1

FISICA-TECNICA

Trasmissione del calore

II parte

Katia Gallucci

2

Geometrie cilindricheVediamo ora quando abbiamo pareti cilindriche:

ri

re

r L

dr

dTrLk

dr

dTkAQ π2−=−=

rLdTkr

drQ π2−=

∫∫ −=e

i

e

i

T

T

r

r

dTrLkr

drQ π2

)(2ln ie

i

e TTLkr

rQ −−= π

i

e

ie

r

r

TTLkQ

ln

)(2 −−=

π

3

Esempio Calcolare il calore dissipato da un tubo lungo 300 cm che ha raggio interno 2,5 cm e raggio esterno 2,8 cm (k=30kcal/hm°C),Ti=300°C e Te=295°CQ=25.103kcal/hConsideriamo ora la presenza di uno strato isolante intorno al tubo di raggio 5 cm ed una temperatura esterna di parete di 50°C:

Q=230kcal/h

isolante

e

isolante

i

e

ei

k

r

r

k

r

r

TTLQ

lnln

)(2

+

−=

π

4

Possiamo esprimere la resistenza totale, in un caso più realistico come somma della resistenza dovuta all’isolante e una dovuta alla convezione

300°C

50°C

25°C

tubo isolante film aria

convisolante

convisolante

hr

TLhTrLQ

1

22

∆=∆=

ππ

convisolanteisolante

e

isolante

tothrk

r

r

R1

ln

+=

5

Se facciamo la derivata della resistenza totale e la uguagliamo a zero, così troviamo il valore del raggio per il quale la resistenza è minima:

A parità di hconv che non possiamo variare perché dipende dalle condizioni dell’aria ambiente, la resistenza è minima per un valore rmin che dipende da kisolante

011

2=−=

convisolante

tot

hrrkdr

dR

convisolante hrrk2

11=

conv

isolante

h

kr =min

6

É necessario scegliere un isolante che abbia kisolante piccolo in modo che rmin sia minore di re. Se rmin>re l’applicazionedell’isolante nell’intervallo rmin-re è controproducente.

re rmin

risolante

Rtot

7

Perdite di calore per convezione naturale

da un tubo orizzontale

� Calcolare lo spessore di isolante necessario da applicare ad un tubo orizzontale che ha raggio ri=2,5cm e re=2,8cm (k=30kcal/hm°C), Ti=300°C, l=3m considerando una temperatura esterna dall’isolante di 38°C e l’aria circostante alla pressione atmosferica e a 26°C (Kisolante=0,05kcal/hm°C)

300°C

38°C

26°C

tubo isolante film aria

ri

re

r

8

conv

isolante

ei

e

ei TxhL

k

r

x

k

r

r

TTLQ ∆=

+

−= π

π2

lnln

)(2

25,025,0Pr525,0 GrNu =

Poniamo r=x (la nostra incognita)

È tutto noto tranne hconv che dobbiamo calcolare.

Per la convezione naturale vale la relazione:

Per tubi orizzontali si può utilizzare la relazione:

niconv Grk

DhNu Prψ==

k

c

TgDGr

pµ

βρµ

=

∆=

Pr

1 2

2

3

9

Le proprietà dell’aria le consideriamo alla temperatura media (38+26)/2=32°C

µ = 0,0684 kg/mhk = 0,023 kcal/m°Ch

ρ = 1,157 kg/m3

cp = 0,241 kcal/kg°C

β = 0,00328(1/°C)

g = 1,27.108 m/h2

D=?Dobbiamo ipotizzare un diametro esterno dell’isolante1°hp D=36cm=0,36m→ hconv=2,86kcal/(hm2°C)

10

( )

5,6)(5,19

1,23)(20

7,35)(19

150)(17

)(8,2

ln207810,34,763

8,2ln207810,34,763

8,2ln207810,386,210

)2638(

38300

3

3

32

=⇒=

−=⇒=

=⇒=

=⇒=

=

+−

+=

+=

−

−

−

−

−−

xfx

xfx

xfx

xfx

xfx

x

xx

xx

OK.

11

Flusso attraverso il tubo:

Flusso attraverso l’isolante:

h

kcalThLrQ conv 12686,212195,0322 =⋅⋅⋅⋅=∆= ππ

CTT

h

kcal

r

r

TLkQ

i

e

°=⇒−⋅⋅⋅

=⇒∆−

= 975,299

5,2

8,2ln

)300(3230126

ln

2 ππ

h

kcalQ

r

r

TLkQ

i

e

127

8,2

5,19ln

)38975,299(3205,0

ln

2≅

−⋅⋅⋅=⇒

∆−=

ππ

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Verifichiamo che rmin è inferiore a re

Se invece di un materiale isolante si fosse utilizzato un materiale tipo cemento (k=0,78kcal/hm°C), il rminsarebbe stato 0,27 quindi il tubo avrebbe perso piùcalore.

cmm

Chm

kcalChm

kcal

h

kr

conv

isolante 75,10175,0

86,2

05,0

2

min ==

°

°==

13

0.9070.78Cemento a 20°C

418.6360Argento a 0°C

34.8830Acciaio a 30°C

3.142.7Granito a 50°C

0.1740.15Legno a 20°C

0.03950.034Lana di vetro a 25°C

0.02050.0176Gas a P=1atm (aria a 0°C)

k (W/m°C) k (cal/hm°C)Materiale

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Irraggiamento

� Qualunque corpo, a qualunque temperatura, emette energia sotto forma di onde elettromagnetiche.

� Di tutte le radiazioni emesse, interessano solo quelle le cui caratteristiche dipendono esclusivamente dalla temperatura del corpo che le emette, senza l’aiuto di un altro mezzo: a tali radiazioni si dà il nome di radiazione termica.

� Quando dunque si parla di radiazione termica si intende l’energia calorifica emessa da un corpo solo in virtù della sua temperatura.

� Rispetto alla conduzione e convenzione, l’irraggiamento può verificarsi nel vuoto e non dipende dai salti termici.

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� Nel caso dell’irraggiamento il calore si propaga sotto forma d’onde elettromagnetiche, che si propagano e trasportano energia da un punto ad un altro.

� Le onde elettromagnetiche comprendono anche, tra le altre, le onde radio, le microonde, i raggi X e γ.

� Queste onde sono prodotte da fenomeni fisici diversi, tutti riconducibili ad uno stato d’eccitazione dei componenti elementari della materia.

16

17

� Se un corpo è a temperatura superiore allo zero assoluto, la sua superficie emette radiazioni, prevalentemente concentrate tra le lunghezze d'onda di 0,1 e 1000 µm.

� A differenza degli altri casi (conduzione e convezione) nei quali il flusso va dal corpo a temperatura superiore a quello a temperatura inferiore, nel caso dell’irraggiamento, due corpi che si “vedono” irraggiano calore l’uno verso l’altro. Il calore netto trasportato è quindi dato dalla differenza dei due flussi e fluisce verso il corpo a temperatura minore.

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� L’irraggiamento riveste particolare importanza per quanto attiene:

� alla radiazione solare incidente sulle pareti degli ambienti (d’estate, soprattutto quelle trasparenti, come le vetrate);

� allo scambio di energia radiante tra gli occupanti e le pareti dell’ambiente;

� ai forni di cottura o riscaldamento, sia convenzionali che a microonde.

19

� Esempio di irraggiamento solare in un ambiente attraverso la finestra in inverno ed in estate.

20

� L’energia irraggiata dipende esclusivamente dalla temperatura del corpo secondo la relazione::

� E= energia irradiata per unità di superficie e nell’unità di tempo

� ε=emissività (o potere emissivo) del corpo� σ=costante di Stefan-Boltzmann=4,88.10-8kcal/m2hK4 =

5,67.10-8 J/sm2K4

� T=temperatura assoluta, K

4E Tεσ=

21

� Si definisce� coefficiente di emissione monocromatica per la

frequenza ν (detto anche potere emissivo o emittanza monocromatica) ε((((ν)))), il rapporto tra l'energia emessa in tutte le direzioni, nell’unità di tempo, per unità di superficie e nell'intervallo di frequenza [ν,ν+dν ] dal corpo in esame e l'energia emessa dal corpo nero alla stessa temperatura;

� L’emissività ha valori compresi tra 0 e 1.

22

23

� Il calore trasportato per irraggiamento, passa da un corpo all'altro, anche nel vuoto, senza che la sostanza eventualmente interposta (purchétrasparente alla radiazione) partecipi al fenomeno. Nel vuoto la velocità di propagazione èrigorosamente la stessa per tutte le radiazioni e, quindi, anche per la luce; essa vale:

c=3,00.108 ms-1

pertanto nel vuoto si ha:

λ = ct=c/ν

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� Quando l'energia raggiante raggiunge un corpo è in parte assorbita, riflessa e trasmessa da esso. La parte assorbita va ad eccitare i costituenti elementari del corpo, che a sua volta emette radiazioni e così via.

� Vale, cioè, la relazione:a+ r + t =1

frazione di energia assorbita + frazione dienergia riflessa + frazione di energia trasmessa

25

� Si dice opaco un corpo per cui è a + r = 1 e t = 0; è invece definito trasparente un corpo per cui è t = 1 e a = r =0.

� È però bene ricordare che i concetti di “opaco” e di “trasparente” non sono assoluti, ma sono relativi alla lunghezza d'onda della radiazione incidente.

26

� Si definisce lunghezza d’onda λ (lambda), in una certa direzione, la distanza λ=vt percorsa dall’onda, con velocità di propagazione v, nel periodo t, ossia durante il tempo dopo il quale il fenomeno si ripete eguale a séstesso. Si dice frequenza ν il reciproco del periodo t.

27

� Si definisce coefficiente di assorbimento monocromatico (ossia per la generica frequenza ν ), il rapporto tra l’energia assorbita e l’energia incidente da tutte le direzioni, nell’unità di tempo e di superficie, nell’intervallo di frequenza [ν,ν+dν]; ossia:

a(ν)=qo(ν)/qi(ν)� Si dice grigio un corpo per il quale a non è

funzione di ν.

28

� Si dice invece corpo nero un corpo per il quale a=1, ossia che assorbe tutta l’energia incidente.

� Il corpo nero è un'astrazione; esso può essere simulato da una sfera cava dalla quale la radiazione ha poche probabilità di uscire se le pareti non sono perfettamente riflettenti.

29

� L’irraggiamento è descritto da alcuni modelli fondamentali.� La legge di Plank (1858-1947) consente di calcolare l'energia

radiante emessa dal corpo nero per unità di tempo, di superficie e di lunghezza d'onda (emittanza monocromatica) nell'intervallo [λ,λ+dλ]:

dove:k=1,3802 10-6 è la costante di Boltzmanh=6,6236 10-27 erg.s è la costante di Plankc=3,00.108 m.s-1 è la velocità della luce.

� Integrando l'espressione precedente su tutto lo spettro si ottiene:

� dove qbe è l'emittanza totale e σo = 5,67 *10-8 W/m2K4=4,88*10-8

kcal/hm2K4è la costante di Stefan-Boltzman.� Abbiamo così calcolato l'emittanza totale del corpo nero; questa

equazione è detta legge di Stefan-Boltzman.

30

� Calcolando il valore della lunghezza d'onda per il quale la legge di Plank presenta un massimo, si ottiene la legge dello spostamento (1886) di Wien (1864-1928):

Tλmax= 0,2884 cmK

� Questa legge consente di conoscere il valore della lunghezza d'onda per cui é massima l'emittanza monocromatica nota T o viceversa.

� Nel caso dei corpi grigi, l'emittanza totale si ottiene moltiplicando quella del corpo nero per il coefficiente di emissione, sempre minore di 1, come sopra già ricordato.

� Ricordando la legge di Stefan-Boltzman, si può calcolare la potenza termica scambiata tra due corpi neri; essa vale:

q1↔2 = q1→2- q2→1 = F12S1σoT14 - F21S2σoT2

4

dove F12 e F21 sono le frazioni di radiazione emesse da ciascuno dei due corpi che raggiungono l'altro; i valori di F12 e F21dipendono dalla geometria del sistema.

31

� Si noti che è F12S1= -F21S2, dato che, se si pone T1=T2, èq12=0. Nel caso di superfici nere affacciate è,ad esempio, F12=F21=1, mentre per un corpo completamente contenuto in un altro convesso (prodotto in un forno), indicata con 1 la sua superficie, è F12=1 e F21=S1/S2. I valori di F sono riportati nei manuali per i casi più comuni.

� Per i corpi grigi l'analisi è in generale molto difficile; nel caso di superfici affacciate si ha, ad esempio:

q12=εmσoS1(T14-T2

4)con

1 2

1 11mε

ε ε= + −

32

� L’energia irradiata in tutte le direzioni se incidesse su un secondo corpo potrebbe essere parzialmente riflessa o assorbita a trasmessa.

� La frazione r dell’energia che viene riflessa, determina il potere riflettente; la frazione a che viene assorbita determina il potere assorbente. La frazione τ costituisce la trasparenza (se τ è trascurabile il corpo è detto termicamente opaco)

� Per ogni corpo è valida la relazione :

r+a+τ=1� Se a=1 si ha il corpo nero capace di assorbire tutta

l’energia incidente su di esso.

33

La legge di Kirchoff

� Ad ogni temperatura qualsiasi corpo è capace di irraggiare la stessa energia che è in grado di assorbire.

a = εεεε� Questa legge, sperimentalmente dimostrata, è

teoricamente giustificabile in base alla termodinamica.� Un corpo non nero ha un potere emissivo e assorbente,

ad una certa temperatura, pari a

dove a è la frazione dell’unità che rappresenta il potere assorbente del corpo, e anche l’emissività

4TaE σ=

34

� Se il potere assorbente o l’emissività non varia con la temperatura, allora un corpo non nero è assimilabile ad un corpo grigio.

� Se T1 e T2 sono le temperature di un corpo e dell’atmosfera, e T1>T2, il calore scambiato vale:

a1= emissività del corpo 1 alla temperatura T1

a2= emissività del corpo 2 alla temperatura T2 che di solito viene valutato uguale al valore di a1 alla temperatura T2

)( 4

22

4

11

4

22

4

11 TaTaTaTaE −=−= σσσ

35

Esempi

� Calcolo del calore ceduto per irraggiamento da un tubo di 1 m (de=5cm) che si trova alla temperatura di 130°C, mentre la temperatura dell’ambiente è 15°C (a=0,7)

� Un gas alla temperatura di 1090°C contiene il 5% di vapore d’acqua e fluisce alla pressione atmosferica attraverso una canna fumaria a sezione quadrata di 60 cm di lato, di mattoni refrattari. Calcolare la potenza termica che viene scambiata per metro di lunghezza delle pareti dal gas, se la superficie interna è di 1000°C e hv=10kcal/hm2K

36

Il calore che fluisce dal gas attraverso le pareti per effetto della convezione è:

Per il calcolo del calore irraggiato si opera in questo modo:1. Calcolo del raggio della semisfera equivalente L

2. Calcolo del prodotto PL (P=%vapore.pressione totale=pressione parziale del vapore)

3. Calcolo dell’emissività del vapore d’acqua con il grafico a 1363K e 1283K

h

kcalTTAhQ PGv 19201806.0410)( =⋅⋅⋅⋅=−=

mL 51.0146.0

16.04.3

bagnata area

volume4.3

2

=⋅⋅

⋅==

atmmLP ⋅=⋅=⋅=⋅ 0255.051.005.0L05.0

37

Emissività del vapor d’acqua con T e

correzione Ptot

38

� a1= 0.035 (a T=1363K)� a2=0.039 (a T=1283K)I due valori devono essere corretti per la pressione

(P+Ptot)/2=(0.05+1)/2≈0.5 atm.a1CP ≈a1

In definitiva:Qirr=4.8810-8(0.6.4.1)(0.035.13634-0.039.12834)=1771kcal/hQtot=Qirr+Qconv=1771+1920=3691kcal/h

39

Se fosse presente la CO2 :diagrammi

40

41

Si calcola la L e si moltiplica la pressione parziale della CO2 con L e si ottiene il valore PL. Si entra nel grafico nel grafico con la temperatura e si trova a

Per sapere a corretto con la pressione si calcola il rapporto (P+Ptot)/2 e si determina il CP dal secondo diagramma

a =aCP

Quando sono presenti CO2 e H2O l’emittanza può essere calcolata sommando le emittanze dei componenti.

42

Scambiatori di calore

43

Scambiatore di calore

� Si dice scambiatore di calore un dispositivo nel quale avviene il trasferimento di calore tra due fluidi.

44

� Esistono molti tipi di scambiatori, classificabili per tipo di utilizzo, di contatto tra i fluidi, di direzione dei flussi, di forma.

� In particolare è importante la direzione dei flussi, che possono essere.

45

� Gli scambiatori generalmente più utilizzati sono quelli detti a fascio tubiero.

46

� Nel campo alimentare sono anche molto diffusi gli scambiatori a piastre per la loro compattezza e per la facilità di pulizia (e/o sterilizzazione).

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� Il dimensionamento degli scambiatori di calore èfatto dal costruttore sulla base di specifiche fornite dal cliente. Ciononostante è utile conoscere i criteri adottati, per poter utilizzare questi importanti componenti degli impianti a ragion veduta.

� Il problema fondamentale consiste nel calcolo della superficie di scambio necessaria per portare una certa quantità di fluido da una certa temperatura ad un’altra, cedendo o assorbendo calore a/da un altro fluido, note le temperature di ingresso e di uscita, ovvero la portata e una delle due temperature di quest’ultimo.

� Per risolvere questo problema occorre calcolare preliminarmente la quantità di calore che i due fluidi debbono scambiare.

48

� Il flusso di calore da scambiare si ottiene scrivendo il bilancio energetico globale dello scambiatore:

49

� Facendo ricorso ad H=U+pV e tenendo conto che nella maggioranza dei casi è non c’è variazione di quota e di velocità, l’equazione di bilancio può essere scritta per i due fluidi rispettivamente come segue:

H1i+(q1/M1)=H1u

H2i+(q2/M2)=H2u

dalle quali si possono ricavare:q1=(H1u-H1i)M1

q2=(H2u-H2i)M2

� Poiché sappiamo che il flusso di calore scambiato tra i due fluidi sono eguali ma di segno contrario (acquisito e ceduto), ossia che è q=q1=-q2, dalle due espressioni precedenti si ottiene:

q =(H1i-H1u)M1=(H2u-H2i)M2

detta equazione di bilancio energetico globale dello scambiatore

50

Se:� i due fluidi subiscono all’interno dello scambiatore cadute

di pressione (perdite di carico) piccole rispetto al valore delle rispettive pressioni,

� non avvengono cambiamenti di stato,� i calori specifici dei due fluidi possono ritenersi costanti

lungo il percorso (variano cioè poco in funzione della temperatura)

l’espressione precedente assume la forma:

q= cp1(T1i-T1u)M1= cp2(T2i-T2u)M2

51

� Calcoliamo ora la superficie di scambio, prendendo in considerazione per lo scambiatore la più semplice architettura e i due flussi equi- e contro-corrente. Individuiamo una generica porzione infinitesima dello scambiatore di lunghezza dx alla distanza x dall’ingresso del fluido 1 e la cui area della superficie di scambio valga dSx .

52

� Siano T1 e T2 le temperature dei due fluidi. Il flusso di calore trasmesso da un fluido all’altro (positivo se uscente) attraverso la sezione dS vale

dq=U(T1 -T2)dSx

dove U è il coefficiente globale di trasmissione del calore.

� Scrivendo il bilancio energetico per i due fluidi relativamente al tratto di scambiatore considerato si ha:

dq=-dq1=-M1dH1=-M1cp1dt1dq=dq2=±M2dH2=±M2cp2dt2

dove:� le eguaglianze di destra sono valide per ∆p < < p e cp=cost� Nel caso del fluido 2, il segno “+” vale per scambiatore

equicorrente (H cresce con Sx) e quello “-” per scambiatore controcorrente (H diminuisce con Sx).

53

� Ricavando dalle precedenti -dT1 e dT2,� Sommando: -dT1+dT2= d(T2-T1)=dq(1/M1cp1± 1/M2cp2)� Ricordando che dq = U(T1-T2)dSx e sostituendo nella

precedente si ottiene: d(T2-T1)= U(T1-T2) (1/M1cp1± 1/M2cp2) dSx

che, nelle ipotesi cp e U costanti, separando le variabili (T1-T2) e Sx e integrando diventa:

( )1 2

1 1 2 2

1 1ln costx

p p

T T U SM c M c

− − = ± +

54

� La costante di integrazione si calcola sapendo che:T1i-T2i (equicorrente)T1i-T2u (controcorrente)

per Sx=0 è (T1-T2)=∆To, essa vale cost=-ln ∆To

� Pertanto l’espressione precedente diventa:

� Calcolando quest’ultima per S=Sx per cui è (T1-T2)= T1u-T2u (equicorrente)T1i-T2i (controcorrente)

� si ottiene:

( )1 2 0

1 1 2 2

1 1ln lnx

p p

T T U S TM c M c

− − = ± − ∆

0

1 1 2 2

0

1 1 2 2

1 1ln ln

1 1ln

S x

p p

x

S p p

T U S TM c M c

TU S

T M c M c

− ∆ = ± − ∆

∆= ± ∆

55

� Ricordando che è:

si ha, infine:Semplici passaggi consentono di verificare che in entrambi i casi di equi- e contro-corrente, vale sempre l’espressione:

∆∆∆∆Tm viene chiamato ∆∆∆∆T medio logaritmico o, nei testi inglesi, MLDT.

� Si noti che ∆∆∆∆Tm è stato calcolato assumendo U costante il che generalmente non è vero; utilizzando però un valor medio di U nell’intervallo delle temperature in gioco si ottiene una buona approssimazione.

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1u i u i

p p

T T T T

M c q M c q

− −= − = −

( ) ( )1 1 2 20lnu i u i

s

US T T T TT

T q

− − ± − ∆ =∆

[ ]00lns

s

US T TT

T q

∆ − ∆∆=

∆

[ ]0

0ln

s

m

m

s

US T T qq US T S

T U T

T

∆ − ∆= = ∆ ⇒ =

∆ ∆

∆

56

� Un impiego frequente degli scambiatori di calore è quello per il recupero del calore.

� Il prodotto si pre-riscalda nel primo scambiatore, si tratta a caldo nel secondo, si pre-raffredda di nuovo nel primo, asportando parte del calore speso per trattarlo e utilizzandolo per pre-riscaldarlo in ingresso, e si raffredda nel terzo.

57

� Per stabilire la convenienza del recupero di calore si traccia la curva somma dell’ammortamento annuale dei costi di impianto e quella dei costi di esercizio; si dimensiona il recupero in corrispondenza del minimo di questa curva.

58

Scambio termico in equicorrente e in

controcorrente

� Abbiamo visto che nello scambio termico, trascurando l’irraggiamento, possiamo utilizzare la relazione:

Q=AUD∆T� Consideriamo due tubi coassiali nei quali scorrono due

fluidi con temperature diverse

L

T1 T’1T2 T’2

T1

T’1

T2

T’2

L

Equicorrente

59

Quale ∆T scegliamo da inserire nell’equazione di Q?Per tener conto del fatto che la differenza delle temperature tra i due fluidi varia lungo la superficie di scambio, ∆T utilizzato nell’espressione è un ∆T medio logaritmico calcolato come segue

L

T’1 T1

T2 T’2 T’1

T1

T2

T’2

L

Controcorrente

60

Equicorrente

dove LMTD=MLDT (Media Logaritmica della Differenza di Temperatura)

Controcorrente

( ) ( )

21

21

2121

''ln

''

TT

TT

TTTTTLMDT

−

−

−−−=∆

( ) ( )

21

21

2121

'

'ln

''

TT

TT

TTTTTLMDT

−

−

−−−=∆

61

Esercizio�Un fluido entra alla temperatura di 200°C ed esce alla temperatura di 160°C, da uno scambiatore a tubi concentrici, raffreddato da un altro liquido che entra alla temperatura di 110°C ed esce alla temperatura di 150°C. Calcolare il ∆TLMDT in equicorrente e in controcorrente

In controcorrente il ∆T è più elevato quindi posso utilizzare tubi più corti a parità di calore scambiato

( ) ( )CTLMDT °=

−

−

−−−=∆ 26.49

150160

110250ln

150160110250

( ) ( )CTLMDT °=

−

−

−−−=∆ 13.72

150250

110160ln

150250110160