UNIVERSITÀ DEGLI STUDI “G. D’ ANNUNZIO” Corso di ... · Tesina informatica: VERIFICA DI...

1Tesina informatica: VERIFICA DI RESITENZA DELLE SEZIONI

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI “G. D’ ANNUNZIO”

Facoltà di Architettura

Pescara

Corso di Scienza delle Costruzioni

prof. Antonello Salvatori

Tesina:

VERIFICA DI RESISTENZA DELLE SEZIONI IN ACCIAIO

MEDIANTE L’UTILIZZO DEL CALCOLATORE.

di

Calzone Pasquale

studente

matricola: 9573

Foggia 03.01.2005


PREMESSA.

Nell’ambito del corso di Scienza delle Costruzioni tenuto dal prof. Antonello Salvato-

ri, ha preso corpo questo progetto informatico che vuole dimostrare l’utilità del calcolatore

nella pratica professionale e in particolare, in questo corso, per la compilazione di un

programma capace di verificare la sicurezza strutturale considerando esclusivamente

sollecitazioni statiche, cioé indotte da carichi che non comportano effetti dinamici, nelle

sezioni strutturali in acciaio.

Si perverrà alla dimostrazione relativamente ai materiali duttili, con i criteri di Huber-

vonMises-Henchy e di Tresca, della verifica di resistenza elastica nel punto più sollecitato

della sezione.

Il progetto informatico si struttura intorno ad un programma compilato con Microsoft

Excel v.98 e da questa tesina-manuale che vuole essere di supporto a coloro che volesse-

ro cimentarsi all’uso del programma stesso.

La compilazione del programma nasce, d’intesa con il prof. Salvatori, alla fine delle

lezioni tenutesi dal 17 Settembre al 12 Dicembre 2003, nel corso del quale sono state

proposte diversi argomenti su cui discutere una tesina informatica per quanto concerne

l’uso del calcolatore nell’ambito del calcolo e nella verifica strutturale.

L’argomento con il quale mi sono confrontato è quello della “VERIFICA DI RESI-

STENZA DELLE SEZIONI IN PARETE SOTTILE MONOCONNESSE O PLURICONNESSE

IN ACCIAIO” naturalmente nella compilazione di questo programma, per diverse esigen-

ze sia di tempo, che di hardware, ho dovuto impormi dei limiti, comunque essendo il

programma “open source” può essere ulteriormente ampliato e sicuramente migliorato.

Ad esempio la compilazione del programma non ha tenuto conto delle sezioni emi-

simmetriche oppure delle sezioni simmetriche composte da rettangoli con asse inclinato

inferiore a 45°, oppure delle sezioni a settore circolare o corone circolari parziali. Come si


vede lavoro da fare ci sarebbe ancora, ma le esigenze del corso e soprattutto dell’esame

imponevano dei limiti improrogabili.

In questa premessa mi sembra opportuno far notare che la grafica del programma é

stata attentamente studiata perché riveste un ruolo

importante, in quanto guida l’operatore nelle operazio-

ni di immissione dei dati, a riconoscere le sezioni che

si stanno dimensionando, a riconoscere dove leggere

i risultati parziali e totali, inoltre dove mi è stato possibile ho introdotto anche dei disegni e

schemi sempre con l’intento mettere l’utente nelle migliori condizioni per operare.

Il programma, come detto , è stato compilato con Microsoft Excel ed è composto da

due file, il primo denominato GEOMETRIA DELLA SEZIONE (fig. 1) con due fogli lavoro

sezioni rettangolari e sezioni circolari , questo file ci permette di disegnare la nostra sezio-

ne da esaminare sia essa rettangolare, sia circolare, o composta. I fogli che compongono

il file sono corredati da grafici di riscontro che aiutano l’operatore a non commettere errori

nella costruzione della sezione da verificare. Tenendo con-

to delle limitazione su esposte potremo realizzare qualsiasi

sezione rettangolare chiusa o aperta dritta o inclinata (con

angoli di 45°) purché composta al massimo con 7 rettangoli

elementari con o senza sezioni circolari cave o piene.

Il secondo file GEOAREE v.2.0.2. (fig. 2) composto da otto fogli lavoro, geoaree,

tensioni, grafici FFC (tensioni normali), grafici TT (tensioni tangenziali), grafici TTM-SA

(tensioni tangenziali da momento torcente in sezioni aperte), grafici TTM-SC (tensioni

tangenziali da momento torcente in sezioni chiuse), grafici TTM-SR (tensioni tangenziali

da momento torcente in sezioni di risulta), in ultimo condizioni al contorno.

Il file GEOAREE v. 2.0.2 è il file principale che ci permette, dopo aver introdotto tutti

i dati, di controllare se la sezione risulta verificata o no. Nella compilazione di questo file

ho cercato di minimizzare l’operazione di introduzione dei dati per economizzare i tempi di

utilizzo del programma ma anche per non incorrere in errori di battitura e quindi per garan

fig. 1

fig. 2


tire una compilazione corretta. In questo processo sono stati utilizzati alcune funzione

messe a disposizione dal programma quali, collegamenti, macro, condizioni e in ultimo

anche le colorazioni delle celle che dovranno ricevere i dati di calcolo.

Un ultima notazione, hai fini della comprensione di questo manuale, riguarda la localiz-

zazione degli argomenti trattati che viene fatta con l’utilizzo dei riferimenti di cartella lavo-

ro, foglio e di cella o titolo della sezione scritti, in corsivo cartella lavoro>>foglio>>cella/

titolo sezione. Ad esempio per localizzare l’argomento TAGLIO nelle SEZIONI CIRCOLA-

RI CAVE il riferimento è Geoaree>>tensioni>>AW249, oppure per trovare i grafici della

tensione normale composta il riferimento è Geoaree>>grafici FFC>>Grafici della compo-

sizione di forze.

ABBREVIAZIONI.

grafici FFC = grafici delle Tensioni Normali;

grafici TT = grafici delle Tensioni Tangenziali;

grafici TTM-SA = grafici delle Tensioni Tangenziali da Momento torcente nelle sezio

ni aperte;

grafici TTM-SC = grafici delle Tensioni Tangenziali da Momento torcente nelle sezio

ni chiuse;

grafici TTM-SR = grafici delle Tensioni Tangenziali da Momento torcente nelle sezio

ni di risulta aperte;


fig. 3

GEOMETRIA DELLA SEZIONE.

Come accennato nella premessa questo è il file che ci permette di configurare la

sezione da verificare nel file collegato GEOAREE 2.0.2.

Il primo foglio di questo file è suddiviso in 3 campi di calcolo e 1 grafico di riscontro.

Per prima cosa analizziamo il primo cam-

po di calcolo che è mostrato in fig. 3 e che

spiegheremo più avanti.

La configurazione della sezione finale vie-

ne fatta assemblando più sezioni

elementari di rettangoli e sezioni

circolari diversamente articolate.

Le figure 3-4 ci mostrano i campi

da compilare per l’immissione dei

dati utili per la configurazione fi-

nale della sezione da verificare

così come si presenta nell’esem-

pio in fig. 5 a lavoro terminato nel

file collegato GEOAREE 2.0.2.

Si ricorda che per ragioni di tem-

po e di memoria il numero massi-

mo di rettangoli elementari per

comporre la sezione è limitato a 7.

Nella fig. 3 si è dato un colore diverso ad ogni singolo

rettangolo per agevolare il compito di immissione dei dati,

ma soprattutto per individuali meglio nel grafico ad esso

fig. 4

fig. 5

fig. 6


dedicato (fig. 7).

Per comprendere meglio come procedere nell’immissione dei dati prendiamo ad

esempio i dati per il Rettan-

golo 1, aiutandoci dalla fig.

6. Il primo dato richiesto è

chiamato “PUNTO P” , o

punto di Appoggio, forse il

più importante di tutti perché

è con esso che “fissiamo” sul

quadrante positivo cartesiano il rettangolo considerato mediante le sue coordinate, que-

ste si riferiscono sempre al vertice inferiore sinistro. Questo punto verrà indicato nel grafi-

co con un cerchio giallo (vedi fig. 7).

Il secondo dato richiesto è un eventuale angolo di rotazione per il rettangolo considerato

chiamato “alpha” (fig. 6). Qui sono necessarie alcune

considerazioni preliminari aiutati sempre da alcuni sche-

mi riportati in fig. 8. La prima considerazione riguarda la

scelta degli angoli da inserire perché i rettangoli ele-

mentari che compongono la sezione NON potranno ave-

re rotazioni inferiori a 45°, questo per agevolare il cal-

colo delle Tensioni Tangenziali da taglio che per rota-

zioni inferiori a 45° sarebbe stato arduo. Come si evince

dallo schema in fig. 8 bisogna porre attenzione alla ro-

tazione del rettangolo ele-

mentare, se questa avviene

in senso antiorario nel cam-

po “alpha” và digitato 135° se

la rotazione avviene in sen-

so orario và digitato il valore 45°. Per rettangoli non

ruotati andrà digitato, ovviamente, il valore 0. Si veda un

esempio di sezione che presenta anche dei rettangoli ruotati nella fig. 10.

fig. 7

fig. 8

fig. 9


fig. 10

I successivi due campi da compilare (fig. 6)

sono rispettivamente “base” e “altezza” della se-

zione e coerentemente con l’ipotesi di parete sot-

tile e come ci mostra la fig. 9, si intende con “a”

l’altezza o spessore della sezione e con “b” la

base o lunghezza della stessa. L’ultimo parame-

tro che il programma calcola in automatico e la

“lunghezza mediana” del rettangolo considerato. Questo valore è utile per il calcolo, solo

per le sezioni inclinate aperte o chiuse, delle tensioni tangenziali sia da taglio che da

momento torcente.

Il secondo campo di calcolo che ci mostra la fig. 11 è un campo che esegue i calcoli

in automatico, perciò non dovremo inserire alcun dato, per determinare le coordinate dei

punti dei singoli rettangoli costituenti la sezione.

Esso diventa molto utile in caso di sezioni inclinate per la rappresentazione grafica

della sezione come ci dimostra la fig. 10, i dati calcolati sono collegati al file GEOAREE

2.0.2>>geoaree>>Geometria della Sezione.

Il terzo campo di calcolo ci viene mostrato nella fig. 12, esso è anche un campo di

calcolo automatico, perciò come il precedente non dovremo immettere nessun dato.

Questo campo è composto da due sottocampi, “punto M” e “coordinate dei baricentri”;

il primo (fig. 8) è utile per determinare l’ascissa o l’ordinata di partenza per il calcolo delle

tensioni tangenziali nelle sezioni inclinate; il secondo sono calcolate le coordinate dei

fig. 11

fig. 12


baricentri per ogni singolo rettangolo e, come ci mostra la fig. 7 viene indicato con il sim-

bolo “ ♦ “ avente la stessa colorazione del rettangolo di pertinenza e infine collegate al file

GEOAREE 2.0.2 per le ulteriori elaborazioni.

Completa il primo foglio di lavoro della cartella GEOMETRIA DELLA SEZIONE il

grafico di riscontro (fig. 7-10) utilissimo per verificare l’esattezza dell’immissione dei dati

perciò la congruità con la sezione da verificare. In esso si noteranno i rettangoli, in diverse

colorazioni, che compongono la sezione, i baricentri degli stessi, i punti di origine (P) per

la costruzione del rettangolo.

Il secondo foglio della cartella di lavoro GEOMETRIA DELLA SEZIONE riguarda le

sezioni circolari cave o piene. Il campo di

calcolo di partenza è mostrato nella fig. 13

dove immettiamo:

Re = Raggio esterno

Ri = Raggio interno

x = Offset orizzontale

y = Offset verticale

Questi dati ci permettono di costruire una

sezione circolare piena se introduciamo solo Re,

oppure una sezione circolare cava se introdu-

ciamo sia Re che Ri. Il risultato finale di tale ope-

razione, per l’esempio ipotizzato è mostrato in

fig. 14. Noterete che i tutti i dati di calcolo auto-

matici e non sono sempre leggibili sul grafico di

pertinenza semplicemente passandoci sopra con

il vostro mouse.

A margine del foglio di lavoro ci sono alcu-

ni dati calcolati in automatico dal programma

necessari per il collegamento con la cartella di

lavoro GEOAREE 2.0.2 hai fini della verifica della sezione.

fig. 13

fig. 14


Completato l’inserimento di tutti i dati nel file GEOMETRIA DELLA SEZIONE, come

è stato spiegato precedentemente, possiamo aprire il file GEOAREE 2.0.2 per le succes-

sive elaborazioni hai fini della verifica della sezione che abbiamo realizzato. Noterete

all’apertura del file che una parte del lavoro è stata già risolta dal programma GEOAREE

2.0.2 per effetto di tutti i collegamenti presenti, per questo è importante porre la massima

attenzione nell’immettere i dati corretti nel file GEOMETRIA DELLA SEZIONE.

GEOAREE 2.0.2 - verifica della sezione

Il primo approccio per iniziare la compilazione di questo file è

seguire e compilare esclusivamente le celle arancioni (fig. 15) che ci

permettono di interagire con il programma.

Comunque ho ritenuto utile realizzare una piccola leggenda (fig.

16) che ci consente di capire immediatamente come interpretare i dati che il programma

elabora, quali sono le celle da compilare, dove andare a prendere i risultati utili per la

prova scritta dell’esame, dove copiare i dati utili per l’esecuzione corretta dei grafici.

Il file GEOAREE e composto da ben 8 fogli di calcolo che possiamo riassumere in tre

sottogruppi:

1° gruppo: 2° gruppo: 3° gruppo:

Geoaree; grafici FFC; Condizioni al contorno;

Tensioni; grafici TT;

grafici TTM-SA;

grafici TTM-SC;

grafici TTM-SR;

Questa distinzione è interessante perché rappresenta in sintesi la struttura del pro-

fig. 16

fig 15


gramma, ma è servito a me per discernere gli argomenti da trattare in questa tesina . Al

primo gruppo appartengono i fogli puramente di calcolo, al secondo appartengono i fogli

che graficizzano i risultati di questi calcoli, al terzo è inserito un foglio necessario esclusi-

vamente al calcolo delle tensioni tangenziali da taglio, per verificare “nel contorno “ del-

l’ascissa o dell’ordinata di partenza, la presenza o no di altre sezioni elementari.

Il primo gruppo è composto, da due fogli Geoaree e Tensioni. Iniziamo a capire

come funziona e come và compilato il primo:

GeoAree.

In questo foglio dovremo compilare tutta quella parte che riguarda la presenza o

meno di strutture Chiuse, eventuali parti di “Risulta” che vengono fuori dalla operazione di

taglio della sezione chiusa, inoltre dobbiamo indicare al programma dove si trova il Centro

di Pressione se è posto a sinistra o a destra dell’asse di simmetria.

Per fare ciò la prima operazione da fare è informare il programma quale

dei 7 rettangoli è una sezione APERTA o Monoconnessa, o si tratta di una

struttura CHIUSA o Pluriconnessa.

A questo scopo ho predisposto una colonna (fig. 17) nella quale andre-

mo a inserire una “A” per la sezione Aperta e una “C” per il rettangolo che

compone la se-

zione Chiusa.

Stabilito quali dei 7 ret-

tangoli è Chiuso o Aperto, il

secondo passo è inserire i

dati, solo nelle celle arancio-

ni, che riguardano le sezioni

Chiuse e per fare questa

operazione dovremo compilare il riquadro in fig. 18. Questo è composto da: il numero del

rettangolo che compone la sezione chiusa; dalle coordinate del punto P, che ricordo è il

punto inferiore sinistro del rettangolo (fig. 9), riferite al sistema principale di riferimento

fig. 17

fig. 18


con origine in 0;0; dalle dimensioni di base e altezza del

rettangolo considerato. Ricordo che il valore della base

nelle sezioni inclinate è da intendersi nella lunghezza me-

diata che potrete prendere da GeoAree 2.0.2>>sezione

rettangolare>>riga 11.

Nel compilare il riquadro che interessa le Sezioni

Chiuse avrete a disposizione un grafico di riscontro, come

mostrano le fig. 19-20, per verificare il corretto inserimento

dei dati e perciò l’esattezza del-

la Sezione Chiusa. Ultimo pas-

saggio per completare questa prima parte che riguarda le

sezioni Chiuse è indicare al programma se questa sezione

Chiusa che abbiamo appnea terminato di descrivere è Incli-

nata o no. Anche in questo caso ho predisposto una semplice cella di riferimento (fig. 21),

dove dovete solo inserire un SI o un NO per informare il program-

ma come comportarsi per i calcoli successivi che dovrà elaborare.

Non mi soffermo nel motivo di questo dato perché ritengo che

ognuno di Voi possa intuirlo da solo.

Arrivati a questo punto abbiamo terminato la costruzione di una

Sezione Chiusa, ora potremo, se la sezione c’è l’ho impone, verificare l’esi-

stenza o meno di Sezioni di Risulta dovute al taglio nella sezione di partenza

della sezione chiusa. É facile intuire che hai fini dei calcoli queste Sezioni di

Risulta vanno considerate come sezioni aperte a tutti gli effetti.

Per compiere questa operazione dobbiamo indicare al programma quali

rettangoli elementari sono interessati dal taglio e se questi sono delle ALI o delle ANIME

appartenenti alla sezione. Alla prima doman-

da rispondiamo utilizzando il riquadro, in fig.

22, che ho predisposto titolato “A quale ret-

tangolo appartengono? “, dovremo indicare

da 1 a 7 quali sono i rettangoli interessati

fig. 19

SEZIONE CHIUSA

fig. 20

SEZIONE CHIUSA

fig. 21

fig. 22

fig. 23

fig. 24


dal taglio. Dopo possiamo specificare, nel riquadro in fig. 23, se questi rettangoli sono

delle ALI o delle ANIME scrivendo AL se si tratta di una ALA invece AN se si tratta di un

ANIMA. Queste sono indicazioni importantissime per le condizioni che compaiono in alcu-

ni calcoli per la graficizzazione dei dati che riguardano le Tensioni Tangenziali da Momen-

to Torcente.

A questo punto non ci resta che definire i para-

metri per le Sezioni di Risulta utilizzando il ri-

quadro in fig. 24 simile a quello per le sezioni chiuse. Dovremo indicare per prima cosa le

coordinate del punto P, poi la base e l’altezza della sezione di risulta. Con quest’ultima

operazione avete terminato di definire eventuali Sezioni Chiuse inclinate o no, e d even-

tuali Sezioni di Risulta.

Prima di passare al foglio Tensioni dobbiamo indicare nel foglio Geoaree le coordi-

nate del Centro di Pressione. Anche quì dobbiamo indicare le coordinate nel riquadro

come in fig. 25 del centro di pressione che sarà indicato sul grafico da un cerchio giallo

come si vede nell’esempio in fig. 5. La cella di riscontro inferiore ci dirà, in automatico, se

il Centro di Pressione è a sinistra (SX) o a destra (DX) rispetto all’asse di simmetria.

Anche questo dato concorre a condizionare

alcune formule per la graficizzazione dei dati

che riguardano le Tensioni Tangenziali da

Momento Torcente.

A questo punto siamo in grado di anno-

tare già i primi risultati che riguardano più la prova scritta dell’esame che Verifica di

Resistenza della Sezione, questi vanno presi in GEOAREE 2.0.2>>geoaree>>DATI COM-

PITO e sono indicati nei campi colorati di giallo

secondo come descritto nella leggenda in fig. 16.

Tensioni

In questa sezione già il programma ha

calcolato una serie di dati che ci saranno utili

in seguito, per esempio le “Coordinate bari-

fig. 25

fig. 27

fig. 26


fig. 28

fig. 29

centriche” di tutti i punti della sezione come ci mostra l’esempio in fig.

26.

Ora passiamo ad analizzare gli Stati Tensionali della sezione non

prima di aver riportato i dati del problema in GEOAREE

2.0.2>>Tensioni>>STATI DI TENSIONE>>Dati del problema, come ri-

portato nel riquadro in fig. 27. Si noti che i valori uscenti dal calcolo della

trave, nella prima parte della prova scritta, espressi in Mpa sono

stati trasformati in Kg per le forze, Kg/cm per i carichi distribuiti e

per i momenti flettenti.

Tutto questo nell’otti-

ca di agevolare l’immis-

sione dei dati e di conseguente velocizzare la compilazione del

programma. Un’altra particolare attenzione dobbiamo porla nel verificare il segno delle

tensioni uscenti dal calcolo della trave che deve essere congruente con il verso degli assi

principali di inerzia. A tale scopo ho predispo-

sto degli schizzi, che potrete vedere nel fo-

glio di calcolo Tensioni, del tipo mostrato nel-

le figure 28-29.

Il secondo passo da fare è quello di scegliere nelle celle GeoAree

2.0.2>>Tensioni>>D142-F142 in funzione del centro di pressione il valore del “Momento

eccentrico” (fig.30) da utilizzare per il calcolo delle Tensioni Normali Eccentriche. Questa

operazione è necessaria per ottenere il valore delle Tensioni Normali da Flessione com-

posta per ogni punto della sezio-

ne che andranno a comporre il bi-

lancio complessivo delle Tensioni Normali come vedremo più avanti.

Per compiere questa operazione basta effettuare un doppio click con il mouse nelle

celle GeoAree 2.0.2>>Tensioni>>D142-F142 (fig. 30), comparirà evidenziato nell’elenco

sottostante il valore dell’eccentricità del punto considerato come in fig. 31, non dovremo

fare altro che cliccare e trascinare il valore nel punto del rettangolo considerato e premere

invio per confermarlo. A tal proposito vi ricordo che la sezione é costruita assemblando

fig. 31

fig. 32

fig. 30


una serie di rettangoli elementari, i vertici di questi sono chiamati con lettere maiuscole e

scritti in senso orario come è riportato nella fig. 9.

Ora per completare il quadro della Flessione Composta dovremo scegliere i valori

che riguardano le “Intercette dell’asse Neutro” come

ci mostra l’esempio in fig. 32 per verificare la correttez-

za dell’equazione dell’asse neutro. La procedura è iden-

tica a quella esposta per il calcolo del Momento ec-

centrico, dovremo effettuare un doppio click nelle celle

GeoAree>>Tensioni>>U172-V172, scegliere i valori tra

l’elenco dei punti della sezione nel campo GeoAree

2.0.2>>Tensioni>>Intercette asse neutro spostarli nel

punto considerato e premere invio per confermare il valore.

Con quest’ultimo passaggio abbiamo concluso il calcolo delle Tensioni normali, il

calcolo e la verifica delle coordinate dell’asse neutro, nonché il relativo grafico come ci

mostra la fig. 33, tutti questi dati li ritroviamo rispettivamente nel campo GeoAree

2.0.2>>Tensioni>>M197,GeoAree 2.0.2>>Tensioni>>O200-P200,GeoAree

2.0.2>>Tensioni>>P144.

Concluso il calcolo delle Tensioni Normali possiamo analizzare il calcolo delle Ten-

sioni Tangenziali localizzate in GeoAree 2.0.2>>Tensioni>>e) Taglio.

Il calcolo con il computer delle Tensioni Tangenziali da taglio è molto simile a quello

che noi effettuiamo a mano. Difatti la prima operazione che facciamo a mano è scegliere

in base alla sezione che abbiamo davanti le

ascisse e ordinate di partenza e successivamen-

te iniziare le operazioni di calcolo per trovare le

tensioni, il programma semplifica proprio quest’ul-

tima operazione e vediamo come.

Innanzitutto avrete notato che ho distinto il cal-

colo per le ALI, per le ANIME, per le SEZIONI INCLINATE, per le SEZIONI CIRCOLARI PIE-

NE, e per le SEZIONI CIRCOLARI CAVE questo riconoscimento, in base ai dati che voi avete

immesso in GEOMETRA DELLA SEZIONE, è parzialmente automatizzato dal calcolatore.

fig. 33

fig. 34 fig. 35


Il nostro compito è quello di scegliere l’intervallo in cui calcolare

le Tensioni Tangenziali per le ALI nella colonna GeoAree

2.0.2>>Tesnioni>>D251, per le ANIME nella colonna GeoAree

2.0.2>>Tesnioni>>S251, come ci mostrano le fig. 34-35. Ora dobbia-

mo, a seconda del-

la sezione, verifi-

care le condizioni

al contorno cioè verificare la presenza

o meno a sinistra o a destra sopra o

sotto di altri rettangoli elementari che

incrementano il calcolo delle tensioni

con il loro contributo derivante dal mo-

mento statico. Per quest’ultima opera-

zione entra in gioco l’ultimo foglio di cal-

colo denominato appunto Condizioni al Contorno che analizzeremo nello specifico più

avanti. Tale contributo dovremo collegarlo nella colonna di calcolo delle Tensioni Tangen-

ziali come ci mostra la figura 36.

Per effettuare il collegamento nella colonna delle ALI (GeoAree

2.0.2>>Tensioni>>J251) copiamo l’eventuale contributo del momento statico dal foglio

Condizioni al Contorno ritorniamo sul foglio Tensioni, apriamo dal menù Modifica di Excel

il sottomenù Incolla Speciale, si aprirà una finestra come riportata in fig. 37 scegliamo

Incolla collegamento e clicchiamo OK. Ovviamente la stessa procedura si applicherà

per la colonna delle ANIME (GeoAree 2.0.2>>Tensioni>>P251). Una considerazione im-

fig. 36

fig. 37

l'ordinata del taglio SOTTO dell'asse baricentrico Xg

l'ordinata del taglio max SOTTO dell'asse baricentrico Xg

l'ordinata del taglio SOPRA dell'asse baricentrico Xg

l'ordinata del taglio max SOPRA dell'asse baricentrico Xg

fig. 38


fig. 39

portante a margine del calcolo delle Ten-

sioni Tangenziali nelle ANIME merita la

scelta dell’ordinata di partenza che do-

vrà rispettare l’ho schema riportato in fig.

38, ma l’ho troverete anche come nota

in GeoAree 2.0.2>>Tensioni>>e) TA-

GLIO.

A questo punto siamo in grado di legge-

re, nelle colonne GeoAree

2.0.2>>Tensioni>>K249 per le ALI e GeoAree

2.0.2>>Tensioni>>Q249 per le ANIME, le Ten-

sioni Tangenziali della sezione nei punti sta-

biliti, nei punti massimi, e negli attacchi ALA-

ANIMA.

E’ importante farvi notare che le indicazioni e

le regole riportate fin ora per il calcolo delle

Tensioni Tangeziali con il taglio orientato in

direzione Y e analogo anche per il taglio orien-

tato secondo la direzione X.

Per concludere l’argomento del Taglio

non ci resta che calcolare i diagrammi di Flusso delle Tensioni Tangenziali per ottenere il

grafico di riscontro come in fig. 39. Per fare questa operazione dobbiamo compilare i

valori di cella riportati in fig.40 e in GeoAree 2.0.2>>Tensioni>>T239 per ogni rettangolo

costituente la sezione.

Possiamo anche definire la lunghezza della risultante, la percentuale della freccia e

la semiampiezza della stessa utilizzando ii valori di cella rispettivamente GeoAree

2.0.2>>Tensioni>>T323, GeoAree 2.0.2>>Tensioni>>V325, GeoAree

2.0.2>>Tensioni>>V326.

Avrete notato che i campi come in fig. 40 ma anche la fig. 39 del grafico di riscontro

é composta da risultanti di flusso Nere e Rosse questo è servito per distinguerne i versi.

fig. 40

fig. 41


Ho aggiunto anche un campo per il calcolo di eventuali risultanti di flusso per le Sezioni di

Risulta, (ricordo che queste vengono fuori una volta effettuati i tagli per estrapolare dalla

sezione complessiva la sezione Chiusa), indicate nel grafico con le frecce BLU, come si

evince anche dal campo di calcolo in fig. 41.

Arrivati a questo punto si potrebbe dire che siamo a metà dell’opera in quanto, a

parte qualche piccolo dato da aggiungere, il programma inizia a compilare in automatico

una serie di dati che ci porteranno alla Verifica della sezione o no.

Il computer inizia il calcolo dall’ascissa del centro di Taglio, ma SOLO se si verifica la

condizione di simmetria riportata in GeoAree 2.0.2>>geoaree>>O111 che dimostra ri-

spetto a quale asse è simmetrica la sezione altrimenti riporta il valore dell’ascissa baricentrica.

Se la verifica non risulta essere soddisfatta vorrà dire che l’ho sforzo di taglio a cui e

soggetta la sezione è ortogonale all’asse di simmetria, perciò nella cella GeoAree

2.0.2>>geoaree>>O112 comparirà una “X” di conseguenza noi dovremo inserire l’inter-

vallo dell’integrale nella cella GeoAree 2.0.2>>Tensioni>>D319 per le ALI e GeoAree

2.0.2>>Tensioni>>N319 per le ANIME

come ci mostra la fig.42.

L’operazione successiva che compie il cal-

colatore è la ricerca del Momento Torcente (

GeoAree 2.0.2>>Tensioni>>g) MOMENTI TOR-

CENTI:) della sezione e successivamente i momenti

torcenti delle sezioni aperte, delle sezioni chiuse,

delle sezioni di risulta e infine delle sezioni circolari.

Tutte queste vengono sommate e il risultato viene verificato con il momento torcente totale, a questo punto il

programma riporta “VERIFICATO “ o “NON VERIFICATO” per accertarsi della congruità del risultato.

fig. 42

fig. 43


Il calcolatore continua l’elaborazione dai dati con la ricerca delle Tensioni Tangenzia-

li da Momento Torcente (GeoAree 2.0.2>>Tensioni>>h) TENSIONI TANGENZIALI deri-

vanti dal Momento Torcente;) sia per le sezioni aperte con le formule di Kelvin, sia per le

sezioni chiuse utilizzando le formule di Bredt, sia per le sezioni di risulta utilizzando anco-

ra le formule di Kelvin ed infine per le sezioni circolari cave o piene utilizzando le formule

di Coulomb.

Prima di procedere alla verifica di resistenza della sezione dovremo sommare e

inserire in un quadro di riepilogo come in fig. 43 tutte le Tensioni Tangenziali da momento

torcente che il calcolatore ha elaborato per le sezioni di cui sopra. Faremo questa opera-

zione con la stessa tecnica usata a pag. 13 e riportata in fig. 31.

A questo punto il programma continua l’elaborazione dei dati con GeoAree

2.0.2>>Tensioni>>i) VERIFICHE DELLA SEZIONE, raccogliendo in “Sforzi Normali” e

“Sforzi Tangenziali” tutte le tensioni punto per punto di tutta la sezione, successivamente

esegue una serie di condizioni incrociate volta a stabilire se le tensioni tangenziali da

taglio e le tensioni tangenziali da momento torcente punto per punto vanno sommate o

sottratte.

Solo ora il calcolatore può elaborare applicando i criteri di Tresca e VonMises a ogni

punto della sezione la tensione ideale e in secondo luogo ne calcola il valore massimo tra

queste tensioni da portare in verifica.

Finalmente siamo giunti all’atto conclusivo per il quale questo programma è stato

compilato cioè quello di verificare se le tensioni accumulate nel punto più sollecitato della

sezione, progettata secondo quanto riportato in GEOMETRIA DELLA SEZIONE, sottopo-

sta ad una serie di sollecitazione calcolate nella prima parte della prova scritta, risulti

essere inferiore o superiore alla tensione ammissibile del materiale di cui è composta la

sezione.

Seguono, ricordando la distinzione in gruppi riportata a pag. 9, il secondo gruppo di

fogli di calcolo che é composto da 5 sottogruppi che ci permettono di graficizzare tutti i dati

che fin ora abbiamo calcolato. Andiamoli ad esaminare, a partire dal primo, per capire

come compilarli nella maniera corretta.


Grafici FFC (grafici delle Tensioni Normali):

Questo foglio di calcolo esamina sotto forma di grafico per dispersione con coordi-

nate unite da linee il variare delle Tensioni Normali al variare dell’ascissa di riferimento.

In questo foglio sono elaborati i grafici della Flessione Retta, della Flessione Devia-

ta, della Flessione Composta ed infine della Presso-Tenso Flessione.

Il procedimento per la compila-

zione è analogo per tutti i casi su espo-

sti perciò mi limiterò a spiegare solo

quello della Presso-Tenso Flessione

che é il più comune.

Innanzitutto avrete notato che,

tranne per la Flessione Retta e Devia-

ta, i grafici che il programma elabora sono 4 divisi come segue; 2

sono per il BORDO SUPERIORE ESTERNO/INTERNO alla se-

zione; 2 sono per il BORDO INFERIORE ESTERNO/INTERNO

alla sezione.

I valori che dovremo assegnare sono, come ci mostra la fig.

44 :

1) l’ascissa di riferimento, intesa come la semilarghezza

della sezione;

2) l’ordinata di riferimento, con la quale stabiliamo in quale

bordo calcolare la tensione se quello superiore o inferiore;

3) grandezza dell’incremento, con il quale stabiliamo in quanti intervalli volgiamo co-

noscere il variare della tensione;

Il passo successivo e cliccare due volte sul retta rossa del grafico di esempio in fig.

45, noterete che verranno evidenziati gli intervalli delle ascisse di calcolo e quello delle

fig. 44

fig. 45

fig. 46


tensioni come ci mostra la fig. 46, non dobbiamo fare altro che cliccare sul punto evidenziato

con il cerchio rosso e trascinare fino a comprendere tutto l’intervallo considerato, ovvia-

mente sia per le “X” che per “σz”.

Completiamo questa operazione cliccando sugli Assi del grafico e tramite il menù Formato di

Excel impostiamo i parametri che meglio ci permettono di inquadrare il grafico nell’intervallo scelto.

Procediamo alla stessa maniera su esposta anche per i restanti 3 grafici badando

bene di variare i parametri da considerare.

Grafici TT (grafici delle Tensioni Tangenziali):

Questo foglio ci permette di calcolare il variare delle Tensioni Tangenziali al variare della

ascissa o dell’ordinata all’interno di un intervallo che definiremo.

Il calcolo è diviso per ALI, ANIME, SEZIONI INCLINATE, SEZIONI CIRCOLARI CAVE

e SEZIONI CIRCOLARI PIENE, il tipo di grafici adottati sono per le ALI quello a dispersio-

ne con coordinate unite da linee, per gli altri essendo grafici di equazioni di secondo grado

sono grafici combinati.

Il procedimento di immissione dei dati per il grafico delle Tensioni Tangenziali alle

ALI è analogo a quello predisposto per le Tensioni Normali con qualche piccola differenza

per l’acquisizione dei dati, i valori che dovremo assegnare sono, come ci mostra la fig. 47

1) l’ascissa di riferimento, intesa come la semilarghezza della sezione;

2) term ine X, dovremo riportare il valore che compare in

GeoAree2.0.2>>Tensioni>>B260, riferito al rettangolo elementare che stiamo analizzando;

3) term ine no t o , dovremo riportare il valore che compare in

GeoAree2.0.2>>Tensioni>>B262, riferito al rettangolo elementare che stiamo analizzando;

fig. 47


fig. 48

4) grandezza dell’incremento, con il quale stabiliamo in quanti intervalli vogliamo co-


Il passo successivo identico a quello precedente perciò eviterò di riscriverlo.

I quattro punti su esposti andranno ripetuti sia per l’ ALA SUPERIORE sinistra che per l’

ALA INFERIORE sinistra, per le ALI SUPERIORI e INFERIORI destre vanno immessi

solo i dati 1) e 4) perché ii restanti li elabora il programma. Qualche differenza, il concetto

resta quello, la riscontriamo nel immettere i dati per creare il grafico delle Tensioni Tan-

genziali per le ANIME, queste sono state divise in Anima Sinistra, Anima Centrale e Anima

Destra ma l’ho stesso grafico si presta bene per le Sezioni Inclinate. Possiamo riprendere

l’ho schema adottato per i grafici per le ALI con qualche piccola aggiunta in termini di dati da immettere.

Con l’aiuto dello schema riportato in fig. 48 i dati da immettere sono:

1) l’ordinata di riferimento, intesa come l’intervallo in cui vogliamo conoscere l’anda-

mento delle Tensioni Tangenziali;

2) term ine Y , dovremo riportare il valore che compare in

GeoAree2.0.2>>Tensioni>>T253, oppure GeoAree2.0.2>>Tensioni>>U253 in funzione di

come posizioniamo l’ordinata di partenza dei calcoli e riferito al rettangolo elementare che

stiamo analizzando;

3) term ine Y2, dovremo riportare il valore che compare in

GeoAree2.0.2>>Tensioni>>T254,oppure GeoAree2.0.2>>Tensioni>>U254 in funzione di

come posizioniamo l’ordinata di partenza dei calcoli e riferito al rettangolo elementare che

stiamo analizzando;

4) term ine no t o , dovremo riportare il valore che compare in

GeoAree2.0.2>>Tensioni>>T255,oppure GeoAree2.0.2>>Tensioni>>U255 asseconda di come

posizioniamo l’ordinata di partenza dei calcoli e riferito al rettangolo elementare che stiamo analizzando,

merita una attenzione particolare questo valore perché se la cella riporta il simbolo “----” vorrà dire che

non esiste nessun valore perciò come valore del ternine noto dovremo mettere il valore “0” (zero);


fig. 49

5) grandezza dell’incremento, con il quale stabiliamo in quanti intervalli vogliamo co-


Il passo successivo identico a quello precedente spiegato per le Tensioni Normali

perciò eviterò di riscriverlo.

E’ rilevante far notare che il programma calcola anche la Tensione Tangenziali Mas-

sima evidenziandola in rosso, utile dato hai fini della completezza dei dati nella prova

scritta.

Un altro grafico che ho introdotto è quello che riguarda le SEZIONI CIRCOLARI

PIENE e delle SEZIONI CIRCOLARI CAVE molto semplice ed intuitivo perché l’unica

cella che và compilata e quella che riguarda la:

1) grandezza dell’incremento, con il quale stabiliamo

in quanti intervalli vogliamo conoscere il variare della ten-

sione come ci mostra l’esempio in fig. 49.

La restante parte che riguarda questo grafico è uguale a

quella spiegata precedentemente per cui anche quì eviterò

di rispiegarla.

Grafici TTM-SA - Grafici

TTM-SC - Grafici TTM-SR :

Spiegare questo tipo di

grafico che riguarda le Tensioni Tangenziali da Momento

Torcente nei tre casi cioè nelle Sezioni Aperte, Sezioni Chiu-

se e nelle Sezioni di Risulta è piuttosto semplice perché

fig. 50

Tensioni Tangenziali da Momento Torcente

nelle Sezioni Aper te.

Tensioni Tangenziali da Momento Torcente

nelle Sezioni Circolar i Cave.


non dobbiamo immettere nessun tipo di dato in quanto il programma effettua tutti i calcoli

necessarie alla costruzione dei grafici.

L’unico dato che dovremo inserire, se occorre, è quello riportato in fig. 50 che riguar-

da una fattore di scala necessario per mostrare correttamente l’andamento delle Tensioni

Tangenziali da Momento Torcente altrimenti potrebbero fuoriuscire dall’area del tracciato

o viceversa essere troppo piccoli per essere letti.

Altri dati riguardano quello che ho menzionato per le Tensioni Normali circa il forma-

to degli Assi del grafico e i suoi settaggi. Vi riporto alcuni esempi che riguardano i grafici

delle Tensioni Tangenziali da Momento Torcente.

Tensioni Tangenziali da Momento Torcente nelle Sezioni Chiuse.

Tensioni Tangenziali da Momento Torcente per le Sezioni di Risulta.


Condizioni al Contorno:

Il terzo gruppo è utile esclusivamente per completare i calcoli delle Tensioni Tangen-

ziali, questi, in funzione della sezione creata in GEOMETRIA DELLA SEZIONE, ricono-

scono innanzitutto rispetto alle ascisse o alle ordinate di calcolo, quali rettangoli elemen-

tari ci sono nel “contorno”. In questo foglio

tutti i dati vengono calcolati automaticamen-

te dal programma l’unica nostra attenzione

dovrà essere posta nel riconoscere quali dati

copiare e incollare secondo quanto spiega-

to a pag. 15.

Quest’ultima definizione stabilisce a si-

nistra o a destra, sopra o sotto l’esistenza di

qualche rettangolo elementare e di conse-

guenza calcola il rispettivo momento statico

necessario per la completezza dell’elaborazione dei dati in GeoAree2.0.2>>Tensioni>>e) Tagliofig. 51

1

23

4

fig. 53

fig. 52


Il foglio di calcolo è suddiviso in due aree, evidenziate con colorazioni differenti, che ri-

guardano le Condizioni al Contorno sia per il taglio orientato in direzione Y sia per il taglio

orientato in direzione X.

Ma come abbiamo fatto fin ora è bene fare riferimento ad un esempio per compren-

dere meglio questo procedimento. Utilizziamo la fig. 51 che è composta da 4 sezioni

rettangolari elementari.

E’ intiutivo leggere le soprapposizioni dei rettangoli ma ho dovuto istruire il program-

ma a farlo in automatico come potete verificare dalle figure 52-53.

La lettura di queste tabelle và fatta incrociando il numero del rettangoli posto sulla

RIGAn (Rn) grigia con quello sulla COLONNAn (Cn) grigia, sé compare un valore vuole

dire che i rettangoli sono adiacenti. Questo valore che compare non è altro che il MO-

MENTO STATICO richiesto dalle Tensioni Tangenziali per completare il calcolo della ten-

sione.

Infatti se notiamo bene nella figure 52-53 il rettangolo R2 mostra il valore del mo-

mento statico con il rettangolo C1 come in effetti si evince dalla figura 51.

Merita la massima attenzione quali valori dei Momenti Statici riportare nel calcolo

delle Tensioni Tangenziali.

Ho cechiato di rosso per farvi notare che bisogna controllare se il Momento Statico è

calcolato SOPRA (fig. 52) o SOTTO (fig. 53) rispetto all’ordinata di partenza.

Perché poniamo il caso che vogliamo riportare il MOMENTO STATICO del rettango-

lo 4 quando calcolo la τzy nel rettangolo 3, questo si trova, perciò, SOPRA l’ordinata di

partenza poi vado a vedere l’incrocio R4>>C3 e riporto il valore del momento statico che

in questo caso è 479,818 cm3.

A prima vista può sembrare una operazione piuttosto articolata ma come tutte le

cosa basta fare un pò di pratica e vedrete che risulta molto semplice ma soprattutto veloce

per il calcolo delle Tensioni Tangenziali da taglio soprattutto in presenza dei sezione ele-

mentari inclinate.


CONCLUSIONI.

Questo programma essenzialmente nato a scopi didattici come stato definito nella

premessa, e come tale é rimasto nella sua formulazione finale tant’é vero che non ho

volutamente protetto e chiuso la sua compilazione.

Questa scelta è maturata dalla convinzione che il lavoro portato avanti fin quà potrà

sicuramente essere ripreso da chiunque abbia volontà, passione, tempo e sicuramente

nozioni maggiori sul software di quante ne abbia avuto io.

I campi di indagine potranno essere sviluppati e implementati a partire per esempio

dal collegamento del file GEOMETRIA DELLA SEZIONE che potrebbe esse incluso nel

file GEOAREE 2.0.2, o verificare anche le sezioni emisimmetriche o ancora le sezioni

elementari ruotate con un angolo inferiore a 45°, o nella formulazione del predimensiona-

mento e dimensionamento della sezione, ecc..

Ritengo perciò di non assumermi la podestà assoluta del programma ma penso di

aver aperto una strada che molti altri potranno, se vorranno, percorrere.

Calzone Pasquale

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