Università degli studi di Pisa

Facoltà di Ingegneria

Tesi di Laurea

Identificazione di modelli di Hammerstein e di Wiener

Relatori: Candidato: Prof. Ing. Aldo Balestrino Alessio Campani

Prof. Ing. Alberto Landi

Obiettivi

Studiare il problema dell’identificazione dei

sistemi non lineari del tipo di Hammerstein e

di Wiener

Approccio basato sui filtri di Kautz e le reti

neurali artificiali per il modello di Wiener Approccio basato sulla tecnica delle funzioni

modulanti per i sistemi di Hammerstein

Identificazione

?

Modello (struttura, ordine)

Parametri

Modelli di Hammerstein e di Wiener

Approccio a blocchi

Dinamica lineare rappresentata con una funzione di

trasferimento

Non linearità statica (senza memoria) rappresentata

con una funzione algebrica

Modelli di Hammerstein e di Wiener

G(•) N.L.

N.L. G(•)

Wiener:

Hammerstein:

Identificazione del modello di Wiener

G(•) La dinamica lineare viene identificata con un filtro di Kautz

N.L. La non linearità viene identificata con una rete neurale artificiale

Filtro di Kautz

czcbz

bzc

1

12

2

czcbz

zcbcz

1

112

2

czcbz

zcbcz

1

112

2

czcbz

bc

1

)1)(1(2

22

czcbz

zcbcz

1

112

2

czcbz

zcbcz

1

112

2

g1

g3

g2k-1

g2

g4

g2k

Struttura dell’approssimatore

G(·) N.L.

Sistema da identificare

Filtro di Kautz Buffer N.N.

Approssimatore

Struttura dell’approssimatore

czcbz

bzc

1

12

2

czcbz

zcbcz

1

112

2

czcbz

bc

1

)1)(1(2

22

czcbz

zcbcz

1

112

2

f

w1,1

wn,1

N.N.

N.N.

SoftwareAmbiente Matlab® (ver. 6.5)

M-files, schemi Simulink, S-functions

Sistemi SISO tempo invarianti

Non linearità polinomiali e non

Dinamica lineare con poli reali e complessi coniugati

Sistemi in tempo discreto e tempo continuo

Software

Identificazione on line

Rete neurale addestrata in back propagation

Back propagation implementata con l’algoritmo di

Levenberg-Marquardt

Campioni memorizzati in un buffer gestito

a finestra mobile

eJIJJww TTkk

1

1

SoftwarereteK2.m

Costruzione del sistema da identificare

Impostazione della struttura del filtro di Kautz (numero di

blocchi, parametri per incorporare nel modello le

informazioni a priori)

Costruzione della rete neurale nello spazio di lavoro

(struttura, parametri per l’addestramento,...)

SoftwareapprendiK.m

Durata della simulazione

Lancio della simulazione sullo schema Simulink

schemaK.mdl

Invoca la funzione vedi

addestra_reteK.m (S-function)

Gestione del buffer

Algoritmo LM

Softwarevedi.m

Andamento dei parametri della rete neurale e dell’errore durante l’addestramento

valida_reteK.m (S-function)

Evoluzione della rete neurale addestrata

vedival.m

Andamento uscite misurata e approssimata

Errore

Indici di prestazione

Indici di prestazione

s

N

nkk

nN

e

MSE s

2

kk

eMaxAssErr max

s

N

nk k

k

nN

soglias

e

lMSE s

2

Re

sogliay

elErrMax

k

k

kmaxRe

Segnale

MSE

nN

Segnalee

lMSEEnds

N

nk

k

s

max

maxRe

2

Segnale

elErrMaxEnd

kk

max

maxRe

Esempio

5.05.05.05.0

1

jzjz xxy 3

Fase di addestramento:

Rumore bianco

Somma di sinusoidi

Somma di gradini

EsempioRisposta a un ingresso sinusoidale

Esempio

MSE MaxAssErr RelMSE MaxRelErr EndRelMSE MaxEndRelErr

0.7232 3.5670 0.0072 0.0590 0.0017 0.0083

Indici di prestazione

Fuzzy scheduling

Considerazione preliminare

Il nostro approssimatore risponde bene quando in ingresso diamo un segnale di tipo rumore bianco costruito con un generatore di numeri

casuali (potenza) in cascata ad un filtro di Butterworth (contenuto frequenziale)

Fuzzy scheduling

R costante +Rumore Bianco

Sistema Y=Ym+ γ

Idea

Addestrare la rete neurale con i segnali epurati dei rispettivi valori medi

Fuzzy schedulingConclusioni

Otteniamo un modello “alle variazioni”

Reiterando il procedimento per diversi valori

della componente costante otteniamo un

meccanismo di schedulazione che associa ad

ogni punto di lavoro (Rm, Ym) il modello che

meglio approssima il sistema in quel punto

Identificazione del modello di Hammerstein

Tecnica delle funzioni modulanti

altrimenti

Tttt

0

0

nidt

di

i

nidt

d

dt

d

Tti

i

ti

i

000

Moltiplicare entrambi i membri dell’equazione

differenziale che descrive il sistema per una funzione Φ

Integrare per parti in modo da ‘trasferire’ l’operazione

di derivazione dai segnali (che possono essere affetti

da rumore) alle funzioni modulanti

Si ottiene un sistema di equazioni algebriche che può

essere risolto col metodo della pseudoinversa

SoftwareAmbiente Matlab® (ver. 6.5)

Libreria basata sulle funzioni spline di

Maletinsky (Sani-Corsanini DSEA)

Aggiunti schemi Simulink per la raccolta dati e

la verifica

Sistemi SISO tempo invarianti Non linearità polinomiali

Dinamica lineare a guadagno statico unitario

Sistemi in tempo continuo

Softwaresistema.mdl

Simula l’evoluzione del sistema da identificare con un rumore bianco in ingresso; al termine della simulazione il

comando save workspace di Matlab crea il file con tutti i dati necessari all’identificazione

Softwarefunction [num,den,nlc]=fun_mod_ham(periodo,np,nz,g,nomefile)

Ampiezza della finestra di integrazione

Numero di poli della dinamica lineare

Numero di zeri della dinamica lineare

Grado della non linearità polinomiale

File contenente gli istanti di campionamento e i segnali di ingresso e di uscita misurati

Coefficienti del numeratore della f.d.t. approssimata

Coefficienti del denominatore della f.d.t. approssimata

Coefficienti della rappresentazione polinomiale della n.l.

Risolve col metodo della pseudo-inversa un sistema algebrico della dimensione

opportuna ottenuto a partire da una spline di ordine n_poli+2

I coefficienti di ordine 0 al numeratore e al denominatore della f.d.t. valgono sempre 1

(condizione sul guadagno statico); il coefficiente di ordine 0 della n.l. vale sempre 0

(non linearità passante per l’origine)

Softwarefun_mod_ham utilizza le seguenti funzioni:

simf_ham

Genera il sistema algebrico della dimensione opportuna

Invoca la funzione gen_fr_spline per generare la funzione modulante e

le sue derivate

Invoca gen_riga_s_ham per ricavare un’equazione del sistema alla

volta; l’integrazione viene fatta dalla funzione ausiliaria simpson che

implementa l’integrazione numerica di Cavalieri-Simpson

SoftwarePer verificare la correttezza dell’identificazione:

verifica.mdl

Simula l’evoluzione dei sistemi reale ed approssimato

vedi_verifica.m

Andamento delle uscite reale e approssimata

Andamento dell’errore

Indici di prestazione

Esempio

2ux 165

12 ss

Segnale in ingresso:

Rumore bianco limitato in banda (Noise Power = 1, Sample Time = 0.1)

Segnale in fase di verifica:

Rumore bianco limitato in banda (Noise Power = 0.1; Sample Time = 0.5)

Esempio

Esempio

MSE MaxAssErr RelMSE MaxRelErr EndRelMSE MaxEndRelErr

0.0040 0.0078 0.0197 0.0356 0.0190 0.0373

Conclusioni

Sistemi di Wiener

Le difficoltà incontrate con gli algoritmi tradizionali a causa della non disponibilità di una buona

rappresentazione per l’uscita non lineare possono essere superate grazie alle proprietà di semplificazione delle basi

di funzioni ortonormali e alla flessibilità dell’approccio con le reti neurali

Sistemi di Hammerstein

L’estensione della tecnica delle funzioni modulanti al caso di sistemi non lineari modellizzati alla Hammerstein

fornisce buoni risultati

Suggerimenti

Il nostro lavoro potrebbe essere integrato con algoritmi per l’identificazione dei sistemi misti e l’aggiunta di un’interfaccia grafica per semplificare l’utilizzo dei

programmi