2 Vettori in in Rn

Definizione 2.1 (Vettore in Rn) Si definisce vettore ad n componenti reali una n-pla ordinatadi numeri reali. Le componenti del vettore possono essere disposte in colonna (vettore colonna):

a =

a1a2...an

oppure su una riga i.e. a = (a1 a2 . . . an) (vettore riga). I vettori vengono indicati con una letteraminuscola in grassetto.

Esempio 2.1 Il vettore

a =

12...4

e un vettore colonna. Il vettore

a = (1 2 . . . 4)

e un vettore riga.

Definizione 2.2 (Rappresentazione geometrica di un vettore) Dato un riferimento cartesianoxOy (nel piano) o Oxyz (nello spazio) un vettore v e interpretabile come un segmento orientatodallorigine O verso il punto le cui coordinate sono le componenti di v.

Definizione 2.3 (Uguaglianza fra vettori) Due vettori u e v sono uguali se le componenti cor-rispondenti coincidono.

Esempio 2.2 Se u = (1, 3, 4) e v = (1, 3, 4) sono uguali, invece u = (1, 3, 4) e w = (1, 4, 3) non sonouguali, poiche la seconda e la terza componente sono diverse.

Definizione 2.4 (Prodotto di un vettore per uno scalare) Dato un vettore a ed uno scalare ,il prodotto di a per lo scalare e dato da: a = (a1, a2, . . . , an).

Definizione 2.5 (Rappresentazione geometrica del prodotto di un vettore per uno scalare)Con loperazione di prodotto di un vettore per uno scalare si ottiene un altro vettore che ha la stessadirezione del vettore da moltiplicare e verso coincidente con quello del primo vettore se lo scalare emaggiore di zero, opposto se lo scalare e negativo. Inoltre la lunghezza del nuovo vettore e pari alprodotto della lunghezza del vettore originario per il valore assoluto dello scalare.

Definizione 2.6 (Somma di vettori) I vettori a = (a1, a2, . . . , an) e b = (b1, b2, . . . , bn) possonoessere sommati se hanno lo stesso numero di componenti. Il vettore somma e a + b = (a1 + b1, a2 +b2, . . . , an + bn).

Loperazione di addizione tra vettori ammette la seguente interpretazione geometrica: il vettoresomma e dato dalla diagonale passante per O del parallelogramma che ha per lati i due vettori addendi.

1

2

1 a=(2,1)

Figure 1: Rappresentazione geometrica del vettore a = [2, 1]

Definizione 2.7 (Prodotto scalare euclideo) Si definisce prodotto scalare di due vettori u e v,e si indica con uv, lo scalare ottenuto sommando i prodotti delle componenti omologhe. Cioe seu = (u1, u2, . . . , un) e v = (v1, v2, . . . , vn), si ha:

uv = u1v1 + u2v2 + . . .+ unvn. (1)

Esempio 2.3 Dati i vettori u = (2,1, 4, 5] e v = [0, 9,3, 2], si ottiene:

uv = (2,1, 4, 5)(0, 9,3, 2) = 0 2 1 9 + 4 (3) + 5 2 = 11

Definizione 2.8 (Norma euclidea) Si definisce norma euclidea o modulo di un vettore u la radicequadrata del prodotto scalare uu

u =

(uu) =u21 + u

22 + . . . u

2n. (2)

Da un punto di vista geometrico, la norma euclidea esprime la lunghezza del vettore u.

Esempio 2.4 Sia u = [1 5 3 0], risulta u =

1 + 25 + 9 + 0 =

35.

Definizione 2.9 (Versore) Si definisce versore un vettore e Rn tale che e = 1.

Esempio 2.5 In R3 sono versori i vettori che identificano gli assi cartesiani

i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0),k = (0, 0, 1).

2

2

1 a

-1

-2

-a

2a

Figure 2: Rappresentazione geometrica del prodotto del vettore a = (2, 1) per lo scalare = 2

Considerato un qualsiasi vettore non nullo u Rn, tale vettore e normalizzabile, e cioe posssibileconsiderare un versore che abbia la stessa direzione e lo stesso verso di u ma modulo unitario:

eu =u

u.

Con riferimento al vettore u dellesempio 2.4 risulta

eu =u35

=

(1

35,

535,

335, 0

)e eu =

u35

= 1.

Osservazione 2.1 (Distanza tra due vettori) Siano u e v due vettori. Si definisce distanza tra ue v la lunghezza del segmento che unisce i punti u e v.

La distanza tra i vettori u e v corrisponde lunghezza del vettore u v (= u v). Il risultato siricava osservando che, sommando i vettori u e v mediante la regola del parallelogramma, il vettoreu v ha la stessa lunghezza del segmento che unisce i punti u e v e che misura, appunto, la distanzatra u e v.

Teorema 2.1 (Interpretazione geometrica del prodotto scalare in R2) Dati due vettori u e vin R2, sia langolo da essi formato. Vale la seguente relazione: uv = uv cos .

Dimostrazione Consideriamo il triangolo formato dal vettore u, dal vettore v e dal segmento che uniscei punti u e v. Come detto in precedenza, la lunghezza di questo segmento e pari a u v. Per ilteorema del coseno si ha:

u v2 = u2 + v2 2uv cos

3

2

a

1

ba+b

2

1

Figure 3: Somma dei vettori a = (2, 1) e b = (1, 2) : a + b = (3, 3)

da cui:

uv cos = 12

(u2+v2uv2) = 12

[u21+u22+v

21+v

22(u1v1)2(u2v2)2] = u1v1+u2v2 = uv

Corollario 2.1 (Ortogonalita di due vettori) Due vettori u e v si dicono ortogonali se il loroprodotto scalare e nullo, i.e. se uv = 0.

Esempio 2.6 Per i vettori u = (2,1, 0, 3) e v = (0, 3,3, 1) si ottiene uv = 0213+0(3)+31 =0, e dunque i vettori u e v sono ortogonali.

Teorema 2.2 (Cauchy-Schwarz) Siano u e v due vettori allora

|uv| uv. (3)Luguaglianza in (3) vale se e solo se i) uno dei due vettori e il vettore nullo o ii) i due vettori sonofra loro proporzionali, i.e. se esiste uno scalare tale che u = v.

Dimostrazione Dal teorema (2.1), poiche 1 cos 1, si ha che la disequazione (3) e sempreverificata. La disequazione e soddisfatta alluguaglianza se cos = 1 o cos = 1. ma in questo casoi due vettori sono nella stessa direzione o nella direzione opposta e pertanto uno e multiplo dellaltro.

2.1 Esercizi

i) Calcolare langolo tra i vettori u = (2, 1, 1, 4) e v = (1, 2, 2,1).

ii) Determinare i valori del parametro k per i quali i vettori u = (1, 3, 7,1) e v = (3, 5, 1, k) sonoortogonali.

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