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Dispensa 5

Determinazione del coefficiente dimomento di un profilo

È meglio conoscere alcune delle domande che tutte le risposte.

– James Thurber

Indice5.1 Il profilo NACA 4415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.2 Il programma XFLR5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.3 Coefficienti di pressioni sperimentali e coefficienti aerodinamici . . 135.4 Esempio di calcolo dei coefficienti aerodinamici con Matlab . . . . . 18Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Al giorno d’oggi esistono diversi modi per generare la geometria di un profilo alare edi calcolarne le caratteristiche aerodinamiche. Un esempio è dato dall’applet chiamataJavaFoil, un’applicazione in Java sviluppata da Martin Hepperle e liberamente scaricabiledal sito http://www.mh-aerotools.de [5.1]. Due schermate di JavaFoil sono riportatenella figura 5.1 nella pagina seguente.

Un altro esempio è costituito dal programma XFLR5 di André Deperrois, disponibi-le per il sistema operatico Windows e liberamente scaricabile dal sito http://xflr5.sourceforge.net [5.2]. Approfondiremo nel seguito alcuni dettagli sull’uso di questaapplicazione, che integra le funzionalità del popolare programma XFoil di Mark Drela andHarold Youngren [5.3].

D’altra parte, anche i dati sperimentali di molte famiglie di profili alari sono oggifacilmente reperibili. Oltre al testo di Abbott e von Doenhoff [5.4], che rappresenta ilvolume di riferimento per i profili della serie NACA, non mancano raccolte di caratteri-stiche sperimentali di profili di nuova generazione liberamente disponibili su internet. Unesempio è il rapporto tecnico di Selig e McGranahan [5.5], che fornisce dettagliate analisidelle prestazioni di profili alari basate su esperienze in galleria del vento.

Nel seguito sceglieremo un profilo alare e ne calcoleremo i coefficienti di resisten-za, di portanza e di momento di beccheggio per alcune condizioni di funzionamento. Inparticolare, confronteremo i valori dei suddetti coefficienti calcolabili a partire dalle di-stribuzioni sperimentali del coefficiente di pressione con quelli calcolati da programmicome JavaFoil ed XFoil.

http://www.mh-aerotools.de

http://xflr5.sourceforge.net


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ro2 Dispensa 5 Determinazione del coefficiente di momento di un profilo

Figura 5.1 Schermate dell’applicazione JavaFoil [5.1], con la quale si è generata la geometria delprofilo NACA 4415 raffigurata nella figura 5.2.

D. P. Coiro, A. De Marco

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5.1 Il profilo NACA 4415 3

0 0;2 0;4 0;6 0;8 1

�0;4

�0;2

0

0;2

0;4

x=c

z=c

Profilo NACA 4415

Figura 5.2 Geometria del profilo NACA 4415 e della sua linea media.

5.1 Il profilo NACA 4415

Si consideri il profilo NACA 4415 rappresentato nella figura 5.2 insieme con la sua lineamedia. Un insieme di punti appartenenti alla geometria del dorso e del ventre può esseregenerato agevolmente con JavaFoil. Nel pannello di configurazione della geometria bastaspecificare opportunamente la curvatura della linea media e lo spessore percentuale.

Analogamente, gli utenti di XFLR5 hanno a disposizione la possibilità di generare legeometrie dei profili delle famiglie NACA attraverso un apposito pannello di selezione.Nel paragrafo successivo vengono spiegati i dettagli di questa operazione.

5.2 Il programma XFLR5

XFLR5 è un’applicazione dotata di una ricca interfaccia grafica, pensata per l’analisi diun’ala finita, eventualmente integrata con una fusoliera e con degli impennaggi di coda.

L’utente ha la possibilità di analizzare preliminarmente le caratteristiche aerodinami-che delle diverse sezioni alari e di scegliere a piacimento la distribuzione dei profili lungol’apertura. In particolare, XFLR5 permette di configurare e mandare in esecuzione un mo-dulo di calcolo delle prestazioni dei profili. Tale componente non è altro che una funzionederivata dal popolare software XFoil di Mark Drela and Harold Youngren [5.3].

5.2.1 La modalità di lavoro XFoil Direct Analysis

La figura 5.3 mostra alcune schermate di XFLR5 che illustrano come iniziare a lavoraresu un profilo, a partire da un progetto vuoto. Il programma mette a disposizione diversemodalità di lavoro, selezionabili dal menu a tendina Application. Selezionando la voceXFoil Direct Analysis si ha la possibilità di analizzare le caratteristiche di un profilo conXFoil. Dal menu a tendina Design è possibile generare la geometria di un profilo NACAe decidere il numero di nodi con cui discretizzarne la forma. Nella sessione di lavororappresentata nella figura 5.3 l’utente ha selezionato la forma del profilo NACA 4415 edun numero di nodi pari a 100.

Dispense di Manovre e Stabilità Statica

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Figura 5.3 Schermate di XFLR5 che illustrano la selezione della modalità XFoil Direct Analysis,la scelta del profilo e del numero di nodi con cui discretizzarne la geometria.

Una volta generata la geometria del profilo, si ottiene una schermata come quellariportata in alto nella figura 5.4. A questo punto, come mostrato nella stessa figura, nellaschermata in basso, è possibile calcolare le caratteristiche aerodinamiche del profilo conXFoil attraverso il menu a tendina Polars. Tramite la voce Run Batch Analysis l’utentepuò selezionare un dato numero di condizioni operative (cioè combinazioni di angolid’attacco e di numero di Mach della corrente asintotica, M1 D V1=a1) e per ciascunoperating point effettuare l’analisi aerodinamica, sia in ipotesi di fluido non viscoso che inipotesi di fluido viscoso (per diversi numeri di Reynolds Re D V1c=�1). In quest’ultimocaso, per quanto riguarda gli strati limiti sul dorso e sul ventre, l’utente potrà specificareun modello di stima dei punti di transizione dal regime laminare a quello turbolento oimporre dei punti di transizione forzata.


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5.2 Il programma XFLR5 5

Figura 5.4 Schermate di XFLR5 in modalità XFoil Direct Analysis. Una volta generata la geome-tria del profilo è possibile calcolarne le caratteristiche aerodinamiche con XFoil. Dal menu Polarssi può selezionare un dato numero di condizioni operative, cioè di angoli d’attacco, tramite la voceRun Batch Analysis. Per ciascun operating point si può effettuare un’analisi aerodinamica sia inipotesi di fluido non viscoso che viscoso.

La figura 5.5 mostra la finestra di dialogo che compare selezionando la voce Run BatchAnalysis. Per il profilo alare selezionato, attraverso questa finestra di configurazione èpossibile richiedere all’applicazione XFoil di effettuare analisi aerodinamiche per diversinumeri di Reynolds e diversi angoli d’attacco della corrente asintotica. Nel caso mostrato


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si è scelto un solo valore del numero di Reynolds, pari a 3�106, una condizione subsonica(numero di Mach nullo) ed un insieme di valori dell’angolo d’attacco che va da�5° a 10°,intervallati di 1°.

Figura 5.5 Finestra di dialogo di XFLR5. Essa compare in modalità XFoil Direct Analysis, se-lezionando dal menu a tendina Polars la voce Run Batch Analysis. È possibile effettuare analisiaerodinamiche per diversi numeri di Reynolds e per diversi angoli d’attacco della corrente asin-totica. Nel caso mostrato si è scelto un solo valore del numero di Reynolds, pari a 3 � 106, unnumero di Mach nullo (regime subsonico) ed un insieme di valori dell’angolo d’attacco che va da�5° a 10°, intervallati di 1°.


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5.2.2 Analisi degli operating point di un profiloNelle schermate di XFLR5 riportate nella figura 5.6 si vedono i risultati di tre analisiaerodinamiche. Sono mostrate le distribuzioni del coefficiente di pressione

Cp D p � p112�1V 21

D p � p1Nq1

(5.1)

nei punti del profilo NACA 4415, calcolate con XFoil per tre diversi operating point,corrispondenti agli angoli d’attacco: ˛1 D �4°, ˛2 D 2° ed ˛3 D 8°. Tutte le condizionioperative sono state calcolate ad un Re D 3 � 106 e un M1 D 0.

Per la prima condizione di funzionamento, scorrendo la superficie del profilo dal bor-do d’attacco verso il bordo d’uscita, si può osservare il picco di espansione sulla parteventrale nella regione prodiera. Tale situazione è tipica per angoli d’attacco negativi eprofili a curvatura positiva. Il picco di espansione ventrale è seguito da una compressionefino al bordo d’uscita, verso un livello di pressione pari a quello della scia che si distac-ca dal profilo. Sul dorso, viceversa, si ha un picco di compressione ed una succesiva,graduale compressione dorsale, all’incirca fino al 30% della corda. La curva del Cp suldorso presenta poi una graduale espansione fino al bordo d’uscita verso lo stesso livellodi pressione del ventre in quella regione.

La figura 5.7 aiuta a visualizzare la distribuzione delle pressioni sul profilo nella condi-zione di funzionamento all’angolo d’attacco ˛1. I vettori rappresentati nella figura hannoil significato di vettori forza per unità di lunghezza. Essi sono applicati localmente aglielementi curvilinei appartenenti al profilo ed hanno intensità proporzionali alla differenzap � p1, tra la pressione statica locale e quella della corrente indisturbata. Come è notodall’Aerodinamica, l’integrale di linea di questa distribuzione di vettori lungo la formadel profilo fornisce il contributo alla forza aerodinamica risultante dovuto all’azione dellapressione del fluido. Le aree sottese dalle due curve nel piano .x=c; Cp/ per questo par-ticolare angolo d’attacco sono pressoché identiche in valore assoluto e di segno opposto.La loro somma algebrica è pari all’incirca al coefficiente di portanza C`.˛1/ D 0;026.Il valore ˛1 è molto vicino all’angolo di portanza nulla ˛0` del profilo. Per questa con-dizione di funzionamento, XFoil fornisce una stima del coefficiente di resistenza pari aCd .˛1/ D 0;0068 e del coefficiente di momento pari a Cmc=4

.˛1/ D �0;102.Nella seconda condizione di funzionamento, l’angolo d’attacco ˛2 è di piccola entità

e ben all’interno dell’intervallo di linearità della legge C`.˛/. Dalla distribuzione delcoefficiente di pressione (immagine centrale nella figura 5.6) si possono osservare delleleggi di graduale espansione sia sul dorso che sul ventre. Tale situazione è tipica per angolid’attacco di valore paragonabile a quello formato con l’orizzontale dalla retta tangente allalinea media nel bordo d’attacco. Le espansioni sono seguite da graduali ricompressioni,fino al bordo d’uscita, verso un livello di pressione pari a quello della scia che si distaccadal profilo.

La figura 5.8 mostra la distribuzione dei vettori pressione lungo la forma del profilonella condizione di funzionamento all’angolo d’attacco ˛2. Questo tipo di rappresenta-zione mostra con più efficacia la zona di compressione nella regione prodiera che abbrac-cia il bordo d’attacco. In tale regione si trova il punto di ristagno anteriore. La figuramette anche in evidenza la predominanza dell’espansione dorsale su quella ventrale. Ilcoefficiente di portanza predetto da XFoil in questa condizione è C`.˛2/ D 0;707. Ilcoefficiente di resistenza è pari a Cd .˛2/ D 0;0061 ed il coefficiente di momento è pari aCmc=4

.˛2/ D �0;104.Nella terza condizione di funzionamento, l’angolo d’attacco ˛3 è di non piccola entità.

Esso è superiore all’angolo ˛? del profilo, cioè è esterno all’intervallo di linearità dellalegge C`.˛/. Dalla distribuzione del coefficiente di pressione (immagine in basso nella


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Figura 5.6 Schermate di XFLR5 in modalità XFoil Direct Analysis. Sono rappresentate le di-stribuzioni del coefficiente di pressione sul profilo NACA 4415 per tre diversi operating point,corrispondenti agli angoli d’attacco: ˛1 D �4°, ˛2 D 2° ed ˛3 D 8° (Re D 3 � 106, M1 D 0).


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Figura 5.7 Vettori pressione calcolati con XFoil per il profilo NACA 4412, per un angolo d’attacco˛ D ˛1 D �4° ed in condizioni subsoniche (Re D 3 � 106, M1 D 0). Le intensità locali deivettori sono proporzionali a Nq1Cp, cioè alla differenza p � p1, tra la pressione statica locale equella della corrente indisturbata. L’integrale di linea di questa distribuzione di vettori lungo laforma del profilo fornisce il contributo alla forza aerodinamica risultante dovuto all’azione dellapressione del fluido.

Figura 5.8 Vettori pressione calcolati con XFoil per il profilo NACA 4412, per un angolo d’attacco˛ D ˛2 D 2° ed in condizioni subsoniche (Re D 3 � 106, M1 D 0).

figura 5.6) si può osservare una repentina espansione sul dorso in prossimità del bordod’attacco. Il picco di espansione sul dorso è seguito da una ricompressione fino al bordod’uscita, verso il livello di pressione pari a quello della scia che si distacca dal profilo.Sul ventre, viceversa, si osserva un picco di compressione nella regione prodiera ed unasuccessiva espansione fino al bordo d’uscita, verso lo stesso livello di pressione del dorsoin quella regione.

La figura 5.9 mostra la distribuzione dei vettori pressione lungo la forma del profilonella condizione di funzionamento all’angolo d’attacco ˛3. La rappresentazione mostrache la zona di forte compressione nella regione prodiera, nell’intorno del punto di ristagnoanteriore, è spostata dalla parte del ventre e non abbraccia il bordo d’attacco. La figuramette anche in evidenza la forte espansione dorsale, certamente più intensa della com-pressione ventrale. Da ciò deriva la nota interpretazione della portanza, come un’azione


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Figura 5.9 Vettori pressione calcolati con XFoil per il profilo NACA 4412, per un angolo d’attacco˛ D ˛3 D 8° ed in condizioni subsoniche (Re D 3 � 106, M1 D 0).

che “tira dall’alto” il profilo anziché “spingere dal basso”. Il coefficiente di portanza pre-detto da XFoil in questa condizione è C`.˛3/ D 1;336. Il coefficiente di resistenza è paria Cd .˛3/ D 0;0093 ed il coefficiente di momento è pari a Cmc=4

.˛3/ D �0;097.

5.2.3 Altre caratteristiche ed alcune funzioni di utilitàLa figura 5.10 mostra delle schermate di XFLR5 in modalità XFoil Direct Analysis, ot-tenute impostando la visualizzazione delle curve di funzionamento del profilo (tasto discelta rapida F8). La selezione del tipo di grafici che si desidera visualizzare può essereeffettuata dal menu a tendina Polars, selezionando la voce View.

Come è noto, le curve di funzionamento più importanti sono: la polare, cioè il luogodelle coppie .Cd ; C`/, la curva del C` in funzione di ˛ e la curva del Cmc=4

in funzionedi ˛. Per un profilo NACA 4415, un Re D 3 � 106 e un M1 D 0, queste tre curve sonoriportate nella figura 5.10.

Dalla successiva figura 5.11 si osserva che l’utente ha la possibilità di esportare i datiottenuti con XFoil. L’applicazione permette di esportare i dati relativi ad intere curve difunzionamento dal menu a tendina Polars, selezionando la voce Current Polar e quindiExport. Inoltre, per ciascun operating point è possibile esportare i risultati di una singolaanalisi aerodinamica. A tale scopo l’utente può usare il menu a tendina Operating Pointe selezionare la voce Export Current. Questa operazione è mostrata nell’immagine inalto della figura 5.11. Il menu a tendina Operating Point offre una seconda possibilità diesportazione attraverso il sotto-menu Current XFoil Results e la voce Export to File.

Per ottenere semplicemente la discretizzazione del profilo sotto forma di sequenzadi coppie di coordinate, l’utente può fare click con il pulsante destro del mouse nellafinestra in cui è rappresentata la geometria (visualizzabile con il tasto di scelta rapida F5),selezionare la voce Current Foil dal menu contestuale e quindi scegliere Export. Questaoperazione è mostrata nell’mmagine in basso della figura 5.11.

Secondo la convenzione fissata dagli sviluppatori di XFoil, le coordinate verrannosalvate in un file di estensione “.dat” ed ordinate scorrendo il profilo in senso antiorario,a partire dal bordo d’uscita dalla parte del dorso, passando poi per il bordo d’attacco,finendo sul bordo d’uscita dalla parte del ventre.


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Figura 5.10 Schermate di XFLR5 in modalità XFoil Direct Analysis e visualizzazione delle curvedi funzionamento del profilo NACA 4415, per Re D 3 � 106 e M1 D 0.


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Figura 5.11 Schermate di XFLR5 in modalità XFoil Direct Analysis. Possibilità di esportazionedelle grandezze fluidodinamiche locali e della geometria del profilo.

La figura 5.12 mostra un tipico grafico ottenibile utilizzando direttamente il program-ma XFoil e le sue funzioni di uscita grafica. Nella stessa figura sono state rappresentate:la forma del profilo, la forma dello strato limite e quella della scia turbolenta; le leggi delcoefficiente di pressione, sul dorso, sul ventre e nella scia.

Si evidenzia la diversità tra le curve del Cp ottenute in ipotesi di fluido non viscosoe quelle ottenute modellando opportunamente il flusso nello strato limite (con transizio-ne da regime laminare a regime turbolento). Nel primo caso (curve tratteggiate dellafigura 5.12) esiste necessariamente un punto di ristagno posteriore, in corrispondenza delbordo d’uscita. Ciò determina una non realistica compressione del flusso nell’intorno di


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5.3 Coefficienti di pressioni sperimentali e coefficienti aerodinamici 13

�2;0

�1;5

�1;0

�0;5

0;0

0;5

1;0

Cp

flusso non viscoso

ventre

dorso

NACA 4415

Re D 10 � 106

˛ D 8ıC` D 1;3511Cd D 0;008 66Cmc=4

D �0;1006

Figura 5.12 Distribuzioni del coefficiente di pressione sul ventre, sul dorso e nella scia viscosa diun profilo NACA 4415, calcolate con XFoil.

questo punto, sia sul ventre che sul dorso. Al contrario, come si vede dalle curve continuedella figura 5.12, il modello che tiene conto della presenza dello strato limite forniscedelle leggi del coefficiente di pressione più realistiche. Ciò si verifica sia nella regionepoppiera del profilo, in prossimità del distacco della scia, sia nella regione prodiera, dovevi è necessità di non sovrastimare il picco di espansione dorsale.

5.3 Distribuzioni sperimentali del coefficientedi pressione e coefficienti aerodinamici

Relativamente al profilo preso in considerazione, un NACA 4415, sono disponibili almenodue rapporti tecnici della NASA [5.7, 5.6] che riportano le distribuzioni sperimentali deicoefficienti di pressione superficiali, per diversi angoli d’attacco e per diversi numeri diMach e di Reynolds.

La figura 5.13 nella pagina successiva riporta i valori delle grandezze �Cp;u e �Cp;l(“u” sta per upper o dorso, “l” sta per lower o ventre), misurati in corrispondenza di undato numero di stazioni lungo la corda, per i tre diversi angoli d’attacco precedentementeconsiderati: ˛1, ˛2 e ˛3. A titolo di esempio, la figura 5.14 nella pagina 15 mette a con-fronto i valori sperimentali del coefficiente di pressione e quelli ricavati numericamentecon XFoil.

Le tecniche sperimentali per la misura del coefficiente di pressione in corrispondenzadella superficie di un profilo possono essere di vario tipo. La più utilizzata si basa sullapresenza di appositi orifici, praticati opportunamente nelle pareti solide dell’articolo diprova. Una rappresentazione schematica in vista esplosa del modello di un profilo alareè quella della figura 5.15 nella pagina 15. Per questo tipo di sperimentazioni l’articolo diprova è costituito da un’ala dritta di allungamento opportuno. Essa non è che un corpo diforma cilindrica e sezione corrispondente alla forma del profilo. Il modello viene instal-lato opportunamente nella camera di prova di una galleria del vento, in modo da garantire


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0 0;1 0;2 0;3 0;4 0;5 0;6 0;7 0;8 0;9 1

�1

0

1

2

x=c

�Cp

Profilo NACA 4415, ˛ D �4;0ı

dorsoventre

0 0;1 0;2 0;3 0;4 0;5 0;6 0;7 0;8 0;9 1

�1

0

1

2

x=c

�Cp

Profilo NACA 4415, ˛ D 2;0ı

dorsoventre

0 0;1 0;2 0;3 0;4 0;5 0;6 0;7 0;8 0;9 1

�1

0

1

2

x=c

�Cp


dorsoventre

Figura 5.13 Coefficienti di pressione misurati sperimentalmente sulla superficie di un profiloNACA 4415, per tre valori distinti dell’angolo d’attacco (si veda il rapporto tecnico della NACA[5.7]).


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0 0;1 0;2 0;3 0;4 0;5 0;6 0;7 0;8 0;9 1

�1

0

1

2

3

x=c

�Cp


sperimentale, ventresperimentale, dorsosoluzione numerica con XFoil

Figura 5.14 Profilo NACA 4415. Confronto tra la i valori sperimentali del coefficiente di pressionee quelli ricavati numericamente con XFoil.

n

nello strato limite la pressione localee costante nel senso normale alla parete

orifici dorsali

orifici ventrali

ai sensori di pressione

Figura 5.15 Orifici sul dorso e sul ventre di un modello di profilo alare per prove in galleria delvento. Attraverso dei piccoli tubi flessibili, la pressione locale in corrispondenza della superficiedel profilo viene misurata da appositi sensori.

condizioni di flusso bidimensionale lungo gran parte dell’apertura. Nella figura 5.15 sievidenziano due file di fori, l’una lungo il dorso e l’altra lungo il ventre. Ciascun orificioè collegato ad un misuratore di pressione tramite un tubo flessibile. I tubi sono alloggiatiall’interno del modello e trasmettono ai sensori il medesimo livello di pressione che regnaall’estremità esposta alla corrente. In questi punti, la pressione è quella locale dello stratolimite, costante per tutta la sua estensione nel senso normale alla parete del profilo. Notala pressione p1 e le altre caratteristiche della corrente indisturbata, dalla misura della psuperficiale si risale al coefficiente Cp attraverso la relazione (5.1).

Un esempio di apparato sperimentale per la misura delle caratteristiche dei profilialari è rappresentato schematicamente nella figura 5.16 nella pagina seguente. I supportiche permettono di alloggiare il profilo alare nella camera di prova sono attrezzati consistemi di misura delle forze e dei momenti esercitati dalla corrente sul modello alle varie


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presa d’aria

camera di prova

diffusoreventola

condotto di scarico

(a) Vista esterna di una galleria aerodinamica a ciclo aperto.

cella di carico della portanza

fulcro

levacontrappeso di taratura

sensore di

asta di collegamentocella di carico del momentomotore per la rotazione del profilo

guide di scorrimentoverticale

sonde di scia

(b) Dettaglio della camera di prova e dei sensori di misura delle forze e delle pressioni.

cella dicarico

fulcro

molla dipre-carico contrappeso

portanza

peso del profilo

(c) Dettaglio del sistema di misura della portanza.

Figura 5.16 Esempio di apparato sperimentale per la misura delle caratteristiche dei profili alari[5.5]. Le celle di carico sono sensori capaci di misurare delle forze e permettono di valutare laportanza ed il momento di beccheggio. Le sonde di scia sono dei tubi di Pitot posti in posizionivariabili nella regione a valle del profilo. Esse sono capaci di misurare le pressioni e le velocitàin seno al fluido e, attraverso metodi di calcolo indiretti, permettono di valutare la resistenza consufficiente accuratezza.


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condizioni di funzionamento. Questi sistemi di misura comprendono dei sensori detticelle di carico, capaci di misurare delle forze e delle coppie. Nella pratica è possibilevalutare con precisione solo la portanza ed il momento di beccheggio di un profilo. Permisurarne la resistenza in maniera accettabile è necessario utilizzare un metodo di misuraalternativo, introducendo delle sonde di scia. Queste ultime sono costituite da tubi diPitot posizionati in diversi punti nella regione a valle del profilo e servono ad acquisire lepressioni e le velocità locali nel fluido. Tali misure, attraverso metodi di calcolo indiretti,permettono di valutare la resistenza del profilo con sufficiente accuratezza.

I coefficienti sperimentali di portanza, di resistenza e di momento di beccheggio, que-st’ultimo rispetto al polo convenzionale posto ad un quarto della corda del profilo, sonoriportati nelle figure 5.17, 5.18 e 5.19 nelle pagine seguenti. I diagrammi mettono a con-fronto i valori sperimentali con quelli predetti numericamente dai codici di calcolo XFoile JavaFoil. Dalla figura 5.17 si osserva che questi programmi sovrastimano il valore delC`˛ del profilo nella regione lineare. La figura 5.18 conferma il fatto che le curve del coef-ficiente di resistenza sono notoriamente quelle più sensibili alle variazioni del numero diReynolds. Infatti, i valori sperimentali del Cd sono riferiti ad un numero di Reynolds nonprecisato nel rapporto tecnico [5.7] ma certamente compreso tra 106 e 2 � 106. D’altraparte, le curve del Cd ottenute numericamente sono riferite ad un numero di Reynoldspari a 3 � 106 e forniscono valori evidentemete inferiori a quelli sperimentali. Il con-fronto tra le curve del Cmc=4

proposto dalla figura 5.19 mette in evidenza la diversità tra irisultati di XFoil e quelli di JavaFoil. Entrambi forniscono valori accettabilmente accuratidel coefficiente di momento in un ampio intervallo di incidenze. Al crescere di ˛ XFoilfornisce delle stime più vicine ai valori sperimentali e ne segue meglio l’andamento.

�15 �10 �5 0 5 10 15 20�1;5

�1

�0;5

0

0;5

1

1;5

2

2;5

˛ (ı)

C`

Profilo NACA 4415

soluzione numerica con JavaFoilsoluzione numerica con XFoilintegrale dei Cp sperimentalivalori sperimentali

Figura 5.17 Valori numerici e sperimentali del coefficiente di portanza C` di un profiloNACA 4415. Si osserva che il valore ˛ D 8;0° è al di fuori della regione di linearità dellafunzione C`.˛/.


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�15 �10 �5 0 5 10 15

0

0;5

1

1;5

2

2;5

3

�10�2

Re D 3 � 106

106 < Re < 2 � 106

˛ (ı)

Cd

Profilo NACA 4415

soluzione numerica con JavaFoilsoluzione numerica con XFoilvalori sperimentali

Figura 5.18 Valori numerici e sperimentali del coefficiente di resistenza Cd di un profiloNACA 4415. Per la resistenza non ha senso mostrare i valori ottenuti per integrazione della di-stribuzione superficiale del coefficiente di pressione: essi sono inaccurati e vanno ricavati per viaindiretta.

5.4 Esempio di calcolo dei coefficienti aerodinamici conMatlab

Nelle figure 5.17, 5.18 e 5.19, prese in considerazione in precedenza, compaiono anchedei punti le cui ordinate sono ottenute per integrazione delle distribuzioni superficiali delcoefficiente di pressione. Illustriamo tale procedimento al fine di chiarire la genesi deicoefficienti aerodinamici.

Se si conoscesse una distribuzione continua del coefficiente di pressione sulla su-perficie del profilo, si potrebbero esprimere i coefficienti di resistenza, di portanza e dimomento di beccheggio secondo le formule seguenti

Cd D �1c

Z

ÕCl

Cp.sl/n.sl/ � i1 dsl � 1c

Z

ÕCu

Cp.su/n.su/ � i1 dsu (5.2)

C` D �1c

Z

ÕCl

Cp.sl/n.sl/ � k1 dsl � 1c

Z

ÕCu

Cp.su/n.su/ � k1 dsu (5.3)

Cmc=4D 1

c2

Z

ÕCl

S ÕCu

�Cp.s/

�n.s/ � k�

�x.s/ � c

4

�

�Cp.s/�n.s/ � i � z.s/

�ds

(5.4)


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5.4 Esempio di calcolo dei coefficienti aerodinamici con Matlab 19

�15 �10 �5 0 5 10 15 20�1

�0;5

0

0;5

1

˛ (ı)

Cmc=4

Profilo NACA 4415

soluzione numerica con JavaFoilsoluzione numerica con XFoilintegrale dei Cp sperimentalivalori sperimentali

Figura 5.19 Valori numerici e sperimentali del coefficiente di momento di beccheggio Cmc=4

di un profilo NACA 4415. La scala delle ordinate è simile a quella della curva del C` poiché,tipicamente, la variazione di questi due coefficienti con ˛ viene mostrata nello stesso grafico. Sievidenzia una forma appiattita delle curve di tendenza ai piccoli e medi angoli d’attacco.

Le (5.2)-(5.4) sono note dall’Aerodinamica e non tengono conto dell’azione deglisforzi tangenziali esercitati dal fluido in corrispondenza delle pareti del profilo. Le curveorientate Cl e Cu che compaiono negli integrali di linea rappresentano il ventre ed ildorso del profilo. In una rappresentazione della geometria nel piano .x=c; z=c/, l’ascissacurvilinea s corre lungo il profilo in senso orario; parte dal bordo d’uscita, punto .1; 0/, esegue la forma del ventre, lungo il quale è detta sl, fino al bordo d’attacco, punto .0; 0/;prosegue dal bordo d’attacco seguendo la forma del dorso, lungo il quale è detta su, finoal bordo d’uscita. Il versore n rappresenta la direzione localmente normale al profilo,orientata positivamente nel verso che va dalla parete solida alla regione fluida. I versorii e k che compaiono nella (5.4) sono quelli degli assi coordinati x e z. I versori i1 ek1 che compaiono nelle (5.2) e (5.3) rappresentano, rispettivamente, la direzione dellavelocità asintotica, orientata nel verso di V1, e quella ad essa normale.

Le formule (5.2)-(5.4) possono essere applicate discretizzando la linea che individuala geometria del profilo con un numero adeguato di nodi, detti anche corner point. Ladiscretizzazione del profilo è mostrata nella figura 5.20 nella pagina successiva. Due cor-ner point consecutivi, Pi e PiC1, individuano un “pannello”, di estensione �si . Si puòassumere che su ciascun pannello insista una pressione localmente costante. Il coeffi-ciente di pressione può essere valutato nei nodi attraverso delle funzioni che interpolano ivalori sperimentali. Il coefficiente di pressione associato al generico pannello i -mo è, conbuona approssimazione, il valore medio tra i valori assunti nei nodi d’estremità, Cp.si/ eCp.siC1/.

L’azione delle pressioni sul pannello i -mo contribuisce alla forza aerodinamica totalefA esercitata dal fluido sul profilo attraverso il termine

�fA;i D � q11

2

�CpiC CpiC1

��si ni .i D 1; : : : ; nc � 1/ (5.5)


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Nx D x=c

Nz D z=c

P1

Pnc� P1Pnc;l

PiPiC1�i .< 0/

ni D .� sin �i ; cos �i/

PjPjC1

nj D .� sin �j ; cos �j /

�j D atan2� NzjC1 � Nzj ; NxjC1 � Nxj

�

sj

pannello i -mo,corners .Pi ; PiC1/

�sj

i1

k1

˛

(a) geometria

Nx D x=c

Nz D z=c

P1

Pnc� P1Pnc;l

Pi�i

ni

Pj PjC1

nj

�j .< 0/

i1 i1

i1

k1

˛

˛

�

2� .� � �i/ � ˛

�

2C �j � ˛

q1 12

�Cpi

C CpiC1

��si

q1 12

�Cpj

C Cpj C1

��sj

(b) pressioni

Figura 5.20 Discretizzazione della geometria di un profilo.

Nella (5.5) compaiono: la pressione dinamica asintotica q1 D 12�1V12 ed il versore ni

normale al generico pannello, di componenti .� sin �i ; cos �i/. L’intero nc è il numerodi corner point ed nc � 1 è il numero di pannelli. Il segno meno nella (5.5) è dovutoal fatto che le pressioni di valore superiore alla pressione statica asintotica p1 agisconosempre nella direzione contraria al verso convenzionale della normale al panello. Per unvalore negativo del Cp, cioè in una zona di espansione, il fluido esercita un’azione localedi aspirazione sul pannello, diretta nel verso positivo della normale n.

Proiettando la (5.5) nelle direzioni, i1 e k1, della corrente asintotica e della normalead essa, e dividendo per Nq1c si ottengono le funzioni integrande delle formule (5.2)-(5.3). Se si moltiplica la (5.5) per la distanza tra la retta d’azione della normale ni dalpolo .c=4; 0/ e si divide per Nq1c2 si ottiene la funzione integranda della formula delmomento (5.4).

A titolo di esercizio, viene riportato un esempio di calcolo con Matlab dei coefficientiaerodinamici a partire dalle distribuzioni sperimentali del coefficiente di pressione. Nelprogramma denominato prepare_data_n4415 vengono preparati i dati necessari ope-razioni di integrazione numerica dei valori discreti del Cp sperimentale. Nel programmadenominato integrate_data_n4415 vengono calcolati i coefficienti aerodinamici delprofilo nelle condizioni di funzionamento agli angoli d’attacco: ˛1 D �4°, ˛2 D 2° ed˛3 D 8°.


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Listato 5.1 Lo script Matlab prepare_data_n4415.m, che prepara i dati relativi al profiloNACA 4415 per le successive operazioni di calcolo dei coefficienti aerodinamici.clear all; close all; clc

load ’airfoil_geometry.mat’ % geometriaload ’x_mCp_n4415_exp.mat’ % Cp superficiali sperimentaliload ’alpha_Cd_Cl_exp_n4415.mat’ % curve di Cd e Cl sperimentali

% vettore delle xc e delle zc (corners)% NB: i nodi originali generati da JavaFoil% sono orientati nel senso:% TE -> dorso -> LE -> ventre -> TE% con flipud si ha il ribaltamento dei vettorivxc = flipud(xz_n4415(:,1));vzc = flipud(xz_n4415(:,2));% numero di nodinc = length(vxc);

% indice del LEfor i=2:nc

if (vxc(i) == 0) && (vzc(i) == 0)nc_l = i;break

endend

% ascisse curvilinee (adimensionali, s/c)vsc = zeros(nc,1);for i=2:nc

vsc(i) = vsc(i-1) ...+ sqrt((vxc(i)-vxc(i-1))^2+(vzc(i)-vzc(i-1))^2);

end

% pendenze locali (nc-1), p="panel"vthtp = zeros(nc-1,1);for i=1:nc-1

vthtp(i) = atan2(vzc(i+1)-vzc(i),vxc(i+1)-vxc(i));end

vsp = zeros(nc-1,1);cnp = {};ctp = {};for i=1:nc-1

vsp(i) = vsc(i) + 0.5*(vsc(i+1)-vsc(i));cnp(i) = {[-sin(vthtp(i)); cos(vthtp(i))]};ctp(i) = {[ cos(vthtp(i)); sin(vthtp(i))]};

end

cnc = {};cnc(1) = {cell2mat(cnp(1))};ctc(1) = {cell2mat(ctp(1))};for i=2:nc-1

a = cell2mat(cnp(i-1));b = cell2mat(cnp(i));cnc(i) = {0.5*(a+b)};a1 = cell2mat(ctp(i-1));b1 = cell2mat(ctp(i));ctc(i) = {0.5*(a1+b1)};

endcnc(nc) = {cell2mat(cnp(nc-1))};ctc(nc) = {cell2mat(ctp(nc-1))};

%------------------------------------------------------------------------% dati sperimentali%------------------------------------------------------------------------

% alpha = -4 deg

% flip the upper and lower surface% to revert JavaFoil conventionx_mCp_l_alpha_m4_00 = flipud(x_mCp_l_alpha_m4_00);

xAl = flipud(x_mCp_l_alpha_m4_00(:,1));xcl = flipud(vxc(1:nc_l));zcl = flipud(vzc(1:nc_l));scl = flipud(vsc(1:nc_l));zAl = interp1(xcl,zcl,xAl);nAl = length(xAl);sAl = zeros(nAl,1);sAl = interp1(xcl,scl,xAl);

xAu = x_mCp_u_alpha_m4_00(:,1);xcu = vxc(nc_l:nc);zcu = vzc(nc_l:nc);zAu = interp1(xcu,zcu,xAu);


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scu = vsc(nc_l:nc);nAu = length(xAu);sAu = zeros(nAu,1);sAu = interp1(xcu,scu,xAu);

x_z_s_Cp_alpha_m4_00 = [ ...flipud(xAl), flipud(zAl) flipud(sAl), -x_mCp_l_alpha_m4_00(:,2) ; ...xAu, zAu, sAu, -x_mCp_u_alpha_m4_00(:,2) ];

sA = x_z_s_Cp_alpha_m4_00(:,3);CpA = x_z_s_Cp_alpha_m4_00(:,4);vCpc_alpha_m4_00 = interp1(sA,CpA,vsc); % ,’spline’

% alpha = 2.0 deg% ...x_z_s_Cp_alpha_2_00 = [ ...

flipud(xAl), flipud(zAl) flipud(sAl), -x_mCp_l_alpha_2_00(:,2) ; ...xAu, zAu, sAu, -x_mCp_u_alpha_2_00(:,2) ];

sA = x_z_s_Cp_alpha_8_00(:,3);CpA = x_z_s_Cp_alpha_8_00(:,4);vCpc_alpha_2_00 = interp1(sA,CpA,vsc); % ,’spline’

% alpha = 8.0 deg% ...x_z_s_Cp_alpha_8_00 = [ ...

flipud(xAl), flipud(zAl) flipud(sAl), -x_mCp_l_alpha_8_00(:,2) ; ...xAu, zAu, sAu, -x_mCp_u_alpha_8_00(:,2) ];

sA = x_z_s_Cp_alpha_8_00(:,3);CpA = x_z_s_Cp_alpha_8_00(:,4);vCpc_alpha_8_00 = interp1(sA,CpA,vsc); % ,’spline’

%-------------------------------------------------------------save ’n4415_data.mat’ ...

nc nc_l ...vxc vzc vsc vsp vthtp ...cnp ctp cnc ctc ...x_z_s_Cp_alpha_m4_00 ...vCpc_alpha_m4_00 vCpc_alpha_2_00 vCpc_alpha_8_00

%-------------------------------------------------------------

Listato 5.2 Lo script Matlab integrate_data_n4415.m, che carica i dati relativi al profiloNACA 4415 e calcola i coefficienti Cd , C` e Cmc=4

per tre diverse condizioni operative.% chiama uno script di preparazione dei datiprepare_data_n4415

clear all; close all; clc

load ’n4415_data.mat’ % dati del profiloload ’alpha_Cd_Cl_exp_n4415.mat’ % curve di Cd e Cl sperimentali

Mach = 0.3;beta = sqrt(1-Mach.^2);

% versori del flusso asintoticoalpha_A = convang(-4.00,’deg’,’rad’);alpha_B = convang( 2.00,’deg’,’rad’);alpha_C = convang( 8.00,’deg’,’rad’);vi0_A = [ cos(alpha_A); sin(alpha_A)];vk0_A = [-sin(alpha_A); cos(alpha_A)];vi0_B = [ cos(alpha_B); sin(alpha_B)];vk0_B = [-sin(alpha_B); cos(alpha_B)];vi0_C = [ cos(alpha_C); sin(alpha_C)];vk0_C = [-sin(alpha_C); cos(alpha_C)];

% integrale di linea, alpha = -4 degvCpc_A = vCpc_alpha_m4_00;nc = length(vxc);vDCl = zeros(nc,1);vDCd = zeros(nc,1);vDCmc4 = zeros(nc,1);vd1 = zeros(nc,1);vd2 = zeros(nc,1);% costruisce i termini delle funzioni integrandefor i=1:nc

vDCl(i) = - vCpc_A(i) * dot(cell2mat(cnc(i)),vk0_A);vDCd(i) = - vCpc_A(i) * dot(cell2mat(cnc(i)),vi0_A);vd1(i) = vCpc_A(i) * dot(cell2mat(cnc(i)),[0,1]) * (vxc(i)-0.25);vd2(i) = vCpc_A(i) * dot(cell2mat(cnc(i)),[1,0]) * vzc(i);vDCmc4(i) = vd1(i) - vd2(i);

end


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% integrale numerico con la regola dei trapeziCl_A = trapz(vsc,vDCl).*betaCd_A = trapz(vsc,vDCd).*betaCmc4_A = trapz(vsc,vDCmc4).*beta

% integrale di linea, alpha = 2 deg% ...

% integrale di linea, alpha = 8 deg% ...

figure(1)subplot(3,1,1)plot( ...

alpha_Cl_exp_n4415(:,1),alpha_Cl_exp_n4415(:,2), ’o-’, ...rad2deg([alpha_A alpha_B alpha_C]),[Cl_A Cl_B Cl_C],’*’, ...valpha_Re_1e6,vCl_Re_1e6)

title(’NACA 4415’)xlabel(’alpha (deg)’);ylabel(’Cl’,’Rotation’,90);

subplot(3,1,2)plot( ...

alpha_Cd_exp_n4415(:,1),alpha_Cd_exp_n4415(:,2), ’o-’, ...rad2deg([alpha_A alpha_B alpha_C]),[Cd_A Cd_B Cd_C],’*’, ...valpha_Re_1e6,vCd_Re_1e6)

title(’NACA 4415’)xlabel(’alpha (deg)’);ylabel(’Cd’,’Rotation’,90);

subplot(3,1,3)plot( ...

alpha_Cmc4_exp_n4415(:,1),alpha_Cmc4_exp_n4415(:,2), ’o-’, ...rad2deg([alpha_A alpha_B alpha_C]),[Cmc4_A Cmc4_B Cmc4_C],’*’, ...valpha_Re_1e6,vCmc4_Re_1e6)

title(’NACA 4415’)xlabel(’alpha (deg)’);ylabel(’Cm_{c/4}’,’Rotation’,90);

Lanciando i due programmi sopra riportati si otterranno i punti mostrati nei graficidelle figure 5.17, 5.18 e 5.19 contrassegnati dalla voce “integrale del Cp sperimentale”.Nei diagrammi in cui si hanno le curve sperimentali del C` e del Cmc=4

in funzione di˛, ottenute attraverso misure di forza e momento sul modello di profilo (si veda la figu-ra 5.16), si osserva una buona accuratezza dei valori di questi stessi coefficienti calcolatisulla base delle distribuzioni sperimentali del Cp. Ciò fa comprendere che la distribuzionedelle pressioni sulla superficie dei profili alari è quella che incide maggiormente sui valoridel coefficiente di portanza e di momento di beccheggio.

Per quanto riguarda il coefficiente di resistenza, esso assume valori tipicamente diuno o due ordini di grandezza inferiori rispetto agli altri coefficienti. Essendo il Cd di unprofilo determinato dall’azione combinata delle pressioni e degli sforzi d’attrito, il coef-ficiente di resistenza misurato in galleria del vento è sensibile: (i) al particolare numerodi Reynolds della corrente, (ii) alla rugosità superficiale del modello e (iii) agli eventualiaccorgimenti adottati dagli sperimentatori per condizionare la transizione al regime tur-bolento. La misura sperimentale della resistenza potrebbe essere effettuata se si potesseromisurare con soddisfacente accuratezza gli sforzi tangenziali esercitati dal fluido sullasuperficie del profilo. Anche se ciò sembra essere possibile con moderne tecniche cheimpiegano vernici speciali da cospargere sui modelli, la tecnica di valutazione preferitadel Cd di un profilo in galleria del vento è ancora quella che si affida alla misura delleperdite di quantità di moto nella scia. Alcuni procedimenti di misura dei coefficienti ae-rodinamici di un profilo sono illustrati nel rapporto tecnico di Selig e McGranahan [5.5].Questi argomenti sono ampiamente trattati nei corsi di Aerodinamica sperimentale.

Da queste considerazioni si capisce che non ha senso mostrare i valori del Cd ottenutiper integrazione della distribuzione superficiale del coefficiente di pressione accanto allacurva sperimentale di resistenza della figura 5.18, poiché essi sono inaccurati.


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Bibliografia

[5.1] M. Hepperle, Applet JavaFoil (2006), sito internet: http://www.mh-aerotools.de/

airfoils/javafoil.htm

[5.2] A. Deperrois, XFLR5, Airfoil and Wing Analysis Tool (2008), sito internet: http:

//xflr5.sourceforge.net

[5.3] M. Drela, H. Youngren, XFoil, Subsonic Airfoil Development System (2008), sitointernet: http://web.mit.edu/drela/Public/web/xfoil/

[5.4] I. H. Abbott, A. E. von Doenhoff, Theory of Airfoil Sections. Dover, 1959.

[5.5] M. S. Selig, B. D. McGranahan, “Wind Tunnel Aerodynamic Tests of Six Airfoilsfor Use on Small Wind Turbines”. National Renewable Energy Laboratory Report,NREL/SR-500-34515, Golden, Colorado, USA, 2003 (Available electronically athttp://www.osti.gov/bridge).

[5.6] A. W. Carter, “Pressure distributions on a wing having NACA 4415 airfoil sec-tions with trailing-edge flaps set at 0 deg and 40 deg”. NASA-TM-X-2225, NASALangley Research Center, 1971.

[5.7] D. J. Graham, G. E. Nitzberg, R. N. Olson, “A systematic investigation of pres-sure distributions at high speeds over five representative NACA low-drag andconventional airfoil sections”. NACA-TR-832, NASA Ames Research Center,1945.


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