioni}

Unarappresentazionepittoricadiquestofenomenoevolutivodatainfigura(6.4)..6.3 EFFETTI DELGRADIENTEDIPRESSIONE SULLO SVILUPPODELLO STRATO

LIMITE

Comevisto,usandos=xcomecoordinatacurvilinea,lostratolimitedefinitosoltantoinbasealgradientedipressione lungo laparetedelcorpo(unicoterminenonomogeneo),datodallasoluzioneEuleriana(esterna):

1 dp dU(s)U(s)ds ds

= (6.23)

Se lavelociteulerianasullapareteU(s)aumenta/diminuiscecon lascissas=x lapressionediminuir/aumenter.Ilpuntoincuilavelociteulerianamassima,dU/ds=0,corrispondealcasoisobarodp/ds=0.

Ovviamenteloscorrimentodiunaparticellafluidanellinternodiunostratolimiteostacolatodaglieffettidiattritoche,diffondendodallapareteversoilfluidogeneranovorticit.

Ilmotodellaparticellaagevolatose lapressionedecresce; laparticellapu, infattisfruttaresialapressionedinamica(backwind)cheilrisultantedeglisforzidipressionepervinceregliattriti.Inquestocasosidiceche ilgradientedipressionefavorevole[lavelociteuleriana(esterna)Ue(s)aumentacons,lapressionediminuiscecons].

Alcontrarioselapressioneaumentalungolaparetedelcorpo(inquantolavelociteulerianaUe(s)diminuiscecons)ilgradientedipressionesfavorevole,tantocheleparticellefluideinprossimitdellaparetepotrebberononessereingradodirisalireilcorpo.Adunacertaascissa

Fig.(6. 4) Andamento dello strato limite (molto magnificato) su di un profilo



si fermano (puntodiseparazione), esuccessivamente invertono ilsensodelmoto (zonadiflussoinverso,i.e.ricircolazione,flussoseparato).

Peranalizzareglieffettidelgradientedipressionesullosviluppodellostratolimite,consideriamoduetipiciprofilidivelocit,unoincondizionidigradientedipressionefavorevoleelaltroincondizionidigradientesfavorevole.

Fig.(6. 5) Effetto del gradiente di pressione sulla forma dei profili di velocit nello strato limite

Notiamoche,perregimilaminari,losforzoviscosoproporzionalealladerivatadellavelocit

nelladirezionenormale: zuy

= =

equindiproporzionaleallapendenzadellacurva

u(y).

Ilpuntonellinternodellostratolimiteincuilosforzoviscosomassimodefinitoda.

Inquestecondizioni,dalladipendenzadi du/dy,risulta: ,chelacondizionedifles

soperilprofilodivelocit.Quindilosforzodiattritomassimoladdoveilprofilodivelocitu(y)presentaunflesso.Perpoterchiudere ilproblemaesaminiamo lequazionediPrandtl (6.21)valutandolasiasullaparetechesulbordoesternodellostratolimite.

SullapareteDovendoessere(dalla(6.10)u(0)=v(0)=0;iltermineconvettivonullo.Neconseguechesoloilgradientedipressionedevebilanciarequelcherestadelladivergenzadeltensoredeglisforzi:

wal

dpdx y

=

ovverosullaparete:2

2wal

1 dp udx y

=

(6.24)

BordoesternodellostratolimiteValutandolequazionediPrandtlallestremitdellostratolimitey+(lattritoperdefinizionedevetendereasvanire)risulta:

(6.25)

0dyd

=

0dy

ud2

2=

w2

2

yu

dxdp1

=

( ) 00yu

y,0

yu

2

2

2

2

yu0

y

==

( )

limite strato dello esterno bordo

2

2

00yu

y,0

yu 400ivorticidivonKarmandiventanoinstabilielasciadiventaturbolenta,ilCDdiminuisceconReD.PerReD



perregimeturbolento. (6.95)

Esercizio6.17(svolto)Determinazionedeiparametridi interesseperun caso di strato limite turbolento su lastrapianaQuesto esercizio intende fornire allo studentel'ordinequantitativodituttiiparametridicuisiparlatofinora.Consideriamouna lastrapiana immersa inunacorrentediariaconvelocitasintoticadiU=50m/s.

Perl'arialaviscositcinematica:=1.46105[m2/s]

PartelaminareInquestapartelostratolimitesisviluppainmodosimile,allaBlasius,dacuideriva:

Latransizionesiverificaallorquandorisulta(Michel):

ovveroquandosiha:

dacui:Rex,trans=2525000;Re,trans=1055 ;Re*,trans=2734 Nederivachelatransizionesiverificaall'ascissa: xtrans=2525000(/U)=0.7373[m]Allatransizionesiha:

(xtrans) = xtrans5.0/sqrt(2525000) = 0.00232 [m](xtrans) = xtrans0.664/sqrt(2525000) = 0.0003 [m]*(xtrans) = xtrans1.7208/sqrt(2525000) = 0.000798 [m]cf(xtrans) = 0.664/sqrt(2525000) = 0.00042

Parteturbolenta:Calcoliamolecaratteristichedellostratolimiteturbolento,pocooltreallatransizione,adx=1[m].

AtaleascissailRex=1x50/(1.46105)=34246573.425106

Sipuassumere,condiscretaapprossimazione(leggedell'1/7),che:

dacui:

(x=1) = 0.37/(3424657)1/5 = 0.01825 [m]

(x=1) = 0.036/(3424657)1/5 = 0.00178 [m]

*(x=1) = 0.046/(3424657)1/5 = 0.00227 [m]

( ) 5/1xf

Re0576.0c =

xRe0.5

x)x(

=

xRe7208.1

x)x(*

=

xRe664.0

x)x(

=

xf

Re664.0

xc =

=

( ) 4.0.trans,x.trans. Re9.2Re ( ) ( ) 4.0.trans,x5.0.trans.x Re9.2Re664.0

( ) ( ) ( ) ( ) 51

xf51

x51

x51

x Re0592.0c ;Re046.0x* ;Re036.0

x ; Re37.0

x

xtran

x

U costante



cf(x=1) = 0.0592/(3424657)1/5 = 0.00292

Fineeserciziosvolto

Apartiredaglianni40sonostatimessiadisposizionedeiricercatoristrumentazionisofisticate(qualilanemometroafilocaldo,lanemometrolaserdoppler,laP.I.V.)chehannoconsentitolamisuradi flussi fluttuanti inunampio spettrodi frequenze,con risoluzionimoltodettagliate.Questehannopermessounadescrizionequantitativaepuntualedellaturbolenza.Nel1940 ilUSNationalBureauofStandards,costruunnuovo tunnelaventoconun livellomoltobassoditurbolenza (=0.02; ivalorineitunneleuropeideltempoeranodell'ordinedi1.2). Inquestotunnelfueseguito (19401941) ilfamosoesperimentodiSchubauer&Skramstadche,perragionibelliche,vennetenutosegretofinoal1947.L'esperimentoconsistevanelmisurareconunfilocaldolevelocitavariedistanzedalbordodiattaccodiunalastrapianaeccitatadaunsottilefilovibrantesulbordodiattacco.L'interpretazionedeirisultatisperimentalidiquestaseriediesperimentiportaadunoschemadiprocessodellatransizionelaminareturbolento(inmotinondisturbati)deltipo:(i.e.nell'avanzaredalbordodiattaccoavallesiritrovanoleseguentizoneconlerelativefe

nomenologie):

regimelaminaredalbordodiattaccofinoaRex=9100092000 ondediinstabilitallaTS(i.e.ondediTollmienSchlichting)chesonoondevorticosebidimensionali,chesipropaganoversovalleconunavelocitdipocoinferioreaquelladellacorrente,conassenormaleallavelocitesternadettiocchidigatto,predettidallanalisilinearediinstabilit) leondeTSsidistorconodiventanotridimensionali(spanwisevorticity) leondeTScomincianoarompersi(inzoneadaltisforziviscosilocalizzati) leondepresentanounassequasiparalleloalladirezionedelmotobase con la coalescenza di onde nella direzione delmoto, si formano focolai di turbolenza"turbulentspots"conintensefluttuazionilocalichesispandonoavalle

laminare transizione turbolento

OndeT.S.

Vorticitdistorta

Rotturadei vortici

Nucleiturbolenti

Turbolenzacompleta



dallaconfluenzadei"turbulentspots" ilregimedimoto diventacompletamenteturbolento(Rex=2.72.8milioni).

LesperimentosiriferivaadunavelocitesternadiU=24.4m/s(Reunitario=1.67milioni)

LatransizioneiniziaaRex=91000efinisceaRex=2.8milioni!Perunavelocitdi24.4m/squestiRexcorrispondonoaxcrit.=0.055m.; xtrans=2.275, la lun

ghezzadellazonaditransizioneparia2.222metri.Se ripetiamo idealmente gliesperimenti descritti e registriamo la variazione neltempodiunsegnaleelettricoproporzionaleadesempioalla velocit puntuale, ritroviamo andamenti del tipo in figura. Nelcaso laminare lavelocitcostanteneltempo,pertutti ipunti,anchese,ovviamente,

conintensitdifferenti.LasoluzionecoerenteconleequazionidiNavierStokes. Nellatransizione,semisuriamo lavelocit inunpunto,ritroviamo intervalliditempo incui

essacostante(ecircapariaquellalaminare)edaltriintervalliditempoincuisiritrovanoampieoscillazione(fenomenodiintermittenza).

Con tecniche di visualizzazioneistantanee, si ritrovano (per untempofissato)zonevorticoseseparate nettamente dalle zonelaminari.Con visualizzazione stroboscopiche,adistantiditempodifferenti, si ritrova che tale fenomenologia dovuta a nuclei vorticosicheviaggianoconunavelocitdipoco inferiore a quella media(pensaal topo che corre sotto iltappeto).Dalchesievincechelanalisidelsolomotomediononforniscelacompletadifferenzatralaminariteturbolenza.Nelmotolaminareinunostratolimitetuttelelineedicorrentescorronocostantementesiapureconvelocitdiversa.Lostratolimiteturbolentoinvececompostodanucleivorticosilacuifrontieranettamentedistinguibiledalfluidoesterno.

Ladifferenzatralaminareeturbolentoquindimoltomaggiorediquantosipotrebbedesumeredaiprofilimediatidivelocit

t t t

u

laminare transizione turbolento

laminare

turbolento

Sottostratolaminare



Questinucleiintermittentisonodidimensionidifferenti,lontanodalleparetihannodimensionidellordinedellospessoredellostratolimite,quellipiinternihanno,manmanoversolaparete,dimensioniinferiori,finoadiventaremicroscopicinelleimmediatevicinanzedellaparetiperfinireadannullarsisudiessa,percuinelle immediatevicinanzedelleparetideveesisterenecessariamenteunsottostratolaminaresottilissimo.Eovviochelecapacitditrasportosonocompletamentedifferenti. nel laminare ladiffusionederivadafenomenia livellomolecolare(laviscositcinematica

proporzionalealprodottodelcamminoliberomolecolareperlavelocitdelsuono), nelturbolentoladiffusionederivaessenzialmentedallefluttuazionidellavelocitequindii

fenomenidiffusivisononotevolmentemaggiori..6.9.2 Proprietgeneralidellaturbolenza

Sebbene presente praticamente in tutti i problemi fluidodinamici (la lubrificazione forselunicoproblemaincuilaturbolenzaleccezioneenonlaregola)emalgradolenormeattivitdiricercachetuttoralanalizza,ilregimeturbolentorestaancoraunproblemanonchiuso.Definizionistoriche:VonKarman(1937): laturbolenzaunmotoirregolarecheappareinfluidi(liquidiegassosi),

attornoaparetisolideenellescie,Hinze(1975): ilmototurbolentodiunfluidounacondizioneirregolarediflussoincui

lequantitmostranounavariazionerandomneltempoenellospazio,taleperdapoteressererisolta(descritta)dadistintivaloriemediestatistiche,

Bradshaw(1976): laturbolenzacaratterizzatadaunampiospettrodiscale: lescaletemporali sono rappresentate da frequenze, le scale spaziali da lunghezzedondachepossonoesserefornitedaunanalisidiFourierdellevoluzionespaziotemporaledelfenomeno.

Conclusioniimportanti: laturbolenzanoncaos:essadescrivibilemedianteunanalisistatistica, lepipiccolescalediturbolenzasonoordinariamentemaggioridiquellemolecolari(cam

minoliberomolecolarelclm,tempomolecolaretmol=a/lclm,dovealavelocitdelsuono).Diconseguenza laturbolenzapuessereanalizzatadateoriemacroscopiche, i.e.sonoapplicabilileequazionidiNavierStokes,

laturbolenzageneratadallaperditadistabilitdelregimelaminare, laturbolenzairregolarit,caratterizzatadanucleivorticosidivariaedampiascala.Manon

tuttiicampivorticosisononecessariamenteturbolenti, laturbolenzaunfenomenofortementedissipativo;peresisteredeveesserecontinuamen

tealimentatadaenergiaaltrimentidecaderapidamente.Lenergianecessariaasostenerlatipicamentefornitadascorrimentiviscosi(perquestoilnumerodiReynoldsdeveessereelevato)odafenomenidigalleggiamentoviscoso(perquestoilnumerodiGrashoffdeveessereelevato),



la turbolenza tipicamente tridimensionale ed instazionaria. Il termine di stretchingnellequazionedellavorticitunimportantefattorecheregolailtrasferimentoenergetico.Unanalisi2Dnonpotrmaiessercompletamentesoddisfacente,

La turbolenza regolatadauna cascatadi flussienergetici fluttuanti: le grosse strutturevorticoseprendonoenergiadalmotoesterno,elatrasferisconoastrutturemanmanopipiccole,chediventanosemprepidissipative.Ilmassimodelladissipazionesirealizzavicinoallaparete.Nelleimmediatevicinanzedellaparetequestestrutturevorticosenonpossonoesistere,quindisideverealizzarenecessariamenteunsottostrato laminarecheregoler losforzodiparete.

Conclusionedelleconclusioni

laturbolenzamateriaostica,nonancoracompletamentedefinita,moltisonoilavoriincorsomarappresentaunopportunitperigiovani.

.6.9.3 AnalisimediatadelleequazioniComedettoprima,ilcampoturbolento,diperseirregolareedinstazionario,puessereanalizzatomedianteanalisistatistiche.Traivaritipidistatistiche,quelladellamediatemporalepropostadaReynolds(1885),lapisempliceeserveabbastanzabeneifabbisognicomuni.

Nota:altremediesonopossibili:quellaspaziale:quelladiinsieme.,cherichiedonoanalisiedapproccidifferenti;mavalendoilprincipiodiergodicit:tuttelemediesonoallafineequivalenti,ciaccontentiamosperanzosicheilrisultatofinaledeve(odovrebbe?)esserelostesso.

Considerandosolocampiincompressibili(=costante,i.e.nonvisarannofluttuazionididensit)rimanequindidaanalizzarelequantitinstazionarieper:V(r,t), p(r,t), T(r,t)

Queste verranno assunte essere somma di una quantit media (sovra-barrata): ( ) ( ) ( )V r ,p r , T r di una quantit fluttuante (apicata) ( ) ( ) ( )V' r,t ,p' r,t , T' r,t

(6.96)

Lamediadellagenericagrandezzafdefinitacome:

(6.97)

Ladefinizionevabene teoricamente (ilperiodo infinito),maaspettareuninfinit tropposcomodo(lafinedelmondo!).Inrealtbastaprendereunperiododitempoabbastanzapigrandediquellomassimorilevabilenellafluttuazione

[inpraticaperproblemidi fluidodinamicaconV=20m/sbastaunperiododi20 secondi;perproblemigeostrofici(macrometeorologia)sipuarrivareaqualcheora!].

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t,r'TrTt,rT;t,r'prpt,rp;t,r'VrVt,rV +=+=+=

( )

=

Periodo

0Periodo

dt)t,r(fPeriodo

1limr f



LeequazionidiNavierStokesmediateprendono ilnomediRANS(ReynoldsAveraged NavierStokes)ConsideriamoleequazionidiNavierStokesincompressibilecomplete:

(Nota:abbiamousatolaformaconservativa(dettadivergente),i.e.ilbilancioq.d.m.)

Introduciamonelleequazionilegrandezzedicampo(Velocit,pressioneeTemperatura)espressecomesommadeivalorimediedellelorooscillazioni:

otterremo:

Essendointeressatialvalormedio,applichiamoaquesteequazionil'operatoredimedia,ottenendo:

(Nota:abbiamofattousodellacontinuitperavereunaequazionediequilibrio)

IlmaggiorecontributodiReynoldsfudispostareadestradelleequazioniiterminidellefluttuazioni,inquestomododefinendo:

e(questaespressionerigorosamentevalidasoltantoperstratilimite):

leequazionidiNavierStokesturbolente(mediate)sipossonoscriverequindi:

0V =

+= TDtDTc 2v

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t,r'TrTt,rT;t,r'prpt,rp;t,r'VrVt,rV +=+=+=

( ) 0'VV =+

( )( ){ } 'VV'pp'VV'VVt'V

tV 22 ++=

+++

+

( ) ( ) ( )'VV'TT'TT'VVt'T

tTc 22v +++=

+++

+

0V =

( )Vp

x'u'u

DtVD 2

j

ji +=

+

( )2

i

j

i

j

j

i

j

i2

i

ivv x

'uxu

x'u

xu

2T

x'T'uc

DtTDc

+

+

+

+=

+

( )

ento turbol+ laminare = sforzo

'u'uxu

xu

= turblamjij

i

j

iij +=

+

o turbolent+ laminare= caloredi flusso

'T'uc xT q iv

ii +

=

'v'uyu

yu

0V =

( ) V p V V t V 2 + =

+



IlproblemasispostaquindinellamodellazionedeicosiddettisforzidiReynolds,ovveroilproblemadellachiusura

Notiamoche:ladizioneusataperlosforzoturbolento: bengiustifi

catadallaconsiderazionecheiltensoredeglisforzi,perdefinizione,pariamenoilflussodiffusivodiquantitdimoto,sicch,perlafattispecie,siidentificatalafluttuazioneturbolentaadunfenomenodiffusivo(dellostessotipodiquellocheavvienealivellomolecolare)

Daquestopuntoinpoiometteremo,persemplicitdinotazione,ilsegnobarratoperlequantitmedie.

.6.10.LOSTRATOLIMITETURBOLENTO

Assumendochelacoordinata"x"siaparallelaallacorrenteesterna,ela"y"normaleallaparete,conl'ipotesichelospessoredellostratolimitesiapiccolo:(x)



Questalaformapigeneraledellequazionidiequilibrioperlostratolimiteincompressibileturbolento.

L'ultimotermineadestrarappresenta l'effettodeglisforzinormaliturbolenti;essocomunementetrascuratonell'analisidistratilimiti,anchesepotrebbeessereimportanteneipressidelpuntodiseparazioneturbolento.Seadottiamo,perstratilimite,lenotazionisinteticheperlosforzototaleeperilflussodicaloretotale:

e

ilsistemadiequazionidellostratolimitesiscriveinformacompattacome:

Ilsistemadiequazionideveesserecompletatodallecondizionialcontorno:

L'equazioneintegraledivonKarmanturbolentaperlaquantitdimotorisultaessere:

Disolitol'ultimoterminevienetrascurato,perchritenutodiordineinferiore.E'dapuntualizzareperchenellevicinanzedellaseparazionetaleterminerisultaesseredellostessoordinedelcfpercuidovrebbeesseretenutoinconto.

Trascurandotaletermine, l'equazionediVonKarmanper lostrato limiteturbolentomantienelastessaformadelcasolaminare:

(6.98)

Ma,mentrenelcasolaminareiparametri,H,cfpotevanoesserefacilmentecorrelatialprofilodivelocitassunto[equindinederivavaesplicitamenteunaequazionedifferenzialeordinariadarisolvere],nelcasoturbolentolacorrelazionetraiparametri,H,cfmoltopicomplicata,epurichiederel'usodiulteriorirelazioni(taloraanchealtreequazionidifferenziali).

+=

+ 22 'v'u

x'v'u

yu

ydxdUU

yuv

xuu

'v'uyu

turblam

=+= 'T'vcyTqqq vturblam

=+=

0yv

xu

=

+

y1

dxdUU

yuv

xuu

+=

+

yu

yq

yTv

xTucv

+

=

+

)x(T=(x,0)T ; 0'v'u)0,x(v)0,x(u :paretesulla w===

)x(T)(x,T ; )x(U),x(u :S.L. dello esternoall' eT ==

( ) dxU

'v'u

dxd

2c

dxdU

UH2

dxd

0 2

22

f

+=

++

( )2c

dxdU

UH2

dxd f=++



Comenel laminare,ancheper lostrato limiteturbolentosonostatipropostimoltimetodiallaThwaitescheintegranoinmodoapprossimatola(6.81)accoppiatadacorrelazioniperilcoefficientediattritoallaparete.Preferiamoinquestocontestoproporreallostudenteunnuovometodo(Head)cheillustracomeper ilturbolentooccorretaloraricorrereanuoveequazionidibilancioperritrovaregrandezzecheaiutanolecorrelazionitralegrandezzeturbolentediinteresse..6.10.1MetododiHead

LequazionedivonKarmanunaequazionedifferenziale per la variazione dello spessore di quantit dimotochevienecorrelatacon lo spessoredi spostamento(ovveroilfattorediformaH=()eilcoefficientediattritolocali.Neiregimilaminaritalicorrelazioniavvengonoattraversoilprofilodivelocit.Neiregimiturbolenticinonpossibile.Sivistonelcasodellalastrapiana(stratolimiteisobaro)chesidevericorrereadunacorrelazioneperilcoefficientediattrito.Per strato limitonon isobaro,restailproblemadicorrelarecon*.Scopodiquestometododiproporreunaformulazioneintegraleperstratilimititurbolentidoveallasolitaequazionedivon Karmanper,siaggiungeunulterioreequazionedifferenzialeperlevoluzionedelfattorediformaH.Nonostantelasempliceimplementazionequestometodoforniscerisultatidigranlungamiglioritraquellicheusanoformulazioniintegrali,percuimoltousatonelleapplicazionitecnicheedestensibilealcompressibile.

IlmetododiHeadsibasasull'ideachelostratolimiteturbolentocrescetramiteunprocessoditrascinamentodiflussononturbolentochesulbordoesternovieneinglobatonellaregioneturbolenta.

LaportatavolumetricaQ(x)chepassaadunadatastazioneperdefinizione:

(6.99)

Dalbilancioglobalediuncolonnaelementare(dx)distratolimitederivache:lavelocitditrascinamentoVE:

(6.100)

ildifettodivolumeespressotramitelospessoredispostamento

(6.101)

Integrandol'espressionedeldifettodivolumesiricava:

(6.102)

dyu)x(Q)x(

0

=

dxdQVE =

( )dyuUU*)x(

0ee

=

( )*UQQUU* eee ==

y= (x)

Q(x) Q(x+dx)

dx

VE dx



Percuil'equazioneperlavelocitditrascinamento:

(6.103)

IlmetododiHeadassumechelacomponentenormalealbordodellostratolimitedellavelocitditrascinamento,VE,dipendesoltantodalfattorediformaHtramitel'equazione:

( ) ( )E e 1e e

V 1 dU * F H H

U U dx = = (6.104)

SesidefinisceunfattorediformaH1:

(6.105)

l'equazioneditrascinamentopuesserescrittacome:

(6.106)

HeadassumecheH1edFsonocorrelabilialfattorediformaHmediantelerelazioni:

(6.107)

edusa,perilcoefficientediattrito,lacorrelazionediLudwiegeTillmann:

(6.108)

IlmetododiHeadsibasaquindisudueequazionidifferenziali:

(6.109)

chevengonointegrateconl'ausiliodelletreequazioniscalaridefiniteperF(H1),H1(H),cf().Lecondizioniinizialirichiedonolaspecificazione,all'ascissainiziale,dellospessorediquantitdimotoedelfattorediformaH.Perilcriteriodiseparazionedellostratolimiteturbolento(fattosuH=2.5)valgonoleconsiderazionigidetteprecedentemente.

( )[ ]dx

*UdV eE

=

=*H1

( ) FUHUdxd

e1e =

( ) 6169.01 0.3H0306.0F =

( )( )

+

+=

1.6 H: 3.3778.9H5501.0

1.6 H: 3.31.1H8234.0H

064.3

287.1

1

( )268.0

eH678.0f

U10246.0c

=

( )2c

dxdU

UH2

dxd f=++ ( ) FUHU

dxd

e1e =



.6.11 PROCEDUREDICALCOLOPERSTRATILIMITECOMPLETI

Unaproceduradicalcoloperunostratolimitecompletodovrtenereincontosialapartelaminarechelatransizioneedinfinelaparteturbolenta,edilcodicedovressereestesofinoalpuntodiseparazione.Neiparagrafiprecedentiabbiamoesposto letecnichedicalcolo,nonch i criteriper ladeterminazionedelpuntoditransizionenonchdellaseparazione(incampo laminareed incampoturbolento).Consideriamopersemplicitiduecasi: ilprimosemplice(diinteresseformativodibase)lostratolimitesulastrapiana(velocit

esternaeulerianacostante=pressionecostante), ilsecondopigenerale(diinteressepratico)distratolimitecongradientedipressione.E'dapremetterecheinentrambiicasi,disolitosiconsidera(perovvimotividisemplificazione)che latransizioneavvengapuntualmente: ilmodellodicalcoloper lostrato limitesarquindicambiatobruscamenteall'ascissacurvilineaallaqualesisarannodeterminate lecondizionidicambiamento(transizione)delregimedimoto..6.11.1 StratolimitesulastrapianaIn questo caso il calcolo iniziadalbordodiattacco,all'ascissax=0,perlaqualesiassumechetuttiglispessoridistrato limite ( di spostamento, dellaquantit dimoto e dell'energiacinetica)sononulli.E'danotarecheineffettinelleimmediatevicinanzedelbordodi attacco le ipotesi di stratolimitenon sonovalide,percuipotrebberoesisteredelledifficoltnumerichechedisolitosialleviano partendo non dall'ascissa x=0 ma da un'ascissaimmediatamentesuccessiva:x=0+x.E'darilevareinoltrecheinquestoproblemanonsipotrverificareseparazione.Ilcalcolosiavviaquindiipotizzandounregimelaminarefinoallatransizione(determinataades.conilcriteriodiMichel)chesisupponeavvenirepuntualmente.Inquestaascissaditransizionesiassumecontinuitperlospessorediquantitdimotoma,occorretenereincontoche,acausadelledifferenzeneiprofilidivelocittraunostratolimitelaminareeduno turbolento, il fattoredi formaH= nonpotressere lo stesso (equindicontinuo).IlsaltodiHnellatransizionevienedisolitoassuntoinfunzionedelRelocale:

(6.110)

*

( )

50000 Rese 357.1 50000 Rese Relog114.0821.0

H

>+

=

H

Hturbolentolaminare

xtransizione x

xturbolentax=0



Avolte,perilcalcolodellaparteturbolenta,convieneintrodurreun'ascissafittiziaxturb,chehaorigineamontedelpuntoditransizioneedtaleche,nelpuntoditransizione,siverifichi lostessovaloredellospessorediquantitdimoto.Questaascissa fittiziaagevolaenormemente ilcalcolomanualedello strato limite turbolentofacendousodellevarie formuleproposteper ladeterminazionedeiparametridi interessedistratolimite.Instimediprimaapprossimazionetaloralecitoignorarecompletamentelapartelaminare,inquanto,peraltiRe,questamoltopocoestesa.6.11.2 Stratolimitecongradientedipressione

Inquestocaso(perprofilialari)sipartedalpuntodiristagnoanterioredicuisiconoscelospessorediquantitdimoto[unasoluzionesimile,vediancheesercizio6.4].Ipotizzandoun regime laminaresiprocede (lungo ildorsoo lungo ilventre)con ilmetododiThwaithesusandolasoluzioneeulerianadivelocitsulprofiloedilReynoldsriferitoallaUedallacorda.Sipossonoincontrarevariesituazionichederivanodallalocalizzazionedelpuntoditransizioneinrelazioneallaeventualeseparazionelaminare.Ilproblemadiscendedallaeventualitchesiverifichilaseparazionelaminareprimadellatransizionealturbolento.

Nelprimocaso(presenzadiunabollalaminare)sidovresaminarelapossibilitdiunriattaccoturbolento.

La fenomenologiadibolla laminaresulbordodiattaccostatagicommentata inparagrafiprecedenti(tipicadiprofilisottiliconaltacurvaturasuldorsoapiccoliangolidiincidenzaeReynoldsmoderati)

AnumeridiReynoldsrelativamentebassinellazonadiseparazionelaminareimoticonvettividiricircolazioneintroduconodisturbitalidainnescarenellostratolimitesovrastantelatransizionealturbolento(allasezionedimassimaestensionedellabolla).Sirealizzacosunprofilodivelocitmoltoschiacciatoedenergicochepuraggiungerelasuperficieperrealizzareunriattaccoturbolento.Inquestomodosirealizzaunabolla(inpartelaminareedinparteturbolenta)intrappolatatrailpuntodiseparazionelaminareequellodiriattaccoturbolento.Duedistintitipidibollesonostatiosservati:1. unabollacorta (dellaestensionedello1%dellacorda,equivalenteacirca100spessoridi

spostamentoallaseparazione)cheesercitauneffettotrascurabilesulpiccodisuzione immediatamenteavalledellabolla,equindiunpiccoloeffettosulladistribuzionedipressionieulerianedibase(campoesterno).

2. unabollalungachepuavereunaestensionemoltoampia(da23%dellacorda,equivalentea10000spessoridispostamentoallaseparazione,finoaricopriretuttoildorsodelprofilo)cheesercitaunanotevoleinfluenzasulledistribuzionidipressione(campoesterno).

Unutileesemplicecriterio(OwenKlanfer)perstabilireiltipodibolla,usacomeparametroilvaloredelnumerodiReynoldsbasatosullospessoredispostamentoalpuntodiseparazione:

: Se



Se >550sicreaunabollacortachesimuoveversocodaall'aumentaredell'angolodiincidenza.

Pervaloriintermedisipossonoverificareentrambiicasi.Unateoriasemiempiricacheanalizzalacrescitael'esplosionedellebollelaminaristataelaboratadaNorton,Questaanalizza,inparticolare,lecondizioninecessarieperilriattaccodellostratolimiteoperlaesplosionedellabollainfunzionedellecaratteristichedistratolimiteedelladistribuzionedellevelociteulerianeavalledellaseparazione.Ilmodellosibasasull'ipotesichelabollasiadivisainunapartelaminareedinunaparteturbolenta,echenellazonalaminarelavelocitesternarimangapraticamentecostante.Irisultatiditalemodellazioneportanoalleseguenticonclusioni: La lunghezzadellaparte laminaredellabolladipendedalnumerodiReynoldsbasatosullo

spessorediquantitdimotoalpuntodiseparazione:

Ilriattaccoturbolentodipendedalparametro""diburst(esplosione)diCrabtree[chedipendeinmododeboledal(Re)S]calcolabileinbaseallevelociteulerianeall'ascissadiseparazioneUe,Sedall'ascissadiriattaccoUe,R:

:

Perpoterapplicaretalecriteriooccorrevalutarelevelociteulerianeall'ipoteticopuntodiriattacco,atalfineunastimadellalocazioneditalepuntovienefattamediantelavalutazionedellalunghezzadellabollaincondizionediburst:

Indefinitivanediscendonoiseguenticriteri:

(Re)S



CHEKOUT

Lostudentedovrebbeesserecoscientedi:

concettodistratolimite ordinedigrandezzainfunzionedelReynolds equazionidellostratolimite parametriingegnerisitici(spessoridispostamento,quantitdimoto,fattorediforma) soluzionisimili formulazioneintegrale metododiThwaites fenomenologiedellaturbolenza criterioditransizioneeraccordotrasoluzioni analisimediatadelleequazioniRANS stratolimiteturbolento metododiHeads operareconmetodinumericisustratilimiticompleti

Aero_2009_Cap6a.pdf

Documents

Transcript of Aero_2009_Cap6a.pdf