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Università di Napoli Federico IIDipartimento di Ingegneria Industriale

http://www.dii.unina.it

Lezioni di AerodinamicaA.A. 2018-2019 versione 0.0

Renato TognacciniDipartimento di Ingegneria IndustrialeUniversità di Napoli Federico IIPiazzale V. Tecchio 80, 80125 Napoliemail: renato.tognaccini@unina.it

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Introduzione• Aerodinamica: ramo della Meccanica dei fluidi (Fluidodinamica)

che si concentra sull’analisi dell’interazione tra una corrente fluidaed un corpo immerso in essa.

• Fluido: materia senza una forma propria; caratterizzato da unproprio volume (liquido), o senza volume proprio (gas), assumecioè il volume del suo contenitore.

• Ipotesi del continuo: il fluido è un mezzo continuo, cioè si assumeche una qualsiasi parte di esso, comunque piccola, contenga unnumero molto grande di molecole.

• Particella di fluido: un elemento di volume infinitamente piccolonella scala di lunghezze (macroscopica) di nostro interesse, ma co-munque grande nella scala di lunghezza delle molecole (microscop-ica).

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Le forze aerodinamicheSi sceglie un sistema di riferimento (inerziale) O(x, y, z) solidale con

l’aeromobile, che è quindi investito da una corrente uniforme di velocitàV∞, alla quota h, caratterizzata dalla pressione p∞ e densità ρ∞.

Equilibrio dell’aeromobile in vololivellato uniforme:

L = W (1)

T = D (2)

F = [L,D]: forza aerodinamica

L: portanza (Lift) ⊥V∞D: resistenza (Drag) �V∞W : peso (Weight)a

T : spinta (Thrust)aG è il baricentro

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I coefficienti delle forze aerodinamicheForza aerodinamica di riferimento: 1

2ρ∞V

2∞S.

S: superficie di riferimento (in genere la superficie alare SW ).

Coefficiente di portanza

CL =L

12ρ∞V 2∞S

(3)

Coefficiente di resistenza

CD =D

12ρ∞V 2∞S

(4)

Efficienza aerodinamica

E =L

D=CLCD

(5)

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ATR 42-500

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Alcune prestazioni dell’ATR 42-500

WTOmax = 18600 Kgp WOEmax = 11250 Kgp Payload= 5450 KgpVmax = 556 Km/h TO-length= 1165 m P = 2× 1610 KWCeiling= 5485 m Max Range= 2963 Km SW = 54.50 m

2

Alcuni dati geometrici e aerodinamici

SW = 54.50 m2 b = 24.57 m

W/S = 341.3 Kgp/m2 AR = 11.1CLmax = 1.75 (δf = 0

0) CLmax = 2.61 (δf = 150)

CLmax = 3.15 (δf = 270)

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Prob. n. 1: determinazione del CL di un aeromobile in

volo livellato

CL =1

12ρ∞V 2∞

W

S(6)

Occorre:quota, velocità di volo, peso e superficie di riferimento del velivolo.

Prob. n. 2: determinazione della velocità minima di

sostentamento (velocità di stallo)

Vs =

√1

CLmax

√W

S

√2

ρ∞(7)

Occorre:quota, peso e superficie di riferimento del velivolo, coefficiente diportanza massimo del velivolo (CLmax).

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I parametri fondamentali della corrente

Il numero di Mach

M =V

a, (8)

V : velocità della particella;a: velocità del suono locale.

• Un flusso a densità costante in tutto il campo si dice incomprim-ibile o incompressibile.

In un flusso incomprimibile:

M = 0 (9)

in tutto il campo di moto.

• In certe condizioni anche i fluidi comprimibili (gas) si comportanocome incomprimibili (liquidi):

per M → 0 il flusso tende a diventare incomprimibile.

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La viscosità

Un fluido si dice newtoniano quando la forza dF (di attrito) è datada

dF = µ∂V

∂zdA (10)

µ: viscosità dinamica del fluido, si misura in Kg/(m s);

ν = µ/ρ: viscosità cinematica del fluido, si misura in m2/s.

Per l’aria in condizioni standard ν ≈ 10−5m2/s.

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La legge di Sutherland

• La viscosità è una funzione di stato (dipende solo dal punto) ed èessenzialmente funzione di temperatura e pressione.

• La viscosità aumenta sempre con la pressione.• Nei liquidi la viscosità diminuisce rapidamente con la temperatura.• Nei gas rarefatti aumenta con la temperatura.

Per l’aria (legge di Sutherland):

µ

µ0=

(T

T0

)3/2 T0 + 110T + 110

, (11)

T0 = 288K, µ0 = 1.79× 10−5Kgms .

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Il numero di Reynolds

Re∞ =ρ∞V∞L

µ∞=V∞L

ν∞(12)

L: lunghezza di riferimento caratteristica del problema in studio,

• Il numero di Reynolds misura l’importanza relativa delle forzedi natura dinamica (convettive), associate alla quantità di motodelle particelle, e le forze di natura viscosa.

• Un fluido o un flusso non dissipativo si dice ideale.• Vedremo che un un fluido o un flusso caratterizzato da viscosità

nulla (Re∞ →∞) è ideale.• Nei flussi ideali la viscosità è trascurabile.

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Regimi di moto

Classificazione in base al numero di Mach

M∞ = 0: flusso incomprimibile

M � 1 ovunque: flusso iposonicoM < 1 ovunque: flusso subsonico

M < 1 e M > 1: flusso transonico

M > 1 ovunque: flusso supersonico

M∞ � 1: flusso ipersonico

Classificazione in base al numero di Reynolds

Re→ 0: flusso alla Stokes (creeping flow)Re→∞: flusso ideale

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• Numero di Mach critico inferiore (M ′∞,cr): numero di Mach sub-sonico minimo della corrente asintotica per il quale esiste almenoun punto nel campo di moto in cui M = 1 (limite del regimesubsonico).

• Numero di Mach critico superiore (M ′′∞,cr): numero di Mach su-personico minimo della corrente asintotica per il quale tutti i puntinel campo di moto sono supersonici (limite del regime transonico).

Per un dato fluido, le equazioni adimensionali della dinamica delflusso dipendono solo da M∞ e Re∞.

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Prob. n. 3: determinazione di M∞

M∞ =V∞a∞

Per un gas perfetto a∞ =√γRT∞.

γ è il rapporto dei calori specifici a pressione e volume costanti (perl’aria γ = 1.4).

R = 287 JKg K

è la costante del gas aria nel modello di gas perfetto.

T∞ è la temperatura assoluta della corrente asintotica (espressa ingradi Kelvin) che dipende dalla quota.

Prob. n. 4: determinazione di Re∞

Re∞ =ρ∞V∞L

µ∞=V∞L

ν∞Occorre:La quota, la velocità di volo e la lunghezza caratteristica dell’aeromobile.

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Genesi di portanza e resistenza

Teoria globale

Principio di azione e reazione: la forza aerodinamica agente sull’aeromobileè pari all’azione dell’aeromobile sulla portata d’aria ṁ interagente; invirtù della II legge della dinamica:

F = ṁ∆V (13)

• ∆V: variazione media della quantità di moto;

• ṁ = eρ∞V∞πb2/4 (b è l’apertura alare, e ≈ 1).

La portanza è data dalla componente perpendicolare a V∞ di ∆V:

L = ṁ∆V (14)

Dalla definizione di CL:∆V

V∞=

2CLπeAR

(15)

AR = b2/S è l’allungamento alare.

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La resistenza indotta (dalla portanza)

L’energia cinetica della portata d’aria ṁ è aumentata dopo l’interazionecon l’aeromobile:

∆E =1

2ṁ[V 2∞ + ∆V

2 − V 2∞]

=1

2ṁ∆V 2 . (16)

Per il principio di conservazione dell’energia deve esserci una forza checompie un lavoro equivalente che non può che essere T = D:

∆E = DV∞ , (17)

per cui, ricordando l’espressione del CD e di ∆Vv/V∞ si ottiene:

CDi =C2LπeAR

, (18)

espressione del coefficiente di resistenza indotta.e è il fattore di Oswald; in genere e < 1. e = 1 nel caso di ala con

distribuzione di carico ellittica.

• Un caso particolare di distribuzione di carico ellittica: distribuzione dicorde ellittica, svergolamento aerodinamico nullo, profilo alare costante.

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La resistenza totale di un aeromobile

D = Di + Dp + Dw (19)

• Di, resistenza indotta (dalla portanza);• Dp, resistenza di profilo, associata all’azione diretta delle forze

viscose (attrito e forma);

• in regime transonico e supersonico si aggiunge anche Dw, la re-sistenza d’onda, legata alla probabile presenza di onde d’urto nelcampo di moto.

La polare di un aeromobile

Le curve CD = CD(CL) si chiamano curve polari.Per ogni aeromobile esistono infinite polari, al variare di Re∞, M∞

e della configurazione del velivolo.

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Espressione approssimata della polare

CD = CD0 +C2LπARe

(20)

CD0: coefficiente di resistenza a portanza nulla.

L’espressione parabolica della polare costituisce una buona approssi-mazione della polare reale nell’intorno della crociera del velivolo.

Errori insiti in questa approssimazione:

• in generale il coefficiente di resistenza non è minimo per CL = 0;• la resistenza di profilo varia al variare di CL;• in condizioni di alta portanza la polare del velivolo si discosta molto

dall’andamento parabolico che addirittura non prevede lo stallodell’aeromobile.

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Prob. n. 5: determinazione del CDi di un aeromobile in

volo livellato

Tra l’altro occorre conoscere il fattore di Oswald dell’aeromobile.

Prob. n. 6: confronto delle resistenze indotte di un aero-

mobile in crociera ed in atterraggio

Attenzione resistenza non è equivalente a coefficiente di resistenza.

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Geometria dell’ala

η = yb/2

, λ = ct/cr, c = cr[1− η(1− λ)], S = 2∫ b/2

0 c(y)dy

Corda media aerodinamica (m.a.c.): c̄ = 2S

∫ b/20 c

2(y)dy

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La curva CL = CL(α) (curva di portanza)

Definizione di angolo di attacco:

Sezione dell’ala alla radice

Polare, curva di portanza e dei momenti per un ala di AR = 10

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Caratteristiche della curva di portanza

• È presente un tratto lineare nell’intorno delle basse incidenze:

CL ≈ CLαα ; (21)

• si evidenzia il fenomeno dello stallo;• dipende da M∞ e Re∞.

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Il profilo alare

Sezione di un’ala parallela a V∞.

c: corda; t: spessore; τ = t/c: spessore percentuale;

F : fuoco, posto ad 1/4 della corda.

• Nel caso di un’ala rettangolare dritta di allungamento infinito ilcampo di moto risulta bidimensionale nel piano del profilo.

• AR→∞⇒ CDi = 0, quindi D = Dp + Dw.

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Caratteristiche aerodinamiche di un profilo alare

Portanza:l = Cl

12ρ∞V

2∞c

Resistenza:d = Cd

12ρ∞V

2∞c;

Momento di beccheggio rispetto al bordo di attacco:mle = Cmle

12ρ∞V

2∞c

2.

Momento di beccheggio rispetto al fuoco:m1/4 = Cm1/4

12ρ∞V

2∞c

2.

• I momenti sono positivi se cabranti.

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Profilo NACA 2412 (flusso iposonico)

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Portanza di un’ala finita e di un profilo

Per un profilo poco spesso e curvo a piccoli angoli di attacco:

Cl = Clα(α− αzl) , (22)

Clα ≈ 2π,αzl: angolo di portanza nulla del profilo.

AR� 1 : CLα ≈Clα

1 + ClαπAR

(23)

AR < 1 : CLα ≈π

2AR (24)

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IdrostaticaSi assume che in tutto il campo fluido V = 0.

La pressione

∆S: superficie elementare di inclinazione generica nel fluido.

∆F : modulo della forza che agisce sulla superficie ∆S dovuta alloscambio di quantità di moto a livello molecolare.

In un fluido in quiete ∆F è perpendicolare a ∆S (Principio diPascal).

p = lim∆S→0

∆F

∆S(25)

Su una superficie infinitesima dS di normale n agisce la forza

dF = −pndS (26)

p è detta pressione idrostatica.

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Legge di Stevino

Si consideri un volume infinitesimo dxdydz di un fluido in quiete. zindica la quota (asse verticale e diretto verso l’alto).

Forza di pressione totale:

p dxdy −(p +

dp

dzdz

)dxdy = −dp

dzdxdydz (27)

Equilibrio tra forza di gravità e forza di pressione:

− dpdz

dxdydz − ρgdxdydz = 0 (28)

dp = −ρgdz (29)Integrando tra le quote z1 e z2 in un fluido a densità costante:

∆p = −ρg∆h (30)

∆h = z2 − z1∆p = p2 − p1

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Prob. n. 7: ricavare il Principio di Archimede

La forza di galleggiamento che agisce su un corpo immerso in unfluido in quiete è pari al peso del fluido spostato dal corpo.

Prob. n. 8: descrivere il funzionamento del barometro a

colonna di liquido

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Atmosfera standard (ISA)Ipotesi

1. L’aria è secca e si comporta come un gas più che perfetto: p =ρRT ;

2. l’aria è in quiete ed è valida la legge di Stevino: dp = −ρgdz.In base alle ipotesi:

dp

p= − g

RTdz . (31)

Per deteminare p = p(z) occorre un modello per la distribuzione ditemperatura al variare della quota T = T (z).

0–11 Km: troposfera, la temperatura decresce linearmente di 6.5gradi per chilometro;

11–20 Km: stratosfera, la temperatura rimane costante con la quota;

> 20 Km: esosfera, la temperatura aumenta con la quota.

• Questo modello descrive bene l’atmosfera nelle zone temperate.

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Troposfera

ρSL = 1.23 Kg/m3, TSL = 288 K, Tz = 6.50 · 10−3 K/m.

T = TSL − Tzz . (32)Integrando la (31) si ottiene

p

pSL=

(T

TSL

) gRTz

,ρ

ρSL=

(T

TSL

) gRTz−1

. (33)

Stratosfera

T = TST . (34)

Integrando la (31) si ottiene

p

pST=

ρ

ρST= e−

gRTz

(z−zST ) , (35)

dove zST = 11000 m, TST = T (zST ), pST = p(zST ) e ρST = ρ(zST ).

Prob. n. 9: diagrammare T , p e ρ al variare della quota

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Elementi di calcolo tensorialeSia f una grandezza in generale funzione (in un determinato do-

minio) dello spazio e del tempo f = f (x, y, z, t).

• f è una grandezza scalare quando è completamente individuataunicamente da un numero reale. Uno scalare viene anche denomi-nato tensore di ordine 0.

• f è una grandezza vettoriale quando è completamente individu-ata da un numero reale e da una direzione orientata. Un vettoreviene anche denominato tensore di ordine 1 (lo indicheremo conil simbolo f).

• f è un tensore di ordine 2 quando la sua individuazione richiede laconoscenza di due direzioni orientate (lo indicheremo con il simbolof).

In questo corso con i termini scalare, vettore e tensore ci riferiremorispettivamente al tensore di ordine 0, 1 e 2.

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Algebra dei vettori

Sia O(x1, x2, x3) una terna di riferimento cartesiana levogira di versoriσ1, σ2 e σ3.

f = (f1, f2, f3) = σifi , (36)

dove fi sono le componenti di f e σifi =∑3

i=1 σifi (convenzionedell’indice ripetuto di Einstein).

Eguaglianza

a = b⇔ ai = bi ∀i . (37)

Vettore nullo

a = 0⇔ ai = 0 ∀i . (38)

Prodotto scalare

a · b = a b cos θ = aibi , θ : angolo tra a e b. (39)

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In particolare:σi · σj = δij , (40)

dove δij = 1 se i = j altrimenti δij = 0.

fi = σi · f . (41)

Intensità o modulo del vettore

a = |a| =√aiai . (42)

Versore v di V

v =V

|V|. (43)

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Prodotto vettoriale

a× b = c ; (44)il vettore c è dato da:

c = ab sin θ , (a, b, c) terna ortogonale levogira ; (45)

c è quindi perpendicolare sia ad a che b. Si dimostra che

c =

∣∣∣∣∣∣σ1 σ2 σ3a1 a2 a3b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣ , (46)dove il determinante simbolico è calcolato con la regola di Laplace perla prima riga. Inoltre

c = σici = σiεijkajbk , (47)

dove εijk = 0 se i = j, oppure i = k, oppure j = k; εijk = ±1 se laterna (i, j, k) costituisce una permutazione di classe pari (+) o dispari(-) dei numeri 1, 2, 3.

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Si nota cheb× a = −a× b . (48)

Doppio prodotto vettoriale

c× (a× b) = a(b · c)− b(a · c) . (49)

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Calcolo differenziale vettoriale

Il vettore nabla

In un riferimento cartesiano:

∇ ≡ σi∂

∂xi. (50)

In un riferimento cilindrico O(R, θ, z) di versori (a1, a2, a3):

∇ ≡ a1∂

∂R+ a2

1

R

∂

∂θ+ a3

∂

∂z. (51)

Gradiente di uno scalare

∇f = σi∂f

∂xi. (52)

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Proprietà del gradiente di uno scalare

1. n · ∇f = ∂f∂n

; derivata direzionale di f nella direzione n, misura la

variazione (unitaria) di f nella direzione orientata n.

2. |∇f |, modulo di ∇f , dà la variazione (unitaria) massima di f .3. Il versore di ∇f dà la direzione in cui la variazione di f è massima.4. Data la superficie f (r) = cost1, ∇f è perpendicolare ad essa ed è

orientato nel verso delle f crescenti.

Divergenza di un vettore

∇ · V = ∂Vi∂xi

(53)

1r = σixi è il vettore posizione.

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Rotore di un vettore

∇× V =

∣∣∣∣∣∣∣∣σ1 σ2 σ3∂

∂x1

∂

∂x2

∂

∂x3V1 V2 V3

∣∣∣∣∣∣∣∣ = σiεijk∂Vk∂xj

. (54)

Un campo V con rotore identicamente nullo è detto irrotazionale.

Operatori differenziali di ordine superiore

Il rotore del gradiente di uno scalare è identicamente nullo:

∇× (∇f ) = 0 . (55)

La divergenza del rotore di un vettore è identicamente nulla:

∇ · (∇× V) = 0 . (56)

La divergenza del gradiente di uno scalare si chiama laplaciano:

∇2f = ∇ · ∇f . (57)

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Le funzioni scalari con laplaciano identicamente nullo si dicono ar-moniche.

Vale infine la seguente identità:

∇× (∇× V) = ∇(∇ · V)−∇2V . (58)

Campi potenziali

Un campo vettoriale V(r) si dice potenziale se esiste una funzionescalare φ(r) tale che

V = ∇φ . (59)Se un campo V(r) è potenziale allora un qualsiasi integrale di linea∫ P2P1

V · dl dipende solo dagli estremi di integrazione.

Condizione necessaria e sufficiente affinchè V sia a potenzialein R3 è che V sia irrotazionale, cioè ∇× V = 0.

Se V(r) è a potenziale allora

∇ · V = ∇2φ . (60)

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Campi solenoidali

Un campo vettoriale V(r) si dice solenoidale se esiste un altro campovettoriale A (potenziale vettore) tale che

V = ∇× A . (61)

Condizione necessaria e sufficiente affinchè V sia solenoidale è∇ · V = 0.

Il potenziale di un campo solenoidale ed a potenziale è armonico; inquesto caso il campo si dice laplaciano.

Il teorema fondamentale dell’analisi vettoriale

Sia V(r) un campo vettoriale continuo con divergenza e rotore continui,tale che per r → ∞ V si comporta come 1/r1+ε mentre |∇ · V| e|∇ × V| si comportano come 1/r2+ε dove ε > 0. Allora, a meno diun vettore costante (c1), V può essere espresso come la somma di uncampo potenziale e di uno solenoidale, cioè:

V = ∇φ +∇× A + c1 . (62)

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Calcolo tensoriale

Introduzione (diadi)

Si chiama diade la coppia di vettori

a b . (63)

• Una diade è associata a due direzioni orientate (ma non identificatada esse).

• La diade a b costituisce il risultato dell’operazione prodotto ten-soriale tra i vettori a e b.

• Il prodotto tensoriale non è commutativo: b a 6= a b.• Rappresentazione cartesiana della diade: a b = σiaibjσj, la diade è

quindi rappresentata nel riferimento cartesiano dalle 9 componentiscalari (ai bj).

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Tensore (di ordine 2)

Il tensore A è definito in un riferimento cartesiano come

A = σiAijσj . (64)

• A è stato individuato come la somma di 9 diadi coordinate.• A differenza della diade, le due direzioni orientate associate al ten-

sore A non sono esplicite.

• Il tensore è rappresentato nel riferimento cartesiano dalle 9 com-ponenti scalari Aij.

Un tensore è esprimibile con la matrice quadrata (3× 3):

A =

A11 A12 A13A21 A22 A23A31 A32 A33

(65)Aii sono le componenti normali, Aij (j 6= i) sono le componenti tan-genziali.

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Tensore trasposto

(Ã)ij = Aji . (66)

Tensore simmetrico

à = A⇔ Aji = Aij . (67)

Tensore antisimmetrico

Aji = −Aij . (68)Un tensore antisimmetrico ha necessariamente nulle le componentilungo la diagonale principale.

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Algebra dei tensori

Eguaglianza

A = B⇔ Aij = Bij . (69)

Tensore nullo

A = 0⇔ Aij = 0 . (70)

Prodotto di uno scalare per un tensore

fA = σifAijσj . (71)

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Prodotto scalare di un vettore per un tensore a sinistra

V · A = ViAijσj . (72)

Prodotto scalare di un vettore per un tensore a destra

A · V = σiAijVj . (73)

Componente vettoriale sinistra o destra

σi · A = Aijσj = di ; (74)A · σj = σiAij = sj . (75)

I 3 vettori di sono le componenti vettoriali destre di A nel riferimentoO(x1, x2, x3), mentre i 3 vettori sj sono le componenti vettoriali sin-istre.

A = σidi = siσi . (76)

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Prodotto scalare di due tensori

A · B = C = σiAikBkjσj . (77)Il prodotto scalare di due tensori è equivalente al prodotto di duematrici (3× 3) e non commuta.

˜(A · B) = B̃ · Ã . (78)

Doppio prodotto scalare di due tensori

A : B = AikBki . (79)

Prodotti vettoriali

V × A = σiεilmVlAmjσj , (80)A× V = σiεmljAimVlσj . (81)

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Traccia di un tensore

Tr(A) = Aii . (82)

La traccia del tensore è invariante (non dipende dal sistema di riferi-mento).

Tensore unitario

U =

1 0 00 1 00 0 1

(83)Si nota che, ad esempio:

V · U = U · V = V . (84)

Tensore isotropo

Si dice isotropo un tensore del tipo fU con f ∈ R.

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Applicazione: il tensore degli sforzi in un fluido in quiete

tn = n · τ . (85)τ : tensore degli sforzi;

tn: sforzo (vettore forza per unità di superficie) agente su una super-ficie elementare di normale generica n, positivo se di trazione.

Nel caso di un fluido in quiete

τ = −pU ; (86)

il tensore degli sforzi è isotropo. Infatti:

dF = n · (−pU)dS = −pndS , (87)

che è appunto la definizione di pressione idrostatica in un fluido inquiete.

• Riformulazione del Principio di Pascal: il tensore degli sforzi inun fluido in quiete è isotropo.

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Parte simmetrica, antisimmetrica e isotropa di un tensore

È sempre possibile decomporre un tensore in una parte simmetricaed una antisimmetrica A = A(s) + A(a):

A(s) =A + Ã

2, A(a) =

A− Ã2

. (88)

13Tr(A)U: parte isotropa di A.

13Tr(A) è la media aritmetica delle 3 componenti normali del tensore

ed è invariante.

A = 13Tr(A)U+A

0, dove A

0è detto parte deviatorica di A (è a traccia

nulla).

• V · A = V · 13Tr(A)U + V · A

0= 1

3Tr(A)V + V · A

0.

• A = 13Tr(A)U + A(s)

0+ A(a)

0.

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Calcolo differenziale tensorialeGradiente di un vettore

∇ V = σi∂Vj∂xi

σj . (89)

Derivata direzionale (in n) di V:

n · ∇ V = ni∂V

∂xi. (90)

Tr(∇ V) = ∇ · V . (91)

(∇ V) · V = ∇(V 2

2

). (92)

Un’identità particolarmente notevole:

V · ∇ V = ∇(V 2

2

)+ (∇× V)× V . (93)

• Dividendo la (93) per V : v · ∇ V = ∇ (V ) + (∇× V)× v .

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Divergenza di un tensore

∇ · A = ∂Aij∂xi

σj . (94)

∇ · (fA) = f∇ · A +∇f · A . (95)

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Teoremi di Gauss

Sia V(r) un campo vettoriale continuo con le derivate delle sue com-ponenti in V ∪ S, allora:∫

V∇ · VdV =

∫S

n · VdS , (96)∫V∇× VdV =

∫S

n× VdS , (97)∫V∇ VdV =

∫S

n VdS . (98)

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Sia f (r) una funzione scalare continua con le sue derivate in V ∪ S,allora: ∫

V∇fdV =

∫S

n fdS . (99)

Una definizione di ∇ indipendente dal riferimento

∇ = limV→0

1

V

∫S

n( )dS . (100)

∇f = limV→0

1

V

∫S

nfdS . (101)

∇ · V = limV→0

1

V

∫S

n · VdS . (102)

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Teorema di Stokes

Data la superficie S delimitata dal circuito C e dato V(r), un campovettoriale continuo con le derivate delle sue componenti in S∪C, allora∫

S

n · ∇ × VdS =∮C

V · dl . (103)

dl: vettore spostamento elementare lungo il circuito C.

Γ =∮C V · dl: circolazione del vettore V lungo il circuito C.

• Il teorema di Stokes lega il rotore alla circolazione.

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Equazioni di bilancio

V : volume di controllo (per ora lo si suppone fisso rispetto al riferi-mento inerziale), è il volume che contiene il sistema che si intendestudiare;

S: superficie di controllo;

n: versore localmente normale alla superficie di controllo orientatoverso l’esterno del volume.

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Una grandezza G si dice estensiva quando è associata (proporzionale)alla massa.

Una grandezza G si dice intensiva quando non è associata alla massaed è funzione solo del punto.

Massa, quantità di moto, energia, entropia sono esempi di grandezzeestensive.

Temperatura, pressione, viscosità sono esempi di grandezze intensive.

Per una grandezza estensiva è possibile formulare un’equazione di bi-lancio all’interno del volume di controllo:

Variazione di Gnell’unitàdi tempo

= Scambio di G conl’esterno

+Produzione di G

nel volume dicontrollo

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M: massa all’interno di un volume V ;

g = limV→0

G

M: grandezza G specifica (per unità di massa);

g+ = limV→0

G

V: grandezza G per unità di volume.

• La densità ρ è la massa per unità di volume.

g+ = limV→0

G

MMV

= ρg . (104)

Variazione nell’unità di tempo di G in V :

d

dt

∫VρgdV =

∫V

∂

∂t(ρg)dV .

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Il flusso di una grandezza

Il flusso ϕG

di una grandezza G dà, in intensità e direzione, la quantitàdi G che attraversa una superficie elementare, per unità di tempo e disuperficie.

• ϕG

è un vettore se G è uno scalare;

• ϕG

è un tensore se G è un vettore.

[ϕG

] =[G]

[L2][t]=

[G]

[L3]

[L]

[t], (105)

quindi è possibile esprimere il flusso come

ϕG

= g+W = ρgW , (106)

con W un vettore velocità opportuno.Nel caso della massaM:

ϕM ≡ ρV. (107)

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Scambio di G con l’esterno:∫S

n · ϕG

dS .

Produzione

ġ+ = [G][L3][t]

: produzione di G nell’unità di volume e di tempo;

ġ = [G][M ][t]

: produzione specifica di G;

ġ+ = ρġ.

Produzione di G nel volume di controllo:∫VρġdV .

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Equazione di bilancio integrale∫V

∂

∂t(ρg)dV = −

∫S

n · ϕG

dS +

∫VρġdV . (108)

Equazione di bilancio differenziale

Applicando il teorema di Gauss all’integrale del flusso nella (108):∫V

[∂

∂t(ρg) +∇ · ϕ

G− ρġ

]dV = 0 . (109)

Questo integrale è nullo qualunque sia la scelta di V se e soltanto sel’integrando è nullo, da cui l’equazione di bilancio in forma differenziale:

∂

∂t(ρg) +∇ · ϕ

G= ρġ . (110)

• La fisica del problema è racchiusa nella determinazione dell’espressionedel flusso e della produzione.

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Equazione di bilancio della massa (continuità)

g = 1, g+ = ρ;

ϕM = ρV;

ġ = 0: la massa si conserva.

Forma integrale dell’equazione di conservazione della massa:∫V

∂ρ

∂tdV +

∫S

n · ρVdS = 0 . (111)

Forma differenziale:∂ρ

∂t+∇ · (ρV) = 0 . (112)

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Rappresentazione euleriana e lagrangiana

Rappresentazione euleriana:si assumono come variabili indipendenti le coordinate dello spazio edil tempo (x1, x2, x3, t) = (r, t); il problema fluidodinamico consistenell’individuazione della generica grandezza g(r, t) in ciascun puntodel campo al variare del tempo.

Rappresentazione lagrangiana:Individuazione al variare tempo dell’evoluzione della generica grandezzadi una data particella. Indicando con R = σiXi la posizione che ladata particella assume al tempo iniziale t0, le variabili indipendentidiventano (R, τ ) con τ = t.

Per passare da una rappresentazione all’altra occorre conoscere latrasformazione

∀i = 1, 2, 3 xi = xi(X1, X2, X3, τ ), t = τ ; (113)

in forma vettoriale:r = r(R, t), t = τ . (114)

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Si assume che:

1. nessuna regione di volume finito si trasforma nel tempo in unaregione di volume nullo o infinito;

2. nel tempo volumi si trasformano in volumi, superfici in superfici,curve in curve, costituiti sempre dalle stesse particelle.

Nota l’evoluzione di una grandezza in una rappresentazione lagrangianag(R, τ ), la rappresentazione euleriana si ottiene tramite le (113) o(114):

g(r, t) = g[R(r, τ ), t] . (115)

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Derivata sostanziale

Definizione di velocità di una particella:

V = V(R, τ ) =∂r

∂τ(R, τ ) =

(∂r

∂τ

)R=cost

= σi

(∂xi∂τ

)R=cost

. (116)

Definizione di derivata sostanziale:

D

Dt=

(∂

∂τ

)R=cost

. (117)

Tenendo conto della (114), della regola di derivazione delle funzionidi funzioni:

Dg

Dt=∂g

∂t

∂t

∂τ+

(∂g

∂xi

)t=cost

(∂xi∂τ

)R=cost

. (118)

Essendo ∂t/∂τ = 1, è possibile ottenere la seguente rappresentazioneeuleriana della derivata sostanziale:

D

Dt=∂

∂t+ V · ∇ . (119)

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Flusso convettivo e diffusivo

ϕG≡ ρgV + JG (120)

1. ρgV: flusso convettivo, associato al trasporto della grandezza gcon la velocità di massa V.

2. JG: flusso diffusivo, associato al trasporto della grandezza con lavelocità molecolare relativa al moto del baricentro della particella.

È possibile definire il flusso diffusivo o con leggi fenomenologiche oricorrendo alla Teoria cinetica dei gas.

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Equazioni del bilancio in forma lagrangiana

d

dt

∫Vm(t)

(ρg)dVm = −∫Sm(t)

n · JGdSm +∫Vm(t)

ρġdVm . (121)

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Essendo (ρdVm = dM):

d

dt

∫Vm(t)

(ρg)dVm =d

dt

∫Mg(R, τ )dM =

∫M

∂g(R, τ )

∂τdM , (122)

si ha ched

dt

∫Vm(t)

(ρg)dVm =∫Vm(t)

ρDg

DtdVm , (123)

allora, sempre applicando il teorema d Gauss:∫Vm(t)

[ρDg

Dt+∇ · JG − ρġ

]dVm = 0 , (124)

valida comunque si sceglie Vm(t), per cui:

ρDg

Dt+∇ · JG − ρġ = 0 , (125)

equazione di bilancio differenziale in forma lagrangiana.

• Nell’equazioni di bilancio in forma lagrangiana compare soloil flusso diffusivo.

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Le equazioni della Fluidodinamica

Conservazione della massa (continuità)

Forma integrale dell’equazione di conservazione della massa:∫V

∂ρ

∂tdV +

∫S

n · ρVdS = 0 . (126)

Forma differenziale:∂ρ

∂t+∇ · (ρV) = 0 . (127)

Svolgendo la divergenza nella (127) si ottiene (v = 1/ρ, volumespecifico):

∇ · V = 1v

Dv

Dt; (128)

la divergenza della velocità misura la variazione percentuale nell’unitàdi tempo del volume di una particella.

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Se il flusso è incomprimibile:

∇ · V = 0 ; (129)

la conservazione della massa assicura che un campo di moto in-comprimibile è solenoidale.

Se il flusso è stazionario:

∇ · (ρV) = 0 ; (130)

la conservazione della massa assicura che in un campo di motocomprimibile e stazionario è solenoidale il vettore ρV.

Prob. n. 10: dimostrare che in flusso stazionario la por-

tata di un condotto è costante

Occorre scrivere l’equazione di conservazione della massa in forma in-tegrale per un condotto con pareti laterali impermeabili (n · V = 0).

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Bilancio della quantità di moto

g = V, g+ = ρV;

flusso diffusivo JV = −τ ;

produzione per unità di volume ḟ+ = ρg;

g = −∇Ψ, Ψ = gz energia potenziale del campo gravitazionale.Forma integrale del bilancio di quantità di moto:

d

dt

∫VρVdV +

∫S

n ·(ρVV − τ

)dS =

∫VρgdV . (131)

Forma differenziale:

∂ρV

∂t+∇ · (ρVV − τ ) = ρg . (132)

Forma integrale lagrangiana:

d

dt

∫Vm(t)

ρVdVm =∫Sm(t)

n · τdSm +∫Vm(t)

ρgdVm . (133)

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Forma differenziale lagrangiana:

ρDV

Dt−∇ · τ = ρg . (134)

• L’espressione di τ dipende dal tipo di fluido.

Modello di fluido newtoniano:

τ = −pU + µ2(∇ · V)U + 2µ(∇ V)(s)0 (135)

µ2: secondo coefficiente di viscosità del fluido.

Per i fluidi di nostro interesse µ2/µ� 1, per cui lo trascureremo:

τ = −pU + τd, (136)

τd

= 2µ(∇ V)(s)0 . (137)• Nel modello newtoniano, cos̀ı come nella maggior parte dei prob-

lemi di nostro interesse, il tensore degli sforzi è simmetrico.

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Prob. n. 11: determinare le 9 componenti del tensore

degli sforzi di un fluido newtoniano

Prob. n. 12: determinare l’espressione della forza (aero-

dinamica) che agisce su un corpo immerso in una corrente

fluida

(Non è altro che il flusso di quantità di moto attraverso il corpo).

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Conservazione dell’energia

Principio dell’equilibrio evolutivo: si assume che i tempi caratteristicidel problema fluidodinamico siano molto maggiori del tempo caratter-istico con cui il sistema termodinamico particella raggiunge il proprioequilibrio per cui, istante per istante, la particella è in equilibrio ter-modinamico.

g = e , g+ = ρe;

e = u + V 2/2 + Ψ, u è l’energia interna specifica;

flusso diffusivo Je = Ju + Jc;

legge di Fourier: Ju = −λ∇T (flusso di energia nel modo calore);λ: conducibilità termica, si misura in J/(m s K);

Jc = −τ · V (flusso di energia nel modo lavoro);ė = 0, l’energia totale si conserva.

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Forma differenziale lagrangiana

ρD

Dt

(u +

V 2

2+ Ψ

)−∇ · (λ∇T )−∇ · (τ · V) = 0 . (138)

Identità vettoriale:

∇ · (τ · V) = (∇ · τ ) · V + τ̃ : ∇ V . (139)

Il flusso di energia nel modo lavoro consta di due contributi:

1. (∇·τ ) ·V: lavoro compiuto sulla particella per effetto dello sposta-mento V;

2. τ̃ : ∇ V: contributo dovuto alla deformazione della particella.

Bilancio dell’energia cinetica

ρD

Dt

(V 2

2

)−∇ · (τ · V) = ρε̇c . (140)

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Questa equazione si può riottenere moltiplicando scalarmente per Vil bilancio di quantità di moto:

ρDV

Dt· V − (∇ · τ ) · V = ρg · V . (141)

In base alle identità vettoriali (139) e (92):

ρD

Dt

(V 2

2

)−∇ · (τ · V) = ρg · V − τ̃ : ∇ V . (142)

La produzione di energia cinetica è quindi:

ρε̇c = ρg · V − τ̃ : ∇ V . (143)

• Il bilancio di energia cinetica non è un’equazione indipendente.

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Bilancio dell’energia potenziale

ρDΨ

Dt= ρε̇p . (144)

• Il flusso diffusivo di energia potenziale è nullo.• Il potenziale (gravitazionale) dipende solo dallo spazio e non dal

tempo.

• ∇Ψ = −g.DΨ

Dt= V · ∇Ψ , (145)

per cui

ρDΨ

Dt= −ρg · V (146)

eρε̇p = −ρg · V , (147)

da confrontare con la produzione di energia cinetica.

• Il bilancio di energia potenziale non è un’equazione indipendente.

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Bilancio dell’energia interna

Si ottiene sottraendo i bilanci di energia cinetica e potenziale a quellodi energia totale:

ρDu

Dt+∇ · Ju = τ̃ : ∇ V (148)

eρε̇u = τ̃ : ∇ V , (149)

da confrontare con la produzione di energia cinetica.

• Nulla possiamo ancora dire sul segno della produzione di energiainterna.

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Bilancio dell’entropia

ρDs

Dt+∇ · Js = ρṡ . (150)

Du

Dt= T

Ds

Dt− pDv

Dt. (151)

Il bilancio di entropia si ottiene combinando il bilancio di energia in-terna e di volume specifico. Si ottiene:

ρDs

Dt=

1

Tτ̃ : ∇ V − 1

T∇ · Ju +

p

T∇ · V . (152)

Confrontando con la (150):

Tρṡ− T∇ · Js = +τ̃ : ∇ V −∇ · Ju + p∇ · V , (153)

Tρṡ−∇ · (TJs) = −Js · ∇T + τ̃ : ∇ V −∇ · Ju + p∇ · V , (154)da cui:

Js =JuT

; Tρṡ = −Js · ∇T + τ̃ : ∇ V + p∇ · V . (155)

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Per un fluido newtoniano e fourieriano si ottiene2

τ̃ : ∇ V = −p(∇ · V) + Φ , (156)Φ = 2µ(∇ V)(s)0 : (∇ V)

(s)0 . (157)

Φ: funzione di dissipazione.

Tρṡ =λ

T∇T · ∇T + Φ . (158)

Affinchè sia soddisfatto il II principio della termodinamica (la pro-duzione di entropia è positiva):

λ > 0 , µ > 0 ; (159)

il flusso termico va da zone a temperatura maggiore a zone a tem-peratura minore e l’energia cinetica (parte) si “dissipa” in energiainterna, processi entrambi irreversibili.

2Si sfruttano le seguenti identità: A0

: U = 0, A(s) : A(a) = 0.

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Le equazioni di Navier-Stokes

Caso di fluido newtoniano e foureriano.Continuità:

∂ρ

∂t+∇ · (ρV) = 0 ; (160)

quantità di moto:

ρDV

Dt+∇p = 2∇ · [µ(∇ V)(s)0 ] + ρg ; (161)

energia:

ρD

Dt

(u +

V 2

2+ Ψ

)= ∇ · (λ∇T )−∇ · (pV) + 2∇ · [µ(∇ V)(s)0 ·V] .

(162)La chiusura del sistema richiede la conoscenza delle relazioni di stato:

p = p(ρ, T ), u = u(ρ, T ), (163)

µ = µ(p, T ), λ = λ(p, T ). (164)

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Condizioni iniziali e al contorno

V(r, t0) = Vi(r), p(r, t0) = pi(r), ρ(r, t0) = ρi(r). (165)

Parete impermeabile fissa: V = 0, p =?.

• Nel caso di proprietà costanti (ρ e µ), la temperatura non comparenell’equazioni di continuità e quantità di moto.

Continuità e quantità di moto possono essere integrate indipenden-temente dall’equazione dell’energia.

L’equazione dell’energia può essere risolta, se necessario, successi-vamente, con il campo di velocità già noto.

Prob. n. 13: scrivere le equazioni scalari di Navier-

Stokes nel caso 2D a proprietà costanti (ρ, µ, λ)

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Equazioni di bilancio adimensionaliIl problema consiste nella scelta di opportune grandezze di riferi-

mento delle variabili indipendenti e dipendenti.

ḡ = g/gr;

ḡ: grandezza adimensionale;

gr: grandezza di riferimento.

• La scelta di gr è appropriata quando ḡ ≈ O(1).

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Continuità

Si assuma il flusso isoentropico (ds = 0) per cui

Dρ

Dt=

(∂ρ

∂p

)s

Dp

Dt=

1

a2Dp

Dt, (166)

a: velocità del suono.Scegliendo tr = Lr/Vr e pr = ρrV

2r il bilancio di volume specifico

(128) diventaM 2rρ̄ā2

Dp̄

Dt̄+ ∇̄ · V̄ = 0 . (167)

M 2r = V2r /a

2r: numero di Mach di riferimento.

• Mr → 0⇒ ∇̄ · V̄ = 0⇒ flusso incomprimibile.

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Quantità di moto

LrVrtr

∂(ρ̄V̄)

∂t̄+ ∇̄ · (ρ̄V̄V̄) + ∇̄p̄ = µr

ρrVrLr2∇̄ · [µ̄(∇̄ V̄)(s)0 ] +

LrgrV 2r

ρ̄ḡ .

(168)

Str =trVrLr⇒ convezione di V

instazionarieta‘, numero di Strouhal.

Rer =ρrVrLrµr

⇒ convezione di Veffetti viscosi

, numero di Reynolds.

Frr =V 2rLrgr

⇒ convezione di Vgravita‘

, numero di Froude.

1

Str

∂(ρ̄V̄)

∂t̄+ ∇̄ · (ρ̄V̄V̄) + ∇̄p̄ = 1

Rer2∇̄ · [µ̄(∇̄ V̄)(s)0 ] +

1

Frrρ̄ḡ . (169)

Scegliendo pr = ρra2r il termine di pressione diventa

1

M 2r∇̄p̄ che im-

plica un secondo significato a Mr:

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Mr ⇒convezione di V

diffusione reversibile di V.

• Combinando questi numeri caratteristici si possono misurare le im-portanze relative tra tutti i vari contributi.

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Energia

er = ur = a2r, Ψr = grLr:

ē = ū + M 2rV̄

2

2+M 2rFrr

Ψ̄ . (170)

• Ulteriore significato di M 2r e Frr.Tr = a

2r/cpr, pr = ρra

2r:

1

Str

∂(ρ̄ē)

∂t̄+∇̄·(ρ̄ēV̄) = 1

Per∇̄·(λ̄∇̄T̄ )−∇̄·(p̄V̄)+M

2r

Rer2∇̄·[µ̄(∇̄ V̄)(s)0 ·V̄] .

(171)

Prr =µrcprλr⇒ flusso lavoro viscoso

flusso termico, numero di Prandtl.

Per = RerPrr ⇒convezione di energia

flusso termico, numero di Peclet.

M 2rRer⇒ flusso lavoro viscoso

convezione di energia.

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Cinematica della particella

Traiettoria: luogo delle successive posizioni assunte da una particelladurante il suo moto, al variare del tempo.

Linea di corrente: curva inviluppo del vettore velocità nella rappre-sentazione euleriana.

Linea tracciante: luogo delle posizioni assunte, al variare del tempo,dalle successive particelle che passano per uno stesso punto.

• In regime instazionario, in generale, traiettorie, linee di correntee linee traccianti sono diverse.

• In regime stazionario traiettorie, linee di corrente e linee trac-cianti coincidono.

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Visualizzazione delle linee di corrente intorno ad un profilo NACA

tramite bolle d’aria, M∞ ≈ 0, Re∞ ≈ 6000.

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Visualizzazione (con tracciante) della formazione del vortice di distacco

al bordo di uscita di un profilo alare, M∞ ≈ 0, ReS ≈ 1000.

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Deformazione lineare della particella

uQ = uP +∂u

∂x∆x ; (172)

uP∆t + ∆x′ = ∆x + uQ∆t ; (173)

εx =∆x′ −∆x

∆x=∂u

∂x∆t ,

dεxdt

=∂u

∂x. (174)

εx: deformazione lineare (percentuale) nella direzione x;

dεxdt

: velocità di deformazione.

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Velocità angolare di rotazione della particella

α1 =∂v

∂x∆t , α2 = −

∂u

∂y∆t ; (175)

Ωz =1

2

(α1 + α2)

∆t=

1

2

(∂v

∂x− ∂u∂y

). (176)

Ω =1

2(∇× V) , ∇× V = ζ (vorticita‘) . (177)

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Deformazione angolare della particella

γxy =1

2

α + β

∆t=

1

2

(∂v

∂x+∂u

∂y

)= [(∇ V)(s)0 ]xy (178)

• Una particella trasla con velocità V, ruota con velocità angolare12∇×V, si dilata secondo ∇ ·V e si deforma secondo (∇ V)(s)0 .

• E’ newtoniano un fluido in cui sforzi tangenziali e deformazionidella particella da essi provocati sono proporzionali tra loro.

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Aerodinamica dei flussi non dissipativi(ideali)Le equazioni di Eulero

Ipotesi: Rer →∞, Prr ≈ O(1) (almeno), per cui anche Per →∞.1

Str

∂ρ̄

∂t̄+ ∇̄ · (ρ̄V̄) = 0 ; (179)

1

Str

∂(ρ̄V̄)

∂t̄+ ∇̄ ·

(ρ̄V̄V̄ + p̄U

)=

1

Frrρ̄ḡ ; (180)

1

Str

∂(ρ̄ē)

∂t̄+ ∇̄ ·

[ρ̄

(ē +

p̄

ρ̄

)V̄

]= 0 . (181)

• Scompaiono dalle equazioni tutti i termini che portano a produzionedi entropia: il fenomeno è non dissipativo; queste equazioni gov-ernano la dinamica di un fluido (o di un flusso) ideale.

• Si abbassa l’ordine di derivazione (scompaiono tutte le derivateseconde): attenzione alle condizioni al contorno.

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• In molte applicazioni aerospaziali Frr � 1, per cui può esseretrascurato sia il temine di produzione nel bilancio di quantità dimoto (che pure diventa un’ equazione di conservazione) sia l’energiapotenziale gravitazionale nel bilancio dell’energia.

Il teorema di Crocco

Accelerazione della particella:

DV

Dt=∂V

∂t+ V · ∇ V ; (182)

V · ∇ V = ∇(V 2

2

)+ (∇× V)× V ; (183)

relazione di Gibbs:1

ρ∇p = ∇h− T∇s . (184)

Sostituendo queste relazioni nel bilancio di quantità di moto e de-finendo l’entalpia totale come H = h+V 2/2 + Ψ si ottiene il teorema

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di Crocco:

∂V

∂t+∇H + (∇× V)× V = T∇s + fd . (185)

fd è la forza dissipativa per unità di massa che agisce sulla particella.

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Bilancio dell’energia cinetica:

∂

∂t

(V 2

2

)+ V · ∇H = TV · ∇s + V · fd . (186)

Ipotesi:

1. flusso ideale (Re→∞ e Pe→∞);2. regime stazionario.

Il bilancio dell’entropia diventa:

Ds

Dt= V · ∇s = 0 , (187)

in un flusso ideale e stazionario l’entropia è costante lungo unalinea di corrente (flusso isoentropico).

Il bilancio dell’energia cinetica diventa:

DH

Dt= V · ∇H = 0 , (188)

in un flusso ideale e stazionario l’entalpia totale è costante lungouna linea di corrente (flusso isoentalpico).

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Il teorema di Bernoulli (generalizzato)

Se l’entropia a monte è uniforme (s = s∞) allora s è costante in tuttoil campo (flusso omoentropico).

Se l’entalpia totale a monte è uniforme (H = H∞) allora H ècostante in tutto il campo (flusso omoentalpico).

Il risultato

h +V 2

2+ Ψ = cost (189)

è noto come teorema di Bernoulli (generalizzato).Il teorema di Crocco per un flusso stazionario ed ideale:

∇H + (∇× V)× V = T∇s (190)

mostra che se il flusso è anche omoentalpico ed omoentropico:

(∇× V)× V = 0 . (191)

Cioè è verificata una delle seguenti possibilità:

1. ∇× V = 0, il campo è irrotazionale ⇒ ∃ φ | V = ∇φ;2. ∇× V � V, campo alla Beltrami.

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Il teorema di Bernoulli (incomprimibile)

Relazione di Gibbs:

dh = Tds +1

ρdp . (192)

Sia M → 0⇒ ρ = cost.In un fluido isoentropico, incomprimibile la relazione di Gibbs di-

venta dh = d(p/ρ), cioè dell’entalpia può variare solo la parte legataalla pressione, mentre l’energia interna rimane costante:

in un flusso incomprimibile isoentropico la temperatura non varia.Il teorema di Bernoulli generalizzato assume allora la forma

p +1

2ρV 2 + ρΨ = cost . (193)

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Flusso incomprimibile quasi-unidimensionale

Ipotesi:

1. regime stazionario;

2. condotto orizzontale (gravità trascurabile) con deboli variazionidell’area della sezione;

3. regime incomprimibile;

4. flusso ideale (isoentropico).

V1: velocità media alla sezione di area A1;

p1: pressione media alla sezione di area A1.

Conservazione della massa:

V1A1 = V2A2 . (194)

Teorema di Bernoulli:

p1 +1

2ρV 21 = p2 +

1

2ρV 22 . (195)

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Il teorema di Bernoulli instazionario (generalizzato)

Ipotesi:

1. regime ideale omoentropico;

2. campo di moto irrotazionale.

Dal teorema di Crocco si ricava:

∇(∂ϕ

∂t

)+∇H = 0 ; (196)

integrando:∂ϕ

∂t+ h +

V 2

2+ Ψ = f (t) . (197)

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Equazioni di Eulero in coordinate intrinseche

Flusso 2D, stazionario, ideale; equazioni di Eulero:

∇ · (ρV) = 0 ; (198)ρV · ∇ V +∇p = 0 . (199)

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Coordinate intrinseche ξ = ξ(x, y), n = n(x, y):

ξ : V = V ξ; n : n ⊥ ξ . (200)

ξ = σx cos θ + σy sin θ ; (201)

n = −σx sin θ + σy cos θ . (202)

dξ = (−σx sin θ + σy cos θ)dθ = ndθ ; (203)dn = (−σx cos θ − σy sin θ)dθ = −ξdθ . (204)

In particolare si ha che∂ξ

∂ξ= ∂θ

∂ξn e

∂ξ

∂n= ∂θ

∂nn.

∇ = ξ ∂∂ξ

+ n∂

∂n. (205)

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Continuità:1

V

∂V

∂ξ+

1

ρ

∂ρ

∂ξ+∂θ

∂n= 0 . (206)

Oppure, applicando il bilancio integrale tra 2 linee di corrente:

∂(ρV A)

∂ξ= 0 . (207)

Quantità di moto:

ρV∂V

∂ξξ + ρV 2

∂θ

∂ξn +

∂p

∂ξξ +

∂p

∂nn = 0 . (208)

Poichè |∂θ/∂ξ| = |1/R|, dove R è il raggio di curvatura e proiettandonelle direzioni ξ e n si ottiene:

ρV∂V

∂ξ+∂p

∂ξ= 0 ; (209)

ρV 2

R+∂p

∂n= 0 . (210)

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1. Affinchè la velocità possa variare lungo la linea di corrente è neces-saria, lungo la stessa una variazione di pressione di segno opposto.

2. Se la linea di corrente è curva è necessario un gradiente di pressionenormale per bilanciare la forza centrifuga.

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Circuiti

Un circuito C di una regione V si dice riducibile se può essere trasfor-mato con continuità in un punto senza abbandonare la regione, altri-menti il circuito è detto irriducibile.

Una regione V si dice semplicemente connessa se contiene tutticircuiti riducibili, altrimenti la regione è detta molteplicemente con-nessa.

Teorema di Stokes: ∫S

n · ζ dS =∮C

V · dl . (211)

• La validità del teorema richiede che V sia regolare in S, cioè ilcircuito C deve essere riducibile.

• Un importante corollario del teorema di Stokes è che se V è ir-rotazionale in una regione semplicemente connessa V allora lecircolazioni di V su qualsiasi circuito di V sono nulle.

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Con degli opportuni tagli una regione molteplicemente connessa puòsempre essere trasformata in una regione semplicemente connessa .

• In un dominio reso semplicemente connesso con dei tagli non èrichiesta la continuità di una grandezza attraverso il taglio.

Due circuiti sono riconducibili se è possibile trasformare con continuitàl’uno nell’altro senza abbandonare il dominio.

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I teoremi di Helmholtz

Linea vorticosa: una curva tangente in ogni punto a ζ = ∇× V.Superficie vorticosa: una superficie con il vettore ζ tangente in ogni

suo punto.

Tubo vorticoso: L’insieme delle linee vorticose passanti per una curvachiusa che racchiude un’area finita.

Filetto vorticoso: L’insieme delle linee vorticose passanti per unacurva chiusa che racchiude un’area infinitesima.

Si definisce intensità di un tubo vorticoso il flusso di ζ attraversouna sua sezione:

Γ =

∫S

n · ζdS . (212)

I teorema di Helmholtz: l’intensità di un tubo vorticoso è lastessa in tutte le sue sezioni trasversali.

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La dimostrazione del I teorema di Helmoltz è immediata applicandoil teorema di Gauss al vettore vorticità nel volume indicato in figurae tenendo conto della solenoidalità di ζ e della definizione di tubovorticoso per cui il flusso di ζ sulla superficie laterale del cilindro ènullo.

• Conseguenze del I teorema di Helmholtz: un tubo vorti-coso o è chiuso o inizia e finisce su un confine del dominio.

Tubo vorticoso isolato: quando all’esterno del tubo il campo è irro-tazionale.

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II teorema di Helmholtz: la circolazione presa nello stessosenso intorno a due qualsiasi circuiti irriducibili e riconciliabiliche circondino un tubo vorticoso isolato una sola volta è la stessaed è uguale, in valore assoluto, all’intensità del tubo vorticoso.

Basta collegare i due circuiti con un taglio per ottenere un unico cir-cuito riducibile in un campo irrotazionale che avrà quindi circolazionetotale nulla. Essendo il contributo del taglio alla circolazione nullo(percorso 2 volte con verso contrario) ed essendo i due circuiti percorsiin verso opposto ne risulta che la loro circolazione deve coincidere.

Se si sceglie uno dei due circuiti lungo il tubo vorticoso si ottieneanche che la circolazione è pari all’intensità del tubo vorticoso che nonvaria in base al I teorema di Helmholtz.

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Velocità indotta da un vortice isolato

V(P ) =Γ

4π

∫L

k× rr3

dl . (213)

Caso di vortice infinito rettilineo:

V =Γ

2πR; (214)

R: distanza del punto P dal vortice, V giace nel piano ortogonale alvortice con verso tale che k,R,V è una terna levogira.

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Il teorema di Kelvin

Γ(t) =

∮Cm

V · dl , (215)

Cm: circuito materiale.

dΓ

dt=

d

dt

(∮Cm

V · dl)

=

∮Cm

D

Dt(V · dl) =∮

Cm

DV

Dt· dl +

∮Cm

V · dV =∮Cm

DV

Dt· dl +

∮Cm

d

(V 2

2

)=∮

Cm

DV

Dt· dl . (216)

Dal bilancio di quantità di moto:

DV

Dt= −∇(h + Ψ) + T∇s + fd ; (217)

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quindi:DΓ

Dt=

∮Cm

T∇s · dl +∮Cm

fd · dl . (218)

Teorema di Kelvin: in un flusso ideale e omoentropico lacircolazione di un circuito materiale non varia nel tempo.

Corollari

1. Tubi vorticosi, superfici vorticose e filetti vorticosi sonocostituiti sempre dalle stesse particelle. Si consideri unarbitrario circuito materiale giacente su una superficie vorti-cosa, avrà quindi circolazione nulla e per il teorema di Kelvinla circolazione rimarrà nulla al variare del tempo e data l’arbitrarietàdella scelta la superficie su cui giace il circuito continuerà adessere tangente alla vorticità ne segue che essa è ancora su-perficie vorticosa.

2. L’intensità di un tubo vorticoso non varia con il tempo.È un’ovvia conseguenza del precedente corollario.

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Flussi incomprimibili ideali

L’equazione di continuità ci assicura che il campo di velocità di unflusso incomprimibile è solenoidale quindi

∇ · V = 0 (219)

Se il campo è anche irrotazionale in un dominio semplicemente con-nesso esiste il potenziale cinetico φ : ∇φ = V.

La continuità diventa:∇2φ = 0 (220)

• Il campo di velocità è governato dall’equazione di Laplace conuna sola incognita!

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Flussi incomprimibili ideali 2DL’equazione di continuità ci assicura che il campo di velocità di un

flusso incomprimibile è solenoidale quindi

∇ · V = 0 (221)

ed inoltre esiste il potenziale vettore A tale che

V = ∇× A . (222)

La funzione di corrente

Per campi di moto bidimensionali (ci si concentra qui sul caso piano)deve risultare V3 = 0, che implica in termini di A (definizione di rotore):

∂A2∂x1− ∂A1∂x2

= 0 ; (223)

soddisfatta per A1 = A2 = 0.

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Si definisce funzione di corrente ψ(r) l’unica componente diversa dazero del potenziale vettore di un campo bidimensionale:

ψ(r) = A3 . (224)

In un riferimento cartesiano O(x, y) le componenti (u, v) di V sonodate da

u =∂ψ

∂y; v = −∂ψ

∂x. (225)

In un riferimento polare O(r, θ) le componenti (Vr, Vθ) di V sono dateda

Vr =1

r

∂ψ

∂θ; Vθ = −

∂ψ

∂r. (226)

• Un campo di cui è data la funzione di corrente è certamente solenoidalema non irrotazionale;

irrotazionalità ⇒ ∇2ψ = 0.• Un campo di cui è dato il potenziale φ è certamente irrotazionale

ma non solenoidale;solenoidalità ⇒ ∇2φ = 0.

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Proprietà della funzione di corrente

1. L’equazione di una linea di corrente è data da

dy

dx=v

u, (227)

in termini di ψ questa relazione diventa:

∂ψ

∂xdx +

∂ψ

∂ydy = dψ = 0 ; (228)

la funzione di corrente è costante lungo una linea di corrente.

2. Il flusso di V attraverso una curva che congiunge due punti A eB di versore tangente t = (t1, t2) (quindi versore normale dato dan = (t2,−t1) è dato da:∫ B

A

V · ndt =∫ BA

∇ψ · dt =∫ BA

dψ = ψ(B)− ψ(A) . (229)

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Il problema matematico

Ipotesi:

1. flusso 2D piano e stazionario ⇒ f = f (x, y);2. ρ = cost ⇒ ∇ · V = 0;3. flusso ideale;

4. corrente uniforme.

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• Le ipotesi ci assicurano che il campo di velocità è solenoidale (in-comprimibilità) ed irrotazionale (ideale e corrente uniforme).

• Il problema è governato dall’equazione di continuità (equazione diLaplace):

∇2φ = 0 . (230)

In coordinate cartesiane:

∂2φ

∂x2+∂2φ

∂y2= 0 . (231)

In coordinate polari:

∂2φ

∂r2+

1

r2∂2φ

∂θ2+

1

r

∂φ

∂r= 0 . (232)

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Condizioni al contorno

1. All’infinito:limr→∞∇φ = V∞ ; (233)

2. sul corpo di equazione nota y = yu(x), y = yl(x):

∇φ · n = 0. (234)

Problema ben posto: esiste una soluzione unica per φ continua intutto il campo (a meno di una costante inessenziale).

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Il problema in termini di ψ

L’equazione da risolvere è ancora l’equazione di Laplace (con significatodiverso!). Si impone l’irrotazionalità del campo.

∇2ψ = 0 ; (235)

cambiano le condizioni al contorno. All’infinito deve verificarsi

limr→∞

∂ψ

∂y= V∞ · cosα , lim

r→∞

∂ψ

∂x= −V∞ · sinα . (236)

Sul corpoψ = cost. (237)

Campo di pressione

Noto il campo delle velocità è possibile determinare il campo di pres-sione utilizzando il teorema di Bernoulli:

p− p∞ = −1

2ρ(V 2 − V 2∞) . (238)

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Soluzioni elementari dell’equazione di Laplace

Le soluzioni dell’equazione di Laplace vengono dette funzioni armoniche.Essendo quest’equazione lineare la somma di due funzioni armonicheè ancora armonica.

• È possibile ottenere soluzioni complesse sommando più soluzionielementari.

Corrente uniforme

φ = V∞ cosα · x + V∞ sinα · y ; (239)ψ = V∞ cosα · y − V∞ sinα · x . (240)

Sorgente (o pozzo)

In coordinate polari:

φ =Q

2πln r ; ψ =

Q

2πθ . (241)

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Doppietta

Si ottiene dalla sovrapposizione al limite di una sorgente e di un pozzodi intensità uguali ed opposte mantenendo costante il prodotto k =Q∆l.

φ =k

2π

cos θ

r; ψ = − k

2π

sin θ

r. (242)

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Flusso non portante intorno al cilindro

Si sovrapponga una corrente uniforme parallela all’asse x ad una doppi-etta con asse parallelo ad x:

ψ = V∞r sin θ −k

2π

sin θ

r= V∞r sin θ

(1− k

2πV∞r2

). (243)

Ponendo R =√k/2πV∞:

ψ = V∞r sin θ

[1−

(R

r

)2]. (244)

r →∞⇒ ψ → V∞r sin θ = ψ∞ . (245)

ψ(R, θ) = 0 . (246)

Abbiamo trovato la soluzione potenziale incomprimibile di una cor-rente uniforme che investe un cilindro di raggio R.

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Campo di velocità:

Vr =1

r

∂ψ

∂θ= V∞ cos θ

[1−

(R

r

)2]; (247)

Vθ = −∂ψ

∂r= −V∞ sin θ

[1 +

(R

r

)2]. (248)

Punti di ristagno:

V = (0, 0)⇒{P1 = (R, 0)P2 = (R, π)

(249)

Velocità sul corpo:

V (R) = |Vθ(R)| = 2V∞| sin θ| . (250)Velocità massima:

V = 2V∞ ⇒

θA =

π

2

θB =3π

2

(251)

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Prob. n. 16: disegnare le linee di corrente intorno al

cilindro non portante

Esistono fondamentalmente due tecniche:

1. risolvere l’equazione differenziale che le definisce (in coordinatecartesiane): dy

dx= v

ucon condizione iniziale (x0, y0);

2. disegnare le curve ψ = cost con diversi valori della costante.

Campo di pressione sul cilindro non portante

Definizione del coefficiente di pressione

Cp =p− p∞12ρ∞V 2∞

. (252)

Caso di flusso incomprimibile governato dal teorema di Bernoulli:

Cp = 1−(V

V∞

)2. (253)

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Coefficiente di pressione sul cilindro:

Cp(R, θ) = 1− 4 sin2 θ . (254)

La forza aerodinamica (per unità di lunghezza) agente sul

cilindro

f = −12ρV 2∞

∫ 2π0

irCp(R, θ)Rdθ , (255)

ir = (cos θ, sin θ).Portanza (per unità di lunghezza):

l = −12ρV 2∞

∫ 2π0

(1− 4 sin2 θ) sin θRdθ = 0 , (256)

risultato scontato, per la simmetria del campo di moto.

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Resistenza (per unità di lunghezza):

d = −12ρV 2∞

∫ 2π0

(1− 4 sin2 θ) cos θRdθ

= −12ρV 2∞R

[∫ 2π0

cos θdθ − 4∫ 2π

0

sin2 θ cos θdθ

]= 0 . (257)

Incontriamo per la prima volta il Paradosso di D’Alembert:la resistenza aerodinamica agente su un corpo immerso in unacorrente bidimensionale ideale è nulla.

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Vortice isolato

In coordinate polari (Γ > 0 verso orario):

φ = − Γ2πθ ; ψ =

Γ

2πln r . (258)

Flusso portante intorno al cilindro

Alla precedente soluzione intorno a cilindro non portante si aggiunga ilcampo indotto da un vortice isolato posto nell’origine del riferimento:

ψ = V∞r sin θ

(1− R

2

r2

)+

Γ

2πlnr

R. (259)

Condizioni al contorno soddisfatte:

ψ(R, θ) = 0 ; (260)

r →∞⇒ V→ V∞ . (261)

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Sono stati ottenuti infiniti campi di moto (al variare di Γ) in-torno al cilindro tutti ugualmente plausibili dal punto di vistateorico.

Velocità sul corpo:

V =

∣∣∣∣2V∞ sin θ + Γ2πR∣∣∣∣ . (262)

È possibile ottenere nella pratica un campo simile facendo ruotare ilcilindro ad una velocità angolare Ω = Γ/(2πR2) (Effetto Magnus).

Circolazione sul cilindro:∮V(R) · dl = Γ . (263)

In termini del potenziale φ:∮∇φ(R) · dl =

∮dφ = Γ⇒ φ discontinuo! (264)

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Il dominio è doppiamente connesso!

∫ BA

∇φ · dl = φ(B)− φ(A) . (265)

φ(B)−φ(A) è costante lungo il taglio (la circolazione lungo il circuito(ABED) deve essere nulla).

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Campo di velocità:

Vr =1

r

∂ψ

∂θ= V∞ cos θ

[1−

(R

r

)2]; (266)

Vθ = −∂ψ

∂r= −V∞ sin θ

[1 +

(R

r

)2]− Γ

2πr. (267)

Punti di ristagno, |Γ/4πV∞R| ≤ 1:

V = (0, 0)⇒

P1 = (R, θ1), θ1 = arcsin(− Γ

4πV∞R

)IV quadrante

P2 = (R, θ2), θ2 = arcsin(− Γ

4πV∞R

)III quadrante

(268)Punti di ristagno, |Γ/4πV∞R| > 1:

V = (0, 0)⇒

P1 = (r1,−π2), r1 =

Γ4πV∞−√(

Γ4πV∞

)2−R2

P2 = (r2,−π2), r2 =Γ

4πV∞+

√(Γ

4πV∞

)2−R2

(269)

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Linee di corrente e punti di ristagnoal variare della circolazione sul cilindro.

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Campo di pressione sul cilindro portante

Coefficiente di pressione sul cilindro:

Cp = 1−[

4 sin2 θ +2Γ sin θ

πV∞R+

(Γ

2πV∞R

)2]. (270)

La forza aerodinamica (per unità di lunghezza) agente sul

cilindro

Portanza (per unità di lunghezza):

l = −12ρV 2∞

∫ 2π0

Cp sin θRdθ = ρV∞Γ . (271)

Resistenza (per unità di lunghezza):

d = −12ρV 2∞

∫ 2π0

Cp cos θRdθ = 0 ; (272)

vale ancora il Paradosso di D’Alembert.

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Il teorema di Kutta-Zukovskij

Ipotesi: 2D, ∂∂t

= 0, Re∞ → ∞, Pe∞ → ∞, M∞ = 0, Fr → ∞,∇× V = 0, corpo impermeabile.

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Forza aerodinamica per unità di lunghezza:

f =

∫Sb

pndS (campo vicino) . (273)

Dal bilancio di q.d.m. integrale:

f = −∫Sfar

pndS −∫Sfar

ρn · V V dS (campo lontano) .(274)

V = V∞ + ∆V, p = p∞ + ∆p . (275)

Sia Sfar → S∞; su Sfar: ∆V → 0, ∆p → 0. Andremo quindi atrascurare i termini O(∆V 2) e O(∆p2). Dal teorema di Bernoulli:

∆p =1

2ρ(V 2∞ − V 2) =

1

2ρ(V∞ · V∞ − V · V) ≈ −ρV∞ ·∆V . (276)

Inoltre:

V V = (V∞+ ∆V)(V∞+ ∆V) ≈ V∞V∞+ V∞∆V + ∆V V∞ . (277)

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Quindi, essendo∫Sfar

p∞ndS = 0,∫Sfar

V∞ · ndS = 0:

f = ρ

∫Sfar

[(V∞ ·∆V)n− (n · V∞)∆V − (n ·∆V)V∞] dS . (278)

Dalla conservazione della massa∫Sfar

(n ·∆V)dS = 0, per cui

f = ρ

∫Sfar

[(V∞ ·∆V)n− (n · V∞)∆V] dS . (279)

Identità: c× (a×b) = (b · c)a− (a · c)b. Con a = n, b = ∆V, c = V∞:

f = ρV∞ ×∫Sfar

n×∆VdS . (280)

Dal teorema di Gauss∫Sfar

n× V∞dS = 0, per cui∫Sfar

n×∆VdS =∫Sfar

n× VdS . (281)

Inoltre, essendo n = (−t2, t1):

n× V = −V · t k (282)

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per cui:in un flusso stazionario, subsonico, bidimensionale generato da

una corrente uniforme ideale che investe un corpo impermeabile,la forza aerodinamica è data da:

f = ρV∞ × Γ . (283)

1. La resistenza è nulla (Paradosso di D’Alembert).

2. La portanza è proporzionale alla circolazione intorno al corpo (Γ >0 se oraria).

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La condizione di Kutta

Cos̀ı come per il cilindro anche per un corpo arbitrario immerso in unacorrente ideale è possibile ottenere infinite soluzioni potenziali variandola circolazione Γ intorno al corpo.

È possibile selezionare tra queste infinite soluzioni quella che haun reale significato fisico?

La risposta è affermativa per i corpi caratterizzati da un bordod’uscita aguzzo o cuspidato.

bordo d’uscita aguzzo, bordo d’uscita a cuspide

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fisicamente impossibile, fisicamente possibile

Condizione di Kutta:la velocità al bordo di ucita è continua; in particolare è nulla perbordi aguzzi e finita per bordi a cuspide.

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Tra gli infiniti valori della circolazione Γ deve essere scelto l’unicoche consente di soddisfare la condizione di Kutta.

Risulta univocamente determinato il campo di moto intorno alprofilo e la corrispondente portanza individuata dal teorema diKutta-Zukovskij.

Genesi della circolazione e della portanza

Si consideri un campo fluido in quiete intorno ad un profilo alare.

• V = 0⇒ Γ = 0 intorno a qualsiasi circuito materiale, in particolarerispetto ad un circuito lontano dal profilo e che lo racchiude.

• Quando il profilo comincia a muoversi, per il teorema di Kelvin, lacircolazione intorno al circuito materiale deve rimanere nulla.

Come è possibile allora che si generi circolazione e quindi portanzasul profilo che si mette in moto rispetto al fluido?

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Γ = Γ1 − Γ2 = 0⇒ Γ2 = Γ1 . (284)Il vortice che si stacca all’avvio dal bordo di uscita compensa lacircolazione che si genera intorno al profilo.

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Distribuzione lineare di vorticità

Potenziale indotto da una distribuzione lineare di vorticità:

ϕ(x, y) = − 12π

∫ c0

γ(ξ) arctany

x− ξdξ . (285)

Componenti di velocità cartesiane indotte dalla distribuzione linearedi vorticità nel punto P (x, y):

u =1

2π

∫ c0

γ(ξ)ydξ

(x− ξ)2 + y2, v = − 1

2π

∫ c0

γ(ξ)(x− ξ)dξ(x− ξ)2 + y2

.(286)

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Lungo il segmento (0, c) il campo di velocità è discontinuo.

lim∆n→0

∮V · dl = (u+ − u−)dξ = γdξ ⇒ γ = u+ − u− . (287)

Per simmetria (il campo non può cambiare se capovolgiamo la figura):

u+ = u(x, 0+) = −u− = −u(x, 0−) = γ2. (288)

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Teoria di Glauert del profilo infinitamente sottile a piccoli

angoli di attacco

Ipotesi:

1. si assegna un profilo infinitamente sottile di equazione y = C(x);

2. la curvatura del profilo è piccola: |C(x)|/c� 1 e |C ′(x)| � 1;3. il profilo è immerso in una corrente ideale, stazionaria, incomprim-

ibile ad un piccolo angolo di attacco |α| � 1.

Bisogna risolvere il problema di Laplace con le condizioni al contornodi corpo linea di corrente e corrente uniforme all’infinito. L’eventualecircolazione deve essere tale da soddisfare la condizione di Kutta.

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Si pongaφ(x, y) = φ∞(x, y) + ϕ(x, y) , (289)

dove φ∞ è il potenziale della corrente asintotica uniforme e ϕ è dettopotenziale di disturbo.

Glauert ha trovato la soluzione esprimendo ϕ come il potenziale diuna distribuzione lineare di vorticità lungo la corda del profilo:

ϕ(x, y) = − 12π

∫ c0

γ(ξ) arctany

x− ξdξ . (290)

• Questa funzione è certamente armonica per cui, con le posizionifatte, l’equazione di Laplace è risolta.

• La condizione al contorno all’infinito è certamente soddisfatta inquanto il campo indotto all’infinito dalla distribuzione lineare divorticità è nullo.

• Deve solo essere verificata la condizione di corpo impermeabile.• Essendo il disturbo piccolo rispetto alla corrente uniforme si trascur-

eranno termini quadratici del disturbo (del II ordine).

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|α| � 1⇒ φ∞ ≈ V∞x + V∞αy . (291)Per le ipotesi fatte sulla piccolezza sia di α che di C(x) il disturbo in-

trodotto dal profilo sulla corrente è piccolo, cioè la velocità di disturboindotta dalla distribuzione di vorticità è piccola rispetto alla velocitàasintotica:

|u| � V∞ , |v| � V∞ . (292)|C(x)|/c� 1 per cui la condizione al contorno sul dorso e sul ventre

del profilo può essere imposta, con errore trascurabile, direttamentelungo la corda del profilo:

∀x ∈ (0, c) : V∞α + v(x, 0±)

V∞ + u(x, 0±)= C ′(x) . (293)

(x, 0+) indica un punto del dorso del profilo, mentre (x, 0−) un puntodel ventre. Si ottiene:

∀x ∈ (0, c) : V∞α + v(x, 0±) = C ′(x)V∞ + C ′(x)u(x, 0±) . (294)

L’ultimo termine (del II ordine) può essere trascurato rispetto aglialtri.

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La condizione sul corpo diventa:

∀x ∈ (0, c) : α + v(x, 0±)

V∞= C ′(x) . (295)

In termini della distribuzione di vorticità:

∀x ∈ (0, c) : α− 12πV∞

∫ c0

γ(ξ)dξ

x− ξ= C ′(x) . (296)

Per determinare l’incognita γ(ξ) occorre risolvere questa equazioneintegrale.

• In questo caso la condizione di Kutta è γ(c) = 0.

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Trasformazione di Glauert:

ξ =c

2(1− cos θ0) , dξ = c2 sin θ0dθ0 ; x =

c

2(1− cos θ) . (297)

Si assume che C ′(x) sia sviluppabile in serie di Fourier rispetto a θ:

C ′(x) =∞∑n=0

An cos(nθ) ; (298)

dove

A0 =1

π

∫ π0

C ′(x)dθ , n ≥ 1 : An =2

π

∫ π0

C ′(x) cos(nθ)dθ. (299)

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La soluzione del problema è:

γ(θ) = 2V∞

[(α− A0) cot

θ

2+

∞∑n=1

An sin(nθ)

]. (300)

Prob. n. 17 (facoltativo): verificare che la relazione (300)

è soluzione dell’equazione integrale (296)

Integrale di Glauert:∫ π0

cos(nθ0)

cos θ0 − cos θdθ0 = π

sin(nθ)

sin θ∀n = 0, 1, 2, . . . (301)

(si ricorda inoltre che, dalle formule di prostaferesi, sin(nθ0) sin θ0 =12

cos[(n− 1)θ0]− 12 cos[(n + 1)θ0]).• Bisogna verificare che

∀x ∈ (0, c) : 12πV∞

∫ c0

γ(ξ)dξ

x− ξ= α− C ′(x) . (302)

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Lastra piana ad incidenza

La soluzione è (C(x) = C ′(x) = 0):

γ(θ) = 2V∞α cotθ

2= 2V∞α

√1− x/cx/c

. (303)

VerificaDeve essere soddisfatta l’equazione integrale:

∀x ∈ (0, c) : 12πV∞

∫ c0

γ(ξ)dξ

x− ξ= α . (304)

1

2πV∞

∫ c0

γ(ξ)dξ

x− ξ=

α

π

∫ π0

cotθ02

sin θ0cos θ0 − cos θ

dθ0

=α

π

∫ π0

1 + cos θ0cos θ0 − cos θ

dθ0 = α . (305)

C.V.D.

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Il campo di pressione(V

V∞

)2=

(1 +

u

V∞

)2+

(α +

v

V∞

)2≈ 1 + 2 u

V∞, (306)

trascurando, al solito, i termini del II ordine.

Cp = 1−(V

V∞

)2= −2 u

V∞. (307)

Un’attenta analisi della soluzione del problema di Glauert γ(θ) mettein luce che:

γ(θ) = γα(θ) + γC(θ) , (308)

γα(θ): soluzione del caso lastra piana ad incidenza α;

γC(θ): soluzione del caso linea media ad incidenza nulla.

Data la linearità del problema lo stesso risultato è valido per u, v eCp:

u(x, y) = uα + uC , v(x, y) = vα + vC ; (309)

Cp(x, y) = Cpα + CpC . (310)

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Nelle ipotesi di piccoli disturbi (profilo infinitamente sottile con pic-cola curvatura ed a bassa incidenza) è valido il principio di sovrap-posizione degli effetti: il campo di moto è ottenibile per sovrappo-sizione delle soluzioni lastra piana ad incidenza e linea media adincidenza nulla.

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Analisi della soluzione lastra piana

u

V∞(x, 0±) = ±γ(x)

2V∞= ±α

√1− x/cx/c

; (311)

Cp(x, 0±) = −2 u

V∞(x, 0±) = ∓γ(x)

V∞= ∓2α

√1− x/cx/c

. (312)

Coefficiente di pressione su una lastra piana a α = 50; soluzione di Glauert.

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• Al bordo di attacco la soluzione è singolare (dove il disturbo inrealtà non è piccolo).

• Al bordo d’uscita Cp = 0 (condizione di Kutta verificata).

I coefficienti di forza aerodinamica

n: componente della forza aerodinamica (per unità di lunghezza) iny (forza normale); n = Cn

12ρ∞V

2∞c;

a: componente della forza aerodinamica (per unità di lunghezza) inx (forza assiale); a = Ca

12ρ∞V

2∞c;

s: ascissa curvilinea lungo il profilo C(x) (dx = cos δds).

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Relazione con portanza e resistenza:

l = n cosα− a sinα , (313)d = n sinα + a cosα . (314)

Definizione di carico lungo il profilo:

∆Cp(x) = Cp(x, o−)− Cp(x, o+) = 2

γ(x)

V∞. (315)

Coefficiente di forza normale:

Cn =

∫ TELE

∆Cp(x) cos δ d

(s

c

)=

∫ 10

∆Cp(x) d

(x

c

). (316)

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• Il contributo della forza assiale alla portanza è del II ordine e puòessere trascurato.

Cl ≈ Cn cosα ≈ Cn = 2∫ 1

0

γ(x)

V∞d

(x

c

)=

2Γ

V∞c; (317)

l =2Γ

V∞c

1

2ρ∞V

2∞c = ρ∞V∞Γ . (318)

• Il teorema di Kutta-Zukovskij è verificato.

Cl ≈ 2∫ 1

0

γ(x)

V∞d

(x

c

)= 4

{∫ π0

[(α− A0) cot

θ

2+

∞∑1

An sin(nθ)

]1

2sin θdθ

}

= 4

[(α− A0)

∫ π0

cos2θ

2dθ +

1

2

∞∑1

An

∫ π0

sin(nθ) sin θdθ

](319)

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∫ π0

cos2θ

2dθ =

π

2;∫ π

0

sin(nθ) sin θdθ =

{π2n = 1

0 n > 1

Cl ≈ 4[(α− A0)

π

2+π

4A1

]= 2π

(α− A0 +

A12

)(320)

Cl ≈ Clα (α− αzl) (321)

• Per profili sottili a piccoli angoli d’attacco la curva Cl = Cl(α) èuna retta.

• Clα = 2π è il coefficiente angolare della retta di portanza ed èindipendente dal profilo.

• αzl = A0 − A1/2 è l’angolo di portanza nulla, dipende solo dallacurvatura del profilo ed è proporzionale ad essa.

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In modo analogo si calcola il momento di beccheggio (per unità dilunghezza) rispetto al bordo di attacco (positivo se cabrante) ed ilrelativo coefficiente:

mle = Cmle1

2ρ∞V

2∞c

2 . (322)

Cmle = −∫ TELE

∆Cp(x) cos δx

cd

(s

c

)= −

∫ 10

∆Cp(x)x

cd

(x

c

)= −2

∫ 10

γ(x)x

cd

(x

c

)=π

4(A2 − A1)−

Cl4. (323)

Il centro di pressione è il punto di applicazione della risultantedelle forze aerodinamiche:

− Clxcpc

= Cmle ⇒xcpc

= −CmleCl

. (324)

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Il punto rispetto al quale il momento di beccheggio è indipendentedall’angolo di attacco si chiama fuoco.

Cmc/4 = Cmle +Cl4

= −π4

(A1 − A2) . (325)

• Nei profili sottili a piccole incidenze il fuoco è posto a x = c/4.

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Le forze aerodinamiche nel caso di lastra piana

• αzl = 0;• Cl = 2πα;• Cmle = −Cl/4;• xcp = c/4;• Cmc/4 = 0.

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• Re∞ � 1, M∞ � 1;• esiste un ampio intervallo

degli angoli di attacco incui i risultati della teoria diGlauert sono in ottimo ac-cordo con i dati sperimentali.

• Clα = 2π;• αzl può essere facilmente cal-

colato nota la linea media;

• Cmc/4 può essere facilmentecalcolato nota la linea media.

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Il profilo sottile simmetrico a incidenza nulla

Equazione del profilo:y = ±T (x) , (326)

T (x)� 1, +: dorso, −: ventre.

φ(x, y) = V∞x + ϕ(x, y) ; (327)

ϕ(x, y) =1

2π

∫ c0

σ(ξ) ln√

(x− ξ)2 + y2 dξ , (328)

Il potenziale del disturbo è dato da una distribuzione lineare di sorgentilungo la corda di intensità

σ(x) = 2V∞T′(x) . (329)

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Come nel caso linea media ad incidenza, occorre verificare che lacondizione al contorno sul corpo sia verificata (imposta lungo la corda):

∀x ∈ (0, c) : vV∞

(x, 0±) = ±T ′(x) . (330)

Poichè i campi indotti da un vortice e da una sorgente sono ortogonalirisulta3:

v(x, 0±) = ±σ(x)2

; (331)

con σ(x) = 2V∞T′(x) la condizione (330) è ovviamente soddisfatta.

• Il campo di moto è singolare al bordo d’attacco (dove il disturbo ègrande).

• ∆Cp(x) = 0, Cl = 0 e Cmle = 0.• Campi di moto non portanti possono essere descritti con distribuzioni

di sorgenti e pozzi.