Università degli Studi di Udine - Piano Nazionale Lauree Scientifiche Progetto IDIFO5 - Scuola Nazionale di Fisica Moderna per Insegnanti

SNFMI – Università di Udine, 8-12 settembre 2014

R3 - 1 A. Stefanel – Legge di Malus: appunti a supporto dell’attività sperimentale – SNFMI 2014

Misure dell’intensità della luce trasmessa da Polaroid

La legge di Malus e ulteriori approfondimenti

Alberto Stefanel

Unità di Ricerca in Didattica della Fisica dell’Università di Udine

1. Presentazione

La polarizzazione della luce può essere esplorata a fondo qualitativamente sul piano

fenomenologico, comprendendo che essa si manifesta come variazione nell’intensità della luce

trasmessa, ma che si differenzia dall’intensità della luce stessa (Michelini, Stefanel 2005). Con

misure di intensità luminosa si possono riconoscere le principali leggi che la descrivono, prima fra

tutte la legge di Malus (Easton 2001), che unifica tutti i processi di interazione della luce polarizzata

(linearmente) con la materia (Meyer-Arendt 1976).

Oggigiorno tali misure sono rese particolarmente semplici dall’uso di sensori di luce collegati in

linea con l’elaboratore (Hirata 1986; Michelini 1992; Giugliarelli et al. 1994) e dalla disponibilità a

prezzi accessibili di filtri polarizzatori artificiali (Polaroid) oltre che di sorgenti di luce polarizzata

come i puntatori laser (O’Connell 1999; Benenson 2000; Easton 2001; Ouseph, Driver, Conklin

2001)

Una analisi dettagliata di come i polaroid trasmettono la luce consente in particolare di riconoscerne

il doppio ruolo, nell’interazione con essa, di filtri passivi e attivi. Il primo ruolo li caratterizza come

filtri attenuatori, che diminuiscono semplicemente l’intensità della luce che incide su di essi, come

lo sono i filtri passivi costituiti da ordinari materiali rifrangenti. Il secondo ruolo, è quello di essere

dei filtri polarizzatori, ossia che modificano le proprietà della luce, vale a dire polarizzano

(linearmente) la luce che viene da essi trasmessa.

Sul piano quantitativo è possibile descrivere formalmente questa doppia azione dei polaroid, nel

modo seguente. L’intensità della luce trasmessa It da un polaroid F2, su cui incide il fascio di luce

di intensità Io trasmesso da un primo polaroid F1, è data da:

It = Io T cos2 , (1)

dove: è l’angolo di cui si ruota F2 a partire dalla situazione in cui si ha un massimo di

trasmissione1; T è il fattore o coefficiente di trasmissione del polaroid F2 (T=Itmax /Io, con Itmax

valore massimo dell’intensità della luce trasmessa) (Meyer-Arendt 1976).

Il fattore cos2 , che emerge come esito della legge di Malus, caratterizza la capacità del polaroid di

polarizzare la luce trasmessa secondo una orientazione ben definita. Il fattore T tiene conto di tutti

quei processi che avvengono inevitabilmente nell’interazione della luce con un mezzo qualsiasi,

come riflessione, diffusione, assorbimento.

La legge (1) può essere il fondamento per inquadramenti teorici della polarizzazione della luce

anche antitetici (Cobal, Michelini, Corni 2002), dato il carattere puramente fenomenologico, che

essa ha. Può, infatti, essere ricavata sperimentalmente, senza bisogno di fondarla su alcun

presupposto teorico. Le misure da effettuare sono essenzialmente le seguenti: rilevazione

dell’intensità della luce trasmessa da due polaroid, ortogonali a un fascio di luce, al variare

dell’angolo di cui viene ruotato un polaroid rispetto all’altro; rilevazione dell’intensità della luce

trasmessa da 1, 2, 3..polaroid uguali allineati con il fascio di un’unica sorgente. La prima misura

permette di riconoscere la dipendenza lineare di It/Itmax da cos2 , mentre la seconda di valutare il

fattore T. Come viene descritto nelle schede esperimento l’unica difficoltà di queste misure è quella

di riuscire a lavorare nel regime di linearità del sensore di luce che si utilizza, mentre non

1 In ottica ondulatoria si parla di angolo formato dalle direzioni o piani di trasmissione dei polaroid, ossia il piano in cui oscilla il

campo elettrico della luce trasmessa dal polaroid. Il piano di polarizzazione è propriamente quello in cui oscilla il campo magnetico.

R3 - 2 A. Stefanel – Legge di Malus: appunti a supporto dell’attività sperimentale – SNFMI 2014

richiedono particolari cure negli allineamenti e possono essere effettuate con buoni risultati anche

senza un totale oscuramento del locale di lavoro.

In un approccio alla fisica quantistica basato sul contesto della polarizzazione (French 1975;

Ghirardi et al. 1995, 1997; Michelini et al 2000,2001; Pospiech 2000a,b) ricavare sperimentalmente

la legge (1) pone le basi per costruire consapevolmente i delicati passaggi qui elencati e discussi di

seguito: A - passare dalla fenomenologia dell’ottica fisica, alla fenomenologia dell’interazione di

fotoni con la materia; B - passare dalla fenomenologia dei fasci intensi a quella a singolo fotone; C -

interpretare la legge (1) in termini probabilistici o statistici2; D - passare dalla interazione di fotoni

con polaroid reali a quella con polaroid ideali.

A – Dall’ottica fisica alla fisica dei fotoni. Come è ben noto in letteratura in riferimento a diversi

ambiti, uno dei punti di maggiore criticità nell’apprendimento della fisica è quello del passaggio dal

livello macroscopico a quello microscopico e in particolare all’uso inevitabile di modelli per la

descrizione di sistemi e processi microscopici, non percepibili a livello macroscopico (Tomasini,

Vicentini 1986; Arons 1990; Eylon, Garniel 1990; Griffiths, Preston 1992; Lijnse et al. 1994;

Albanese, Vicentini 1997; Ambrose et al. 1999; Zollmann 1999; Viennot 2002; ).

Tale criticità si ritrova nel passaggio dalla fenomenologia dell’ottica fisica a quella dei fotoni. Un

approccio che si è dimostrato efficace nel superare questo nodo è quello di rendere plausibile un

modello a singole entità (fotoni) per descrivere la luce, mostrando con filmati o simulazioni, che è

possibile riprodurre i fenomeni osservati in laboratorio con fasci intensi, come esito medio di

singoli processi microscopici (Stefanel 2001, Zollman, Rebello, Hogg 2002). Si osserva qui che si

può fare leva sul fatto che la concezione della luce come formata da entità discrete, oltre che essere

storicamente il primo modello formulato sulla natura della luce (Gonzales 1993) è comunque tra

quelle presenti nelle concezioni degli studenti (Fischler 1992; Fletcher, Johstone 1999; Ambrose

1999; Stefanel, Michelini 2005).

B – Processi a singolo fotone. Con l’utilizzo di simulazioni (URDFUD 2002) è possibile effettuare

esperimenti ideali in cui un singolo fotone alla volta interagisce con apparti analoghi a quelli che gli

studenti hanno usato in laboratorio. Si riconosce in questo modo come sia possibile che reiterando

lo stesso processo moltissime volte si riottengano i risultati osservati sperimentalmente in classe.

C – Interpretazione probabilistica. L’osservazione di tali esperimenti virtuali permette anche di

costruire operativamente l’interpretazione probabilistica dei fenomeni. Gli studenti infatti possono

effettuare delle previsioni, confrontarle con l’esito sperimentale e riconoscere che le differenze

vanno interpretate in senso statistico, ovvero sono legate al confronto di una probabilità a priori con

una frequenza, ossia una probabilità a posteriori. Costruiscono consapevolmente una interpretazione

probabilistica dei fenomeni, che si è visto essere un nodo d’apprendimento per molti studenti (Bao,

Redish 2002).

D – Dall’esperimento reale all’esperimento ideale. L’analisi sperimentale quantitativa

dell’interazione della luce con polaroid si è visto che conduce alla legge (1). Gli studenti possono

riconoscere il significato dei fattori che compaiono a secondo membro, in particolare riconoscendo

a quali processi essi sono associati. Sono, quindi, in possesso di tutti gli strumenti per poter

comprendere che cosa significhi operare con un polaroid ideale in cui T=1: si assume che non vi

siano fenomeni, di fatto ineliminabili, come la riflessione o la diffusione. In un contesto ideale è

possibile allora isolare la sola azione di polarizzatori dei polaroid e riconoscere la polarizzazione

come proprietà che caratterizza i singoli fotoni e in particolare permette di identificare lo stato in cui

essi si trovano.

Il fotone non viene quindi costruito a partire dall’idea di particella, ma da quella di ente che ha una

sua unitarietà (si rivela sempre un fotone e mai metà fotone) e ha delle proprietà che lo descrivono e

2 Il rapporto It/Io nella legge (1) può essere interpretato in due modi: I- fornisce la probabilità che un singolo evento microscopico si

realizzi; II- fornisce la distribuzione attesa degli esiti di un esperimento effettuato su un insieme di sistemi tutti uguali (i fotoni

preparati nello stesso stato). La prima interpretazione è quella standard secondo cui la MQ descrive entità singole e singoli processi;

la seconda fa riferimento alla interpretazione statistica secondo cui la MQ descrive solo il comportamento statistico di insiemi formati

da sistemi tutti uguali e quindi indistinguibili.

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che possono essere riconosciute operativamente. Il riconoscimento operativo delle proprietà con cui

si descrivono i fotoni permette agli studenti di impadronirsi della descrizione a fotoni della luce per

passi successivi e a riconoscerne le conseguenze.

L’approccio proposto si discosta radicalmente da quelli più tradizionali in cui la luce, dopo essere

stata interpretata come onda elettromagnetica, viene reinterpretata in termini di quanti e quindi in

termini di dualismo onda corpuscolo. Tale approccio appare molto critico in quanto propone in

tempi estremamente ravvicinati una successione contraddittoria di modelli sulla natura della luce

senza che gli studenti guadagnino effettiva padronanza di alcuno di essi. Non è un caso se numerose

ricerche mettono in evidenza come gli studenti non riconoscono nei processi di diffrazione e

interferenza tipici comportamenti ondulatori, non padroneggino il modello ondulatorio della luce e

quindi non capiscono perché mai il più plausibile modello corpuscolare venga messo a confronto

con esso (Fischler, Lichtfeldt 1992; Fischler 1999; Fletcher, Johnston 1999; Wittmann, Steinberg,

Redish 1996, 1999).

Si osserva infine che l’effetto fotoelettrico, che tradizionalmente viene proposto a scuola come

esperimento cruciale per l’esistenza dei fotoni, non è dal punto di vista fenomenologico una prova

di tale esistenza. Come è stato dimostrato, è possibile costruirne una interpretazione quantizzando

solo l’assorbitore (Scully, Sargent 1972). L’effetto fotoelettrico è di fatto, al pari dell’esperimento

in cui si raccolgono le figure di diffrazione a bassa intensità su lastre fotografiche, un fenomeno

plausibile con l’ipotesi quantistica della luce, ma non può esserne considerato una prova. Dal punto

di vista fenomenologico l’effetto fotoelettrico fornisce una correlazione lineare tra energia della

luce e sua lunghezza d’onda. Oltre che riconoscere tale correlazione, risulta particolarmente

complesso capire perché i dati sperimentali costituiscano una effettiva conferma dell’ipotesi

corpuscolare della luce.

Altri esperimenti, che effettivamente costituirebbero una “prova” dell’esistenza dei fotoni, come ad

esempio l’effetto Compton, sono attualmente al di fuori della portata di un laboratorio didattico e

quindi poco significativi da proporre per un efficace apprendimento dei ragazzi.

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R3 - 6 A. Stefanel – Legge di Malus: appunti a supporto dell’attività sperimentale – SNFMI 2014

2. Scheda Esperimento

LA LEGGE DI MALUS

Finalità

Riconoscere la relazione tra l’intensità I della luce trasmessa da due polaroid allineati con un fascio

di luce e l'angolo di cui si ruota uno di essi intorno alla direzione del fascio, a partire da una

situazione di massimo di trasmissione.

Alternative sperimentali

La semplicità, rapidità e precisione con cui si riconosce la legge di Malus operando con polaroid

sono difficilmente superabili con altri apparati. Tuttavia, dato che la legge di Malus descrive gli

aspetti peculiari dei fenomeni relativi alla polarizzazione lineare, può essere esplorata, ovvero

riconosciuta in quasi tutti i fenomeni in cui è coinvolta la polarizzazione lineare. La si può per

esempio esplorare utilizzando il fenomeno della polarizzazione per riflessione, oppure la si può

riconoscere nella luce trasmessa da cristalli birifrangenti.

In ogni caso è necessario disporre di una sorgente che emette luce con intensità sufficientemente

costante nel tempo, come una normale lampadina, collegata ad un alimentatore stabilizzato, o un

raggio laser (es. il fascio di un puntatore laser), di un misuratore di intensità luminosa.

Se si opera con polaroid, ne sono necessari due di cui almeno uno montato su supporto ruotante. Per

misurare l'angolo fra le direzioni di trasmissione dei polaroid si può utilizzare un goniometro

solidale con il supporto ruotante del polaroid, o un sensore che misura l’angolo di rotazione.

Può essere interessante esplorare la legge di Malus utilizzando sorgenti che producono luce di

colore diverso, ovvero utilizzando una sorgente di luce bianca schermata alternativamente con filtri

di colori diversi. Nei diversi casi si ritrova sempre lo stesso andamento, ma si riconosce la diversa

efficienza dei polaroid nel polarizzare la luce. In genere si dovrebbe riscontrare il massimo grado R

di polarizzazione (R=[Imax – Imin]/[Imax + Imin]) per la luce rossa.

L'intensità luminosa può essere misurata direttamente ad esempio con:

- un sensore di luce - un esposimetro per fotografie

- un fotodiodo o un fototransistor - un tradizionale fotometro di Bunsen

- un luxmetro

Materiale necessario

Per la misura qui proposta sono necessari i seguenti materiali:

Banco di lavoro di almeno 1 metro

Proiettore con lampada a filamento (5V, 6A) su relativo supporto

Puntatore laser bassa potenza (≤1 mW - =650-660 nm)

Alimentatore stabilizzato Bassa Tensione o pila

Cavetti di collegamento

Sensore di luce e interfaccia (ad esempio: Pasco scientific Science Workshop / interfaccia 500

CI-6765CI / sensore-6504A, sensore di luce Pasco [http://www2.pasco.com/products])

2 Polaroid su supporto ruotante dotati di goniometro

Un banco ottico della lunghezza di almeno 50 cm può essere utile per semplificare l'assemblaggio,

ma non è necessario. Sensore e sorgente possono essere fissati su tavolini elevabili o supporti su

treppiede allineando i diversi componenti con il fascio stesso di luce.

Il materiale viene assemblato come nelle foto di fig. 1 (al posto del proiettore si monta il laser ).

R3 - 7 A. Stefanel – Legge di Malus: appunti a supporto dell’attività sperimentale – SNFMI 2014

Si posiziona il misuratore di intensità luminosa in modo tale che la sua superficie sia disposta

perpendicolarmente alla direzione della luce incidente e completamente illuminata. Se si opera con

la luce bianca non polarizzata del proiettore è in genere necessario utilizzare una lente per

focalizzare il fascio sul sensore. Se si opera con il laser può essere necessario schermare il fascio

per evitare di saturare il sensore, ovvero di uscire dal suo regime di linearità.

Si posizionano i due polaroid in modo da mantenere l'illuminazione del sensore. Non è necessario

effettuare un perfetto allineamento per ottenere buoni risultati. L’unico accorgimento da curare è

che il sensore sia sempre illuminato da un cono di luce della stessa apertura.

Prima di procedere alla misura vera e propria è necessario calibrare il sensore ed effettuare qualche

misura di prova per assicurarsi di operare nel regime di linearità del sensore stesso.

Se non si opera in condizioni di buio, è inoltre necessario acquisire l’intensità del fondo, una volta

spenta la sorgente (proiettore o laser che sia). È necessario evitare di operare in presenza di sorgenti

di luce alimentate direttamente dalla tensione di rete in quanto le misure verrebbe falsate dalle

oscillazioni di tensione tipicamente di periodo 20 s.

Principio della misura

A parità di illuminamento del primo dei due polaroid, l’intensità della luce trasmessa varia in modo

regolare con l’angolo di cui si ruota il secondo polaroid, risultando proporzionale a cos2.

Se si opera nel regime di linearità del sensore, il segnale misurato è proporzionale alla intensità

della luce trasmessa dal secondo polaroid.

Questo permette quindi di misurare l'intensità luminosa trasmessa dai due polaroid al variare di .

Descrizione della procedura

Si rileva l'intensità luminosa I al variare dell'angolo di cui si ruota uno dei polaroid a partire dalla

situazione per cui si ha un massimo di trasmissione (polaroid paralleli).

Poiché la luce prodotta dalla lampada può presentare una debole polarizzazione è in genere

conveniente fissare la posizione del primo polaroid (polarizzatore) e ruotare il secondo polaroid

(analizzatore). Tale procedura diventa necessaria e non più opzionale se si utilizza una sorgente

laser ossia una sorgente di luce polarizzata.

Prima di procedere alle misure vere e proprie è necessario effettuare una serie di operazioni

preliminari che sono di fatto essenziali per la buona riuscita dell’esperimento e più laboriose della

stessa misura, di per sé banale e molto rapida.

Calibrazione del sensore di luce.

Sensore di luce proiettore

Polaroid su supporto ruotante

dotato di goniometro

Fig.1 Assetto sperimentale per lo studio della legge di Malus. Al posto del proiettore si può utilizzare una sorgente laser come i puntatori oggi facilmente reperibili a costi decisamente accessibili. Il proiettore, i due polaroid e il sensore sono allineati in modo da garantire il buon illuminamento di quest'ultimo.

R3 - 8 A. Stefanel – Legge di Malus: appunti a supporto dell’attività sperimentale – SNFMI 2014

Si calibra il sensore in modo che indichi come valore minimo il valore di buio (facilmente ottenibile

oscurando con un dito il sensore stesso), e come valore massimo quello per cui si ha un massimo di

trasmissione dai due polaroid.

Prima di procedere alla misura vera e propria si effettua una acquisizione di prova, allontanando

leggermente la sorgente, ovvero diminuendo leggermente la focalizzazione del fascio, oppure

utilizzando un filtro opportuno per schermare la sorgente stessa, in modo che al valore massimo di

luce trasmessa corrisponda circa al 90% del valore massimo di calibrazione. Ciò in genere è

sufficiente ad evitare effetti di saturazione durante la misura vera e propria.

Incertezza sulla misura.

Una stima della incertezza con cui viene acquisita l’intensità della luce può essere fatta al termine

della fase precedente lasciando che il sensore acquisisca il valore massimo dell’intensità della luce

trasmessa per qualche decina di secondi. La deviazione standard dei dati ottenuti, fornisce una stima

della imprecisione statistica con cui si effettua la misura. In genere si ottiene un valore percentuale

rispetto al valore massimo misurato pari a 0.8-0.9%, ma si può operare in condizioni anche migliori.

In figura sono riportati i dati acquisiti dell’intensità luminosa misurata da un sensore illuminato

dalla luce prodotta da una sorgente alimentata con tensione stabilizzata.

Il valore medio della distribuzione è 0.9975, la deviazione standard è pari a 0.0005.

Stabilità della sorgente.

Per assicurarsi che la sorgente sia effettivamente stabile è utile effettuare una acquisizione del

valore massimo della intensità della luce trasmessa per qualche minuto in modo da verificare che

non vi siano derive temporali (ad esempio quasi sempre presenti nelle prime fasi di accensione di

Fig. 3. a) a sinistra. L’intensità della luce mostra una marcata deriva temporale (si tratta di una torcetta elettrica

alimentata da una pila); b) al centro. L’intensità della luce mostra una oscillazione periodica di circa 20 secondi

sovrapposta a una deriva temporale (si tratta di un proiettore alimentato in corrente stabilizzata); c) a destra.

L’intensità della luce è sufficientemente stabile, anche se si può riconoscere una leggera deriva temporale (si tratta

della luce prodotta da una lampadina da bicicletta alimentata con un generatore di tensione stabilizzata).

Figura 2. a sinistra: Dati acquisisti con un illuminamento costante nel tempo del sensore. A destra

distribuzione delle classi di valori dell’intensità

R3 - 9 A. Stefanel – Legge di Malus: appunti a supporto dell’attività sperimentale – SNFMI 2014

lampade a filamento) o oscillazioni periodiche (che indicherebbero una alimentazione non

stabilizzata) (Fig. 3).

Acquisizione del fondo.

Si spegne la sorgente e si acquisisce l’intensità del fondo. Se tale valore risulta superiore alla

incertezza della misura è necessario sottrarre questo valore a tutti i dati che vengono acquisiti nella

misura vera e propria. La presenza del fondo in ogni caso non dovrebbe essere decisiva per

riconoscere la dipendenza lineare di I da cos2. Diventa essenziale se si vuole riconoscere la

proporzionalità tra I e cos2, che sussiste nel caso in cui si usa una sorgente di luce rossa (i polaroid

hanno la massima efficienza nella regione del rosso) e polarizzata come quella del laser.

Acquisizione dati.

Avviato il sistema di acquisizione si misura il valore dell'intensità luminosa rilevata dal sensore per

ogni rotazione dell'analizzatore di 10°. Si effettuano misure tra 0° e 180° o tra 0° e 90°.

In genere conviene effettuare le misure tra 0° e 180° in modo da ottenere un grafico simmetrico

rispetto a =90°. Si effettua poi l’analisi separatamente tra 0° e 90° o tra 90° e 180°.

Dati campione

In figura 2 è riportata l'intensità luminosa misurata dal sensore in funzione dell'angolo , di cui si

ruota uno dei polaroid rispetto all’altro intorno alla direzione del fascio a partire dalla situazione di

massimo di trasmissione per angoli che variano da 0° a 180°. L’indeterminazione angolare con

cui è stato fissato l’analizzatore è di 2°.

La sostanziale simmetria del grafico rispetto a = 90° evidenzia la periodicità di I() al variare del

suddetto angolo.

Elaborazione dati

Per determinare l'esplicita dipendenza funzionale dell'intensità luminosa dall'angolo

conveniente considerare solo la parte relativa all'intervallo 0° 90° o all’intervallo 90°

180°.

In figura 3 sono riportati i dati relativi a due acquisizioni: una effettuata con luce bianca non

polarizzata; l’altra utilizzando come sorgente un puntatore laser (P≤1 mW - =650-660 nm).

Figura 4 . Intensità della luce misurata dal sensore in funzione dell'angolo di cui si ruota un polaroid

rispetto all’altro intorno alla direzione del fascio per angoli che variano da 0° a 180°. La sorgente è un

puntatore laser. I punti sperimentali sono indicati con l’indeterminazione sulla intensità.

R3 - 10 A. Stefanel – Legge di Malus: appunti a supporto dell’attività sperimentale – SNFMI 2014

Discussione dei risultati

Il valore di 0.9992 del coefficiente di correlazione consente di asserire che tra I e cos2 sussiste una

relazione lineare con un grado di affidabilità maggiore del 99%. L'analisi condotta porta a stabilire

che l'intensità della luce trasmessa da due polaroid, i cui piani di trasmissione formano un angolo

I() = Imax cos2() (1)

Tale relazione sussiste per la luce laser, mentre in generale si deve supporre che valga una relazione

del tipo: I() = I2 cos2()+I1, con I1 intensità della luce trasmessa quando i polaroid sono

incrociati, e I2 = Imax-I1

Considerazioni conclusive

L'analisi quantitativa dell'intensità luminosa I trasmessa da due polaroid al variare dell'angolo di

cui si ruota uno dei polaroid rispetto all’altro intorno alla direzione di propagazione della luce, porta

ad una relazione lineare tra I e cos2. Nel caso della luce laser in particolare si ottiene con buona

approssimazione la relazione (1). Questa relazione, nota come legge di Malus, consente di

descrivere gli aspetti caratteristici dell'interazione della luce con polaroid. È inoltre la base

descrittiva su cui fondare una esplorazione quantitativa dei diversi fenomeni in cui si ha luce

polarizzata, come per esempio la riflessione e la birifrangenza. Costituisce il riferimento attraverso

cui costruire una interpretazione formalizzata della fenomenologia della polarizzazione della luce.

Figura 5. Nei due grafici è riportata l'intensità luminosa misurata dal sensore in funzione di

e in funzione di cos2

equazioni e i rispettivi coefficiente di correlazione.

5B

5A

R3 - 11 A. Stefanel – Legge di Malus: appunti a supporto dell’attività sperimentale – SNFMI 2014

3. Ulteriori approfondimenti

Scheda Esperimento: COEFFICIENTE DI TRASMISSIONE DI UN POLAROID

Finalità

Riconoscere che un polaroid attenua di un fattore costante la luce che incide su di esso,

indipendentemente dal fatto che la luce indicente sia polarizzata o meno.

Tale comportamento è analogo a quello dei normali filtri rifrangenti ed è dovuto a tutti i processi

non direttamente legati alla polarizzazione e che sono ineliminabili, come la riflessione, la

diffusione, l’assorbimento passivo.

Materiale necessario

Banco di lavoro di oltre 1 metro

Proiettore con lampada a filamento (5V, 6A) su relativo supporto

Alimentatore stabilizzato Bassa Tensione o batteria

Cavetti di collegamento

Sensore di luce e interfaccia (ad esempio: Pasco scientific Science Workshop / interfaccia 500

CI-6765CI / sensore-6504A, sensore di luce Pasco [http://www2.pasco.com/products])

Almeno 3 Polaroid uguali e relativo supporto

Un banco ottico della lunghezza di almeno 50 cm, un tavolino elevabile, aste su supporto a

treppiede possono essere utili (ma non sono necessari) per semplificare l'assemblaggio.

Il materiale viene assemblato come in figura 1.

Attività preliminari.

Anche per questa misura vanno fatte le attività preliminari già discusse nel caso della legge di

Malus.

In questo caso è utile fare anche la seguente misura.

Si acquisisce l’intensità della luce trasmessa da un solo polaroid illuminato da una sorgente e

ruotato intorno alla direzione di propagazione della luce, come illustrato nella figura 2.

Fig.1 Assemblaggio dei materiali. La luce del proiettore viene focalizzata in modo da illuminare sufficientemente il sensore, avendo cura però di non saturare il sensore. I polaroid vengono impacchettati su un sopporto dotato di fermo.

proiettore

sensore

polaroid

R3 - 12 A. Stefanel – Legge di Malus: appunti a supporto dell’attività sperimentale – SNFMI 2014

L’obiettivo è riconoscere che un solo

polaroid trasmette sempre la stessa frazione

di luce se la sorgente emette luce non

polarizzata, indipendentemente da come

viene orientato nello spazio.

Questa attività può consentire di riconoscere

che le sorgenti ordinarie di luce sono in

genere debolmente polarizzate.

Nella tabella sono riportati i dati acquisiti

utilizzando una normale lampadina da

bicicletta alimentata con un alimentatore

stabilizzato, come illustrato in figura.

Dai dati si riconosce che la intensità della luce trasmessa dal polaroid, che è stata normalizzata al

suo valore massimo, oscilla tra 0.973 e 1.00

con un valore medio di 0.986. La variazione

rispetto è del 1.4 %, ossia dello stesso ordine

di grandezza dell’incertezza con cui si

misura l’intensità della luce.

Per confronto si riporta il grafico (fig.3)

della intensità trasmessa da una lampada a

filamento da 5V, 6 A, alimentata sempre con

tensione stabilizzata È evidente che la luce

in questo caso risulta parzialmente

polarizzata. Il grado di polarizzazione è 0.09

(il grado di polarizzazione per luce

completamente polarizzata è pari a 1).

Principio della misura

Si ipotizza che i filtri utilizzati siano tutti uguali (polaroid tutti uguali fra loro; lamine rifrangenti

tutte uguali fra loro). A parità di illuminamento del primo polaroid, l’intensità della luce trasmessa

varia in modo regolare con il numero dei polaroid che si dispongono allineati uno dietro all’altro.

Angolo (°) I/Im Angolo (°) I/Im Angolo (°) I/Im

0 0,985 130 0,986 260 0,989

10 0,984 140 0,986 270 0,994

20 0,980 150 0,986 280 0,996

30 0,978 160 0,983 290 0,996

40 0,974 170 0,980 300 0,999

50 0,978 180 0,978 310 0,999

60 0,977 190 0,978 320 0,998

70 0,973 200 0,979 330 1,000

80 0,980 210 0,975 340 0,999

90 0,984 220 0,973 350 0,994

100 0,986 230 0,984 360 0,994

110 0,990 240 0,986 370 0,991

120 0,986 250 0,990 380 0,985

390 0,984

Lampadina alimentatore

stabilizzato

Lente per focalizzare il

fascio sul sensore

Sensore di luce polaroid

Fig.2

Fig3. Grafico della intensità di luce trasmessa da un solo

polaroid in funzione dell’angolo di cui lo si ruota intorno

alla direzione di propagazione della luce. E’ evidente che

la luce del proiettore risulta debolmente polarizzata.

R3 - 13 A. Stefanel – Legge di Malus: appunti a supporto dell’attività sperimentale – SNFMI 2014

Se si opera nel regime di linearità del sensore, il segnale misurato è proporzionale alla intensità

della luce trasmessa dall’ultimo polaroid.

Questo permette quindi di misurare l'intensità luminosa trasmessa al variare del numero di polaroid,

disposti in modo da avere un massimo di trasmissione (polaroid paralleli).

Descrizione della procedura

Si dispongono sensore e proiettore ad una fissata distanza in modo che la parte sensibile del sensore

sia ben illuminata dal fascio di luce prodotto dal proiettore, ma assicurandosi che non si saturi il

sensore.

Si acquisisce l'intensità luminosa misurata dal sensore. Si interpongono tra il proiettore e il sensore

1, 2, 3 polaroid in modo da avere sempre un massimo di trasmissione (polaroid paralleli). Per ogni

nuovo polaroid si acquisisce l'intensità luminosa misurata dal sensore.

Si ripete la procedura con lamine rifrangenti come vetrini da microscopio o fogli di lucido.

Dati campione

Nella figura 4 è riportato il diagramma intensità luminosa – numero di polaroid, ottenuto seguendo

la procedura indicata.

Si riconosce un andamento regolare dal secondo polaroid in poi. Si osserva invece una discontinuità

tra la intensità rilevata senza alcun polaroid e il primo polaroid.

Per confronto si riporta l’analogo grafico ottenuto con lamine di vetro (fig.5): in

Questo caso si osserva un andamento regolare a partire dalla prima lamina.

Figura 5. Intensità luminosa misurata dal sensore in

funzione del numero di lamine rifrangenti. Si osserva un

andamento sempre regolare.

Figura 4. Intensità luminosa misurata dal sensore in

funzione del numero di polaroid. Dal secondo

polaroid si riconosce un andamento regolare.

R3 - 14 A. Stefanel – Legge di Malus: appunti a supporto dell’attività sperimentale – SNFMI 2014

Elaborazione dati

L’elaborazione dei dati può essere fatta convenientemente riportando i dati in scala

semilogaritmica, ovvero riportando il logaritmo di I/Im in funzione del numero di polaroid o del

numero di filtri rifrangenti.

Nella figura 6 sono riportati i due grafici.

Si riconosce in entrambi i casi un andamento di tipo lineare, che indica una dipendenza

esponenziale tra I/Im e il numero di filtri intermosti (l’andamento è analogo a quello previsto nella

legge di Bouguer-Lambert-Beer (Mayer-Arendt 1976, p.405)).

Nel caso dei polaroid è utile valutare i rapporti:

Ro = I1/Io dell’intensità della luce trasmessa dal primo polaroid e intensità della luce

incidente

Ti = Ii+1/Ii dell’intensità della luce trasmessa dall’i-esimo polaroid e l’intensità della luce

incidente su di esso (ossia l’intensità della luce trasmessa dall’(i-1)-esimo

polaroid).

Figura 6. Grafici semilogaritmici per l’intensità della luce trasmessa da n filtri:

polaroid (in alto); vetrini da microscopio (in basso)

R3 - 15 A. Stefanel – Legge di Malus: appunti a supporto dell’attività sperimentale – SNFMI 2014

Con i dati di cui alla figura 2 si ottengono i seguenti valori:

Ro = 0.30

i 2 3 4 5 6 7 8

T 0,64 0,59 0,60 0,60 0,60 0,42 0,61

A parte il settimo polaroid, per gli altri si ha un coefficiente T=0,610.03.

Questo può essere assunto come valore del coefficiente di trasmissione dei polaroid utilizzati.

L’analogo coefficiente per le lamine di vetro è 0.83.

Si osserva che Ro/T = 0.5 = ½. Questo è esattamente il fattore di cui viene attenuato un fascio

luminoso non polarizzato ad opera di un polaroid ideale3.

Discussione dei risultati

Dall'elaborazione dei dati emerge che la luce polarizzata che incide su un polaroid orientato in

modo da avere un massimo di trasmissione viene attenuata di un fattore costante T, nel caso

specifico pari a circa 0.6.

Tale è la frazione di luce che non viene trasmessa dal polaroid per effetti non connessi alla

polarizzazione e presenti anche quando la luce incide su una lamina di un ordinario materiale

rifrangente e viene da essa trasmessa (riflessione della luce incidente, assorbimento della luce che

attraversa la lamina, diffusione)

Della luce non polarizzata emessa dal proiettore incidente sul primo polaroid viene trasmessa una

frazione Ro che nel caso specifico vale circa 0.3. Il rapporto R/T esprime la frazione di luce

trasmessa dal primo polaroid come effetto della sua azione di polarizzatore della luce. Tale fattore è

pari a 1/2.

Considerazioni conclusive

A conclusione delle attività sperimentali qui proposte si possono riassumere i risultato nel seguente

modo.

Quando luce trasmessa da un primo polaroid, polarizzata linearmente quindi secondo una ben

definita direzione ortogonale a quella di propagazione, incide su un secondo polaroid, si riconosce

che viene trasmessa una frazione di essa la cui intensità è pari al prodotto di un fattore costante T,

come avviene in un qualsiasi mezzo rifrangente, e di un fattore funzione dell'angolo formato

dalla direzione di polarizzazione della luce e l’angolo di cui è stato ruotato il secondo polaroid

intorno alla direzione del fascio di luce a partire da un massimo di trasmissione, in base alla legge

di Malus. Si può quindi caratterizzare formalmente l'azione di un polaroid nel seguente modo:

θcosTII it2 [luce incidente polarizzata]

dove It è l'intensità della luce trasmessa dal polaroid, quando su di esso incide luce polarizzata di

intensità Ii, T è il coefficiente di trasmissione del polaroid.

Se la luce incidente non è polarizzata, l'intensità della luce trasmessa è data da:

3 Se si interpreta la luce non polarizzata come formata da infinite componenti polarizzate

linearmente e di uguale intensità, θcosTIπ

θddI it

2

2 è la frazione che viene trasmessa della

componente il cui piano di vibrazione è compreso tra e +d. L'intensità della luce trasmessa dal

polaroid è allora data da: 2

1

2

2

0

2 π

ii

t TIθdθcosTπ

II .

R3 - 16 A. Stefanel – Legge di Malus: appunti a supporto dell’attività sperimentale – SNFMI 2014

it ITI2

1 .

Il fattore 1/2 è dovuto all'azione di polarizzatore che ha il polaroid sulla luce incidente.