Flusso del campo elettrico e teorema di Gauss
Flusso di un campo vettoriale uniforme
Problema (idrodinamico)Calcolare il flusso di acqua (portata in volume) che attraversa una conduttura; cioè il volume di acqua che attraversa una sezione S di una conduttura nell’unità di tempo.
Hp: Per semplicità supporremo che 1- il vettore velocità V(x,y,z,t) dell’acqua sia costante in ogni punto di S (campo vettoriale uniforme) 2- e sia costante nel tempo (campo stazionario)
x = Vt
Caso A
Il vettore velocità è perpendicolare alla sezione S della conduttura V S
nel tempo t = t – t0 la sezione S è attraversata dal cilindro di acqua di altezza x = V t, cioè da un volume di acqua
tvSxSxsezioneAreaVolume
sec)(
3mVSt
tvStxS
tVolumeS
S
per cui il flusso sarà
x = Vt
H
K
Caso B
Il vettore velocità NON è perpendicolare alla sezione S della conduttura V S
coscos tVSxSHKSVolume
seccoscos)(
3mVSt
tvSt
VolumeS
VxSVSVS cos),(
Def Si dice flusso di un campo vettoriale A uniforme attraverso una superficie piana S il prodotto scalare:
cos)( ASAxSA
Def Ogni superficie piana può essere rappresentata mediante un vettore S che ha:
1. Intensità = Area della superficie2. Direzione perpendicolare alla superficie3. Verso, diretto all’esterno se la superficie è chiusa, arbitrario se è aperta
AS
Esaminiamo il caso più semplice:
1° Caso Hp: 1- Il campo elettrico è uniforme (uguale in ogni punto dello spazio)
2- La superficie è piana (il vettore superficie è definito in modo unico)
cos)( ESExSES
Flusso del campo elettrico
Il flusso del campo elettrico si misura in Nm2/C
S
E
Hp: 1- Il campo elettrico NON è uniforme (in generale varia da punto a punto)
2- La superficie NON è piana (il vettore superficie Non è definito in modo unico)
n
iinS ΦΦΦΦΦ(E)Φ
1321 .....
n
ii
nS Φ(E)Φ
1lim
S2
S1
S4 S3
E4
E3
E2
E1
2° Caso
Consideriamo un “elementino” di superficie Si Ei
Ob Calcolare il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa qualsiasi..
il flusso del campo elettrico E attraverso Si è: i = Si x Ei = Si Ei cos 0° = Si Ei
allora il flusso totale attraverso la sfera sarà
Teorema di Gauss
+Q
Consideriamo anzitutto una superficie sferica nel cui centro è posta una carica elettrica positiva Q
+Q
Ei
Si
2
111
4)( limlimlim rESupsferaESEESEn
ii
n
n
ii
n
n
ii
nSfera
e poiché il campo elettrico generato da una carica puntiforme è
2rQkE
QQkQrrQkrEES
4
14444)( 22
2
QES
avremo che
Quindi: il flusso del campo elettrico generato dalla carica puntiforme attraverso la superficie sferica è uguale alla carica diviso la costante dielettrica del mezzo.
+Q
+Q
Questo risultato è generalizzabile ad una superficie chiusa qualsiasi
QES
e ad una distribuzione qualsiasi di carica.
2121 QQQQES
Q3
Q1
ES
Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa qualsiasi S, è uguale alla somma algebrica di tutte e sole le cariche contenute all’interno della superficie diviso la costante dielettrica del mezzo:
S E
Qi
n
ii
nS QQQQE
1
21 1....
Teorema di GAUSS
Osservazione 1
Il flusso del campo elettrico non dipende dalla particolare superficie considerata e quindi non dipende dalla sua forma.
S2
S SE EQ Q Q Q
1 2
1 2 3 4
S1
Q4Q3
Q2
Q1
Osservazione 2
Il flusso del campo elettrico è dovuto esclusivamente alle cariche interne, le cariche esterne non danno alcun contributo al flusso.
Q1
Q2
S EQ Q
1 2
Q3
Dati
Corpo sferico carico uniformemente con una carica totale +Q
Obiettivo
Calcolare il campo elettrico E ad una distanza d dal centro del corpo sferico
+Q
Applicazioni Del Teorema Di Gauss
Campo Elettrico generato da una distribuzione sferica di carica
Osserviamo che il campo elettrico generato dalla sfera carica è un campo radiale (la distribuzione di carica ha una simmetria centrale), uscente (la carica è positiva).
E
2
11
4limlim
0cos
dESESEs
SESESxEsn
iin
n
iin
+Q
S
E
Campo Elettrico generato da una distribuzione sferica di carica
applicando invece il teorema di Gauss avremo:
0
24
QdE
2200
2 41
41
dQk
dQQ
dE
e poiché i due flussi devono essere uguali avremo:
QES
Oss. Il campo elettrico è lo stesso che si avrebbe se tutta la carica Q fosse concentrata nel centro del corpo sferico carico.
Campo Elettrico generato da una distribuzione sferica di carica
Dati Piano infinito carico uniformemente (e positivamente)Densità superficiale di carica C/m2
Problema Calcolare il campo elettrico in un punto P a distanza d dal piano infinito di carica.
costante SQ
Campo Elettrico generato da una distribuzione piana infinita di carica
Il campo elettrico è perpendicolare al piano in ogni suo punto
La distribuzione di carica è simmetrica rispetto a qualunque perpendicolare al piano, oppure un osservatore che si muove parallelamente al piano vede sempre la stessa distribuzione di carica.
Il campo elettrico è uscente (perché la carica è +)
E
E
E
P
d
B2
B1 E
E
E
S
Campo Elettrico generato da una distribuzione piana infinita di carica
cil base base laterale 1 2 sup
090cos
0cos
0cos
11sup
2222
1111
n
iii
n
iiilaterale
base
base
SESxE
EBEBExB
EBEBExB
quindi il flusso totale è dato da
cil B E B E B Ebase base laterale 1 2 0 2sup
P
d’altronde per il Teor. di Gauss
cil Q Bii
1 1
2 1 B E B
quindi il campo elettrico è uniforme ed ha direzione verso e intensità costanti (in ogni punto dello spazio).
E 2
e i due flussi devono essere uguali, quindi
allora
Campo Elettrico generato da una distribuzione lineare infinita di carica
Dato un filo infinitamente lungo carico positivamente e in modo uniforme costante C/m lineare densità
lQ
E kr
2il campo elettrico generato dal
filo infinito è uguale a:
Teorema di CoulombIl campo elettrico sulla superficie di un conduttore è sempre perpendicolare alla superficie del conduttore ed ha intensità uguale alla densità superficiale di carica diviso la costante dielettrica del mezzo nel quale si trova il conduttore
Campo elettrico in prossimità della superficie di un conduttore
E
Il teorema è un’immediata conseguenza del teorema di Gauss
+
+
++
E
E
E E
E
E
++ +
++
+
Per calcolare il campo nelle immediate vicinanze del conduttore consideriamo un cilindro (non serve che sia reale) che racchiude un elementino di superficie S = B del conduttore
Se il cilindro è sufficientemente piccolo
• Il campo elettrico E sulla base superiore B1 del cilindro è perpendicolare alla base e uniforme
• Il campo elettrico sulla base inferiore B2 è zero (il campo all’interno del conduttore è nullo)
• Il campo elettrico è tangente alla superficie laterale esterna del cilindro
Teorema di Coulomb
+
+
++
E
E
E E
E
E
Calcoliamo ora il flusso del campo elettrico attraverso il cilindro nei due modi studiati: mediante la definizione di flusso e mediante il teor. di Gauss.
Calcolo il flusso secondo la definizione:
+
+
++
E
E
E E
E
E
cil base base laterale 1 2 sup
090cos
00
0cos
11sup
222
1111
n
iii
n
iiilaterale
base
base
SESxE
BExB
EBEBExB
Teorema di Coulomb
Quindi il flusso totale attraverso il cilindro sarà il prodotto dell’area di base B per il campo E:
+
+
++
E
E
E E
E
E
EBEBcil lateralebasebase 00sup21
Calcolo il flusso mediante il teorema di Gauss:
cil Q Bii
1 1
Il flusso è uguale alla carica totale B contenuta nel cilindretto diviso la costante dielettrica
Teorema di Coulomb
Uguagliando i due flussi avremo:
+
+
++
E
E
E E
E
E
Da cui
BEB 1
E
Teorema di Coulomb
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