Università degli Studi di Roma TreFacoltà di Ingegneria – A/A 2004-2005Corso di Tecnica delle Costruzioni – I° Modulo – Prof. F. Paolacci

LEZIONE N° 3 – STATO LIMITE ULTIMO PER TORSIONE

Posizione del problemaLa torsione di travi in c.a - I° stadio: il comportamento elastico

la torsione nelle sezioni monoconnesse La torsione nelle sezioni biconnesse

La torsione di travi in c.a - III° stadio: SLUquadro fessurativo di una trave in c.a. soggetta a torsioneIl modello a traliccioIl progetto delle armature longitudinaliIl progetto delle armature trasversali

Indicazioni normativeLe prescrizioni del D.M. 09.01.96Le prescrizioni dell’Eurocodice EC2

La contemporanea presenza di Torsione e taglioEsempio: calcolo dell’armatura a torsione di una trave a ginocchio

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SLU per torsione in travi in c.a. (Posizione del Problema)

Le azioni torcenti sono presenti in molte situazioni strutturali essendo i carichi difficilmente applicati al centro di taglio della trave. Tuttavia, nella pratica progettuale esse vengono in genere trascurate sia perché le strutture sono normalmente considerate piane, sia perché in effetti, a parte casi particolari, esse non producono rilevanti effetti indesiderati.

Torsione Primaria(Balconi, Scale, etc.)

Mt

Torsione Secondaria

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SLU per torsione in travi in c.a. (Posizione del Problema)

Il comportamento di travi in calcestruzzo soggette a torsione è molto differente al variare del livello di sollecitazione. Per bassi livelli di sollecitazione la trave si comporta con buona approssimazione come una trave di De Saint-Venant, dunque con sezione interamente reagente (I° Stadio). Al crescere del momento torcente la trave comincia a fessurarsi con riduzione della rigidezza torsionale. La resistenza della trave allo stato limite ultimo è fornita da una parte limitata della sezione e dalle armature presenti.

Mt crescente

I° Stadio III° Stadio

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La torsione in travi in c.a. (I° stadio)

SEZIONI MONOCONNESSE (SEZIONI RETTANGOLARI)Al I° stadio la trave si comporta approssimativamente come una trave di De Saint-Venant soggetta a Momento Torcente. Le tensioni tangenziali presentanoun andamento lineare che si annulla a metà dello spessore.

hbM

2t

max ψτ =

→∞=→=

=3b/h79.41b/h

ψ

And

amen

to d

elle

tens

ioni

tang

enzi

ali τ Tensioni Tangenziali

Rigidezza Torsionale

hGbMK 3tt β

θ==

→∞=→=

=3/1b/h

41.01b/hβ

Angolo di torsione: Rotazione tra due sezioni a distanza unitaria

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SLU per torsione in travi in c.a. (I° stadio)

SEZIONI MONOCONNESSE (SEZIONI RETTANGOLARI)Nelle travi con sezione decomponibile in più rettangoli, il momento torcente agente nei singoli rettangoli si valuta in proporzione alla rigidezza torsionale dei rettangoli stessi.

Momento Torcente e tensioni tangenziali nel rettangolo i-mo

Mt1

Mt2

Mt3

τmax,i

i2

i

tiiimax, hb

Mψτ =∑

=i

ti

titti K

KMM

N.B. il procedimento per la valutazione dei singoli momenti torcenti Mti è in realtà esatta solo per h/b=∞, ma può essere accettata con tollerabile approssimazione anche in sezioni con spessore non trascurabile.

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SLU per torsione in travi in c.a. (I° stadio)SLU per torsione in travi in c.a. (I° stadio)

SEZIONI CAVE (VALUTAZOINE TENSIONI TANGENZIALI)Nelle travi a sezione cava le relazioni precedenti non sono applicabili. Per sezioni di piccolo spessore esiste una teoria approssimata dovuta a Bredt che permette di valutare la tensione media lungo lo spessore.

La forza elementare agente sul tratto di sezione di lunghezza ds risulta essere pari a:

Ω

dsqdF =Il momento esterno Mt dovrà essere equilibrato dalla somma dei momenti che le forze dF hanno rispetto al baricentro della sezione:

∫∫∫ Ω==== q2rdsqrdsqqdsrMt

h2Mt

Ω=τ

Costanza flusso delle tensioni

Formula di Bredt

se h=cost

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SLU per torsione in travi in c.a. (I° stadio)SLU per torsione in travi in c.a. (I° stadio)

SEZIONI CAVE (VALUTAZIONE RIGIDEZZA TORSIONALE)La rigidezza torsionale di travi cave di piccolo spessore si può trovare facilmente utilizzando il principio di conservazione dell’energia. Uguagliando infatti l’energia di deformazione al lavoro delle forze esterne si ha:

θθ t

2

t K

hds

G4M =Ω

=∫

Rigidezza Torsionale

θte M21L =

Lavoro Esterno

Energia di deformazione

h2Mt

Ω=τ∫= dVLi γτ

∫= dVM21

t γτθ)1(2

EGG ντγ

+==Ponendoei LL =

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SLU per torsione in travi in c.a. (III° stadio)

LINEE ISOSTATICHE DI UNA TRAVE SOGGETTA A TORSIONE

Mt

Fessura

Le linee isostatiche di una trave cava soggetta a momento torcente sono quelle schematicamente indicate nella figura in basso.

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SLU per torsione in travi in c.a. (III° stadio)

STATO FESSURATIVO E MODELLO A TRALICCIO

Nel momento in cui la trave si fessura perde rigidezza e la sezione reagisce solo parzialmente alla sollecitazione. Allo stato limite ultimo è ragionevole adottare un modello a traliccio, considerando come parte reagente della sezione una sezione cava di spessore h. L’andamento delle linee isostatiche prima illustrato suggerisce il modello indicato in figura costituito da bielle compresse di cls e bielle tese rappresentate dall’armatura in ognuna delle quattro facce esterne. Questi quattro modelli piani sono poi connessi nello spazio mediante armature longitudinali.

h

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SLU per torsione in travi in c.a. (III° stadio)

CALCOLO ARMATURE LONGITUDINALI

Considerata un porzione della sezione di lunghezza unitaria la forza su di esse (scorrimento) vale τh dove h è lo spessore della sezione tubolare. Per l‘equilibrio questa forza si scompone in una forza nell’armatura long. (Fl) e un’altra nella biella compressa (C).

αατ

sin2M

sin1hC t

Ω==

0.4<cotα<2.5

dα

αtan2

McosCF tl Ω

==

yd

t

yd

ll ftan2

pMf

pFAαΩ

==

p = perimetro sezione tubolare

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SLU per torsione in travi in c.a. (III° stadio)

CALCOLO ARMATURE TRASVERSALI

La forza di compressione C allo spigolo della sezione ha una componente orizzontale equilibrata dall’armatura longitudinale. La componente verticale deve essere invece equilibrata da un’armatura trasversale (staffe)

Ω=

2MfAn t

ydst,1st

scotdnst

α=

N° staffe intercettare da una biella di cls

Ω==

2MsinCF t

st α

αtanpfA2

M ydlt =

α2lst tanp

As

A=

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SLU per torsione in travi in c.a. (III° stadio)

CALCOLO ARMATURE TRASVERSALI

La forza di compressione C allo spigolo della sezione ha una componente orizzontale equilibrata dall’armatura longitudinale. La componente verticale deve essere invece equilibrata da un’armatura trasversale (staffe)

α2lst tanp

As

A=

Fissato l’angolo α e determinata la quantità di armatura longitudinale Al si può determinare l’area delle staffe per unità di lunghezza della trave. In alternativa, fissata l’armatura trasversale si può determinare l’angolo α di inclinazione delle fessure e il momento torcente ultimo

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SLU per torsione in travi in c.a. (III° stadio)

VERIFICA BIELLE COMPRESSE

La forza di compressione C deve essere compatibile con la resistenza del cls. In particolare la tensione nella biella di cls compresa tra due fessure a distanza unitaria, la cui area resistente è pari a A=1 x h x cosα

ασ

2sinhM

AC t

c Ω==

Se α = 45°

hM

AC t

c Ω==σ hfM cdC,tu Ω=

Momento ultimo per rottura del cls

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SLU per torsione in travi in c.a. (III° stadio)

RIFERIMENTI NORMATIVI (D.M. 9.1.96, punto 4.2.3)

Le normative danno indicazioni su come scegliere lo spessore della sezione tubolare reagente.In particolare il D.M. 9.1.96 prescrive che lo spessore si pari ad 1/6 del raggio del massimo cerchio inscritto nel poligono che ha come vertici le armature longitudinali

6dh =

N.B. (punto 4.2.3.2)Per la verifica delle bielle compresse si deve assumere una resistenza pari a ½ fcd

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SLU per torsione in travi in c.a. (III° stadio)

RIFERIMENTI NORMATIVI (EUROCODICE 2)

L’eurocodice impone che lo spessore sia pari al rapporto tra l’area racchiusa dal perimetro esterno e il perimetro esterno p stesso.

A

hpAh = A = area racchiusa dal perimetro esterno p

L’EC2 impone inoltre che per la verifica delle bielle compresse la resistenza sia ridotta del fattore ν

35.0200f7.07.0 ck ≥

−=ν

Nelle travi a a cassone se le staffe sono disposte su entrambe le facce ν può essere ≥ 0.5

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SLU per torsione in travi in c.a. (III° stadio)

LA CONTEMPORANEA PRESENZA DI TAGLIO E TORSIONE

Nella maggior parte dei casi gli elementi strutturali sottoposti a torsione sono anche in genere sottoposti anche a taglio. Si pensi ad esempio ad una trave che garantisca l’equilibrio dell’aggetto di un balcone e contemporaneamente garantisca l’equilibrio ai carichi verticali rappresentati dal peso del solaio e della tamponatura, oltre che al preso proprio. La contemporanea azione di taglio e

torsione produce un certo grado di interazione tra le due sollecitazione che tuttavia nella pratica progettuale si ritiene opportuno trascurare. Le armature così calcolate si sommano semplicemente. Occorre però verificare la seguente condizione (D.M.

9.1.96):

1VV

MM

u

d

tu

td ≤+Mtu = momento torcente ultimo

Vu = Taglio ultimo

Mtd

Vd (Taglio di calcolo)

(Momento torcente di calcolo)

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ESEMPIO

Progettare le armature della sezione rettangolare indicata nella figura seguente seguendo le indicazioni della normativa italiana (D.M. 9.1.96):

Momento torcente di calcolo Mtd = 30 kNm

b

hDati sezioneBase b = 35 cmAltezza c = 50 cm

Dati MaterialiCLS Rck 30 MpaAcciaio FeB44K

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SLU per torsione in travi in c.a. (III° stadio)

ESEMPIO: CALCOLO ARMATURE SECONDO IL D.M. 9.1.96

Ω

Ω