Vibrazioni forzate e loro stabilitá in sistemi non lineari a due gradi di libertá

EMILIO MASSA (del Pol i tecn ico di M i l a n o )

Vibrazioni n o l l

forzate e Ioro stabilith in sistemi lineari a due gradi di liberth

(Conferenza tenuta il 21 febbraio 1961) (*)

S U N T O . - I sistemi non lineari a due gradi di libert& costihfiti da un sistema oscillante forzato e da un assorbitore dinamico non lineare presentano interessanti caratteristiche di comportamento.

Premesso un breve esame degli assorbitori dinamici e del loro impiego, si espongono i risultati di ricerche teoriche e sperimentali sulle vibrazioni forzate periodiche con lo stesso periodo della forzante e la loro stabilit& nei suddetti sistemi, con particolare riguardo al caso di non linearit& di tipo cubico.

Lo studio che ~ argomento di questa conferenza ha preso origine dall 'esame del comportamento e delle possibilits di impiego degli assorbitori dinamici non lineari. Durante lo svolgimento delle ricerche teoriche e sperimentali si sono poi presentati alcuni interessanti fenomeni di instabilits delle vibrazioni forzate, che sono apparsi di interesse generale e, considerato lo stato attuale delle ricerche quaff risultano dalla bibliografia sull 'argomento, meritevoli di un esame approfondito, ed allo studio dei quali b dedicata la maggior par te del lavoro che verr~ qui esposto. Riteniamo perci5 conveniente premet- tere un breve esame degli assorbitori dinamici lineari e non lineari e del loro impiego.

Si abbia un sistema oscillante ad un grado di liberts che chiameremo sistema principale, sottoposto ad una forza eccitatrice P cos co t (fig. 1). Come ~ ben noto con tale schematizzazione possono essere

R~ - cx x mx

Fig. 1

studiati molti casi concreti che si presentano nella tecnica.

(*) Pervenuta in tipografia il 10 aprile 1961.

b' eminario Mat. e Fis. di Milano . vol. XXXII 1

2 EMILIO MASSA

Riteniamo, come si fa solitamente, che le resistenze passive siano sufficientemente piccole da poter essere trascurate hello studio del moto forzato a regime, per quanto rimangano abbastanza grandi per annullare in breve tempo le vibrazioni libere del sistema, che non vengono percib considerate.

Siano per il sistema principale"

m~ la massa, c~ la rigidezza elastica (costante),

x lo spostamento contato a partite dalla posizione di riposo, (~)

P il valore massimo della forza eccitatrice, la sua ffequenza angolare,

r ~ ~ la frequenza angolare propria del sistema principale.

Per comoditk di trattazione introduciamo le grandezze adimensionali:

x P - ~ lo spostamento adimensionale, ore x ~ t - rappresen-

X , t C,~

ta lo spostamento statico del sistema principale sotto la forza P;

= ~/o) ~ la frequenza adimensionale;

z = ~ t ~ il tempo adimensionale. Come ~ ben noto l'equazione del movimento assume la forma:

(1) d2x + x = c o s ~ z dx 2

ed il movimento a regime ~ espresso dalle

-- X cos ~1 z , ove: (3) X -- l ~ f ~ 2 '

X rappresenta l'ampiezza adimensionale del movimento e ricordiamo che ~ positiva o negativa a secondo che lo spostamento ~ in fase o in controfase con la forza. Per ~ prossimo ad 1 si hanno vibrazioni e forze trasmesse dal vincolo elastico notevoli e spesso insopportabili (fenomeno della risonanza).

(1) Se fl sistema fosse vertica]e, contato a partire daHa posizione di equilibrio sotto l'effetto del peso�9

Y1BRAZIONI FORZATE E LORO STABILIT~ II~ SISTEMI I~ON L1-NEARI A DUE GRADI DI LIBERT~ 3

Gli assorbitori dinamici rappresentano uno dei mezzi per elimi- nate, o almeno ridurre notevolmente, tali vibrazioni. Si distinguono in due tipi:

non smorzati, che possono annullare completamente il moto det sistema principale per un determinato valore della frequenza, ma divengono poco efficaci se la frequenza si allontana, anche di poco, da tale valore;

smorzati, meglio detti ammortizzatori, che riducono meno il moto del sistema principale, non riuscendo mai ad annullarlo completamente, ma rimangono efficaci per un ]argo intervallo di valori di frequenza ~2.

Noi qui ci occupiamo degli assorbitori non smorzati e cominciamo ad esaminare quelli lineari, che sono stati proposti da FRAHM fin dal 1909, e studiati da DEN I~ARTOG [1 ] [2] e da altri, tra cui DORNm [3']. L'assorbitore dinamico consiste in un secondo sistema oscillante, di resistenze passive trascurabili, collegato al sistema principale come in fig. 2, libero di muoversi nella stessa direzione di esso, per effetto del movimento impresso dal sistema principale stesso all'estremo del vincolo elastico (lineare) di collegamento. Per una determinata frequenza,

R.~= c~x ...~x _, ,~y= c~, y m>, .,_~ ~ ̂ ̂ ~ ̂ ̂ ̂ ~__l~C~163 ^1, ~,_J"m

Fig. 2

che ~ quella di risonanza dell'assorbitore, esso trasmette al sistema principale una forza eguale e contraria alla forza eccitatrice esterna e lo mantiene percib fermo.

Siano per l'assorbitore, o sistema secondario: m v la massa c~ la rigidezza elastica (costante) del vincolo elastico di colle-

gamento, y lo spostamento relativo della massa dell'assorbitore rispetto alla

massa principale (sempre contato a partire dalla posizione di riposo),

~ / c y frequenza angotare, propria la dell' assorbitore. o.) v - - m y

Introduciamo le grandezze adimensionali:

- y y - - X s t

spostamento relativo adimensionale,

4 EKIr.TO MASSA

mY rapporto fra le masse dell'assorbitore e del sistema prin- m~ cipale,

Cy y = rapporto fra le rigidezze dell'assorbitore e del sistema prin-

c~ cipale,

V ~ r rapporto fra la frequenza propria dell'assorbi- r tore e quella del sistema principale.

Poich~ tu t t a la trattazione che segue ~ svolta con grandezze adimensionali sottintenderemo nel seguito tale parola.

Le equazioni del movimento del sistema complessivo a due gradi eli libert~ formato dal sistema principale e dall'assorbitore, risultano come si vede subito"

(4) dz e

m

-4- x---3r Y = cos ~

+ q-yy =0 tz d~ 2

ed il movimento a regime ~ espresso dalle:

(5) .~ = X cos ~ -:, y = Y cos ~2 v ,

ore le ampiezze X, Y valgono:

x = n ' - - n = - - Y

(6)

r ___

f~2 fi4__n2 [• (1 + ~) + 1] +• �9

Come si vede X diviene uguale a zero per ~2 - • ossia per fie- quenza della forzante uguale a quella propria dell'assorbitore, come avevamo gi~ detto. In fig. 3 sono riportati a mo' di esempio i grafici di X ed Y in funzione di ~ nel caso particolarmente significativo in cui essendo • 1, tale annullamento della vibrazione del sistema principale avviene proprio in corrispondenza della risonanza del sistema principale stesso. Solitamente per non avere un ingombro eccessivo, specialmente per sistema principale di notevoli dimensioni, si deve

VIBRAZIONI FOBZATE E LORO STABILIT}, IN SISTEMI NON LINEARI A DUE GRADI DI LIBERTA 5

tenet ~ piccolo" nel caso in esame ~ vale 0,02. Per confronto ~ stato im �9 cato a tratto e p ~ t o anche fl ~ a ~ a m m a ~ • X in f ~ i o n e �9 ne] caso senza assorbitore (secondo la (3)).

/S.

-$.

-I$.

�9 /i

Z

senZa as~orh/lore

con ~$or~/'tore hne~re

, I t = 0 . 0 2 , /(" = f

\ . \

=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0

t

Y 7 5 " .

$0.

25_ S

a s d~s

"25.

- $ 0 _

-100.

t.'~s

Fig. 3

Anche senza eseguire una discussione approfondita, dal grafico appare chiaramente che l'assorbitore annulla la vibrazione del sistema principale per un solo valore della frequenza che indichiamo con ~o e, specialmente per ~ piccolo, si ha un rapido incremento di X al disco-

6 EMILIO MASSA

starsi di ~2 da f~o- Infatti al posto della sola frequenza propria del si- sterna principale si hanno due frequenze proprie del sistema eomples- sivo, avvieinandosi alle quali le vibrazioni divengono molto ampie, L'assorbitore dk pereib buoni risultati solo per sistemi in cui si ha una buona eostanza nel tempo della frequenza della forzante.

Sorge allora l'idea di sostituire nell'assorbitore al vineolo elastieo con earatteristiea lineare, un vineolo elastieo con earatteristiea non lineare; infatti essendo in questo easo, come g noto, la frequenza delle oscillazioni libere funzione delle ampiezze, si pub sperare di allontanare, mediante una seelta opportuna della non linearits le eondizioni di movimento con ampiezza molto grande, ed al limite infinita, dalle eondizioni di assorbimento massimo, con miglioramento del eom- portamento.

Rieerehe sugli assorbitori non lineari sono state svolte da vari autori, tra eui rieordiamo ROBERSON [4], PINNEY [5], PIPES [6], KLOTTER [7], ARNOLD [8], KAUDERER [9], ATKINSON [10], per non linearitk prevalentemente di tipo eubico (fig. 4 a).

....s: Y

Fig. 4

Su consiglio del prof. SESINI, chi vi parla si interessb dapprima del easo di non linearith ottenuta mediante vineolo elastieo di rigidezza eostante a tratti (fig. 4 b) [11: 1, 2]. Le verifiehe sperimentali mo- strarono perb la presenza di fenomeni di instabilith [12] non eonsi- derati nelle trattazioni preeedentemente eitate, rendendo neeessario riprendere in esame tut ta la questione considerando il easo di non linearith a caratteristica simmetriea (2) di tipo generieo (fig. 4 c), eib ehe sarh argomento di una. prossima pubblicazione.

In questa eonferenza mi limiterb ad esporre la trattazione svolta nel easo piA sempliee, ma gis molto indieativo, di non linearit~ di tipo

(~) Si noti che la caratteristica forza di richiamo R~(y)-allungamento y viene detta simmetrica, quando / ~ ( y ) - - R~(--y), ossia /~v(y) risulta emisimmetrica rispetto ad y.

VIBRAZIONI FORZATE E LORO STABILIT~ IN SISTE~II I~ON LINEARI A DUE GRADI DI LIBERT~ 7

cubico, completata in modo da essere pronta per il successivo studio della stabilitk.

Sostituiamo dunque al vincolo elastico lineare dell 'assorbitore con caratteristica:

Ry(y) = % y ed in forma adimensionale R~(~) - y y

il vincolo elastico (fig. 5) non lineare di tipo cubico, ossia di caratteristica: (7) R~,(y) = % (y -4- b y3)

"//// y " X f X x t

Fig. 5

ed in forma adimensionale:

- 4 ~3 3 b 2 (8) R~(~) = v ~ + - ~ ~ ore $ = - ~ %

(il coefficiente 413 g stato introdotto per semplificare Ie formule che ricaveremo pifi avanti). Le b e $ possono essere positive ~ caso del vincolo elastico a rigidezza crescente ~ (fig. 6 a), oppure negative ~ caso del vincolo elastico a rigidezza decrescente ~ (fig. 6 b)" in tale secondo

a) I b)

.... ~ Y I . / Y

Fig. 6

caso postuliamo the la rigidezza non divenga mai negativa e perci6

]ul-< 2 Le equazioni del movimento divengono allora al posto delle (4) le:

EMILIO MASSA

(9)

= cos ~2

d~2 + ' r y + - - - ~ - ~ y " - - 0 .

Una soluzione generale di sistemi di equazioni differenziali di questo ripe non esiste [13]: tra l'altro perch6 tale soluzione abbia interesse tecnico si dovrebbe tener conto nelle equazioni del movimento anche delle piccole resistenze passive per vedere quale parte del mote permane nel tempo e quale praticamente scompare dope un transitorio pifi o meno lunge. Come quasi sempre accade nei problemi non lineari, ci si deve percib accontentare di ricavare le soluzioni particolari interessanti il problema in esame che i risultati sperimentali o particolari considerazioni teoriche propongono; si devono poi usare solitamente dei metodi approssimati eli risoluzione.

Gli studi sperimentali e teorici riportati nella letteratura mostrano che sistemi del tipo in esame, ossia caratterizzati da masse costanti, forze di richiamo non lineari perfettamente elastiche, resistenze passive piccole nel sense precedentemente precisato e forza eccitatrice armonica, almeno per non linearits non troppo grande, ~c normalmente )) a regime si muovono con legge periodica con lo stesso periodo della forzante, con armonica fondamentale dello sviluppo in serie di FOURIER predominante nei conffonti delle armoniche superiori salvo in ristrette bande di ffequenza. Queste soluzioni sono proprio queue che interes- sane per il funzionamento come assorbitore, e percib eseguiamo di esse la ricerca per via analitica. Usiamo un metodo di approssimazioni successive ("), di cui mostriamo brevemente il mode di procedere e le limitazioni, senza entrare nei particolari (4).

Assumiamo in prima approssimazione una soluzione della forma:

( o ) ~ 1 x ~ x - - - - X c o s g 2 - : y = y - - Ycos [ l

ossia con armoniche superiori nulle. Avendo ritenuto trascurabili le resistenze passive, affinch6 il movimento sia periodico, la forzante

cos ~2 z deve compiere in un periodo lavoro nullo e perci6 nella deve essere nullo il termine in sen fl z; considerando l'equazione ottenuta sommando le (9) si vede poi facilmente che esso 6 hullo anche

nella ~. Per comodits di discussione e dei calcoli si assume come nota

(3) Per Mtri modi di risoluzione vedi, oltre le citazioni precedenti, anche [14].

(4) Esso verr~ pih ampiamente descritto e discusso nell'articolo in corse di completa- mento prima citato.

VIBRAZIONI FORZATE E LORO STABILIT~ IN SISTEMI NON LINEARI A DUE GRADI DI LIBERT~ 9

l 'ampiezza Y dell'armonica fondamentale del moto relativo, da cui dipende la non linearits ed in funzione di essa si ricavano le altre grandezze ~, X e successivamente le ampiezze delle armoniche superiori.

Sostituendo le (10) nelle (9), tenendo presente che

si ha:

(11)

3 1 cos 3 ~ 2 ~ : - 4 cos ~2x A- ~: cos3~2-:

[ ( l ~ ~ 2 ) X - - ~ ' ( 1 + ~ y2) y __ l ] cos ~ x __

T ~ y3 COS 3 ~2 ~ = 0

[ - ~ ~ ( x + Y ) + ~ , ( 1 + ~ Y ~ ) Y ] c o s ~ 2 1 : +

1 -~- - ~ T ~ y 3 c o s 3 ~2 I: -- 0

Introduciamo la rigidezza (costante per una certa vibrazione), che chiameremo (( rigidezza equivalente ))definita dalla

(12) T* = ~ ' (1 + ~ y2) .

Essa corrisponde ad una pendenza media (vedi fig. 6 a), b)) della caratteristica forze di richiamo-spostamenti del vincolo elastico non lineare. Corrispondentemente si pub definire la frequenza propria equivalente dell'assorbitore non lineare

(13) • = ~ / Y * $

Y Tali grandezze sono funzioni dell'ampiezza Y e nelle ipotesi fatte sempre ~,* > 0 e • reale ( > 0).

Eguagliando a zero i coefficienti di cos ~ x nelle (11) e ricavando ed X in funzione di Y si ottiene"

(14) ~ e ~ 1 1 1 (1 + ~)• + ] + --y- :i:

-}-V [(1 + ~ ) • 1 § 1/Y] 2 - 4 •

x *

(15) X = .n~ Y

I0 EMILIO MASSA

Tall formule si possono ottenere anche diret tamente dalle (6) semplicemente considerando la rigidezza equivalente • al posto di • L'introduzione delle grandezze equivalenti permette dunque lo studio del sistema non lineare in prima approssimazione con le stesse espressioni del caso lineare, tenendo perb presente che le grandezze equivalenti sono funzioni dell'ampiezza Y.

Rimangono per5 non equilibrati nelle (11) i termini in cos 3 ~2 x. Questi considerati come delle forze eccitatrici sul sistema avente caratteristiche lineari equivalenti permettono di calcolare le ampiezze delle terze armoniche in coseno, mentre risultano nulle le seconde armoniche ed i termini in seno. Vi sono allora da aggiungere alle (10) le armoniche superiori

- - ~ (3 ~2) 2 1 y3

X 3 cos 3 ~ ~: - (3 ~ )4 ._ [• (1 + ~) + 1] (3 ~)~ -4- • cos 3 ~

(16)

Y3cos3g~z =

1 y.~ [(3 a) (1 + 1-1 ]

(3 ~ ) 4 [• (1 + ~) + 1] (3 ~)2 + • cos 3 ~

Tenendo conto delle terze armoniche cosi calcolate si pub procedere ad una successiva approssimazione, approssimando maggiormente le espressioni di ~2 ed X e delle terze armoniche stesse e calcolando altre armoniche che risultano in cos n ~2 z con n = 5, 7, 9 e successivamente ripetere il procedimento di approssimazione ottenendo armoniche in cos n ~2 z con n dispari. Nei casi e nel campo di impiego che ci interessano le armoniche superiori si mantengono cosi piccole che non solo il procedimento di approssimazioni successive rapidamente con- verge, ma anzi il movimento del sistema ~ molto ben rappresentato considera.ndo i soli termini armonici fondamentali. Nel seguito della trattazione consideriamo percib la soluzione della forma (10) con ed X dati dalle (14) e (15).

Invece in ristrette bande di valori di Y ed ~ fuori dai campi che ci interessano, ove l'espressione

(n ~ )~ - - [• (1 + ~) + 1] (n ~)2 + • (n dispari)

ha valori prossimi a zero, l 'armonica superiore di ordine n si esalta, il procedimento di approssimazioni successive descritto non risulta

"VIBRAZIONI FORZATE E LORO STABILIT~ IN SISTEYlt NON LI1WEARI A DUE GRADI DI LIBERTA 1 [

pid convergente, e bisogna tenere conto di questa armonica superiore di ordine n fin dalla prima approssimazione.

Le (14) e le (15) possono essere discusse analiticamente. Si vede cosi tra l 'altro che ~ ha due o nessun valore a pari Y a secondo che

(17) • (1 + ~) + 1 + 1 / Y - - 2 • > 0 o < O.

Pub aversi nessun valore di ~ solo per Y negativo e non minore di - - (1 +

Nel caso di eguaglianza nella (17) i due valori di ~2 coincidono e

d Y

d~ - 0. Per Y tendente ad ~ , ~ tende al valore 1 �9 %/1 + ~ o ad co.

Si ha annullamento di X, ossia funzionamento perfetto come assorbitore, per

(18) ~2 = • ossia (18') y ~ • _ 1 ,

quando la frequenza della forzante ~ eguale alla frequenza propria equivalente dell'assorbitore, ci5 che, come ~ evidente dalla(18'), pub accadere solo per Y negativo.

d Y d X La d~2 e unitamente la d~2 divengono ~ per

i1 ] (19) 1 + -~-~-~(1 + ~) 2• Y ~ - - 0 ,

cib che interessa nel successivo studio della stabilith.

Si possono ora tracciare i diagrammi aventi in ascisse ~ ed in ordinate X ed Y. Essi sono riportati in fig. 7 per ~ = 0,02, • = 0,97014,

- 2,5 . 10 .5 (vincolo elastico non lineare a rigidezza crescente), valori scelti in modo tale che si abbia annullamento di X ancora in corrispondenza della risonanza del sistema principale. Si vede in essi che, come nei sistemi ad un grado di liberth con non linearith di tipo cubico, vi sono dei valori di frequenza in corrispondenza ai quali si hanno tre soluzioni possibili, di cui la maggiore in valore assoluto delle due a pari segno, in analogia a quanto accade nei sistemi ad un grado di liberts

da presumere sia instabile.

Sembrerebbe allora a questo punto della ricerca che il problema si riduca ormai all'esame dei miglioramenti nei confronti dell'assorbitore lineare ed alla determinazione dei parametri pifi convenienti

1 2 E M I L m ~ S S S A

nei vari casi. Svolgendo tale esame, che qui non riportiamo, si conclude che l'assorbitore non lineare rispetto al lineare:

d~ notevoli vantaggi, anche per non linearit~ piccola, nel cas(~

~

-IS.

Y$.

-aS .

o$0.

-l~J'.

as

Y

J

o:75

con assorbJ?ore non hneare.

, # = o. o2 , K = o. 9 7 o I . , I , / / 3 = 2. 5 . I 0 "$

t.'as t .s -

% t.:r r

F ig . 7

di vincolo elastico non lineare a rigidezza decrescente, se l 'assorbimento massimo ~ richiesto a ffequenza ~2 o ~ 1, ossia inferiore a quella di risonanza del sistema principale;

~IBRAZlONI FORZATE E LORO STABILIT~ IN SISTEMI NON LINEARI A DUE GRADI DI LIBERT~ 13

ds notevoli vantaggi, ma con non linearit~ maggiore, nel caso di vincolo elastico a rigidezza crescente, se l'assorbimento massimo ~ ri- ~hiesto per ~2 o > 1;

d~ vantaggi tanto minori quanto pifi ~2 o ~ vicino ad 1.

J

fO.

$ .

- 5

-fO

-$ .

-fO

X a ) I j . . . . . . . coa assorh/'z'ore //oeare

: = con assor~/'tore non /meare J 7

" " t , t ,

I

X

O.S 0, '75"

fl=O.O.% K :0.910f4,i~:~~ fO ! /

- $

- 4 / ~ = o , o ~ , K =.o,a,ws7,~=,o.5.m

,,I x c) ii

-s_ o.=r ~vs ~ t.'s

-. / " i

F i g . 8

Cib ~ mostrato nei grafici dei tre casi di fig. 8, ore sono riportati i diagrammi di X in funzione di ~ per i valori dei parametri ivi indicati.

Eseguendo delle verifiche sperimentali con un modello che de-

i 4 EMILIO MASSA

scriver6 brevemente pill avanti, si 6 constatato per6 che tali risultati non sono completamente accettabili: infatti nella zona utile al posto delle vibrazioni periodiche con lo stesso periodo della forzante, appros- simativamente armoniche, si possono presentare vibrazioni d'altro tipo con battimenti, non descritte dagli altri autori che avevano studiato l'assorbitore dinamico non lineare. In dipendenza dei parametri del sistema, alcune volte tall fenomeni sono poco sensibili e non distur- bano il funzionamento come assorbitore, altre volte invece lo impedi- scono completamente. Cib fa pensare a fenomeni di instabilit~ di queste soluzioni periodiche con lo stesso periodo della forzante (approssi- mativamente armoniche) e ne rende necessario lo studio della stabilitk.

Per lo studio della stabilits applichiamo il metodo classico dell'e- same delle piccole variazioni di movimento [15]. Aggiungiamo al moto

non perturbato rappresentato dalle soluzioni ~(z), ~ (~) precedentemente ricavate le variazioni o perturbazioni di movimento ~ , 8~ ottenendo cosl il moto perturbato nella forma"

(20) ~ = 7 + s~ , ~ = y + ~ .

Sostituendo le (20) nelle (9) e tenendo presente che ~, ~ rappresentano con ottima approssimazione delle soluzioni, si ottiene il sistema dif- Ierenziale, detto variazionale, nelle incognite variazioni di movimento"

(21)

d ~ (S~)

d~ 2

1 + 4 ~

d ~ (S~ + ~ ) + d~

= 0

che nel nostro caso ~ non lineare a coefficienti periodici. I1 moto non perturbato pub definirsi stabile se, date ad esso delle generiche perturbazioni suflicientemente piccole di spostamento e velocits ad un istante

I

VIBRAZIONI ]~ORZATE E LORO STABILITA IN SISTEMI NON LINEARI A DUE GRADI DI LIBERT~ 15

generico %, che chiameremo perturbazioni iniziali, le variazioni di movimento (spostamento e velocits si mantengono nel tempo (per crescente) limitate, con una limitazione che pub essere piccola quanto si vuole con una opportuna limitazione delle perturbazioni iniziali. In caso contrario il moto viene definito instabile.

Tale definizione ~ dovuta a LIAPOUNOFF [16]: si t ra t ta di una stabilit~ in piccolo, poich~ non esclude che se le perturbazioni iniziali sono abbastanza grandi il sistema abbandoni l'intorno del moto non perturbato in esame e si porti in altre condizioni di movimento.

Osservando che l'argomento richiederebbe un pifl approfondito esame critico, possiamo per6 affermare che nei sistemi meccanici come il nostro, si possono ottenere risultati in generale esatti sulla stabilitk ed instabilitY, dall'esame della cosidetta stabili~ infinitesimale, ossia considerando al posto del sistema variazionale completo (21) il sistema variazionale lineare ottenuto trascurando, come molto piccoli, i termini in ~$ e ~ di ordine superiore al primo. I1 sistema (21) diviene allora:

d ~ (S~) dz 2

+ ~,~--y(1 +413'y 2 ) ~ y - 0

d ~ (s~ + ~ ) dz 2 -[- y (1 -~ 4 ~'~2)$-~_ 0

Essendo esso lineare, condizione necessaria e sufficiente per la stabilits ~ che le variazioni di spostamento e velocits dovute a generiche perturbazioni iniziali si mantengano limitate al crescere del tempo, e per l'instabilit~ che non si mantengano limitate. Osserviamo poi che le piccole resistenze passive, che abbiamo trascurate, rendono cer- tamente asintoticamente nulle nel tempo le variazioni stesse, se risultano limitate secondo le (22).

Tenendo presente che ~, = ~ • e sostituendo al posto di y , Y cos ~ z, si ottiene con semplici passaggi

i

d ~ (~) d~ 2

+ 8x- - tx • + 2 Y ~ + 2 ~ Y ~ c o s 2 a ~ ) s ~ = o

d 2 ( ~ + ~y)

d~ 2 +• + ~ $ y 2 + ~ $ Y ~ c o s 2 ~ ) ~ = 0

che ~ un sistema di equazioni differenziali lineari a coefficienti periodici in I: di periodo 7:/~. Lo studio di esso pub essere fatto determinan- done la cosidetta equazione caratteristica, ci6 che richiede il ripetuto

16 EMILIO MASSA

impiego delia macchina calcolatrice elettronica per l 'integrazione del sistema differenziale (23) su un periodo, con particolari condizioni iniziali, e di cui ho riferito in un altro lavoro [17]. Qui esporr6 invece an metodo approssimato, del resto hello stesso ordine di approssimazione con cui ~ stata ricavata la soluzione (9), e che dk ottimi risultati confermati dalle esperienze.

Eseguiamo a tale scopo la seguente trasformazione di variabili, che ~ la medesima che viene eseguita nei sistemi a pifi di un grado di libertk a coefficienti costanti, per ottenere i modi principali di vibrare:

J w z - - 8 ~ + (1--&2~ ~)8~ (24)

w i , - 8~ + ( f i * * ~ - 1)8~

ossia

(24')

8 5 = ~ 2 ~ ~ _ _ ~

a~ = w~ + w ~ ~ H 2 - - ~z 2 '

( ~ H ~ - - 1) w~ - - ( 1 - - ~ 2 ) w~t

2. ove s 2 ed f2H ~ sono le radici ( ~ i 2 < f~rz 2) dell 'equazione in ~ .

(25) ~ ' - - [ • + 2 ~ y 2 ) ( 1 + ~ ) + 1]~2~2 + • y 2 ) = 0 .

Essendo per ipotesi (vedi le considerazioni relative alla (8)) 1 + + 2 $ y 2 > 0 si ha sempre:

(26) 0 < ~ z 2 < 1 / ( 1 + ~ ) < l < ~ z r ~

I1 sistema differenziale (23) diviene allora:

d 2 wz - - ~ z e w~

dl: 2

(27) d 2 WlI

d~:2

1 - (1 -+- tx) f~z ~ ~ H 2 ~ ~r 2 2• Y~ cos2 ~ z �9 (w~ + w~)

~ H ~ wH

(1 + ~) f2H ~ - 1 s 2 ~ ~2z ~ 2 • Y~ cos 2 ~2 1: �9 (wr~ + wr) �9

Se ~ fosse eguale a zero ossia fosse nullo fl termine non lineare nel vincolo elastico dell'assorbitore, il sistema differenziale (27) sarebbe il-

VIBRAZIONI FORZATE E LORO STABILITI Ilq SISTEMI NON LINEARI A DUE GRA_DI"IK-EIBE1Vr~ 17

neare a coefficienti costanti, le wz e wH rappresenterebbero i due modi principali di vibrare ed ~x ed ~2~ ne sarebbero le corrispondenti frequenze proprie. Essendo ~ diverso da zero vi sono anche dei termini con coefficienti wriabi l i periodicamente nel tempo e funzioni pari di esso, a valore medio hullo, e che accoppiano anche fra di loro le due equazioni differenziali nelle variabili w~ e w~.

Lavori di CESARI e della sua scuola [18] [19, pag. 75, con ampia bibliografia] dimostrano sotto condizioni verificate nel nostro caso, che per ~ :/: 0 sufficientemente piccolo le soluzioni del sistema (27) sono tu t te [imitate, salvo al massimo per ~2 eguale a m ~2~, m ~2H, m (~2z~ + ~2z)/2, m(~2H--~2t) /2 , con m numero intero generico.

I risultati d: tall lavori localizzano dunque le possibili instabilit?~ per ~2 nell'intorno dei valori sopraddetti, senza perb dire se vi siano effettivamen~e instabilit?~ e, se esistono, quale ampiezza abbiano gli intorni di instabilit?~ per valori prefissati di ~. Vediamo allora come si pub arrivare ad ottenere tali risultati.

Eseguiamo ancora le seguenti trasformazioni di variabili per por- tare il sistema differenziale (27) nella forma cosiddetta canonica:

' z 2 + z~ d w t z 2 - - z 1

i wz -- 2 ' dz -- ~ 2 i

(28) ~ i = ~ / - - 1

i z 4 z~ z ~ z~ + dwtI

ossia- \ 2 d~ ~ 2 i

(29)

(30)

z ~ \ i dw~ z ~ \ i d w ~ / = wi :[- ~ i &: , / = wxx T

z2,,, z4/ ~I~ dz

Con alcuni passaggi il (27) pub essere posto nella forma"

d z 1 4

1

d z 2 _ 4 d'~ i f~r z2 - - i ~ dz (e z i~ + e - z ip'~ ) ~_~ z~

1

d z 3 4 d'~ - i ~ H z~ + i ~ drr (e z ~ + e -z i~.~) ~ z~

1

d z 4 _ 4 dr. i ~ i r z 4 - i ~ dt t (e z i~ + e_Z ip..~) ~_~ z.

I

Se, mDta~ ' i , o M a t . e Fi, s . di, Mi, l a u o . vol. XXX.[ 2

]S EMILIO MASSA

ove

• y2 [ 1 - (1 -+- ~z) ~ 2 ] • Ye [(1 -k ~) ~zz ~ - 1] (31) di = ,dzz =

2 a z ( a n ~ - a z ~) 2 a~z (a~z ~ - a ~ )

per le (26), d~ e dH sono ambedue positivi. La discussione completa della soluzione di (30) ~ piuttosto lunga

e dettagliata. In ques~a sede ricaveremo e discuteremo percib princi- palmente le soluzioni che non sono limitate. Useremo per ricavare le soluzioni un metodo di sviluppo di esse in serie del parametro ~ nell'intorno della soluzione generatrice per ~ - 0, detto anche metodo di perturbazione. Tale sviluppo per ~ nell'intorno dei valori per cui vi pub essere instabilit~ ~ perb delicato, perch~ in tali intorni le soluzioni cercate si diramano e vi sono dei punti singolari in cui le soluzioni non sono analitiche rispetto a ~. Affinch~ gli sviluppi in serie non risultino diver- genti, almeno per ~ non troppo grande bisogna percib dare ad essi delle forme particolari e diverse nei vari intorni di instabilits

Cominciamo ad esaminare il caso di f2 prossimo ad ~2~. Esten- dendo il metodo applicato da WHITTAKER [20] O [~1, pag. 70], sotto altra forma, per la soluzione generale della equazione di MATHIEC, si vede che le soluzioni cercate non divergono, almeno per ~ non troppo grande, in tu t to l 'intorno considerato, a) se ad esse viene data la forma sviluppata in serie di ~, contenente il parametro z:

z l__e,~[ei~ + ~ v l c l )(~,~) +~2vl,2) (T,z) . . . . . . . . + ~ J v 1r ] z~ = e ~ [~ e - ~ ' + ~ v~ c~) (~, z) + ~ v~ (~, (~, z) .... + ~"v~)(~,z) .... ]

(32) zs ---- e "~ [~ vs (1) (r + ~2 V3 (2) (T, ~) .... + ~# V 3 ]) (~', Z) .... ]

Z4 : ear [~ V4 (1) (T, Z) + ~2 V4 (2) (T,)k) .... + ~] V 4 (#) (T, Z) .... ]

ore = ha l'espressione, pure sotto forma di serie di ~ contenente il parametro z-

( 3 3 ) ~ - - ~ ~ (~)(;~) ~- ~ ~ (~)(;() .... ~- ~ ~)(;~) ....

e, b) se si sviluppa anche il coefficiente del sistema differenziale ~ in serie di ~ contenente il parametro z nella forma

(34) ~ = ~ + ~ ~ (~)(z) + ~ (~)(z) .... + ~ ~)(z) ....

Le v(~) (r : 1, 2, 3, 4; 3" = 1, 2 ...) sono funzioni di z e del parametro ;~, e dalla teoria di FLOQUET, che dh la forma generale della soluzione dei sistemi differenziali lineari a coefficienti periodici, si ricava facilmente che devono essere periodiche con periodo 2 =/~2; gli a i~ ed ~(~) sono funzioni di z.

VIBRAZIONI FORZATE E LORO STABILITI IN SISTEMI NON LINEARI A DUE GRADI DI LIBERTI 19

Sostituiamo le (32) e le (33) (34) nelle (30): eguagliando i termini dello s~esso ordine in ~ e risolvendo le equazioni differenziali nelle vr(~. ) che si ottengono, con le solite modalith dei metodi di perturba- zlone, si ricavano le espressioni delle v~) in funzione di z e z. Affinch~ le %(~) risultino effettivamente periodiche, si devono inoltre annullare dei particolari termini, detti anche termini secolari; imponendo queste condizioni si scrivono altre 2 j equazioni dalle quali si ricavano le espressioni di ~ ) ed ~ ) in funzione di x.

Tall espressioni divengono rapidamenge molto complicate al crescere dell'ordine in ~. Soddisfacenti risultati si ottengono perb nei no- stri casi limitandosi in prima approssimazione ai termini di primo ordine in ~. Del resto anche la ricerca deHe soluzioni di cui si sta studiando la stabilith ~ stata eseguita nello stesso ordine di approssimazione.

Come ~ facile verificare i termini neHe (32) che non contengono soddisfano identicamente il sistema differenziale (30), mentre eguagliando i termini di primo ordine in ~ si ottiene il sistema di equazioni differenziali nelle % ~)"

(35)

dvz(~)

d': = i ~ Vl(1) + ( - - g ( 1 ) + i ~(~) + i dz X) e ~ +

+ i d~ (e ~ + e - ~ + x e - ~ )

dve(~)

d~: - - - - i ~2 v~(~) - - (X ~(~) + i X ~(~) + i dz) e - ~ - -

- - i d~ (e a~a~ + x e ' ~ + x e -a~a')

dv3(~) = i ~zz v3(~) + i dH (e 3 ~ + e -iQ~ d':

+ x e ~" + ~ e -3~a')

d%(~) d~ i ~'2ii V4(1) - - i dzz (e 3 i ~ "~- e - i ~ + Z e ~ + X e -3i~T)

Da esse si ricavano facilmente le v~(~)stesse, ponendo, come si fa solitamente nei metodi di perturbazione, eguali a zero le costanti di integrazione. Affinch~ per5 le v~(~) e v2(~) risultino, come deve essere, periodiche, devono essere eguali a zero i coefficienti d i e ~ nella prima delle (35) e d i e - ~ nella seconda, mentre le v3(~) e %(~) risultano in generale periodiche senza imporre nessuna altra condizione. Si hanno allora le seguenti relazioni fra =(,), ~(~), x"

(35') 1

0~(i ) + i ~(,) -- i ~ dz

20 EMILIO M~b$SA

A meno di termini in ~ di ordine superiore al primo, r icavando dalle (35') ~(~) ed ~(~ in funzione di ), e sostituendoli helle (33), (34), si ottiene:

(36) n~ = n - - ~ --if- x +

(37) ~ = i ~ -~-- ~ ),

Essendo note le caratterist iche del sistema vibrante, t ra cui ~,

per un generico moto non per turba to x - X cos ~2 z, y - Y cos ~2 v, ~lz e dr sono facilmente calcolabili dalle (25) e (31) e perci5 dalla (36) possiamo ricavare il parametro ;~"

(3s) z = ~d~ ~ ~d~ . - - 1 ;

da cui infine, sostituendo nella (34), otteniamo corrispondentemente"

(39) ~ = ~ i V (~2 - glx) 2 ~ 2 d2

Se il radicale ~ diverso da zero si ottengono cosi due distinti valori di ~ ed a, a cui corrispondono due soluzioni fra loro linearmen~e indipendenti. ~ evidente che se

(40) ! a - <

uno degli a ~ reale positivo" la corrispondente soluzione (32), ossia, attraverso le trasformazioni di variabili introdotte, le ~5 e ~ non si mantengono limitate al crescere del tempo, e percib il moto definito

dalle ~ e'd ~ risulta instabile. Nel caso di eguaglianza nella (40) si ha un solo valore di ~ e precisamente a -- 0; si pub per5 dimostrare che vi

un 'a l t ra soluzione con ~ - - 0 l inearmente indipendente con la precedente e che contenendo dei coefficienti crescenti l inearmente nel tempo risulta non limitata. Inoltre, sia per a ~- 0 che per ~ - 0, si possono ricavare altre due soluzioni l inearmente indipendenti ffa loro e con le precedenti e che risultano limitate; ~ cosi possibile costruire la soluzione generale e concludere che per ~2 prossimo ad ~2z, vi ~ instabilits del movimento definito dane ~ ~ ~ ' - X cos ~2 z, = y - Y cos g~ per

(41) i ~ - ~rl -< l~ ld~

VIBRAZIONI FORZATE E LORO STABILIT~ IN SISTEMI NON LINEARI A DUE GRADI DI LIBERT~ 21

Procedendo in modo analogo si ricava che per ~2 prossimo ad ~2zr vi ~ instabilit~ per

(,2) ! a - a-I -< ld - Questo tipo di instabilit~ che chiameremo di primo tipo esiste

anche nei sistemi ad un grado di libertY: infatt i lo si r i t rova con le stesse caratteristiche, si si t r a t t ano con metodo analogo i sistemi acl un grado di libertY.

Instabilit~ che si ha solamente nei sistemi a pifl di un grado di libert~ ~ invece quella per g~ prossimo ad (~2H § ~2~)/2.

La forma assunta dalle soluzioni che possono essere non l imitate in tal caso

Z 1

Z 2

(43) z 3 z~

COI l

e ~'" [e ia*+ ~ v'~(~) ( ' : , ) , ) + ~ (r. ~) .... + ~s ---- V/1(2) , V/1(i)( "~', )~) . . . . ]

- - e~. [~ Vf2(1)(,t.., ~) .3f_ ~2 vf2(2) (%.., ~) . . . . .~_ ~1 Vt2(i) ('7, ~k) . . . . ]

--- , V/a(2) V 3(i) e ~* [~ V/3(1) ( T ) k ) -~- ~2 (%.) ~) . . . . .~_ ~1 ' (,~.) ~) . . . . ]

- - e ~ [7~ e -~a* -+- ~ v'~(~) (.:, ;() + ~ v',(~) ('r., ~,) .... + + ~ , (,~ ~) .] V 4 ( i ) ' " ' "

( 4 4 ) ~ I I - - ~-~I + ~ ' ( ~ ) + ~ , (z) .... + ~ J

(1) :r (2) ~ z ' ( i ) ( ~ ) . . .

(45) - a + ~ , ( ~ ) + ~ , (z) + ~ J , (z) - - (1) 7] (2) . . . . ~ (j) "'" )

oppure

Z 1

Z 2

(43 t) z 3

Z 4

con

- - e ~ [~ v"~ (,) (-:, Z) + ~2 v"~(~) (I:,)~) .... + ~J v"~(j) (~:, Z) .... ] e~. [e_ia. + ~ v,, 2 ~2 ,, (1) ( 'T )~ ) -~- (,~.) ~) . . . . _3f- V 2(2)

+ ~J v"~(j) (~:, ~) .... ] - - e "~ [7, e ia* + ~ vff3(1) (T) )k) --][- ~2 v/f3(2) (T) ~) .... +

+ ~J " (,~ z) ] V 3( i ) ' . . . .

_ e ~ . [ ~ v , , 4 (1: ;() q_~2 ,k) .... q -~Jv ' ,),) .... ] (1) ) V/f4(2) ('~ f4(/) ('~

(44') , i s - - flz = ~"(~) (x) + ~ (~)(x)...

(46') ~H + ~-'~I ._. ~ + ~ "/]II(1)(~') + ~2 .lilt (~) + ~j l! (~) 2 (2) . . . . :q ( i) . . . .

con significato dei simboli analogo al caso di ~2 prossimo ad ~2x.

22 E ~ I O MASSA

Procedendo in modo analogo al caso precedente si ottengono a meno di termini in $ di ordine superiore al primo i valori di ~"

Se il radicale ~ diverso da zero si hanno quattro valori distinti di ~, a cui corrispondono quattro soluzioni linearmente indipendenti fra loro con cui si pub costruire la soluzione generale. ]~ evidente che se

< ~ V / d~ dr~ 2

due degli ~ hanno parte reale positiva e le corrispondenti soluzioni, ossia, attraverso le trasformazioni di variabili introdotte, le 8~ e 3~ non si mantengono [imitate a] crescere del tempo e perci6 vi ~ insta- bilitY.

Completando la discussione con il caso di radicale delle (46) eguale a zero, nel quale pure si trova non limitatezza, si conclude dunque che per ~2 prossimo a (~rz + ~2~)/2 vi ~ instabilith del movimento definito dalle ~ ~ = X cos ~ ~, ~ ~ = Ycos~2~ per

(48) m

~2z~ + ~2r

Questa stabilitk, che chiameremo di secondo tipo ~ come abbiamo detto caratteristica dei sistemi a pifi di un grado di liberth. L'instabilitk del primo tipo pub essere intuitivamente spiegata, come nei sistemi ad un grado di libertk, con la considerazione che per ~2 prossimo ad ~2z i parametri del sistema, in questo caso la rigidezza, vengono fatti variare dal moto non perturbato in modo tale che una piccola perturbazione di movimento rappresentata da w~ espande, perch~ trova reazioni elastiche sempre minori quando si oppongono e reazioni elastiche sempre maggiori quando favoriscono la variazione di movimento stessa; similmente accade per w~, quando ~2 ~ prossimo ad ~• L'instabilith del secondo tipo avviene invece per il fatto che per ~2 prossimo a (~2s~ + ~2s)12 ~ una piccola perturbazione di movimento oscillatoria con modulazione di ampiezza (ossia un battimento) rappresentato da una combinazione lineare di w~ e wHche si trova in tall condizioni.

Nel caso, in cui ~2 ~ prossimo ad (~2x~- ~r)/2, procedendo in modo analogo al caso di ~2 prossimo ad ( ~ + ~ ) / 2 , si trova che non vi sono instabilitk.

VIBRAZIONI FORZATE E LORO STABILIThk IN SISTE~II NON L1NEARI A DUE GRADI DI L1BERT~ 23

In prima approssimazione, ossia considerando termini in ~ al massimo del primo ordine, .si dimostra che non esistono altre instabilith oltre a quelle qui presentate; per ottenere le altre instabilits per m > 1 bisogna considerare termini in ~ di ordine superiore. Esse risultano estese a zone nel nostro caso molto ristrette spesso inapprezzabili e dispo~te in campi fuori da quelli che stiamo esaminando, ed ove spesso le armoniche superiori non sono piccole. Nel nostro easo non interessano, ma in altri easi pub darsi se ne debba tenere conto.

l~Iostriamo in fig. 9 sui grafici di X ed Y in funzione di ~2, dello stesso caso di fig. 7, ove risultano le instabilith di primo e secondo tipo, the abbiamo determinato. Nella fig. 9 abbiamo tracciato le curve (simmetriche rispetto all'asse ~2, poich~ ~ non muta cambiando Y in ~ Y) dei valori di Y, a ove:

a) f~ ~ f~z = 4- ~ di delimitanti la zona I,

(49) a') f ~ - f~u = 4-~ du delimitanti la zona I',

b) ~ _ _ axs + ax i// 2 = q- ~ dr dz~ delimitanti la zona II.

Le linee a t ra t to eorrispondono a soluzioni ~ ~ ~ = X cos f~ z, # ~ ~ ' = Y cos f~ ~, ehe soddisfano le eondizioni (41) (42) e perei6 instabili del primo tipo. Sperimentalmente si vede ehe, come nei sistemi ad un grado di liberts tali soluzioni instabili non possono essere or- tenure, n6 ei si mantiene in vieinanza di esse, m a i l sistema a seeondo delle eondizioni iniziali si porta sempre ad oscillate seeondo una delle altre soluzioni possibili. I rami instabili iniziano in vieinanza dei punti di tangenza vertieale delle curve Y (f~) ed X (~.) (e ei6 pub essere dimostrato, sempre con proeedimento approssimato). In eorrispondenza a tali punti s i h a il fenomeno di (( jump )~ con variazione brusea di ampiezza per una pieeola variazione di frequenza (diminuzione di frequenza quando, come in questo easo, il vineolo elastieo non lineare a rigidezza creseente) poieh6 il sistema salta da una soluzione all'altra.

La linea punteggiata eorrisponde a soluzioni instabili di seeondo tipo. Nel easo in esame di assorbimento massimo nella risonanza del sistema prineipale il trat to instabile 6 molto esteso; in altri easi, the eorrispondono ad allontanare la eondizione di assorbimento massimo da tale situazione, o a diminuire la non linearith, il t ra t to instabfle diminuisee e pub divenire anehe inapprezzabile; ei6 ehe pub spiegare come non sia stato rilevato in aleuni lavori sperimentali; aumenta in- veee aumentando la non linearits L'instabilits in esame ~ per valori eli Y negativi (e ei6 pub essere dimostrato, sempre con proeedimento

24 EMILIO MASSA

approssimato). ]~ interessante osservare che per un certo intervallo di frequenza non vi ~ nessuna soluzione periodica con lo stesso periodo della forzante che sia stabile.

Vediamo ora i risultati ottenuti sperimentalmente (5), che servono

- 5 _

o ~ _

X . . . . /n~ta~a'//ta' z~ . . . . . . . . . . z;Tstob,~'t~' zz" t@o

/1=o.o~, K =o.9zoz4, /3=~.s./o "s

. . . . . o �9 . . . . . . . . . . . . .

...."~o= t Q o.s o.'Ts ~ I.~ v

i f I

4 - I ! I

- t $ .

Y

o . $ r . $

.12

"25

Fig. 9

(5) Queste ricerche sperimentali sono state sovvenzionate dal Consiglio Nazionale delle Ricerche.

u FORZATE E LORO STABILITA IN SISTEMI NON LINEARI A DUE GRADI DI L I B E R T ~ 2 5

non solo a confermare i risultati relativi alla stabilit~ ed instabilitS~ ottenuti mediante il calcolo, ma anche a vedere quali soluzioni si sta- bilizzano quando quelle periodiche con lo stesso periodo della forzante sono instabili.

Le verifiche sperimentali sono state eseguite mediante il model- lino meecanieo mostrato nella fig. 10. L'elemento mobile di un tavo- lo vibrante a bobina mobile eceitato elet t rodinamicamente e por- tante un telaietto con esso solidale costituisee il sistema prineipale; l 'assorbitore non lineare ~ costituito da una pieeola massa collegata

Fig. 10

al sistema principale mediante un vincolo elastico formato da otto sottili fill di acciaio posti in tensione, che realizzano o t t imamente un accoppiamento elastico con non linearit~ di tipo cubico a rigidezza crescente. Sono stati misurati e registrati lo spostamento della massa principale e la forza eccitatrice in funzione del tempo.

In corrispondenza al primo tipo d / ins tabi l i t~ il sistema si com- por ta come abbiamo detto. In corrispondenza al secondo tipo di instabilit~ e per i valori di frequenza dove non vi ~ nessuna soluzione

26 EMILIO 5IASSA

periodica stabile con lo stesso periodo della forzante, abbiamo constatato the il sistema oscilla, come mostriamo negli oseillogrammi di fig. 11 b), in modo in generale pseudoperiodico di pseudoperiodo molto grande rispetto al periodo della forzante, con bat t imenti molto pro- nunciati. Considerando ora movimenti a frequenze sempre maggiori, se rimane l'instabilit5 di secondo tipo come in fig. 9, la vibrazione con batt imenti si mantiene, anche se esiste sull'altro ramo una vibrazione periodica con lo stesso periodo della forzante

Aumentando per5 la frequenza fino a quando i bat t imenti diver- rebbero molto grandi, la vibrazione a battimento, durante un passag-

:r

. . . . . i~ ~

Fig. 11

gio per le piccole ampiezze, viene come catturata dalla vibrazione periodiea, the ha ampiezza molto minore. Se-ora diminuiamo la frequenza si mantiene la vibrazione periodica fino a quando, arrivati al punto di tangente vertieale, si salta di nuovo alla vibrazione con batt imenti . Si ha pereib un (( jump ~ da una vibrazione periodiea a una con battimenti. Se il eampo di instabilith ~ invece ristretto, useiti dalla zona di instabilith si mantiene la vibrazione periodica sullo stesso ramo. Os-

~,~i!~,! �84

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28 EMILIO M ~ S A

serviamo anche che l 'introduzione di resistenze passive riduce la zona in cui si ha tale instabilits

Mostriamo infine nella fig. 12 come, mantenendo inalterata la frequenza della forzante, sia possibile con opportune perturbazioni brusche (date con la mano) saltare da una vibrazione periodica ad una con batt imenti o viceversa, o da una vibrazione periodica all 'altra, quando sono possibili due soluzioni per la stessa frequenza.

Spero con quanto detto di avere suificientemente illustrato alcuni aspetti delle vibrazioni forzate periodiche con lo stesso periodo della forzante nei sistemi a due gradi di liberth, al cui studio ha condotto l'esame del problema tecnico degli assorbitori non lineari. I risultati in particolare mettono in guardia dall'estensione ai sistemi non lineari a pifi di un ~ a d o di liberth di risultati ottenuti per un solo grado, ed invogliano a proseguire nell'esame dei fenomeni di meccanica non lineare, in questo od altri campi, poich~ tanti argomenti sono ancora non molto noti e studiati, e costituiscono un aperto e affascinante campo di ricerca.

"VIBRAZIONI FORZATE E LORO STABILIT~k IN SISTEMI NON LINEARI A DUE GRADI DI LIBERT)t 29

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Vibrazioni forzate e loro stabilitá in sistemi non lineari a due gradi di libertá

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