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A.A. 2013/2014Corso di Algebra Lineare

Stampato integrale delle lezioni

Massimo Gobbino

Indice

Lezione 001. Vettori geometrici nel piano cartesiano. Operazioni tra vettori: somma,prodotto per un numero, prodotto scalare, norma, distanza. . . . . . . . . . . . . 7

Lezione 002. Coordinate polari nel piano. Interpretazione geometrica del prodottoscalare (usando le coordinate polari o il teorema di Carnot). . . . . . . . . . . . . 10

Lezione 003. Equazioni vettoriali (parametriche) di segmenti e rette. Significato deicoefficienti di una retta in termini di prodotto scalare. . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Lezione 004. Introduzione ai sistemi lineari. Esempi con soluzione unica, nessunasoluzione, infinite soluzioni. Algoritmo di Gauss. Primi esempi di applicazione. . . 18

Lezione 005. Introduzione alle matrici. Vettori riga e vettori colonna. Operazioni tramatrici: somma, prodotto per un numero, prodotto tra matrici. Trasposta di unamatrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Lezione 006. Sistemi lineari (parte seconda): pivot della matrice ridotta a scala edinterpretazione dei risultati dellalgoritmo di Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Lezione 007. Esempi ed esercizi su sistemi lineari e rette nel piano. . . . . . . . . . . 30

Lezione 008. Ulteriori precisazioni sullequazione della retta nel piano. Spazi eucli-dei: vettori n-dimensionali, prodotto scalare, norma, distanza. Introduzione allageometria nello spazio: rette e piani. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Lezione 009. Geometria analitica nello spazio: come stabilire se 3 punti sono allineati,scrivere lequazione del piano passante per 3 punti dati, passare dallequazioneparametrica di un piano a quella cartesiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Lezione 010. Geometria analitica nello spazio: trovare un vettore ortogonale a 2 vettoridati, posizione relativa di 2 piani, posizione relativa di un piano ed una retta. . . . 41

Lezione 011. Definizione di campo di numeri, di spazio vettoriale e sottospazio vetto-riale. Primi esempi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Lezione 012. Combinazioni lineari, vettori linearmente indipendenti, sistemi di genera-tori, basi. Ulteriori esempi di spazi e sottospazi vettoriali. . . . . . . . . . . . . . . 49

Lezione 013. Esempi di basi per spazi vettoriali. Componenti di un vettore rispetto aduna base. Interpretazione dei sistemi lineari come combinazioni lineari dei vettoricolonna della matrice associata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

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4 Corso di Algebra Lineare A.A. 2013/2014

Lezione 014. Definizione di Span. Teoremi sulle basi negli spazi vettoriali (esistenzae come ottenerle da insiemi di vettori dati che siano linearmente indipendenti ogeneratori). Dimensione di uno spazio vettoriale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Lezione 015. Significato geometrico delle componenti di un vettore rispetto ad unabase. Esercizi su basi, generatori, span, dimensione. . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Lezione 016. Applicazioni lineari. Teorema di struttura: una applicazione lineare eunivocamente determinata dai valori che assume in una base. . . . . . . . . . . . . 65

Lezione 017. Matrice associata ad una applicazione lineare dopo aver scelto basi inpartenza ed arrivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Lezione 018. Esempio di costruzione della matrice associata ad una applicazione linearecon scelte diverse delle basi in partenza ed arrivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Lezione 019. Ker e immagine di una applicazione lineare. Relazione tra le dimensionie conseguenze. Interpretazione dei sistemi lineari in termini di Ker e immagine. . . 78

Lezione 020. Matrici di cambio di base. Calcolo dellinversa di una matrice mediantelalgoritmo di Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Lezione 021. Struttura generale dellinsieme delle soluzioni di un sistema lineare,omogeneo e non omogeneo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Lezione 022. Somma e intersezione di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. . 90

Lezione 023. Dimostrazione del teorema di sostituzione (punto di partenza per iteoremi su basi e dimensione di spazi vettoriali). Enunciato delle proprieta delprodotto di matrici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Lezione 024. Introduzione ai determinanti: obiettivi, indice degli argomenti, proprietabasic, esistenza ed unicita nel caso 2*2, interpretazione geometrica del caso 2*2. . 99

Lezione 025. Prime proprieta dei determinanti: alternanza, annullamento nel caso divettori linearmente dipendenti, comportamento rispetto alle operazioni dellalgo-ritmo di Gauss. Discussione del caso 3*3: formula di Sarrus, esistenza ed unicita,interpretazione geometrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Lezione 026. Determinanti di matrici diagonali e triangolari, unicita per ogni n viaalgoritmo di Gauss, sviluppi di Laplace (sviluppi ricorsivi) per colonne e per righe,determinante della matrice trasposta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Lezione 027. Enunciato del teorema di esistenza del determinante con n generico viasviluppi per colonne. Dimostrazione che gli sviluppi per righe danno il determinante.Accenno agli sviluppi di Leibnitz (con le permutazioni). . . . . . . . . . . . . . . . 111

Lezione 028. Applicazioni dei determinanti: formula per la matrice inversa, formula diCramer per i sistemi lineari, formula per i vettori perpendicolari. . . . . . . . . . . 115

Stampato integrale delle lezioni 5

Lezione 029. Rango di una matrice. Rapporti tra R-rango, C-rango, D-rango. Rangoe algoritmo di Gauss. R-rango = C-rango per matrici a scala. . . . . . . . . . . . 119

Lezione 030. Una matrice quadrata con righe linearmente indipendenti ha determinantenon nullo. D-rango = C-rango = R-rango. Rango e sistemi lineari: teorema diRouche-Capelli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Lezione 031. Basi ortogonali e ortonormali. Componenti di un vettore rispetto ad unabase ortogonale o ortonormale. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.127

Lezione 032. Ortogonale di un sottospazio. Esempi di calcolo di basi ortonormali. . . 131

Lezione 033. Matrici ortogonali: proprieta e legami con le basi ortonormali. . . . . . . 135

Lezione 034. Esercizi sui sottospazi vettoriali: passaggio dalla rappresentazione carte-siana (mediante equazioni) a quella parametrica (come span) e viceversa. . . . . . 139

Lezione 035. Ricerca di una base per lintersezione di due sottospazi vettoriali. Esercizisulle applicazioni lineari in cui si sfruttano cambi di base. . . . . . . . . . . . . . . 143

Lezione 036. Esercizi misti su somme dirette di sottospazi, applicazioni lineari, cambidi base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Lezione 037. Introduzione generale alle forme canoniche. Matrici simili. Forma ca-nonica potendo scegliere la base in partenza ed arrivo. Algoritmo di Gauss comecambio di base in arrivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Lezione 038. Autovalori, autovettori, autospazi. Esempio 2*2 di ricerca di autovaloried autovettori, e successiva diagonalizzazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Lezione 039. Autovalori come radici del polinomio caratteristico. Definizione di mol-teplicita algebrica e geometrica. Diagonalizzazione quando tutti gli autovalori sonodistinti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Lezione 040. Legami tra polinomio caratteristico, autovalori, traccia, determinante, eloro invarianza per similitudine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Lezione 041. Legami tra molteplicita algebrica, molteplicita geometrica, diagonalizza-zione. Esempio di diagonalizzazione sui reali vs diagonalizzazione sui complessi. . 166

Lezione 042. Matrici simmetriche e interpretazione in termini di prodotto scalare.Enunciato del teorema spettrale e primi passi della dimostrazione. . . . . . . . . . 170

Lezione 043. Seconda parte della dimostrazione del teorema spettrale. Enunciato deiteoremi di triangolarizzazione. Quadro generale per la diagonalizzazione sui reali esui complessi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Lezione 044. Forma canonica di Jordan, sui complessi e sui reali. . . . . . . . . . . . . 178

Lezione 045. Introduzione alla geometria affine. Sottospazi affini e loro giacitura.Trasformazioni affini. Esempi speciali di trasformazioni affini. . . . . . . . . . . . 182


Lezione 046. Teorema di struttura delle isometrie in dimensione n (sono affinita conmatrice ortogonale). Struttura delle matrici ortogonali in dimensione 2. . . . . . . 186

Lezione 047. Esempi ed esercizi sulle isometrie nel piano. . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Lezione 048. Vari modi di scrivere la simmetria rispetto ad una retta del piano.Autovalori di simmetrie e rotazioni nel piano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

Lezione 049. Enunciato della classificazione delle isometrie nel piano e nello spaziosulla base del luogo dei punti fissi. Esempi di simmetria e rotazione nello spazio. . 198

Lezione 050. Introduzione alle forme quadratiche. Matrice associata e sua segnatura.Come stabilire la segnatura mediante gli autovalori o il completamento dei quadrati.202

Lezione 051. Ulteriori esempi di completamento dei quadrati. Metodo di Sylvester(minori orlati) e di Cartesio (coefficienti del polinomio caratteristico) per stabilirela segnatura di una forma quadratica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Lezione 052. Relazioni tra traccia, determinante e segnatura per forme quadratiche indue variabili. Esempio esplicito di diagonalizzazione di una forma quadratica e suainterpretazione geometrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Lezione 053. Definizione generale di prodotto scalare. Matrice associata ad un prodottoscalare in una data base. Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt e basi ortonorma-li rispetto ad un prodotto scalare definito positivo. Esempio di prodotto scalaredefinito mediante integrali in uno spazio di polinomi. . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Lezione 054. Cambiamento della matrice associata ad un prodotto scalare a seguitodi un cambio di base. Applicazioni simmetriche rispetto ad un prodotto scalarequalunque, loro matrici associate e relativo teorema spettrale. . . . . . . . . . . . 218

Lezione 055. Polinomio minimo di una matrice. Teorema di Hamilton-Cayley. Rela-zioni tra polinomio minimo, polinomio caratteristico, diagonalizzabilita, dimensionidei blocchi di Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Lezione 056. Esercizi misti di geometria nello spazio: proiezione di un punto su unpiano, simmetrico di un punto rispetto ad un piano, distanza di un punto da unpiano, mutua posizione di due rette. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

Lezione 057. Esercizi di geometria analitica nello spazio: distanza tra rette sghembe,relazioni tra aree di triangoli e prodotto vettore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Lezione 058. Rapporti tra forma canonica complessa e forma canonica reale, e relativematrici di cambio di base. Spazi vettoriali complessi come spazi vettoriali reali. . . 234

Lezione 059. Cose strane: esponenziali e funzioni trascendenti di matrici, cambi dibase e compressione jpg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238


Lezione 001


Lezione 002


Lezione 003


Lezione 004


Lezione 005


Lezione 006


Lezione 007


Lezione 008


Lezione 009


Lezione 010


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Lezione 012


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Lezione 014


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Lezione 020


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Lezione 034


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Lezione 041


Lezione 042


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Lezione 052


Lezione 053


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Lezione 055


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Lezione 057


Lezione 058


Lezione 059


Lezione 059
IndiceLezione 001. Vettori geometrici nel piano cartesiano. Operazioni tra vettori: somma, prodotto per un numero, prodotto scalare, norma, distanza.medskip Lezione 002. Coordinate polari nel piano. Interpretazione geometrica del prodotto scalare (usando le coordinate polari o il teorema di Carnot).medskip Lezione 003. Equazioni vettoriali (parametriche) di segmenti e rette. Significato dei coefficienti di una retta in termini di prodotto scalare.medskip Lezione 004. Introduzione ai sistemi lineari. Esempi con soluzione unica, nessuna soluzione, infinite soluzioni. Algoritmo di Gauss. Primi esempi di applicazione.medskip Lezione 005. Introduzione alle matrici. Vettori riga e vettori colonna. Operazioni tra matrici: somma, prodotto per un numero, prodotto tra matrici. Trasposta di una matrice.medskip Lezione 006. Sistemi lineari (parte seconda): pivot della matrice ridotta a scala ed interpretazione dei risultati dell'algoritmo di Gauss.medskip Lezione 007. Esempi ed esercizi su sistemi lineari e rette nel piano.medskip Lezione 008. Ulteriori precisazioni sull'equazione della retta nel piano. Spazi euclidei: vettori n-dimensionali, prodotto scalare, norma, distanza. Introduzione alla geometria nello spazio: rette e piani.medskip Lezione 009. Geometria analitica nello spazio: come stabilire se 3 punti sono allineati, scrivere l'equazione del piano passante per 3 punti dati, passare dall'equazione parametrica di un piano a quella cartesiana.medskip Lezione 010. Geometria analitica nello spazio: trovare un vettore ortogonale a 2 vettori dati, posizione relativa di 2 piani, posizione relativa di un piano ed una retta.medskip Lezione 011. Definizione di campo di numeri, di spazio vettoriale e sottospazio vettoriale. Primi esempi.medskip Lezione 012. Combinazioni lineari, vettori linearmente indipendenti, sistemi di generatori, basi. Ulteriori esempi di spazi e sottospazi vettoriali.medskip Lezione 013. Esempi di basi per spazi vettoriali. Componenti di un vettore rispetto ad una base. Interpretazione dei sistemi lineari come combinazioni lineari dei vettori colonna della matrice associata.medskip Lezione 014. Definizione di Span. Teoremi sulle basi negli spazi vettoriali (esistenza e come ottenerle da insiemi di vettori dati che siano linearmente indipendenti o generatori). Dimensione di uno spazio vettoriale.medskip Lezione 015. Significato geometrico delle componenti di un vettore rispetto ad una base. Esercizi su basi, generatori, span, dimensione.medskip Lezione 016. Applicazioni lineari. Teorema di struttura: una applicazione lineare univocamente determinata dai valori che assume in una base.medskip Lezione 017. Matrice associata ad una applicazione lineare dopo aver scelto basi in partenza ed arrivo.medskip Lezione 018. Esempio di costruzione della matrice associata ad una applicazione lineare con scelte diverse delle basi in partenza ed arrivo.medskip Lezione 019. Ker e immagine di una applicazione lineare. Relazione tra le dimensioni e conseguenze. Interpretazione dei sistemi lineari in termini di Ker e immagine.medskip Lezione 020. Matrici di cambio di base. Calcolo dell'inversa di una matrice mediante l'algoritmo di Gauss.medskip Lezione 021. Struttura generale dell'insieme delle soluzioni di un sistema lineare, omogeneo e non omogeneo.medskip Lezione 022. Somma e intersezione di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann.medskip Lezione 023. Dimostrazione del "teorema di sostituzione" (punto di partenza per i teoremi su basi e dimensione di spazi vettoriali). Enunciato delle propriet del prodotto di matrici.medskip Lezione 024. Introduzione ai determinanti: obiettivi, indice degli argomenti, propriet basic, esistenza ed unicit nel caso 2*2, interpretazione geometrica del caso 2*2.medskip Lezione 025. Prime propriet dei determinanti: alternanza, annullamento nel caso di vettori linearmente dipendenti, comportamento rispetto alle operazioni dell'algoritmo di Gauss. Discussione del caso 3*3: formula di Sarrus, esistenza ed unicit, interpretazione geometrica.medskip Lezione 026. Determinanti di matrici diagonali e triangolari, unicit per ogni n via algoritmo di Gauss, sviluppi di Laplace (sviluppi ricorsivi) per colonne e per righe, determinante della matrice trasposta.medskip Lezione 027. Enunciato del teorema di esistenza del determinante con n generico via sviluppi per colonne. Dimostrazione che gli sviluppi per righe danno il determinante. Accenno agli sviluppi di Leibnitz (con le permutazioni).medskip Lezione 028. Applicazioni dei determinanti: formula per la matrice inversa, formula di Cramer per i sistemi lineari, formula per i vettori perpendicolari.medskip Lezione 029. Rango di una matrice. Rapporti tra R-rango, C-rango, D-rango. Rango e algoritmo di Gauss. R-rango = C-rango per matrici a scala.medskip Lezione 030. Una matrice quadrata con righe linearmente indipendenti ha determinante non nullo. D-rango = C-rango = R-rango. Rango e sistemi lineari: teorema di Rouch-Capelli.medskip Lezione 031. Basi ortogonali e ortonormali. Componenti di un vettore rispetto ad una base ortogonale o ortonormale. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.medskip Lezione 032. Ortogonale di un sottospazio. Esempi di calcolo di basi ortonormali.medskip Lezione 033. Matrici ortogonali: propriet e legami con le basi ortonormali.medskip Lezione 034. Esercizi sui sottospazi vettoriali: passaggio dalla rappresentazione cartesiana (mediante equazioni) a quella parametrica (come span) e viceversa.medskip Lezione 035. Ricerca di una base per l'intersezione di due sottospazi vettoriali. Esercizi sulle applicazioni lineari in cui si sfruttano cambi di base.medskip Lezione 036. Esercizi misti su somme dirette di sottospazi, applicazioni lineari, cambi di base.medskip Lezione 037. Introduzione generale alle forme canoniche. Matrici simili. Forma canonica potendo scegliere la base in partenza ed arrivo. Algoritmo di Gauss come cambio di base in arrivo. medskip Lezione 038. Autovalori, autovettori, autospazi. Esempio 2*2 di ricerca di autovalori ed autovettori, e successiva diagonalizzazione.medskip Lezione 039. Autovalori come radici del polinomio caratteristico. Definizione di molteplicit algebrica e geometrica. Diagonalizzazione quando tutti gli autovalori sono distinti.medskip Lezione 040. Legami tra polinomio caratteristico, autovalori, traccia, determinante, e loro invarianza per similitudine.medskip Lezione 041. Legami tra molteplicit algebrica, molteplicit geometrica, diagonalizzazione. Esempio di diagonalizzazione sui reali vs diagonalizzazione sui complessi.medskip Lezione 042. Matrici simmetriche e interpretazione in termini di prodotto scalare. Enunciato del teorema spettrale e primi passi della dimostrazione.medskip Lezione 043. Seconda parte della dimostrazione del teorema spettrale. Enunciato dei teoremi di triangolarizzazione. Quadro generale per la diagonalizzazione sui reali e sui complessi.medskip Lezione 044. Forma canonica di Jordan, sui complessi e sui reali.medskip Lezione 045. Introduzione alla geometria affine. Sottospazi affini e loro giacitura. Trasformazioni affini. Esempi speciali di trasformazioni affini.medskip Lezione 046. Teorema di struttura delle isometrie in dimensione n (sono affinit con matrice ortogonale). Struttura delle matrici ortogonali in dimensione 2.medskip Lezione 047. Esempi ed esercizi sulle isometrie nel piano.medskip Lezione 048. Vari modi di scrivere la simmetria rispetto ad una retta del piano. Autovalori di simmetrie e rotazioni nel piano.medskip Lezione 049. Enunciato della classificazione delle isometrie nel piano e nello spazio sulla base del luogo dei punti fissi. Esempi di simmetria e rotazione nello spazio.medskip Lezione 050. Introduzione alle forme quadratiche. Matrice associata e sua segnatura. Come stabilire la segnatura mediante gli autovalori o il completamento dei quadrati.medskip Lezione 051. Ulteriori esempi di completamento dei quadrati. Metodo di Sylvester (minori orlati) e di Cartesio (coefficienti del polinomio caratteristico) per stabilire la segnatura di una forma quadratica.medskip Lezione 052. Relazioni tra traccia, determinante e segnatura per forme quadratiche in due variabili. Esempio esplicito di diagonalizzazione di una forma quadratica e sua interpretazione geometrica.medskip Lezione 053. Definizione generale di prodotto scalare. Matrice associata ad un prodotto scalare in una data base. Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt e basi ortonormali rispetto ad un prodotto scalare definito positivo. Esempio di prodotto scalare definito mediante integrali in uno spazio di polinomi.medskip Lezione 054. Cambiamento della matrice associata ad un prodotto scalare a seguito di un cambio di base. Applicazioni simmetriche rispetto ad un prodotto scalare qualunque, loro matrici associate e relativo teorema spettrale.medskip Lezione 055. Polinomio minimo di una matrice. Teorema di Hamilton-Cayley. Relazioni tra polinomio minimo, polinomio caratteristico, diagonalizzabilit, dimensioni dei blocchi di Jordan.medskip Lezione 056. Esercizi misti di geometria nello spazio: proiezione di un punto su un piano, simmetrico di un punto rispetto ad un piano, distanza di un punto da un piano, mutua posizione di due rette.medskip Lezione 057. Esercizi di geometria analitica nello spazio: distanza tra rette sghembe, relazioni tra aree di triangoli e prodotto vettore.medskip Lezione 058. Rapporti tra forma canonica complessa e forma canonica reale, e relative matrici di cambio di base. Spazi vettoriali complessi come spazi vettoriali reali.medskip Lezione 059. Cose strane: esponenziali e funzioni trascendenti di matrici, cambi di base e compressione jpg.medskip

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