Variabili aleatorie discrete e continue

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Variabili aleatorie Variabili aleatorie discrete e continuediscrete e continue

Settimana 17 – 21 novembreSettimana 17 – 21 novembre

Sessione live 3Sessione live 3

Dr. Marta GiorgettiDr. Marta Giorgetti

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Variabili aleatorie discreteVariabili aleatorie discrete

1)1) Distribuzione uniformeDistribuzione uniforme: si pensi ad un’urna contenente N : si pensi ad un’urna contenente N palline numerate da 1 a N. L’esperimento aleatorio consiste palline numerate da 1 a N. L’esperimento aleatorio consiste nell’estrarre a sorte una pallina. In questo modo si dà luogo ad nell’estrarre a sorte una pallina. In questo modo si dà luogo ad una variabile aleatoria le cui determinazioni sono i primi N una variabile aleatoria le cui determinazioni sono i primi N numeri interi. La probabilità associata a ciascuno di questi numeri interi. La probabilità associata a ciascuno di questi valori è 1/N.valori è 1/N.

DEF: si dice che una V.A. ha una distribuzione uniforme DEF: si dice che una V.A. ha una distribuzione uniforme discreta se la sua legge di probabilità è:discreta se la sua legge di probabilità è:

Inoltre:Inoltre:

)(1

altrove 0

,...,2,1 se 1

),()( },...,2,1{ xIN

NxNNxpxp NX

Marta Giorgetti Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue Richiami di teoria 1

N

i

itX N

etmN

XN

XE1

2 1)(,

12

1]var[,

2

1][

3

2)2) Distribuzione di Bernoulli B(1,p)Distribuzione di Bernoulli B(1,p): si pensi ad un esperimento i cui : si pensi ad un esperimento i cui esiti sono due eventi incompatibili A e B. Si pensi al lancio di una esiti sono due eventi incompatibili A e B. Si pensi al lancio di una moneta, dove A e B sono gli eventi “testa” e “croce”, oppure moneta, dove A e B sono gli eventi “testa” e “croce”, oppure all’estrazione casuale di una unità da una popolazione all’estrazione casuale di una unità da una popolazione dicotomica, cioè da una popolazione le cui unità sono dicotomica, cioè da una popolazione le cui unità sono raggruppate in due sole categorie, quali “maschio” e raggruppate in due sole categorie, quali “maschio” e “femmina”, “malato” e “sano”, ecc. La singola esecuzione di “femmina”, “malato” e “sano”, ecc. La singola esecuzione di questo esperimento va sotto il nome di prova bernoulliana. Si questo esperimento va sotto il nome di prova bernoulliana. Si associ il valore 1 all’evento A, designato, generalmente con il associ il valore 1 all’evento A, designato, generalmente con il termine “successo” e il valore 0 all’evento B, indicato con il termine “successo” e il valore 0 all’evento B, indicato con il termine “insuccesso”. Sia termine “insuccesso”. Sia pp la probabilità di A e quindi la probabilità di A e quindi 1-p1-p la la probabilità di B. Vale allora la seguente definizione:probabilità di B. Vale allora la seguente definizione:

DEF: si dice che una V.A. ha una distribuzione di Bernoulli se la sua DEF: si dice che una V.A. ha una distribuzione di Bernoulli se la sua legge di probabilità è:legge di probabilità è:

Inoltre:Inoltre:qpp

xIx

pxpX

1 e 10con

)(p)-(1paltrove 0

1,0 se p)-(1p),( }1,0{

x-1xx-1x


qpetmpqXpXE tX )(,]var[,][

4

3)3) Distribuzione di Binomiale B(n,p)Distribuzione di Binomiale B(n,p): si considerino n prove di : si considerino n prove di Bernoulli indipendenti; sia Bernoulli indipendenti; sia pp la probabilità dell’evento la probabilità dell’evento successo. La variabile aleatoria binomiale è definita come il successo. La variabile aleatoria binomiale è definita come il numero dei successi in n prove bernoulliane indipendenti. Si numero dei successi in n prove bernoulliane indipendenti. Si immagini per esempio il lancio di una moneta 20 volte; immagini per esempio il lancio di una moneta 20 volte; indentificando in “testa” l’evento successo la cui probabilità è indentificando in “testa” l’evento successo la cui probabilità è 0,5, la VA binomiale sarà il numero dei risultati “testa” nei 20 0,5, la VA binomiale sarà il numero dei risultati “testa” nei 20 lanci.lanci.

DEF: si dice che una V.A. ha una distribuzione di Binomiale se la sua DEF: si dice che una V.A. ha una distribuzione di Binomiale se la sua legge di probabilità è:legge di probabilità è:

Inoltre:Inoltre:

qpp

xIx

nnxpnxp nX

1 e 10con

)(p)-(1p

altrove 0

,...,1,0 se p)-(1px

n

),,( },...,1,0{x-nx

x-nx


ntX qpetmnpqXnpXE )()(,]var[,][

5

4)4) Distribuzione PoissonDistribuzione Poisson: :

DEF: si dice che una V.A. ha una distribuzione di Poisson con DEF: si dice che una V.A. ha una distribuzione di Poisson con parametro parametro λλ>0>0 se la sua legge di probabilità è: se la sua legge di probabilità è:

Inoltre:Inoltre:

...2,1,0 !

),( xex

xpx

X


)1()(,]var[,][ te

X etmXXE

6

Variabili aleatorie continueVariabili aleatorie continue quando lo spazio campionario quando lo spazio campionario ΩΩ, , su cui sono definite, è continuo, è costituito cioè da un’infinità su cui sono definite, è continuo, è costituito cioè da un’infinità non numerabile di eventi elementari.non numerabile di eventi elementari. 1)1) Distribuzione uniformeDistribuzione uniforme::

DEF: si dice che una V.A. definita in un intervallo [a,b] ha DEF: si dice che una V.A. definita in un intervallo [a,b] ha una distribuzione uniforme continua se la sua funzione di una distribuzione uniforme continua se la sua funzione di densità è espressa da:densità è espressa da:

Inoltre ha funzione di ripartizione data da:Inoltre ha funzione di ripartizione data da:

ee

bxaab

xf X - ,1

)(


)(

)()(,

12

)(]var[,

2][

2

abt

eetm

baX

baXE

tatb

X

)()()( ),(],[ xIxIab

axxF bbaX

7

2)2) Distribuzione esponenziale (negativa)Distribuzione esponenziale (negativa)::

DEF: si dice che una V.A. ha una distribuzione esponenziale DEF: si dice che una V.A. ha una distribuzione esponenziale se la sua funzione di densità è espressa da:se la sua funzione di densità è espressa da:

Inoltre ha funzione di ripartizione data da:Inoltre ha funzione di ripartizione data da:

ee

0 (x),),( ],[

ox

X Iexf


ttmXXE X

)(,

1]var[,

1][

2

xxt

X xIedtexF0

),0[ 0 ),()1()(

8

3)3) Distribuzione normale N(Distribuzione normale N(μμ, , σσ22))::

DEF: si dice che una V.A. ha distribuzione normale se la sua DEF: si dice che una V.A. ha distribuzione normale se la sua funzione di densità è espressa da:funzione di densità è espressa da:

Inoltre ha funzione di ripartizione è data da:Inoltre ha funzione di ripartizione è data da:

ee

0 e - dove 2

)-(x-exp

2

1 ),,(

2

2

xf X


)2

exp()(,]var[,][22

2 tttmXXE X

x

X dtxF2

2

2

)-(t-exp

2

1)(

9

3)3) Distribuzione normale standard N(0,1)Distribuzione normale standard N(0,1)::

DEF: si dice che una V.A. ha distribuzione normale standard DEF: si dice che una V.A. ha distribuzione normale standard se la sua media vale 0 e la sua varianza vale 1, cioè se la se la sua media vale 0 e la sua varianza vale 1, cioè se la sua funzione di densità è espressa da:sua funzione di densità è espressa da:

Inoltre ha funzione di ripartizione è data da:Inoltre ha funzione di ripartizione è data da:

ee

2

x-exp

2

1 ),,(

2

xf X


2

2

)(,1]var[,0][t

X etmXXE

x

X dtx2

(t)-exp

2

1)(

2

10

ESERCIZIO 1: Una scatola contiene 5 palline di cui 3 bianche e 2 ESERCIZIO 1: Una scatola contiene 5 palline di cui 3 bianche e 2 nere. Estraggo a caso, con reimmissione, 3 palline. Quale è la nere. Estraggo a caso, con reimmissione, 3 palline. Quale è la probabilità di pescarne 3 bianche? E due bianche ed una nera?probabilità di pescarne 3 bianche? E due bianche ed una nera?

SOLUZIONESOLUZIONE

Poniamo X=“numero di palline bianche estratte”.Poniamo X=“numero di palline bianche estratte”.

QuindiQuindi

PerciòPerciò

)6,05

3,3(binomiale~ nX

Marta Giorgetti Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue Esercizio 1: testo e soluzione

altrove , 0

0,1,2,3 x,4,06,03

)()(3 xx

xxXPxp

216,06,0)3()3( 3 pXP

432,04,06,02

3)2()2( 2

pXP

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ESERCIZIO 2: Lancio 5 volte un dado regolare. Qual è la ESERCIZIO 2: Lancio 5 volte un dado regolare. Qual è la probabilità di ottenere almeno una volta un punteggio pari?probabilità di ottenere almeno una volta un punteggio pari?

SVOLGIMENTOSVOLGIMENTO

In ciascun lancio posso aver successo (punteggio pari) o insuccesso In ciascun lancio posso aver successo (punteggio pari) o insuccesso (punteggio dispari) e i lanci sono indipendenti. Quindi il n.a. (punteggio dispari) e i lanci sono indipendenti. Quindi il n.a. X=“numero di successi in 5 lanci” ha distribuzione binomiale di X=“numero di successi in 5 lanci” ha distribuzione binomiale di parametri n=5, parametri n=5, θθ=0,5.=0,5.

96875,05,01)0(1)1(1)1( 5 XPXPXP


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ESERCIZIO 3: Supponiamo che il numero giornaliero di richieste di ESERCIZIO 3: Supponiamo che il numero giornaliero di richieste di intervento d’urgenza per un certo servizio sia descritto da una n.a. X intervento d’urgenza per un certo servizio sia descritto da una n.a. X con distribuzione di Poisson di parametro con distribuzione di Poisson di parametro λλ=5. Qual è la probabilità di =5. Qual è la probabilità di ricevere più di una richiesta di intervento?ricevere più di una richiesta di intervento?


La funzione di probabilità di X La funzione di probabilità di X è:è:

perciò si ha perciò si ha

...2,1,0con !

5)5,(

5

xx

exp

x

X


96,004,01!1

5

!0

51)1()0(1

)]1()0([1)1(1)1(1505

ee

pp

xPXPXPXP

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ESEMPIO: ESEMPIO: Numeri ritardatari su una ruota del lotto.Numeri ritardatari su una ruota del lotto. E’ E’ convenzione comune che se un numero non è uscito su una ruota convenzione comune che se un numero non è uscito su una ruota per molte estrazioni la sua probabilità di uscire a ogni estrazione per molte estrazioni la sua probabilità di uscire a ogni estrazione successiva aumenti. Calcoliamo questa probabilità. A ogni successiva aumenti. Calcoliamo questa probabilità. A ogni estrazione la probabilità che un numero venga estratto è: estrazione la probabilità che un numero venga estratto è:

Si può modellizzare il tempo d’attesa di questo numero con una Si può modellizzare il tempo d’attesa di questo numero con una v.a. geometrica X di parametro p che aspetta l’uscita della prima v.a. geometrica X di parametro p che aspetta l’uscita della prima T nel lancio di una moneta di trucco p. Calcoliamo la probabilità T nel lancio di una moneta di trucco p. Calcoliamo la probabilità che T non sia uscita per k-1 lanci, che corrisponde a che T non sia uscita per k-1 lanci, che corrisponde a , cioè T esce al k-esimo lancio, cioè : , cioè T esce al k-esimo lancio, cioè :

che è la probabilità che T esca alla prima estrazione. che è la probabilità che T esca alla prima estrazione.

p

0556,0

5

90

4

89

1kX

Marta Giorgetti Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue Esempio

kX

pq

pq

kXP

kXkXPkXkXP

k

k

1

1

]1[

}]{}1[{]1|[

14

Il ragionamento, sbagliato e inconsapevole, è invece il seguente.Il ragionamento, sbagliato e inconsapevole, è invece il seguente.

La probabilità di k C di fila, cioè dell’evento La probabilità di k C di fila, cioè dell’evento è è

(nel caso del lotto 0,9444(nel caso del lotto 0,9444kk, che per k=100 è , che per k=100 è 0,94440,9444100100=0,0033). Allora si è portati a giocare contro questo =0,0033). Allora si è portati a giocare contro questo evento, quindi per il suo complementare, che, nel caso k=100, evento, quindi per il suo complementare, che, nel caso k=100, è pari a 0,9967, ma questo complementare non è è pari a 0,9967, ma questo complementare non è . .

k

cccccccc }......{

Marta Giorgetti Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue Esempio

k

cccccccP })......({

}...{ ccctccc

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ESERCIZIO 4: Una v.a. ha distribuzione uniforme sull’intervallo (-ESERCIZIO 4: Una v.a. ha distribuzione uniforme sull’intervallo (-2,2). Scrivete l’espressione della funzione di densità e la 2,2). Scrivete l’espressione della funzione di densità e la funzione di ripartizione di X. Calcolare P(X>1).funzione di ripartizione di X. Calcolare P(X>1).


Nel nostro caso a=-2, b=2, quindi la funzione di densità è:Nel nostro caso a=-2, b=2, quindi la funzione di densità è:

E la funzione di ripartizione è:E la funzione di ripartizione è:

Infine calcoliamo P(X>1)=1-P(X Infine calcoliamo P(X>1)=1-P(X ≤1≤1)=1-F(1)=1-3/4=1/4.)=1-F(1)=1-3/4=1/4.

altrove 0

)2,2( se 4

1)(

xxf

21

224

2

20

)(

x

xx

x

xFX

Marta Giorgetti Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue Esercizio 4: testo e svolgimento

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ESERCIZIO 5: Vogliamo studiare il tempo d’attesa ad uno sportello ESERCIZIO 5: Vogliamo studiare il tempo d’attesa ad uno sportello bancario. So che in media aspettiamo 4 minuti fra un cliente ed il bancario. So che in media aspettiamo 4 minuti fra un cliente ed il successivo. Che modello potremmo usare per descrivere il fenomeno? successivo. Che modello potremmo usare per descrivere il fenomeno? Quanto vale lo scarto quadratico medio orario del tempo d’attesa?Quanto vale lo scarto quadratico medio orario del tempo d’attesa?


Fra quelli studiati, il modello adatto per descrivere questo fenomeno Fra quelli studiati, il modello adatto per descrivere questo fenomeno è l’esponenziale negativa con parametro è l’esponenziale negativa con parametro λλ=1/4=0,25.=1/4=0,25.

Abbiamo che Var(x)=1/Abbiamo che Var(x)=1/λλ22=1/0,0625 quindi=1/0,0625 quindi

Questo vale in generale, cioè per una distribuzione esponenziale Questo vale in generale, cioè per una distribuzione esponenziale negativa abbiamo che:negativa abbiamo che:

425,0/10625,0/1)( XVarX

1

XX


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ESERCIZIO 6: Sia X una v.a. con la seguente funzione di densitàESERCIZIO 6: Sia X una v.a. con la seguente funzione di densità

Calcolare P(X>5) e P(|X|>4).Calcolare P(X>5) e P(|X|>4).


Dalla funzione di densità deduciamo che X ha distribuzione Dalla funzione di densità deduciamo che X ha distribuzione normale con media 1 e varianza pari a 4. Per calcolare le normale con media 1 e varianza pari a 4. Per calcolare le probabilità richieste bisogna standardizzare X e poi utilizzare probabilità richieste bisogna standardizzare X e poi utilizzare le tavole. Si ha chele tavole. Si ha che

InoltreInoltre

QuindiQuindi

PerciòPerciò

228,09772,01)2(1)2(2

15

2

1)5(

ZPZPX

PXP

- dove )1-(x8

1-exp

22

1 )( 2

xxf X

)44(1)4|(|1|)4|( XPXPXP

927,09938,019332,0))5,2(1(9332,0

)5,2()5,1()5,15,2()44(

ZP

ZPZPZPXP

073,0927,01)4|(| XP


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ESERCIZIO7: In un gioco si può vincere o perdere una somma ESERCIZIO7: In un gioco si può vincere o perdere una somma aleatoria X (vinco se X>0, perdo se X<0). Supponiamo che X sia aleatoria X (vinco se X>0, perdo se X<0). Supponiamo che X sia una v.a. con distribuzione normale standardizzata. Se gioco 5 una v.a. con distribuzione normale standardizzata. Se gioco 5 volte e se gli esiti sono tra loro indipendenti, con quale volte e se gli esiti sono tra loro indipendenti, con quale probabilità posso vincere almeno una volta? E vincere probabilità posso vincere almeno una volta? E vincere esattamente due volte?esattamente due volte?SVOLGIMENTOSVOLGIMENTO

X~N(0,1) quindi P(vincere)=P(X>0)=0,5; gioco 5 volte e le prove sono X~N(0,1) quindi P(vincere)=P(X>0)=0,5; gioco 5 volte e le prove sono indipendenti. Chiamo Yindipendenti. Chiamo Yii il numero aleatorio pari a 1 se vinco l’i-esima il numero aleatorio pari a 1 se vinco l’i-esima giocata, pari a 0 se perdo (i=1,2,3,4,5). Si ha che P(Ygiocata, pari a 0 se perdo (i=1,2,3,4,5). Si ha che P(Yii=1)=P(vincita)=0,5, =1)=P(vincita)=0,5, in altre parole Yin altre parole Yii è una bernoulliano da parametro è una bernoulliano da parametro θθ=0,5. Gli sono =0,5. Gli sono YYii indipendenti.indipendenti.

Dunque il numero di vincite nelle 5 prove, che indichiamo con Y è dato daDunque il numero di vincite nelle 5 prove, che indichiamo con Y è dato da

ed ha una distribuzione binomiale di parametri n=0,5 eed ha una distribuzione binomiale di parametri n=0,5 e

θθ=0,5.=0,5.

Le probabilità cercate sono quindiLe probabilità cercate sono quindi

P(almeno una vincita)=P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-0,5P(almeno una vincita)=P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-0,555=0,96875=0,96875

ee

P(esattamente due vincite)=P(Y=2)= 0,5P(esattamente due vincite)=P(Y=2)= 0,5220,50,53= 3= 0,50,555=0,3125=0,3125

5

1iiYY


2

5

2

5

20

Esercizio 8: Sapendo che il 30% dei passeggeri che hanno Esercizio 8: Sapendo che il 30% dei passeggeri che hanno prenotato non si presenta alla partenza, una compagnia aerea prenotato non si presenta alla partenza, una compagnia aerea accetta fino a 28 prenotazioni in un volo con una capienza di 24 accetta fino a 28 prenotazioni in un volo con una capienza di 24 posti. Qual è la probabilità che almeno un passeggero che ha posti. Qual è la probabilità che almeno un passeggero che ha regolarmente prenotato resti a terra? Si supponga che i regolarmente prenotato resti a terra? Si supponga che i comportamenti dei passeggeri siano indipendenti.comportamenti dei passeggeri siano indipendenti.


X = numero passeggeri che si presentanoX = numero passeggeri che si presentano

Poiché in ipotesi i comportamenti dei passeggeri sono Poiché in ipotesi i comportamenti dei passeggeri sono indipendenti, X conta il numeri di successi in 28 prove indipendenti, X conta il numeri di successi in 28 prove indipendenti: Xindipendenti: X~B(28; 0,7).~B(28; 0,7).

0157,03,07,028

283,07,0

27

28

3,07,026

283,07,0

25

283,07,0

28)()25(

282828272827

26282625282528

25

2828

25

k

kk

k kkpXP


21

Esercizio 9: Un centralino riceve in un minuto di tempo un Esercizio 9: Un centralino riceve in un minuto di tempo un numero di telefonate X avente legge di Poisson di parametro numero di telefonate X avente legge di Poisson di parametro λλ=10. Qual è la probabilità che:=10. Qual è la probabilità che:

1) non arrivino telefonate?1) non arrivino telefonate?2) arrivino 10 telefonate?2) arrivino 10 telefonate?3) arrivino almeno 3 telefonate?3) arrivino almeno 3 telefonate?


X = numero di telefonate in un minutoX = numero di telefonate in un minuto

In ipotesi si ha X In ipotesi si ha X ~P(10).~P(10).

1)1)

2)2)

3)3)

100

!0)0()0(

ee

pXP


125,0!10

)10(0110

e

XP

997,0)!2

10

!1

10(1

))2()1()0((1)3(1)3(210110

10

eee

pppXPXP

22

Esercizio 10: Si suppone che la speranza di vita X di ogni Esercizio 10: Si suppone che la speranza di vita X di ogni membro di un certo gruppo di persone sia una v.a. avente membro di un certo gruppo di persone sia una v.a. avente distribuzione esponenziale di media 50 anni. Calcolare la distribuzione esponenziale di media 50 anni. Calcolare la probabilità che un individuo del gruppo in questioneprobabilità che un individuo del gruppo in questione1) sopravviva fino all’età della pensione (65anni);1) sopravviva fino all’età della pensione (65anni);2) viva almeno fino a 70 anni, sapendo che ha appena 2) viva almeno fino a 70 anni, sapendo che ha appena festeggiato il suo 40-esimo compleanno;festeggiato il suo 40-esimo compleanno;3) calcolare la mediana, il primo ed il terzo quartile della 3) calcolare la mediana, il primo ed il terzo quartile della distribuzione;distribuzione;4) per quale valore di c tale che4) per quale valore di c tale che P(X>c)=0,6.


X= speranza di vita, E(X)=50, XX= speranza di vita, E(X)=50, X~~E E (50);(50);

1) 1)


)65(1)65(1)65( XFXPXP

altrove

xexF

y

X

0

01)(50

27,0)1(1 3,150

65

50

65

eee

23

2) 2)

Osserviamo che, come la legge geometrica, anche Osserviamo che, come la legge geometrica, anche l’esponenziale gode della proprietà di mancanza di memoria.l’esponenziale gode della proprietà di mancanza di memoria.

Infatti è P(X>=30).Infatti è P(X>=30).

55,0

)40(

)70(

)40(

)40,70()40|70(

6,050

30

50

40

50

70

50

40

50

70

eee

e

e

XP

XP

XP

XXPXXP

50

30e

50

30e

Marta Giorgetti Sessione live 3: Variabili aleatorie discrete e continue Esercizio 10: svolgimento

24

3) 3) pxXPx pp )(:

7,34)2ln(50)5,0ln(50

)5,0ln(50

5,05,01

5,0

5,050505,05,0

x

xee

xx

25,0)(25,0 25,0 xFp

5,0)(5,0 5,0 xFp

4,14)75,0ln(50

)75,0ln(50

75,025,01

25,0

25,0505025,025,0

x

xee

xx

75,0)(75,0 75,0 xFp

3,69)25,0ln(50

)25,0ln(50

25,075,01

75,0

75,0505075,075,0

x

xee

xx


25

4) Trovare c tale che P(X>c)=0,64) Trovare c tale che P(X>c)=0,6

5,25)6,0ln(50)6,0ln(50

6,06,0)1(1

6,0)(16,0)(

5050

ccc

ee

cXPcXPcc


26

ESERCIZIO 11: Sia ZESERCIZIO 11: Sia Z~N(0,1). Calcolare~N(0,1). Calcolare1) P(0,53<=Z<=2,06)1) P(0,53<=Z<=2,06)2) P(Z>-1,77)2) P(Z>-1,77)3) P(-0,79<=Z<1,52)3) P(-0,79<=Z<1,52)4) P(Z>2,89)4) P(Z>2,89)5) P(|Z|<1)5) P(|Z|<1)6) P(|Z|>2)6) P(|Z|>2)Determinare il valore c tale cheDeterminare il valore c tale che7) P(Z>=c)=0,057) P(Z>=c)=0,058) P(|Z|<=c)=0,88) P(|Z|<=c)=0,8


1) 1) P(0,53<=Z<=2,06)= P(Z<=2,06)- P(Z<=0,53)=P(0,53<=Z<=2,06)= P(Z<=2,06)- P(Z<=0,53)=ΦΦ(2,06)-(2,06)-ΦΦ(0,53)=0,98077-0,70194=0,0279(0,53)=0,98077-0,70194=0,0279

2) 2) P(Z>-1,77)=1- P(Z<=-1,77)=1- P(Z>-1,77)=1- P(Z<=-1,77)=1- ΦΦ(-1,77)=1-(1- (-1,77)=1-(1- ΦΦ(1,77))=(1,77))=ΦΦ(1,77)=0,9616(1,77)=0,9616

3) 3) P(-0,79<=Z<1,52)=P(-0,79<=Z<1,52)=ΦΦ(1,52)-(1,52)-ΦΦ(-0,79)=(-0,79)=ΦΦ(1,52)-(1-(1,52)-(1-ΦΦ(0,79))= (0,79))= ΦΦ(1,52)-(1,52)-1+1+ΦΦ(0,79)=0,93574-1+0,78524=0,721(0,79)=0,93574-1+0,78524=0,721


27

4) P(Z>2,89)=1-4) P(Z>2,89)=1-ΦΦ(2,89)=1-0,99807=0,002(2,89)=1-0,99807=0,002

5) 5) P(|Z|<1)= P(-1<Z<1)=P(|Z|<1)= P(-1<Z<1)=ΦΦ(1)-(1)-ΦΦ(-1)=(-1)=ΦΦ(1)-1+(1)-1+ΦΦ(1)=2(1)=2ΦΦ(1)-1=2 0,84134-(1)-1=2 0,84134-1=0,6831=0,683

6) P(|Z|>2)=P(Z<-2)+P(Z>2)=6) P(|Z|>2)=P(Z<-2)+P(Z>2)=ΦΦ(-2)+1-(-2)+1-ΦΦ(2)=1-(2)=1-ΦΦ(2)+1-(2)+1-ΦΦ(2)=2-(2)=2-22ΦΦ(2)=2-2(2)=2-2·0,97725=0,0455·0,97725=0,0455

7) P(Z>=c)=0,05 implica 1-P(Z<c)=0,05, cioé 1-7) P(Z>=c)=0,05 implica 1-P(Z<c)=0,05, cioé 1-ΦΦ(c)=0,05, (c)=0,05, ΦΦ(c)=0,95 (c)=0,95 c=1,64c=1,64

8) P(|Z|<=c)=0,8 implica P(-c<Z<c)=0,8, cioé 8) P(|Z|<=c)=0,8 implica P(-c<Z<c)=0,8, cioé ΦΦ(c)-(c)-ΦΦ(-c)=0,8, (-c)=0,8, ΦΦ(c)-(c)-1+1+ΦΦ(c)=0,8(c)=0,8

22ΦΦ(c)-1=0,8 , 2(c)-1=0,8 , 2ΦΦ(c)=1,8, (c)=1,8, ΦΦ(c)=0,9 c=1,28(c)=0,9 c=1,28


28

ESERCIZIO 12: Il punteggio ottenuto dagli studenti ad una prova scritta ESERCIZIO 12: Il punteggio ottenuto dagli studenti ad una prova scritta di un esame universitario si può modellizzare con una v.a. continua di di un esame universitario si può modellizzare con una v.a. continua di legge normale di media 21 e varianza 9. Qual è la percentuale di legge normale di media 21 e varianza 9. Qual è la percentuale di studenti che hanno ottenuto un voto superiore al 24? Qual è la studenti che hanno ottenuto un voto superiore al 24? Qual è la percentuale degli studenti che hanno ottenuto un voto inferiore alla percentuale degli studenti che hanno ottenuto un voto inferiore alla sufficienza (<18)?sufficienza (<18)?


X=punteggio alla prova scritta, XX=punteggio alla prova scritta, X~N(21,9)~N(21,9)

1)1)

Il 15,9% degli studenti ha ottenuto un voto maggiore o uguale a Il 15,9% degli studenti ha ottenuto un voto maggiore o uguale a 24.24.

2)2)

)3

2124

3

21(1)24(1)24(

XPXPXP

)1,0(3

21: NX

Z

159,084134,01)1(1)1(1 ZP


092,090824,01)333,1(1)333,1(

)333,1()3

2117

3

21()17(

ZPX

PXP

Variabili aleatorie discrete e continue

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