UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO - UniBG DLP-L Le... · 2010-05-12 · df ddi cassa con...

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO

Facoltà di Ingegneria

Corso di Economia Applicata all’Ingegneriapp g g

prof.ssa Maria Sole Brioschi

Le decisioni aziendali di lungo periodoLe decisioni aziendali di lungo periodoDLP-L

Corso 60001 – Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Edile – Anno Accademico 2009/2010

Agenda della lezione

• Elementi di matematica finanziaria

• Definizione di valutazione degli investimenti e di investimento

• Elementi necessari alla valutazione economica di un progetto di Elementi necessari alla valutazione economica di un progetto di investimento

• C it i di l t i d li i ti ti• Criteri di valutazione degli investimenti

– Valutazione di progetti indipendentiS lt t tti lt ti i– Scelta tra progetti alternativi

• In presenza di vincoli sulle risorse• Di diversa durata

Università degli Studi di BergamoFacoltà di Ingegneria

Economia Applicata all’Ingegneria2009 / 2010

Decisioni di lungo periodopagina 2

Elementi di matematica finanziaria



Matematica finanziariapagina 3

• Valore temporale del capitale e costo opportunità del capitale

• C it li i l f t i i d li i t i• Capitalizzazione, valore futuro e composizione degli interessi

• Attualizzazione e valore attuale

• Rendita annua (annuity) e rendita perpetua (perpetuity)

• Piano di ammortamento del debito

• Tasso annuo nominale (TAN), tasso annuo effettivo (TAE) e tasso annuo effettivo globale (TAEG)

• Tassi di interesse non costanti

• Tassi di interesse nominali vs tassi di interesse reali




• Tassi di interesse nominali vs tassi di interesse reali

Valore temporale del capitale

1 € di oggi vale più, meno o come 1 € tra un anno?

• Valore temporale del capitale (time value of money)1 € disponibile oggi può essere investito per generare nel futuro un ritorno positivo; pertanto 1 € disponibile oggi vale di più di 1 € disponibile domani p p p gg p p(primo principio della finanza)

• Ad esempio, se è possibile investire € 100 al 10% annuo, € 100 oggi di € 110 diventano € 110 tra un anno

• In generale, se r è il tasso di interesse annuo e C il capitale disponibile oggi g p p ggper l’investimento, in un anno l’investimento cresce di (1 + r) per ogni €investito. In formule

C i C * (1 ) C * (1 )C oggi C * (1 + r) tra un anno

t+1t

C C * (1+r)




Costo opportunità del capitale

• Costo opportunità del capitale (opportunity cost of capital)

È d fi i il i li di l i i i i i d È definito come il miglior rendimento alternativo a cui si rinuncia quando viene effettuato un investimento– È utile per capire come rendere “omogenei” e quindi confrontabili flussi

d f ddi cassa con manifestazione in momenti diversi

• Esempiop

Vi propongono due opportunità di investimento– Investire € 100.000 oggi in un progetto per avere tra un anno un ritorno

tt di € 110 000atteso di € 110.000– Investire in titoli di stato al tasso annuo del 3%

• I t d l tt t di t tt d l 10% i i t l • Investendo nel progetto avete un rendimento atteso del 10%, ma rinunciate al rendimento offerto dall’impiego alternativo del capitale (3%), che pertanto costituisce il vostro costo opportunità del capitale




Costo opportunità del capitale : un’applicazione (1)

• Si consideri un progetto di acquisto per € 30.000 di una Radio con l’obiettivo di svilupparne l’attività e il prestigio e poterla rivendere dopo un anno. Si ipotizzi h che – Il pagamento della Radio sia contestuale all’acquisto– Il progetto preveda l’assunzione di un giovane e bravo DJp g p g– La remunerazione del DJ e gli altri costi di gestione ammontino

complessivamente per il periodo a € 15.000 e i suddetti costi debbano essere pagati anticipatamentep g p

– La Radio possa essere rivenduta, dopo un anno, per € 47.000 (esiste già un acquirente affidabile disposto a pagare questo prezzo)

• In questa situazione la semplice somma algebrica dei flussi di cassa che descrivono l’investimento produce un risultato apparentemente positivo




Fonte: “Sistemi di controllo”, Anthony et al.


Incasso da cessione della Radio (A)Esborso per l’acquisto della Radio (B)

47.00030.000

Esborsi per il DJ e gli altri costi di gestione (C)Esborso totale (D = B + C)Differenza tra incassi ed esborsi (E = A – D)

15.00045.000

2 000Differenza tra incassi ed esborsi (E = A – D)

• Poiché i flussi di cassa hanno manifestazione temporale diversa, non ha nessun i ifi t ff tt li l b i l t l

2.000

significato effettuare una semplice somma algebrica per valutare la convenienza dell’investimento– Infatti, 1 € disponibile oggi vale più di 1 € disponibile domani

• Il problema si risolve rendendo “omogenei” i due flussi, convertendoli in flussi di cassa confrontabili, dunque come se avessero tutti manifestazione nel qmedesimo istante






In € all’istante iniziale

In € di un anno dopo

Tasso di capitalizzazione

Incasso da cessione31.500

€ 47.000Esborso per l’acquisto della Radio

iniziale

1,0530.000

anno dopocapitalizzazione

€Esborso per il DJ e altri costi di gestione

Esborsi totali

15.7501,0515.000

45.000 47.250

• Come è stato determinato il fattore di conversione o tasso di capitalizzazione

- 250Risultato economico

ppresente nella tabella che converte € disponibili oggi in € disponibili domani ?

• È stato necessario verificare il rendimento di investimenti alternativi • È stato necessario verificare il rendimento di investimenti alternativi, comparabili, in termini di rischio e durata, al Progetto Radio






• In particolare, si ipotizzi che il rendimento che si otterrebbe investendo sui mercati finanziari in un progetto alternativo avente lo stesso livello di rischio d l P R di i il i à d l i l i d l 5%del Progetto Radio, ossia il costo opportunità del capitale, sia del 5%

• Se impiegassimo oggi i € 45.000 necessari al progetto (€ 30.000 + € 15.000) e li p g gg p g ( )investissimo nel progetto alternativo, fra un anno disporremmo di una somma pari a

€ 45.000 * (1 + 0,05) = € 47.250 ( )

• In sintesi, non conviene investire nel Progetto Radio perché l’entrata di cassa di € 47 000 generata dopo un anno dall’impiego del denaro (€ 45 000 ) risulta di € 47.000 generata dopo un anno dall impiego del denaro (€ 45.000 ) risulta inferiore all’ammontare di € 47.250, costituito dall’esborso iniziale di € 45.000 più il corrispondente costo opportunità di € 2.250, di cui disporremmo dopo un anno investendo nel progetto alternativoanno investendo nel progetto alternativo





Valore futuro

• Valore futuro (future value, VF)

Il l f è il d d f di i l di ibil i Il valore futuro è il montante ad una data futura di un capitale disponibile oggi come conseguenza della maturazione degli interessi

• Esempio - 1 periodo

Investite € 1.000 al 12% annuo. Qual è il valore futuro tra un anno?

VF = € 1 000 * (1 + 0 12) = € 1 120VF € 1.000 (1 + 0,12) € 1.120

determinato dalla somma iniziale di € 1.000 più € 120 di interessi (12% * € 1000 = € 120)(12% € 1000 = € 120)




Composizione degli interessi (1)

• Composizione degli interessi (compounding)

Qual è il valore futuro di € 1.000 investiti per 2 anni al 12% annuo?

– Dopo un anno avete € 1.120 [€ 1.000 * (1 + 0,12)]

– Questa somma viene investita per un altro anno, sempre al 12%. Q p pAlla fine del secondo anno avete pertanto

VF = € 1.120 *(1 + 0,12) = € 1.000 * (1 + 0,12) * (1 + 0,12) = € 1.254,4

Nel secondo periodo la crescita del capitale è pari a– Nel secondo periodo la crescita del capitale è pari a€ 1.254,4 – € 1.120 = € 134,4

così composto

• 12% sulla somma iniziale (€ 1.000) € 120,0• 12% sugli interessi del primo anno (€ 120) € 14,4

1.000

€ 134,41.000

1.000120

120134,4




t+1 t+2t


– In altre parole, il calcolo degli interessi viene effettuato anche sugli interessi maturati nei periodi precedenti

– E perciò, in generale, se si investe ad un tasso annuo r per t anni, il valore futuro di ogni € investito è pari a

(1 +r) * (1 + r) * * (1 + r) = (1 +r) t(1 +r) (1 + r) …. (1 + r) = (1 +r) t

t volte





• Esempio

Interessi su €1000 dopo t anni (€)Interessi su €1000 dopo t anni (€)r t= 1 t= 5 t= 10 t= 20

10% 100 610.5 1,583.7 5,727.5 20% 200 1,488.0 5,191.7 37,337.6, , ,

2x 2.4x 3.3x 6.5x

Il calcolo degli interessi viene

effettuato 30000

40000

effettuato anche sugli

interessi maturati nei

20000r=10%r=20%

periodi precedenti

0

10000

0 5 10 15 20 25





• Regime di capitalizzazione semplice e regime di capitalizzazione composta

a. Interesse composto – di periodo in periodo gli interessi maturano anche a. Interesse composto di periodo in periodo gli interessi maturano anche sugli interessi maturati precedentemente (v. supra)

Ad esempio, in regime di capitalizzazione composta il valore futuro di €1 000 i titi l 12% 6 i è1.000 investiti al 12% annuo per 6 anni è

VF = € 1.000 * (1 + 0,12)6 = € 1.973,8

b. Interesse semplice – gli interessi vengono calcolati solamente sulla somma iniziale

Ad esempio, in regime di capitalizzazione semplice il valore futuro di €1.000 investiti al 12% annuo per 6 anni è

VF € 1 000 * (1 0 12 * 6) € 1 720VF = € 1.000 * (1 + 0,12 * 6) = € 1.720




Valore attuale (1)


Il valore attuale è il valore oggi di una somma di capitale disponibile nel futuroIl valore attuale è il valore oggi di una somma di capitale disponibile nel futuro

• Esempio - Attualizzazione - 1 periodoQ t i d i ti i t d ll’11% tt – Quanto si deve investire oggi con un tasso annuo dell’11% per ottenere € 2.000 tra un anno?

– La risposta a questa domanda è il valore attuale di € 2.000 tra un anno ll’11%all’11%

– Sappiamo dalle formule del valore futuro che VA * (1 + 0,11) = € 2.000– Pertanto VA = € 2.000 = € 1.801,8

(1 + 0,11)

• Esempio Attualizzazione t periodi• Esempio - Attualizzazione - t periodi– E per ottenere € 2.000 tra 5 anni?

VA * (1 + 0,11)5 = € 2.000 ⇒ VA = € 2.000 = € 1.186,9




(1 + 0,11)5

Valore attuale (2)


VF VA * (1 + )tVF = VA * (1 + r)t

– Quattro variabili: VF, VA, r, t– Date 3 qualsiasi di esse è possibile risolvere per la quarta

r = (VF/VA)1/t – 1 r (VF/VA) / 1

t = lnVF – lnVA = ln (VF/VA)ln(1 + r) ln(1 + r)

VA = VF(1 + r)t




Valore attuale (3)

• Esempio

S il t i ti t dd i i 5 i l è il t ?– Se il vostro investimento raddoppia in 5 anni, qual è il tasso annuo?

r = (2/1)1/5 – 1 = 0,1487 = 14,87%

– Ad un tasso del 30% quanto tempo ci vuole affinché l’investimento raddoppi?pp

t = ln(2/1) / ln(1,3)= 2,64 anni




Valore futuro e valore attuale

F t V l (FV)F t V l (FV)

8.00

10.00

r = 15%

Future Value (FV)

8.00

10.00

r = 15%

Future Value (FV)

4.00

6.00

FV F

acto

r

r = 10%4.00

6.00

FV F

acto

r

r = 10%

Valore Attuale (VA)Valore Attuale (VA)0 00

2.00r = 5%

0 00

2.00r = 5%

0.80

1.00

0.80

1.000.000 5 10 15

Time

0.000 5 10 15

Time

0.40

0.60

PV F

acto

r

r = 5%

r = 10%0.40

0.60

PV F

acto

r

r = 5%

r = 10%

0.00

0.20

%

r = 15%0.00

0.20

%

r = 15%




0 5 10 15Time

0 5 10 15Time

Flussi di cassa multipli

• Flussi di cassa multipli

• E i• Esempior = 9% con flussi di cassa alla fine del periodo

Anno 1 4 6Flusso (€) 2.500 900 3.600

– Qual è il VA della serie e qual è il VF dopo 7 anni?

VA = 2.500 + 900 + 3.600 = 5.077,7(1,09)1 (1,09)4 (1,09)6

VF = 2.500 * (1 + 0,09)6 + 900 * (1 + 0,09)3 + 3.600 * (1 + 0,09)1 = 9.282,3= VA * (1 + r)t = 5.077,7 * (1 + 0,09)7 = 9.282,3




Annuity (rendita annua) (1)

• Annuity

Serie di flussi di cassa costanti percepiti ad intervalli regolari (ogni anno) per d dun certo periodo di tempo

– Qual è il VA di una serie di flussi costanti C per T anni al tasso r ?

VA = C + C + C + … + C + C(1 + r)1 (1 + r)2 (1 + r)3 (1 + r)T-1 (1 + r)T

(1)( ) ( ) ( ) ( ) ( )

moltiplicando per (1+ r)

(1+r) * VA = C + C + C + + C + C(1+r) * VA = C + C + C + … + C + C(1 + r)1 (1 + r)2 (1 + r)T-2 (1 + r)T-1

tt d l (1) d ll (2) i tti

(2)

sottraendo la (1) dalla (2) si ottiene

r * VA = C – C/(1+r)T ⇒ VA = C - C * 1r r (1+r)T




r r (1 r)

Annuity (2)

• Valore futuro di una annuity

Partendo dalla formula appena calcolata

1*CCVA

Partendo dalla formula appena calcolata

( )( )1*FV

1

*

+=

+−=

T

T

rVA

rrrVA

( )

( )1*

1*FV

−+=

+=

T

rCr

rC

rVA

( )( )11* −+= TrrC

rr




Annuity (3)

• Numero di pagamenti / flussi di cassa di una annuity

Partendo dalla formula appena calcolataPartendo dalla formula appena calcolata

( )( )C T( )( )( )rrFV

rrCFV

T

T

+=+

−+=

1*1

11*

( )

( )( ) ( )C

rFVrTr

rC

T ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+=+

+=+

*1ln1ln*1ln

11

( )( ) ( )

CrFV

C

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎠⎝*1ln

( )rCT

+⎠⎝=

1ln




Annuity (4)

Valore attuale l f

• Annuity

11* ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

−=CVA

Valore attuale

( )( )11* −+= TrCFV

Valore futuro

( )

11 ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝ +

= TrrVA ( )( )11 + r

rFV

rFV⎟⎞

⎜⎛ *1l

Numero di pagamenti Flussi di cassa

( )rCT+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=1ln

1ln

( )( )11*−+

= TrrFVC

( )r+1ln ( )( )11+ r




Annuity (5)

• Annuity

• Esempi

C = 4.000 r = 0,08

T = 6Esempi

Qual è il VA di un’annuity della durata di 6 anni con pagamenti di € 4.000 al tasso r = 8%?

VA = (C/r) * [1 – 1/(1+r)T] = (4.000/0,08) * [1 – 1/(1 + 0,08)6] = € 18.491,5

Prendete a prestito € 30.000 oggi al tasso del 12% e scegliete di ripagarlo con un’annuity di 10 anni Qual è il pagamento annuale?Qual è il pagamento annuale?

30.000 = (C/0,12) * [1 – 1/(1 + 0,12)10] ⇒ C = 30.000/5,65= € 5.309,5

VA = 30.000 r = 0,12 T = 10




T 10

Annuity (6)

• Esempio

Valore attuale dei rimborsi

– Miss Smart accetta di ripagare il suo prestito bancario in 24 rate mensili da € 500 ciascuna da € 500 ciascuna Se il tasso di interesse applicato dalla banca è dello 0,75% su base mensile, qual è il valore attuale della serie di pagamenti?

VA = (C/r) * [1 – 1/(1+r)T]

VA24 = (500/0,0075) * [1-1/(1,0075)24] = € 10.944,57

C = 500 r = 0,0075

T = 24




T = 24

Growing annuity (rendita annua a rendimento crescente) (1)

• Growing annuity

Se in una annuity il flusso di cassa Ct (t = 1 T) cresce ad un tasso costante g Se in una annuity il flusso di cassa Ct (t 1 … T) cresce ad un tasso costante g, se cioèC1

C C * (1 + )C2 = C1 * (1 + g)C3 = C2 * (1+g)…CT = CT-1 * (1 + g) = C1 * (1 + g)T-1

l’annuity è denominata a rendimento crescente e il suo valore attuale èl annuity è denominata a rendimento crescente e il suo valore attuale è

VA = C1 - C1 * (1 + g)T

r – g r – g (1 + r)T




Growing annuity (2)

• Growing annuity

• Esempio

C1 = 400 * (1 + 0,03) * 5.000 r = 0,10 g = 0,03 Esempio

Si consideri il caso di una miniera d’oro in cui abbiamo il diritto di estrarre oro per i prossimi 20 anni. Si prevede di estrarre 5.000 once d’oro all’anno. Il

T = 20

per i prossimi 20 anni. Si prevede di estrarre 5.000 once d oro all anno. Il prezzo dell’oro oggi (t = 0) è di 400 €/oncia ma ne si stima un tasso di crescita del 3% all’anno. Il tasso di sconto è pari al 10%Calcolare il VA della rendita annua a rendimento crescenteCalcolare il VA della rendita annua a rendimento crescente

VA = C1 - C1 * (1 + g)T

(1 )Tr – g r – g (1 + r)T

VA = 2.060.000 – 2.060.000 * (1 + 0,03)20( )0,10 - 0,03 0,10 - 0,03 (1 + 0,10)20

= € 21.527.973




Perpetuity (rendita perpetua) (1)

• Perpetuity

Si tratta di un’annuity con flussi di cassa che continuano all’infinito

VA = C + C + C + …(1 + r)1 ( 1 + r)2 (1 + r)3

(1)( ) ( ) ( )

moltiplicando per (1+ r) si ottiene

(1+ r) * VA = C + C + C + … (1 +r)1 (1 +r)2

(2)

sottraendo la (1) dalla (2) otteniamo

* VA C ⇒ VA Cr * VA = C ⇒ VA = Cr




Perpetuity (2)

• Perpetuity

• Esempi

C = 4.000 r = 0,08 • Esempi

Qual è il VA di una perpetuity con pagamenti di € 4.000 nell’ipotesi di un tasso di interesse r = 8%?tasso di interesse r 8%?

VA = C/r = 4.000/0,08 = € 50.000

Quanto vale un’obbligazione irredimibile (che non scade mai) che paga una cedola del 6% nell’ipotesi di un tasso di interesse pari al 9%?

VA = C/r = 60/0,09 = € 667

C = 6% *1.000 r = 0,09




Growing perpetuity (rendita perpetua a rendimento crescente) (1)

• Growing perpetuity

S i t it il fl di C (t 1 T) d t t t Se in una perpetuity il flusso di cassa Ct (t = 1 … T) cresce ad un tasso costante g per sempre, se cioèC1

C2 = C1 * (1 + g)C3 = C2 * (1+g)…CT = CT-1 * (1 + g) = C1 * (1 + g)T-1

…l t it è d i t di t t il l tt l èla perpetuity è denominata a rendimento crescente e il suo valore attuale è

VA = C1

r - g




Growing perpetuity (2)

• Growing perpetuity

• E i

C1 = 60 r = 0,09 g = 0,02• Esempio

Si consideri l’obbligazione irredimibile (che non scade mai) dell’esempio precedente supponendo ora che la cedola iniziale del 6% cresca ad un tasso precedente, supponendo ora che la cedola iniziale del 6% cresca ad un tasso annuo del 2%Calcolare il VA della rendita perpetua a rendimento crescente nell’ipotesi di un tasso di interesse pari al 9%un tasso di interesse pari al 9%

VA = C1

r – g

VA = 60 = € 857 VA 60 € 857 0,09 - 0,02




Annuity vs perpetuity (1)

• Che relazione c’è tra un’annuity e una perpetuity?

È facile verificare (sia graficamente che dalle formule) che una annuity – È facile verificare (sia graficamente che dalle formule) che una annuity per T periodi può essere pensata come la differenza tra una perpetuity da oggi e una perpetuity da T

– Annuity 0ggi T

VA = (C/r) – (C/r) * [1/(1+r)T]

– PerpetuityT

0ggiVA = (C/r)

VF = (C/r)VA = (C/r) * [1/(1+r)T] VF = (C/r)VA = (C/r) * [1/(1+r)T]




Annuity vs perpetuity (2)

• Che relazione c’è tra un’annuity e una perpetuity?

È facile verificare (sia graficamente che dalle formule) che una annuity – È facile verificare (sia graficamente che dalle formule) che una annuity per T periodi può essere pensata come la differenza tra una perpetuity da oggi e una perpetuity da T

– Annuity 0ggi T

VA = (C/r) – (C/r) * [1/(1+r)T]

– PerpetuityT

0ggiVA = (C/r)

VF = (C/r)VA = (C/r) * [1/(1+r)T] VF = (C/r)VA = (C/r) * [1/(1+r)T]




Piano di ammortamento del debito (1)

• Piano di ammortamento del debito

Suddivide ciascun pagamento relativo al rimborso di un debito nelle due Suddivide ciascun pagamento relativo al rimborso di un debito nelle due componenti di– Rimborso del capitale

Pagamento degli interessi– Pagamento degli interessi

• Se il piano di rimborso deciso dai contraenti (di cui uno è tipicamente una b ) i i ll i l f i i d ll’ i banca) avviene a rate costanti, allora si prospetta la fattispecie dell’annuity e di conseguenza si possono applicare tutte le formule ad essa riconducibili





• Esempio

Il i R i d tit € 1 000 i b bili i i t – Il signor Rossi prende a prestito € 1.000 rimborsabili in cinque rate annuali costanti a partire dalla fine del prossimo anno A quanto ammonta ciascuna rata se il tasso di interesse applicato dalla banca è pari al 10% annuo?banca è pari al 10% annuo?

Piano di ammortamento del debito con rimborso a rate costanti

Annuity Annuity

VF C TVA





– In questo caso, l’obiettivo è quello di calcolare il flusso di cassa di un’annuity di 5 anni che oggi vale € 1.000 nell’ipotesi di un tasso pari al 10% 10%

( ) 11* ⎟⎟

⎞⎜⎜⎛

−= TCVA

VA = 1.000 r = 0,10

T = 5( )1 ⎟

⎠⎜⎝ + Trr

TrrVAC −+−

=)1(1

*

82631,0*000.1==C 8,263

)1,01(1 5 =+−

= −C





• Esempio

Example Constant Payment MortgageL t 1 000

• La rata di ogni periodo è

Interest ratePaymentYear Beg Bal Principal Interest Payment End Bal

263,8

TermLoan amount 1.000

510%

scomponibile nelle due componenti capitale e interessi

• La componente di interessi di ciascun periodo si calcola comeYear Beg. Bal. Principal Interest Payment End Bal.

1 1000,0 163,8 100,0 263,8 836,22 836,2 180,2 83,6 263,8 656,03 656,0 198,2 65,6 263,8 457,84 457 8 218 0 45 8 263 8 239 8

ciascun periodo si calcola come prodotto tra il tasso di interesse applicato dalla banca (10%) e l’indebitamento alla fine del periodo precedente4 457,8 218,0 45,8 263,8 239,8

5 239,8 239,8 24,0 263,8 0,0

12.000

precedente

• La componente di rimborso del capitale in ciascun periodo è la differenza tra l’ammontare della

l di i i

6.000

8.000

10.000

PaymentInterestPrincipal

rata e la componente di interessi

• La componente di rimborso di capitale è crescente e la

0

2.000

4.000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Principal capitale è crescente e la componente di pagamento degli interessi è decrescente a formare una rata costante per T periodi




1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29


• Esempio– Viene acceso un prestito bancario di € 5.000 da restituirsi mediante 7 rate

annue costanti; si calcoli l’importo della rata e la si scomponga nelle annue costanti; si calcoli l importo della rata e la si scomponga nelle componenti di rimborso del capitale e di interessi

rVAC =*

AIndebitamento

R t C it l Interessi

TrC −+−=

)1(1

Anno Rata Capitale Interessir=8%Inizio Fine

1 5,000,000 4,439,638 960,362 560,362 400,000

2 4 439 638 3 834 447 960 362 605 191 355 1712 4,439,638 3,834,447 960,362 605,191 355,171

3 3,834,447 3,180,841 960,362 653,606 306,756

4 3,180,841 2,474,946 960,362 705,895 254,467

5 2,474,946 1,712,580 960,362 762,366 197,996

6 1,712,580 889,224 960,362 823,356 137,006

7 889,224 0 960,362 889,224 71,138




889, 0 960,36 889, , 38

Tasso annuo nominale e tasso annuo effettivo (1)

• Tasso Annuo Nominale (TAN) ed Effettivo (TAE)

I tassi di interesse sono solitamente indicati su base annua, ma la li id i d li i t i ò i iù di lt ll’ i di liquidazione degli interessi può avvenire più di una volta all’anno e quindi restituire un interesse effettivo (TAE) diverso da quello nominale (TAN)

• Esempio

– Si considerino le condizioni contrattuali offerte da due istituti bancari di i l’ t di t tdiversi per l’apertura di un conto corrente

– La banca A offre queste condizioni : tasso attivo r del 4% con liquidazione degli interessi annualeliquidazione degli interessi annuale

– La banca B offre lo stesso tasso ma con liquidazione degli interessi semestrale

– Si ipotizzi di depositare € 100 in due c/c aperti presso le due banche




Fonte: “Finanziare le risorse dell’impresa”, Giudici


– Nel primo caso dopo un anno sarà possibile liquidare il conto ritirando € 104

– Nel secondo caso invece sarà possibile ritirare già dopo sei mesi la – Nel secondo caso, invece, sarà possibile ritirare già dopo sei mesi la frazione degli interessi relativa al primo semestre – e cioè € 2 (la metà degli interessi pari al 4%) – mentre a fine anno saranno liquidati sul conto anche gli interessi relativi al secondo semestre (altri € 2) più il conto anche gli interessi relativi al secondo semestre (altri € 2) più il capitale iniziale

104 102

t=1t=0 t=1t=0

2

t=1/2

100 100Banca A Banca B

– Calcoliamo i rendimenti effettivi TAE A e TAE B offerti dalle due banche






– Esse devono soddisfare le seguenti relazioni

d i TAE 4%104100– da cui TAE A = 4%

– da cui TAE B = 4,04%

ATAE+=

1100

( ) TAETAE ++

+=

1102

12100 2/1

– La seconda banca offre dunque condizioni migliori. Infatti, il tasso di rendimento annuale del 4% con interessi composti ogni 6 mesi

( ) BB TAETAE ++ 11

p gcorrisponde ad un rendimento implicito del 4,04%

– Allo stesso risultato potremmo arrivare ipotizzando nel caso del conto – Allo stesso risultato potremmo arrivare ipotizzando, nel caso del conto aperto presso la banca B, di non incassare gli interessi pagati dopo 6 mesi, ma di lasciarli sul conto, e ritirare il montante alla scadenza successiva successiva






– In tal caso, gli interessi maturati dopo 6 mesi (€ 2) genereranno a loro volta interessi, pari a € 0,04, ovvero il 4% di € 2 diviso 2 (visto che rimangono sul conto solo per altri 6 mesi)rimangono sul conto solo per altri 6 mesi)

2

2+2+0,04+100

t=0

2

t=1/2 t=1

– Seguendo questa strategia il rendimento effettivo TAE sarà pari a

100 Banca B

– Seguendo questa strategia, il rendimento effettivo TAE B sarà pari a

– da cui ancora TAE B = 4,04%TAE+

=1

04,104100BTAE+1






• La lezione è che non si possono confrontare direttamente tassi di interesse con diversi regimi di capitalizzazione, anche se relativi alla stessa scadenza

• Inoltre, da quest’ultimo esempio si vede chiaramente che il metodo dell’attualizzazione dei flussi di cassa ipotizza implicitamente il reinvestimento dei flussi di cassa intermedi alle stesse condizioni contrattuali di remunerazione … altrimenti non avrebbe alcun valore percepire un flusso finanziario prima della scadenza. E’ necessario quindi individuare un TAE che renda confrontabili i diversi regimi di capitalizzazione

• In generale, componendo m volte all’anno con un TAN pari a r, si haIn generale, componendo m volte all anno con un TAN pari a r, si ha

TAE = (1 + r/m)m – 1

TAN = r = m * [ (1 + TAE)1/m - 1 ]





• Esempio

Se il TAN = 10%, si ottiene con

– Composizione semestraleTAE = (1 + 0,1/2)2 – 1 = 10,25%C i i il– Composizione mensileTAE = (1 + 0,1/12)12 - 1= 10,47%

– Composizione settimanale 52TAE = (1 + 0,1/52)52 - 1= 10,51%

• Esempiop

Se ad un prestito è associato un TAN del 16%, qual è il tasso annuo effettivo con rimborsi su base semestrale?

TAE = (1 + r/m)m – 1 = (1 + 0,16/2) 2 – 1 = 0,1664 o 16,64%





• Esempio

Qual è il valore futuro di € 25 investiti alla fine di ognuno dei prossimi tre i il di i di if i i l 9% anni se il tasso di interesse di riferimento è pari al 9% composto

annualmente?

U ’ it di 25 € t i l 9% ò ill t t i t dUn’annuity di 25 € su tre anni al 9% può essere illustrata in questo modo





Il valore futuro dell’annuity si calcola come segue

Come cambia il risultato se il tasso annuale (9%) viene composto mensilmente?

l l d € 82 26 d d llIl totale di € 82,26 dato dalle tre somme è maggiore del valore di €81,95 prima calcolato per l’annuity con composizione annuale perchè la composizione degli interessi all’interno dei periodi aumenta il ptasso effettivo dell’investimento




Tasso annuo nominale e tasso annuo effettivo globale (1)

• La necessità di definire un ‘rendimento equivalente’ per confrontare diversi finanziamenti con diverso regime di capitalizzazione degli interessi ha spinto la Commissione Europea a rendere obbligatoria la pubblicazione del spinto la Commissione Europea a rendere obbligatoria la pubblicazione del tasso annuo effettivo globale (TAEG), in contrapposizione al TAN, ogni qual volta venga proposto un finanziamento

• Il TAN corrisponde al tasso di interesse semplice, mentre il TAEG è un tasso effettivo che tiene conto non solo

della composizione degli interessi ma anche– della composizione degli interessi, ma anche– delle spese accessorie (come ad esempio diritti e spese di apertura

pratica) che gravano sul consumatore





• EsempioSi calcoli il TAEG di un finanziamento per l’acquisto di un motorino pari a € 2 500 su 5 anni rimborsabili con rate trimestrali costanti Il TAN è pari al € 2.500 su 5 anni, rimborsabili con rate trimestrali costanti. Il TAN è pari al 5% e le spese accessorie per avviare la pratica sono pari a € 20

– Se non ci fossero spese accessorie, il finanziamento (in base alle formule p (precedenti) comporterebbe un TAE pari a

%0945,5114

=−⎟⎞

⎜⎛ +=

TANTAE

– La rata trimestrale R comprenderà una quota-parte relativa al pagamento degli interessi e una quota parte relativa alla restituzione

%0945,514

1 ⎟⎠

⎜⎝+TAE

pagamento degli interessi e una quota-parte relativa alla restituzione del finanziamento : essa dovrà soddisfare la relazione

∑5 R da cui R = € 142,051

( )∑= +

=4/14/1 1

2500stept

tTAER

Valore del finanziamento erogato Somma dei flussi di pagamento trimestrali attualizzati al TAE




g Somma dei flussi di pagamento trimestrali attualizzati al TAE Fonte: “Finanziare le risorse dell’impresa”, Giudici


– Per calcolare il TAEG è sufficiente individuare il tasso che soddisfa la seguente relazione

( )∑= +

=−5

4/14/1 1202500

stepttTAEG

R

– In pratica, il finanziamento al netto delle spese accessorie deve essere p , puguale al valore attuale delle rate future corrisposte ad ogni trimestre per i prossimi 5 anni, attualizzato al costo effettivo globale del capitale

– Facendo i conti si ottiene un TAEG = 5,429%

Si ti h è TAEG ( TAE) TAN il d i ff tt d ll – Si noti che è TAEG (> TAE) > TAN per il doppio effetto della composizione anticipata degli interessi e delle spese accessorie al finanziamento





Tassi di interesse non costanti

• Tassi di interesse non costanti

Il tasso di interesse può variare lungo la durata dell’investimento

• Esempio

Se si investono € 100 e si ottiene l’11% durante il primo anno, il 9% durante il secondo anno e il 13% durante il terzo anno, quale sarà il valore futuro dopo 3 anni ?

FV = 100 * (1 + 0,11) * (1 + 0,09) * (1 + 0,13) = € 136,72

Qual è il VA di € 100 tra 4 anni se i tassi di interesse sono l’8% (year 1) il Qual è il VA di € 100 tra 4 anni se i tassi di interesse sono l 8% (year 1), il 12% (year 2), il 6% (year 3) e il 13% (year 4)?

VA € 69 02100

VA = = € 69,02(1 + 0,08) * (1 + 0,12) * (1 + 0,06) * (1 + 0,13)




Tassi di interesse nominali vs tassi di interesse reali (1)

• Tasso di interesse reale vs nominale (Real vs nominal interest rates)

– Tasso di interesse nominale = tasso riferito a grandezze monetarieTasso di interesse nominale tasso riferito a grandezze monetarie

Investendo € 100 per un anno al 10% ⇒ € 110

– Cosa succede se l’inflazione annuale è pari al 7%?

Abbiamo bisogno di € 107 alla fine dell’anno per mantenere inalterato il potere d’acquisto dell’investimento inizialeil potere d acquisto dell investimento iniziale

– Qual è il nostro “real return”, ovvero il tasso di interesse reale?

(1+10%)/(1+7%) = 1,028 ⇒ The real return is 2,8%





• Siano– r il tasso di interesse nominale– p il tasso di inflazione =(p1-p0)/p0

.p il tasso di inflazione (p1 p0)/p0

– ρ il tasso di interesse reale

Il l t è d t d ll l i di Fi h (1965)Il legame tra r e ρ è dato dalla relazione di Fisher (1965)

(1+r) = (1+ ρ) * (1+p).

– Per dimostrare questa relazione si supponga di voler investire al tasso runa certa somma C che al periodo t = 0 permette di acquistare una una certa somma C che al periodo t = 0 permette di acquistare una quantità reale di beni pari a C/p0

– Al periodo t = 1 (cioè a distanza di un anno) sarà di conseguenza ibil it li il t t i t tità di b i i possibile capitalizzare il montante e acquistare una quantità di beni pari

a C*(1+r)/p1





– Quindi il tasso di interesse reale ρ sarà

)1(* CrC−

+

0

01

pC

pp=ρ

– Quest’uguaglianza, rielaborata, genera la relazione di Fisher ■

0p

Se p e ρ sono molto piccoli, allora vale l’approssimazione

r = ρ + p

.

.~r = ρ + p

• È possibile utilizzare questa equazione per convertire tassi di interesse nominali in reali e viceversa





• Esempio

Si consideri una perpetuity che stacca il primo pagamento di € 100 (nominali) al periodo 4al periodo 4Si supponga che i flussi di cassa crescano in termini reali del 2% (ρ) per periodo e che il tasso di inflazione (p) sia pari al 5% Q l è il VA d ll t it t di t d l 10%?

.

Qual è il VA della perpetuity con un tasso di sconto del 10%?

• Soluzione

Il tasso di crescita nominale si calcola a partire dalla relazione di Fisher

(1+g) = (1+gρ) * (1+p).

g = (1 + 0,02) * (1 + 0,05) –1 = 0,071

1001C 591.2€7513,0029,0

100)1(

13 =⋅=

+⋅

−=

rgrCVA

Il l d ll t it è “ t t i di t ” di 3 i di




Il valore della perpetuity è “portato indietro” di 3 periodi

Sintesi dei principali concetti di matematica finanziaria (1)

• Il valore futuro (VF) è il valore raggiunto da una certa quantità di capitale dopo un certo periodo di tempo come conseguenza della maturazione degli interessi– Il processo di calcolo del valore futuro è chiamato capitalizzazione

• Il valore attuale (VA) esprime il valore presente di un investimento • Il valore attuale (VA) esprime il valore presente di un investimento, mediante l’attualizzazione dei flussi di cassa futuri

• Il l t VF VA è d t d ll l i• Il legame tra VF e VA è dato dalla relazione

VF = VA * (1 + r) t

• Annuities e perpetuities costituiscono particolari configurazioni di flussi di cassacassa– Una annuity per T periodi può essere pensata come la differenza tra

una perpetuity da oggi e una perpetuity da T




Sintesi dei principali concetti di matematica finanziaria (2)

• Annuity 0ggi T

VA (C/ ) (C/ ) * [1/(1 )T]

0ggi

VA = (C/r) – (C/r) * [1/(1+r)T]

• PerpetuityT

0ggiVA = (C/r)

VF = (C/r)VA = (C/r) * [1/(1+r)T]

• I tassi di interesse sono solitamente indicati su base annua (TAN), ma la composizione degli interessi può avvenire m volte all’annocomposizione degli interessi può avvenire m volte all anno

TAE = (1 + r/m)m – 1 TAN = r = m * [ (1 + TAE)1/m - 1 ]

• Relazione di Fisher - (1+r) = (1+ ρ) * (1+p).




Valutazione (o analisi) degli investimenti




Valutazione o analisi degli investimenti

• Valutazione o analisi degli investimenti– Corpus/insieme delle tecniche e degli strumenti che le persone e le

i i i d id ff tt i ti t imprese impiegano per decidere se effettuare meno un investimento che ha effetti di lungo periodo

– Esempi: lancio di un nuovo prodotto/linea di prodotti, acquisto di un nuovo macchinarionuovo macchinario• Nuovo tipo di calcestruzzo• Nuova linea di radiatori• Nuovo escavatore• Nuovo escavatore

• La necessità di investire sul ciclo produttivo può essere dettata da vari fattorifattori– Sostituzione impianti per deterioramento fisico– Sostituzione impianti per obsolescenza tecnica

Ad l i– Adeguamento a nuove leggi– Adeguamento a nuove esigenze del mercato– Miglioramento delle performance del ciclo produttivo




Definizione di investimento (1)

• Investimento– Un investimento I è un progetto che, a fronte di un assorbimento certo

di risorse oggi, crea opportunità di generazione di reddito nel futuro

• ‘Mettiamo sulla bilancia’ un esborso di cassa oggi e una serie di introiti di Mettiamo sulla bilancia un esborso di cassa oggi e una serie di introiti di cassa futuri

C : flussi di cassa generati da I

C0 C1 , C2 … CT

Ct : flussi di cassa generati da IT : orizzonte temporale di I

• Il problema della valutazione degli investimenti è quello di operare un Il problema della valutazione degli investimenti è quello di operare un confronto tra i due piatti della bilancia per capire quale pesa di più




Definizione di investimento (2)

• Dalla definizione risulta che un investimento è caratterizzato dalla presenza di flussi di cassa che hanno una diversa manifestazione temporale

C

C2

CC4

CT

Profilo temporale e dimensionale C1 C3

4

tempo

dell’investimento…….

C0

tempo

• Di conseguenza per valutare la convenienza economica di un investimento Esborso oggi Benefici futuri generati dall’investimento

• Di conseguenza, per valutare la convenienza economica di un investimento (al fine di decidere se effettuarlo o meno) occorre saper confrontare entrate di cassa e uscite di cassa che si manifestano nel tempo in momenti diversi




Valore attuale come strumento

• Il problema si risolve rendendo “omogenei” i flussi di cassa, convertendoli in flussi di cassa confrontabili, dunque come se avessero tutti

if i l d i imanifestazione nel medesimo istante

• Come abbiamo visto, lo ‘strumento’ per rendere confrontabili flussi di cassa if i l di è ll d l l lcon manifestazione temporale diversa è quello del valore attuale

C

C2

C4

CT

C1 C34

tempo

…….

C0

tempo

VA(C1)VA(C2)

VA(C )




VA(CT)

Elementi necessari alla valutazione economicadi un progetto di investimentodi un progetto di investimento




Gli elementi di un progetto di investimento

• Gli elementi necessari alla valutazione economica di un investimento sono

– Il rendimento richiesto da chi investe (persona fisica o impresa)– La durata dell’investimento– L’ammontare dei flussi di cassa generati dall’investimento– L ammontare dei flussi di cassa generati dall investimento– L’ammontare dell’investimento– Il valore finale o di recupero dell’investimento

per t = 1…T{ }VCCTrI : p{ }Tt VCCTrI ,,,,: 0




Rendimento richiesto dal progetto (1)

• Il rendimento richiesto dal progetto è il costo opportunità del capitale, ossia il miglior rendimento alternativo a cui si rinuncia quando viene effettuato

i iun investimento

• Nell’ipotesi di assenza di rischio, si ha un solo costo opportunità che t il di t d i tit li di St t b t irappresenta il rendimento dei titoli di Stato a breve termine

• Pochi flussi di cassa sono però esenti da rischio e quindi occorre considerare questo fattore nella valutazione dei progettiquesto fattore nella valutazione dei progetti

• In presenza di rischio esistono sul mercato tanti costi opportunità quante sono le classi di rischio e al crescere del rischio di un investimento cresce il sono le classi di rischio e, al crescere del rischio di un investimento, cresce il costo opportunità– Per indurre gli individui e le imprese ad investire su progetti più

rischiosi è infatti necessario che questi prospettino rendimenti adeguati rischiosi è infatti necessario che questi prospettino rendimenti adeguati, dunque maggiori di quelli associati ad investimenti meno rischiosi

r = rf + premio per il rischio




f p p


• I flussi di cassa relativi a progetti più rischiosi vanno dunque attualizzati ad un tasso di sconto più alto di quello di progetti meno rischiosi e questo

i à d bb ifl l ifi l di i hi d l costo opportunità dovrebbe riflettere la specifica classe di rischio del progetto

• Al riguardo si confrontino i rendimenti medi annui nel periodo 1900 2003 • Al riguardo, si confrontino i rendimenti medi annui, nel periodo 1900-2003, di tre categorie di titoli quotati alla Borsa di New York

Premio Risultato Rendi-mento

Rendi-mento Investi Premio

medio per il

rischio(b)

Risultato dell’investi-mento nel

2003(a)

mento medio annuo (reale)

mento medio annuo

(nominale)

Investi-mento

nel 1900

Azioni

0

7,6 %Titoli di Stato a lungo termineTit li di St t b t i

1,21 1

8,7 %2,3

61

15.579148

4 1

11,7 %5,2

$$ 111 0Titoli di Stato a breve termine 1,161 4,11

(a) Considerando che tutti i redditi da dividendi o da interessi siano stati reinvestiti nel portafoglio corrispondente.(b) Rendimento nominale dei titoli in oggetto meno rendimento nominale dei titoli di Stato a breve termine (Buoni del Tesoro).F Di E M h P R M S T i h f th O ti i t 101 Y f I t t R t P i




Fonte : Dimson E., Marsh P.R. e M. Staunton, Triumph of the Optimists : 101 Years of Investment Returns, Princeton University Press, Princeton, 2002 e successivi aggiornamenti, in Brealey, Myers et al., 2007.


• La figura sottostante estende geograficamente l’analisi e mostra il premio per il rischio per i titoli azionari (ossia il rendimento differenziale rispetto ai i li di S b i ) i 16 P i d il i d 1900 2003

1012

titoli di Stato a breve termine) in 16 Paesi durante il periodo 1900-2003

10,7%

46

810

4,3%

7,6%

02

marca

Belgio

izzera

pagna

anad

alan

da 19

22)

UnitoMed

ia Bass

ii U

nitiSv

ezia

Africa

tralia

ancia

pponeIta

lia

Danim Be

Sviz Sp

agCan Irl

a

German

ia (d

al 1

Regno U Me

Paesi B

Stati U Sv

Sud A

fAustr FraGiap

p It

Fonte : Dimson E., Marsh P.R. e M. Staunton, Triumph of the Optimists : 101 Years of Investment Returns, Princeton University Press, Princeton, 2002 e successivi aggiornamenti, in Brealey, Myers et al., 2007.





Punto di attenzione

• Anche ipotizzando di poter stimare il premio per il rischio futuro con la sua media storica (ossia ipotizzando che gli investitori di oggi si attendano di ricevere lo stesso premio mostrato dalle medie del grafico precedente), va p g p )rilevato come le stime del premio per il rischio siano molto sensibili alla metodologia adottata e al periodo di osservazione

• Accade allora che, se dallo studio di Dimson, Marsh e Staunton l’Italia sembra essere stato il Paese più fortunato per l’investimento azionario, l’analisi ad esempio di Siciliano (“Cento anni di borsa in Italia”, Il Mulino, p ( , ,Bologna, 2001) che considera i rendimenti al netto dell’imposizione fiscale e dei costi di transazione, trova un premio per il rischio nel periodo 1906-1998 solo pari al 3,9%p




Rendimento e rischio (5)

• Come era prevedibile, gli scarti quadratici medi e le varianze annue dei tre portafogli statunitensi considerati nel periodo 1900-2003 sono stati :

Rendimento Scarto

Azioni 11 7 %

medio annuo (nominale)

quadratico medio

20 1 %

Varianza

402 6 %AzioniTitoli di Stato a lungo termineTitoli di Stato a breve termine 4,1

11,7 %5,2

20,1 %8,22,8

402,6 %68,0

7,9

• In altri termini, nel secolo passato negli Stati Uniti le azioni sono state il titolo più volatile, ossia il più rischioso, e il Buoni del Tesoro il titolo meno volatile; i titoli di stato a lungo termine si sono collocati in una classe di rischio intermedia




Rendimento e rischio (6)

• In generale, la varianza e lo scarto quadratico medio sono le misure statistiche usuali delle variabilità e perciò del rischio

• La varianza del rendimento di un portafoglio di titoli è il valore atteso del quadrato degli scarti dal rendimento attesoq g

• Lo scarto quadratico medio è la radice quadrata della varianza




Calcolo della varianza : un esempio (7)

• Investendo 100 € si può partecipare al gioco seguente che consta nel lanciare di seguito due monete : ogni volta che viene testa (T) si riceve la cifra giocata più l 20% l h (C) l f l 10%il 20% e ogni volta che viene croce (C) si riceve la cifra giocata meno il 10%

• Chiaramente, ci sono 4 risultati egualmente probabili (la distribuzione dei g p (rendimenti)

– T + T si vince il 40%– T + C si vince il 10%T + C si vince il 10%– C + T si vince il 10%– C + C si perde il 20%

• Il rendimento atteso di questo gioco è la media ponderata con le probabilità dei risultati possibili– Rendimento atteso = 0,25*40% + 0,5*10% + ,25*20% = +10%





• La varianza e lo scarto quadratico medio si calcolano come segue

Probabi-lità *

t l R di R di

Scarto dal rendi-

Scarto dal rendi-mento

l scarto al quadratoProbabilità

Rendimento atteso

10 %

Rendimento effettivo

40 %

mento atteso

30 %

atteso al quadrato

900 25 % 2251010

10- 20

0- 30

0900

5025

0225

Varianza = valore atteso degli scarti al quadrato = 450

S t d ti di di d t d ll i 21Scarto quadratico medio = radice quadrata della varianza = 21





• Perciò : la varianza dei rendimenti percentuali è 450, lo scarto quadratico medio 21. Poiché questo numero è espresso nella stessa unità di misura del tasso di

di t i ò di h l i bilità d l i i d l 21%rendimento, si può dire che la variabilità del gioco sia del 21%

• Il rischio di un’attività può essere totalmente espresso, così come si è fatto per il gioco delle monete, segnando tutti i risultati possibili e la probabilità di g , g p pciascuno di questi

– Per un’attività finanziaria questo procedimento si rivela di fatto impossibile ed è per questo che sintetizziamo con la varianza la distribuzione dei risultati possibili

• Può essere interessante confrontare il gioco del lancio delle monete con il mercato azionario statunitense tra il 1900 e il 2003mercato azionario statunitense tra il 1900 e il 2003– Il mercato azionario genera un rendimento medio annuo dell’11,7% con

uno scarto quadratico medio del 20,1%– Il gioco offre invece il 10 % e il 21% rispettivamente ossia un rendimento di Il gioco offre invece il 10 % e il 21% rispettivamente, ossia un rendimento di

poco inferiore e variabilità confrontabile– Si potrebbe concludere che l’inventore del gioco abbia voluto creare una

rappresentazione del mercato azionario !




pp

Durata dell’investimento (1)

• La durata dell’investimento o vita economica del progetto di investimento è il numero di anni nel corso dei quali si prevede che l’investimento generi fl i di flussi di cassa

• La fine del periodo temporale che identifica la vita economica del progetto è denominata orizzonte temporale dell’investimento (il termine suggerisce denominata orizzonte temporale dell investimento (il termine suggerisce che oltre questo limite i flussi non siano più visibili)

• È difficile prevedere con precisione la vita economica di un investimento; è tuttavia importante stimare nel modo più accurato possibile questo elemento in quanto esso ha conseguenze significative sulla valutazione del progetto

• Quando si deve valutare la vita economica di un impianto su cui investire e si pensa alla sua vita utile, spesso emerge come la vita economica sia più breve della vita fisica e ciò accade perchè l’obsolescenza tecnica (ossia la breve della vita fisica e ciò accade perchè l obsolescenza tecnica (ossia la perdita di convenienza ad utilizzare l’impianto a seguito del progresso tecnologico nel frattempo intervenuto) avviene prima del deterioramento fisico




fisico

Durata dell’investimento (2)

• Se, ad esempio, la vita fisica di un bene fosse di dieci anni ma se ne prevedesse l’obsolescenza tecnica in cinque, allora la vita utile, e dunque la

i i d l b i l bb di i i vita economica, del bene in parola sarebbe di cinque anni

• In considerazione delle incertezze connesse allo svolgimento delle attività gdi un’organizzazione, la maggior parte dei manager applica criteri di prudenza nello stimare la vita economica dei progetti




Flussi di cassa generati dal progetto (1)

• La valutazione di un progetto deve prevedere la stima dei flussi di cassa generati dal progetto medesimo, o flussi di cassa differenziali (rispetto alla i i di t t )situazione di status quo)– E ciò perché i benefici economici di un investimento sono costituiti

proprio dalle entrate incrementali di cassa , ossia dai maggiori incassi d h d l’rispetto ad una situazione che non preveda l’investimento

• In altre parole, i flussi di cassa differenzialip– Sono quei flussi che si rilevano esclusivamente in seguito

all’accettazione del progetto– Vengono rilevati seguendo una logica di tipo “if–then”Vengono rilevati seguendo una logica di tipo if then

• “Se l’investimento viene effettuato, come cambieranno in ogni anno i flussi di cassa dell’impresa lungo tutta la vita utile del progetto?”

S i fl i h d t i il l d l tt t– Sono i flussi che determinano il valore del progetto stesso





• L’attenzione è posta sui flussi di cassa, non sulle manifestazioni economiche– I valori tipici della contabilità per competenza (costi e ricavi) non sono

direttamente utilizzati nell’analisi degli investimenti, se non come base per calcolare, attraverso opportune rettifiche, i flussi di cassa

• Si consideri, ad esempio, il progetto di sostituzione di un macchinario esistente con uno nuovo: quali sono le entrate connesse a questo progetto?– In primo luogo, il macchinario esistente deve essere utilizzabile In primo luogo, il macchinario esistente deve essere utilizzabile

altrimenti non avremmo un’alternativa né, conseguentemente, un problema analitico da risolvere

– Il confronto avviene quindi tra (1) continuare ad usare il macchinario Il confronto avviene quindi tra (1) continuare ad usare il macchinario esistente (status quo) e (2) investire nell’acquisto del macchinario proposto





• I costi (e le relative uscite di cassa) connessi all’impiego del macchinario esistente sono molteplici : manodopera, materiali diretti, energia,

i manutenzione, ecc.

• Se il nuovo macchinario venisse proposto come mezzo per ridurre i costi, allora in conseguenza del suo impiego (“logica if–then” o rapporto di allora in conseguenza del suo impiego ( logica if then o rapporto di causa-effetto) tutti o alcuni di questi costi dovrebbero ridursi– I mancati esborsi relativi a questi costi rappresentano l’entrata di cassa

differenziale generata dal nuovo macchinariodifferenziale generata dal nuovo macchinario– In altri termini, in questo caso gli incassi differenziali sono costituiti da

una riduzione delle uscite di cassa

• Se il macchinario proposto non costituisse una semplice sostituzione ma accrescesse la capacità produttiva, allora nel processo di valutazione occorrerebbe tenere in considerazione anche i flussi di cassa differenzialiderivanti dall’accresciuto volume di vendita previsto




Flussi di cassa dello status quo

• Nel calcolare i flussi di cassa differenziali può essere sbagliato ipotizzare uno status quo “stazionario” e non invece “in deterioramento”

con l’investimentoCt

con l’investimentoCt

senza l’investimento senza l’investimento

t t

• Per esempio, se un’impresa decidesse di non investire in una nuova tecnologia, probabilmente indebolirebbe la propria posizione di mercato rispetto a quella dei concorrenti che la adottasserop q– Il mantenimento delle condizioni iniziali produrrebbe un progressivo

peggioramento dei risultati economici e dei flussi di cassa e pertanto un’ipotesi di perpetuazione nel tempo dello status quo sarebbe sbagliata




p p p p q g

Costi comuni, effetti collaterali, costi affondati (1)

• Nel processo di determinazione dei flussi di cassa generati (direttamente o indirettamente) dall’investimento secondo un rapporto di causa-effetto,

idoccorre saper correttamente considerare– I costi comuni– Gli effetti collaterali– I costi affondati (o pregressi)

• I costi comuni sono quei costi che l’impresa sosterrebbe anche qualora non • I costi comuni sono quei costi che l impresa sosterrebbe anche qualora non attuasse l’investimento– Esempio : costi relativi al personale (insaturo) già presente in azienda

che viene dedicato alla gestione del nuovo impianto cui l’investimento che viene dedicato alla gestione del nuovo impianto cui l investimento si riferisce

– Tali voci NON vanno incluse tra i flussi di cassa incrementali




Costi comuni, effetti collaterali, costi affondati (2)

• Gli effetti collaterali si riferiscono agli effetti, generati dall’investimento, che si producono su altri comparti dell’impresa

– Esempio : il lancio di una nuova linea di piastrelle contrae le vendite delle linee già in produzione e sul mercato

– Tali effetti vanno considerati nel calcolo dei flussi di cassa differenziali

• I costi affondati o pregressi (sunk costs) sono costi che l’impresa ha sostenuto in passato in relazione alla valutazione del progetto di investimento e che non sono più recuperabili – Esempio : costo di uno studio di mercato per la valutazione della

domanda di un nuovo prodottop– I sunk costs NON devono essere considerati costi incrementali ai fini

della valutazione di un investimento in quanto l’esborso si è già verificato e in una logica “if-then” sono comunque irrecuperabilig q p

– Ai fini della decisione circa l’investimento, devono essere considerate solamente le conseguenze future associate alle diverse alternative realizzabili oggi




gg

Punto di attenzione

• Le imprese che devono valutare se investire in una nuova tecnologia spesso erroneamente imputano i costi di avviamento e di formazione connessi

ll’ d ll l i i l i h all’uso della nuova tecnologia interamente al primo progetto anche se essa fosse in futuro strumentale ad altri progetti

• Una tale imputazione penalizza la valutazione economica del progetto iniziale e potrebbe addirittura portare a posticipare investimenti necessari per mantenere la posizione competitiva dell’impresa




Ammontare dell’investimento (1)

• L’investimento è l’ammontare di risorse che un’impresa sottopone a rischio se accetta un progetto a lungo termine

• I valori rilevanti per determinare l’ammontare dell’investimento sono gli esborsi differenziali (cioè le uscite di cassa che avranno luogo se il progetto ( g p gsarà realizzato, ma che non avverranno se il progetto non sarà realizzato)– Esempio : il costo del nuovo impianto, i costi di trasporto e istallazione

del nuovo impianto, i costi sostenuti per addestrare i dipendenti all’uso p p pdella nuova tecnologia

• Se l’acquisto di una nuova immobilizzazione comporta la vendita di un Se l acquisto di una nuova immobilizzazione comporta la vendita di un immobilizzo esistente, gli incassi netti derivanti dalla vendita del bene che si aliena riducono l’importo dell’investimento– I ricavi netti dalla cessione dell’immobilizzazione esistente sono pari al – I ricavi netti dalla cessione dell immobilizzazione esistente sono pari al

suo prezzo di vendita meno i costi sostenuti per venderla, smontarla e rimuoverla, rettificati dagli eventuali effetti fiscali connessi ai ricavi da cessione




cessione

Ammontare dell’investimento (2)

• Molti progetti comportano un unico impegno di risorse in un dato momento, convenzionalmente denominato momento zero o momento i i i liniziale

• Per alcuni progetti gli esborsi finanziari richiesti sono ripartiti su un ampio periodo temporaleperiodo temporale– Esempio : la costruzione di una nuova sede produttiva potrebbe

richiedere uscite di cassa per diversi anni oppure la realizzazione di una prima unità il primo anno e di una seconda unità l’anno successivoprima unità il primo anno e di una seconda unità l anno successivo

• Per calcolare il VA del progetto tutti gli esborsi del progetto devono essere ricondotti ad un momento zero comune attualizzando le singole uscite di gcassa

• Se l’importo e la collocazione temporale degli esborsi presentano un grado di i hi i ifi ti t iù b di ll d ll t t di ll di rischio significativamente più basso di quello delle entrate di cassa, allora altrettanto differenti saranno i tassi di attualizzazione applicati rispettivamente agli esborsi e agli incassi




Valore finale o di recupero dell’investimento

• Al termine della sua vita economica, un investimento potrebbe avere ancora un valore e come tale essere oggetto di alienazione da parte dell’impresa

• Di conseguenza, questo valore finale o di recupero o di realizzo dell’investimento (salvage o resale o terminal value) costituisce, in quel ( g ) qmomento, una potenziale entrata di cassa

• Nel processo di valutazione economica dell’investimento, il valore finale Nel processo di valutazione economica dell investimento, il valore finale deve perciò essere considerato e, in particolare, deve essere attualizzato e sommato al VA delle altre entrate di cassa differenziali– In tal modo si ipotizza implicitamente che l’incertezza associata al In tal modo, si ipotizza implicitamente che l incertezza associata al

recupero del valore finale sia la stessa di quella associata agli altri flussi di cassa incrementali generati dal progetto di investimento




Valutazione di un progetto di investimento

• A questo punto abbiamo in mano tutti gli elementi per valutare un progetto di investimento. Ma come si procede concretamente per effettuare la valutazione ?

• Le fasi della valutazione economica di un investimento sono

1. Determinazione dei flussi di cassa incrementali attesi dall’investimento

2. Calcolo degli incrementi nelle imposte associati all’attuazione del progetto

3. Calcolo dei flussi di cassa attesi “after tax”

4. Individuazione del tasso di attualizzazione appropriato4. Individuazione del tasso di attualizzazione appropriato

5. Attualizzazione dei flussi di cassa futuri mediante il tasso individuato




Valutazione dei flussi di cassa : un esempio (1)

• Il direttore finanziario dell’impresa Concimi & Giardini (C&G) sta valutando una proposta per la commercializzazione del guano come fertilizzante da

dgiardino

• Il progetto richiede un investimento iniziale di 10 M€ per lo stabilimento e gli p g p gimpianti. L’investimento verrebbe ammortizzato in 6 anni a quote costanti. Gli impianti potrebbero essere smontati e venduti con un ricavo netto valutato attorno a 1 M€ nell’anno 7. Questa cifra corrisponde al loro valore di realizzo

• Le previsioni sull’impatto economico e patrimoniale del progetto “Guano” Le previsioni sull impatto economico e patrimoniale del progetto Guano sono indicate nella tabella seguente e possono essere considerate il punto di partenza per la stima dei flussi di cassa ad esso associati

• Tutti i dati sono stati ricavati in base ai costi e ai prezzi di vendita correnti nell’anno 0





)Progetto “Guano” : Previsioni iniziali (dati in ‘000 €)

Periodo 0 1 2 3 4 5 6 7

Investimento 10.000 1.000(a)Investimento 10.000 1.000(a)

Fondo ammortamento 1.667 3.334 5.000 6.667 8.333 10.000

Valore cont. netto di I 10.000 8.333 6.667 5.000 3.334 1.667 0

C it l i l t 500 1 065 2 450 3 340 2 225 1 130Capitale circolante 500 1.065 2.450 3.340 2.225 1.130

Totale attivo 10.000 8.833 7.732 7.450 6.674 3.892 1.130

Fatturato 475 10.650 24.500 33.400 22.250 11.130

Costo del venduto 761 6.388 14.690 20.043 13.345 6.678

Altri costi(b) 4.000 2.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

Ammortamento 1.667 1.667 1.667 1.667 1.667 1.667

Utile ante imposte -4.000 -3.953 1.595 7.143 10.690 6.238 1.785 1.000

Imposte (t=33%)(c) -1.320 -1.304 526 2.357 3.528 2.059 589 330

Utile netto -2.680 -2.649 1.069 4.786 7.162 4.179 1.196 670(a) Valore di realizzo. La differenza tra il valore di realizzo e il valore contabile (€ 0) costituisce una plusvalenza tassabile.(b) Costi di impianto negli anni 0 e 1 e costi generali ed amministrativi negli anni dall’1 al 6.(c) Ipotizzando che nel complesso la C&G sia in utile, la perdita del progetto “Guano” negli anni 1 e 2 consente di diminuireil carico fiscale totale. A livello di progetto “Guano”, il risparmio fiscale costituisce cioè una componente positiva di reddito.




p g , p p pFonte : Brealey, Myers et al., 2007.


)Progetto “Guano” : Previsioni corrette per l’inflazione attesa del 10% annuo(a) (dati in ‘000 €)

Periodo 0 1 2 3 4 5 6 7

Investimento 10.000 1.949Investimento 10.000 1.949

Fondo ammortamento 1.667 3.334 5.000 6.667 8.333 10.000

Valore cont. netto di I 10.000 8.333 6.667 5.000 3.334 1.667 0

C it l i l t 550 1 289 3 261 4 890 3 583 2 002Capitale circolante 550 1.289 3.261 4.890 3.583 2.002

Totale attivo 10.000 8.883 7.956 8.261 8.224 5.250 2.002

Fatturato 523 12.887 32.610 48.901 35.834 19.717


Altri costi 4.000 2.200 1.210 1.331 1.464 1.611 1.772

Ammortamento(b) 1.667 1.667 1.667 1.667 1.667 1.667


Imposte (t=33%)(c) -1.320 -1.380 752 3.320 5.420 3.651 1.468 643

Utile netto -2.680 -2.801 1.529 6.740 11.005 7.413 2.980 1.306

Fonte : Brealey, Myers et al., 2007.

(a) Si ipotizza che prezzi e costi crescano allo stesso tasso lungo la vita utile dell’investimento.(b) I risparmi fiscali originati dall’ammortamento non aumentano con l’inflazione giacchè la legge fiscale permette di ammortizzare solo il costo storico dell’impianto.




y y


Flusso di cassa a disposizione dell’impresa (FCFF)

I flussi di cassa Utile netto

+ Ammortamenti + Costo TFRΔCCN

I flussi di cassa vengono

determinati rettificando

l’ til di - ΔCCN= Flusso di Cassa Operativo (OCF)

l’utile di esercizio

Flusso di Cassa Operativo (Cash from Operations)- Investimenti (Flusso di Cassa per Investimenti) (Cash for Investing)+ Disinvestimenti (Flusso di Cassa per Investimenti) (Cash from Investing)+ Nuovi finanziamenti (Flusso di Cassa Finanziario) (Cash from Financing)- Dividendi (Flusso di Cassa Finanziario) (Cash for Financing)- Dividendi (Flusso di Cassa Finanziario) (Cash for Financing)

= Flusso di Cassa a disposizione dell’impresa(FCCF F C h Fl f th Fi )




(FCCF – Free Cash Flow for the Firm)


)Progetto “Guano” : Analisi dei flussi di cassa (dati in ‘000 €)

Periodo 0 1 2 3 4 5 6 7

Fatturato 523 12.887 32.610 48.901 35.834 19.717Fatturato 523 12.887 32.610 48.901 35.834 19.717


Altri costi 4.000 2.200 1.210 1.331 1.464 1.611 1.772

Ammortamento 1 667 1 667 1 667 1 667 1 667 1 667Ammortamento 1.667 1.667 1.667 1.667 1.667 1.667


Imposte (t=33%) -1.320 -1.380 752 3.320 5.420 3.651 1.468 643

Utile netto -2.680 -2.801 1.529 6.740 11.005 7.413 2.980 1.306

+ Ammortamenti 1.667 1.667 1.667 1.667 1.667 1.667

- Variazione CCN -550 -739 -1.972 -1.629 1.307 1.581 2.002

l l

- Investimento -10.000

Flusso di cassa disp. -12.680 -1.684 2.457 6.435 11.043 10.387 6.228 3.308

Fonte : Brealey, Myers et al., 2007.





• L’analisi dei flussi di cassa del progetto “Guano” non ha preso in considerazione il problema del suo finanziamento

• Implicitamente si è considerato come se il progetto fosse tutto finanziato tramite mezzi propri. Con questo approccio al problema, siamo in grado di p p q pp p gseparare l’analisi della decisione di investimento da quella del finanziamento

• Una volta determinata la convenienza economica del progetto, si potrà analizzare separatamente il problema del finanziamento




Criteri di valutazione degli investimenti




Criteri di valutazione di progetti indipendenti

• Tra i vari criteri, o tecniche, di valutazione di un progetto di investimento, quello considerato come il principale riferimento è il

1. Criterio del valore attuale netto (VAN o NPV)e approccio DCF

• A tale metodologia si affiancano diversi criteri alternativi, tra i quali i più diffusi sono

2. Il criterio del tasso interno di rendimento (TIR o IRR)3. Il profitto economico (EVA)3. Il profitto economico (EVA)4. Il criterio del periodo di recupero (PB)

• I i i t it i tit i i d ll dditi ità d l tt • I primi tre criteri restituiscono una misura della redditività del progetto d’investimento, il quarto invece offre una misura della liquiditàdell’investimento




1. Il criterio del valore attuale netto (VAN) (1)

• Nella valutazione di un progetto di investimento, il VAN indica la variazione di ricchezza che l’impresa ottiene dalla scelta di effettuare l’i il’investimento

• In particolare, il VAN di un progetto corrisponde al valore attuale dei flussi p p g pdi cassa generati dall’investimento al netto dell’esborso (iniziale) per realizzare il progetto

• In altri termini, la metodologia del valore attuale netto si sostanzia nel calcolo della creazione/distruzione netta di ricchezza generata dall’investimento mediante l’attualizzazione al tempo t0 di tutti i flussi di p 0cassa in ingresso ed in uscita ad un tasso di sconto adeguato. Tale tasso deve riflettere sia il valore temporale del denaro sia il rischio del progetto– Perché il tasso di sconto adeguato è il costo opportunità del capitale?Perché il tasso di sconto adeguato è il costo opportunità del capitale?– Perché il costo opportunità del capitale corrisponde al rendimento del

miglior impiego alternativo appartenente alla medesima classe di rischio del progetto in parola




rischio del progetto in parola


• Formula del valore attuale netto (VAN) (Net Present Value, NPV)

TT

rC

rC

rC

rCCVAN

)1(...

)1()1()1( 33

221

0 +++

++

++

++−=

( )∑= +

+−=T

tt

t

rCCVAN

10 1

– C0 , flusso di cassa corrispondente al costo dell’investimento

( )t 1

0 , p– Ct : {C1 … CT}, flussi di cassa futuri generati dall’investimento relativi al

tempo t : {1 … T}– r costo opportunità del capitale Rendimento di progetti alternativi – r, costo opportunità del capitale– T, orizzonte temporale dell’investimento

p gappartenenti alla medesima classe di rischio cui si rinuncia investendo nel progetto – Premio per sopportare un flusso di cassa posticipato nel tempo





• Criterio di decisione

– Accettare il progetto se VAN > 0• L’analisi del progetto di investimento ha rilevato che i benefici

futuri, valorizzati oggi, sono superiori ai costi dell’investimento e, futuri, valorizzati oggi, sono superiori ai costi dell investimento e, quindi, che all’effettuazione del progetto è associata una variazione di ricchezza positiva, ossia una creazione di valore

– Rifiutare il progetto se VAN < 0• L’investimento ha un costo superiore ai benefici e quindi va

rigettato perché distrugge valorerigettato perché distrugge valore




VAN : esempio 1

• Riprendiamo il progetto “Guano” dell’esempio precedente e valutiamone la convenienza economica con il metodo del VAN nel caso in cui il costo opportunità del capitale sia pari al 20% opportunità del capitale sia pari al 20%

Progetto “Guano” : Analisi dei flussi di cassa (dati in ‘000 €)

Periodo 0 1 2 3 4 5 6 7

Utile netto -2.680 -2.801 1.529 6.740 11.005 7.413 2.980 1.306

+ Ammortamenti 1.667 1.667 1.667 1.667 1.667 1.667

- Variazione CCN -500 -789 -1.972 -1.629 1.307 1.581 2.002

- Investimento -10.000

Flusso di cassa disp 12 680 1 634 2 406 6 435 11 043 10 387 6 228 3 308Flusso di cassa disp. -12.680 -1.634 2.406 6.435 11.043 10.387 6.228 3.308

VA dei flussi di cassa -12.680 -1.362 1.671 3.724 5.325 4.174 2.086 923

VAN 3 862VAN 3.862

• L’investimento crea ricchezza netta per 3,8 M€ e pertanto andrebbe intrapreso




intrapreso Fonte : Brealey, Myers et al., 2007.

VAN : esempio 2 (1)

• I ricercatori dell’impresa FFF - Fredrick Feed and Farm ritengono di poter produrre un nuovo fertilizzante ecologico con un risparmio significativo di costi rispetto alla linea attualmente in produzionecosti rispetto alla linea attualmente in produzione

• Il prodotto richiederà un nuovo impianto , che può essere costruito $immediatamente ad un costo di 250 milioni di $, e secondo le stime genererà

un flusso di cassa netto di 35 milioni di $ l’anno a partire dalla fine del primo anno e per sempre

……..……..

35 $ 35 $ 35 $ 35 $

tempo

La successione di questi flussi di cassa

- 250 $

qcostituisce una rendita perpetua




Fonte : Berk et al., 2009.

VAN : esempio 2 (2)

• Il VAN del progetto, dato un certo costo opportunità del capitale r, sarà perciò pari a

35

• E il grafico corrispondente del VAN in funzione di r saràr

VAN 35250 +−=

VAN (r)

r14%10%

100 $

14%10%

• Per decidere se investire occorre conoscere il costo del capitale : si osserva infatti che il VAN risulta positivo solo per tassi di sconto inferiori al 14%infatti che il VAN risulta positivo solo per tassi di sconto inferiori al 14%

• FFF stima un costo del capitale del 10%; il progetto ne aumenterà quindi il valore di 100 milioni di $ e va senz’altro realizzato !




valore di 100 milioni di $ e va senz altro realizzato !Fonte : Berk et al., 2009.

Relazione inversa tra costo del capitale e VAN

• L’esempio precedente ci dimostra come il VAN di un progetto di investimento non sia invariante rispetto al tasso di sconto scelto per attualizzare i flussi di cassa futuri da esso generatiattualizzare i flussi di cassa futuri da esso generati

– La valutazione di un investimento dipende dal tasso di sconto. In particolare, al crescere di r il VAN(r) diminuiscep , ( )

– Interpretazione matematica• OvviaOvvia

– Interpretazione economica• Al crescere del rendimento del migliore dei progetti in cui si • Al crescere del rendimento del migliore dei progetti in cui si

potrebbe alternativamente investire, il valore del progetto – in termini relativi - si contrae




2. Criterio del tasso interno di rendimento (TIR) (1)

• Ad ogni investimento è associato un parametro, detto tasso interno di rendimento o TIR (internal rate of return, IRR), che corrisponde al tasso di attualizzazione che rende nulla la creazione di valore netto, ossia che attualizzazione che rende nulla la creazione di valore netto, ossia che determina un VAN pari a zero

Tasso Interno di Rendimento Tasso che rende il VAN = 0Tasso Interno di Rendimento Tasso che rende il VAN = 0TIR : VAN (r = TIR) = 0

( )0

110 =

++− ∑

=

T

tt

t

TIRCC

• Matematicamente, quindi, il TIR costituisce il tasso di attualizzazione per cui il valore attuale dei flussi in ingresso eguaglia il valore attuale dei flussi in uscitavalore attuale dei flussi in ingresso eguaglia il valore attuale dei flussi in uscita

• Economicamente, il TIR rappresenta il rendimento effettivo dell’investimento





• Criterio di decisione

A tt il tt il TIR > – Accettare il progetto se il TIR > r• L’analisi del progetto di investimento ha rilevato che il rendimento

effettivo del progetto è superiore a quello del migliore tra gli impieghi lt ti i t ti ll d i l di i hialternativi appartenenti alla medesima classe di rischio

– Rifiutare il progetto se TIR < r• L’investimento ha un rendimento più basso di quello richiesto da chi

investe e che è possibile ottenere dall’impiego alternativo del capitale





• Si consideri graficamente la relazione tra il VAN ed il costo opportunità del capitale

• Poiché il TIR è il tasso di attualizzazione che rende nullo il VAN di un investimento, il grafico aiuta ad individuare il TIR del progetto

• In generale valgono le seguenti corrispondenze biunivoche

VAN > 0 r < TIRVAN > 0 r < TIR

VAN < 0 r > TIR

VAN > 0 VAN < 0VAN(r) r < TIR r > TIRVAN > 0 VAN < 0

TIR

Area dirifiuto

rArea di

accettazione




TIR : esempio 1

• Riprendiamo il progetto “Guano” dell’esempio precedente e determiniamo il valore del TIR

Periodo 0 1 2 3 4 5 6 7

Flussi di cassa -12.680 -1.634 2.406 6.435 11.043 10.387 6.228 3.308

VAN 3.862

• TIR : VAN (r = TIR) = 0. Pertanto :

-12 680 - 1 634 + 2 406 + 6 435 + 11 043 + 10 387 + 6 228 + 3 308 = 0-12.680 - 1.634 + 2.406 + 6.435 + 11.043 + 10.387 + 6.228 + 3.308 = 0(1+TIR) (1+TIR)2 (1+TIR)3 (1+TIR)4 (1+TIR)5 (1+TIR)6 (1+TIR)7

TIR = 27,36%




TIR : esempio 2 (1)

• Si calcoli il TIR della seguente stringa di flussi di cassa (in ‘000 €)

T 0 1 2 3 4 5 6T 0 1 2 3 4 5 6Ct -10 3 3 3 4 4 6

0)1(

...)1()1( 6

62

210 =

+++

++

++−=

TIRC

TIRC

TIRC

CVAN

-10 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 6 = 0(1 + TIR) (1+TIR)2 (1+TIR)3 (1+TIR)4 (1+TIR)5 (1+TIR)6

TIR = 26,46% ,




TIR: esempio 2 (2)

• Se il costo opportunità del capitale è pari al 14%, cadiamo nella “regione di accettazione” dell’investimento

r = 14% 0 1 2 3 4 5 6CF -10,000 3,000 3,000 3,000 4,000 4,000 6,000CCF -10 000 -7 000 -4 000 -1 000 3 000 7 000 13 000CCF 10,000 7,000 4,000 1,000 3,000 7,000 13,000DCF -10,000 2,632 2,308 2,025 2,368 2,077 2,734CDCF -10,000 -7,368 -5,060 -3,035 -667 1,411 4,144

VAN

VAN (r=0%) = € 13,000

VAN (r=14%) = € 4,144rr =14%TIR=26,46%

Area di tt i

VAN (r=26,46%) = € 0




accettazione

Calcolo del TIR (1)

• Come si calcola il TIR?

È ibil l l il TIR tili d i b ti i – È possibile calcolare il TIR utilizzando programmi basati su processi ricorsivi (ad esempio, excel ha la funzione TIR.cost)

– In alternativa è possibile utilizzare un approccio (manuale !) di tipo trial & error

• In particolare, l’approccio trial & error si basa sull’inserimento per tentativi di vari valori della variabile TIR fino al momento in cui l’equazione VAN=0 è risolta

– Se si ottiene un VAN negativo, si prova con un tasso inferiore, che incrementa il VAN

– Viceversa, se il VAN è positivo, si prova ad incrementare il tasso di Viceversa, se il VAN è positivo, si prova ad incrementare il tasso di attualizzazione




Calcolo del TIR (2)

• Esempio

Year 0 1 2 3 4 5CF 2 500 000 1 000 000 800 000 600 000 600 000 600 000CF -2.500.000 1.000.000 800.000 600.000 600.000 600.000DCF

5% -2.500.000 952.381 725.624 518.303 493.621 470.11610% -2.500.000 909.091 661.157 450.789 409.808 372.55315% -2.500.000 869.565 604.915 394.510 343.052 298.30620% -2.500.000 833.333 555.556 347.222 289.352 241.127

15,1949% -2.500.000 868.094 602.870 392.511 340.736 295.79115,1950% -2.500.000 868.093 602.869 392.510 340.735 295.790

NPV @ 5% 660 044 0NPV @ 5% 660.044 >0NPV @ 10% 303.398 >0NPV @ 15% 10.348 >0NPV @ 20% -233.410 <0NPV @ 15 1949% 2

VAN(15%)>0 e VAN(20%)<0, quindi sarà 15%<TIR<20%

NPV @ 15.1949% 2NPV @ 15.1950% -4

Approccio trial and error: TIR=15,194930%




Calcolo del TIR (3)

• Per calcolare il TIR è possibile anche impiegare l’interpolazione lineare, ricorrendo alla similitudine tra i triangoli rappresentati dalla linea tratteggiata

VAN

A Bd10.348

rC

e15%

-233.41020%

segmento BA = segmento dAsegmento BC segmento de

%2123.15%)15%20()410.233(348.10

348.10%15 =−⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+=IRR

• E’ bene non usare un intervallo di interpolazione troppo grande poichè esso può dar luogo ad un risultato impreciso




VAN o TIR : le trappole del TIR

• Molte imprese preferiscono usare il TIR invece del VAN per valutare la convenienza economica di un progetto di investimento

76%TIR

Percentuale di CFO’s che usano sempre una tecnica particolare per valutare gli I

12%

57%

75%

Tempo di recupero

VAN

12%

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

Indice di redditività

• In realtà il VAN è il miglior criterio di scelta degli investimenti perché il

Fonte : GrahamJ.R. e C.R: Harvey, The Theory and Practice of Finance: Evidence From the Field, Journal of Financial Economics, 61, 2001.

g g pcriterio del TIR contiene diverse trappole




Trappola 1 : investimenti ritardati (1)

• Si consideri il seguente esempio -- Una casa editrice offre ad un importante ex-manager 1 milione di $ per scrivere un libro sulle proprie esperienze di b l h l l l b h lbusiness. Egli stima che gli serviranno tre anni per scrivere il libro e che il tempo speso nella scrittura gli farà perdere fonti di reddito alternative per un totale di 500 mila $ l’anno . Inoltre stima un costo del capitale del 10%

• Il profilo dell’investimento si configura nel modo seguente (in ‘000 $)

Anno t=0 t=1 t=2 t=3 Cash flow +1.000 -500 -500 -500

• Risulta

– TIR = 23,38% > r = 10 % I da accettare ?– VAN (r = 10%) = - $ 243.426 I da rifiutare ?Università degli Studi di Bergamo

Facoltà di IngegneriaEconomia Applicata all’Ingegneria

2009 / 2010Decisioni di lungo periodo

pagina 112


Trappola 1 : investimenti ritardati (2)

• Perché i due criteri forniscono esiti opposti ?

VAN (r)VAN (r)

rTIR = 23 38%TIR = 23,38%

• Perché in realtà quello descritto non è un investimento ma bensì un finanziamento. Infatti nei progetti di investimento i flussi di cassa in uscita precedono quelli in entrata In questo caso invece prima si ottengono i soldi precedono quelli in entrata. In questo caso, invece, prima si ottengono i soldi del libro e poi si incorre nei suoi costi di produzione

• È come se si fosse preso denaro a prestito e quando si chiede un prestito si È come se si fosse preso denaro a prestito e, quando si chiede un prestito, si cerca il tasso più basso possibile. In altri termini, in questo caso il criterio ottimale consiste nel prendere a prestito il denaro purchè il tasso del prestito sia inferiore al costo opportunità del capitale




sia inferiore al costo opportunità del capitaleFonte : Berk et al., 2009.

Trappola 2 : flussi di cassa non convenzionali (1)

• Si consideri la seguente stringa di flussi di cassa

A t 0 t 1 t 2 t 3 Anno t=0 t=1 t=2 t=3 Cash flow –4,500 6,000 6,000 –8,000

• È facile verificare che il VAN di questo investimento si annulla sia con un tasso

di attualizzazione del 15,47% sia con un tasso di sconto pari al 33,3%

VAN

rTIR = 15,47% TIR = 33,3%




Trappola 2 : flussi di cassa non convenzionali (2)

• In generale

– Gli investimenti caratterizzati da un unico cambio di segno nei flussi di cassa ammettono un unico TIR

– Dove invece si verifica più di un cambio di segno è possibile che vi sia più Dove invece si verifica più di un cambio di segno è possibile che vi sia più di un tasso che annulla il VAN, ossia è possibile che un progetto di investimento ammetta tassi di rendimento multipli

• Secondo la “regola dei segni di Cartesio” un polinomio può avere Secondo la regola dei segni di Cartesio , un polinomio può avere tante soluzioni diverse quanti sono i cambiamenti di segno




Tassi di rendimento multipli : un esempio (3)

• In molti Paesi c’è un certo ritardo fra il momento in cui matura il reddito di un’impresa e il momento in cui devono essere pagate le imposte su tale

ddreddito• Consideriamo il caso di un’impresa che deve valutare la proposta di una

campagna pubblicitaria che comprende una spesa iniziale di € 1M e genera un aumento dell’utile prima delle imposte di € 300.000 in ciascuno dei prossimi cinque periodi

• L’aliquota d’imposta è pari al 50% e le imposte sono pagate con un periodo di ritardo

• I flussi di cassa (differenziali) attesi dall’investimento sono i seguenti

Periodi 0 1 2 3 4 5 6Periodi 0 1 2 3 4 5 6

Flusso pre-tax -1.000 +300 +300 +300 +300 +300

Imposte +500 150 150 150 150 150Imposte +500 -150 -150 -150 -150 -150

Flusso after-tax -1.000 +800 +150 +150 +150 +150 -150

Nota: l’esborso iniziale di € 1M nel periodo 0 riduce il debito di imposta nel periodo 1 di € 500.000; quindi scriviamo +500 nel periodo 1.




Fonte: “Capital budgeting”, Brealey, Myers et al.

Tassi di rendimento multipli : un esempio (4)

• Calcolando la convenienza dell’investimento si ottiene– VAN(r = 10%) = 74,9 ovvero € 74.900( )– TIR = - 50% e TIR = 15,2%

• In altri termini, l’investimento presenta due TIR : il VAN è uguale a zero sia d l d l % d %quando il tasso di attualizzazione è -50% sia quando è +15,2%

• La figura mostra che ciò accade perché, al crescere di r, il VAN all’inizio aumenta e poi diminuisceaumenta e poi diminuisce– Il motivo di ciò è ovviamente il doppio cambiamento di segno

VANVAN

rTIR=-50% TIR=15,2%




Tasso interno di rendimento modificato (5)

• Le imprese a volte risolvono il problema dei tassi di rendimento multipli retrocedendo, tramite l’attualizzazione al costo del capitale, l’ultimo flusso di

d d fl d h lcassa sino ad ottenere una serie di flussi di cassa che presenta solo un cambiamento di segno

• Da questa serie modificata si può derivare un tasso interno di rendimento Da questa serie modificata si può derivare un tasso interno di rendimento modificato

• Nel nostro esempio ciò significap g– 1 Calcolare il VA nell’anno 5 del flusso di cassa dell’anno 6

2 Sommare al flusso di cassa dell’anno 5 il valore attuale dei flussi di 36,1361,1/1505.'. −=−=annonellVA

– 2 Sommare al flusso di cassa dell anno 5 il valore attuale dei flussi di cassa successivi

3 C l l il TIR difi h à i i l 15% d l 64,1336,136150)...(5 =−=+ successivicassadiflussiVAC

– 3 Calcolare il TIR modificato, che sarà unico e pari al 15% data la presenza di un unico cambiamento di segno, con la serie dei flussi di cassa modificati




Altri esempi di flussi di cassa non convenzionali (6)

• Nel nostro esempio il doppio cambiamento di segno era causato da un ritardo nel pagamento delle imposte, ma questo non è il solo caso che può capitare

• Molti progetti originano significativi costi di smantellamento. In un’attività di estrazione del carbone ad esempio occorre investire molto per recuperare di estrazione del carbone, ad esempio, occorre investire molto per recuperare il terreno dopo che tutto il carbone è stato estratto. Quindi, una nuova miniera origina un investimento iniziale (flusso di cassa negativo), una serie di flussi di cassa positivi e un’uscita finale per il recupero del terrenodi flussi di cassa positivi e un uscita finale per il recupero del terreno

• La serie dei flussi di cassa cambia segno due volte e perciò l’investimento in una miniera di solito ha un TIR doppio





• Esempio – Progetti con flussi di cassa non convenzionali

Project C0 C1 C2 C3 C4 NPV(10%) IRRA -1000 0 0 0 5000 2415 50%B -1000 500 500 0 0 -132 0%C 1000 500 500 500 3180 2415 67%C -1000 500 500 500 3180 2415 67%D 1000 -500 -500 -500 -3180 -2415 67%E -1000 500 500 176 0 0 10%F -1000 3000 -2500 0 0 -339 ?G -650 3000 -2500 0 0 11 252% 9%

Progetti A e C VAN(A) = VAN(C) ma TIR(A) < TIR(C)

Progetti C e D VAN(C) = -VAN(D) ma TIR(C) = TIR(D)

Progetti F e G




g


Internal Rates of ReturnMultiple IRRs and No IRR

400

200

400

NPV G NPV F

200

0

-10% 0% 10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

110%

120%

130%

140%

150%

160%

170%

180%

190%

200%

210%

220%

230%

240%

250%

260%

270%

280%

290%

300%

-400

-200

NPV

TIR multipli

800

-600 Nessun TIR

TIR multipli

-1000

-800

r




r

3. Profitto economico (EVA) (1)

• Il nome di Economic Value Added (EVA) è stato coniato da Stern Stewart, una società di consulenza specializzata nel miglioramento dell’efficienza

d laziendale

• In particolare, l’Economic Value Added, il cui acronimo EVA è stato persino p pregistrato come marchio, non è nato come criterio di scelta degli investimenti, e anche oggi non è utilizzato principalmente a questo scopo, ma si basa su molti concetti comuni al calcolo del VAN. Ipotizzeremo un criterio decisionale basato sull’EVA e lo metteremo in relazione con il VAN

• L’EVA misura il valore che annualmente l’impresa riuscirebbe ad estrarre dal L EVA misura il valore che annualmente l impresa riuscirebbe ad estrarre dal progetto in corso di valutazione rispetto al costo che sosterrebbe per usare il capitale che il progetto richiede





Formula dell’EVA quando il capitale investito è costante

• C id i tt h i hi d i ti t i i i l di I • Consideriamo un progetto che richieda un investimento iniziale di I. Supponiamo che il capitale rimanga costante nel tempo e generi un flusso di cassa C t ad ogni data futura t. Se il costo del capitale è pari ad r, allora in ogni periodo il costo di impegnare I nel progetto invece di investirli altrove è r * Iperiodo il costo di impegnare I nel progetto invece di investirli altrove, è r * I.Questo costo, ossia il costo opportunità associato all’uso del capitale nel progetto, è detto costo del capitale impiegato

• In ciascun periodo t dell’investimento, l’EVA è pari alla differenza tra il flusso di cassa generato dal progetto e il costo del capitale impiegato

• Il criterio di decisione associato a questo metodo è perciò : accettare qualsiasi

IrCEVA tt *−=

• Il criterio di decisione associato a questo metodo è perciò : accettare qualsiasi opportunità di investimento in cui il valore attuale di tutti gli EVA futuri sia positivo




EVA : esempio 1

• Si riprenda l’esempio precedente dell’impresa FFF e si calcoli l’EVA del progetto fertilizzante, che richiede un investimento di 250 milioni di $ e genera un flusso netto di 35 milioni di $ ogni announ flusso netto di 35 milioni di $ ogni anno

• L’EVA ogni anno è

250*35 rEVAt −=

• Usando la formula della rendita perpetua, il valore attuale di questi EVA è

250352503525035)( −−∑∞ rrEVAVA

• Q t l i d l VAN d l tt l FFF d bb ff tt

250)1(

)(1

−==+

= ∑= rrr

EVAVAt

t

• Questo valore corrisponde al VAN del progetto : la FFF dovrebbe effettuare l’investimento se il suo costo del capitale è inferiore al 14%






Formula dell’EVA quando il capitale investito varia

• Il it l i tit i tt ti i t di i i l t hé • Il capitale investito in un progetto tipicamente diminuisce nel tempo perché con l’uso si logora e tende a perdere valore

• Sia I t-1 il capitale allocato nel progetto alla data t-1 ; il costo del capitale impiegato nel periodo t è allora r * I t-1 . Tenendo inoltre conto del costo derivante dal deprezzamento del capitale, ossia dell’ammortamento, l’EVA di

i d i l i periodo risulta pari a

tttt toammortamenIrCEVA −−= −1*




EVA : esempio 2 (1)

• Si sta considerando di installare un nuovo sistema di illuminazione a risparmio energetico nel magazzino aziendale. L’installazione costa 300 mila $ e si stima un risparmio totale di 75 mila $ l’anno. Le lampadine si deprezzeranno in modo p p puniforme lungo un periodo di 5 anni, al termine del quale dovranno essere sostituite. Cosa indica il criterio dell’EVA circa l’opportunità di questo progetto, se il costo del capitale per l’impresa è pari al 7% ?

• L’EVA ogni anno si calcola come segue

A 0 1 2 3 4 5Anno 0 1 2 3 4 5

Capitale 300 240 180 120 60 0

Flusso di cassa 75 75 75 75 75

Costo del capitale impiegato 21 16,8 12,6 8,4 4,2

Ammortamento 60 60 60 60 60

• Ad esempio

EVA -6,0 -1,8 2,4 6,6 10,8

660300*%7751 −=−−=EVA




Ad esempio, 660300%7751EVAFonte : Berk et al., 2009.

EVA : esempio 2 (2)

• Quindi, il valore attuale di tutti gli EVA annui cosi calcolati è

$51,7)0701(

8,10)0701(

6,6)0701(

4,2)0701(

8,1)0701(

0,6)( 5432 milaEVAVA =++−

+−

+−

=

… e pertanto il progetto va accettato

)07,01()07,01()07,01()07,01()07,01()( 5432 +++++

• Proviamo a calcolare anche il VAN di questo investimento. Risulta

$51,7)07,01(

753005

1

milaVANt

t =++−= ∑

=

• Come vediamo, anche in questo caso, i criteri dell’EVA e del VAN coincidono !





4. Il criterio del periodo di recupero (PB) (1)

• È il criterio più semplice per le decisioni di investimento e sostiene che un’opportunità che permette di recuperare rapidamente l’investimento iniziale è buonaè buona– Nello specifico, il periodo di recupero o tempo di ripagamento (pay back,

PB) rappresenta l’orizzonte temporale futuro oltre il quale, in termini attuali, l’investimento comincia a generare valore nettoattuali, l investimento comincia a generare valore netto

– Rappresenta una sorta di punto di break-even dell’investimento– Il PB esprime, quindi, il grado di liquidità di un progetto (non la sua bontà

economica)economica)

• In generale, fissato a priori un periodo di recupero di x anni (detto cut-off period), si accettano tutti gli investimenti con un periodo di recupero inferiore o uguale a x




4. Il criterio del periodo di recupero (PB) (2)

• Graficamente, il tempo di recupero può essere rappresentato nel modo seguente

( )CDCF(t)

VAN

Oltre il tempo t = BP i benefici attesi dell’investimento

t

PB

T

Oltre il tempo t = BP, i benefici attesi dell investimento, espressi in valore attuale, sono superiori ai costi

x

Progressivamente, l’investimento comincia a generare i suoi benefici e il valore attuale cumulato comincia a crescere

In corrispondenza del tempo t = BP i costi dell’investimento sono, in termini attuali, interamente recuperati

-C0Il VAN cumulato al tempo t = 0 necessariamente corrisponde

all’esborso dell’investimento

benefici e il valore attuale cumulato comincia a crescere




PB : esempio 1 (1)

• Un nuovo progetto richiede un investimento iniziale di € 10.000 e genererà flussi di cassa futuri pari a € 3.000 nei primi tre anni, € 4.000 nei successivi due e € 6.000 il sesto anno€ 6.000 il sesto anno

• Il tasso di rendimento richiesto è del 14%

• Qual è il periodo di recupero dell’investimento?




PB : esempio 1 (2)

• Costruiamo innanzitutto una tabella con l’indicazione del valore attuale dei flussi di cassa futuri generati dall’investimento e del valore attuale cumulato al termine di ciascun periodo tra t = 0 e t = Ttermine di ciascun periodo tra t 0 e t T

0 1 2 3 4 5 6CF -10,000 3,000 3,000 3,000 4,000 4,000 6,000CCF -10,000 -7,000 -4,000 -1,000 3,000 7,000 13,000DCF -10,000 2,632 2,308 2,025 2,368 2,077 2,734CDCF -10,000 -7,368 -5,060 -3,035 -667 1,411 4,144

doveDiscounted Payback: 5 years

– CF, Cash Flows (C)– CCF, Cumulative Cash Flows

DCF Discounted Cash Flows (VA)

Note: NPV is €4,144 > 0

– DCF, Discounted Cash Flows (VA)– CDCF, Cumulative Discounted Cash Flows




Quando impiegare il PB

• Il periodo di recupero è il numero di anni necessari per recuperare l’investimento iniziale di un progetto attraverso l’accumulo del valore attuale dei flussi di cassa in ingresso generati da un investimentodei flussi di cassa in ingresso generati da un investimento

• In quanto misura della liquidità del progetto, nella scelta di un investimento andrebbe sempre affiancato all’impiego di un criterio di bontà economica del andrebbe sempre affiancato all impiego di un criterio di bontà economica del progetto

È d f ili d l i di l • È un metodo fortemente utilizzato dal management in presenza di elevata incertezza sui flussi e sui rendimenti futuri– E, normalmente, maggiore è l’incertezza minore è il cut-off period




Vantaggi e svantaggi del criterio del PB (1)

Principali vantaggi del PB

• L l t i d li i ti ti b t l t d d l i d di è • La valutazione degli investimenti basata sul metodo del periodo di recupero è utilizzata in modo diffuso, essenzialmente per i seguenti motivi

1. Semplicità ed efficacia – facile da comprendere ed utilizzare2. Utile come strumento di valutazione e selezione di massima dei progetti3. Efficace come incentivo alla generazione dei flussi di cassa, nei casi in cui g ,

ciò è importante4. Utile nelle situazioni in cui l’analisi dettagliata degli altri metodi non è

necessaria (ad esempio, nelle decisioni di manutenzione)necessaria (ad esempio, nelle decisioni di manutenzione)5. Particolarmente adatto ai contesti in cui il rapido cambiamento tecnologico

e/o la turbolenza ambientale richiedono un rapido recupero degli investimenti effettuatiinvestimenti effettuati




Vantaggi e svantaggi del criterio del PB (2)

Principali svantaggi del PB

È1. È l’unico dei metodi analizzati a non fornire una valutazione sulla redditività dei progetti (assoluta o relativa)

2. Tende ad ignorare i flussi di cassa oltre il cut-off period, una volta che l’investimento iniziale è recuperato

3. Presenta la tendenza a rifiutare i progetti di lungo periodo, anche se presentano VAN positivip p

4. La tecnica è difficile da applicarsi se le spese di investimento avvengono in più di un periodo, oppure se ci sono grandi spese nelle fasi conclusive della vita del progettop g

• Nonostante gli svantaggi evidenziati sopra, il metodo del periodo di recupero rimane uno degli strumenti più utilizzati nella valutazione dei progetti di rimane uno degli strumenti più utilizzati nella valutazione dei progetti di investimento




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