Una variabile casuale continua può assumere tutti gli ... · La funzione discreta densità di...

VARIABILI CASUALI CONTINUE

Una variabile casuale continua può assumere tutti gli infiniti valoriappartenenti ad un intervallo di numeri reali.

– p. 1/16



Il risultato di una misura è trattata come una variabile casualecontinua per applicare il calcolo differenziale e integrale.

– p. 1/16




Come generalizzare il concetto di probabilità ? Tutte le definizionidate (assiomatica ed empirica) si riferiscono a variabili discrete.

Assumendo p =nfav

ntot

, nel caso continuo ntot → ∞, per cui p → 0.

– p. 1/16





Assumendo p =nfav

ntot


Nel caso continuo il valore della probabilità di un singolo evento èinfinitesimo.

– p. 1/16





Assumendo p =nfav

ntot


Nel caso continuo il valore della probabilità di un singolo evento èinfinitesimo.

In pratica, si associa il concetto di probabilità ad intervalli finitidell’asse reale di definizione della variabile. Quindi si passerà dap(x) → p(x1 ≤ x ≤ x2).

– p. 1/16

FUNZIONE DI DENSITÀ DI PROBABILITÀ

Supponiamo di avere a disposizione infinite misure, distribuite concontinuità sull’asse x.

– p. 2/16



In ogni intervallo k, la frequenza relativa delle misure fk, per N → ∞

tende alla probabilità p che una misura cada in quell’intervallo (Leggedei grandi numeri o Teorema di Bernoulli).

– p. 2/16





Al crescere di N posso prendere intervalli sempre più piccoli: perN → ∞ assumeranno un’ampiezza infinitesima dx.

– p. 2/16






La funzione discreta densità di frequenza dk tende a:

N → ∞dk →

fk

∆xk

→pk

∆xk

→dp

dxk

≡ f(x)∆xk → 0

– p. 2/16






La funzione discreta densità di frequenza dk tende a:

N → ∞dk →

fk

∆xk

→pk

∆xk

→dp

dxk

≡ f(x)∆xk → 0

La funzione discreta densità di frequenza dk tende alla funzionecontinua densità di probabilità f(x).

– p. 2/16

Istogramma→ funzione di densità di probabilità.

– p. 3/16

FUNZIONE DI DENSITÀ DI PROBABILITÀNe segue che fk = dk∆xk → f(x)dx

– p. 4/16


L’istogramma → curva continua avente come ordinata

y = f(x) =dp

dx

– p. 4/16


L’istogramma → curva continua avente come ordinata

y = f(x) =dp

dx

La frazione di misure che cadono nell’intervallo tra x ex + dx tende alla probabilità dp di ottenere valori di xnell’intervallo (x, x + dx).

– p. 4/16


– p. 5/16


La condizione di normalizzazione per una funzione densità di probabilitàè:∫ +∞

−∞

f(x)dx = 1

La probabilità di osservare unqualunque valore di una variabilecontinua è pari alla certezza.

– p. 5/16



−∞

f(x)dx = 1


La funzione densità di probabilità è positiva f(x) > 0.

– p. 5/16



−∞

f(x)dx = 1


La funzione densità di probabilità è positiva f(x) > 0.

la funzione densità di probabilità all’infinito deve tendere a zerof(x) → 0 per x → ±∞.

– p. 5/16

FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE CUMULATIVA

F (x) =

∫ x

−∞

f(t) dt

Probabilità di osservare un valorenon superiore ad x. Valgono le re-lazioni F (−∞) ≡ 0 e F (+∞) ≡ 1.

– p. 6/16


F (x) =

∫ x

−∞

f(t) dt


P (x ∈ [x1, x2]) = F (x2) − F (x1)

– p. 6/16


F (x) =

∫ x

−∞

f(t) dt


P (x ∈ [x1, x2]) = F (x2) − F (x1)

Quindi la condizione di normaliz-zazione risulta soddisfatta:∫ +∞

−∞

f(x)dx = F (+∞)−F (−∞) ≡ 1

– p. 6/16

VALORE DI ASPETTAZIONE E VARIANZA

Il valore di aspettazione della variabile x nel casocontinuo

E(x) =∫ +∞

−∞x · f(x) dx

– p. 7/16



E(x) =∫ +∞

−∞x · f(x) dx

Il valore di aspettazione della variabile g(x) nel casocontinuo

E[g(x)] =∫ +∞

−∞g(x) · f(x) dx

– p. 7/16



E(x) =∫ +∞

−∞x · f(x) dx


E[g(x)] =∫ +∞

−∞g(x) · f(x) dx

La varianza è il valore di aspettazione della variabileerrore y = x − E(x) nel caso continuo

var(x) = σ2 =∫ +∞

−∞(x − E(x))2 · f(x) dx

– p. 7/16



E(x) =∫ +∞

−∞x · f(x) dx


E[g(x)] =∫ +∞

−∞g(x) · f(x) dx

La varianza è il valore di aspettazione della variabileerrore y = x − E(x) nel caso continuo

var(x) = σ2 =∫ +∞

−∞(x − E(x))2 · f(x) dx

La deviazione standard o errore quadratico medio è σ.– p. 7/16

DISTRIBUZIONE BINOMIALE

Si applica a variabili casuali discrete di tipo dicotomico(variabili bernoulliane), ovvero che possono assumeresolo 2 valori.

– p. 8/16



L’evento si verifica → successo, e.g. y = 1

– p. 8/16




L’evento non si verifica → insuccesso, e.g. y = 0

– p. 8/16




L’evento non si verifica → insuccesso, e.g. y = 0

La distribuzione binomiale descrive la probabilità diottenere un numero finito k di successi in n proveripetute, sapendo che la probabilità di successo per ilsingolo evento è costante e vale p (probabilità di unevento bernoulliano).

– p. 8/16


Sia E l’evento bernoulliano elementare con probabilità p

– p. 9/16



Sia E evento complementare con probabilità q = 1 − p.

– p. 9/16




Probabilità P (x; n) che in n prove ripetute E si verifichiesattamente x volte ? Probabilità di avere x successi inn prove ?

– p. 9/16




Probabilità P (x; n) che in n prove ripetute E si verifichiesattamente x volte ? Probabilità di avere x successi inn prove ?

Supponiamo che tre persone (Francesca, Luigi eMarco) escano ciascuno dalla loro casa per andare aprendere il medesimo autobus e che ciascuno di essiabbia probabilità pari a p di riuscire ad arrivare in tempoalla fermata (e ovviamente probabilità 1 − p di perderel’autobus). Ci si chiede quale sia la probabilità che duedelle tre persone riesca nell’intento.

– p. 9/16


L’evento due persone prendono l’autobus si puòverificare in tre modi diversi ossia1. Francesca e Luigi lo prendono, ma Marco no

2. Francesca e Marco lo prendono, ma Luigi no

3. Luigi e Marco lo prendono, ma Francesca no

– p. 10/16





L’evento in due prendono l’autobus sarà rappresentabilecome B2 = FLM + FLM + FLM

– p. 10/16






La probabilità corrispondente è :P (B2) = pp(1 − p) + p(1 − p)p + (1 − p)pp

I tre eventi F ,L e M sono indipendenti, mentre ognicombinazione(terna) corrisponde ad un eventoincompatibile rispetto alle altre.

– p. 10/16






La probabilità corrispondente è :P (B2) = pp(1 − p) + p(1 − p)p + (1 − p)pp

I tre eventi F ,L e M sono indipendenti, mentre ognicombinazione(terna) corrisponde ad un eventoincompatibile rispetto alle altre.

Ponendo 1 − p = q otteniamo in definitiva: P (B2) = 3p2q– p. 10/16


In generale: si calcoli la probabilità che in n prove di unesperimento di Bernoulli, si abbiano esattamente xsuccessi.

– p. 11/16



Indichiamo con S il successo e con F il fallimento. Unasequenza di n prove darà come esito una sequenza din fra S e F . Ad esempio, si abbiano i primi x successi:

x volte︷︸︸︷

SSS · · ·S

n − x volte︷︸︸︷

FFF · · ·F

– p. 11/16



Indichiamo con S il successo e con F il fallimento. Unasequenza di n prove darà come esito una sequenza din fra S e F . Ad esempio, si abbiano i primi x successi:

x volte︷︸︸︷

SSS · · ·S

n − x volte︷︸︸︷

FFF · · ·F

La probabilità di ottenere proprio quella sequenza è:

x volte︷︸︸︷p · p · p · · · p

n − x volte︷︸︸︷q · q · q · · · q = pxqn−x

– p. 11/16


Qualunque altra sequenza contenente esattamente x successi avràsempre come probabilità pxnn−x (cambia l’ordine dei fattori ma non ilprodotto).

– p. 12/16



In base all’analisi combinatoria, il numero di combinazioni di classe x

di n oggetti, ovvero tutte modalità di scegliere x oggetti da un insiemedi n oggetti, indipendentemente dall’ordine è

Cn, x =n!

x! (n − x)!

– p. 12/16



In base all’analisi combinatoria, il numero di combinazioni di classe x

di n oggetti, ovvero tutte modalità di scegliere x oggetti da un insiemedi n oggetti, indipendentemente dall’ordine è

Cn, x =n!

x! (n − x)!

Dato che tutte le combinazioni sono reciprocamente eventiincompatibili (regola della propabilità totale), la distribuzionebinomiale è quindi data da:

P (x; n) = Cn, x · pxqn−x =n!

x! (n − x)!pxqn−x

– p. 12/16

DISTRIBUZIONE BINOMIALE: esempi

In un esame scritto si debba rispondere a 10 domande, scegliendotra 2 possibili risposte (una vera, l’altra falsa). Si assegna unpunteggio 3 per ogni risposta V , e 0 per ogni risposta F .Qual è la probabilità che uno studente totalmente impreparato (chescelga a caso) ottenga 18/30 ?

– p. 13/16



Equivale a calcolare la probabilità di ottenere x = 6 successi inn = 10 prove, con probabilità p = 0.5.

– p. 13/16




P (6; 10) =10!

6!(10 − 6)!0.56

· 0.510−6 =10 · 9 · 8 · 7 · 6!

6!4 · 3 · 2 · 1= 210 · 0.510

∼

0.20

– p. 13/16




P (6; 10) =10!

6!(10 − 6)!0.56

· 0.510−6 =10 · 9 · 8 · 7 · 6!

6!4 · 3 · 2 · 1= 210 · 0.510

∼

0.20

Qual è la probabilità che o stesso studente superi l’esame, ovveroottenga un voto ≥ 18/30 ? Deve prendere o 18 o 21 o 24 o 27 o 30.Eventi incompatibili → somma delle probabilità.

– p. 13/16




P (6; 10) =10!

6!(10 − 6)!0.56

· 0.510−6 =10 · 9 · 8 · 7 · 6!

6!4 · 3 · 2 · 1= 210 · 0.510

∼

0.20

Qual è la probabilità che o stesso studente superi l’esame, ovveroottenga un voto ≥ 18/30 ? Deve prendere o 18 o 21 o 24 o 27 o 30.Eventi incompatibili → somma delle probabilità.

P (6 ≤ x ≤ 10; 10) = P (6; 10) + P (7; 10) + P (8; 10) + P (9; 10) +

P (10; 10) = (C10, 6 + C10, 7 + C10, 8 + C10, 9 + C10, 10) · (0.5)10 =

(210 + 120 + 45 + 10 + 1) · (0.5)10 = 386 · (0.5)10 ∼ 0.38 – p. 13/16

BINOMIALE: CARATTERISTICHE

Distribuzione discreta, con dominio l’insieme dei numerinaturali. Univocamente definita dai parametri n e p.

– p. 14/16



Vale la condizione di normalizzazione∑

n

x=0 P (x;n) =∑

n

x=0n!

x! (n−x)! pxqn−x = (p + q)n ≡ 1

(formula di Newton per lo sviluppo della potenzan-esima di un binomio).

– p. 14/16




n

x=0 P (x;n) =∑

n

x=0n!

x! (n−x)! pxqn−x = (p + q)n ≡ 1


Valore di aspettazione:

E(x) =∑n

x=0 xn!

x! (n − x)!pxqn−x = n · p

– p. 14/16




n

x=0 P (x;n) =∑

n

x=0n!

x! (n−x)! pxqn−x = (p + q)n ≡ 1


Valore di aspettazione:

E(x) =∑n

x=0 xn!

x! (n − x)!pxqn−x = n · p

Varianza σ2(x) = n · p · q

– p. 14/16

BINOMIALE: ANDAMENTO

La distribuzione binomiale è in generale asimmetrica,tranne che per p = q = 1/2

– p. 15/16



Se p = q = 1/2 e n pari → unimodale

– p. 15/16



Se p = q = 1/2 e n pari → unimodale

Se p = q = 1/2 e n dispari → bimodale

– p. 15/16


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– p. 16/16

http://www.stat.tamu.edu/~west/applets/binomialdemo.html

http://www.bilkent.edu.tr/~ktarik/econ222/BinomialDist2.html

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