Prova di geometria differenziale del 26-2-2014, I parte

VERSIONE A

Nome e cognome:

Matricola:

Attenzione: riportare i dati personali su ogni foglio consegnato

Esercizio 1.

1. Si descriva l’atlante stereografico sulla sfera S2(1), con le relative fun-zioni di transizione.

2. Si descriva l’atlante affine su P1(C), con la relative funzioni di tran-sizione.

3. Si dimostri che S2 e naturalmente diffeomorfo a P1(C).

4. Usando tale diffeomorfismo, si definisca la mappa di Hopf

(z, w) ∈ S3(1) ⊆ C2 7→ H(z, w) ∈ S2(1/2) ⊆ R2 × R

e la esprima esplicitamente, motivando ogni passaggio.

5. Si definiscano le sfere di Berger(SU(2), gε) per ε > 0 e si dimostri che

le metriche gε sono invarianti a sinistra.

6. Si dia la definizione di metrica biinvariante su un gruppo di Lie e sistabilisca per quali valori di ε > 0 la metrica gε e biinvariante, condimostrazione.

Esercizio 2.

1. Si dia la definizione di curvatura sezionale di una varieta Riemanniana(M, g).

2. Si consideri su un aperto U ⊆ R2 una metrica Riemanniana della forma

g = ψ((dx)2 + (dy)2

),

ove ψ = ϕ2 > 0 e C∞ e se ne determini la curvatura (sezionale), esplic-itando tutti i passaggi.

1

3. Si determini la curvatura del semipiano di Poincare-Lobatchevski.

4. Si dia la definizione di seconda forma fondamentale e si enunci il Teo-rema Egregium di Gauss per superfici P ⊆ R3.

5. Data una superficie P ⊆ R3 e un punto p ∈ P , si discuta il legame trala posizione relativa nell’intorno di p della superficie e del suo pianotangente affine in p, T ap P ⊆ R3.

6. Sia P ⊆ R3 una superficie compatta. Si dimostri che esiste un puntop ∈ P nel quale la curvatura e > 0.

2

Prova di geometria differenziale del 26-2-2014, II parte

VERSIONE A

Nome e cognome:

Matricola:

Attenzione: riportare i dati personali su ogni foglio consegnato

Esercizio 1.

1. Sia P ⊆ Rn+1 un’ipersuperficie. Si dia la definizione di mappa di Gaussdi P , quindi se ne determini il differenziale dpG in p ∈ P .

2. Si dimostri l’asserto precedente su dpG.

3. Si enunci il Teorema di Hadamard.

4. Lo si dimostri.

5. Alla luce del Teorema di Hadamard, stabilire se esiste un’immersionedel toro T 2 → R3 tale che la metrica indotta ha curvatura scalareovunque positiva, e nel caso trovarla esplicitamente.

6. Si determinino la connessione di Levi-Civita, il tensore di curvatura, iltensore di Ricci e la curvatura scalare delle sfere di Berger.

Esercizio 2.

1. Si dia la definizione di geodetica in una varieta Riemanniana (M, g).

2. Sia Gun gruppo di Lie con algebra di Lie g e sia X ∈ g. Si descrivanole curve integrali di X, dimostrando che sono definite su tutto R e chesono traslati di sottogruppi a 1 parametro di G.

3. Si caratterizzino le geodetiche su un gruppo di Lie dotato di una metricabiinvariante (G,ϕ).

4. Determinare le geodetiche sul semipiano di Poincare-Lobatchevski, condimostrazione.

Esercizio 3. Sia (M, g) una varieta Riemanniana.

1. Enunciare il Lemma di Gauss.

2. Dimostrarlo.

1

Prova di geometria differenziale del 5-2-2004, I parte

VERSIONE A

Nome e cognome:

Matricola:

Attenzione: riportare i dati personali su ogni foglio consegnato

Esercizio 1.

1. Si dia la definizione di gruppo di Lie, di metrica Riemanniana invariantea sinistra e di metrica Riemanniana biinvariante su G.

2. Si dia la definizione di campo vettoriale invariante a sinistra su G esi dimostri che la collezione g di tutti i campi vettoriali invarianti asinistra su G forma una sottoalgebra di X(G), isomorfa come spaziovettoriale a TeG.

3. Si dimostri che per ogni prodotto scalare Euclideo γ : TeG× TeG→ Resiste ed e unica una metrica Riemanniana % su G invariante a sinistratale che %e = γ.

4. Sia G = SU(n). Si descriva il fibrato tangente di G e si utilizzi lafunzione

Ψ(A,B) =:1

2traccia

(A

tB) (

A,B ∈Mn(C))

per definire in modo naturale una metrica Riemanniana bi-invariantesu G.

5. Si dimostri che SU(2) con tale metrica e naturalmente isometrico aS3(1).

6. Si definiscano le sfere di Berger e si dimostri che tale metriche Rieman-niane su SU(2) sono/non sono invarianti a sinistra/biinvarianti (speci-ficare).

Esercizio 2. Sia (M ; g) una varieta Riemanniana.

1

1. Si definisca l’operatore forma di una ipersuperficie N ⊆M e si dimostriche e un endomorfismo autoaggiunto di TN .

2. Si enuncino le relazioni di Gauss e Codazzi-Mainardi.

3. Le si dimostrino.

4. Si discutano gli invarianti curvatura di una varieta Riemanniana prodotto(M, g)×(N, h); specificare se tale prodotto puo avere curvatura sezionalecostante, motivando la risposta.

5. Si determini al variare di kj ∈ N e di rj ∈ R+ se Sk1(r1)× Sk2(r2) e diEinstein (definire) e se ha curvatura sezionale/scalare costante.

6. Si calcolino le curvature scalari e sezionali delle seguenti superfici inR3, dotate della metrica indotta:

• un toro, con raggi interno ad esterno r > 0 e a > r;

• il cilindro definito dall’equazione X2 + Y 2 = b2 > 0

Descriverne il tensore di Ricci?

2

Prova di geometria differenziale del 5-2-2004, II parte

VERSIONE A

Nome e cognome:

Matricola:

Attenzione: riportare i dati personali su ogni foglio consegnato

Esercizio 1. Siano (M, g) e (N, h) varieta Riemanniane e sia f : M → Nuna sommersione Riemanniana. Siano ∇M e ∇N le rispettive connessioni diLevi-Civita.

1. Siano X, Y ∈ X(M) campi vettoriali su N , con sollevamenti orizzon-

tali X e X, Y ∈ X(N), si decrivano con dimostrazione le componenti

orizzontale e verticale di ∇NXY .

2. Si determini la componente orizzontale del commutatore[X, Y

].

3. Si definisca la curvatura della sommersione e si dimostri che la definizionee ben posta.

4. Si enunci la formula di ’O Neill e Gray che lega le curvature di f , M eN .

5. La si dimostri.

Esercizio 2. Sia (G, %) un gruppo di Lie dotato di una metrica Riemannianabiinvariate.

1. Si descrivano gli invarianti Riemanniani di (G, %) (connessione di Levi-Civita, tensore di curvatura, eccetera), con dimostrazione.

2. Puo esistere una sommersione Riemanniana (G, %) → (H,ψ) tra gruppidi Lie (G, %), (H,ψ) come sopra, ma con G semisemplice e H Abeliano?

Esercizio 3. Sia (M, g) una varieta Riemanniana e sia c : H → M unacurva C∞.

1. Si discuta la nozione di derivata covariante, di trasporto parallelo e dicampo vettoriale parallelo lungo C.

1

2. Si enunci il legame tra trasporto parallelo e connessione di Levi-Civita.

3. Lo si dimostri.

4. Si dimostri esplicitamente che un cono nello spazio Euclideo tridimen-sionale e isometrico a una regione piana e si discuta il trasporto parallelolungo i paralleli e i meridiani (generatrici) del cono.

5. Si dia la definizione di geodetica e si descrivano le geodetiche del conoe del cilindro in R3.

2

Prova di geometria differenziale del 17-12-2013, I parte

VERSIONE A

Nome e cognome:

Matricola:

Attenzione: riportare i dati personali su ogni foglio consegnato

Esercizio 1.

1. Si dia la definizione di metrica Riemanniana, di sommersione Rieman-niana e di immersione Riemanniana.

2. Si definisca la mappa di Hopf, la si descriva in opportune coordinatelocali e si dimostri che e una sommersione Riemanniana, precisandorispetto a quali metriche.

3. Si consideri il sottoinsieme aperto del piano Cartesiano

U =:

{(xy

)∈ R2 : −1 < xy < 1

}e la metrica Riemanniana g su di esso rappresentata, nel riferimentostandard (∂x, ∂y) dalla matrice(

1 xyxy 1

).

Sia π : U → R la restrizione della proiezione (x, y)t 7→ x; si descrivanogli spazi tangenti orizzontale e verticale per π rispetto a g e si stabiliscase π e una sommersione Riemanniana da (U, g) a (R, can), ove can e lametrica Euclidea canonica.

Esercizio 2

Sia (M, g) una varieta Riemanniana.

1. Si dia la definizione di connessione, di connessione simmetrica e di con-nessione metrica rispetto a g, quindi si enunci il teorema fondamentaledella geometria Riemanniana.

1

2. Lo si dimostri.

3. Si definiscano i coefficienti di Christoffel rispetto a una data carta localesu M e li si esprima in termini del tensore metrico e delle sue derivate,dimostrando tale relazione.

4. Si consideri la metrica Riemanniana su R3 rappresentata, nel riferi-mento standard, dalla matrice1 + y2 0 0

0 1 + x2 00 0 1

.

Si determinino le rappresentazioni matriciali degli operatori ∇∂x, ∇∂y,∇∂z (tensori di tipo

(1 1

)t). Tali operatori sono autoaggiunti?

Esercizio 3

1. Si dia la definizione di funzione distanza r : M → R e di operatoreforma S ad essa associata, dimostrando che S e autoaggiunto e cheS(N ) = 0, ove N =: grad(r).

2. Si enuncino le relazioni di Gauss e Codazzi-Mainardi e si enunci e di-mostri il teorema Egregium di Gauss.

3. Si dia la definizione di metrica a simmetria rotazionale e si i discutanoin dettaglio le proprieta e gli invarianti trattati di una metrica siffatta.

4. Si dimostri che il luogo

S =

xyz

: z = 1 + x4 + 3x ey − y5

e una varieta differenziale 2-dimensionale e se ne dermini la curvatura.

2

Nome e cognome:Matricola:

Esame di geometria differenziale del 17/12/2013 - prova II

Esercizio 1

• Sia M ⊆ Rn un’ipersuperficie orientata. Definire la mappa di Gauss el’operatore forma di M , e descrivere la relazione che intercorre tra diessi.

• Dimostrare tale relazione.

• Discutere il legame tra la convessita di M in un punto m ∈M (definire)e la positivita o negativita nel medesimo punto dell’operatore forma.

• Discutere la relazione tra l’operatore forma e l’operatore di curvaturadi M .

• Dedurre che se le curvature sezionali di un’ipersuperficie M sono tuttepositive ≥ ε2 > 0, allora tale e anche l’operatore di curvatura di M .Tale condizione e soddisfatta da tutte le varieta Riemanniane?

• Enunciare il teorema di Hadamard.

• Dimostrarlo.

Esercizio 2

• Dare la definizione di geodetica in una varieta Riemanniana (M, g) edefinire il campo vettoriale geodetico associato a g.

• Dimostrare esistenza e unicita di una geodetica su (M, g) con opportunecondizioni iniziali (discutere).

• Discutere la mappa esponenziale e determinare il differenziale di expm

nell’origine.

Esercizio 3

• Discutere le geodetiche su una superificie di rotazione.

1

Nome e cognome:Matricola:

Esame di geometria superiore del 12 Febbraio 2015 - prova I

Nel seguito, (M, g) denota una generica varieta Riemanniana.

Esercizio 1

Sia N ⊆M una sottovarieta differenziale. Sia ι : N ↪→M l’inclusione.

1. Si dia la definizione di metrica indotta h = ι∗(g) su M , spiegandoperche e effettivamente una metrica Riemanniana.

2. Si enunci il teorema fondamentale della geometria Riemanniana e si diala definizione di connessione di Levi Civita di (M, g).

3. Sia descriva la connessione di Levi-Civita ∇N di (N, h) in termini diquella di (M, g).

4. Si dimostri la caratterizzazione precedente.

5. Si consideri un’ipersuperficie P ⊆ Rk e sia v ∈ Rk fissato. Si definiscaV : P → Rk ponendo V (p) =: Πp(v), ove Πp : Rr → TpP e il proiettoreortogonale. Dimostrare che V ∈ X(P ) e dato W ∈ X(P ) determinare∇P

WV in termini dell’operatore forma di P .

Esercizio 2

1. Si dia la definizione di operatore forma di un’ipersuperficie P ⊆M e sidimostri che definisce un endomorfismo autoaggiunto di TpP , ∀ p ∈ P .

2. Si enunci l’equazione di curvatura radiale.

3. La si dimostri.

4. Sia dia la definizione di superficie di rotazione e se ne determini lacurvatura Gaussiana (sezionale).

1

Esercizio 3

Si consideri la metrica Riemanniana g = (1 + x2 y2) · [(dx)2 + (dy)2] su R2 .

1. Calcolare i coefficienti di Christoffel di (R2, g).

2. Calcolare la curvatura (sezionale) di (R2, g).

3. Determinare il gradiente grad(f), l’Hessiano H(f) e il Laplaciano ∆(f)(rispetto a g) per una generica f ∈ C∞(R2).

4. Calcolare la divergenza rispetto a g di X = ∂∂x− (1 + 2x) ∂

∂y.

2

Nome e cognome:Matricola:

Esame di geometria superiore del 12 Febbraio 2015 - prova II

Esercizio 1

1. Si enunci il Teorema Egregium di Gauss per superfici in R3.

2. Lo si dimostri.

3. Si usi il Teorema Egregium per calcolare la curvatura della sfera diraggio r in R3.

4. Si usi il teorema Egregium per determinare la curvatura Gaussiana (osezionale) del luogo in R3 definito dalla relazione x2 − y2 + 2z2 = 1 (sispieghi se e perche e una sottovarieta).

5. Sia P ⊆ Rk un’ipersuperficie. Sia dia la definizione di seconda formafondamentale e se ne discuta in dettaglio la relazione con la posizionedi P rispetto allo spazio tangente affine in un dato p ∈ P .

Esercizio 2

Sia P ⊆ Rk+1 un’ipersuperficie.

1. Sia dia la definizione di mappa di Gauss ΓP di P , stabilendo se ingenerale e univocamente definita e se e globalmente definita.

2. Se P e compatta, connessa e e orientabile e se l’operatore forma di Pe ovunque non degenere, dimostrare che ΓP e iniettiva / suriettiva /biunivoca / un omeomorfismo / un diffeomorfismo (scegliere tutte leopzioni che sono corrette in generale).

3. Sia P ⊆ R3 una superficie astrattamente diffeomorfa a un toro (cioe ildiffeomorfismo non e indotto da una trasformazione di R3 in se). Puoessere che la mappa di Gauss di P e un diffeomorfismo? Che e undiffeomorfismo locale?

1

Esercizio 2

Sia (G, ρ) un gruppo di Lie compatto con una metrica biinvariante.

1. Si determini la derivata covariante ∇XY con X, Y ∈ g ⊆ X(G) (campivettoriali invarianti a sinistra).

2. Se X e Y sono linearmente indipendenti, si dimostri che sec(X, Y ) ≥ 0e sec(X, Y ) = 0 se e solo se....

3. Discutere in dettaglio le geodetiche di G, legandole ai sottogruppi a unparametro; dimostrare in particolare che sono definite su tutta la rettareale.

4. Dare un esempio di gruppo di Lie nel quale le geodetiche sono tuttechiuse (ossia periodiche come mappe R → G), uno in cui tutte legeodetiche sono non chiuse (ossia iniettive come mappe R → G) einfine uno in cui le geodetiche sono talvolta chiuse e altre no.

2

Nome e cognome:Matricola:

Esame di geometria superiore del 26 Febbraio 2015 - prova I

Nel seguito, (M, g) denota una generica varieta Riemanniana.

Esercizio 1

1. Si enunci il teorema fondamentale della geometria Riemanniana e si diala definizione di connessione di Levi Civita di (M, g).

2. Si dimostri il Teorema suddetto.

3. Si calcoli la connessione di LC (ossia, se ne descrivano i coefficienti diChristoffel) della metrica standard di R2 nelle seguenti carte locali:

• La carta standard su R2, data dalle coordinate lineari (x, y);

• il sistema di coordinate polari (r, ϑ) su U =: R2 \ (−∞, 0];

• la carta locale ϕ : V ⊆ R2 → R2 ove V = R × R+ e ϕ(x, y) =:(x− ln(y)2, ln(y)) (e davvero una carta e se sı perche?).

Esercizio 2

1. Si dia la definizione di gruppo di Lie G e di campo vettoriale invariantea sinistra su di esso.

2. Siano X, Y ∈ X(G) invarianti a sinistra; si dimostri che anche [X, Y ]lo e.

3. Si dia la definizione di metrica Riemanniana invariante a sinistra e dimatrica Riemanniana biinvariante su G.

4. Si dimostri che ogni gruppo di Lie ammette una metrica invariante asinistra.

5. Definire U(n) ⊆ GL(C, n) e dimostrare che %A(B,C) =: traccia(AB

t)

(B,C ∈ TAU(n)) definisce una metrica biinvariante su U(n).

1

6. Dimostrare o confutare con un controesempio, con argomenti dettaglia-ti, la seguente affermazione: se G e un gruppo di Lie compatto e % euna metrica invariante a sinistra su G, allora % e biinvariante.

Esercizio 3

Sia (M, g) una varieta Riemanniana.

1. Si dia la definzione di tensore di curvatura R di (M, g) e si dimostriche e effettivamente un tensore (ossia C∞(M)-multinieare).

2. Calcolare i coefficienti di R in una carta locale.

3. Enunciare la prima identita di Bianchi.

4. Dimostrarla.

2

Nome e cognome:Matricola:

Esame di geometria superiore del 26 Febbraio 2015 - prova II

Nel seguito, (M, g) denota una generica varieta Riemanniana.

Esercizio 1

1. Si dia la definizione di metrica a simmetria rotazionale e si dimostri che‘r’ e una funzione distanza.

2. Si calcolino i principali invarianti di una metrica a simmetria rotazio-nale.

Esercizio 2

1. Sia gλ =: λ g, per λ > 0. Si determinino la connessione di Levi-Civitae i tensori di curvatura di tipo

(13

)e(04

)di (M, gλ).

2. Si determinino la curvatura sezionale, il tensore di Ricci e la curvaturascalare di (M, gλ).

3. Sia (N, h) una seconda varieta Riemanniana; si descrivano la connessio-ne di Levi-Civita∇M×N e il tensore di curvaturaRM×N di (M×N, g×h)in termini di ∇M , ∇N , RM e RN (con dimostrazione).

4. Siano v ∈ TmM e w ∈ TnN ; si determini sec(v, w).

5. Si stabilisca se esiste un’isometria Riemanniana tra (M × N, g × h) eun aperto U ⊆ Sk(r) per qualche r (argomentare la risposta).

Esercizio 3

1. Si dia la definizione di derivata covariante lungo una curva liscia γ :[a, b]→M e di trasporto parallelo di un vettore Pt0,t1 .

1

2. Si dimostri che il trasporto parallelo e un isomorfismo unitario (speci-ficare).

3. Si determini la dimensione dello spazio dei campi vettoriali parallelilungo γ, con dimostrazione.

4. Si esprima la derivata covariante∇XY in termini del trasporto parallelodi ??? lungo le curve integrali di ???, con dimostrazione.

5. Si dia la definizione di geodetica e si determinino le geodetiche delsemipiano di Poincare-Lobachevskij (motivando la risposta)

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