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Matematica 0-6 Dipartimento di Matematica e Applicazioni – pagina 1

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Matematica0-6

Marina Cazzola

25 settembre 2018

Presentazione

Presentazione

• Marina Cazzola

Insegnare matematica

Che cosa e lamatematica?

Catturare i discenti

Esempi

Proposte


Marina Cazzola

Presentazione

• Marina Cazzola




Esempi

Proposte


Ricercatore in comunicazione e didattica dellamatematica presso il Dipartimento di Matematica eApplicazioni dell’Universita degli Studi diMilano-Bicocca

Dal 1998 insegno presso il corso di laurea inScienze della Formazione Primaria

Dal maggio 2017 sono direttore delCentro matematita

Ho una formazione in matematica pura (PhD inMathematics presso la University of Warwick )


Presentazione

Insegnare matematica• Insegnarematematica . . . 0-6



Esempi

Proposte


Insegnare matematica . . . 0-6

Presentazione

Insegnare matematica• Insegnarematematica . . . 0-6



Esempi

Proposte


L’insegnamento della matematica non puo chepartire dalla matematica stessa

• Che cosa e la matematica?

Entrare nel vissuto dei discenti

• Come “catturare” i bambini in attivitamatematiche?


Presentazione


Che cosa e lamatematica?• Che cosa e lamatematica?

• Formale e informale• Le convinzioni deglistudenti


Esempi

Proposte


Che cosa e la matematica?

Presentazione





Esempi

Proposte


[. . . ] non e la filosofia, mal’esperienza attiva che solapuo rispondere alla domanda:Che cos’e la matematica?

[R. Courant & H. Robbins, Che cos’e lamatematica?, Universale Bollati Boringhieri,seconda edizione riveduta da Ian Stewart, 2000,p. 33]

Formale e informale

Presentazione





Esempi

Proposte


Negli ultimi anni la forza degli avvenimentiha portato ad una maggiore richiesta diinformazioni e di esercitazione tecnica nelcampo della matematica. Ora piu che maiesiste il pericolo di essere frustrati e delusi,a meno che studenti e insegnanti noncerchino di guardare al di la del formalismoe della tecnica per afferrare la veraessenza della matematica. (1943-1947)

[Courant et al., Che cos’e la matematica?, 2000,p. 23]

Didattica della matematica


[. . . ] esaminare quelle difficolta che sipresentano nella trasmissione deiconcetti matematici da parte deldocente e quelle che sorgono nellamente dell’allievo nell’attodell’apprendimento

[E. Castelnuovo, Didattica della matematica, Nuoveconvergenze. UTET Universita, 2017, p. 4, prima ed. 1963]

Fallimenti scolastici


[. . . ] nel campo specifico dell’insegnamento della matematica,nessuno di noi puo nascondersi quei fatti fuori dubbio moltogravi che si verificano troppo spesso nelle scuole secondarie eche richiamano l’attenzione di chiunque sia dentro o fuori lascuola. E difficile elencarli, perche purtroppo sono molti, ma misembra riguardino soprattutto due punti:• la lezione di matematica riesce in genere noiosa, pesante,

spesso difficile. Certi concetti non vengono afferrati bencheil professore si affanni a ripeterli e cerchi di chiarirli connumerose applicazioni; di alcune proprieta non si capisceaddirittura il senso.

[E. Castelnuovo, Didattica della matematica, Nuoveconvergenze. UTET Universita, 2017, p. 3, prima ed. 1963]



• [. . . ] E nota “l’incomprensione per la matematica” che haindotto anche grandi matematici a scrivere articoli e libri. Enota anche “la paura per la matematica” che gli psicoanalisticontinuano a ritrovare nel fondo dell’anima umana;

• i giovani che escono oggi dalle nostre scuole secondariehanno molto spesso l’idea che la matematica consista, dauna parte, in un puro meccanismo e, dall’altra, che si tratti diuna costruzione perfetta e ormai terminata e si chiedono seancora qualche scoperta possa farsi in questa disciplina.

[Castelnuovo, Didattica della matematica, 2017, prima ed.1963]



Questa incomprensione di tutto lo spirito di un corso e ben piuseria di quella riguardante un concetto o una proprieta. E setale incomprensione era un fatto grave per i giovani chelasciavano la scuola qualche decina di anni fa, quei giovani chediventati magari grandi professionisti o uomini di stato sivantano per tutta la vita di non aver mai capito nulla dimatematica, oggi la cosa e molto piu grave: oggi i giovani cheterminano le nostre scuole secondarie avvertono molto spessole gravi lacune che ha lasciato l’insegnamento dellamatematica, e accusano la scuola, denunciano la scuola diaverli immessi nella vita senza aver dato loro la comprensione el’uso di quel linguaggio che e ai giorni nostri altrettantoessenziale del linguaggio ordinario, che e la matematica. (1963)

Le convinzioni degli studenti


• i problemi di matematica hanno sempre una e una solarisposta giusta;

• c’e sempre un solo modo di risolvere un problema dimatematica, di solito l’ultima regola che l’insegnante haspiegato;

• gli studenti normali non possono aspettarsi di andare benein matematica, possono solo memorizzare e applicaremeccanicamente alcune formule, senza capirle;

• la matematica si studia da soli;• gli studenti che hanno capito la matematica sono in grado di

risolvere in cinque minuti (o anche meno) un qualsiasiproblema che venga loro assegnato;

Le convinzioni degli studenti


• la matematica che si insegna a scuola il piu delle volte nonha niente a che vedere con la realta;

• le dimostrazioni non sono necessarie per capire il processodi scoperta e di invenzione che sta dietro agli argomentioggetto di studio.

[A. H. Schoenfeld, Learning to think mathematically: Problemsolving, metacognition, and sense-making in mathematics, in:D. Grouws, (ed.), Handbook for Research on MathematicsTeaching and Learning, pp. 334–370. MacMillan, New York,1992, cfr. M. Cazzola, Fare esperienza di matematica a scuola,in: Conorovesciato. Un esperimento di didattica per probleminella scuola primaria, Materiale per i Quaderni a Quadretti.Mimesis, 2007, p. 4-5]



Ogni materia consiste nella conoscenza di informazioni e nellaconoscenza del “saper come”. In matematica il “saper come” emolto piu importante che il solo possedere delle informazioni

Che mi serve sapere che la formula del “tronco di piramideretta” e

AL =a2

(PB + PB1)

se non so dare un senso a tutti quei simboli?

Che cos’e la matematica?

Presentazione





Esempi

Proposte


• cercare soluzioni, non semplicementememorizzare procedure;

• esplorare schemi, non semplicementememorizzare formule;

• formulare congetture, non semplicemente fareesercizi.

[National Research Council, Everybody counts: Areport to the nation on the future of mathematicseducation, National Academy Press, Washington,DC, 1989, p. 84, USA]

Che cos’e la matematica?

Presentazione





Esempi

Proposte


Occorre che gli studenti abbiano l’opportunita distudiare la matematica come una disciplinasperimentale, dinamica e in evoluzione e non comeun rigido, assoluto e chiuso insieme di regole damemorizzare.

La matematica e in realta una scienza di strutture enon esclusivamente di numeri

[National Research Council, Everybody counts,1989, p. 84]



La competenza matematica e l’abilita di sviluppare e applicare ilpensiero matematico per risolvere una serie di problemi insituazioni quotidiane. Partendo da una solida padronanza dellecompetenze aritmetico-matematiche, l’accento e posto sugliaspetti del processo e dell’attivita oltre che su quelli dellaconoscenza. La competenza matematica comporta, in misuravariabile, la capacita e la disponibilita a usare modellimatematici di pensiero (pensiero logico e spaziale) e dipresentazione (formule, modelli, schemi, grafici,rappresentazioni).

[Raccomandazione del Parlamento europeo e del Consiglio del18 dicembre 2006 (2006/962/CE), cfr. anche Indicazioni 2012,p. 14]


Presentazione



Catturare i discenti• Come catturare idiscenti?• Esperienze dimatematica

• Metodo di lavoro

Esempi

Proposte


Come catturare i discenti?

Presentazione





Esempi

Proposte


Bisogna entrare nel vissuto dei discenti.

• osservare i bambini nello svolgimento delle loroattivita e intervenire al momento opportuno inmaniera appropriata

[cfr. G. Polya, How to solve it: a new aspect ofmathematical method, Princeton University Press,1945, p. 21, cfr. anche M. Cazzola, Fareesperienza di matematica a scuola, in:Conorovesciato. Un esperimento di didattica perproblemi nella scuola primaria, Materiale per iQuaderni a Quadretti. Mimesis, 2007, p. 9]

Il gioco

Presentazione





Esempi

Proposte


Se ci si occupa di matematica 0-6, lo strumentoprivilegiato per entrare nel vissuto dei bambini e ilgioco.

• Il docente (l’educatore) dovrebbe osservare leattivita dei bambini (i giochi) e cogliere gli spuntisu cui costruire esperienze di matematica.

Il ruolo del docente


Uno dei compiti piu importanti dell’insegnante e quello di aiutarei suoi allievi. Non si tratta di un compito semplice; esso richiedetempo, fatica, entusiasmo e una profonda preparazione.

Lo studente dovrebbe acquisire la massima esperienzalavorando da solo. Ma, se lasciato senza alcun aiuto o con unaiuto insufficiente dinanzi al suo problema, e probabile che eglinon compia proprio alcun progresso. D’altra parte, sel’insegnante e troppo prodigo di aiuto, all’alunno non resta piunulla da fare; quindi l’insegnante dovrebbe intervenire, ma nontroppo ne troppo poco, in modo che lo studente possasostenere una parte ragionevole di lavoro.

Il ruolo del docente


Se l’allievo non e in grado di fare molto, l’insegnante dovrebbelasciargli almeno l’illusione di saper lavorare da solo; a tal fineegli dovrebbe aiutare il ragazzo con discrezione, in manieraopportuna.

Comunque la cosa migliore e porgere aiuto allo studente connaturalezza. L’insegnante dovrebbe percio immedesimarsinell’allievo, comprendere il suo livello di conoscenza, tentare dicapire cio che si agita nella sua mente e, di conseguenza,rivolgergli quella domanda od indicare proprio quel passaggioche lo stesso studente avrebbe potuto formulare.

Matematica e gioco


“La matematica e come un gioco, unimmenso gioco con un’infinita di regole.Molti pensano che la matematica sia unastupidaggine fatta per impensierire glistudenti, invece se ci riflettiamo ci sonogiochi che piacciono solo a poche persone ela matematica e uno di questi.”

[P. Gallo & C. Vezzani, Mondi nel mondo. Fra gioco ematematica, Quaderni a quadretti. Mimesis, Milano, 2007,p. 137]

Matematica e gioco


Ci sono molti punti in comune tra l’attivita del gioco e l’attivitamatematica.

• Si usano le regole del corretto ragionamento (la logica e ladeduzione) per ottimizzare e analizzare il metodo di gioco:“qual e il modo migliore per giocare?”, “quando si puo esserecerti di vincere?”, “qual e l’apertura piu efficace?” . . .

• Si interpreta il sistema delle regole: “come si gioca?”, “inquali casi posso fare questa mossa?” . . .

• Si fanno previsioni sugli sviluppi futuri del gioco e sisperimentano strategie: “con questa mossa metto inpericolo i miei pezzi?”, “se muovo in questa casella comereagira l’avversario?”

Matematica e gioco


• Si mette in relazione, si classifica e si generalizza: “questigiochi sembrano diversi ma la loro struttura e la lorodinamica sono simili”, “la stessa strategia e applicabile atutte queste varianti del gioco” . . .

• Si individuano casi particolari o eccezioni : “questasituazione porta a vittoria a meno che. . . ”, “ogni volta che mitrovo in un caso come questo perdo” . . .

• Si controlla la regolarita delle mosse: “non vale, non puoimuovere cosı, rimetti la pedina al suo posto e fai un’altramossa” . . .

Matematica e gioco


• Si provano o si confutano affermazioni: “ora ti mostro perchequesta e una mossa vincente”, “non e vero che cosı hoperso, perche posso ancora scegliere questa mossa esalvarmi”. . .

• Si reiterano procedimenti: “mi sono gia trovato in questasituazione, quindi muovo in questo modo”, “replicandoquesta serie di mosse mangio un’altra pedina”. . .

• Si fanno considerazioni probabilistiche: “quante possibilitafavorevoli ci sono?”, “che probabilita ho di ottenere con ildado il numero che mi occorre?” . . .

• Si individuano situazioni simmetriche: “questa apertura eequivalente a quest’altra”, “siamo rimasti con gli stessi pezzinelle stesse posizioni di forza” . . .

Matematica e gioco


• Si considera la topologia e la geometria del campo da giocoe si localizzano i punti strategici: “da qui non possoraggiungere questa casella senza passare da quest’altra”,“questa pedina e piu vicina alla meta di quest’altra”, “seoccupo questa casella blocco l’avversario”, “per non esseremangiato devo raggiungere quella zona della scacchiera” . . .

[P. Gallo & C. Vezzani, Mondi nel mondo. Fra gioco ematematica, Quaderni a quadretti. Mimesis, Milano, 2007,p. 11-12]

Giochi e metodo di lavoro

Presentazione





Esempi

Proposte


• Sbagliando s’impara• Senza intenzione, interesse e partecipazione

non si vince• E utile confrontarsi con gli altri giocatori• E necessario verificare la regolarita delle mosse• Si diventa bravi continuando a giocare

[P. Gallo & C. Vezzani, Mondi nel mondo. Fra giocoe matematica, Quaderni a quadretti. Mimesis,Milano, 2007, p. 13-15]

Esempi

Presentazione




Esempi

• Dentro/fuori

• Grande/piccolo

• Forma• Condurreragionamenti

• Misura

Proposte


Dentro/fuori

Presentazione




Esempi

• Dentro/fuori

• Grande/piccolo


• Misura

Proposte


Colora di rosso l’interno della figura

Dentro/fuori

Presentazione




Esempi

• Dentro/fuori

• Grande/piccolo


• Misura

Proposte



Dentro/fuori

Presentazione




Esempi

• Dentro/fuori

• Grande/piccolo


• Misura

Proposte



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[I. Bonaiti, L. Chiesa & S. Lanfranchi, Laformica e il miele. 30 giochi per ragazze eragazzi svegli, Materiale per i Quaderni aQuadretti. Mimesis, 2005]

Teorema della curva di Jordan


Una curva semplice chiusa divide il piano in dueregioni, un “dentro” e un “fuori”.

Consideriamo nel piano una curva chiusa semplice (cioe chenon intersechi se stessa). Quali proprieta di questa figurapersistono anche se il piano e considerato come un foglio digomma deformabile in tutti i modi possibili?La lunghezza della curva e l’area della superficie da essalimitata possono essere alterate da una deformazione; maesiste una proprieta topologica della figura cosı semplice dapoter sembrare banale.

[Courant et al., Che cos’e la matematica?, 2000, p. 310]



Si tratta di un tipico esempio di un teorema che, pur avendo unenunciato estremamente intuitivo, e all’apparenza banale, non eaffatto facile da dimostrare: e necessario infatti usare strumentimolto sofisticati, oppure, se rinunciamo ad essi, costruire unaargomentazione assai laboriosa.

[cfr. M. Bertolini, M. Cazzola, M. Dedo, S. Di Sieno,E. Frigerio, D. Luminati, G. Poldi, M. Rampichini, I. Tamanini,G. M. Todesco & C. Turrini, matemilano, percorsi matematici incitta, Springer-Verlag Italia, Milano, revised second, 2003, p. 28]



Una delle ragioni di tale difficolta consiste nella generalita delconcetto di “curva semplice chiusa”, che non si limita alle classidei poligoni o delle curve “lisce”, ma comprende tutte le curveche sono immagini topologiche del cerchio. D’altra parte, molticoncetti come “interno”, “esterno” ecc., che sono cosı chiariall’intuizione, devono essere precisati prima che sia possibileuna dimostrazione rigorosa. E della piu grande importanzateorica analizzare questi concetti nella loro piena generalita, egran parte della topologia moderna si e dedicata a questocompito. Ma non si deve dimenticare che nella maggioranza deicasi originati dallo studio di fenomeni geometrici concreti e deltutto fuori di proposito lavorare con concetti la cui estremageneralita crea complicazioni non necessarie.[Courant et al., Che cos’e la matematica?, 2000, p. 311]



Per rendersi conto della non banalita di questo risultato e utilepensare al fatto che la stessa affermazione puo non esserevera su superfici diverse dal “foglio di carta”.

[cfr. Bertolini et al., matemilano, percorsi matematici in citta,2003, p. 28]



[M. Bertolini, M. Cazzola, M. Dedo, S. Di Sieno, E. Frigerio,D. Luminati, G. Poldi, M. Rampichini, I. Tamanini, G. M.Todesco & C. Turrini, “matemilano”, CD-Rom, 2004]



[M. Bertolini, M. Cazzola, M. Dedo, S. Di Sieno, E. Frigerio,D. Luminati, G. Poldi, M. Rampichini, I. Tamanini, G. M.Todesco & C. Turrini, “matemilano”, CD-Rom, 2004]



[Bertolini et al., matemilano, 2004]






















Dove fermarsi?

Presentazione




Esempi

• Dentro/fuori

• Grande/piccolo


• Misura

Proposte


[. . . ] nella maggioranza deicasi originati dallo studio difenomeni geometrici concreti edel tutto fuori di propositolavorare con concetti la cuiestrema generalita creacomplicazioni non necessarie

Topologia


A volte e utile studiare proprieta degli oggetti geometrici inqualche modo piu “intrinseche”, alla ricerca di una naturageometrica piu “di base”.

Ci sono situazioni in cui non hanno importanza ne le dimensionidi un oggetto, ne la lunghezza di un itinerario, ma solo fattori inun certo senso piu “di base”, proprieta degli oggetti che noncambierebbero anche se questi fossero fatti di gomma e li sipotesse distorcere a piacere (senza romperli).

[M. Dedo, Galleria di metamorfosi, Quaderni a quadretti.Mimesis, Milano, 2010, p. 130-144][Courant et al., Che cos’e la matematica?, 2000,p. 299-331,p. 595]

Topologia


“Se poi si vuole arrivare – dice Piaget – al concetto di misura, sisara colpiti ancora di piu dalla natura del tutto qualitativa dellenozioni primitive”.

Cominciamo con il riferire delle esperienze condotte su bambiniin tenera eta (dai 2 ai 3 anni), e che sembrano strane dal puntodi vista matematico.Sono esperienze che si mettono in evidenza facendo copiaredei disegni: il quadrato, il cerchio, il triangolo o il rettangolo sonotutti copiati dal bambino come dei tondi.Si dira: la la difficolta manuale che non permette al bimbo didisegnare in maniere diverse queste figure!

[Castelnuovo, Didattica della matematica, 2017, p. 20]

Topologia


Ma ci si accorge subito che il bambino copia in modo diversouna croce, ad esempio. Cioe il bambino e colpito dalle formechiuse e dalle forme aperte.

Topologia


Sono dunque le forme topologiche che colpiscono prima di tuttola sua attenzione; la percezione euclidea viene dopo, verso i 4anni.

Sfida: colora di rosso l’interno delle figure qui sopra.

Grande/piccolo

Presentazione




Esempi

• Dentro/fuori

• Grande/piccolo


• Misura

Proposte


Forma

Presentazione




Esempi

• Dentro/fuori

• Grande/piccolo


• Misura

Proposte


Forma

Presentazione




Esempi

• Dentro/fuori

• Grande/piccolo


• Misura

Proposte


Forma

Presentazione




Esempi

• Dentro/fuori

• Grande/piccolo


• Misura

Proposte


Forma

Presentazione




Esempi

• Dentro/fuori

• Grande/piccolo


• Misura

Proposte


Forma

Presentazione




Esempi

• Dentro/fuori

• Grande/piccolo


• Misura

Proposte


Forma

Presentazione




Esempi

• Dentro/fuori

• Grande/piccolo


• Misura

Proposte


Forma

Presentazione




Esempi

• Dentro/fuori

• Grande/piccolo


• Misura

Proposte


Forma

Presentazione




Esempi

• Dentro/fuori

• Grande/piccolo


• Misura

Proposte


Proposte

Presentazione




Esempi

Proposte

• Siti web

• mate. . .

• matemilano• Una mostra dimatematica

• Interattiva• le proposte dimatematita


Centro matematita

Presentazione




Esempi

Proposte

• Siti web

• mate. . .




Centro interunivesitario di ricerca per lacomunicazione e l’apprendimento informale dellamatematica

http://www.matematita.it/

• laboratori e problemi• mostre interattive• immagini per la matematica

Siti web


• http://www.quadernoaquadretti.it/• http://specchi.mat.unimi.it/• http://www.xlatangente.it/• http://www.matematita.it/

(http://www.matematita.it/materiale/)

Le mostre interattive


http://www.matematita.it/realizzazioni/mostre.php

Simmetria, giochi di specchimatemilano, percorsi

matematici in citta

matetrentino, percorsimatematici a Trento e dintorni

mateinitaly, matematici allascoperta del futuro

mate. . .

Presentazione




Esempi

Proposte

• Siti web

• mate. . .




Il format mate. . .

• Milano• Trento e dintorni

matemilano

Presentazione




Esempi

Proposte

• Siti web

• mate. . .




(e un video, e il libro “Con altri occhi”, Electa)

Una mostra di matematica


• interattiva

◦ “interattivita e liberta di sperimentazione della mostra(non certo le mostre cui sono abituata io in cui si devesolo guardare, qualche volta ascoltare, ma mai toccare!)”

• multilivello

◦ presentare problemi che possano essere letti da piupunti di vista

Interattiva


Le proposte di matematita

Presentazione




Esempi

Proposte

• Siti web

• mate. . .




http://specchi.mat.unimi.it/matematica/

Le proposte di matematita


Giochiamo con leforme

Presentazione




Esempi

Proposte

Giochiamo con le forme• Giochiamo con leforme

Matematica 0-6 Dipartimento di Matematica e Applicazioni – pagina 63 Matematica 0-6 Dipartimento di Matematica e Applicazioni – pagina 64

Matematica 0-6 Dipartimento di Matematica e Applicazioni – pagina 65 Matematica 0-6 Dipartimento di Matematica e Applicazioni – pagina 66

Giochiamo con le forme


Per questa attivita dovete utilizzare SOLO triangoli: togliete daltavolo le tessere che non vi servono, datele all’insegnante efatevi dare quelle triangolari. Con le tessere triangolari doveteformare SOLO figure con quattro lati (“quadrilateri”) accostandole tessere in modo che siamo lato contro lato.

Riuscite a costruire almeno quattro quadrilateri diversi usandosolo 2 tessere triangolari?

Riuscite a costruire almeno quattro quadrilateri usando solo 3tessere triangolari?

Riuscite a costruire almeno quattro quadrilateri usando solo 4tessere triangolari?

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