UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI SALERNO CARMINE LIMA e-mail: [email protected] [email protected] url: Corso...

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI SALERNOUNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI SALERNO

CARMINE LIMACARMINE LIMA

e-mail: [email protected]: [email protected]

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Corso diCorso diTECNICA DELLE COSTRUZIONI ITECNICA DELLE COSTRUZIONI I

Seconda Esercitazione ProgettualeSeconda Esercitazione ProgettualePROGETTO DI UN TELAIO PIANO IN C.A.PROGETTO DI UN TELAIO PIANO IN C.A.

Facoltà di IngengneriaFacoltà di Ingengneria

Corso di Laurea in Ingegneria Civile

Bozza del 14 Marzo 2010

Anno Accademico2009 / 2010

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TECNICA DELLE COSTRUZIONI i – a.a. 2009/2010

Bozza del 30 Marzo 2010a cura di: Carmine Lima

Analisi delle Sollecitazioni secondo il

Metodo dei vincoli ausiliari.

Tratto da: LEZIONI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI I – a.a. 2008/2009

A cura di: ENZO MARTINELLIwww.enzomartinelli.eu

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Esempio:Combinazione di carico n.2

1 2 3

Soluzione

(S0) (S1) (S2) (S3)

R3(2)

R2(2)

R1(2)

R3(0)

Ri(j): reazione del vincolo ausiliare i-

esimo sullo schema j-esimo

(S)

La soluzione dello schema S può essere ottenuta per sovrapposizione delle soluzioni Si imponendo che le reazioni dei vincoli ausiliari siano nulli:

Vincoli ausiliari (carrelli ad asse orizz.) Cedimento di

imposto al carrello i-esimo

s

n

j

jijii niRRR

s

...1 01

)()0(

R2(0)

R1(0)

METODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARIMETODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARI

R3(1)

R2(1)

R1(1)

R3(3)

R2(3)

R1(3)

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METODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARIMETODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARISi ottiene un sistema di tre equazioni (ognuna relativa ad uno dei vincoli ausiliari) da cui si possono trarre i valori dei coefficienti di combinazione j:

0

0

0

)3(33

)2(32

)1(31

)0(3

)3(23

)2(22

)1(21

)0(2

)3(13

)2(12

)1(11

)0(1

RRRR

RRRR

RRRR

321 ,,

Con riferimento a questa terna di valori, noti i parametri della soluzione S0 e delle soluzioni degli schemi Si, è possibile valutare tutti i parametri della soluzione dello schema S. Ad esempio il generico momento Mij si valuta per combinazione come segue: )3(

3)2(

2)1(

1)0(

ijijijijij MMMMM

Per attuare questo procedimento, ovviamente, è necessario risolvere gli schemi S0 e gli schemi Sj. Si tratta di schemi a “nodi fissi” nel senso che, per ognuno, si conoscono a priori i valori degli spostamenti di piano. Per lo Schema S0 (sul quale sono applicate le azioni che caratterizzano la combinazione di carico in oggetto) gli spostamenti sono nulli per effetto della presenza dei vincoli ausiliari; sullo schema Sj si impone al solo carrello j-esimo uno spostamento orizzontale. Su tutti gli schemi si valutano gli effetti delle azioni (carichi e cedimenti) dapprima in termini di momento e poi valutando i tagli (per equilibrio d’asta) e sforzi normali (per equilibrio di nodo). Dall’imposizione degli equilibri di nodo si desumono pure le reazioni dei vincoli ausiliari

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METODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARIMETODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARI

Il calcolo delle caratteristiche della sollecitazione con il metodo di Hardy-Cross con i vincoli ausiliari prevede, per ogni combinazione di carico considerata, la soluzione dello schema a nodi fissi S0 ed un numero di schemi Sj a nodi traslati pari al numero di nodi spostabili che caratterizza la struttura.

Si osserva che, volendo analizzare più combinazioni di carico, gli schemi a nodi traslati sarebbero gli stessi dal momento che essi attengono soltanto allo schema strutturale e non ai carichi applicati. Pertanto, andrebbe soltanto risolto lo schema a nodi fissi relativo alla combinazione di carico in oggetto le cui soluzioni in termini di reazioni dei vincoli ausiliari potrebbero essere utilizzate per il calcolo della terna di valori (1, 2, 3) relativa alla combinazione in oggetto.

E’ opportuno che il valore dello spostamento d da assegnare agli schemi Sj sia scelto in modo da generare momenti di incastro perfetto sui pilastri dello stesso ordine di grandezza di quelli che si trovano sulle travi nello schema S0 per effetto dei carichi.

pil

piltd

pilij

tddpilij EI

llq

U

lqlqU

721212

2222

[mm] 10101

12/60030072

)3000()5000(100 54

3

22

EE

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METODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARIMETODO DI CROSS CON VINCOLI AUSILIARILij b h Inerzia Wij Vij Uij

[cm] [cm] [cm] [cm4] [kNm] [kNm] [kN]1_4 350 40 50 416.667,00 119.047,70 59.523,90 51.020,40

4_7 350 40 50 416.667,00 119.047,70 59.523,90 51.020,407_10 350 40 50 416.667,00 119.047,70 59.523,90 51.020,40

2_5 350 80 50 833.333,00 238.095,10 119.047,60 102.040,80

5_8 350 80 50 833.333,00 238.095,10 119.047,60 102.040,808_11 350 80 50 833.333,00 238.095,10 119.047,60 102.040,80

3_6 350 40 50 416.667,00 119.047,70 59.523,90 51.020,40

6_9 350 40 50 416.667,00 119.047,70 59.523,90 51.020,409_12 350 40 50 416.667,00 119.047,70 59.523,90 51.020,40

4_5 450 30 60 540.000,00 120.000,00 60.000,00 40.000,005_6 500 30 60 540.000,00 108.000,00 54.000,00 32.400,00

7_8 450 30 60 540.000,00 120.000,00 60.000,00 40.000,008_9 500 30 60 540.000,00 108.000,00 54.000,00 32.400,00

10_11 450 30 60 540.000,00 120.000,00 60.000,00 40.000,0011_12 500 30 60 540.000,00 108.000,00 54.000,00 32.400,00

Asta

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12

Wij SWij

[kNm] [kNm]1_4 119047,70 0,332

4_5 120000,00 0,3354_7 119047,70 0,332

2_5 238095,10 0,338

4_5 120000,00 0,1705_6 108000,00 0,153

5_8 238095,10 0,338

3_6 119047,70 0,3445_6 108000,00 0,312

6_9 119047,70 0,344

4_7 119047,70 0,332

7_8 120000,00 0,3357_10 119047,70 0,332

5_8 238095,10 0,3387_8 120000,00 0,170

8_9 108000,00 0,153

8_11 238095,10 0,338

6_9 119047,70 0,344

8_9 108000,00 0,3129_12 119047,70 0,344

7_10 119047,70 0,498

10_11 120000,00 0,502

8_11 238095,10 0,511

10_11 120000,00 0,257

11_12 108000,00 0,232

9_12 119047,70 0,52411_12 108000,00 0,476

239047,70

466095,10

227047,70

tij

358095,40

704190,20

346095,40

358095,40

704190,20

346095,40

8

9

10

11

12

AstaNodo

4

5

6

7

Wij Vij

[kNm] [kNm]1_4 119047,70 59523,90 0,500

2_5 238095,10 119047,60 0,5003_6 119047,70 59523,90 0,500

4_5 120000,00 60000,00 0,500

5_6 108000,00 54000,00 0,5004_7 119047,70 59523,90 0,500

5_8 238095,10 119047,60 0,500

6_9 119047,70 59523,90 0,5007_8 120000,00 60000,00 0,500

8_9 108000,00 54000,00 0,500

7_10 119047,70 59523,90 0,500

8_11 238095,10 119047,60 0,5009_12 119047,70 59523,90 0,500

10_11 120000,00 60000,00 0,50011_12 108000,00 54000,00 0,500

Asta tij

4,5= -62,07 kNm 5,4= 62,07 kNm5,6= -76,63 kNm 6,5= 76,63 kNm7,8= -62,07 kNm 8,7= 62,07 kNm8,9= -76,63 kNm 9,8= 76,63 kNm10,11= -48,87 kNm 11,10= 48,87 kNm11,12= -60,33 kNm 12,11= 60,33 kNm

Momenti di incastro perfetto

SO

LU

ZIO

NE D

ELLO

SC

HEM

A S

SO

LU

ZIO

NE D

ELLO

SC

HEM

A S

00

Nodo Asta W ijS

jW ijtij

[kNm] [kNm]

4-1 1E+05 0.3324-5 1E+05 0.3354-7 1E+05 0.332

5-2 2E+05 0.3385-4 1E+05 0.1705-6 1E+05 0.1535-8 2E+05 0.338

6-3 1E+05 0.3446-5 1E+05 0.3126-9 1E+05 0.344

7-4 1E+05 0.3327-8 1E+05 0.3357-10 1E+05 0.332

8-5 2E+05 0.3388-7 1E+05 0.1708-9 1E+05 0.1538-11 2E+05 0.338

9-6 1E+05 0.3449-8 1E+05 0.3129-12 1E+05 0.344

10-7 1E+05 0.49810-11 1E+05 0.502

11-8 2E+05 0.51111-10 1E+05 0.25711-12 1E+05 0.232

12-9 1E+05 0.52412-11 1E+05 0.476

4

5

6

7

5E+05

2E+05

8

9

10

11

12

4E+05

7E+05

3E+05

4E+05

7E+05

3E+05

2E+05

- coefficienti di ripartizione nei vari nodi

- coefficienti di trasporto per le varie aste

- momenti di incastro perfetto dovuti ai carichi sulle aste

1 2 3

4 5 6

7 8 9

10 11 12

10,11= -48.87 kNm 11,10= 48.87 kNm11,12= -60.333 kNm 12,11= 60.33 kNm

7,8= -62.066 kNm 8,7= 62.07 kNm8,9= -76.625 kNm 9,8= 76.63 kNm

4,5= -62.066 kNm 5,4= 62.07 kNm5,6= -76.625 kNm 6,5= 76.63 kNm

Tratto da: LEZIONI DI TECNICA DELLE COSTRUZIONI Ia.a. 2008/2009


SO

LU

ZIO

NE D

ELLO

SC

HEM

A S

SO

LU

ZIO

NE D

ELLO

SC

HEM

A S

00Equilibrio del nodo 10 kNm 87.48)87.480(Meq

kNm 53.24502.087.48M 11,10

kNm 34.24498.087.48M 7,10 24.53

24

.34

Trasporto sull’asta 10-7 kNm 17.1250.034.24M 10,7

12

.17


12.27



SO

LU

ZIO

NE D

ELLO

SC

HEM

A S

SO

LU

ZIO

NE D

ELLO

SC

HEM

A S

00Equilibrio del nodo 11

kNm 41.0501.081.0M 8,11

kNm 21.0257.081.0M 10,11 -0.19

-0.4

1


-0.2

1


-0.09-0.21

kNm 81.0)27.1233.6087.48(Meq

kNm 19.0232.081.0M 12,11


-0.10



SO

LU

ZIO

NE D

ELLO

SC

HEM

A S

SO

LU

ZIO

NE D

ELLO

SC

HEM

A S

00Equilibrio del nodo 12

kNm 65.28476.024.60M 11,12

kNm 59.31524.024.60M 9,12 -28.65

-31

.59


-15

.79


-14.33

kNm 24.60)009.033.60(Meq



SO

LU

ZIO

NE D

ELLO

SC

HEM

A S

SO

LU

ZIO

NE D

ELLO

SC

HEM

A S

00

Solu

zion

e a

con

verg

en

za

Solu

zion

e a

con

verg

en

za

Si procede con il “giro” senza tornare su un nodo prima che non siano stati equilibrati tutti gli altri. La convergenza è raggiunta quando gli squilibri nodali sono non maggiori di 0.01 kNm



SOLUZIONE DELLO SCHEMA SSOLUZIONE DELLO SCHEMA S00

Calcolo delle reazioni dei vincoli ausiliariCalcolo delle reazioni dei vincoli ausiliari

tagli dei pilastri superiori

tagli dei pilastri inferiori

FiRi

(0)(0) (0) (0)

sup infi iR F T T

Fi ΣTsup(0) ΣTinf

(0) Ri(0)

[kN] [kN] [kN] [kN]102,48 0,00 0,77 -101,71

98,35 0,77 0,53 -98,5949,18 0,53 0,37 -49,34

12

UN

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SIT

à D

EG

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NO

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ON

DA

ES

ER

CIT

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N C

.A.



Lij Mij(0) Mji(0) qji Tij(0) Tji(0)

[cm] [kNm] [kNm] [kN/m] [kN] [kN]1_4 350 8,94 17,89 0,00 -7,67 -7,674_7 350 24,91 22,98 0,00 -13,68 -13,68

7_1 350 24,07 27,08 0,00 -14,61 -14,61

2_5 350 2,46 4,93 0,00 -2,11 -2,11

5_8 350 6,61 5,84 0,00 -3,56 -3,56

8_11 350 6,49 7,92 0,00 -4,12 -4,12

3_6 350 -11,84 -23,68 0,00 10,15 10,15

6_9 350 -32,57 -29,62 0,00 17,77 17,77

9_12 350 -31,64 -36,60 0,00 19,50 19,50

4_5 450 -42,79 73,57 36,78 75,92 -89,59

5_6 500 -85,13 56,26 36,78 97,72 -86,18

7_8 450 -47,07 70,84 36,78 77,47 -88,04

8_9 500 -83,16 61,26 36,78 96,33 -87,57

10_11 450 -27,08 62,13 28,96 57,37 -72,9511_12 500 -70,08 36,61 28,96 79,09 -65,71

Asta

2

2

d ij ij jiij

ij

d ij ij jiji

ij

p L M MT

L

p L M MT

L

SO

LU

ZIO

NE D

ELLO

SC

HEM

A S

SO

LU

ZIO

NE D

ELLO

SC

HEM

A S

jj- coefficienti di ripartizione nei vari nodi

- coefficienti di trasporto per le varie aste

- momenti di incastro perfetto dovuti ai carichi sulle aste

4,7= 25.51 kNm 5,8= 51.02 kNm 6,9= 25.51 kNm7,4= 25.51 kNm 8,5= 51.02 kNm 9,6= 25.51 kNm

1,4= -25.51 kNm 2,5= -51.02 kNm 3,6= -25.51 kNm4,1= -25.51 kNm 5,2= -51.02 kNm 6,3= -25.51 kNm



SO

LU

ZIO

NE D

ELLO

SC

HEM

A S

SO

LU

ZIO

NE D

ELLO

SC

HEM

A S

jj : : C

alc

olo

dei m

om

en

tiC

alc

olo

dei m

om

en

ti



SOLUZIONE DELLO SCHEMA SSOLUZIONE DELLO SCHEMA Sj j A NODI TRASLATIA NODI TRASLATICalcolo delle reazioni dei vincoli ausiliariCalcolo delle reazioni dei vincoli ausiliari

15

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EG

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ON

DA

ES

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CIT

AZ

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GETTU

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ETTO

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UN

TELA

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IAN

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.A.



tagli dei pilastri superiori

tagli dei pilastri inferiori

Ri(1)

(1) (1) (1)sup infiR T T

Fi ΣTsup(3) ΣTinf

(3) Ri(3)

[kN] [kN] [kN] [kN]0.00 0,00 31,88 31,88

0.00 31,88 -9,11 -40,990.00 -9,11 1,55 10,66

Lij Mij(3) Mji(3) qji Tij(3) Tji(3)

[cm] [kNm] [kNm] [kN/m] [kN] [kN]1_4 350 -0,43 -0,86 0 0,37 0,37

4_7 350 2,19 5,68 0 -2,25 -2,25

7_1 350 -14,97 -13,58 0 8,16 8,16

2_5 350 -0,91 -1,81 0 0,78 0,78

5_8 350 4,41 11,53 0 -4,55 -4,55

8_11 350 -29,39 -26,41 0 15,94 15,94

3_6 350 -0,47 -0,95 0 0,41 0,41

6_9 350 2,22 5,86 0 -2,31 -2,31

9_12 350 -14,42 -12,82 0 7,78 7,78

4_5 450 -1,33 -1,35 0 0,59 0,59

5_6 500 -1,25 -1,27 0 0,5 0,5

7_8 450 9,29 9,35 0 -4,14 -4,14

8_9 500 8,51 8,56 0 -3,41 -3,41

10_11 450 13,58 13,74 0 -6,07 -6,0711_12 500 12,67 12,82 0 -5,1 -5,1

Asta

2

2

d ij ij jiij

ij

d ij ij jiji

ij

p L M MT

L

p L M MT

L

SOLUZIONE CON IL METODO DEI VINCOLI AUSILIARISOLUZIONE CON IL METODO DEI VINCOLI AUSILIARI

103.20 -57.51 10.66 1 49.34-57.51 85.88 -40.99 2 98.5910.66 -40.99 31.88 3 101.71

=

A questo punto, note le reazioni dei vincoli ausiliari calcolate sullo schema S0 (e dovute ai carichi agenti su S) e sui tre schemi Sj, si possono determinare i valori numerici dei coefficienti aj che rendono nulle le reazioni dei vincoli ausiliari:

0

0

0

)3(33

)2(32

)1(31

)0(3

)3(23

)2(22

)1(21

)0(2

)3(13

)2(12

)1(11

)0(1

RRRR

RRRR

RRRR

Reazioni sullo schema S2

Reazioni sullo schema S0 (cambiate

di segno)

1 0.0239 0.0316 0.0326 49.34 7.612 0.0316 0.0718 0.0818 98.59 16.953 0.0326 0.0818 0.1256 101.71 22.44

= =

16

UN

IVER

SIT

à D

EG

LI

STU

DI

DI

SA

LER

NO

SEC

ON

DA

ES

ER

CIT

AZ

ION

E P

RO

GETTU

ALE –

PR

OG

ETTO

DI

UN

TELA

IO P

IAN

O I

N C

.A.



Soluzione secondo il Metodo dei Vincoli AusiliariSoluzione secondo il Metodo dei Vincoli Ausiliari

Asta Mij(0) Mij

(1) Mij(2) Mij

(3) Mij Mji(0) Mji

(1) Mji(2) Mji

(3) Mji

[kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm]

1,4 8.94 -24.97 3.59 -0.43 -129.84 17.89 -24.44 7.18 -0.86 -65.67

4,7 24.91 22.78 -18.12 2.19 -59.86 22.98 18.45 -21.50 5.68 -73.83

7,10 24.07 -6.85 20.85 -14.97 -10.46 27.08 -2.31 15.56 -13.58 -31.45

2,5 2.46 -49.88 7.36 -0.91 -272.52 4.93 -48.74 14.71 -1.81 -157.01

5,8 6.61 45.47 -35.84 4.41 -156.13 5.84 36.51 -42.73 11.53 -182.00

8,11 6.49 -14.04 41.39 -29.39 -58.28 7.92 -4.61 30.35 -26.41 -105.36

3,6 -11.84 -24.91 3.77 -0.47 -148.01 -23.68 -24.30 7.54 -0.95 -102.00

6,9 -32.57 22.69 -17.71 2.22 -110.49 -29.62 18.05 -21.22 5.86 -120.60

9,12 -31.64 -7.19 20.53 -14.42 -61.83 -36.60 -2.30 14.77 -12.82 -91.30

4,5 -42.79 1.65 10.94 -1.33 125.53 73.57 1.69 11.03 -1.35 243.19

5,6 -85.13 1.58 10.09 -1.25 69.91 56.26 1.61 10.17 -1.27 212.50

7,8 -47.07 -11.60 0.66 9.29 84.30 70.84 -11.71 0.68 9.35 203.02

8,9 -83.16 -10.75 0.66 8.51 37.26 61.26 -10.86 0.69 8.56 182.41

10,11 -27.08 2.31 -15.56 13.58 31.45 62.13 2.37 -15.77 13.74 121.21

11,12 -70.08 2.24 -14.58 12.67 -15.89 36.61 2.30 -14.77 12.82 91.30

)3(3

)2(2

)1(1

)0(ijijijijij MMMMM

Momenti in tm

17

UN

IVER

SIT

à D

EG

LI

STU

DI

DI

SA

LER

NO

SEC

ON

DA

ES

ER

CIT

AZ

ION

E P

RO

GETTU

ALE –

PR

OG

ETTO

DI

UN

TELA

IO P

IAN

O I

N C

.A.



DIAGRAMMI DEI MOMENTI PER LE TRE COMBINAZIONI DIAGRAMMI DEI MOMENTI PER LE TRE COMBINAZIONI DI CARICODI CARICO

18

UN

IVER

SIT

à D

EG

LI

STU

DI

DI

SA

LER

NO

SEC

ON

DA

ES

ER

CIT

AZ

ION

E P

RO

GETTU

ALE –

PR

OG

ETTO

DI

UN

TELA

IO P

IAN

O I

N C

.A.



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