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1) Discutere i seguenti sistemi di equazioni lineari nelle incognite x,y,z, dipendente dal parametro k ed evidenziarne le soluzioni, quando esistono
A){ kx+ y−kz=1x−2 y+2 z=0−x−2 y+ z=1
B){2x+4 ky=k+5kx+2 y=3
C){ kx+ y+z=kx− y+2 z=1x+ky−kz=1
D){x+ky−2 z=1x+ y−2 z=k
SOLUZIONI
A){ kx+ y−kz=1x−2 y+2 z=0−x−2 y+ z=1
Consideriamo la matrice A dei coefficienti delle incognite e calcoliamo il suo determinante , in funzione di k
Det(A)= 6k-3
a) Se 6k-3≠0→ k≠ ½il sistema è determinato.Le soluzioni sono
b) Se k=1/2La matrice <<incompleta>>
Ha rango 2
Mentre la matrice <<completa>>
ha rango 3
IL sistema è impossibile
Si può infatti osservare facilmente che, in questo caso, la prima e la terza equazione sono incompatibili
{ x+2 y−z=2x−2 y+2 z=0−x−2 y+ z=1
B){2x+4 ky=k+5kx+2 y=3
Il determinante della matrice dei coefficienti delle incognite
è uguale a 4-4k2
a)Se k≠±1 il sistema è determinato.Le soluzioni sono
b)Se k=-1
La matrice incompleta
ha rango 1
mentre la matrice completa
ha rango 2
IL sistema è impossibile
Infatti può essere scritto nella forma
{ x−2 y=2−x+2 y=3
Da cui si deduce che le due equazioni sono incompatibili
c)Se k =1
La matrice incompleta
ha rango 1
Poiché anche la matrice completa
ha rango 1
il sistema è indeterminato
Le ∞1 soluzioni possono essere scritte nella forma
x= -2t +3
y=t
Infatti il sistema può essere scritto nella forma
{x+2 y=3x+2 y=3
C){ kx+ y+z=kx− y+2 z=1x+ky−kz=1
Il determinante della matrice dei coefficienti delle incognite
Si annulla per
a) se k≠-1 ∩ k≠3 il sistema è determinato.Le soluzioni sono
indipendenti da k
b)Se k=-1
la matrice incompleta
ha rango 2
Poiché anche la matrice completa
ha rango 2
il sistema è indeterminato
Le ∞1 soluzioni possono essere scritte nella forma
x=t+1
y=t
z=0
Infatti il sistema può essere scritto nella forma
{−x+ y+ z=−1x− y+2 z=1x− y+z=1
o nella forma equivalente
{x− y=1x− y=1z=0
c)Se k=3la matrice incompleta
ha rango 2
Poiché anche la matrice completa
ha rango 2
il sistema è indeterminato
Le infinite soluzioni possono essere scritte nella forma
x=-3/4 t +1
y=5/4 t
z=t
Infatti il sistema può essere scritto nella forma
{ 3x+ y+z=3x− y+2 z=1x+3 y−3 z=1
dove si può osservare che le 3 equazioni non sono tra loro linearmente indipendenti
o nella forma equivalente
{−−−−¿ 4 x+3 z=44 y−5 z=0
che utilizza solo due equazioni
D){x+ky−2 z=1x+ y−2 z=k
La matrice incompleta
Ha rango 2 per k≠1, mentre ha rango 1 per k=1
a)k=1
sia la matrice incompleta
che la matrice completa
hanno rango 1
il sistema è indeterminato e ammette ∞2 soluzioni
x=t-2u+1
y=t
z=u
Infatti il sistema può essere scritto nella forma
{x+ y−2 z=1x+ y−2 z=1
b)Se k≠1
sia la matrice incompleta
che la matrice completa
hanno rango 2
il sistema è indeterminato e ammette ∞1 soluzioni
x=2t+k+1
y=-1
z=t
Infatti il sistema può essere scritto nella forma
{x+ky=2 z+1x+ y=2 z+k
