Algebra Lineare_ M. Gobbino

A.A. 2014/2015Corso di Algebra Lineare

Stampato integrale delle lezioni

Massimo Gobbino

Indice

Lezione 01: Vettori geometrici nel piano cartesiano. Operazioni tra vettori: somma,prodotto per un numero, prodotto scalare, norma, distanza. . . . . . . . . . . 7

Lezione 02: Coordinate polari nel piano. Interpretazione geometrica del prodottoscalare (usando le coordinate polari o il teorema di Carnot). Disuguaglianza diCauchy-Schwarz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Lezione 03: Rette nel piano: equazione cartesiana vs equazione parametrica. Signi-ficato dei coefficienti nei vari tipi di rappresentazione. . . . . . . . . . . . . . . 15

Lezione 04: Introduzione ai sistemi lineari. Esempi con soluzione unica, nessunasoluzione, infinite soluzioni. Algoritmo di Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Lezione 05: Matrici a scala e pivot. Interpretazione dei risultati dellalgoritmo diGauss. Esempi di applicazione. Variante alla Jordan dellalgoritmo di Gauss. . 24

Lezione 06: Geometria analitica nello spazio. Equazione parametrica della rettanello spazio. Mutua posizione di due rette nello spazio. . . . . . . . . . . . . . 28

Lezione 07: Piani nello spazio: equazione cartesiana e parametrica. Significato geo-metrico dei coefficienti nellequazione cartesiana. Passaggio dalla parametricaalla cartesiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Lezione 08: Intersezione di due rette nel piano (date in varia forma) e nello spazio,intersezione di due piani nello spazio, intersezione di una retta ed un piano nellospazio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Lezione 09: Matrici e operazioni tra matrici: somma, prodotto per un numero,prodotto tra matrici. Trasposta di una matrice. Interpretazione dei sistemilineari in termini di matrici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Lezione 10: Esercizi di geometria analitica nello spazio: area di un triangolo, volumedi un tetraedro, piede dellaltezza di un triangolo. Sistemi lineari n*n. . . . . . 47

Lezione 11: Definizione di campo di numeri, di spazio vettoriale e sottospazio vet-toriale. Esempi classici di campo e spazio vettoriale. Primi esempi di sottospazivettoriali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Lezione 12: Definizioni: combinazione lineare, Span, sistema di generatori, vetto-ri linearmente indipendenti e dipendenti, base, dimensione. Basi canoniche edimensione degli spazi vettoriali classici. Esempio di spazio di dimensione infinita. 55

Lezione 13: Componenti di un vettore rispetto ad una base. Esempi di basi e calcolodi componenti. Interpretazione dei sistemi lineari in termini di combinazionilineari di colonne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Lezione 14: Teorema di esistenza della base. Tutte le basi hanno lo stesso numerodi elementi. Come ottenere basi per eliminazione da un sistema di generatori oaggiungendo elementi ad un insieme di vettori linearmente indipendenti. . . . . 65

Lezione 15: Intersezione e somma di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. 70

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4 INDICE

Lezione 16: Presentazione cartesiana e parametrica di un sottospazio vettoriale.Esempi di sottospazi vettoriali descritti in vario modo e relative basi e dimensione. 75

Lezione 17: Applicazioni lineari. Teorema di struttura. Matrice associata adunapplicazione lineare dopo aver scelto basi in partenza ed arrivo. . . . . . . . 80

Lezione 18: Esempi di costruzione della matrice associata ad unapplicazione lineare.Costruzione di una matrice di cambio di base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Lezione 19: Ker e immagine di unapplicazione lineare. Teorema rank-nullity (rela-zione tra le dimensioni di ker, immagine e spazio di partenza). Conseguenze intermini di iniettivita e surgettivita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Lezione 20: Interpretazione dei sistemi lineari in termini di ker e immagine. Strut-tura dellinsieme delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo (soluzionequalunque piu soluzione generica dellomogeneo). . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Lezione 21: Matrice inversa: quando esiste e come si calcola con lalgoritmo al-la Gauss-Jordan. Giustificazione dellalgoritmo. Uso delle matrici inverse neicambi di base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Lezione 22: Dimostrazione del teorema di sostituzione (punto di partenza per iteoremi su basi e dimensione di spazi vettoriali). Esercizi sulla matrice associataad unapplicazione lineare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Lezione 23: Proprieta della matrice trasposta ed inversa. Esercizi misti su sottospazivettoriali e cambi di base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Lezione 24: Introduzione ai determinanti: obiettivi, definizione assiomatica, primeproprieta (alternanza e annullamento nel caso di vettori linearmente dipendenti).Enunciato del teorema di esistenza ed unicita. Caso 2*2 con interpretazionegeometrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Lezione 25: Determinante nel caso 3*3: regola di Sarrus e interpretazione geome-trica. Determinante e algoritmo di Gauss. Determinante di matrici diagonali etriangolari superiori. Unicita del determinante via algoritmo di Gauss. . . . . . 116

Lezione 26: Sottomatrici e minori. Sviluppi di Laplace (ricorsivi) per colonne eper righe. Enunciato dellesistenza del determinante via sviluppi per colon-ne. Dimostrazione che gli sviluppi per righe coincidono con quelli per colonne.Determinante della matrice trasposta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Lezione 27: Descrizione dello sviluppo di Leibnitz (con le permutazioni) del deter-minante. Teorema di Binet (enunciato e parte della dimostrazione). Regola diCramer per i sistemi lineari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Lezione 28: Dimostrazione del teorema di Binet e della formula di Cramer. Formulaper la matrice inversa con i determinanti. Formula per i vettori perpendicolarie sua interpretazione con i determinanti. Formule per il volume del tetraedro. . 129

Lezione 29: Rango di una matrice. Dimostrazione completa dellequivalenza traR-rango, C-rango, D-rango. Rango ed algoritmo di Gauss. Pivot e rango dellematrici a scala. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Lezione 30: Rango e sistemi lineari: teorema di Rouche-Capelli. Esempi di utilizzodel rango nella risoluzione di esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Lezione 31: Basi ortogonali e ortonormali. Componenti di un vettore rispetto a talibasi. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. . . . . . . . . . . 144

Lezione 32: Ortogonale di un sottospazio e sue proprieta. Esempi di calcolo di basiortogonali e di ortogonali di sottospazi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

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Lezione 33: Matrici ortogonali e loro proprieta. Proiezione ortogonale su un sotto-spazio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Lezione 34: Struttura delle matrici ortogonali 2*2. Esercizi su matrici ortogonali,basi ortogonali e ortonormali, applicazioni lineari e matrici di cambio di base. . 159

Lezione 35: Forma canonica di unapplicazione lineare potendo scegliere basi apiacere in partenza ed arrivo (dipende solo dal rango). . . . . . . . . . . . . . 164

Lezione 36: Introduzione motivazionale alle forme canoniche per applicazioni dauno spazio in se (stessa base in partenza ed arrivo): matrici simili, autovalori,autovettori, autospazio, esempio di diagonalizzazione 2*2. . . . . . . . . . . . . 169

Lezione 37: Prime proprieta delle matrici simili. Polinomio caratteristico ed auto-valori. Molteplicita algebrica e geometrica. Disuguaglianza tra le molteplicita. 174

Lezione 38: Richiami su coefficienti di un polinomio vs somma e prodotto delle ra-dici. Coefficienti del polinomio caratteristico di una matrice. Autovalori relativiad autovettori distinti sono linearmente indipendenti. . . . . . . . . . . . . . . 179

Lezione 39: Condizione necessaria e sufficiente per la diagonalizzabilita sui reali osui complessi. Condizione solo necessaria. Descrizione dei blocchi di Jordan edella forma canonica di Jordan sui reali e sui complessi. . . . . . . . . . . . . . 184

Lezione 40: Applicazioni lineari simmetriche vs matrici simmetriche. Enunciato delteorema spettrale in termini di applicazioni ed in termini di matrici. Autovettorirelativi ad autovalori distinti (di applicazioni simmetriche) sono ortogonali. . . 188

Lezione 41: Dimostrazione del teorema spettrale (via esistenza di almeno un autova-lore reale ed invarianza dellortogonale di un sottospazio invariante). Riassuntosu diagonalizzazione/Jordanizzazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

Lezione 42: Esempi ed esercizi sulle forme canoniche. . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Lezione 43: Introduzione alle forme quadratiche: definizione, matrice associata,forme (semi)definite positive/negative, segnatura come terna di numeri. . . . . 201

Lezione 44: Descrizione dei metodi per trovare la segnatura di una forma quadratica:segno degli autovalori, completamento dei quadrati, minori orlati di Sylvester(in vario ordine), Cartesio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Lezione 45: Ricerca di sottospazi di dimensione opportuna su cui una forma qua-dratica e definita positiva/negativa (via completamento dei quadrati). Dimo-strazione del legame tra segnatura e segno degli autovalori della matrice associata.210

Lezione 46: Dimostrazione dellesistenza di un polinomio che annulla una matrice.Polinomio minimo di una matrice. Enunciato del teorema di Hamilton-Cayley.Proprieta del polinomio minimo e suoi legami con i blocchi di Jordan. . . . . . 215

Lezione 47: Forma di Jordan reale vs forma di Jordan complessa: come ottenerela prima dalla seconda e come ottenere la matrice di cambio di base che portanella prima da quella che porta nella seconda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Lezione 48: Definizione astratta di prodotto scalare. Matrice associata ad un pro-dotto scalare. Forma quadratica associata ad un prodotto scalare. Come variala matrice associata ad un prodotto scalare quando si cambia base: matricicongruenti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

Lezione 49: Algoritmo di Gram-Schmidt per un prodotto scalare qualunque definitopositivo. Teorema di Sylvester (Sylvesters law of inertia). Esempio di passaggioalla forma alla Sylvester per un prodotto scalare non definito positivo. . . . . . 229

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Lezione 50: Esempio di funzioni ortogonali rispetto ad un prodotto scalare definitotramite integrale. Applicazioni simmetriche rispetto ad un prodotto scalaregenerale e relativo teorema spettrale. Esempio di calcolo dellortogonale di unsottospazio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

Lezione 51: Introduzione alla geometria affine. Equazioni parametriche e cartesianedi sottospazi affini. Trasformazioni affini e loro composizioni. Traslazioni eomotetie, rispetto allorigine e rispetto ad un punto generico. . . . . . . . . . . 239

Lezione 52: Teorema di struttura delle isometrie nello spazio n-dimensionale. Rota-zioni nel piano. Interpretazione dei blocchi di Jordan reali come composizionedi una rotazione ed unomotetia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

Lezione 53: Classificazione delle isometrie del piano sulla base del luogo dei puntifissi. Esempi di calcolo dellimmagine e della controimmagine di punti e retterispetto ad unisometria del piano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Lezione 54: Esercizi sulle isometrie del piano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254Lezione 55: Introduzione alle isometrie dello spazio. Classificazione delle matrici

3*3 ortogonali. Simmetria rispetto ad un piano passante per lorigine. . . . . . 258Lezione 56: Matrici ortogonali che rappresentano (nello spazio) la simmetria rispetto

ad un piano o la rotazione rispetto ad una retta (entrambi passanti per lorigine).262Lezione 57: Matrici che rappresentano una rotazione rispetto ad una retta seguita

dalla simmetria rispetto al piano ortogonale alla retta stessa. Classificazionedelle isometrie dello spazio sulla base del luogo dei punti fissi. . . . . . . . . . 266

Lezione 58: Esercizi sulle isometrie dello spazio. Rette sghembe nello spazio: cometrovare la distanza, i punti di minima distanza, ed un piano che contiene laprima e non interseca la seconda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

Lezione 59: Semplici esempi di studio di ellissi ed iperboli nel piano (non in formacanonica). Esponenziali e funzioni trascendenti di matrici. . . . . . . . . . . . 276

Lezione 60: Cambi di basi ed algoritmo jpeg (o mp3). . . . . . . . . . . . . . . . . 281

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