Sviluppo di un polarimetro per la misura del momento di dipolo elettrico (EDM) del deuterio
UNIVERSITA DEGLI STUDI DI CATANIA` - infn.it Riferimenti bibliografici 89 ... nuclei di deuterio e...
96
UNIVERSIT ` A DEGLI STUDI DI CATANIA dipartimento di fisica e astronomia corso di laurea magistrale in fisica Sebastiano Spinali VERIFICA DELLE PROPRIET ` A DELLO SPETTROMETRO HRS PER L’ESPERIMENTO PREX-II tesi di laurea Relatori: Chiar.mo Prof. V. Bellini Dott. G.M. Urciuoli Dott. F. Tortorici anno accademico 2014/2105 Copia di documento informatico archiviato presso l'Università degli Studi di Catania (ex art. 23-bis D.Lgs 82/2005) - Prot. 2015-UNCTCLE-0143714 del 16/11/2015
Transcript of UNIVERSITA DEGLI STUDI DI CATANIA` - infn.it Riferimenti bibliografici 89 ... nuclei di deuterio e...
UNIVERSITA DEGLI STUDI DI CATANIAdipartimento di fisica e astronomiacorso di laurea magistrale in fisica
Sebastiano Spinali
VERIFICA DELLE PROPRIETA DELLOSPETTROMETRO HRS
PER L’ESPERIMENTO PREX-II
tesi di laurea
Relatori:Chiar.mo Prof. V. Bellini
Dott. G.M. UrciuoliDott. F. Tortorici
anno accademico 2014/2105
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Indice
1 Introduzione 3
2 Violazione di parita nella diffusione di elettroni e misura
del raggio dei neutroni nei nuclei pesanti. 7
2.1 Generalita sulla violazione di parita nella diffusione di
elettroni su bersaglio adronico. . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Densita dei neutroni e misura del raggio dei neutroni in
un nucleo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Violazione della parita nella diffusione elastica di elet-
troni su nuclei. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Diffusione elastica di elettroni su 208Pb: l’esperimento
PREX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Apparato sperimentale. 16
3.1 L’acceleratore CEBAF e la Hall A . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Lo spettrometro HRS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Set-up sperimentale di PREX . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.1 Filtri Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3.2 Setto magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.3 Collimatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.4 Bersaglio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3.5 Focal Plane Detector . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3.6 VDC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.7 Polarimetro Compton . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.8 Polarimetro Moller . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
3.4 Risultati sperimentali di PREX . . . . . . . . . . . . . . 37
4 Teoria generale del trasporto di particelle in campo ma-
gnetico. 42
4.1 Introduzione al trasporto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Prime nozioni sul trasporto . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 Ottica geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4 Matrice del trasporto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5 Trasporto di elettroni in HRS:
simulazioni. 61
5.1 Il codice SNAKE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 Simulazione di traiettorie di elettroni in HRS senza setto
magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3 Simulazioni di traiettorie di elettroni per l’esperimento
PREX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.4 Stima dell’accettanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6 Conclusioni 86
7 Ringraziamenti 88
Riferimenti bibliografici 89
2
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
1 Introduzione
Negli ultimi 50 anni, dopo la scoperta della violazione della parita nel
decadimento beta, Zel’dovich [1] propose che vi dovesse essere violazio-
ne della parita anche nelle interazioni deboli di corrente neutra. Egli
fece, inoltre, notare che se esiste un tale effetto, allora la violazione di
parita si dovrebbe manifestare nella diffusione leptone-nucleone, dovuta
all’interferenza tra l’ampiezza debole e quella elettromagnetica, da cui
si puo estrarre la corrente di accoppiamento debole elettrone-quark.
Alla fine degli anni settanta la violazione della parita nella diffusione
profondamente anelastica (”deep inelastic scattering”) di elettroni da
nuclei di deuterio e da protoni, fu osservata per la prima volta a SLAC
(Stanford Linear Accelerator Center - National Accelerator Laboratory,
California, USA) [2]; questa misura costituı un importante test della
teoria di Gauge delle interazioni elettrodeboli, SU(2)xU(1).
Negli ultimi vent’anni le tecniche sperimentali, introdotte per misura-
re l’asimmetria violante la parita nella diffusione di elettroni, ovvero
la differenza frazionaria della sezione d’urto di diffusione di elettroni
con elicita positiva e negativa, si sono sempre piu affinate in modo da
rendere gli errori sistematici e sperimentali inferiori ad una parte per
milione.
Scegliendo opportunamente il bersaglio e le variabili cinematiche, lo
studio di tali asimmetrie ha permesso importanti misure in diversi am-
biti, quali la fisica nucleare a molti corpi, la struttura del nucleone e le
indagini sulla fisica al di la del modello standard.
In particolare l’esperimento PREX sta misurando il raggio Rn dei neu-
3
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
troni, a sua volta strettamente legato alla distribuzione degli stessi, nel
nucleo di piombo; mentre le densita di carica dei nuclei sono state ac-
curatamente misurate con la diffusione di elettroni [3] [4], le densita dei
neutroni,all’interno dei nuclei, sono conosciute ancora approssimativa-
mente poiche il neutrone ha una carica elettrica totale nulla.
La nostra conoscenza delle densita dei neutroni nei nuclei viene es-
senzialmente dagli esperimenti di diffusione di adroni quali pioni [5],
protoni [6] [7] o antiprotoni [8]. L’interpretazione di tali esperimenti e,
pero, modello-dipendente, a causa delle incertezze teoriche sulle intera-
zioni forti. La misura dell’asimmetria violante la parita nella diffusione
di elettroni permette viceversa una misura modello-indipendente delle
densita dei neutroni.
Questo accade perche la carica debole di un neutrone e molto piu gran-
de di quella di un protone e, quindi, il bosone Z0, vettore della forza
debole, si accoppia essenzialmente ai neutroni. L’asimmetria violante
la parita e funzione quindi del fattore di forma debole. Quest’ultimo
e strettamente legato alla trasformata di Fourier della densita dei neu-
troni, quindi la densita dei neutroni puo essere estratta.
Il nucleo 208Pb, doppiamente magico, ha 44 neutroni in piu rispetto ai
protoni ed alcuni di questi neutroni sono attesi essere localizzati nella
superficie, dove formano una ”pelle” ricca di neutroni. Lo spessore di
questa ”pelle” e sensibile alla dinamica nucleare e fornisce informazioni
fondamentali sulla struttura nucleare.
L’esperimento PREX sta misurando nella Hall A del Jefferson Labora-
tory di Newport News (Virginia - USA), l’asimmetria violante la parita
4
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
nella diffusione di elettroni da 1.06 GeV su 208Pb. La misura e effettua-
ta tramite i grandi spettrometri HRS (High Resolution Spectrometers)
della Hall A, che consentono di separare gli elettroni diffusi elastica-
mente da quelli diffusi inelasticamente, riducendo enormemente il fon-
do. PREX misura il raggio dei neutroni nel piombo con una precisione
dell’1%. Il raggio dei neutroni del 208Pb ha importanti implicazioni per
l’astrofisica perche determina la struttura delle stelle di neutroni. Vi e
una forte relazione tra il raggio dei neutroni nel piombo, Rn, e la pres-
sione della materia ricca di neutroni a densita prossime a 0.1 fm−3.
Pertanto, l’equazione di stato (pressione in funzione della densita) della
materia ricca di neutroni, riveste grande importanza in astrofisica.
Una misura precisa di Rn, ottenuta da PREX, avra un forte impat-
to sulla teoria nucleare, sulla violazione della parita atomica oltre che
sulla struttura delle stelle di neutroni. I modelli relativistici di campo
medio tendono a favorire una ”pelle” di neutroni piu grande rispetto
a quelli non relativistici, a causa di un valore maggiore dell’energia di
simmetria; la misura dell’energia di simmetria, ad un valore ottimale di
Q2, puo fissare Rn ed aiutare ad eliminare una intera classe di modelli.
Una prima fase dell’esperimento PREX e avvenuta nel 2010 per 10 setti-
mane, alla fine delle quali si e raggiunto un errore statistico del 9% nella
misura dell’asimmetria violante la parita corrispondente, a un errore del
3% di Rn. Questa e stata la prima misura modello-indipendente di Rn.
Verra effettuata nel 2017 una nuova fase di misure di PREX (chiamata
PREX-II), allo scopo di acquisire ulteriore statistica per ottenere una
misura di Rn all’1%.
5
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Il PAC del Jefferson Laboratory ha approvato un altro esperimento,
CREX, che misurera il raggio dei neutroni nel nucleo 48Ca, utilizzando
lo stesso apparato sperimentale di PREX ed elettroni incidenti di ener-
gia pari a 2.2 GeV. Il lavoro di questa tesi si focalizza essenzialmente
sulla verifica delle proprieta dello spettrometro superconduttore ad alta
risoluzione, HRS (High Resolution Spectrometer, QQDQ), posto nella
Hall A del Jefferson Laboratory, utilizzato dall’esperimento PREX, che
sara utilizzato anche da PREX-II [9].
La verifica e stata eseguita tramite simulazioni delle traiettorie in HRS
degli elettroni diffusi elasticamente dal nucleo 208Pb. La tesi inizialmen-
te presentera la teoria della violazione di parita nell’interazione elettro-
debole, nella diffusione di elettroni e l’apparato sperimentale della Hall
A utilizzato per l’esperimento PREX. Verranno illustrati, quindi, la
teoria del trasporto di elettroni in campo magnetico e il codice SNA-
KE, il software utilizzato per effettuare le simulazioni, per lo studio
delle proprieta di HRS. Infine vengono presentati e discussi i risulta-
ti ottenuti per l’ottimale focalizzazione del fascio di elettroni e per la
determinazione dell’accettanza angolare di HRS.
6
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
2 Violazione di parita nella diffusione di
elettroni e misura del raggio dei neu-
troni nei nuclei pesanti.
2.1 Generalita sulla violazione di parita nella dif-
fusione di elettroni su bersaglio adronico.
Fin dallo sviluppo iniziale della QCD negli anni ′70 si e visto che la
struttura interna del nucleone e dovuta alla presenza di quarks, gluo-
ni ed un mare di coppie quark-antiquark. Sebbene la carica elettrica
del nucleone sia dovuta ai quark di valenza (come nel primo modello
a quark di Gell-Mann e Zweig), nella QCD i gluoni sono critici per il
confinamento dei quark, generando il 98% della massa del nucleone nel
processo. I risultati degli esperimenti di deep inelastic scattering con
polarizzazione di fascio e/o bersaglio, condotti negli anni ′80 e ′90 hanno
mostrato che, contrariamente alle attese teoriche, lo spin del nucleone
non origina dagli spin dei quarks.
Ne risulta che il ruolo dei gluoni e delle coppie quark-antiquark nelle
proprieta statiche del nucleone diventa rilevante, ma sebbene i gluoni
siano responsabili di grossi effetti come il confinamento dei quark e la
massa dei nucleoni, gli effetti delle coppie quark-antiquark (generate
necessariamente dai gluoni nella QCD e quindi non nulli) sono piu dif-
ficili da accertare.
7
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Le coppie quark-antiquark strange sono di particolare interesse, poiche
non ci sono quarks di valenza strange nel nucleone ed ogni proces-
so sensibile ai quarks strange necessariamente sara legato al ”mare”.
Nel 1988 Kaplan e Manohar [10], hanno proposto di studiare le cop-
pie quark-antiquark strange mediante misure di ”neutral weak current
matrix elements”, per esempio negli esperimenti di scattering del neu-
trino. Nel 1989 McKeown e Beck [11] [12], hanno avanzato l’ipotesi
che la violazione di parita nella diffusione di elettroni possa offrire un
metodo molto efficace per studiare questi elementi di matrice, generan-
do un grande interesse e molte nuove proposte di esperimenti. Nei due
decenni successivi notevoli lavori teorici e sperimentali hanno permesso
di definire una grande mole di risultati che, per la prima volta, legano
il contributo della coppie quark-antiquark ai fattori di forma elettro-
deboli elastici del nucleone.
Durante gli ultimi dieci anni, grossi sforzi internazionali sono stati com-
piuti per effettuare misure di asimmetrie di violazione di parita nella
diffusione elastica di elettroni da nucleoni. Lo scopo principale di quel
programma e stato quello di legare i contributi quark-antiquark strange
ai fattori di forma elettrodeboli del nucleone, in funzione del momento
trasferito. Per ottenere misure di violazione di parita molto accurate, da
cui poter estrarre i fattori di forma, occorrono corrispettivamente fasci
ed apparati sperimentali all’avanguardia, che, grazie all’elevata qua-
lita delle proprieta della facility CEBAF, sono disponibili al Jefferson
Laboratory, presso la Hall A. Dopo l’esperimento SLAC E122, citato
nell’introduzione, seguı tutta una nuova serie di esperimenti misuranti
8
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
l’asimmetria violante la parita. Mettendo in evidenza il contributo della
parte debole del potenziale elettrodebole, nell’interazione degli elettro-
ni con nuclei, nucleoni e quark, la misura dell’asimmetria violante la
parita nella diffusione di elettroni ha permesso, dapprima, la misura
dei parametri del modello standard, quindi, una volta stabilito il valore
di questi, e grazie al perfezionamento delle tecniche sperimentali che
hanno permesso misure di asimmetria sempre piu piccole (e quindi a
piccoli valori di Q2), la misura del contributo quark-antiquark strange
ai fattori di forma del nucleone.
Un ulteriore affinamento delle tecniche sperimentali sta permettendo la
misura del raggio di neutroni nei nuclei pesanti, mentre e gia iniziato un
programma, tramite la misura della carica debole del protone, in corso,
e quella della carica debole dell’elettrone, che avverra tra qualche anno,
per la verifica del modello standard e per le misure della fisica oltre il
modello standard.
2.2 Densita dei neutroni e misura del raggio dei
neutroni in un nucleo.
Diversi modelli teorici sono stati introdotti per determinare il raggio
dei neutroni in un nucleo pesante. I modelli piu noti sono i modelli
di campo medio ed i modelli che si basano sulle interazioni di Skyrme
descritti in [13] [14].
9
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
La fig. 1 mostra la differenza tra il raggio dei neutroni, Rn e quello
Figura 1: Differenza tra raggio dei neutroni e raggio dei protoni per diversinuclei al variare del numero di massa A, per due differenti modelli teorici.
dei protoni, Rp, per un range di nuclei, basati su un modello di campo
medio (fascia alta) e su un modello che tiene conto delle interazioni
di Skyrme (fascia bassa). Lo spread fra le due previsioni puo indicare
in qualche misura l’indeterminazione in Rn. Si puo vedere comunque
come entrambi i modelli suggeriscono l’esistenza di un ”neutron skin”,
ovvero di un raggio di neutroni piu grande di quello dei neutroni dei
nuclei medio-pesanti. Dal punto di vista sperimentale, sono state effet-
tuate diversi tipi di misure per determinare la densita dei neutroni ed
il raggio dei neutroni dei nuclei. Tra di essi possiamo citare, la misu-
ra delle sezioni d’urto nelle reazioni 208Pb(d, t)207Pb e 208Pb(p, d)207Pb
sensibili tuttavia solo alla coda degli stati neutronici vicini alla super-
ficie di Fermi e non alla densita dei neutroni all’interno del nucleo, che
contribuisce significativamente a Rn, e la diffusione elastica protone-
10
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
nucleo, che e sensibile sia alla densita del neutrone superficiale che a
quella interna, ma la cui analisi dipende dal modello utilizzato.
Un’altra proposta e stata quella di estrarre la densita del neutrone da
un confronto tra i dati provenienti dallo scattering elastico di pioni po-
sitivi e negativi; in seguito, pero, si e capito che questo metodo non era
direttamente sensibile alla densita del neutrone [5].
L’esperimento PREX sta determinando Rn tramite la misura dell’asim-
metria violante la parita nella diffusione elastica di elettroni su nuclei
di 208Pb (il 208Pb e il nucleo stabile piu pesante, con 82 protoni e 126
neutroni e, quindi, un rapporto NZ= 1, 54).
Tale asimmetria e funzione, come vedremo nei paragrafi successivi, del
fattore di forma debole, che, poiche la carica debole del neutrone e mol-
to piu grande della carica debole del protone, e a sua volta connesso
strettamente con la trasformata di Fourier della densita del neutrone,
da cui si puo estrarre Rn.
A differenza dei tipi di misura citati sopra, quella di PREX e una mi-
sura totalmente modello-indipendente.
11
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
2.3 Violazione della parita nella diffusione elastica
di elettroni su nuclei.
La diffusione di un elettrone da una targhetta adronica, come mostra-
to in fig. 2, comporta lo scambio di un fotone, associato a un ampiezza
elettromagnetica Mγ e lo scambio di un bosone Z0, associato a un’am-
piezza debole MZ .
La sezione d’urto di diffusione e data dal modulo quadro della somma
Figura 2: Diagrammi di Feynmann per lo scattering elettrone-adrone
di queste ampiezze |Mγ +MZ |2. L’elicita dell’elettrone definita come:
~s · ~p|~s · ~p|
con ~s e ~p rispettivamente spin e impulso dell’elettrone, e una quantita
pseudoscalare. Questa fa si che, a causa della presenza dell’ampiezza
debole nell’espressione della sezione d’urto di diffusione, la sezione d’ur-
to stessa dipenda dall’elicita dell’elettrone. Le forze elettromagnetiche
conservano la parita quindi la differenza (σR−σL) tra la sezione d’urto
12
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
di diffusione di elettroni di elicita positiva (σR) e quella di elettroni di
elicita negativa (σL) e proporzionale a [MγMZ ]. La somma σR + σL
e invece dominata dall’ampiezza di scambio del fotone |Mγ|2. Quindi,
l’asimmetria violante la parita e data da:
APV =σR − σL
σR + σL
∝ [MγMZ ]
| Mγ |2 (1)
Nell’approssimazione di Born l’asimmetria violante la parita, per elet-
troni polarizzati longitudinalmente, elasticamente diffusi da un nucleo
non polarizzato, APV , e [15]:
APV ≈ σR − σL
σR + σL
≈ GFQ2
4πα√2
FW (Q2)
Fch(Q2)(2)
dove GF e la costante di Fermi, α la costante di struttura fine, Fch(Q2) e
la trasformata di Fourier della densita di carica conosciuta e FW (Q2) e il
fattore di forma debole. Questo e strettamente legato alla trasformata
di Fourier della densita dei neutroni del nucleo, da cui Rn e derivata.
13
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
2.4 Diffusione elastica di elettroni su 208Pb: l’espe-
rimento PREX.
Dall’equazione 2 del paragrafo precedente si vede come dall’asim-
metria violante la parita, per elettroni polarizzati longitudinalmente,
elasticamente diffusi da un nucleo non polarizzato, e possibile ottenere
il fattore di forma debole, che e la trasformata di Fourier della densita
di carica debole, ρW (r), (normalizzata a 1, FW (Q2 = 0) = 1):
FW (Q2) =1
QW
∫
d3rsin qr
qrρW (r), (3)
dove QW e la carica debole totale del nucleo. In un nucleo a spin zero
possiamo trascurare con buona approssimazione lo scambio di mesoni
e le correnti di spin orbita e possiamo scrivere:
ρW (r) = 4
∫
d3r′[GZn (|r − r′|)ρn(r′) +GZ
p (r − r′)ρp(r′)]. (4)
dove GZp (r) e la densita di carica debole in un singolo protone, GZ
n (r)
e la densita di carica debole in un singolo neutrone, ρn(r) e ρp(r) sono
le densita dei neutroni e dei protoni.
Da una misura di APV possiamo determinare quindi FW (Q2), da essa
la densita di carica debole, da cui infine, tramite l’equazione 4 il rag-
gio dei neutroni nel nucleo. L’esperimento PREX ha misurato per la
prima volta un raggio del neutrone di un nucleo, il 208Pb, mediante la
diffusione di elettroni [16].
L’approssimazione di Born, con cui e stata derivata l’equazione 2, non e
piu valida per nuclei pesanti, come il piombo, ma tutti i concetti espres-
si in questo paragrafo sono validi dal punto di vista qualitativo. Nel
14
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
caso di diffusione da un nucleo pesante devono essere inclusi gli effet-
ti di distorsione coulombiana, che si possono calcolare accuratamente
perche la densita di carica e ben nota [17]. Le distorsioni coulombiane
sono dovute alle ripetute interazioni elettromagnetiche degli elettroni
incidenti con il bersaglio, il 208Pb, che rimane nel suo stato fondamen-
tale. Poiche tutti i protoni presenti in un nucleo possono contribuire
coerentemente, le correzioni della distorsione coulombiana sono dell’or-
dine di Zαπ, pari al 20% dell’asimmetria, nel caso di PREX [18].
Il calcolo delle distorsioni coulombiane, e stato effettuato risolvendo
numericamente l’equazione di Dirac per un elettrone in moto in un
potenziale coulombiano e debole ”vector-axial” [17], e si e trovato che
le correzioni per le distorsioni coulombiane sono maggiori degli errori
sperimentali. Sono state, pertanto, calcolate le correzioni con un’accu-
ratezza significativamente migliore dell’atteso errore sperimentale sulla
simmetria violante la parita del 3%.
15
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
3 Apparato sperimentale.
3.1 L’acceleratore CEBAF e la Hall A
L’esperimento esposto in questa tesi, ha avuto luogo al Thomas Jef-
ferson Lab di Newport News. Il laboratorio e costituito da un accele-
ratore chiamato CEBAF (Continuous Electron Beam Accelerator Fa-
cility) e da tre sale sperimentali Hall A,B,C, cui se ne aggiungera una
quarta fra breve, ed ha come obiettivo scientifico l’investigazione della
struttura interna degli adroni e dei nuclei. L’energia del fascio permette
di investigare la fisica appena sotto la regione di liberta asintotica. Inol-
tre, la possibilita di avere un fascio di elettroni polarizzato, permette
all’apparato sperimentale di studiare interazioni dipendenti dallo spin e
di investigare piu a fondo la violazione di parita. Gli elettroni vengono
accelerati facendo loro attraversare due superconduttori lineari, con un
incremento di 600 Mev per ogni passaggio. Gli elettroni sono genera-
ti da un iniettore, nel quale un catodo di arseniuro di gallio (GaAs)
e illuminato da un laser che opera a 780 nm, e la polarizzazione delle
particelle viene misurata da un polarimetro Mott. La corrente massima
prodotta e di 200 µA e si ha la possibilita di avere simultaneamente in
ogni sala sperimentale la massima energia di fascio.
16
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Figura 3: Jefferson Laboratory dopo l’upgrading di CEBAF
E’ possibile raggiungere un grado di polarizzazione del fascio di
circa l’85%. L’acceleratore CEBAF fu originariamente progettato per
accelerare elettroni fino a 4 GeV. Un primo upgrade ha aumentato
l’energia massima degli elettroni a 6 GeV; verso la fine del 2009 sono
iniziati i lavori per portare l’energia massima degli elettroni a 12 GeV.
Per questo upgrade verranno effettuate le seguenti modifiche:
1. il LINACs verra portato da 0.6 a 1.1 GeV, con la distribuzione di
un fascio da 10.9 GeV alle Hall A, B C.
2. verra aggiunto un arco al fine di mandare un fascio da 12 GeV in
17
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
una nuova sala (Hall D).
Si e deciso di mantenere il limite della potenza del fascio di 1 MW,
con una somma di correnti di 85 µA per le Hall A, B e C e di 5 µA
per la Hall D. Uno schema del nuovo CEBAF viene mostrato in fig-
3. L’upgrade a 12 GeV permettera di sviluppare i seguenti campi di
ricerca:
• ricerca di mesoni esotici nell’esperimento GlueX della Hall D, con
lo scopo di comprendere il confinamento dei quark.
• studi sulla struttura di protoni e neutroni.
• studi sulla struttura dei nuclei.
• misure ad alta precisione sulla violazione della parita e test su
simmetria ed anomalie chirali.
La sala sperimentale in cui ha avuto luogo la prima fase dell’esperi-
mento PREX e che vedra l’esecuzione anche di PREX-II e la Hall-A, la
cui strumentazione, come illustreremo in seguito, e adatta allo studio
delle reazioni, indotte da elettroni, richiedenti alte luminosita e otti-
me risoluzioni spaziali e angolari. Nell’esperimento PREX gli elettroni
diffusi elasticamente ad un angolo medio di 5◦ attraversano un setto
magnetico che devia la loro traiettoria di 7.5◦ in modo da poter essere
rivelate da due spettrometri superconduttori ad alta risoluzione HRS
(High Resolution Spectrometer) in grado dai rivelare particele diffuse
ad un angolo maggiore o uguale di 12.5◦. Gli spettrometri HRS foca-
lizzano le traiettorie su due rivelatori a quarzo. A 3.57 m dall’ultimo
18
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
elemento di ciascun HRS sono dislocate camere a deriva verticale VDC
(Vertical Drift Chamber). Gli spettrometri HRS sono i componenti
centrali della Hall A, hanno una risoluzione relativa in impulso miglio-
re di 2 · 10−4, e una risoluzione angolare migliore di 2 mrad, e possono
rivelare particelle d’impulso fino a 4GeVc. Nell’esperimento PREX la
polarizzazione del fascio viene misurata da due polarimetri, un pola-
rimetro Compton ed un polarimetro Moller. Lo schema di base della
Hall-A e mostrato in fig. 5.
Figura 4: Hall-A
3.2 Lo spettrometro HRS
Il core della Hall-A e costituito da due spettrometri(HRS left e HRS
right), pressoche identici.[19] Ciascun HRS e costituito da due quadru-
poli, un dipolo lungo 6.6m, e un quadrupolo, tutti superconduttori,
19
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Figura 5: sezione schematica della Hall-A
come mostrato in fig. 6. I quadrupoli focalizzano o defocalizzano il
fascio mentre il dipolo piega il fascio verticalmente di 45◦. I primi due
quadrupoli focalizzano il fascio nel dipolo, mentre il terzo quadrupolo
focalizza il fascio sul piano focale, dove e pure situato il rivelatore.
Il disegno di HRS e stato fatto prendendo in considerazione diverse ri-
chieste, che includono, un grande range d’impulso centrale, da 0.8 a 4GeV
c, sufficientemente larga accettanza in entrambi gli angoli e nell’im-
pulso, buona risoluzione spaziale e angolare, e un largo range angolare.
Il quadrupolo dopo il dipolo permette di avere ragionevolmente buo-
na posizione orizzontale e buona risoluzione angolare. In fig. 7 sono
riportate le caratteristiche principali dei due spettrometri HRS.
20
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Figura 6: sezione schematica di HRS
Figura 7: tabella caratteristiche spettrometro
21
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
3.3 Set-up sperimentale di PREX
L’esperimento PREX [16], come gia detto, ha misurato per la prima
volta il raggio dei neutroni in un nucleo attraverso la diffusione di elet-
troni. La scelta di un nucleo pesante come il 208Pb e dovuto al fatto
che in essi e massima la differenza (uguale a 44) del numero di neutroni
rispetto a quello dei protoni per cui e massima anche l’estensione dello
strato ricco di neutroni sulla superficie del nucleo. La differenza tra il
raggio dei neutroni (Rn), e il raggio dei protoni (Rp), ci da proprio lo
spessore di questo strato ricco di neutroni. Una misura accurata del
raggio dei neutroni nel piombo ha diverse conseguenze; infatti, misuran-
do Rn si ottengono maggiori vincoli sull’equazione di stato(EOS) della
materia ricca di neutroni, con importanti ripercussioni sulla conoscenza
delle proprieta delle stelle di neutroni, quali spessore della loro crosta,
modalita di raffreddamento e possibile esistenza al loro interno di stati
esotici della materia [20]. Inoltre l’estensione dello strato ricco di neu-
troni e legata alla dinamica nucleare e quindi ci fornisce informazioni
sulla struttura nucleare. In aggiunta essendo il valore del raggio dei
neutroni nel piombo strettamente connesso con l’energia di simmetria,
anche la fisica degli ioni pesanti ha interesse a misure accurate di questo
tipo [21] [22]. L’esperimento PREX un fascio di elettroni aventi un’e-
nergia di 1.06 GeV , in onda continua, con corrente compresa tra 50 e
70 µA. Gli elettroni sono polarizzati longitudinalmente. L’elicita degli
elettroni viene determinata dal segno della polarizzazione circolare del
laser che illumina il catodo di arseniuro di gallio che rimane costante
per un periodo di 8.33 ms.
22
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
La tecnica sperimentale usata da PREX, puo essere concettualmente
descritta come segue: l’elicita degli elettroni primaria e rapidamente,
e in maniera random, variata al fine di creare una sequenza temporale
pseudorandom di ”coppie di finestre” di elicita. Nelle due finestre di cia-
scuna coppia l’elicita del fascio di elettroni e opposta. Il cambiamento
veloce e random dell’elicita assicura che l’influenza delle variazioni del
set-up sperimentale e minimizzata quando viene calcolata la differenza
frazionaria nella risposta del rivelatore nelle due componenti di ciascu-
na coppia di finestre. L’elicita degli elettroni di fascio e determinata
dalla polarita del voltaggio applicato ad un cella di Pockels [23], che e
essenzialmente una piastra di ritardo controllabile tramite una differen-
za di potenziale applicata ad esso. La cella di Pockels converte la luce
laser utilizzata per produrre il fascio di elettroni primari da polarizzata
linearmente a polarizzata circolarmente. La polarita della differenza di
potenziale, applicata alle facce della cella di Pockels determina l’elicita
del fascio laser all’uscita della cella stessa. La luce polarizzata circo-
larmente esce dalla cella di Pockels e illumina il fotocatodo di GaAs
producendo elettroni polarizzati il cui stato di elicita dipende dall’eli-
cita del fascio laser.
La polarizzazione del fascio, misurata da un polarimetro Compton e da
un polarimetro Moller, e risultato essere pari a 89.2 ± 1.0%; il valore
di Q2 e 0.00880 ± 0.00011(GeVc)2. Il bersaglio consiste in un foglio di
piombo-208 spesso 0.55mm, molto denso e puro, messo in ”sandwich”
tra due sottili strati di carbonio. Il tutto, si trova all’interno in un
telaio di rame raffreddato a 20◦K con elio criogenico.
23
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Gli elettroni diffusi elasticamente, sono focalizzati dagli spettrometri
magnetici HRS sui rivelatori di quarzo. L’alta risoluzione in impulso
assicura che solo gli elettroni diffusi elasticamente vengano focalizzati
nei rivelatori di quarzo. La luce Cherenkov proveniente dai rivelatori
di quarzo viene condotta attraverso guide di luce ai fotomoltiplicatori.
3.3.1 Filtri Wien
PREX usa un doppio filtro Wien per invertire l’elicita degli elettroni
con frequenza settimanale. L’inversione, mostrata in fig. 8, con i doppi
filtri Wien e eseguita in tre passi:
1. Il primo solenoide e il filtro Wien verticale sono usati per orien-
tare la polarizzazione del fascio verticalmente.
2. il secondo solenoide e usato per ruotare la polarizzazione del fa-
scio di ±90◦.
3. Il filtro Wien orizzontale infine, ottimizza l’orientamento della
polarizzazione del fascio per la misura da effettuare in sala speri-
mentale.
24
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Questa inversione d’elicita e chiamata ”lenta” per contraddistinguerla
da quella ottenuta invertendo la differenza di potenziale applicata alle
facce della cella di Pockels, ed e utilizzata per invertire l’elicita senza
modificare gli altri parametri del fascio di elettroni.
Figura 8: filtri Wien
25
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
3.3.2 Setto magnetico
Come descritto nel paragrafo 3.1, si e fatto uso di un setto (piccolo
dipolo) magnetico per deviare le traiettorie degli elettroni diffusi a ±5◦
di ±7.5◦ e poter essere cosi rivelate dagli spettrometri HRS, posiziona-
ti in modo tale da poter rivelare particelle diffuse ad angoli uguali a
±12.5◦. Il setto e posizionato tra il bersaglio e il primo quadrupolo dei
due HRS. Una sua fotografia e riportata in fig. 9.
Figura 9: setto magnetico
26
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
3.3.3 Collimatori
Per sopprimere il background sono stati introdotti due collimatori di
piombo posti all’ingresso del primo quadrupolo di ciascun HRS come
mostra la fig. 10.
Gli elettroni diffusi elasticamente attraversano le coperture semicirco-
lari dei due collimatori, mentre la gran parte del background viene
bloccato dai collimatori stessi.
Figura 10: collimatori
27
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
3.3.4 Bersaglio
PREX usa bersagli di 208Pb, spessi 0.5mm e isotopicamente puri.
Ogni bersaglio e inserito in mezzo a due strati di carbonio di 0.15mm,
applicando un piccolo strato di ”grasso per vuoto” tra il piombo e gli
strati di carbonio. I sistemi cosi formati sono fissati su un telaio di
rame avvitando manicotti di rame in perfetta aderenza con il telaio.
Per migliore la conducibilita termica e applicata una pasta a base di
argento tra il rame e i fogli di carbonio. Diversi bersagli di piombo sono
montati su un’unica cornice di rame.
Figura 11: Bersaglio
28
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
3.3.5 Focal Plane Detector
Il gruppo di rivelatori utilizzati durante l’esperimento PREX consiste
di due rivelatori in ogni braccio di HRS, disposti entrambi nel piano
focale. Ogni rivelatore di quarzo, ha una superficie di 3.5 · 14.0 cm2, ed
e connesso alle guide di luce, che trasportano la radiazione Cherenkov,
generata dagli elettroni incidenti sul quarzo su di una finestra di ∼ 5 cm
di un fotomoltiplicatore R7723. I rivelatori sono in grado di resistere al
danneggiamento da radiazioni causato dall’alto flusso di elettroni diffu-
si, e danno una risposta sufficientemente uniforme, indipendentemente
dal punto di impatto. I rivelatori sono montati su di una piattaforma
motorizzata che permette l’allineamento da remoto del rivelatore su di
un piano. I rivelatori misurano il flusso degli elettroni diffusi elastica-
mente, e sono stati disposti uno sopra l’altro. Questi rivelatori sono
montati parallelamente alla VDC (Vertical Drift Chamber) cosicche gli
elettroni incidono su di esso con un angolo di 45◦ (vedi par. 3.3.6).
Questa orientazione ottimizza la produzione della radiazione Cherenkov
nel quarzo e la sua raccolta all’interno dei fotomoltiplicatori (PMTS).
Lo spessore del quarzo del rivelatore, piu vicino alle VDC, e 5 mm,
quello sopra di lui 1 cm. Le dimensioni ridotte dei rivelatori fanno si
che essi rivelino i solo elettroni diffusi elasticamente. Infatti, grazie al
potere focalizzante di HRS, la posizione del punto d’impatto di una
traiettoria , sul piano focale, dipende, in prima approssimazione, solo
dall’energia dell’elettrone corrispondente. I rivelatori vengono cosi po-
sizionati sul piano focale nella posizione corrispondente all’energia degli
elettroni diffusi elasticamente e la loro dimensione ridotta assicura che
29
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
essi non si estendano fino alla posizione del piano corrispondente alle
energie degli elettroni diffusi inelasticamente.
Figura 12: rivelatori sul piano focale
Figura 13: piano focale
30
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
3.3.6 VDC
Ci sono due vertical drift chamber (VDC) in ogni HRS che ricostrui-
scono le coordinate del punto d’impatto delle traiettorie degli elettroni
su di esse e la direzione delle traiettorie stesse.
Dalle coordinate e dalla direzione delle traiettorie e possibile ricostruire
il momento e gli angoli di diffusione verticale e orizzontale degli elet-
troni.
In PREX le VDC, vengono utilizzate essenzialmente per calibrare l’ap-
parato, determinando le caratteristiche delle traiettorie degli elettroni
che colpiscono il piano focale nella posizione dove sono localizzati i rive-
latori. Lo schema generale delle VDC e visibile in fig. 14. Ogni camera
misura 2118 · 288 mm2, e ha due piani di fili che sono orientati di 90◦
l’uno rispetto all’altro in modo da formare una matrice bidimensionale.
Le VDC sono riempite con una mistura di argon e metano e operano
con una differenza di potenziale di - 4 KV. Cosicche i due piani sono
paralleli al piano focale e poiche quest’ultimo forma un angolo di 45◦
rispetto alla direzione degli elettroni uscenti da HRS (vedi fig. 6), gli
elettroni arrivano sulle VDC con un angolo di 45◦.
31
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Figura 14: Vertical drift chamber
3.3.7 Polarimetro Compton
Per misurare il raggio dei neutroni nel piombo con una precisione
dell’1%, PREX ha bisogno di misurare la polarizzazione degli elettroni
con una precisione inferiore all’1%. Ha raggiunto questo obiettivo uti-
lizzando e sottoponendo a sostanziali modifiche il polarimetro Compton
e il polarimetro Moller esistenti nella Hall-A.
Un polarimetro Compton misura la polarizzazione di un fascio di elet-
troni facendolo interagire con fotoni e rivelando il fotone e/o l’elettrone
dello stato finale. Cambiando la polarizzazione dei fotoni interagenti,
si misura l’asimmetria (differenza frazionaria), tra la sezione d’urto con
fotoni di elicita positiva e la sezione d’urto con fotoni di elicita nega-
tiva. Tale asimmetria e proporzionale al prodotto della polarizzazione
dei fotoni interagenti e degli elettroni e quindi una sua misura permette
di determinare la polarizzazione degli elettroni.
32
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Prima del periodo di presa dati di PREX, la Hall-A faceva uso di un
polarimetro Compton che utilizzava come sorgente di fotoni interagenti,
un laser infrarosso di lunghezza d’onda pari a 1064 nm, (1.16 eV). Que-
sto permetteva misure di polarizzazione del fascio di elettroni dell’1.5%
quando l’energia degli elettroni era dell’ordine di 4.5 GeV.
Poiche, tuttavia, la figura di merito di un polarimetro Compton, calco-
lata come sezione d’urto per l’asimmetria al quadrato, e proporzionale
al quadrato dell’energia degli elettroni e al quadrato dell’energia dei
fotoni interagenti, il polarimetro sino ad allora in uso in Hall-A non
era sufficiente a ottenere una misura precisa dell’1% per l’esperimento
PREX in cui l’energia degli elettroni e 1.06 GeV.
Il polarimetro standard della Hall-A e stato quindi modificato in modo
da utilizzare un laser verde (lunghezza d’onda 533 nm corrispondente
ad un’energia di 2.33 eV) aumentando inoltre la potenza nella cavita
Fabry-Perot dove l’intensita del laser viene incrementata da 1.5 KW
a 3.5 KW. Si e potuto cosi ottenere una misura di polarizzazione del
fascio dell’ordine dell’1%. [24] [25].
33
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Figura 15: funzionamento del polarimetro Compton
Figura 16: layout di base del polarimetro Compton
34
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
3.3.8 Polarimetro Moller
Una misura della polarizzazione del fascio di elettroni complementare
a quella ottenuta con il polarimetro Compton e stato ottenuta nell’e-
sperimento PREX facendo uso di un polarimetro Moller.
Un polarimetro Moller misura la polarizzazione degli elettroni primari
facendoli incidere su un bersaglio ferromagnetico immerso in un campo
magnetico e rivelando, tramite uno spettrometro, gli elettroni diffusi
dagli elettroni del bersaglio (diffusione Moller).
L’asimmetria misurata, e proporzionale alla polarizzazione del fascio e
alla polarizzazione del bersaglio.
Conoscendo la polarizzazione del bersaglio, si puo derivare quindi la
polarizzazione degli elettroni primari.
PREX ha utilizzato un polarimetro Moller innovativo in cui il bersaglio
e stato immerso in un campo di 3 Tesla con conseguente polarizzazione
del bersaglio del 100% e diminuzione dell’incertezza sulla polarizzazio-
ne del bersaglio, la maggiore fonte di errori sistematici fino allora nella
polarimetria Moller. I precedenti campi magnetici usati per polarizzare
i bersagli, nei polarimetri Moller, erano dell’ordine dei 24 mT . Il pola-
rimetro Moller utilizzato da PREX ha permesso di ottenere una misura
di polarizzazione il cui errore sistematico e stato inferiore all’1%.
35
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Figura 17: layout di base del polarimetro Moller
36
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
3.4 Risultati sperimentali di PREX
Come e stato visto nel capitolo precedente l’asimmetria violante la
parita e definita come:
A =σR − σL
σR + σL
A causa dell’enorme flusso di elettroni diffusi, l’esperimento PREX in-
tegra la risposta del rivelatore per ogni finestra temporale in cui l’elicita
degli elettroni incidenti e fissata piuttosto che contare individualmente
gli elettroni diffusi.
PREX misura cosi la differenza frazionaria nella risposta del rivelatore
per ogni coppia di finestre di elicita, (vedi par. 3.3):
A =NR −NL
NR +NL
(5)
dove NR e NL sono la risposta del rivelatore per elettroni incidenti
destrogiri e levogiri. Per ogni run e calcolato il valore medio dell’asim-
metria pesato per la corrente del fascio,
< A >=
∑
wkAk∑
wk
(6)
dove wk e la corrente del fascio nella k-esima coppia di finestre.
Spesso l’intero gruppo di dati e diviso in n campioni per ottenere n valo-
ri medi di < A >, ognuno con il proprio errore, stimato dalla grandezza
della distribuzione. Il valore finale dell’asimmetria si ottiene come va-
lore medio degli n campioni pesati con il proprio errore statistico.
Particolare cura e stata impegnata per tenere sotto controllo gli errori
sistematici dipendenti dall’elicita del fascio che genera ”false asimme-
trie”. Particolari sforzi sono stati impiegati per rendere il piu possibile
37
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
indipendenti dall’elicita parametri come energia, intensita, posizione e
direzione del fascio. Per eliminare i residui contributi al valore misurato
dell’asimmetria, della dipendenza dell’elicita dei parametri del fascio di
elettroni primari, si e utilizzata la formula:
< A >cor=< A > − < ∆A >, (7)
dove
∆ < A >=∑
< aj > <Bj >, (8)
dove j indica uno dei parametri del fascio, Bj e la differenza media
del parametro j-esimo tra elettroni a elicita positiva e negativa, e aj e
definita da:
aj =
∂d∂Bj
2 < d >, (9)
dove < d > e il segnale medio normalizzato del rivelatore. Dopo aver
sottratto quindi i contributi derivanti dal background all’asimmetria
misurata e diviso l’asimmetria misurata per il valore della polarizza-
zione del fascio si e ottenuto un valore sperimentale per l’asimmetria
violante la parita di:
A = 656± 60(stat)± 14(syst) ppb. (10)
dove il primo errore e statistico, il secondo e sistematico e ppb indi-
ca parti per miliardo. Per determinare Rn dall’equazione 10, e stata
calcolata l’asimmetria violante la parita usando sette diversi modelli di
campo medio relativistici. Per ogni modello e stata risolta la relativa
equazione di Dirac di un elettrone diffuso dalla densita di carica debole
teorica (ρW ) predetta dal modello e dalla densita di carica nota spe-
rimentalmente (ρch). La risultante asimmetria, dipendente dall’angolo
38
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
di diffusione degli elettroni, e stata integrata su tutta l’accettanza del-
l’esperimento e, come mostrato in fig. 18, si e ottenuta una dipendenza
del raggio dei neutroni nel piombo [16], in funzione dell’asimmetria
violante la parita data da:
Rn = 6.156 + 1.675 < A > −3.420 < A >2 fm, (11)
con < A > in parti per milione.
Inserendo nella 11 il valore misurato dell’asimmetria violante la parita
dato dalla 10 si e ottenuto per il raggio dei neutroni nel 208Pb:
Rn = 5.78+0.16−0.18fm. (12)
Sottraendo al raggio dei neutroni ottenuto quello noto dei protoni
Figura 18: valore dell’asimmetria violante la parita in funzione del raggiodei neutroni nel piombo come predetto dai modelli NL3m05, NL3p06, NL3da [26], FSU da [27], SIII da [13], SLY4 da [14], SI da [28].
39
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
pari a 5.45fm [29], corrispondente al raggio di carica misurato pari a
5.50fm [30], si ottiene per la ”pelle di neutroni” il valore:
Rn −Rp = 0.33+0.16−0.18 (13)
Sia pure solo con un livello di affidabilita 1.8σ, e stata quindi per la
prima volta accertata l’esistenza di una ”pelle di neutroni” nel 208Pb in
una misura modello indipendente. Dalla misura dell’asimmetria violan-
te la parita espressa dall’equazione 10 si e ottenuto il valore del raggio
dei neutroni nel 208Pb, anche con un secondo metodo complementare
al primo sebbene piu dipendente dal modello usato nell’analisi. Dalla
misura dell’asimmetria nell’equazione 10 otteniamo il fattore di forma
debole FW (q) definito come la trasformata di Fourier della densita di
carica debole [31] :
FW (q) = 0.204± 0.028(exp)± 0.001(mod). (14)
dove q =< Q2 >1
2= 0.475± 0.003 fm−1.
Il primo errore, (exp), e l’errore sperimentale ottenuto sommando gli
errori sistematici e statistici in quadratura. Il secondo errore, (mod),
invece e dovuto alla dipendenza del modello da ρw(r).
Dall’equazione 14 possiamo ricavare il valore del raggio debole RW , che
e il raggio quadratico medio della densita di carica debole:
RW = 5.826± 0.181(exp)± 0.027(mod) fm, (15)
Escludendo correnti di spin-orbita o correnti dovute a scambio di meso-
ni, otteniamo quindi per il raggio dei neutroni nel 208Pb, e per la ”pelle
40
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
di neutroni”, i seguenti valori:
Rn = 5.751± 0.175(exp)± 0.026(mod)± 0.005(str) fm, (16)
Rn −Rp = 0.302± 0.175(exp)± 0.026(mod)± 0.005(str) fm (17)
dove il terzo errore e dovuto ad un possibile contributo dei quark strani.
La discordanza tra i valori definiti nelle ultime due relazioni e i valori
di Rn e Rn − Rp dati dall’equazione 12 e dall’equazione 14 e dovuta
alla dipendenza dal modello; tuttavia le 4 equazioni in esame sono in
accordo entro gli errori.
41
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
4 Teoria generale del trasporto di parti-
celle in campo magnetico.
4.1 Introduzione al trasporto
In questa tesi verra usato il formalismo matriciale per lo studio del
trasporto di particelle cariche in un campo magnetico [32]. La nota-
zione introdotta da John Streib [33] e molto utile al fine di applicare
i principi fondamentali che dettano la progettazione dei sistemi di tra-
sporto di fascio. In particolare le informazioni relative alla risoluzione e
dispersione dell’impulso e le condizioni necessarie e sufficienti per avere
zero dispersione, acromaticita e isocronicita possono essere espresse co-
me semplici integrali di particolari traiettorie al primo ordine (elementi
di matrice) che caratterizzano il sistema. Questa formulazione forni-
sce una visione diretta della fisica dei sistemi di trasporto e nei sistemi
spettrometrici di particelle cariche.
In generale la teoria del trasporto matriciale e ottenuta sviluppando in
serie di Taylor il campo magnetico attorno alla traiettoria centrale ca-
ratterizzante il sistema. In questa espansione il primo termine (termine
di dipolo) risulta essere proporzionale all’intensita del campo, mentre il
secondo termine (termine di quadrupolo) e proporzionale alla derivata
prima di esso.
L’effetto del termine dipolare sulle particelle e quello di curvarle sul
42
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
piano di simmetria e quindi di allargare il fascio, il che implica un di-
spersione dell’impulso al primo ordine del sistema, mentre quello del
termine quadrupolare e di generare un’imaging al primo ordine. I ter-
mini superiori al secondo , dell’espansione multipolare in serie di Tay-
lor del campo magnetico attorno alla traiettoria centrale, descrivono
le componenti sestupolari, ottupolari ecc., del campo. Essendo HRS
costituito da soli dipoli e quadrupoli, la loro intensita in HRS e dovuta
alle aberrazioni. In questo paragrafo, essi non verranno trattati, es-
sendo la loro derivazione concettualmente identica a quella dei termini
dipolari e quadrupolari.
4.2 Prime nozioni sul trasporto
Una teoria generale del trasporto ha come obiettivo lo studio delle
traiettorie descritte dalle particelle che attraversano campi magnetici.
Una particella carica che si muove in un campo magnetico statico, ri-
sente della forza di Lorentz che e una forza perpendicolare alla direzione
istantanea del moto. La forza di Lorentz non compie lavoro, cosicche
se la particella si muove inizialmente perpendicolarmente al campo, ef-
fettuera un moto circolare uniforme la cui forza centripeta e data dalla
forza di Lorentz.
43
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Cosicche abbiamo:
qvB =mv2
ρ(18)
P = qBρ (19)
e, con le opportune sostituzioni:
Bρ = 3.3356P
dove:
• B Campo magnetico (T).
• ρ raggio di curvatura (m).
• P impulso (GeVc).
• q carica della particella (C).
Questa equazione non e altro che l’esempio piu classico di moto in un
campo magnetico. Per una particella relativistica invece abbiamo:
d
dtP = γm
d
dtv = q(v ×B) (20)
Trasformiamo questa equazione in un altra indipendente dal tempo, e
dipendente solo dalle coordinate spaziali, introducendo le coordinate
curvilinee con ”T”, la ”distanza di arco” misurata lungo la traiettoria
centrale, cosi come mostrato in figura 19.
Risulta utile esprimere le coordinate curvilinee nel seguente modo [34],
θ =dx
dz=
x′
z′=
x′
1 + hx(21)
44
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
φ =dy
dz=
y′
z′=
y′
1 + hx(22)
con
x′ =dx
dT, y′ =
dy
dT, z′ =
dz
dT
Se adesso indichiamo con:
Figura 19: Sistema di coordinate curvilinee
• e carica della particella.
• v velocita particella.
• P impulso particella.
• T vettore posizione.
• B campo magnetico.
• T la distanza attraversata.
45
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Se il vettore, di modulo unitario, tangente alla traiettoria e
dT
dT
allora avremo rispettivamente per la velocita e per l’impulso
v = (dT
dT)v e P = (
dT
dT)P (23)
cosicche l’equazione del moto si trasforma in:
Pd2T
dT2 +dT
dT(dP
dT) = e(
dT
dT×B) (24)
L’impulso P e una costante del moto, poiche la forza magnetica di
un campo magnetico statico e sempre perpendicolare alla velocita del
moto, per cuidP
dT= 0
In definitiva abbiamo:
d2T
dT2 =e
P(dT
dT×B) (25)
Nelle regioni in cui non e presente densita di corrente il campo magne-
tico puo essere espresso in termini del potenziale scalare φ, cioe:
B = ∇Φ (26)
Lo studio delle traiettorie e semplificato di molto se esiste una simmetria
di midplane [35] [36], ovvero il potenziale scalare e una funzione dispari
sulla coordinata perpendicolare a quella in cui e contenuta la traiettoria
centrale, cioe:
Φ(x, y, T ) = −Φ(x,−y, T ) (27)
46
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Del potenziale possiamo fare l’espansione in serie di Taylor in coordinate
curvilinee attorno alla traiettoria centrale, e ricordando il sistema di
riferimento usato, dove x e la distanza normale esterna nel piano di
mezzo lontano dalla traiettoria centrale, y e la distanza perpendicolare
dal piano mediano, t e la distanza lungo la traiettoria centrale e h=h(t)
e la curvatura della traiettoria centrale.
L’equazione del moto della traiettoria centrale e espressa come:
By(0, 0, T ) =hP0
e(28)
La piu generica espansione per un campo scalare φ dispari, dovuto alla
presenza della simmetria di midplane, sara della forma:
φ(x, y, T ) =∞∑
m=0
∞∑
n=0
A2m+1,nxn
n!
y2m+1
(2m+ 1)!(29)
con T, x, e y definiti dalla fig. 19 e i coefficienti A2m+1,n funzioni di T.
L’elemento lineare differenziale sara dato quindi da:
dT2 = dx2 + dy2 + (1 + hx)2(dt)2
In generale le componenti del campo magnetico espresse in funzione del
potenziale scalare sono:
Bx =∂φ
∂x=
∑
∞
m=0
∑
∞
n=0 A2m+1,n+1xn
n!
y2m+1
(2m+ 1)!
By =∂φ
∂y=
∑
∞
m=0
∑
∞
n=0 A2m+1,nxn
n!
y2m
(2m)!
Bt =1
(1 + hx)
∂φ
∂t=
1
(1 + hx)
∑
∞
m=0
∑
∞
n=0 A′
2m+1,n
xn
n!
y2m+1
(2m+ 1)!(30)
Dalla equ. 30 si ottiene:
By(x, 0, t) = A10 + A11x+1
2!A12x
2 + · · · (31)
47
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
e,
By(x, 0, t) |x=0,y=0= By +∂By
∂x+
1
2!
∂2By
∂x2+ · · · (32)
Esprimendo il campo di midplane in termini delle quantita adimensio-
nate n(t), β(t), tali che:
By(x, 0, t) = By(0, 0, t)[1− nhx+ βh2x2 + γh3x3 + · · · ] (33)
dove, come prima, h(t) =1
ρ0, e n, β, γ, sono funzioni di t; paragonando
l’equ. 33 con la 30 e 31 otteniamo:
A10 = By(0, 0, t) = h
(
P0
e
)
A11 =∂By
∂x= −nh2
(
P0
e
) (34)
dove il primo termine e il termine dipolare, mentre il secondo e il termi-
ne quadrupolare. Per un quadrupolo puro il potenziale scalare e dato
da:
φ = B0xy
a
con B0, campo magnetico alla posizione del polo, e con a, l’apertura
quadrupolare. L’elemento A11 risulta quindi essere:
∂By
∂x=
B0
a= −nh2(
P0
e) (35)
da cui possiamo definire la quantita K2q nel seguente modo:
K2q = −nh2 = (
B0
a)(
e
P0
) = (Bo
a)(
1
Bρ) (36)
dove n e K verranno utilizzati successivamente.
48
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
4.3 Ottica geometrica
Per mettere in relazione l’ottica magnetica con l’ottica geometrica
partiamo da alcune semplici considerazioni sulle lenti [37].
Una lente sottile soddisfa sempre l’equazione:
Figura 20: lente sottile
1
p+
1
q=
1
f(37)
la cui corrispettiva trasformazione matriciale e:
[
x1
θ1
]
=
1 0−1
f1
[
x0
θ0
]
(38)
Il determinante della matrice di trasformazione risulta uguale a 1, che
e una conseguenza del teorema di Liouville sulla conservazione dello
spazio delle fasi. Questo vale anche nel caso di deriva lungo un tratto
L, vedi fig. 21 la cui trasformazione matriciale e:
[
x1
θ1
]
=
[
1 L0 1
] [
x0
θ0
]
(39)
Se invece consideriamo una lente spessa come in fig. 22, in genera-
49
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Figura 21: drift
Figura 22: lente spessa
le non vale l’equazione delle lenti sottili. Tuttavia e sempre possibile
introdurre due nuovi piani posizionati a una distanza z1 e z2 dalle su-
perficie delle lenti tali che l’equazione risulti valida. Questi piani sono
chiamati piani principali e si usano indicare con P1, P2. La loro posizio-
ne, mostrata in fig. 22, rispetto a L1, distanza tra l’oggetto e la faccia
della lente, ed a L2,distanza tra l’altra faccia della lenti e l’immagine
dell’oggetto, e data da:
P1 = p = L1 + z1P2 = q = L2 + z2
(40)
in generale:1
L1
+1
L2
6= 1
f(41)
tuttavia1
P1
+1
P2
=1
f(42)
50
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
La trasformazione matriciale della lente spessa sara data dal confronto
tra l’equ. 38 e l’equ. 39
[
R1,1 R1,2
R2,1 R2,2
]
=
[
1 z20 1
]
1 0
− 1
f1
[
1 z10 1
]
da cui otteniamo per i piani principali le equazioni seguenti:
z1 =R2,2 − 1
R2,1
, z2 =R1,1 − 1
R2,1
(43)
Con questo metodo possiamo trovare i piani principali di ogni sistema
di lenti, indipendentemente dal numero di elementi coinvolti tra l’og-
getto e l’immagine, se p e q sono misurati rispetto ai piani principali,
infatti sara sempre valida l’equazione delle lenti sottili.
Per collegare l’ottica magnetica con quella geometrica basta prendere
in considerazione due situazioni fisiche collegate ai due diversi tipi di
lenti. Iniziamo da un semplice modulo magnetico con campo uniforme,
come mostrato in figura 23; poiche gli assi ottici sono perpendicolari
Figura 23: campo magnetico statico a forma di cuneo
al ”polo magnetico”, i piani principali si trovano anch’essi al centro
51
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
del magnete, il che implica che il magnete puo essere assimilato a una
”lente sottile”.
Se prendiamo in considerazione invece un coppia di quadrupoli cosi
Figura 24: quadrupolo lungo x
Figura 25: quadrupolo lungo y
come si puo vedere dalle figure 24 e 25 notiamo che i piani principali si
trovano o prima o dopo la coppia di quadrupoli in base alla geometria
selezionata, e per ogni coordinata del sistema il corrispettivo ingrandi-
mento sara maggiore o minore di uno in maniera tale che il rapporto
traMy
Mx
ci dara una prima stima della distorsione dell’immagine al primo ordine.
Tipici rapporti per una coppia di quadrupoli si assestano su un valore
di circa 20:1.
52
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
4.4 Matrice del trasporto
Poiche siamo interessati alla focalizzazione del fascio, e al formalismo
matriciale del trasporto al primo ordine, introduciamo la matrice del
trasporto 3x3 per una esatta stima della dispersione al primo ordine e,
poiche essa dipende dall’impulso delle particelle, prendiamo in conside-
razione due particelle di impulso P0 and Po+∆p che passano attraverso
il midplane del campo magnetico cosi come in figura 26.
La matrice del trasporto da A a B, puo essere espressa nel seguente
Figura 26: dispersione dell’impulso
modo:
x1
θ1δ
=
R1,1 R1,2 dR2,1 R2,2 d′
0 0 1
x0
θ0δ0
(44)
dove indichiamo con:
• δ = ∆p
P0
il rapporto tra variazione d’impulso rispetto al valore
centrale.
• d la dispersione spaziale dell’impulso.
• d’ la derivata prima della dispersione.
53
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Il determinante di questa matrice e uguale a uno, come conseguenza
del teorema di Liouville. Consideriamo adesso un sistema magnetico
con raggio di curvatura lungo x.
La matrice di trasformazione generica per la coordinata x corrispon-
dente ad una trasformazione da un punto τ = 0, ad un punto finale
τ = t, misurati lungo la traiettoria centrale di riferimento sara [38]:
x1
θ1δ
=
cx(t) sx(t) dx(t)c′x(t) s′x(t) dx(t)0 0 1
x0
θ0δ
(45)
Estendendo il formalismo matriciale, oltre che all’asse x, corrispondente
alla direzione del moto, anche alle y, l’asse perpendicolare al moto delle
particelle, avremo al primo ordine un’equazione matriciale del tipo:
xi(t) =6
∑
j=1
Ri,jxj(0) (46)
dove: x1 = x, x2 = θ, x3 = y, x4 = φ, x5 = l, x6 = δ che in forma
estesa, considerando sempre un campo magnetico statico simmetrico
rispetto al midplane, risulta essere una matrice 6x6 del seguente tipo
[39]:
x(t)θ(t)y(t)φ(t)l(t)δ(t)
=
R1,1 R1,2 0 0 0 R1,6
R2,1 R2,2 0 0 0 R2,6
0 0 R3,3 R3,4 0 00 0 R4,3 R4,4 0 0
R5,1 R5,2 0 0 1 R5,6
0 0 0 0 0 1
x0
θ0y0φ0
l0δ0
dove
x, θ, δ definite in precedenza.
y spostamento trasversale rispetto alla traiettoria centrale assunta.
54
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
φ angolo trasverso del raggio rispetto alla traiettoria centrale assun-
ta.
l differenza di lunghezza di cammino rispetto al cammino lungo la
traiettoria centrale.
Gli zeri presenti negli elementi
R1,3, R1,4, R2,3, R2,4, R3,1, R3,2, R4,1, R4,2, R3,6, R4,6 della matrice
di trasformazione sono una diretta conseguenza della simmetria di mid-
plane.
Le condizioni iniziali per gli elementi di matrice nell’equ. 45 sono:
s(0) = 0 , s′(0) = 1 dove s′(T ) =ds(T )
dT
c(0) = 1 , c′(0) = 0 dove c′(T ) =dc(T )
dT
Per un magnete ideale, ovvero un campo costante lungo tutto la tra-
iettoria, risolvendo l’equ. 25 otteniamo:
cx(t) = cos kxt , sx(t) =
(
1
kx
)
sin kxt (47)
cy(t) = cos kyt , sy(t) =
(
1
ky
)
sin kyt (48)
dove,
k2x = (1− n)h2, k2
y = nh2, h =1
ρ0(49)
per un dipolo, ed:
k2x = nh2, k2
y = −nh2, k2x = k2
q = −k2y (50)
per un quadrupolo. Equazioni ottenute confrontando l’equ. 34 con
l’equ. 36.
55
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Figura 27: funzione seno nel midplane magnetico
Figura 28: funzione coseno nel midplane magnetico
56
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Figura 29: funzione seno nel piano ortogonale al midplane magnetico
Figura 30: funzione coseno nel piano ortogonale al midplane magnetico
Possiamo adesso definire i termini dispersivi dx(t) e d’x(t), derivan-
do il tutto dall’equazione differenziale del moto di una particella carica
in un campo magnetico statico. quindi avremo:
dx(t) = sx(t)
∫ t
0
cx(τ)dα− cx(t)
∫ t
0
sx(τ)dα (51)
d′x(t) = s′x(t)
∫ t
0
cx(τ)dα− c′x(t)
∫ t
0
sx(τ)dα (52)
57
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
dove,
dα =dτ
ρo(τ)(53)
e l’angolo differenziale di curvatura.
Riportiamo di seguito la matrice per un modulo di drift, un dipolo
Figura 31: funzione di dispersione nel midplane magnetico
ideale e un quadrupolo ideale [40].
x(t)θ(t)y(t)φ(t)l(t)δ(t)
=
1 L 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 L 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1
x0
θ0y0φ0
l0δ0
(54)
per un modulo di drift.
x(t)θ(t)y(t)φ(t)l(t)δ(t)
=
coskxt1
kxsin kxt 0 0 0
h
k2x(1− cos kxt)
−kx sin kxt cosKxt 0 0 0h
kxsin kxt
0 0 cos kyt1
kysin kyt 0 0
0 0 −ky sin kyt cos kyt 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1
x0
θ0y0φ0
l0δ0
(55)
58
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
per un dipolo.
x(t)θ(t)y(t)φ(t)l(t)δ(t)
=
coskq(t)1
kqsin kqt 0 0 0 0
−kq sin kqt cosKqt 0 0 0 0
0 0 cosh kqt1
kqsinh kqt 0 0
0 0 kq sinh kqt cosh kqt 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1
x0
θ0y0φ0
l0δ0
(56)
Per un quadrupolo.
A questo punto siamo in grado di definire diversi sistemi magnetici.
Un sistema si dice:
”acromatico” se,
R1,6 = R2,6 = 0, cioe:
∫ t
0
sx(τ)h(τ)dτ =
∫ t
0
cx(τ)h(τ)dτ
”isocronico” se,
R5,1 = R5,2 = R5,6 = 0, cioe:
∫ t
0
cx(τ)h(τ)dτ =
∫ t
0
sx(τ)h(τ)dτ =
∫ t
0
dx(τ)h(τ)dτ
inoltre si ha una focalizzazione point to point se:
per l’asse x R1,2 = sx(t) = 0
per l’asse y R3,4 = sy(t) = 0
o una focalizzazione parallel to point se:
cx(t) = R1,1 = 0 per l’asse x
cy(t) = R3,3 = 0 per l’asse y
59
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
parallel to parallel se:
c′x(t) = R2,1 = 0 asse x
c′y(t) = R4,3 = 0 asse y
e infine una focalizzazione point to parallel se:
s′x(t) = R2,2 = 0
s′y(t) = R4,4 = 0
Inoltre gli elementi di matrice R2,1 e R4,3 corrispondono fisicamente
all’inverso della lunghezza focale lungo l’asse x e lungo l’asse y:
c′x(t) = R2,1 = − 1
fxe, c′y(t) = R4,3 = − 1
fy
mentre gli elementi R1,1 e R3,3 sono rispettivamente l’ingrandimento
lungo l’asse x e l’ingrandimento lungo l’asse y.
60
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
5 Trasporto di elettroni in HRS:
simulazioni.
5.1 Il codice SNAKE
Le traiettorie degli elettroni diffusi elasticamente in HRS sono state
simulate tramite il codice di calcolo del moto di particelle in campo
magnetico, denominato SNAKE.
SNAKE utilizza come input un file che descrive i campi magnetici dei
singoli moduli componenti lo spettrometro in studio, nonche le loro
posizioni e le loro reciproche distanze. Nel caso di HRS e stata utilizzata
una descrizione che in termini matriciali corrisponde all’equazione:
RHRS =Rdrift3 ·RQ3exit ·RQ3entr ·RoverlapD−Q3·
·RDipolo ·RoverlapD−Q2·RQ2exit ·RQ2entr·
·RoverlapQ1−Q2·RQ1exit ·RQ1entr·
·RDrift2 ·RSeptum ·RDrift1
(57)
con:
RHRS matrice descrivente tutto HRS;
RDipolo matrice descrivente il dipolo di HRS;
RQientr(i = 1, 3) matrice descrivente la meta anteriore (nel senso degli
elettroni diffusi) dell’i-esimo quadrupolo;
61
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
RQiexit(i = 1, 3) matrice descrivente la meta posteriore dell’i-esimo qua-
drupolo;
RoverlapD−Qi(i = 1, 3) matrice descrivente lo spazio tra il dipolo di HRS
e l’i-esimo quadrupolo;
RDrifti gli spazi tra bersaglio e setto magnetico, tra setto magnetico
e quadrupolo Q1 e tra il quadrupolo Q3 e il piano di rivelazione
degli elettroni diffusi;
RSeptum matrice descrivente il setto magnetico.
Descrivendo la traiettoria degli elettroni in HRS, dal bersaglio dove
avviene l’interazione sino al piano dove e situato il rivelatore, con il
formalismo matriciale, possiamo, quindi, scrivere, (vedi paragrafo 4.4):
XθYφlδ
= RHRS
X0
θ0Y0
φ0
lδ
(58)
dove X0, Y0, sono le coordinate, nel piano normale alla direzione di dif-
fusione, del punto d’interazione dell’elettrone primario nel bersaglio, θ0
e l’angolo di diffusione verticale e φ0 l’angolo di diffusione orizzontale
dell’elettrone dopo l’interazione nel bersaglio, δ e la differenza percen-
tuale tra il momento dell’elettrone diffuso e il momento della traiettoria
centrale in HRS, X e Y sono le coordinate cartesiane del punto d’im-
patto dell’elettrone diffuso nel piano contenente il rivelatore, θ e φ sono
gli angoli definenti le direzioni nel piano verticale e in quello orizzontale
62
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
della traiettoria dell’elettrone, quando colpisce il piano di rivelazione ed
”l” e il cammino ottico dell’elettrone entro HRS fino al piano di rivela-
zione (X, δ, Y, φ e l sono misurati rispetto ai corrispondenti valori della
traiettoria centrale).
All’inizio dell’esecuzione di SNAKE e possibile, tramite un’opzione for-
nita dal programma, moltiplicare i campi magnetici descritti nel file di
input per un fattore arbitrario, rendendo possibile, cosı, ottenere risul-
tati anche per momenti centrali degli elettroni diffusi diversi da quelli
corrispondenti al file di input, senza modificare il file di input stesso.
Se, per esempio, il file di input di SNAKE corrisponde a un momento
della traiettoria centrale di 2 GeVc, sara possibile, con l’opzione descrit-
ta sopra, moltiplicando i campi magnetici descritti nel file di input per
0.5, ottenere i risultati corrispondenti a una traiettoria centrale degli
elettroni diffusi di momento pari a 1 GeVc.
SNAKE traccia le traiettorie attraverso una serie di elementi chiamati
“free boxes”, ognuno dei quali ha il proprio sistema di coordinate re-
lativo e corrisponde a uno dei moduli costituenti HRS (ovvero a una
delle matrici nella parte destra dell’equazione 57). In ognuno di queste
“free boxes” e possibile definire uno o piu “piani finali” (“end-plane” nel
seguito), con cui si possono definire eventuali collimatori e per i quali
SNAKE puo, a richiesta dell’utilizzatore, produrre, in un file di output,
insieme alle coordinate X0, θ0, Y0, φ0 e δ definite sopra, le coordinate
Xf , θf , Yf , φf e lf (misurate rispetto alle corrispondenti coordinate del-
la traiettoria centrale), dei punti d’impatto delle traiettorie degli elet-
troni diffusi sull’end-plane. Per quanto detto sopra e nel capitolo 4,
63
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Xf , θ, Yf , φf e lf sono date dall’equazione:
Xf
θfYf
φf
lfδ
= R′
X0
θ0Y0
φ0
l0δ
(59)
dove, R′ e la matrice descrivente il sistema magnetico di HRS dal ber-
saglio sino all’end-plane.
Si possono definire fino a 35 end-plane nel file di input, variamente di-
stribuiti nelle free-boxes.
SNAKE calcola le traiettorie degli elettroni diffusi dal bersaglio dopo
che ad esso sono stati forniti, per ogni traiettoria, i valori dei parame-
tri X0, θ0, Y0, φ0 e δ di diffusione dell’elettrone corrispondente. Questi
parametri possono essere forniti sia singolarmente, traiettoria per tra-
iettoria, sia definendo per ogni parametro un valore minimo e massimo
e scegliendo entro questi due valori il valore del parametro casualmente
(modalita random), oppure a passo fisso partendo dal valore minimo
fino ad arrivare al valore massimo (modalita loop). Poiche il bersaglio
utilizzato nell’esperimento PREX e pressoche puntiforme, nella defini-
zione delle traiettorie si e sempre posto, con buona approssimazione,
X0,= 0, Y0 = 0 e le traiettorie sono state definite variando θ0, φ0 e δ en-
tro valori che non eccedevano i limiti di accettanza per queste variabili
elencate in Fig. 7.
64
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
5.2 Simulazione di traiettorie di elettroni in HRS
senza setto magnetico
Per studiare le caratteristiche ottiche dello spettrometro HRS sono
state inizialmente simulate traiettorie nello spettrometro HRS senza
l’introduzione del setto magnetico. Le fig. 32 e 33 mostrano i risultati
ottenuti per un “end-plane” posizionato in corrispondenza delle VDC
(grafici in rosso), dove e posizionato il piano focale, e a 100 cm dopo
le VDC, lungo la traiettoria centrale (grafici in verde). I grafici di
entrambe le figure sono stati ottenuti variando θ0 e φ0 negli intervalli:
−0.05 < θ0 < 0.05 rad
−0.025 < φ0 < 0.025 rad
mentre i grafici di fig. 32 sono stati ottenuti con −4.24% < δ < 4.24%
e i grafici di fig. 33 sono stati ottenuti con δ = 0 per tutte le traiettorie.
I grafici in rosso di Fig. 32 mostrano che, nel piano focale, δ e con buona
approssimazione una funzione lineare di Xf ed e indipendente da Yf ,
mentre Yf e pressoche indipendente da θ0, come atteso considerando
che HRS focalizza le traiettorie nel piano verticale e che HRS e dotato
di un piano di simmetria e che quindi al primo ordine, le coordinate nel
piano verticale sono indipendenti da quelle nel piano orizzontale.
Il grafico in rosso δ vs Xf di Fig. 33 mostra che, nel piano focale, la
variazione di Xf e molto piccola, come deve essere considerando che,
per uno spettrometro perfettamente focalizzante, essendo in questo ca-
so i momenti degli elettroni diffusi tutti uguali tra loro, questo grafico
dovrebbe ridursi a un punto, mentre il grafico in rosso Xf vs θ0 mostra
65
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
che Xf e praticamente indipendente da θ0 (a parte leggere aberrazioni
al secondo ordine e agli ordini successivi), come atteso. Tutte le ca-
ratteristiche elencate sopra per i grafici in rosso di Fig. 32 e 33, sono,
nel caso dei corrispondenti grafici in verde, molto meno accentuate o
addirittura inesistenti.
Figura 32: Da sinistra a destra: grafico di δ vs Xf , θ0 vs Xf , φ0 vs Yf , δvs Yf , θ0 vs Yf , Yf vs Xf per δ variabile e per il piano dove sono localizzatele VDC (piano focale, grafici in rosso) e per un piano localizzato a 100 cmdalle VDC (grafici in verde), nello spettrometro HRS senza setto.
66
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Figura 33: da sinistra a destra: grafico di δ vs Xf , θ0 vs Xf , φ0 vs Yf , δ vsYf , θ0 vs Yf , Yf vs Xf per δ = 0 e per il piano dove sono localizzate le VDC(piano focale, grafici in rosso) e per un piano localizzato a 100 cm dalle VDC(grafici in verde), nello spettrometro HRS senza setto.
67
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
5.3 Simulazioni di traiettorie di elettroni per l’e-
sperimento PREX.
L’esperimento PREX misura l’Asimmetria Violante la Parita nella
diffusione, ad un angolo centrale di 5◦, di elettroni di 1.06 GeVc
su un
nucleo di Piombo. Poiche HRS e in grado di rivelare elettroni diffusi ad
un angolo non inferiore a 12.5◦, e stato necessario aggiungere ad HRS
un setto magnetico, che deviasse di 7.5◦ le traiettorie degli elettroni
diffusi con un angolo di 5◦ in modo da permetterne la rivelazione da
parte di HRS. Con l’introduzione del setto, la posizione del bersaglio
e stata spostata di 105 cm “upstream” (ovvero in direzione opposta a
quella del fascio primario di elettroni).
Come descritto nel Capitolo 2, nell’esperimento PREX, l’elevatissimo
flusso di elettroni diffusi nell’unita di tempo impedisce la rivelazione,
tramite le VDC, delle singole tracce degli elettroni diffusi. Per misura-
re l’Asimmetria Violante la Parita, si fa, quindi, uso di rivelatori che
integrano il segnale generato in esso dagli elettroni diffusi in ogni sin-
gola finestra temporale, in cui il fascio primario ha elicita definita. Per
questo motivo non e piu desiderabile avere la posizione del piano focale
coincidente con quelle delle VDC, per poter determinare, invertendo
l’equ. 58, per ogni singola traccia, le coordinate θ0, φ0 e δ dalla misura
delle coordinate e angoli X, θ, Y, φ, ottenute tramite le VDC. Si e
preferito, invece, avere il piano focale a una certa distanza dalle VDC,
dove le condizioni sperimentali rendono preferibile collocare i rivelatori.
Nella prima fase dell’esperimento PREX, la posizione ottimale del pia-
no focale e stata posta ad una distanza di 1.43 m dalle VDC, lungo la
68
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
direzione del fascio degli elettroni diffusi.
La necessita di collocare il piano focale in una posizione non piu coin-
cidente con quella delle VDC e il fatto che, comunque, sono stati in-
trodotti due nuovi elementi nell’ottica di HRS (il setto magnetico e lo
spazio tra la nuova posizione della targhetta e il setto magnetico) fa
sı che, a parita d’impulso della traiettoria centrale, i valori dei campi
dei quadrupoli Q1, Q2 e Q3 siano, nel caso dell’esperimento PREX,
differenti rispetto ai corrispondenti valori degli esperimenti che hanno
usato lo spettrometro HRS senza il setto magnetico.
L’input per il programma SNAKE descrivente lo spettrometro HRS +
setto magnetico, inclusi i valori dei campi di Q1, Q2 e Q3 che la col-
laborazione PREX supponeva essere quelli che posizionavano il piano
focale a 1.43 m dalle VDC, era il file prex Rn dir.dat. Utilizzandolo
come file di input di SNAKE, abbiamo verificato la posizione effettiva
del piano focale. Tale verifica e avvenuta definendo un “end-plane” a
1.43 metri dalle VDC, simulando con SNAKE traiettorie di elettroni
tutti con impulso e angolo di diffusione orizzontale uguali a quelli della
traiettoria centrale (ovvero con δ = φ0 = 0) e producendo quindi l’isto-
gramma delle coordinate Xf dei punti d’impatto delle traiettorie degli
elettroni diffusi con l’end-plane.
Per uno spettrometro perfettamente focalizzante, nel caso in cui il piano
focale coincida con l’end-plane, questo istogramma sarebbe una delta
di Dirac, posizionata a Xf = 0. Si e notato, invece, che l’istogramma
presentava due picchi, a indicare che i valori dei campi magnetici dei
componenti costituenti HRS registrati nel file prex Rn dir.dat non era-
69
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
no tali da posizionare il piano focale a 1.43 m di distanza dalle VDC.
E stata quindi compiuta una ricerca su quale fosse il valore del campo
del quadrupolo Q3 adatto a localizzare il piano focale nella posizione
desiderata (Q3 e l’elemento di HRS che focalizza il fascio degli elettroni
diffusi nella regione a valle del dipolo). Questa ricerca e stata eseguita
effettuando simulazioni in cui il valore del campo di Q3 e stato variato
di ±8% rispetto al valore registrato nel file prex Rn dir.dat. I risultati
di questa ricerca sono mostrati in fig. 34, che evidenzia, in funzione del
campo del quadrupolo Q3, l’istogramma della coordinata verticale Xf
del punti d’impatto delle traiettorie degli elettroni diffusi, con l’end-
plane situato a 1.43 m dalle VDC.
Tutti i grafici di fig. 34 sono ottenuti variando, nelle traiettorie degli
elettroni diffusi, il solo angolo di diffusione verticale θ0 e ponendo quin-
di, per tutte le traiettorie, δ = φ0 = 0.
Dalla fig. 34 si evince che il corretto valore del campo di Q3 che posizio-
na il piano focale a 1.43 m dalle VDC, ovvero per il quale nel corrispon-
dente istogramma e presente un singolo picco la cui altezza e massima
e la cui larghezza e minima, rispetto ai picchi degli altri istogrammi, e
0.2564 Tesla (valore del campo al polo), un valore circa il 4.5% superio-
re rispetto al valore di 0.2553 Tesla registrato nel file prex Rn dir.dat.
Una verifica ulteriore del corretto posizionamento del piano focale a
1.43 m dalle VDC, con questo nuovo valore del campo magnetico di
Q3, e stata ottenuta creando, nel file di input prex Rn dir.dat una se-
rie di end-plane a varie distanze dalle VDC e riportando per ognuno di
questi piani, l’istogramma della coordinata verticale Xf dei punti d’im-
70
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
patto di traiettorie con δ = φ0 = 0 e con angolo di diffusione verticale
θ0 variabile tra -0.053 e 0.053 rad. Gli istogrammi ottenuti ponendo il
valore del campo di Q3 pari a 0.2564 Tesla sono mostrati in figura 35
e mostrano che l’istogramma che piu si avvicina a una delta di Dirac
e situato a 1.43 metri dalle VDC. La figura 36 mostra gli stessi isto-
grammi ottenuti con il valore del campo di Q3 pari a 0.2553 Tesla (il
valore originario nel file prex Rn dir.dat) e mostrano che la posizione
del piano focale corrispondente alla configurazione dei campi magnetici
del file originario prex Rn dir.dat e situata a 0.7 m dalle VDC.
Figura 34: istogrammi, ottenuti a vari valori del campo magnetico del qua-drupolo Q3, della coordinata verticale Xf del punti d’impatto, su un pianosituato a 1.43 m di distanza dalla VDC, delle traiettorie di elettroni diffusicon momento e angolo di diffusione orizzontale uguali a quelli della traietto-ria centrale di HRS e con angolo di diffusione verticale variabile. I valori delcampo magnetico sono quelli alla posizione del polo di Q3 e sono espressi inTesla. I valori del campo magnetico si riferiscono a un momento della traiet-toria centrale pari a 4.79GeV
c. Per normalizzarli al momento 1.06GeV
cdegli
elettroni diffusi nell’esperimento PREX bisogna moltiplicarli per 0.2215.
71
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Figura 35: Istogramma della coordinata verticale delle traiettorie in HRSin funzione della distanza dalle VDC con il campo magnetico di Q3 pari a0.2564 Tesla.
Figura 36: Istogramma della coordinata verticale delle traiettorie in HRSin funzione della distanza dalle VDC con il campo magnetico di Q3 pari a0.2553 Tesla.
72
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Una seconda verifica concernente il file prex Rn dir.dat consiste
nella ricerca del coefficiente moltiplicativo da applicare globalmente ai
campi magnetici in esso descritti, in modo da determinare con precisio-
ne i campi magnetici che i singoli componenti di HRS devono generare
per far sı che la traiettoria centrale degli elettroni rivelabili da HRS
corrisponda a quella dell’esperimento PREX (1.06 GeVc).
Come detto all’inizio di questo capitolo, e possibile fornire al program-
ma SNAKE, nelle fasi iniziali della sua esecuzione, un coefficiente per
cui SNAKE moltiplichera i campi di tutti i moduli magnetici definiti
nel file di input.
Questo permette di simulare le traiettorie di particelle di momenti cen-
trali diversi, senza dover modificare il file di input, ma semplicemente
moltiplicando i campi magnetici per un coefficiente opportuno. Se, per
esempio, sono state simulate traiettorie di particelle con momento pari
a P1 in uno spettrometro magnetico descritto da un certo file di in-
put, e possibile simulare anche, con lo stesso file di input, le traiettorie
di particelle con momento pari a P2 semplicemente fornendo a SNA-
KE, all’inizio della sua esecuzione, un coefficiente moltiplicativo pari
aP2
P1
. Questa proprieta di SNAKE ha indubbiamente il vantaggio di
permettere di generare un solo file di input per un certo spettrometro, e
quindi, di poter studiare le proprieta dello spettrometro, indipendente-
mente dalle cinematiche degli esperimenti che lo utilizzano. Il prezzo da
pagare e che bisogna determinare, per ogni singolo esperimento, il coef-
ficiente moltiplicativo corrispondente alle sua cinematica. Allo scopo di
determinare il coefficiente moltiplicativo ottimale per la cinematica di
73
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
PREX (elettroni diffusi a 1.06 GeVc) si e fatto uso della proprieta che la
probabilita di una particella di attraversare uno spettrometro magneti-
co, nella sua interezza, e tanto maggiore quanto piu il suo momento si
avvicina a quello corrispondente alla traiettoria centrale dello spettro-
metro, cosi come determinata dai campi magnetici dello spettrometro
stesso.
Si sono simulate, quindi, utilizzando come file di input per SNAKE
il file prex Rn dir.dat e variando il coefficiente moltiplicativo fornito a
SNAKE, diecimila traiettorie, entro HRS, di elettroni diffusi con angolo
di diffusione verticale compreso nell’intervallo −0.06 < θ0 < 0.06 rad,
con angolo di diffusione orizzontale compreso nell’intervallo −0.03 <
φ0 < 0.03 rad e con momento variabile tra 1.0123 e 1.1077 GeVc
(tut-
ti intervalli comprendenti ampiamente l’accettanza effettiva di HRS).
Il coefficiente moltiplicativo ottimale e stato determinato come quel-
lo per cui era massima la percentuale di traiettorie che riuscivano ad
attraversare tutto HRS, colpendo il piano focale (percentuale di tra-
iettorie “sopravvissute” entro HRS). La Figura 37 mostra l’andamento
del numero di traiettorie “sopravvissute” in funzione del coefficiente
moltiplicativo applicato globalmente ai campi magnetici descritti dal
file prex Rn dir.dat. Da essa si evince che il coefficiente moltiplicativo
ottimale e 0.2215 (il che significa che il file prex Rn dir.dat corrispon-
de a una traiettoria centrale delle particelle rivelate da HRS pari a1.06
0.2215= 4.79GeV
c).
74
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Figura 37: andamento del numero di traiettorie in grado di attraversa-re tutto HRS, arrivando sino al piano focale, in funzione del coefficientemoltiplicativo applicato globalmente ai campi magnetici descritti dal fileprex Rn dir.dat.
75
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
5.4 Stima dell’accettanza
Siamo adesso in grado, dopo aver trovato la distanza dalle VDC al-
la quale posizionare il piano focale (1.43 m) e dopo aver trovato il
coefficiente (0.2215) con cui moltiplicare i valori dei campi magnetici
registrati nei file di input prex Rn dir.dat, di stimare l’accettanza spe-
rimentale dello spettrometro HRS, per confrontare il valore ottenuto
col valore di 3.7 · 10−3 msr, riportato nell’articolo [41].
Il calcolo di essa e stato eseguito, in un primo momento, calcolando
l’area, nel piano (θ0, φ0) comprendente gli angoli di diffusione verticale
ed orizzontale degli elettroni, le cui traiettorie hanno raggiunto il piano
focale dopo la diffusione nel bersaglio e dopo aver attraversato tutto
HRS.
In seguito, al fine di valutare meglio il contributo al valore dell’accet-
tanza da parte dei contorni di suddetta area, si e divisa l’area stessa
in 9 sezioni, calcolando e quindi sommando l’area di ciascuna sezione.
Inoltre, e stato ritenuto che una statistica adeguata e stata ottenuta
con un rapporto tra il numero di tracce sopravvissute e i bin di suddi-
visione dell’area θ0 − φ0 maggiore di 7.
Il valore dell’accettanza e stato ottenuto dalla formula;
Accettanza =areabinnbin
· b. (60)
76
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
dove:
• areabin, l’area di ciascun bin in cui e stato diviso il piano (θ0, φ0);
• nbin, numero di bin in cui e stato diviso il piano (θ0, φ0);
• b, numero di bin corrispondenti a un’area nel piano (θ0, φ0) da
cui e originata almeno una traiettoria che ha raggiunto il piano
focale.
Per ottenere un’adeguata statistica, sono state simulate all’incirca 3
milioni di traiettorie, entro gli intervalli:
θ0 − 0.051/0.051 mrad
φ0 − 0.028/0.018 mrad
p 1.0123/1.1077 GeVc
(61)
I risultati sono mostrati in fig. 38 e sono consistenti con un valore
d’accettanza pari a:
acc = 3.55548 · 10−3 sr, (62)
La distribuzione del numero di tracce che hanno raggiunto il piano fo-
cale per singolo bin di suddivisione del piano e riportata in fig. 39.
77
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Figura 38: Area nel piano (θ0, φ0), corrispondente agli angoli di diffusioniorizzontali e verticali degli elettroni le cui traiettorie hanno raggiunto il pianofocale.
Figura 39: distribuzione delle tracce che hanno raggiunto il piano focale persingolo bin di suddivisione del piano (θ0, φ0)
78
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
In un secondo momento e stata divisa l’area suddetta in 9 sezioni
diverse, come visibile in figura 40, ed in ognuno di essi e stata calcolata
l’accettanza simulando un numero adeguato di traiettorie (7 volte il
numero di bin nella sezione).
I risultati estratti dalle fig. 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, sono mo-
strati nella tabella sotto riportata. Sommando le accettanze di ciascuna
sezione otteniamo un’accettanza pari a:
Acc = 3.50907 · 10−3 sr. (63)
Sezione Accettanza1 5.05753 · 10−6
2 7.01234 · 10−4
3 2.67855 · 10−5
4 2.75355 · 10−4
5 1.71015 · 10−3
6 5.12102 · 10−5
7 6.957 · 10−6
8 7.06955 · 10−4
9 2.54027 · 10−5
79
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Figura 40: suddivisione del piano (θ0, φ0) in nove sezioni
80
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Figura 41: prima sezione
Figura 42: seconda sezione
81
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Figura 43: terza sezione
Figura 44: quarta sezione
82
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Figura 45: quinta sezione
Figura 46: sesta sezione
83
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Figura 47: settima sezione
84
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Figura 48: ottava sezione
Figura 49: nona sezione
85
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
6 Conclusioni
La misura di Rn fornisce un importante test dei calcoli sulla materia
neutronica fondamentale; una misura precisa di Rn potra avere un for-
te impatto sulla teoria nucleare, sulla violazione della parita atomica e
sulla struttura delle stelle di neutroni, poiche vi e una forte relazione
tra il raggio dei neutroni nel piombo e la pressione della materia neu-
tronica a densita prossime a 0.1fm−3.
La presente tesi ha avuto come oggetto la verifica delle proprieta del-
lo spettrometro HRS, utilizzato dall’esperimento PREX, che ha luogo
nella Hall-A di JLab (Jefferson Laboratory) sito a Newport News, in
Virginia, USA. PREX ha avuto una prima fase di presa dati nel 2010.
Una seconda fase (denominata PREX-II) e prevista per il 2017.
Scopo dell’esperimento e quello di verificare, per la prima volta in mo-
do modello-indipendente, l’esistenza della cosiddetta “pelle di neutroni”
(“neutron skin”), ovvero di un raggio di neutroni piu grande di quel-
lo di protoni, nel nucleo 208Pb. Questo lavoro di tesi ha verificato le
proprieta di HRS, in particolare la localizzazione del piano focale e la
sua accettanza. A tale scopo sono stati utilizzati codici di simulazione
del trasporto di elettroni in campo magnetico, in particolare il codice
SNAKE. Dopo una descrizione dei metodi matematici impiegati dai co-
dici per simulare le traiettorie di particelle cariche in campi magnetici,
metodi molto simili a quelli impiegati nell’ottica geometrica, nonche
del codice di simulazione SNAKE, adoperato dall’autore di questa te-
si, nel Capitolo 5 vengono riportati i risultati di queste verifiche. In
particolare e stata riscontrata la necessita di aumentare, rispetto alla
86
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
“configurazione standard” di HRS, del 4.5% il valore del campo dell’ul-
timo quadrupolo di HRS per posizionare il piano focale a 1.43 m dalle
Camere a Deriva Verticale (VDC) situate alla fine di HRS. Il valore del-
l’accettanza di HRS, come derivato dalle simulazioni, e risultato pari a
3.55 ·10−3 con un primo calcolo basato sull’integrale globale dell’angolo
solido individuato dai punti di partenza delle traiettorie degli elettroni
che raggiungono il piano focale dopo essere stati diffusi. Un calcolo
piu raffinato, basato sulla suddivisione dell’angolo solido suddetto in
sezioni e sul calcolo dell’integrale di ciascuna sezione ha dato un valore
per l’accettanza pari a 3.50 · 10−3.
I valori trovati con i due metodi sono abbastanza compatibili tra loro
e, in ultima istanza, rispondono alle specifiche richieste dalla collabo-
razione PREX, in particolare per gli esperimenti PREX-II e CREX.
87
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
7 Ringraziamenti
Desidero ringraziare tutti coloro che mi hanno aiutato nella stesura
di questa tesi; a loro va la mia gratitudine, anche se a me spetta la
responsabilita per ogni imprecisione contenuta in questa tesi.
Ringrazio anzitutto il Prof. Bellini V., Relatore, che ho avuto l’onore
di avere come docente ma soprattutto come maestro, dentro e fuori
dalle aule universitarie, i cui consigli e le cui osservazioni sono risultati
fondamentali per tutta la mia carriera.
Un ringraziamento particolare va al Prof. Urciuoli G.M., Correlatore,
uomo di scienza, ma anche uomo di grande cultura e pazienza, senza il
quale non avrei potuto completare questo lavoro.
Ringrazio, inoltre, il Dott. Tortorici F., Correlatore, per il suo enorme
aiuto nella programmazione.
Ringrazio tutto il gruppo di ”ottica”, con cui mi sono confrontato,
durante il periodo della mia tesi.
Un abbraccio caloroso va a tutti i miei colleghi, con cui ho vissuto degli
anni indimenticabili.
Vorrei infine ringraziare le persone a me piu care: i miei genitori, che
da sempre mi hanno sostenuto lungo il percorso verso questa laurea;
i miei splendidi fratelli, dal genio incomparabile;
la mia fidanzata, che mi ha sostenuto in questi ultimi mesi, sperando
che sia solo l’inizio.
E, dulcis in fundo, ringrazio tutti i miei nonni, a cui dedico questo
lavoro, certo del fatto che la fine di questo percorso e motivo di grande
gioia per loro, ovunque essi siano.
88
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
Riferimenti bibliografici
[1] Z. Y. B. Journal of Experimental and Theoretical Physics, vol. 954,
no. 1, p. 36, 1959.
[2] C. Y. Prescott, W. Atwood, R. Cottrell, H. DeStaebler, E. L. Gar-
win, A. Gonidec, R. H. Miller, L. Rochester, T. Sato, D. Sher-
den, et al., “Further measurements of parity non-conservation in
inelastic electron scattering,” Physics Letters B, vol. 84, no. 4,
pp. 524–528, 1979.
[3] J. Cavedon, B. Frois, D. Goutte, M. Huet, P. Leconte, X. Phan,
S. Platchkov, C. Papanicolas, S. Williamson, W. Boeglin, et al.,
“Measurement of charge-density differences in the interior of pb
isotopes,” Physical review letters, vol. 58, no. 3, p. 195, 1987.
[4] E. Quint, J. van den Brand, J. den Herder, E. Jans, P. Keizer,
L. Lapikas, G. van der Steenhoven, P. de Witt Huberts, S. Klein,
P. Grabmayr, et al., “Relative 3 s spectroscopic strength in pb 206
and pb 208 studied with the (e, e p) knockout reaction,” Physical
review letters, vol. 57, no. 2, p. 186, 1986.
[5] C. Garcia-Recio, J. Nieves, and E. Oset, “Neutron distributions
from pionic atoms,” Nuclear Physics A, vol. 547, no. 3, pp. 473–
487, 1992.
[6] L. Ray, W. R. Coker, and G. Hoffmann, “Uncertainties in neu-
tron densities determined from analysis of 0.8 gev polarized proton
89
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
scattering from nuclei,” Physical Review C, vol. 18, no. 6, p. 2641,
1978.
[7] V. Starodubsky and N. Hintz, “Extraction of neutron densities
from elastic proton scattering by pb 2 0 6, 2 0 7, 2 0 8 at 650
mev,” Physical Review C, vol. 49, no. 4, p. 2118, 1994.
[8] H. Lenske, “Antiprotons for nuclear structure research,” Hyperfine
Interactions, vol. 194, no. 1-3, pp. 277–282, 2009.
[9] K. Paschke et al., “Prex-ii proposal to jefferson lab.,(2012),” URL
http://hallaweb. jlab. org/parity/prex/prexII. pdf.
[10] D. B. Kaplan and A. Manohar, “Strange matrix elements in
the proton from neutral-current experiments,” Nuclear Physics B,
vol. 310, no. 3, pp. 527–547, 1988.
[11] R. McKeown, “Sensitivity of polarized elastic electron-proton
scattering to the anomalous baryon number magnetic moment,”
Physics Letters B, vol. 219, no. 2, pp. 140–142, 1989.
[12] D. Beck, “Strange-quark vector currents and parity-violating elec-
tron scattering from the nucleon and from nuclei,” Physical Review
D, vol. 39, no. 11, p. 3248, 1989.
[13] M. Beiner, H. Flocard, N. Van Giai, and P. Quentin, “Nuclear
ground-state properties and self-consistent calculations with the
skyrme interaction:(i). spherical description,” Nuclear Physics A,
vol. 238, no. 1, pp. 29–69, 1975.
90
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
[14] E. Chabanat, P. Bonche, P. Haensel, J. Meyer, and R. Schaeffer,
“A skyrme parametrization from subnuclear to neutron star densi-
ties part ii. nuclei far from stabilities,” Nuclear Physics A, vol. 635,
no. 1, pp. 231–256, 1998.
[15] T. W. Donnelly, J. Dubach, and I. Sick, “Isospin dependences in
parity-violating electron scattering,” Nuclear Physics A, vol. 503,
no. 3, pp. 589–631, 1989.
[16] S. Abrahamyan, Z. Ahmed, H. Albataineh, K. Aniol, D. Arm-
strong, W. Armstrong, T. Averett, B. Babineau, A. Barbieri,
V. Bellini, et al., “Measurement of the neutron radius of pb 208
through parity violation in electron scattering,” Physical review
letters, vol. 108, no. 11, p. 112502, 2012.
[17] C. Horowitz, “Parity violating elastic electron scattering and cou-
lomb distortions,” Physical Review C, vol. 57, no. 6, p. 3430,
1998.
[18] C. Horowitz, S. J. Pollock, P. Souder, and R. Michaels, “Parity
violating measurements of neutron densities,” Physical Review C,
vol. 63, no. 2, p. 025501, 2001.
[19] J. Alcorn, B. Anderson, K. Aniol, J. Annand, L. Auerbach, J. Ar-
rington, T. Averett, F. Baker, M. Baylac, E. Beise, et al., “Basic
instrumentation for hall a at jefferson lab,” Nuclear Instruments
and Methods in Physics Research Section A: Accelerators, Spec-
91
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
trometers, Detectors and Associated Equipment, vol. 522, no. 3,
pp. 294–346, 2004.
[20] P. Souder, R. Holmes, C.-M. Jen, L. Zana, Z. Ahmed, A. Rakh-
man, E. Cisbani, S. Frullani, F. Garibaldi, F. Meddi, et al., “Prex-
ii: Precision parity-violating measurement of the neutron skin of
lead,”
[21] S. Gandolfi, J. Carlson, and S. Reddy, “Maximum mass and ra-
dius of neutron stars, and the nuclear symmetry energy,” Physical
Review C, vol. 85, no. 3, p. 032801, 2012.
[22] K. Hebeler, J. Lattimer, C. Pethick, and A. Schwenk, “Constrain-
ts on neutron star radii based on chiral effective field theory in-
teractions,” Physical review letters, vol. 105, no. 16, p. 161102,
2010.
[23] F. C. A. Pockels, Lehrbuch der kristalloptik, vol. 19. BG Teubner,
1906.
[24] M. Friend, D. Parno, F. Benmokhtar, A. Camsonne, M. Dalton,
G. Franklin, V. Mamyan, R. Michaels, S. Nanda, V. Nelyubin,
et al., “Upgraded photon calorimeter with integrating readout
for the hall a compton polarimeter at jefferson lab,” Nuclear In-
struments and Methods in Physics Research Section A: Accelera-
tors, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment, vol. 676,
pp. 96–105, 2012.
92
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
[25] M. Friend, D. Parno, F. Benmokhtar, A. Camsonne, M. Dalton,
G. Franklin, V. Mamyan, R. Michaels, S. Nanda, V. Nelyubin,
et al., “Upgraded photon calorimeter with integrating readout
for hall a compton polarimeter at jefferson lab,” arXiv preprint
arXiv:1108.3116, 2011.
[26] G. Lalazissis, J. Konig, and P. Ring, “New parametrization for
the lagrangian density of relativistic mean field theory,” Physical
Review C, vol. 55, no. 1, p. 540, 1997.
[27] B. Todd-Rutel and J. Piekarewicz, “Neutron-rich nuclei and neu-
tron stars: A new accurately calibrated interaction for the study
of neutron-rich matter,” Physical review letters, vol. 95, no. 12,
p. 122501, 2005.
[28] b. D. M. Vautherin D. Phys. Rev. C, vol. 5, p. 626, 1972.
[29] F. B. et al. Physics Reviwv Letters, vol. 152, no. 38, 1977.
[30] A. Ong, J. Berengut, and V. Flambaum, “Effect of spin-orbit nu-
clear charge density corrections due to the anomalous magnetic
moment on halonuclei,” Physical Review C, vol. 82, no. 1, 2010.
[31] C. Horowitz, Z. Ahmed, C.-M. Jen, A. Rakhman, P. Souder,
M. Dalton, N. Liyanage, K. Paschke, K. Saenboonruang, R. Sil-
wal, et al., “Weak charge form factor and radius of 208 pb through
parity violation in electron scattering,” Physical Review C, vol. 85,
no. 3, 2012.
93
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
[32] F. R. Gantmacher, The theory of matrices, vol. 1. Taylor & Francis,
1959.
[33] J. F. Streib, “Design considerations for magnetic spectrometers,”
tech. rep., Stanford Univ., Calif. High-Energy Physics Laboratory
(US), 1960.
[34] N. Liyanage, “Optics calibration of the hall a high resolution
spectrometers using the new optimizer,” tech. rep., Jefferson
Laboratory, 2002.
[35] L. C. Teng, “Expanded form of magnetic field with median plane,”
tech. rep., Argonne National Lab., Ill.(USA), 1962.
[36] K. L. Brown, R. Belbeoch, and P. Bounin, “First-and second-order
magnetic optics matrix equations for the midplane of uniform-field
wedge magnets,” Review of Scientific Instruments, vol. 35, no. 4,
pp. 481–485, 1964.
[37] K. Brown, F. Rothacker, D. Carey, and Iselin, “Transport
appendix,” Fermilab, unpublished., 1977.
[38] K. G. Steffen, High energy beam optics, vol. 11. Interscience New
York, 1965.
[39] K. L. Brown, “A first-and second-order matrix theory for the desi-
gn of beam transport systems and charged particle spectrometers,”
tech. rep., SLAC, 1972.
94
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
[40] S. Penner, “Calculations of properties of magnetic deflection
systems,” Review of Scientific Instruments, vol. 32, no. 2,
pp. 150–160, 1961.
[41] R. Michaels, “Electroweak measurements of neutron densities in
prex and crex at jlab, usa,” arXiv preprint arXiv:1510.04592, 2015.
95
Cop
ia d
i doc
umen
to in
form
atic
o ar
chiv
iato
pre
sso
l'Uni
vers
ità d
egli
Stu
di d
i Cat
ania
(ex
art
. 23-
bis
D.L
gs 8
2/20
05)
- P
rot.
2015
-UN
CT
CLE
-014
3714
del
16/
11/2
015
![THE GEANT4-INFN COLLABORATION Status and …...l CERN, INFN, KEK, SLAC, TRIUMF l ESA, Lebedev, IN2P3 l Common (membri sotto soglia) l altre partecipazioni in corso di definizione]](https://static.fdocumenti.com/doc/165x107/5e794947b44df870283b94df/the-geant4-infn-collaboration-status-and-l-cern-infn-kek-slac-triumf-l-esa.jpg)
