Università Degli Studi di FerraraElettronica Analogica

Docente: Prof. Ing. Giorgio Vanninigiorgio.vannini@unife.it

Richiami di Fisica dei Dispositivi Elettronici

2

Legame cristallino (I)Solido: immagino di comprimere un opportuno insieme di atomi liberi ed analizzo le interazioni al decresere della distanza interatomicaCaso particolare: due atomi A e B che si avvicinano per formare la molecola biatomica AB

E: energia di interazione tra i due atomir0: lunghezza del legame ABD0: energia elettronica del legame ABD: energia effettiva di dissociazione del legame

3

Legame cristallino (II)

r0: lunghezza del legame AB

r>r0: forze attrattive , r<r0: forze repulsive

I due nuclei non sono fermi ma oscillano attorno alle loro posizioni di equilibrio

4

Struttura cristallina (III)Materiali semiconduttori

Materiali semiconduttori III-V(e.g. GaAs): Reticolo della zincoblenda

Materiali semiconduttori del IV Gruppo(e.g. Si, Ge): Reticolo del diamante

5

Struttura cristallina (IV)

Ciascun atomo possiede quattro elettroni nell’orbita più esterna che condivide con i quattro atomi adiacenti. Tale condivisione prende il nome di legame covalente (forze di attrazione operate da entrambi i nuclei sugli elettroni).

Nel caso di materiali III-V oltre alla forza legante del legame covalente vi è l’attrazione tra ioni Ga- e As+.

6

Modello a bande di energia (I)Livelli energetici di un atomo di

idrogeno isolato: l’energia è quantizzata!

40

2 2 2 20

13.68 H

m qE eVh n n

1 eV = 1.602 × 10-19 Jq = 1.602 × 10-19 C (carica dell’elettrone)

h = 6.626 × 10-34 Js (cost Planck)n = numero quantico principale

m0 = 0.9109 × 10-30 kg (massa elettrone libero)ε0 = 8.854 × 10-14 F/cm (permettività spazio libero)

7

Modello a bande di energia (II)

N atomi -> N livelli di energia distinti e vicini -> banda di energie continua

1 A (angstrom )= 0.1 nm

Silicio

8

Modello a bande di energia (III)

Isolanti (SiO2): gli elettroni di valenza formano legami molto forti con gli atomi adiacenti, non vi sono elettroni liberi disponibili per la conduzione.Semiconduttori: gli elettroni di valenza formano legami moderatamente forti con gli atomi adiacenti che possono essere spezzati da vibrazioni di origine termica.Metalli: banda di conduzione solo parzialmente riempita e sovrapposta alla banda di valenza.

9

Modello a bande di energia (IV)

Banda Proibita (Eg): funzione della temperatura

Quando l’energia di un elettrone aumenta, l’elettrone si sposta verso una posizione più elevata nel diagramma a bande (discorso inverso per le lacune).

10

Modelli a bande e a legame covalente

Nel legame covalente viene a mancare un elettrone, risulta

comodo introdurre una particella fittizia: lacuna

Semiconduttore intrinseco: numero di elettroni in banda di conduzione uguale al numero di

lacune in banda di valenza

11

Drogaggio (I)Introduzione di impurità di tipo sostituzionale (Donatori e Accettatori)

Semiconduttore estrinseco (o drogato): numero di elettroni in banda di conduzione diverso dal numero di lacune in banda di valenza!!

12

Drogaggio (II)Dipendenza dalla temperatura della concentrazione di portatori

Esempio: semiconduttore di tipo n

Basse temperature: energia termica nel cristallo non sufficiente a ionizzare tutte le impurità donatrici (n<ND).Medie temperature: energia termica nel cristallo sufficiente a ionizzare tutte le impurità donatrici (n=ND). Regione estrinsecaAlte temperature: importante generazione di coppie elettrone-lacuna tramite rottura di legami covalenti. Regione intrinseca (ni=ND).

13

Equilibrio termodinamicoDensità di portatori liberi: funzione dell’energia netta nel semiconduttoreEnergia netta: vibrazioni reticolari del cristallo (fononi) ed energia degli elettroni

Ipotesi: assenza di eccitazioni esterne (e.g. radiazione fotoelettronica) ->Energia totale dipende esclusivamente dalla temperatura del cristallo

Equilibrio termodinamico (ET): situazione dinamica in cui ciascun processo risulta bilanciato dal processo inverso

1G f T 2 R n p f TG velocità di generazioneR velocità di ricombinazionen concentrazione di elettronip concentrazione di lacuneni concentrazione di portatori in un semiconduttore intrinseco

14

Legge dell’azione di massa

Caso particolare: semiconduttore intrinseco

Legge dell’azione di massa: valida per semiconduttori estrinseci

ed intrinseci, in equilibrio termodinamico

21

32

ii i

f Tn p f T n

f TTutti i portatori provengono da

eccitazione attraverso l’intervallo proibito (ni = 1.45 × 1010 cm-3 ,

T = 300 K)

23

in p f T n

2 1 n p f T f T 1

32

f T

n p f Tf T

In condizioni di equilibrio

15

Condizione di neutralità della carica

d aN p N n

22

2 2

d a d ai

N N N Nn n

Condizione di neutralità della carica (Regioni neutre)Ipotesi: Condizione di ionizzazione completaNd concentrazione di atomi donatoriNa concentrazione di atomi accettatori

0

d a d

d a

N N n NN N n

Compensazione: n=f(Nd-Na)

ni = 1.45 × 1010 cm-3 , T = 300 KNd\a ≈ 1015 cm-3≫

≪

16

Livello di Fermi (I)

Funzione di distribuzione di Fermi-Dirac: probabilità che uno stato permesso di energia E sia occupato da un elettrone, in condizioni di ET

1

1 exp

Df

f EE E

kT

g(E) densità degli stati disponibili

Ef energia di Fermi o livello di Fermi

fD(E)·g(E) distribuzione degli elettroni in funzione dell’energia

17

Livello di Fermi (II)

Funzione di distribuzione di Maxwell-Boltzmann (MB)

1

1 exp

Df

f EE E

kT

Densità di elettroni in banda di conduzione

Densità di lacune in banda di valenza

DBC

n f E g E dE

1 DBV

p f E g E dE

Materiale di tipo n, non fortemente drogato

exp

fD M

E Ef E f E

kT

Può essere ricavata direttamente trascurando il

principio di esclusione di Pauli nella derivazione di f(E)

18

Livello di Fermi (III)

DBC

n f E g E dE exp

fD M

E Ef E f E

kT

exp

c fc

E En N

kTexp

f vv

E Ep N

kT

analogamente

3* 2

222

n

cm kTNh

3* 2

2

22

pv

m kTN

h

Densità efficaci di stati ai bordi delle bande di valenza e conduzione

(Si, T = 300 K, Nc = 2.8 × 1019 cm-3

Nv = 1.0 × 1019 cm-3 )

mn*, mp

* masse efficaci di elettroni e lacune

19

Livello di Fermi (IV)

exp

c fc

E En N

kTexp

f vv

E Ep N

kTn p

Nc ≈ Nv

p n

c f f vE E E E f v c fE E E E

in p n

c f f vE E E E

2

c vf i

E EE E

Ei livello di Fermi intrinseco

Semiconduttore drogato n

Semiconduttore drogato p

Semiconduttore intrinseco≫ ≫

≪ ≪

20

Livello di Fermi (V)

exp c i

cE En N

kTexp

i vv

E Ep NkT

in p n

Nd≈ Nc o Na≈ Nv semiconduttori degeneri (proprietà elettroniche simili a quelle dei metalli) non più valida la statistica di MB.

Semiconduttore intrinseco

2 exp exp c v G

i c v c vE E En N N N N

kT kT

Semiconduttore estrinseco

exp

i fi

E En n

kTexp

f ii

E Ep n

kT

21

Livello di Fermi (VI)

In condizioni di equilibrio i due flussi devono compensarsi:

Uniformità del livello di Fermi all’equilibrio

Si supponga per assurdo vi sia un sistema in equilibrio nel quale Ef non

risulti uniforme

1 1 2 21 f E g E f E g E

1 2

Ef1

Ef2

2 2 1 11 f E g E f E g E

Proporzionale al numero di elettroni per unità di volume che passa da 1->2

Proporzionale al numero di elettroni per unità di volume che passa da 2->1

2 1 1 21 1 f E f E f E f E 2 1f E f E 1 2f fE E

22

Equazioni del trasporto

n n

p p

kTDqkTDq

nx n x n

px p x p

dnJ nq qDdxdpJ pq qDdx

Costanti di diffusione Dn Dp

Relazioni di Einstein legano la costante di diffusione alla mobilità (µn, µp)

Equazioni del trasporto (modello drift-diffusion)

23

Distribuzioni di impurità non uniformi (I)Concentrazione di drogante funzione della posizione•Inizialmente la concentrazione di portatori maggioritari coincide con quella del drogante (non equilibrio)•Il gradiente di concentrazione di portatori mobili origina un flusso di portatori per diffusione•Lo spostamento dei portatori dalle loro posizioni iniziali scopre cariche non compensate di segno opposto (ioni droganti)•Tale separazione di cariche positive e negative crea un campo che si oppone al flusso di portatori per diffusione•Equilibrio: la tendenza dei portatori a diffondere è esattamente bilanciata dalla tendenza a muoversi nella direzione opposta a causa del campo

La separazione tra livello di Fermi ed i bordi delle bande di valenza e di conduzione varia con la posizione

24

Distribuzioni di impurità non uniformi (II)L’energia di un elettrone (E) viene misurata dalla distanza tra l’energia dell’elettrone ed il livello di Fermi.(Ef-Ec) ed (Ec-E) rappresentano rispettivamente l’energia potenziale e cinetica dell’elettrone.

Potenziale riferito ad Ec

c f f cc

E E E Eq q

i f f iE E E E

q q Potenziale riferito ad Ei

1 i

xdEd

dx q dx Campo elettrico

0

1

1

nx n x n

x

x

dnJ nq qDdx

kT dnq n dx

kT dpq p dx

In condizioni di equilibrio

25

Distribuzioni di impurità non uniformi (III)

Equazione di Poisson (teorema di Gauss)

Risolvibile solo in casi specifici

exp

i fi

E En n

kT

exp

f ii

E Ep n

kT

exp i

qn nkT exp

iqp nkT

2

2

2 sinh

d as

i a ds

d q p n N Ndx

q qn N NkT

Quasi neutralità

1

1

dx

d

ax

a

dNkTq N dx

dNkTq N dx

\

\ 0

cos 0

cos

d a xx

d a x

N t

kTN N e tq

Piccoli gradienti di

concentrazione

26

Giunzioni P-NAnalisi in equilibrio

La struttura risulta suddivisa in zone di quasi neutralità (i.e. lontane dallagiunzione) e zone completamente svuotate (i.e. di transizione a cavallodella giunzione)

•Posti a contatto i due materiali di tipo p ed n, la differenza di concentrazione di portatori provoca un flusso di elettroni dal semiconduttore di tipo n a quello di tipo p (ed un flusso di lacune dal semiconduttore di tipo p a quello di tipo n)•I portatori spostandosi lasciano cariche fisse non compensate in prossimità della giunzione, tali distribuzioni di carica instaurano un campo elettrico•Al campo elettrico risulta associata una barriera di potenziale che, in condizioni di equilibrio, bilancia esattamente la tendenza dei portatori a diffondere

sn spq

27

Giunzione brusca (I)

28

Giunzione brusca (II)Assumendo costanti le concentrazioni di drogante (Nd ed Na) risulta possibile risolvere l’equazione di Poisson e determinare l’andamento del campo elettrico e del potenziale

2

2 xd a

s

dd q N Ndxdx

Densità di carica non nulla nelle sole

regioni di svuotamento

2

2

2

2

, 0

, 0

xd n

s

xa p

s

dd q N x xdxdx

dd q N x xdxdx

, 0

, 0

dx n n

s

ax p p

s

qN x x x x

qN x x x x

0 x n x px x

0 0 x x a p d nN x N x

La larghezza della regione svuotata varia inversamente con la concentrazione di drogante

2

2

, 02

, 02

,

dn n n

s

ap p p

s

n n p p

qNx x x x x

qNx x x x x

x x

29

Giunzione brusca (III)

exp i

qn nkT

exp i

qp nkT

ln

ln

dn

i

ap

i

NkTq n

NkTq n

2ln

i

a di n p

N NkTq n

Potenziale intrinseco (built-in)

d n px x xLarghezza della regione svuotata

max12

xd ix max 0

xd a

n ps s

qN qNx x

12

d dn n n i

a s

N qNx x xN

12 1

s dn i

d a

NxqN N

12 1

s ap i

a d

NxqN N

2 1 1

s

d id a

xq N N max 2

xa d

is a d

N NqN N

a p d nN x N x

30

Equazione di continuità (I)L’equazione di continuità esprime il bilancio del flusso di portatori liberi entranti ed uscenti in un volume infinitesimo (può essere scritta sia per i portatori maggioritari che minoritari)

Considerando il generico volume di sezione A e lunghezza dx la variazione temporale del numero di elettroni può essere calcolata considerando i seguenti contributi:•numero di elettroni entranti•numero di elettroni uscenti•Generazione•Ricombinazione

n nn n

J x J x dxn Adx A G R Adxt q q

Gn ed Rn rappresentano la velocità di generazione e ricombinazione degli elettroni per unità di volume

31

Equazione di continuità (II)

Equazioni di continuità per elettroni e lacune

n nn n

J x J x dxn Adx A G R Adxt q q

Sviluppando in serie di Taylor Jn(x+dx) e trascurando i termini di grado ≥ 2

1

1

nn n

pp p

J xn G Rt q x

J xp G Rt q x

nx n n

px p p

dnJ nq qDdxdpJ pq qDdx

2

2

2

2

n n n n n

p p p p p

x n x n xn n x x D G Rt x x x

x p x p xp p x x D G Rt x x x

Ipotesi: µ e D indipendenti da x

Possono essere semplificate e risolte in diversi casi di interesse pratico (e.g. costante)

32

Caratteristica I-V delle giunzioni P-N (I)•Sezione trasversale costante di area A•Giunzione non illuminata (densità di portatori funzione unicamente di Va)•Va sostenuta interamente dalla giunzione (trascuro cadute nelle regioni quasi neutre, contatti ohmici ideali) -> i aV

Condizioni al contorno per le densità dei portatori minoritari

•Basse iniezioni (le concentrazioni di portatori maggioritari nelle zone neutre ed al confine con la zona svuotata non risultano significativamente alterate da Va)•Quasi equilibrio (Va sufficientemente piccola ->piccoli scostamenti dalla condizione di equilibrio -> Jn e Jp ≈ 0)

Approssimazioni entrambe verificate per a iV ≪

33

Caratteristica I-V delle giunzioni P-N (II)Condizioni al contorno per le densità dei portatori minoritari

0 0

0 0

exp exp

exp exp

exp

exp

i ip p n n d n

i in n p p a p

i ap p d n

i an n a p

q qn x n x N xkT kTq qp x p x N xkT kT

q Vn x N x

kT

q Vp x N x

kT

pn0, np0 densità di portatori minoritari in condizioni di ET pn, np densità di portatori minoritari

exp , exp i i

q qn n p nkT kT

0 0' , ' n n n p p p p’, n’ eccessi di densità di portatori

pn’, np’ eccessi di densità di portatori minoritari ai bordi della

regione svuotata

'0

'0

exp 1

exp 1

ap p p p

an n n n

qVn x n xkT

qVp x p xkT

34

Caratteristica I-V delle giunzioni P-N (III)Analisi del diodo idealeSi considerano le lacune nella regione quasi neutra n, formulazione SHR(Schockley-Hall-Read) semplificata per (Gp – Rp)

2

2

2 2 ' 20

2 2 2

n nnp n p p p p

n n n n n np p p p p

p p

x p x p xp p x x D G Rt x x x

p x p x p x p x p pD G R D Dx x x

Formulazione SHR semplificata: la velocità di ricombinazione dipende essenzialmente dalla concentrazione di eccesso di portatori minoritari e dal relativo tempo di vita

In condizioni stazionarie e considerando un drogaggio costante

2 ' '

20

n np

p

p x p xD

x

'

'

exp exp

exp exp

n nn

p p p p

p pp

n n n n

x x x xp x A BD D

x x x xn x C D

D D

35

Caratteristica I-V delle giunzioni P-N (IV)

'

'

exp exp

exp exp

n nn

p p

p pp

n n

x x x xp x A BL L

x x x xn x C D

L L

, p p p n n nL D L D

Ln ed Lp lunghezze di diffusione per elettroni e lacune

Diodo a base lunga ,B p E nW L W L

Tutte le lacune iniettate si ricombinano prima di aver completamente attraversato la regione quasi neutra

' 0 0 np x per x B

'0 exp 1 exp

a nn n n

p

qV x xp x p xkT L

Sfruttando le condizioni al contorno (x=xn) '0 exp 1

a

n n n nqVp x p xkT

≫ ≫

36

Caratteristica I-V delle giunzioni P-N (V)

0

2

exp 1 exp

exp 1 exp

n nn a np p p

p p

i a np

d p p

p xdp qV x xJ x qD qDdx L kT L

n qV x xqDN L kT L

2

exp 1 exp

pi an n

a n n

x xn qVJ x qDN L kT L

'0 exp 1 exp

a nn n n

p

qV x xp x p xkT L

Jn e Jp densità di corrente riferite ai portatori minoritari

(per elettroni e lacune)

37

Caratteristica I-V delle giunzioni P-N (VI)

2

0

exp 1

exp 1

t p n n p

p n ai

d p a n

a

J J x J x

D D qVqnN L N L kT

qVJkT

Jt densità di corrente totale ottenuta come

somma delle componenti relative ai portatori

minoritari

J0 densità di corrente di saturazione

Espressione formalmente identica a quella ricavata per un diodo a barriera Schottky

Diodo a base corta

Si linearizzano le funzioni esponenziali

' n n

p

A Bp x A B x xL

,B p E nW L W L≪≪

38

Caratteristica I-V delle giunzioni P-N (VII)

' n n

p

A Bp x A B x xL

2

' exp 1 i a

n nd

n qVp x A BN kT

' 0 n B B n

p

A Bp W A B W xL

Condizioni al contorno

2

''exp 1 1

i a n

nd B

n qV x xp xN kT W

' B B nW W xWB’ Lunghezza della

regione quasi neutra n 2

' exp 1 n i a

p p pd B

dp n qVJ x qD qDdx kTN W

2' '

0

exp 1

exp 1

p n at i

d B a E

a

D D qVJ qnkTN W N W

qVJkT

Marcata differenza tra la densità di corrente nel caso di Va>0 e Va<0 :

•Va>0 iniezione di portatori maggioritari sulla giunzione

•Va<0 iniezione di portatori minoritari sulla giunzione

39

Correnti totali nelle regioni quasi neutre

•J(1) corrente iniettata di portatori minoritari•J(2) corrente di portatori maggioritari che si ricombinano con i minoritari (i.e. J(1))•J(3) corrente di portatori maggioritari iniettati attraverso la giunzione•J(4) corrente di ricombinazione nella regione di carica spaziale

Lontano dalla giunzione la corrente totale è dovuta al movimento di trascinamento dei portatori maggioritari

40

Comportamento dinamico del diodo P-N (I)Commutazione OFF->ON

'0 exp 1

Dn n n n

qVp x p xkT

0ln

sa

IkTVq I

La carica Qp di lacune cresce nel tempo a seguito dell’iniezione di

lacune e la tensione VD ai capi della giunzione cresce in accordo con la

condizione al contorno pn’(xn)

Tensione ai capi del diodo a regime

Va

VD

41

Comportamento dinamico del diodo P-N (II)Commutazione ON->OFF

La giunzione resta polarizzata in diretta sino alla rimozione deiportatori minoritari in prossimità del bordo della regione svuotataTempo di commutazione funzione della quantità di carica dainiettare o rimuovere

p p p nQ J x0

1p

t thN v

Per avere commutazioni rapide siintroducono volontariamente centri G-Rper ridurre il tempo di vita riducendo cosìla quantità di carica immagazzinata

-

42

Transistori bipolari (I)Effetto Transistore

•Contatti E, B, C di tipo ohmico•Due giunzioni P-N, separate da una distanza W, su una stessa barra di materiale semiconduttore (avente sezione trasversale di area A)•Giunzioni “ravvicinate” -> gli elettroni iniettati attraverso J1 (VBE > 0) si trovano in prossimità di J2 -> nella regione intermedia (base) minima perdita di elettroni per ricombinazione•Nella regione di base trascuro i fenomeni di G-R•Flusso di lacune tra J1 e J2 risulta trascurabile (in tutte le condizioni di polarizzazione): piccoli flussi dalle regioni n verso la base

43

Transistori bipolari (II)

0

1 1

p p x p

px

p

dpJ pq qDdx

D dp kT dpp dx q p dx

,

n n p p

kT kTD Dq q

Dalla condizione di annullamento della corrente di lacune in base si ricava l’espressione del campo elettrico

Viceversa la corrente di elettroni può essere sostenuta da una o entrambe le giunzioni (le regioni n possono liberamente rifornire di elettroni la regione di base)

n nn n x n

d pnqD qDdn dp dnJ nq qD n pdx p dx dx p dx

In forma integrale e trascurando la ricombinazione (i.e. Jn indipendente da x)

' '

' ' x x

nnx x

d pnpJ dx dx p x n x p x n xqD dx

44

Transistori bipolari (III)

Considerando tutta la regione delimitata dalle due giunzioni

00 0

Bx

n B Bn

pJ dx p x n x p nqD

2 20 0 exp , exp BCBE

i B B iqVqVp n n p x n x n

kT kT

2

0

exp exp

B

BC BEi

n x

n

qV qVqnkT kTJ

p dxD

Corrente di portatori minoritari (elettroni) in base

nD x D 0 Bx

BQ q p x dx QB carica associata ai portatori maggioritari (lacune) in base

exp exp BC BE

n SqV qVJ JkT kT

2 2 i n

SB

q n DJQ

Jn controllata a mezzo delle tensioni applicate alle due giunzioni

45

Transistori bipolari (IV)Transistore prototipo (drogaggi costanti e giunzioni brusche)

•(a) Condizione di equilibrio•(b) Entrambe le giunzioni in inversa•(c) Entrambe le giunzioni in diretta•(d) Una giunzione in diretta (BE) e l’altra in inversa (BC) (zona attiva)

46

Transistori bipolari (V)Polarizzazione in zona attiva

La giunzione polarizzata in diretta (BE) inietta elettroni in base mentre la giunzione polarizzata in inversa (BC) raccoglie ogni elettrone che giunge in prossimità della giunzione e lo accelera verso la regione n all’estremità

Flusso di elettroni dalla giunzione polarizzata direttamente (giunzione di emettitore) alla giunzione polarizzata in inversa (giunzione di collettore)

La concentrazione di minoritari in base ha andamento lineare (teoria del diodo ideale a base corta)

2

' exp 1 1 0

i BEp B

a B

n qV xn x x xN kT x

2 exp

BEn i

n na B

qVqD ndn kTJ qDdx N x

B a BQ qN x

exp exp BC BE

n SqV qVJ JkT kT

2 2 i n

SB

q n DJQ