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Variabile Casuale Normale

E’ una variabile casuale continua che assume tutti i numeri reali, è definita dalla seguente funzione di densità:

Proprietà:

Variabile Casuale Normale o Gaussiana

2

2

( )21( )

2

x

f x e−µ

−σ=

σ π

• è simmetrica rispetto a x=m (punto di simmetria: media, moda e mediana coincidono)

• assume valore massimo per x=m

• è asintotica rispetto all’asse delle ascisse

•Presenta due flessi nei punti x1=m-s e x2=m+s

π =3.14159…

e =2.71828…

π =3.14159…

e =2.71828…

2

In una distribuzione normale• il 68% dei casi cade nell'intervallo

Media±Deviazione Standard• il 95% dei casi nell'intervallo

Media±1,96 Deviazione Standard • il 99,7% nell’intervallo

Media±3 Deviazione Standard.

Variabile Casuale Normale o Gaussiana

È la distribuzione degli errori casuali

Tutte le distribuzioni con l’aumentare delle prove tendono ad assumere una distribuzione normale (teorema centrale del limite)

È definita da due parametri: la media µ e la varianza σ2

Variabile Casuale Normale o Gaussiana

3

Indicatori di distribuzione

CURTOSI

SIMMETRIA

Intensità standardizzate o PUNTEGGI Z

σµ−

= ii

xz

Tale procedura mi serve per poter confrontare diverse distribuzioni

La variabile z con media 0 e varianza 1

Funzione di Excel : NORMALIZZA

4

La normale con media 0 e varianza 1 è dettaNORMALE STANDARD

Esistono delle tavole che riportanoi valori e le corrispondenti probabilità sottese

(quantili)

Funzioni di excel: DISTRIB.NORM e INV.NORM

5

ESERCIZIO: VARIABILE CASUALE NORMALE

Si supponga di avere una variabile X che abbia media 100 e deviazione

standard 15.

1. Se X fosse distribuita esattamente come una gaussiana, quale percentuale di casi deve avere valori compresi tra 70 e 130?

2. Quale percentuale di casi vi attendete non inferiore a 115?

3. Quale percentuale di casi vi attendete inferiore 85?

4. Ammettete che la variabile X venga standardizzata e chiamata ZX.Qual è la media e la deviazione standard della distribuzione di ZX? Rappresentarla graficamente.

5. Quale percentuale di casi vi attendete compresa tra –1 e +1? Tra 0 e 2? Meno di –2?

1. Se X fosse distribuita esattamente come una gaussiana, quale percentuale di casi deve avere valori compresi tra 70 e 130?

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

10 40 70 100 130 160 190

95%Si osservi che 70=100-2*15 e

130=100+2*15, in una normale tra µ +/− 2σ ci stanno il 95% dei

casi

Si osservi che 70=100-2*15 e 130=100+2*15, in una normale

tra µ +/− 2σ ci stanno il 95% dei casi

Volendo effettuare la verifica con le tavole, bisognerebbe considerare che

( ) ( )70 100 130 10070 130 2 215 15

P x P z P z− − < < = < < = − < <

( ) ( )2 2 0.9772 0.0228 0.95P z P z< − < − = − =Dalle tavole:

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2. Quale percentuale di casi vi attendete non inferiore a 115?

Volendo effettuare la verifica con le tavole, bisognerebbe considerare che

( ) ( )150 100115 115

P x P z P z− > = > = >

( ) ( )1 1 0.1587P z P z> = < − =Dalle tavole:

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

10 45 80 115 150 185

Si osservi che 115=100+15, in una normale tra µ +/− σ ci stanno il

68% . Nelle due code x>115 e x<85 ci sta il 32% dei casi. Per la

simmetria nella sola coda di destra avremo il 32% dei casi diviso 2,

cioè il 16%

Si osservi che 115=100+15, in una normale tra µ +/− σ ci stanno il

68% . Nelle due code x>115 e x<85 ci sta il 32% dei casi. Per la

simmetria nella sola coda di destra avremo il 32% dei casi diviso 2,

cioè il 16%

16%

3. Quale percentuale di casi vi attendete inferiore 85?

16%

Volendo effettuare la verifica con le tavole, bisognerebbe considerare che

( ) ( )85 10085 115

P x P z P z− < = < = < −

( )1 0 .1 5 8 7P z < − =Dalle tavole:

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

10 35 60 85 110 135 160 185

E’ la coda simmetrica a x>115, e quindi la

probabilità è sempre 16%

E’ la coda simmetrica a x>115, e quindi la

probabilità è sempre 16%

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4. Ammettete che la variabile X venga standardizzata e chiamata ZX. Qual è la media e la deviazione standard della distribuzione di ZX? Rappresentarla graficamente.

Media = 0

Deviazione Standard = 1

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

-6 -4 -2 0 2 4 6

5. Quale percentuale di casi vi attendete compresa tra –1 e +1? Tra 0 e 2? Meno di –2?

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

68%

95%/2 = 47,5%

5%/2 = 2.5%

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Convergenza della binomiale alla normale

Distribuzione BINOMIALE

n→∞ Distribuzione GAUSSIANA

( ),X Bin n p≈ ( ), (1 )X N np np p≈ −

p q≅

Esempio: Convergenza della binomiale alla normaleUna marca di cioccolatini dà 1 possibilità su 5 di poter vincere un altro cioccolatino, se si

ripristinano sempre le condizioni di partenza, calcolare la probabilità di vincere al massimo 190 cioccolatini su 1000 estratti

( ) ( )0 1000

1 999 2 998 190 810

, 1000, 0.2

1000( 190) 0.2 0.8

0

1000 1000 10000.2 0.8 0.2 0.8 .... 0.2 0.8 0.22

1 2 190

X Bin n p Bin

P X

≈ =

≤ = +

+ + + + =

( )( ) ( )

, (1 )

0 .2 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 .2 0 .8 2 0 0 , 1 6 0

X N n p n p p

N N

≈ − =

= ⋅ ⋅ ⋅ =

( )190 200( 190) 0.79 0.2148160

P X P Z P Z− ≤ = ≤ = ≤ − =

Bisognerebbe usare la v.c. binomiale, calcoli molto dispendiosi!Bisognerebbe usare la v.c. binomiale, calcoli molto dispendiosi!

Sfruttando la convergenza si può ottenere lo stesso risultato con la v.c. normaleSfruttando la convergenza si può ottenere lo stesso risultato con la v.c. normale

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Esempio: Convergenza della binomiale alla normale

0.2148

Basta standardizzare e utilizzare le tavole della normale standardizzata

Basta standardizzare e utilizzare le tavole della normale standardizzata