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“IDRAULICA DEI TERRENI”
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZEDipartimento di Ingegneria Civile e AmbientaleSezione geotecnica (www.dicea.unifi.it/geotecnica)
Johann Facciorusso
Corso di GeotecnicaIngegneria Edile, A.A. 2010\2011
[email protected]://www.dicea.unifi.it/~johannf/
L’acqua nel terrenoDr. Dr. Ing.Ing. JohannJohann FacciorussoFacciorussoCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileA.A. 2010/2011A.A. 2010/2011
Nell’affrontare la maggior parte dei problemi dell’Ingegneria Geotecnica non si può prescindere dalla presenza dell’acqua nel terreno.
L’ACQUA NEL TERRENO
In un deposito di terreno, si distinguono, al variare della profondità, zone a differente grado di saturazione, in cui l’acqua presente nei vuoti si trova in condizioni diverse.
Zona di evapotraspirazione
Zona di ritenzione
Acq
ua so
spes
a
Zona
vad
osa
Zona
di f
alda
Frangia capillare
Falda
Acq
ua d
i fal
dau > 0
u < 0
Zona parzialmente satura(Sr decrescente verso l’alto )
Zona completamente satura(Sr = 100 % )
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L’acqua nel terreno
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Dr. Dr. Ing.Ing. JohannJohann FacciorussoFacciorussoCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileA.A. 2010/2011A.A. 2010/2011
TIPI DI FALDA
Acquifero confinato(falda artesiana)
Falda freatica
Falda sospesa
Infiltrazione
Terreno con permeabilitàmolto bassa
Livello piezometrico
Roccia
piezometri
L’acqua nel terreno
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STATO DI MOTO E DI QUIETEAllo stato naturale o in conseguenza di perturbazioni dell’equilibrio, l’acqua nel terreno può trovarsi in condizioni di:
STAZIONARIO (PERMANENTE)Parametri del moto costanti nel tempo
Condizione tipica dei PROBLEMI DI FILTRAZIONE
QUIETE
MOTO (flusso mono‐, bi‐, tridimensionale)
NON STAZIONARIO (VARIO)Parametri del moto variabili nel tempo
Condizione tipica dei PROBLEMI DI CONSOLIDAZIONE
Velocità, V
Linea di flusso (o filetto fluido)
Def. La portata d’acqua q che attraversa una superficie, dA, ovvero “il volume d’acqua che attraversa la superficie dell’elemento nell’unità di tempo”, vale: q = Vn•dA
dAP
V
Vn
L’acqua nel terreno
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PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA MASSANel moto stazionario la quantità di acqua che entra in un elemento di
terreno è pari alla quantità di acqua che esce dallo stesso elemento, per il principio di conservazione della massa (filtrazione in regime permanente). Nel moto vario la quantità di acqua entrante in un elemento di terreno è
diversa da quella uscente (filtrazione in regime vario). Se il terreno è saturo, la differenza tra le due quantità può produrre il fenomeno della consolidazione o del rigonfiamento.
vz
dz
11
vz
dz
11
xy
z
dxdy
Vx dzdx
xvv x
x ∂∂
+
dzzVV z
z ∂∂
+
Vz
Vy
dyyV
V y
y ∂
∂+
Si consideri un elemento infinitesimo di terreno di dimensioni dx dy dz, attraversato da un flusso di acqua, di velocità V (di componenti Vx, Vy e Vz).La portata d’acqua entrante nell’elemento, qin, vale:
e quella uscente, qout, nella stessa direzione:
dydxvdzdxvdzdyvq zyxin ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
dydxdzzvv
dzdxdyyv
vdzdydxxvvq
zz
y
yx
xout
⋅⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
∂∂
++
⋅⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
∂
∂++⋅⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
∂∂
+=
Legge di Darcy
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CARICO PIEZOMETRICO E GRADIENTE IDRAULICOI moti di filtrazione di un fluido avvengono sempre tra un punto a cui compete energia maggiore ad un punto ad energia minore.
L’energia, espressa in termini di carico, o altezza (energia per unità di peso del liquido) è data dalla somma di tre termini:
altezza geometrica, z * (la distanza verticale del punto considerato da un piano orizzontale di riferimento arbitrario, z = 0, misurata positivamente se al di sopra, negativamente al di sotto)
altezza di pressione, u/γw (l’altezza di risalita dell’acqua rispetto al punto consideratoconsiderato, per effetto della sua pressione, u))
altezza di velocità, v2/2g (l’energia dovuta alla velocità, v, delle particelle del fluidodove g è l’accelerazione di gravità).
CARICO EFFETTIVO o TOTALE
CARICO PIEZOMETRICO*
g2vuzH
2
w
* +γ
+=
w
* uzhγ
+=N.B: h = ‐z+u/γw nel caso in cui l’asse z, come accade di solito in Geotecnica, sia orientato verso il basso (z*=‐z)
Legge di DarcyDr. Dr. Ing.Ing. JohannJohann FacciorussoFacciorussoCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileA.A. 2010/2011A.A. 2010/2011
TEOREMA DI BERNOULLI“Per un fluido perfetto, incomprimibile, in moto permanente, soggetto solo alla forza di gravità, il carico totale è costante lungo una traiettoria (linea di flusso)”
Essendo v = cost, tra i punti 1 e 2 (principio di conservazione della massa):
N.B L’acqua non è un fluido perfetto, quindi la perdita di energia totale in realtà è piccola ma non nulla.
Lz1
Piano di riferimento (z* = 0)
carico totale perfluido idealeu1γw
2
z2
u2γw
∆h12 = ∆H12
A1
A’
∆H12 = 0
∆h12 = 0
∆h12 ≅ 0
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Legge di DarcyDr. Dr. Ing.Ing. JohannJohann FacciorussoFacciorussoCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileA.A. 2010/2011A.A. 2010/2011
TEOREMA DI BERNOULLI
x
xx L
hi ∆=
Nel tubo contenente terreno invece si osserva una perdita del carico totale H:
Essendo v = cost, tra i punti 1 e 2
ed essendo nei terreni v ≅ 0 ⇒ H ≅ h
Def. Si definisce GRADIENTE IDRAULICO :
Lx
A1
z1
Piano di riferimento (z* = 0)
carico totale perfluido idealeu1γw
A’
2
∆h
z2
u2γw
H2 < H1
∆h12 = ∆H12
N.B. Il moto è monodimensionale(direzione di V costante)
x
x
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Legge di Darcy
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LEGGE DI DARCY
v = velocità apparente di filtrazioneik
Lhkv
AQ
⋅=⋅==∆
k = coefficiente di permeabilità
hkvrr
∇⋅−=Caso bi‐tridimensionale
zzzz
yyyy
xxxx
ikzhkv
ikyhkv
ikxhkv
⋅−=⋅−=
⋅−=⋅−=
⋅−=⋅−=
∂∂∂∂∂∂
anisotropia
E’ utile identificare una relazione tra caratteristiche del moto (velocità), proprietà del terreno e perdita di carico, con riferimento al caso di moto monodimensionale:
Il moto si sviluppa sempre da punti con h maggiori verso punti con h inferiori
Nel caso più generale di moto tridimensionale:
Legge di DarcyDr. Dr. Ing.Ing. JohannJohann FacciorussoFacciorussoCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileA.A. 2010/2011A.A. 2010/2011
vr AvAvQ ⋅=⋅=
nAA
vv v
r
==
v = n⋅vr < vr
vr = velocità reale di filtrazione
L < Lr
A
Av
L
Lr
vr
v = velocità apparente di filtrazione
VELOCITÀ REALE E APPARENTE
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Coefficiente di permeabilitàDr. Dr. Ing.Ing. JohannJohann FacciorussoFacciorussoCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileA.A. 2010/2011A.A. 2010/2011
COEFFICIENTE DI PERMEABILITÀIl coefficiente di permeabilità, k, ha le dimensioni di una velocità.
Esso rappresenta la resistenza viscosa e frizionale alla filtrazione di un fluido in un mezzo poroso.
Tale coefficiente dipende:dalle proprietà del fluido (densità, ρ e viscosità, µ)dalle caratteristiche del mezzo poroso (permeabilità intrinseca, kp)
pkgk ⋅⋅
=µρ
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TIPO DI TERRENO k (m/s) Ghiaia pulita 10
-2 - 1
Sabbia pulita, sabbia e ghiaia 10-5
- 10-2
Sabbia molto fine 10
-6 - 10
-4
Limo e sabbia argillosa 10-9
- 10-5
Limo 10
-8 - 10
-6
Argilla omogenea sotto falda < 10-9
Argilla sovraconsolidata fessurata 10
-8 - 10
-4
Roccia non fessurata 10-12
- 10-10
Coefficiente di permeabilitàDr. Dr. Ing.Ing. JohannJohann FacciorussoFacciorussoCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileA.A. 2010/2011A.A. 2010/2011
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Per i terreni a grana grossa la permeabilità dipende dalla:granulometria (contenuto di fine)indice dei vuotistato di addensamento (densità relativa)
Per i terreni a grana fine la permeabilitàdipende dalla:
composizione mineralogicastruttura
La permeabilità cresce al crescere del grado di saturazione(sebbene non si possa stabilire una relazione univoca tra le due grandezze)A grande scala la permeabilità di un terreno dipende anche dalle caratteristiche macrostrutturali di un terreno (discontinuità, fessurazioni)
Misura della permeabilitàDr. Dr. Ing.Ing. JohannJohann FacciorussoFacciorussoCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileA.A. 2010/2011A.A. 2010/2011
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DETERMINAZIONE DELCOEFFICIENTE DI PERMEABILITÀ
k = C⋅ (D10)2
con k [cm/s], D10 [cm],C = 100 ÷ 150
(sabbie sciolte uniformi)
Valgono per terreni a grana grossa.
FORMULA DI HAZEN(sabbie sciolte uniformi)
Stima mediante correlazioni empiriche
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Misura sperimentale in sito e in laboratorio
La misura sperimentale della permeabilità di un terreno può essere invece effettuata sia in laboratorio che in sito.per i terreni naturali le misure in sito risultano generalmente più
significative e quindi preferibili (essendo la permeabilità fortemente influenzata anche dai caratteri macrostrutturali)per i terreni utilizzati come materiale da costruzione sono significative
anche le prove di laboratorio.
Misura della permeabilità
curva granulometrica
CORRELAZIONI
Permeametro a carico costante
PROVE DI LABORATORIO
Permeametro a carico variabile
Prova edometrica
Prova in pozzetto superficiale
PROVE IN SITO
Prova in foro di sondaggio
Prova di pompaggio
Piezocono, dilatometro, ecc.
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Misura della permeabilità
Prova in foro di sondaggio (delicata esecuzione; misura locale)Prova di pompaggio (delicata esecuzione; significativa)
Permeametro a carico costante (facile esecuzione)
10‐3 10‐410‐1 10‐5 10‐6 10‐7 10‐810‐21 10‐9 10‐10 10‐11K [m/s]
PERMEABILITÀDRENAGGIO
TERRENO
MISURA DIRETTA
STIMA INDIRETTA
alta media bassa molto bassa impermeabilebuono povero praticamente nullo
ghiaie pulitesabbie pulite e miscele di ghiaie e sabbie pulite
sabbie fini, limi, miscele di sabbie, limi e argille,
depositi di argille stratificati
Argille omogenee non
alterate
Argille alterate
Permeametro a carico variabilefacile esecuz.;significativa
delicata esecuz.;poco significativa
Piezometro; Pressiometro; Piezocono(delicata esecuzione; misura locale)
curva granulometrica(solo per ghiaie e sabbie pulite)
prova edometrica
delicata esecuz.;molto poco significativa
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Misura della permeabilità
Misura sperimentale in laboratorioPer la misura del coefficiente di permeabilità in laboratorio vengono generalmente usati tre metodi:
il permeametro a carico costante, per k > 10‐5 m/sil permeametro a carico variabile, per 10‐8< k < 10‐5 m/si risultati della prova edometrica, per k < 10‐8 m/s
L Ah
C
Permeametro a carico costante
tAhLCk∆⋅⋅
⋅=
(Legge di Darcy)
tAvC ∆⋅⋅=
regime stazionario (parametri del moto costanti nel tempo)La portata che attraversa il campione, costante nel tempo, vale: t/CAVQ ∆=⋅=
tALhktAiktAvC ∆⋅⋅⋅=∆⋅⋅⋅=∆⋅⋅=
)ikv( ⋅=
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Misura della permeabilità
L Aa
h0
h1
dt/dhaALhk ⋅−=⋅⋅
∫∫ ⋅⋅=⋅1
1
1t
t
h
h o
o
dtLAkdh
ha )tt(
LAk
hhlna o1
1
o −⋅=⋅
( ) ( ) 110
111log3.2ln
hh
ttALa
hh
ttALak o
o
o
o −⋅⋅
=−⋅⋅
=
(Separando le variabili e integrando)
Permeametro a carico variabileregime vario (parametri del moto variabili nel tempo)
Con riferimento ad un intervallo di tempo infinitesimo dt, in cui il livello d’acqua nel piezometro si è abbassato di dh, la portata che attraversa il campione vale: dt/dhadt/dVAVQ ⋅==⋅=
(Legge di Darcy: )ikv ⋅=
dt/dhaAv ⋅−=⋅
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Misura della permeabilità
Misura sperimentale in sito
Per la misura del coefficiente di permeabilità in sito si può ricorrere a tre tipi di prove:prove in pozzetto superficialeprove in foro di sondaggioprove di emungimento
Prove in pozzetto superficiale
prove speditive e di facile esecuzione forniscono misure del coefficiente di permeabilità limitate agli strati piùsuperficiali si eseguono in genere su terreni che costituiscono opere di terra durante la loro costruzione sono preferibili per terreni aventi permeabilità maggiori di 10‐6 m/s, e posti sopra falda
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Misura della permeabilità
d > 10-15 diametro massimo dei granuli
h > d/4m
H > 7 hm
Pozzetto a base quadrata (d) o circolare (b)
La prova si esegue in modalità:− a carico costante (viene immessa una certa portata, q, per mantenere costante il livello dell’acqua nel pozzetto)− a carico variabile (viene registrato l’abbassamento (h1–h2) del livello dell’acqua nel pozzetto in un certo intervallo di tempo (t2‐t1) )
π1⋅
⋅=
mhdqk
mhtthhdk 1
32 12
21 ⋅−−
⋅=
327
12
+⋅⋅=
bhb
qkm 327
21
12
21
+⋅
⋅+⋅
−−
=
bh
bh
tthhk
m
m
Pozzetto circolare
Pozzetto quadrato
Carico costante Carico variabile
19/5719/57
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Misura della permeabilità
Prove in foro di sondaggio
‐ Prove a carico costante
‐ Prove a carico variabile
Prove di immissione(sopra o sotto falda)
Prove di emungimento(solo sotto falda)
Prove di abbassamento(sopra o sotto falda)
Prove di risalita(solo sotto falda)
Possono essere eseguite a varie profondità durante la perforazione Forniscono generalmente un valore puntuale della permeabilitàLe pareti del foro devono essere rivestite con una tubazione fino allaprofondità a cui si vuole effettuare la misura di permeabilità Nei terreni che tendono a franare il tratto di prova viene riempito dimateriale filtrante e isolato mediante un tampone impermeabile
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Misura della permeabilità
Schema della prova
h
L
Filtro
D
h1h
2
Q
h
a)
L
Tubo di rivestimento
D
h1h
2
QRivestimento esterno
Tampone impermeabile
Tubazione interna
a) b)a) SENZA FILTROb) CON FILTRO
F60/F10 ≤ 2
4D15 ≤ F15 ≤ 4D85
Caratteristiche del filtro:
TerrenoFiltro
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Misura della permeabilità
Prova a carico costanteViene misurata, a regime, la portata, emunta o immessa, Q [m3/s], necessaria a mantenere costante il livello dell’acqua nel foro, h [m], misurato rispetto alla base del foro se la prova è eseguita sopra falda, oppure rispetto al livello di falda se la prova è eseguita sotto falda. La permeabilità k [m/s] è data dalla formula empirica:
hFQk⋅
= [m/s] dove F [m] un fattore di forma, dipendente dalla forma e dalla geometria della sezione filtrante (cilindrica, sferica, piana).
Prova a carico variabileVengono effettuate prelevando acqua dal foro in modo da abbassarne il livello di una quantità nota e misurando la velocità di risalita (prove di risalita) oppure immettendo acqua nel foro in modo da alzarne il livello di una quantità nota e misurando la velocità di abbassamento (prove di abbassamento). Il coefficiente di permeabilità k [m/s] è dato dalla formula empirica:
( ) 2
1
12 hhln
ttFAk ⋅−⋅
=[m/s] dove A [m2] è l’area della sezione filtrante, h1 e h2
[m], sono il livello dell’acqua nel foro agli istanti t1 e t2 [s], misurati rispetto alla base del foro se la prova è eseguita sopra falda, oppure rispetto al livello di falda se la prova è eseguita sotto falda .
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Misura della permeabilità
Osservazioni
1. Il valore del coefficiente di permeabilità misurato durante le prove di abbassamento è in genere inferiore al valore misurato, per lo stesso terreno, durante le prove di risalita.
2. Una stima più attendibile del valore del coefficiente di permeabilità può essere eseguita determinando la media geometrica dei valori ricavati con prove di risalita (kr) e di abbassamento (ka), ovvero:
3. In un deposito stratificato il coefficiente di permeabilità verticale, kV, risulta in genere differente dal coefficiente di permeabilità orizzontale, kH. Per il valore misurato durante una prova in foro di sondaggio,k, con una sezione filtrante di lunghezza L e diametro D, si assume:k = kV (per L/D tendente a 0, caso limite sezione piana L = 0)k = kH (per L/D ≥ 1.2)
k = (per 0 ≤ L/D ≤ 1.2)
ar kkk ⋅=
VHmedio kkk ⋅=
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N.B. Per una corretta interpretazione della prova è necessario conoscere lastratigrafia, l’estensione dell’acquifero e le condizioni iniziali dellafalda La prova fornisce un valore medio del coefficiente di permeabilitàdell’acquifero
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Misura della permeabilità
Prove di pompaggioLe prove di pompaggio vengono eseguite in terreni con permeabilità medio‐alta, al di sotto del livello di falda.Consistono nell’abbassare il livello della falda all’interno di un pozzo, opportunamente realizzato, e nell’osservare in corrispondenza di un certo numero di verticali, strumentate con piezometri, l’abbassamento una volta raggiunto un regime di flusso stazionario.
Le prove di emungimento vengono interpretate attraverso modelli matematici come problemi di flusso transitorio, tenendo presente che:nel caso di acquifero confinato (falda artesiana) le linee di flusso sono
orizzontali e le superfici equipotenziali sono cilindri concentrici rispetto al pozzo;nel caso di acquifero non confinato (falda freatica) le linee di flusso (e le
superfici equipotenziali) sono curve.
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Misura della permeabilità
Prove di pompaggio in acquiferi confinati
QPozzo Piezometri di controllo
Livello piezometrico iniziale
Acquifero confinato
Pompa sommersa Superfici equipotenzialiLinee di flusso
h
b
h1r
1 r2
s1
s2
h2
D = 200 ÷ 400 mm
Cono di depressione
Tubo finestrato
)hh(
)rrln(
b2Qk
12
1
2
−⋅
⋅=
π[m/s] Q [m3/s], b [m],
Roccia
Terreno poco permeabili
Terreni impermeabili
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26/5726/57
Misura della permeabilità
Prove di pompaggio in acquiferi non confinati
Q
h
h1r
1
r2
s1
s2
h2
Pompa sommersa Superfici equipotenzialiLinee di flusso
Pozzo
Acquifero non confinato
Piezometri di controllo
Livello piezometr
)hh(
)rrln(
Qk 21
22
1
2
−⋅=
π
Roccia
Terreno poco permeabili
Terreni impermeabili
[m/s] Q [m3/s]
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Misura della permeabilità
PERMEABILITÀ DI TERRENI STRATIFICATI
FILTRAZIONE IN PARALLELO
q H
kh1, H1 q1 q2 kh2, H2
qn kn, Hn
a)
q
H
Il gradiente idraulico i è lo stesso per tutti gli N strati. Applicando la legge di Darcy:vi = kHi i ∀iqi = vi ⋅ Hi ∀i
La portata di filtrazione totale è:q = ∑ qi =∑ (vi ⋅ Hi) =∑(kHi ∙Hi ∙i)
dove v = kH i è la velocità media e kH è il coefficiente di permeabilità medio orizzontale
HHk
k ihiH
∑ ⋅=
Per terreni stratificati, il valore medio del coefficiente di permeabilità è fortemente condizionato dalla direzione del moto di filtrazione
(kH influenzato dallo strato più permeabile)
q = v ⋅ H =kH ∙H ∙ i
Eguagliando si ottiene:
27/5727/57
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Misura della permeabilità
q
H
kv1, H1 kv2, H2
kv, Hn
q
kv1, H1
kv2, H2
kvn, Hn
H
FILTRAZIONE IN SERIE
v = kv1 i1 = kv2 i2 = . . . . . = kvn in
La portata (e quindi la velocità) di filtrazione è la stessa per tutti gli strati. Applicando la legge di Darcy:
dove kV è il coefficiente di permeabilità medio verticale, im il gradiente idraulico medio e h la perdita di carico totale, che è pari a:
v = kV im = kV ∙ (h/H)
( ) ∑∑ ∑ ∑ ⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=⋅==
vi
i
vi
iiii kHv
kvHiHhh
∑=
vi
iV
kH
Hk (kv influenzato dallo strato meno permeabile)
OSS. A causa dell’orientamento dei grani nella fase di deposizione, kH, risulta generalmente maggiore, anche di un ordine di grandezza, di kV.
v = kV ∙ (h/H) = (kV/H)∙ v ∙∑(Hi/kvi)
Sostituendo si ottiene:
28/5728/57
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29/5729/57
Moti di filtrazione
EQUAZIONE GENERALE DEL FLUSSO DI UN FLUIDO ATTRAVERSO UN MEZZO POROSO
Si consideri un elemento infinitesimo del mezzo poroso (terreno) di dimensioni dx dy dz, attraversato da un flusso di fluido (acqua), con velocità di filtrazione (apparente), V (di componenti Vx, Vy e Vz)
dpdmvq nwen ⋅⋅⋅γ=
dpdmdnnvvq n
nwun ⋅⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
∂∂
+⋅γ=
vz
dz
11
vz
dz
11
xy
z
dxdy
Vx dzdx
xvv x
x ∂∂
+
dzzVV z
z ∂∂
+
Vz
Vy
dyyV
V y
y ∂
∂+
La portata d’acqua (in peso) entrante nell’elemento, qin,x, nella direzione x (oppure y, z) vale:
e quella uscente, qout,x, nella stessa direzione:
dzdyvq xwx,in ⋅⋅⋅γ=
dzdydxxvvq x
xwx,out ⋅⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
∂∂
+⋅γ=
)dzdxvq( ywy,in ⋅⋅⋅γ= )dydxvq( zwz,in ⋅⋅⋅γ=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
∂
∂+⋅γ= dzdxdy
yv
vq y
ywy,out
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
∂∂
+⋅γ= dydxdzzvvq z
zwz,out
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30/5730/57
Moti di filtrazione
(I) Con riferimento alla prima parte dell’equazione di continuità:
Si applica l’equazione di continuità
=Qin – Qout(nell’unità di tempo) t
Pw
∂∂ Pw = peso d’acqua contenuta nell’elemento
Qin = portata d’acqua entrante = qin,x+qin,y+qin,zQout = portata d’acqua uscente = qout,x+qout,y+qout,z
Nel caso di moto stazionario Pw = cost:(I) (II)
Qin = Qout (principio di conservazione della massa)
dzdydxzv
yv
xvQQ zyx
woutin ⋅⋅⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂
∂+
∂∂
⋅γ−=−
Se si applica la legge di Darcy:
dzdydx
zh
zk
zhk
yh
yk
yhk
xh
xk
xhk
z2
2
z
y
2
2
y
x2
2
x
w ⋅⋅⋅
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂⋅
∂∂
+∂∂⋅+
+∂∂⋅
∂
∂+
∂∂⋅+
+∂∂⋅
∂∂
+∂∂⋅
⋅γ=
hkVrr
∇⋅−=
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Moti di filtrazione
e, assumendo la permeabilità è costante lungo ciascuna delle tre direzioni : 0
zk
yk
xk zyx =
∂∂
=∂
∂=
∂∂
dzdydxzhk
yhk
xhkQQ
2
2
z2
2
y2
2
xwoutin ⋅⋅⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂⋅+
∂∂⋅+
∂∂⋅⋅γ=−
essendo: rswrvwwww SeVSVVP ⋅⋅⋅γ=⋅⋅γ=⋅γ=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂⋅+
∂∂⋅⋅⋅γ=
∂∂
teS
tSeV
tP
rr
sww
N.B. Si assumono l’acqua e le particelle solide incompressibili
(II) Con riferimento alla seconda parte dell’equazione di continuità:
ed essendo: 1VV
VVV
VVe
SS
S
S
V −=−
== ovvero: e1dzdydx
e1VVS +
⋅⋅=
+=
dzdydxteS
tSe
e11
tP
rr
ww ⋅⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂⋅+
∂∂⋅⋅
+⋅γ=
∂∂
31/5731/57
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32/5732/57
Moti di filtrazione
Eguagliando la I e la II, si ottiene l’equazione generale del flusso di un fluido attraverso un mezzo poroso omogeneo ed isotropo, nell’ipotesi diincompressibilità del fluido e dello scheletro solido e dottenuta applicando l’equazione di continuità e la legge di Darcy :
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂⋅+
∂∂⋅⋅
+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂⋅+
∂∂⋅+
∂∂⋅
teS
tSe
e11
zhk
yhk
xhk r
r2
2
z2
2
y2
2
x
Nel caso di isotropia del mezzo rispetto alla permeabilità (k = kx = ky = kz)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
⋅2
2
2
2
2
2
zh
yh
xhk
Nel caso di flusso monodimensionale(nella direzione x)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂⋅+
∂∂⋅⋅
+=
∂∂⋅
teS
tSe
e11
xhk r
r2
2
(I) (II)
te
e1Sr
∂∂⋅
+Consolidazione o rigonfiamento
(Sr = cost. = 1; e= variabile)
Drenaggio o imbibizione(Sr = variabile, e = cost.)
tS
e1e r
∂∂⋅
+
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Moti di filtrazione
Nell’ipotesi di filtrazione permanente (o stazionaria):
0tS
te r =
∂∂
=∂∂
Kx = ky = kz
0zh
yh
xh
2
2
2
2
2
2
=∂∂
+∂∂
+∂∂ EQUAZIONE DI LAPLACE
FILTRAZIONE PERMANENTE
e terreno isotropo:
(Sr = cost. = 1; e = cost)
l’equazione generale del flusso diventa:
Nel caso di flusso bidimensionale (moto piano), ad es. sul piano x,z, l’equazione generale del flusso stazionario diventa :
che viene in genere risolta per via numerica o grafica, una volta definite le condizioni al contorno (il moto è indipendente dal tempo).
0zh
xh
2
2
2
2
=∂∂
+∂∂
33/5733/57
∆a
∆q
∆b
∆h
Cana
le di
flus
so
Campo
Linee di flusso
Linee equipotenziali
h
h-h∆
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34/5734/57
Moti di filtrazione
La soluzione dell’equazione di Laplace bidimensionale può essere rappresentata graficamente da due complessi di curve (le linee di flusso e le linee equipotenziali) che si tagliano ad angolo retto (rete di filtrazione):
Le linee di flusso sono i percorsi dei filetti liquidi nella sezione trasversale, ne esistono infinite e lo spazio tra due linee di flusso successive viene chiamato canale di flusso e vi scorre una portata costante d’acqua ∆q. Le linee equipotenziali sono le linee di eguale energia potenziale, ovvero di eguale carico idraulico, ne esistono infinite e la distanza fra due linee equipotenziali successive indica in quanto spazio si è dissipata una quantità costante ∆hdel carico idraulico.
RETICOLO DI FILTRAZIONE
Lo spazio (l’area) delimitata da due linee di flusso successive e da due linee equipotenziali successive è detta campo. Il campo è la maglia della rete di filtrazione.
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Moti di filtrazione
i canali di flusso abbiano eguale portata ∆q,la perdita di carico fra due linee
equipotenziali successive ∆h=h/N sia costante,i campi siano approssimativamente
quadrati (∆a ≅ ∆b).
Per disegnare la rete di filtrazione, una volta note le condizioni al contorno ovvero alcune linee di flusso o equipotenziali che delimitano la rete (ad es. le superfici impermeabili sono linee di flusso e le superfici libere di falda sono equipotenziali) e la perdita di carico totale, h, e scelto il numero di dislivelli N, occorre che:
La portata di filtrazione per ogni canale di flusso è:
Nhk
bNahkavq ⋅≅
∆⋅∆⋅⋅
=∆⋅=∆ e la portata totale:NNhkqNQ 1
1 ⋅⋅=∆⋅=
A
F
D
E
G
K H B C J L
35/5735/57
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FORZE DI FILTRAZIONE
z
B
O
h2
h1 B
z
A
OP
h
A
h2
h1
z
A
O
hB
h2
h1
PP
Come si modifica il regime delle pressioni (totali, efficaci e interstiziali) in un punto del terreno, passando da una condizione di fluido in quiete (regime idrostatico), ad una con moto di filtrazione (in regime stazionario)?
CASO 1 CASO 2 CASO 3
Sabbia satura Serbatoio
Verifiche idrauliche
36/5736/57
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37/5737/57
Caso 1 (Assenza di filtrazione)
σz = γsat⋅z + γw⋅h1
Nel generico punto P:
u = γw⋅(h1+z)
σ’z = σz – u = γsat⋅z + γw⋅h1 ‐ γw⋅(h1+z) = γ’⋅z essendo γ’ = γsat ‐ γw
Non c’è differenza di carico tra i due punti, A e B, appartenenti alla due superfici libere l’acqua è in quiete
w
w
w
1
1
1
1
B
O
A
γ h
h
γ
γ (h + h )
h2
h1
Pu
z
0
Q
h
z
0
1h
h
z
0
Verifiche idrauliche
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38/5738/57
Caso 2 (Filtrazione discendente)La differenza di carico tra A e B attiva un moto di filtrazione (da A a B)
Hp: La perdita di carico ∆h tra A e B avviene tutta nel terreno (tra O e Q), è costante nel tempo, e il carico piezometrico h varia linearmente all’interno del campione tra h1 (in O) e h1‐∆h (in Q)
ww
11
h2
h1 BA
OP
h
γ γ
u
z
w
w
1
1 2
γ h
γ (h + h - h)wγ z i
u
Q
0
1h
h
z
0
1h - h
Verifiche idrauliche
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σz (z) = γsat⋅z + γw⋅h1
Nel generico punto P (a profondità z):
Legge di variazione del carico:
zihzhhh)z(h 1
2
1 ⋅−=⋅∆
−=
e per definizione di carico piezometrico:
w
uz)z(hγ
+−=
zi)hz()]zih(z[]hz[)z(u ww11ww ⋅⋅γ−γ⋅+=⋅−+⋅γ=+⋅γ=
σ’z (z) = σz – u = γsat⋅z + γw⋅h1 ‐ γw⋅(z+h1) + γw ∙ i∙z = γ’⋅z + γw ∙ i∙z
*N.B. La pressione interstiziale nel generico punto P può essere anche calcolata interpolando linearmente i valori assunti nei punti O (determinato dal livello della falda superiore) e nel punto Q (determinato dal livello d’acqua nel piezometro).
(Il piano di riferimento z*=0 coincide col p.c. e perciò z* = ‐z)
Verifiche idrauliche
39/5739/57
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Caso 3 (Filtrazione ascendente)La differenza di carico tra A e B attiva un moto di filtrazione (da A a B)
Hp: La perdita di carico ∆h tra B e A avviene tutta nel terreno (tra Q e O), è costante nel tempo, e il carico piezometrico h varia linearmente all’interno del campione tra h1 (in Q) e h1‐∆h (in O)
h2
h1
A
O
B
P
w w
11
h
γ γ
u
z
w
w
w
1
1 2
γ h
γ (h + h + h)γ z i
Q
0
1h
h
z
0
1h + h
Verifiche idrauliche
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σz (z) = γsat⋅z + γw⋅h1
Nel generico punto P (a profondità z) la tensione verticale totale non cambia:
Legge di variazione del carico diventa:
zihzhhh)z(h 1
2
1 ⋅+=⋅∆
+=
e per definizione di carico piezometrico:
w
uz)z(hγ
+−=
zi)hz()]zih(z[]hz[)z(u ww11ww ⋅⋅γ+γ⋅+=⋅++⋅γ=+⋅γ=
σ’z (z) = σz – u = γsat⋅z + γw⋅h1 ‐ γw⋅(z+h1) ‐ γw ∙ i∙z = γ’⋅z ‐ γw ∙ i∙z
*N.B. La pressione interstiziale nel generico punto P può essere anche calcolata interpolando linearmente i valori assunti nei punti O (determinato dal livello della falda superiore) e nel punto Q (determinato dal livello d’acqua nel piezometro).
(Il piano di riferimento z*=0 coincide col p.c. e perciò z* = ‐z)
Verifiche idrauliche
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GRADIENTE IDRAULICO CRITICOIn presenza di filtrazione la pressione interstiziale è data dalla somma di una componente idrostatica e di una componente idrodinamica (PRESSIONE DI FILTRAZIONE):
u = γw⋅(z + h1) ± γw ∙ i∙z
COMPONENTEIDROSTATICA
COMPONENTEIDRODINAMICA
‐ Filtrazione discendente+ Filtrazione ascendente
La pressione efficace in presenza di filtrazione ascendente vale: σ’z = γ’⋅z ‐ γw ⋅ i⋅ze si annulla quando il gradiente idraulico è pari a:
wc
'iγγ
= GRADIENTE IDRAULICO CRITICO
OSS. 1. Il valore di ic dipende esclusivamente dal peso di volume del terreno2. Essendo γ’ ≅ γw, il valore di ic è prossimo all’unità
Verifiche idrauliche
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Verifiche idrauliche
SIFONAMENTOIn un terreno privo di legami coesivi, in presenza di filtrazione ascendentequando i = ic, si annullano le forze intergranulari, si annulla la resistenza del terreno e le particelle solide possono essere trasportate dall’acqua in movimento, dando origine ad un fenomeno progressivo di erosione che conduce al collasso della struttura del terreno.
Tale fenomeno è noto come instabilità idrodinamica (o sifonamento)
Il fattore di sicurezza globale nei confronti del sifonamento è il rapporto tra il gradiente idraulico critico, ic, e quello presente in esercizio (gradiente di efflusso), iE :
E
c
iiFS =
N.B. Essendo il sifonamento un fenomeno improvviso, senza segni premonitori, ed essendo difficile tener conto di fattori quali l’eterogeneità e l’anisotropia del terreno, si adottano valori alti di FS (> 3.5 ÷ 4)
Verifica puntuale in termini di tensioni
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Verifiche idrauliche
p.c.
p.c.
H
D
A
B
In prima approssimazione, con riferimento al percorso di filtrazione più corto, A‐B (situazione più critica), nell’ipotesi di perdita di carico lineare con la profondità e trascurando lo spessore del diaframma, il gradiente di efflusso, iE, è dato da:
iE ≅ H/(H+2D) ≅ H/2D
dove:H è la perdita di carico tra i due punti
A e B della superficie liberaD è la profondità d’infissione del
diaframma.
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45/5745/57
Verifiche idrauliche
Scavo in un mezzo di spessore infinito
Scavo nastriforme in un mezzodi spessore infinito
Trincea in un mezzodi spessore limitato
i E
α
b/Dh/D
i E
Per una più precisa determinazione del gradiente di efflusso, iE, e considerato che in genere la perdita di carico non è lineare con la profondità (in particolare segue andamenti differenti nel tratto discendente e ascendente) si può ricorrere ad uno dei seguenti diagrammi:
h/D
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Verifiche idrauliche
SOLLEVAMENTO DEL FONDO SCAVO
Il sollevamento del fondo scavo è un fenomeno analogo al sifonamento, dovuto alle forze di filtrazione al piede di un diaframma, che si estende a tutta la profondità D dello scavo per una larghezza pari a D/2
Forza instabilizzante (forze di filtrazione dovute alla componente idrodinamica della pressione interstiziale):Sw = γw⋅ Hc⋅D/2
Forza stabilizzante (peso immerso del cuneo di terreno):
W’ = γ’ ⋅D ⋅ D/2
p.c
p.c.
D
A
E
H
Hc
γw c
H
D/2
D
SOVRAP‐PRESSIONI
(COMPONENTEIDRODINAMICA)
Verifica a lungo termine
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Verifiche idrauliche
2HHc ≅
Quando non si conosce il valore di Hc, nell’ipotesi che la perdita di carico vari linearmente con la profondità, essendo:
o più cautelativamente:
D2HDHHc +⋅
≅
Per incrementare il valore di FS si possono adottare le seguenti soluzioni:aumentare la profondità di infissione in modo da ridurre il gradiente diefflusso;disporre sul fondo dello scavo in adiacenza al diaframma un filtro costituito damateriale di grossa pezzatura in modo da incrementare le tensioni efficaci:
2/2/' 2
DHWDFS
cw ⋅⋅+⋅
=γγ dove W è il peso del filtro
inserire dei dreni in modo da ridurre le sovrappressioni.
iE ≅ H/(H+2D)= Hc/D
cwcww HDʹ
2/DH2/DDʹ
SʹWFS
⋅γ⋅γ
=⋅⋅γ
⋅⋅γ==
Fattore di sicurezza globale:
ic
ie
Verifica globale in termini di forze
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Verifiche idrauliche
Se lo scavo interessa un terreno a grana fine sovrastante un terreno a elevata permeabilità deve essere considerata anche la condizione a breve termine:
Forza instabilizzante (pressione idrostatica iniziale alla base dello strato di argilla)pw = γw⋅ HwAzione stabilizzante (pressione totale alla base dello strato di argilla)p = γsat⋅D
Fattore di sicurezza globale:
p.c.
p.c.
D
Hw
Sabbia
Sabbia
Argilla NC
γwHw
ww
sat
w HD
ppFS
⋅⋅
==γγ
Verifica a breve termine
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Verifiche idrauliche
Le NTC prescrivono l’uso del metodo degli stati limite (ultimi, SLU, e di esercizio, SLE) e dei coefficienti di sicurezza parziali.
NTC – D.M. 14/01/08
I coefficienti parziali sono suddivisi in tre categorie:
I coefficienti parziali possono assumere valori diversi ed essere diversamente raggruppati e combinati tra loro (approcci) in funzione dell’opera, del tipo e delle finalità delle verifiche nei diversi stati limite considerati.
i coefficienti da applicare rispettivamente alle azioni o agli effetti delle azioni(A)i coefficienti da applicare alle caratteristiche dei materiali (M)i coefficienti da applicare alle resistenze (R) e assumono valori diversi in
relazione al tipo di opera e allo stato limite considerato
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Verifiche idrauliche
VERIFICHE DEGLI STATI LIMITE ULTIMI IDRAULICI
UPL (da Uplift) – che comportano la perdita di equilibrio della struttura o del terreno a causa della sottospinta dell’acqua (fenomeni di galleggiamento di strutture interrate, come parcheggi sotterranei, stazioni metropolitane, etc.. o di sollevamento del fondo scavo)
HYD (da Hydrodinamic conditions) – in cui si verifica erosione e sifonamento del terreno a causa di moti di filtrazione dal basso verso l’alto con gradiente idraulico tale da produrre l’annullamento delle tensioni efficaci.
Per le verifiche di tipo idraulico devono essere considerati due stati limite ultimi:
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Verifiche idrauliche
PARAMETRO GRANDEZZA ALLA QUALE APPLICARE IL COEFFICIENTE
COEFFICIENTE PARZIALE
( M1 )* ( M2 )*
Tangente dell’angolo di resistenza al taglio
tan ϕ’k γϕ’ 1.0 1.25
Coesione efficace c’k γc’ 1.0 1.25Resistenza non drenata
cuk γcu 1.0 1.4
Peso dell’unità di volume
γ γγ 1.0 1.0
Tabella 6.2.II – Coefficienti parziali per i parametri geotecnici del terreno
* Vengono utilizzati alternativamente nei vari tipi di approccio, nelle verifiche idrauliche si adottano solo i coefficienti M2
N.B. Sono coefficienti che vanno divisi per le proprietà geotecniche per ottenere i valori di progetto.
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Verifiche idrauliche
STABILITÀ AL SOLLEVAMENTO (UPL)
essendo:Vinst,d= Ginst,d+ Qinst,dvalore di progetto dell’azione instabilizzante,
combinazione di azioni permanenti (Ginst,d) e variabili (Qinst,d)Gstab,d = valore di progetto delle azioni stabilizzanti Rd = valore di progetto delle resistenze
Deve risultare: Vinst,d ≤ Gstb,d + Rd
p.c
p.c.
D
A
E
H
Hc
γw c
H
D/2
D
52/5752/57
Dr. Dr. Ing.Ing. JohannJohann FacciorussoFacciorussoCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileA.A. 2010/2011A.A. 2010/2011
Verifiche idrauliche
Tab. 6.2.III (Coefficienti parziali sulle azioni per le verifiche al sollevamento)
CARICHI EFFETTOCoefficiente parziale
γF (o γE)SOLLEVAMENTO (UPL)
Favorevole 0.9Sfavorevole 1.1Favorevole 0.0Sfavorevole 1.5Favorevole 0.0Sfavorevole 1.5
γQiVariabili
γG2Permanenti non strutturali*
γG1Permanenti
* se compiutamente definiti si utilizzano i coefficienti validi per le azioni permanenti
N.B. Sono coefficienti che vanno moltiplicati per le proprietà geotecniche per ottenere i valori di progetto.
53/5753/57
Dr. Dr. Ing.Ing. JohannJohann FacciorussoFacciorussoCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileA.A. 2010/2011A.A. 2010/2011
54/5754/57
Verifiche idrauliche
Gstab,d = 0.9∙(γsat/ 1)D
γG1
γG1
Esempio: sollevamento del fondo scavo a breve termine
Deve risultare:Vinst,d ≤ Gstab,d + Rd
ovvero:1,1 γw Hw ≤ 0.9 γsat D
Azioni in gioco e coefficienti parziali:
Rd = 0 (si trascura il contributo della resistenza del terreno ai lati del blocco)Vinst,d = Ginst,d = 1,1 ∙γw Hw
Verifica:
γγ
(Qinst,d = 0)p.c.
p.c.
D
Hw
Sabbia
Sabbia
Argilla NC
γwHw
N.B. Tale condizione che corrisponde a un coefficiente di sicurezza globale:FS = γsat D / γw Hw ≥ 1.1 / 0.9 = 1.22
Dr. Dr. Ing.Ing. JohannJohann FacciorussoFacciorussoCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileA.A. 2010/2011A.A. 2010/2011
Verifiche idrauliche
STABILITÀ AL SIFONAMENTO (HYD)
Deve risultare: uinst,d ≤ σstb,dessendo:uinst,d= Vinst,d = valore di progetto della pressione interstiziale instabilizzanteσstb,d = Gstab,d + Rd = valore di progetto della tensione totale stabilizzante
COMPONENTE IDROSTATICA+ IDRODINAMICA
p.c.
p.c.
H
D
A
B
55/5755/57
Dr. Dr. Ing.Ing. JohannJohann FacciorussoFacciorussoCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileA.A. 2010/2011A.A. 2010/2011
Verifiche idrauliche
Tab. 6.2.IV (Coefficienti parziali sulle azioni per le verifiche al sifonamento)
CARICHI EFFETTOCoefficiente parziale
γF (o γE)SIFONAMENTO (HYD)
Favorevole 0.9Sfavorevole 1.3Favorevole 0.0Sfavorevole 1.5Favorevole 0.0Sfavorevole 1.5
γQiVariabili
γG2Permanenti non strutturali*
γG1Permanenti
* se compiutamente definiti si utilizzano i coefficienti validi per le azioni permanenti
N.B. Sono coefficienti che vanno moltiplicati per le proprietà geotecniche per ottenere i valori di progetto.
56/5756/57
Dr. Dr. Ing.Ing. JohannJohann FacciorussoFacciorussoCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileCorso di Geotecnica per Ingegneria EdileA.A. 2010/2011A.A. 2010/2011
Verifiche idrauliche
Esempio: diaframma infisso in terreno granulare
γG1Azioni in gioco e coefficienti parziali:
uinst,d = 1.3 γw (D + Hc) = 1.3 γw (D + H/2)
σstb,d = 0.9 (γsat / 1)D
(Qinst,d = 0)
Deve risultare:uinst,d ≤ sstb,d
ovvero:
1.3 γw (D + H/2) ≤ 0,9 γsat D
Verifica:
γG1 γγp.c
p.c.
D
A
E
H
Hc
γw c
H
D/2
D
SOVRAP‐PRESSIONI
(COMPONENTEIDRODINAMICA)
57/5757/57
(avendo assunto cautelativamente Hc=H/2)