1

2

Urti

Quantità di moto

Cinematica rotazionale

La lezione di oggi

3

!  Quantità di moto e impulso

!  Urti elastici e anelastici

!  Cinematica rotazionale

4

La quantità di moto

" E’ una grandezza vettoriale

" Unità di misura: kg m s-1

" Dimensionalmente: [M][L][T-1]

vmp =

Se ho un sistema di n oggetti, la quantità di moto totale sarà:

n21totale vm...vmvmp

+++=

5

La seconda legge di Newton La seconda legge di Newton si scrive, nel caso più generale:

tpFΔ

Δ=∑

Nel caso particolare in cui la massa è costante, ottengo:

=Δ

Δ=∑ tpF

=Δ

Δ

t)vm(

am=Δ

Δ

tvm

Questa forma vale anche se varia la massa.

6

Impulso

tFI mediaΔ=

Definizione di impulso

7

Impulso tFI mediaΔ=

" E’ una grandezza vettoriale " Unità di misura: kg m s-1

" Dimensionalmente: [M]L][T-1] " Ha le stesse dimensioni e unità di misura della quantità di moto

Impulso e variazione della quantità di moto sono collegati:

parto dalla 2 legge di Newton

per ottenere

tpFΔ

Δ=

ItFp

=Δ=Δ

8

Esercizio Una palla da baseball di m = 0.144 kg viaggia con v = 43.0 ms-1,

quando viene colpita con una mazza che esercita una forza media di 6.50 kN per un tempo t = 1.30 ms.

Qual è il modulo della velocità finale della palla ?

ItFp media

=Δ=Δ

Nota: Il moto è unidimensionale

tFvm-vmp mediainizialefinale Δ==Δ

=−

=m

mv Δt Fv inizialemedia

finale

1--1-33

ms 15.7kg 0.144

)ms kg)(43.0 (0.144 - s) 10N)(1.30 10(6.50=

⋅⋅=

tF)(-mv-mv mediainizialefinale Δ=x

viniziale

vfinale

Fmedia

9

Conservazione della quantità di moto

Se la risultante delle forze che agisce su un oggetto è nulla, la quantità di moto si conserva (rimane costante)

Come la legge di conservazione dell’energia meccanica, questa è una delle leggi di conservazione fondamentali

∑ = 0F

tpFΔ

Δ=∑

0t/p =ΔΔ

inizialefinale pp =

2a legge di Newton

10

Forze interne e forze esterne !  Sistema: insieme di n oggetti, scelto arbitrariamente

"   Le forze interne al sistema non hanno effetto sulla quantità di moto totale di un sistema

"   Se la risultante delle forze esterne al sistema è zero, la quantità di moto totale del sistema si conserva

11

1-

111 ms -0.42t

mF-t-av- ===Canoa 1

Esercizio Una persona della canoa 1 spinge la canoa 2 con una forza di 46 N per un tempo t=1.20 s.

Se m1 = 130 kg e m2 = 250 kg, calcolare la quantità di moto

acquistata da ciascuna canoa

x

Nota: Il problema è unidimensionale

1-

222 ms 0.22t

mFtav ===Canoa 2

-1-1111 ms kg 55)ms kg)(-0.42 (130vmp −===

-1-1222 ms kg 55)ms kg)(0.22 (250vmp ===

Avrei potuto risolvere il probema usando:

Ftp1 =Ftp2 =

12

1-

111 ms -0.42t

mF-t-av- ===

Esercizio Una persona della canoa 1 spinge il molo con una forza di 46 N per un

tempo t=1.20 s.

Se m1 = 130 kg, calcolare la quantità di moto della canoa dopo la spinta.

x

Nota: Il problema è unidimensionale

vmolo = amolot =F

mmolo

t ≅ 0

perché?

-1-1111 ms kg 55)ms kg)(-0.42 (130vmp −===

F2 Canoa

MOLO

MT=5.9742 × 1024 kg

13

Esercizio Un’ape atterra su un bastoncino di massa 4.75 g che galleggia

sull’acqua e cammina con velocità 3.80 cm/s. Il bastoncino, di conseguenza,

si muove in verso opposto con velocità di 0.12 cm/s. Calcolare la massa dell’ape.

x

vape

vbastoncino

14

00m0mp bastoncinoapeiniziale =⋅+⋅=

Soluzione esercizio 1 Problema: Un’ape atterra su un bastoncino di massa 4.75 g e cammina con velocità 3.80 cm/s. Il bastoncino, di conseguenza, si muove in verso opposto con velocità di 0.12 cm/s.

Calcolare la massa dell’ape. Nota: Il problema è unidimensionale

x

vape

vbastoncino

0pvmvmp inizialefinale ,bastoncinobastoncinofinale ape,apefinale ==−=

g 15.0v

vmm

finale ape,

finale ,bastoncinobastoncinoape ==

Sul sistema ape-bastoncino non agiscono forze esterne.

0p =Δ

finale ,bastoncinobastoncinofinale ape,apefinale vmvmp

+=

15

!  Quantità di moto e impulso

!  Urti elastici e anelastici

!  Cinematica rotazionale

16

Urti elastici e urti anelastici !  Urto elastico: si conserva p e K

!  Urto anelastico: si conserva p e non K

!  Urto completamente anelastico: dopo l’urto gli oggetti rimangono attaccati

completamenteanelastico

elastico

p: quantità di moto K: energia cinetica

17

Esercizio Un’automobile di m1 = 950 kg e v1= 16 m/s si scontra con un angolo di

90o contro un’altra automobile di m2 = 1300 kg e v2 = 21 m/s. Nell’ipotesi che i due veicoli rimangano attaccati e che le forze esterne siano trascurabili, calcolare modulo e velocità dei veicoli dopo l’urto.

Sul sistema non agiscono forze esterne

0p =Δ

m1 ,v1

m2 ,v2

x

y

Prima dell’urto

x

y

m1+m2, ,vfinale

θ"

Vfinale cosθ

Vfinale senθ

Dopo l’urto

I due oggetti rimangono attaccati dopo l’urto !

Urto completamente anelastico Kin ≈ 3 ×105J

18

Esercizio

Asse x cosθv)m(mvm finale2111 +=

m1 ,v1

m2 ,v2

x

y

Prima dell’urto

x

y

m1+m2, ,vfinale

θ"

Vfinale cosθ

Vfinale senθ

Dopo l’urto

Asse y senθv)m(mvm finale2122 +=

o61vmvm

arctanθ11

22 ==

Kfin ≈ 2×105J < Kin

11finale21 vmcosθ)vm(m =+ 1

21

11finale ms 14

)cosθm(mvm

v −=+

=

19

Esercizio Due pietre da curling di m = 7.0 kg si urtano. Il disco 1 si muove con v1i = 1.5 m/s e il disco 2 è fermo. Dopo l’urto, il disco 1 si muove con

v1f = 0.61m/s e angolo di 66o rispetto alla direzione iniziale. Calcolare modulo e velocità del disco 2.

Sul sistema non agiscono forze esterne

0p =Δ

Urto elastico

0K =Δ

20

Esercizio

Asse x θcosvmcos66vmvm f 2,2o

f 1,1i 1,1 +=

Asse y senθvmsen66vm0 f 2,2o

f 1,1 −=

o

f 2,2

of 1,1i 1,1

230.92 acos

92.0vm

cos66vmvmcosθ

=

=−

= 1o

2

of 1,1

f 2, 1.4mssen23m

sen66vmv −==

21

Esercizio Per verificare che questo è davvero un urto elastico,

calcolo la variazione di energia cinetica

J 7.9 )5ms(7.0kg)(1.21vm

21K 212

i1,1iniziale === −

=+= 2f2,2

2f1,1finale vm

21 vm

21K

J 7.9 )4ms(7.0kg)(1.21 )61ms(7.0kg)(0.

21 2121 =+= −−

22

!  Quantità di moto e impulso

!  Urti elastici e anelastici

!  Il centro di massa

!  Cinematica angolare

23

Posizione angolare

Convenzione

  θ > 0: verso antiorario

  θ < 0: verso orario

24

Radiante Radiante

Angolo che sottende

un arco di circonferenza

uguale al raggio

s = r θ , θ = 1 radiante

1 giro

(o rivoluzione)

θ = 360o s = 2πr

θ = 360o=2π radianti" 1 radiante = 57.3o"

25

Velocità angolare e periodo

! Unità di misura: radianti/s (rad/s)

! ω>0 ! rotazioni antiorarie

! ω<0 ! rotazioni orarie

Δtθθ

ΔtΔθ ω inizialefinale −==

Periodo (T) = tempo necessario ad effettuare un giro intero

ω2πT

T2π ω =→=

Ripendiamo qui nozioni già introdotte nella lezione III (moto circolare e armonico)

26

Velocità angolare come vettore

27

Accelerazione angolare

ΔtΔω α =

!  Unità di misura: radianti/s2 (rad.s -2)

!  Per il segno, devo fare attenzione:

in modulo in modulo in modulo in modulo

28

Cinematica rotazionale Dalle definizioni di θ, ω, α posso ricavare

le equazioni della cinematica rotazionale

nel caso di a costante

200 αt

21tωθθ ++=

αtωω 0 +=

29

Grandezze lineari e rotazionali

θ"

vtangenziale

Velocità tangenziale:

velocità del punto sulla circonferenza

v =ω ⋅ rPosizione

posizione del punto sulla circonferenza

P

s =θ ⋅ rθ in radianti!

30

Il moto circolare La palla percorre una traiettoria circolare perché è sottoposta a un’accelerazione:

! Modulo costante

! Direzione radiale

! Verso: verso il centro

Punto per punto, cambiano direzione e verso della velocità (tangenziale);

non cambia il modulo

Accelerazione centripeta

rv a

2

c =r

vm maT2

c ==

31

Accelerazione tangenziale e centripeta

Il bambino si muove sulla circonferenza e

la sua velocità angolare varia

Accelerazionetangenziale ! ω varia αra etangenzial ⋅=

Accelerazionecentripeta ! Si muove su una circonferenza rω

rva 22

centripeta ⋅==

32

Esercizio Una ruota gira con velocità angolare uguale a 3.40 rad/s.

Al tempo t0 comincia a rallentare e si ferma dopo 1 giro e un quarto. Calcolare: 1.  L’accelerazione angolare, assumendo che sia costante 2.  Il tempo necessario alla ruota per fermarsi.

10 srad 3.40ω −⋅=

Condizioni a contorno

π252π

412πθ finale =+=0θ0 =

0ωfinale =

200 αt

21tωθθ ++=

αtωω 0 +=

-2srad 0.736- α ⋅= s 4.62 t =ricavo t dalla (b) e sostituisco nella (a) per ricavare α"

21- αt21t)srad (3.40 rad 0π

25

+⋅⋅+=(a)

αt)srad 3.40(0 1 +⋅= −(b)

33

Il microematocrito (= Ultracentrifuga) In una ultracentrifuga per microematocrito, piccole quantità di sangue sono poste in provette con eparina. Le provette ruotano a 11500 giri/minuto con il fondo a 9.0 cm dall’asse di rotazione.

Calcolare:

1. Il modulo della velocità tangenziale delle cellule al fondo della provetta

2. L’accelerazione centripeta nello stesso punto

3. L’accelerazione centripeta in unità di g

1-1-

-1-1

srad 1200)minutos (60

)girorad π2()minutogiri (11500 ω ⋅=

⋅

⋅⋅⋅=

v = ωr = 110 ms-1

-25-22centripeta ms 101.3 ms 130000 r ω a ⋅===

acentripeta (in unità di g) = 1.3⋅105 ms-2

9.81 ms-2 = 1.3⋅104 g

34

Una nuova legge di conservazione: la conservazione della quantità di moto

Cinematica rotazionale è analoga allacinematica traslazionale

Prossima lezione: La biomeccanica

Riassumendo