Correlazione, Connettività e Complessità in Materia Condensata

Antonio Coniglio

Dipartimento di Scienze Fisiche Universita’ di Napoli “Federico II”,CNR-SPIN e INFN Unità di Napoli.

Napoli, 17 - 21 settembre 2012

Collaborators:

A. Fierro, A.De Candia, F. Di Liberto, M. Nicodemi, R. Pastore, M. Pica Ciamarra (Napoli)

XCVIII CONGRESSO NAZIONALE SOCIETA' ITALIANA DI FISICA

T. Abete( B. d’Italia), M. Cortini (Imperial Colege London), E. Del Gado (ETH Zurich), M.A. Annunziata (Dusseldorf) M.Tarzia, (Jussieu, Paris), T. Ferraro (EPFL Lausanne), S. Di Talia (Princeton USA)

More Is Different

P.W.Anderson

Science 1972

COMPLEXITY

Transizione ferromagnetica

ROTTURA DI SIMMETRIA

T<Tc

T>Tc

0 M

TRANSIZIONE GAS-LIQUIDO

temperatura

Parametrod’ordine

suscettività

Tc

γ

β

ρχ

ρρ

−−≈∂∂=

−≈−

||

||

TTP

TT

c

cGL

GL ρρ −χ

T sopra Tc

T = Tc

T sotto Tc

Opalescenza

Critica

OPALESCENZA CRITICA

GAS

GAS-LIQUIDO

ρ = ρc

Correlazioni a Lungo Range

Funzione di correlazione

Lunghezza di correlazione

A Tc legge di potenza“scale free”

x= 1/ν exponente di scaling termicoy esponente di scaling di campo(d dimensione euclidea)

)(2

/

)(yd

r

r

erg −

−

≈ξ

νξ −−≈ || cTT

)(2

1)(

ydrrg −≈

νγνβ

)2(

)(

yd

yd

−−=−=

Solo due esponenti indipendenti

γχ −−≈= ∫ ||)( cTTdrrg

Widom,Fisher,Kadanoff

PTEN enzyme

PI3K enzyme

ability of a cell to migrate along shallow gradient of chemoattractants

De Candia et al Science STEX 2007,Ferraro et al EPL 2009

Model for self-tuned phase ordering

Chemotaxis

Cells exposed to shallow

chemoattractant gradients

respond with a strong polarization.

Such symmetry breaking event is

the first step for directed

cell movement.

•morphogenesis•wound healing

Order parameter

PNAS 2006

Symmetry-Breaking Model for X-Chromosome InactivationM. Nicodemi and A. Prisco PRL 98, 108104 (2007)

In mammals, dosage compensation of X linked genes in female cells is achieved by inactivation of oneof their two X chromosomes which is randomly chosen. The earliest steps in X-chromosome inactivation(XCI), namely, the mechanism whereby cells count their X chromosomes and choose between two equivalent X chromosomes, remain mysterious. Starting from the recent discovery of X chromosome colocalization at the onset of X-chromosome inactivation, we propose a statistical mechanics model of XCI, which is investigated by computer simulations and checked against experimental data. Our model describes how a ‘‘blocking factor’’ complex is self-assembled and why only one is formed out of mandiffusible molecules, resulting in a spontaneous symmetry breaking in the binding to two identical chromosomes. These results are used to derive a scenario of biological

implications.

PNAS 2010

PNAS 2010

UNIVERSALITA’

Gli esponenti critici nel modello di Ising in 3d sono

x =1.59 y = 2.48

Gli stessi valori si trovano per una grande classe di sistemi inclusi liquidi, magneti, e semplici modelli. Gli esponenti dipendono solo dalla dimensionalità, la simmetria dell’hamiltoniana.

Qual’ è il significato degli esponenti critici?

Rappresentazione geometrica del fenomeno criticolegando possibilmente esponenti critici a proprietà geometriche.

KadanoffFisherWilson

p=densita di siti ocupati

PERCOLATION MODEL

Densità di siti nel cluster infinito

Dimensione media dei cluster finiti

Broadbent & Hammersley 1957

CONNETTIVITA’ A LUNGO RANGE

|| p

cp pp νξ −−≈

probabilità che due siti a distanza r sono connessi

lungheza di connettività

p = pc legge di potenza scale free

)(2

/

)(p

p

yd

r

pr

erg −

−

≈ξ

)(2

1)(

pydpr

rg −≈

τ−≈ ssn )( Numero di cluster di dimensioni s a p=pc

p=0.58 p=0.59

DLM ∝linksDlinks LM ∝

Proprietà frattali del cluster percolante a pc

Cluster percolanteBackbone : Links & Blobs

Dlinks dimensione frattale dei links(“red bonds”)

D dimensione frattale del cluster percolante

Mandelbrot 1977Stanley 1977Gefen et al 1981

L

yp=D

x = νp−1 = Dlinks

|| p

cp pp νξ −−≈

Coniglio 1981

Relazione fra esponenti critici e dimensionalità frattali

RISULTATI ESATTI

1) Questi risultati dimostrano che entrambi links e blobs sono rilevanti

2) Spiegano i risultati sperimentali di Birgeneau et al sui ferromagneti diluiti

3) Legano gli esponenti critici a proprietà geometriche

)(2

/

)(p

p

yd

r

pr

erg −

−

≈ξ

Approccio percolativo alla transizione gas – liquido Percolazione Correlata

Nella transizione gas liquido o ferromagnetica, è possibile definire opportunamente dei cluster in modo tale che connettività e correlazione coincidano. Pertanto la transizione gas liquido puo essere descritta da una transizione percolativa La differenza e’ che i siti ora sono correlati. Questo permette comunque di associare gli esponenti critici a proprieta frattali con tutte le considerazioni fatte nel caso della Percolazione random

Modello di Ising

• T>Tc

• T=Tc

• T<Tc

Kasteleyn and Fortuin 1979 Coniglio Klein 1981Coniglio Lubensky 1982Swendsen and Wang 1985

Transizione liquido-solido cristallino

Debenedetti and Stillinger Nature 2001

Transizione Vetrosa

Transizione liquido-solido amorfo

Esperimento a lungo termine per misurare la velocità di discesa della pece nel corsodegli anni. Altamente viscosa, a temperatura ambiente la pece impiega decenni per far scendere anche solo una singola goccia.

L'esperimento dell'università del Queensland di Brisbane in Australia venne iniziata nel 1927 dal professor Thomas Parnell, per dimostrare ai suo studenti che alcune sostanze che appaiono solide sono, in realtà, soltanto fluidi altamente viscosi

Esperimento della goccia di pece The pitch drop experiment

ρειπαντα

• GEL CHIMICI• GEL COLLOIDALI • MATERIALI GRANUALRI • SCHIUME

la natura della transizione vetrosa e di jamming in generale e’ ancora lontano dall’essere compresa.

Il problema se esiste una vera transizione di fase sottostante e’ ancora una questione aperta.

Oltre ai vetri vi sono molti altri materiali, che, al variare di parametri di controllo, esibiscono una dinamica lenta seguita da un arresto strutturale.

TRANSIZIONE DI JAMMING

Percolation model for chemical gels

La formazione di un network percolante è responsabile della transizione sol-gel

(Flory, Stockmayer ,de Gennes…)

SOL GEL

GELAZIONE CHIMICA

Al variare dei parametri di controllo è possibile aumentare il numero di legami fino a raggiungere la soglia percolativa.

Alla transizione la viscosità diverge ed il modulo elastico va a zero.

Monomeri vicini possono interagire e formare legami permanenti

La transizione SOL-GEL corrisponde ad una transizione termodinamica come nella transizione GAS-LIQUIDO?

Nella transizione gas liquido il fattore di struttura S(k), che coincide con la trasformata di Fourier della funzione di correlazione, nel limite k che tende a zero diverge (opalescenza critica).

Nella transizione sol gel la S(k) ha un comportamento del tutto regolare Niente opalescenza critica!!!

><= ∑ −

ji

rrki jieN

k,

2).(4 ||

1)(

χ

∑ ><= −

ji

rrki jieN

kS,

).(1)(

Nella transizione sol gel, la suscettività non lineare χ4(k), che e’ legata alla trasformata di Fourier della funzione di connetivita, nel limite k che tende a zero coincide con la dimensione media dei cluster e diverge alla transizione.

Abete, De Candia, Del Gado, Fierro, AC PRL (2007)

< > thermal average; [ ] bond average

La transizione sol-gel presenta somiglianze con la transizione dei vetri di spin ed è caratterizzata da

1) Transizione dinamica, con una divergenza a legge di potenza del tempo di rilassamento

2) transizione termodinamica statica

GEL REVERSIBILI

Gels reversibili si ottengono quando i legami fra le molecole non sono permanenti, questi possono essere rotti o aumentando al temperatura o applicando una forza di taglio.

In questi casi si puo passare da una fase di gel ad una fase liquida in maniera reversibile. A questa categoria appartengono vari tipi di gel come

le gelatine o i gel colloidali.

WORKING BLOODY MIRACLES Garlaschelli et al Nature 1999

We propose that thixotropy may furnish an explanation. Thixotropy denotes the property of certain gels to liquefy when stirred or vibrated , and to solidify again when left to stand.Shaking or often slight mechanical disturbances thus make a thixotropic substance more fluid, even to the extent of changing it from a solid to a liquid.

San Gennaro

Dalla mostra personale “Urbs Sanguinum” dell’artista Nicola MasuottoNell’Art Gallery di via Solfatara 133 Pozzuoli in esposizione fino al 27 settembre

COLLOIDS

Adding polymers to colloidal suspensions induce an

effective attraction (DEPLETION

EFECT)

depletion

Adding electric charges induces a long range screened repulsion.

By using the right amount of polymers and charges one can shape a suitable potential in order to manifacture and designe new type of materials

Colloids consists of solid particles in a liquid with a diameterbetween 1 e 1000 nanometers.

Derjaguin-Landau-Verwey-Overbeek potential (DLVO)

Patchy Colloids Bianchi, Largo, Tartaglia,Zaccarelli, Sciortino PRL 2006

Modulated phases in attractive colloids with competing interactions: Selected structures.

• Cluster

• Columnar phase

• Lamellar phaseHelices formed by optimizing short range attraction and long range repulsion

Mechanism for structure formation: Due to the competition of attraction and repulsion, nearest neighbors are favored and next nearest neighbors are not.

Sciortino Tartaglia and Zaccarelli J. Chem Phys 2005

Tarzia, A.C. PRL 2006De Candia, Fierro, Del Gado, A.C. PRE 2006

Colloidal gelation

Introducendo un piccolo grado di polidispersità è possibile evitare la fase ordinata e studiare la linea di arresto strutturale.

Arresto strutturale per un sistema di colloidi con interazione attrattiva

A.I.Campbell et al., PRL 2004

Sciortino Tartaglia and Zaccarelli J. Chem Phys 2005

De Candia, Fierro, Del Gado, Coniglio PRE 2006

Fierro, De Candia, Del Gado,Coniglio J. Stat Mech 2008

0U

Diagramma di fase: Risultati di dinamica molecolare.

Legami con tempo di vita media finita

liquido

Crossover da gel a vetro

Colloidal gelation experiments

Trappe et al. Nature (2001)

The transition to the arrested state is very similar to the Sol-Gel transition:

- divergence of viscosity: η ~ (φc – φ)-k

- appearance of elastic behaviour: G ~ ( φ - φc) f

Relaxation time

Bond lifetime Note the crossover at volume fraction =0.12 where bond lifetimeIs comparable with relaxation time.

Crossover from chemical gelation (permanentbonds) to glassy type

MD DLVO model for attractive colloids

relaxation timevs. volume fraction

percolation

Crossover from a transient gel to a glass

Copolymer micellar system L64

with short range attraction

Chen,Mallamace et al, (2001,2002,2003) Mallamace,Chen,AC,de Arcangelis,Del Gado Fierro(2006)

TRANSIZIONE VETROSA

AUMENTANDO LA TEMPERATURA I LEGAMI SONO DEBOLIIN QUANTO LE FORZE DI ATTRAZIONE DIVENTANO TRASCURABILI.

QUALE E’ IL MECCANISMO DELLA TRANSIZIONE?

Berthier, Physics 2011

Amorphous solidglass

Large scale density fluctation near a critical point

In glasses both S(k) and χ 4(k) are not critical

no static correlation length no connectedness length!

Cicerone,Blackburn,Ediger (1995)

Donati et al (1998)

Franz et al (1999)

Adam and Gibbs (1965)Kirkpatrick Thirumalai Wolynes (1989)

p-SG & MC Theory

Franz and Parisi (2000). Biroli and Bouchaud (2005) ,

Biroli, et al (2006),

Dynamical Heterogeneities in Glasses

One of the advances is the concept of dynamical heterogeneities which may play the role of a critical fluctuation in critical phenomena.

Displacement of 2d Lennard Jones particles

Group of particles which are dynamically correlated, characterized by different diffusivity

Berthier, Physics 2011

Colloidal suspension using confocal microscopy

Weeks et al Nature 2000

Location of fastest particles

Volume fraction 0.56

Evidence for dynamical heterogeneities

Keys,Abate,Glotzer,Durian Nature 2007

See also Dauchot, Marty,Biroli PRL 2005For DH in sheared granular material

Air fluidized granular bed

How to quantify the dynamical heterogeneities?

Funzione di correlazione dinamica

time 0 time t

Sono mostrate solo particelle che non si sono mai mosse dal tempo 0 al tempo t

Lattice Glass modelKA model ρ = 0.85

∫= drtrgt ),()( 44χ

Queste particelle sono correlate spazialmente

),(4 trg Funzione di correlazione

Pastore, Pica Ciamarra, A.C PRL 2011

Conclusioni

Le transizioni sol-gel con legami chimici permanenti sono caratterizzate da una transizione termodinamica dove la lunghezza di connettività diverge.

Nei gel colloidali in cui i legami sono termoreversibili , a basse temperature hanno un comportamento simile ai gel chimici.

All’aumentare della temperatura i legami si rompono e si ha un crossover verso una transizione ad uno stato vetroso dominato da effetti di affollamento.

La transizione vetrosa e’ caratterizzata da eterogeneita dinamiche che sono rappresentate da particelle quasi localizzate su un periodo di tempo dell’ordine del tempo di rilassamento. Queste particelle presentano una lunghezzza di correlazione che ha un massimo ad un tempo dell’ordine del tempo di rilassamneto. All’ avvicinarsi della transizione vetrosa il massimo della lunghezza di correlazione sembra divergere. La transizione sembrerebbe essere di tipo puramente dinamico.

Molti problemi sono ancora aperti:

Il meccanismo che crea le correlazioni, sembra essere dovuti a difetti. La natura dei difetti resta ancora da essere chiarita.

Non e’ chiaro se il rilassamento strutturale e’ legato al tempo in cui la correlazione è massimo

Non e’ chiaro se l’arresto strutturale avviene a una temperatura finita o zero .

La possibile esistenza di una lunghezza statica.

La presenza di rottura di eventuali simmetrie nascoste.

More Is Different

P.W.Anderson

In closing a dialogue in Paris nel 1920 explains more clearly the above statment:

Fitzgerald: The rich are different from us.Hemingway: Yes they have more money.