“TERMOTECNICA 1”

Università di Roma – Tor Vergata Facoltà di Ingegneria – Dipartimento di Ingegneria Industriale

Anno Accademico 2012-2013

Ing. G. Bovesecchi

Corso di:

gianluigi.bovesecchi@gmail.com 06-7259-7127 (7249)

TRASMISSIONE DEL CALORE: Conduzione

Trasmissione del calore - Conduzione Il calore è quella forma di energia che si manifesta nel passaggio da un corpo ad un altro quando fra i due vi è differenza di temperatura.

CONDUZIONE La conduzione termica è quel fenomeno di trasmissione di calore all’interno di corpi solidi, liquidi, gassosi, che si manifesta quando non si ha movimento apparente di materia. Secondo la legge di Fourier il flusso termico per conduzione ed il gradiente di temperatura sono proporzionali. Il fattore di proporzionalità è rappresentato dalla conduttività termica λ [W/m2K].

Trasmissione del calore - Conduzione

La conduttività termica è una proprietà termofisica che dipende:   dal tipo di materiale;   dalla temperatura;   dalla pressione (in alcuni casi);   dalla direzione di propagazione del calore (ad esempio in

materiali fortemente anisotropi, quali i monocristalli o i compositi).

La conduttività termica λ è la risultante di due componenti: quella elettronica λe e quella fononica λf. La prima è legata al movimento degli elettroni liberi e risulta quindi predominante per i buoni conduttori elettrici, ad esempio i metalli; la seconda è dovuta alla propagazione delle vibrazioni del reticolo cristallino.

Trasmissione del calore - Conduzione

Per la maggior parte dei materiali si arriva a stabilire una legge di proporzionalità fra la conduttività termica e quella elettrica. Essa è indicata come legge di Wiedemann-Franz:

λλ0

= L ⋅T

dove T è la temperatura assoluta ed L la costante di Lorenz che vale 24,5·10-9 W2/A2K2. La legge è valida per i conduttori dove vi è accordo tra i meccanismi di propagazione dell’elettricità e del calore. Un’eccezione a tale legge è costituita dai semiconduttori, che possono avere alta conduttività elettrica e bassa conduttività termica, in quanto per essi ai meccanismi sopra descritti si sovrappongono fenomeni particolari (transizione dalla banda di valenza a quella di conduzione) tipici dei semiconduttori in determinati campi di temperatura.

Trasmissione del calore - Conduzione

Per i metalli puri la conduttività termica diminuisce generalmente al crescere della temperatura. Per le sostanze allo stato liquido la conduttività termica diminuisce all’aumentare della temperatura e cresce al crescere della pressione. Nei gas la conduttività termica può essere considerata indipendente dalla pressione e cresce con la temperatura. Nei dielettrici (isolanti) prevale la componente fononica (vibrazioni del reticolo) su quella elettronica, praticamente inesistente.

Trasmissione del calore - Conduzione

METODI DI MISURA DELLA CONDUTTIVITÀ TERMICA Vi sono due classi principali di metodi per la misura della conduttività termica dei materiali:   metodi stazionari;   metodi transitori.

Nei metodi stazionari il campione di materiale in esame è sottoposto al passaggio di calore in condizioni indipendenti dal tempo. Fra i metodi stazionari si possono distinguere quelli longitudinali e quelli radiali.   Anello di guardia riscaldato (Guarded hot plate): si tratta di

montare due campioni (ad es. due lastre di 0,5 x 0,5 m2) in modo da racchiudere un riscaldatore circondato da un anello di guardia.

Trasmissione del calore - Conduzione

T1

T2

T2

T1

2 33 21

3 - pozzo di calore

2 - materiale in esame

1 - riscaldatore

!

Trasmissione del calore - Conduzione L’anello di guardia ha lo scopo di assicurare che il flusso sia unidirezionale, in direzione perpendicolare alle superfici delle lastre. Oltre il campione viene inserito un pozzo di calore (heat sink), ad esempio una sorgente fredda ottenuta con la circolazione di acqua refrigerata, con lo scopo di assorbire il calore prodotto dal riscaldatore. Dalle misure delle differenze di temperatura tra punti vicino alle superfici dei due campioni si ha:

λ = 12Q ΔxA ΔT

( 1/2 perché il flusso generato elettricamente è ripartito suoi due campioni). La difficoltà di questo metodo consiste nella misura precisa del flusso termico che attraversa le lastre in direzione trasversale.

Trasmissione del calore - Conduzione Pertanto spesso si preferisce effettuare una misura relativa, inserendo oltre al campione un materiale a λ nota. Dalla caduta di temperatura su di esso si può misurare il flusso e quindi λ del materiale.

T1

T2

T3

T4

T4

T3

T2

T1

3 44 32 21

4 - pozzo di calore 3 - materiale di riferimento

2 - materiale in esame 1 - riscaldatore !

Trasmissione del calore - Conduzione

Analoghi sono i metodi radiali, in cui la sorgente è un filo (o un cilindro) riscaldato e il campione è un cilindro cavo sul cui asse c’è il riscaldatore. L’esterno del cilindro è raffreddato da un pozzo di calore. La conduttività termica è data dalla seguente relazione:

Q =λnoto A T2 −T1( )

∆ x

λ =Q∆ x

A T4 −T3( ) = λnotoT2 −T1( )T4 −T3( )

λ =

Q ln r2r1

2π l T1 −T2( )dove r1 e r2 sono i raggi dei punti dove vengono effettuate le misure di temperatura, e T1 e T2 tali temperature.

Trasmissione del calore - Conduzione Con i metodi transitori si fornisce calore al campione di materiale in esame, si misura il transitorio di temperatura e da questo si calcola la diffusivittà termica α da cui, conoscendo ρ e cp, si determina la conduttività termica λ, essendo per definizione:

α =λρ cp

I metodi transitori vengono distinti in periodici e impulsivi. Periodici: una sorgente di calore di andamento sinusoidale nel tempo è applicata ad una superficie del campione. All’altra superficie si misura l’andamento della temperatura che risulta spostato di fase e attenuato. Sia dall’attenuazione che dallo spostamento di fase si ricava la diffusività termica. Impulsivi: al campione viene applicato un improvviso flusso termico, con andamento a gradino o a impulso (delta di Dirac).

Trasmissione del calore - Conduzione Confrontando l’andamento di temperatura in un punto particolare (dove viene misurata), con l’andamento teorico che presenta come unico parametro la diffusività termica, si può determinare quest’ultima. Ad esempio nel flash-method un impulso (o un gradino) viene applicato come condizione al contorno su una superficie di una lastra (ad esempio mediante irraggiamento di un flash fotografico, o mediante l’improvvisa accensione di una lampada), e la risposta di temperatura sulla faccia opposta fornisce la diffusività termica. Un metodo intermedio tra quelli stazionari e quelli transitori è quello della perfect line source. Si ha una sonda verticale (o un filo) in cui si ha una generazione di calore (ad esempio per passaggio di corrente). Se si considera il filo indefinitivamente lungo (perfect line source) e il materiale esteso infinitamente in direzione radiale dal filo, l’equazione differenziale risulta:

Trasmissione del calore - Conduzione

(con τ il tempo dall’inizio del riscaldamento). L’equazione precedente in forma integrale assume la seguente espressione:

∂2T∂r 2

+1r∂T∂r+Qϑλ

=1α∂T∂τ

T −T0 =QL⋅14πλ

e− x

xdx

−r2

4ατ

∞

∫

che non è risolubile analiticamente. Si può fare un’approssimazione per tempi lunghi: espandendo in serie l’integrale risulta:

T −T0 =ϑ ≅QL⋅14πλ

−0.5772− lnατr 2

$

%&

'

()

T0 è la temperatura iniziale del filo. L’andamento della temperatura in un qualsiasi punto (anche nella sorgente stessa) risulta lineare nel logaritmo del tempo.

Trasmissione del calore - Conduzione

Se si fa la differenza tra i valori misurati di T-T0 ad un determinato tempo τ e ad un valore di riferimento τ2 , si ottiene:

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-20 0 20 40 60 80 100

tempo (s)

Tem

pera

tura

(°C

)

ϑ 2 −ϑ =q4πλ

ln τ 2 −τ( )

Trasmissione del calore - Conduzione che ha un andamento lineare in coordinate logaritmiche. La conduttività termica risulta proporzionale alla pendenza della retta che rappresenta tale andamento.

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

1 10 100tempo (s)

tem

pera

tura

(°C

)

Il metodo funziona bene per liquidi (soprattutto l’hot wire) nella zona in cui non c’è convezione (che appare quando la curva logaritmica piega), in mezzi porosi e nei solidi.

Trasmissione del calore - Conduzione In particolare per quest’ultimi è preferibile il metodo della sonda (probe method), concettualmente analogo, ma in cui il filo riscaldante è inserito bifilare all’interno di un tubo, in genere di acciaio. La sonda così ottenuta si comporta come il generatore lineare di calore. Le sonde risultano portatili, e possono essere infilate in fori di diametro opportuno praticati nei materiali oggetto di prova. Motivi di incertezza del metodo:   conduzione assiale: la lunghezza deve essere molto maggiore del

diametro (almeno 60 volte, meglio 100) perché siano garantite le condizioni di sorgente infinitamente lunga. Sempre per questo scopo un isolamento del fondo del recipiente dove viene messo il materiale al cui interno è inserita la sonda deve essere isolato;

Trasmissione del calore - Conduzione   Le proprietà termofisiche della sonda devono essere tali da

influenzare poco la misura, rispetto al filo caldo teorico; per questo la sonda deve essere il più possibile piccola di diametro

  resistenza di contatto tra la soda e il mezzo, che può produrre un riscaldamento non omogeneo del mezzo, e in ogni caso rende il diametro effettivo della sonda maggiore

  per i mezzi porosi, il wall effect, cioè il fatto che se le particelle del mezzo sono confrontabili con il diametro della sonda si misura prevalentemente la conduttività termica del fluido interstiziale piuttosto che quella del mezzo nel suo complesso.