UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI FEDERICO II FACOLTÀ DI INGEGNERIA – LAFIDIN

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Corso di Laurea in Ingegneria per l’Ambiente e il Territorio

Corso di Laboratorio di Fisica Sperimentale

Prof. M.Valentino - Tutor Ing. G.Tamasi

Appunti dalle lezioni A.A. 2001/2002

Grandezze fisiche

Per Scienza si intende l'insieme di conoscenze su un determinato argomento basate su valutazioni anche quantitative, generalmente di tipo numerico. Per Fenomeno si indica qualsiasi fatto o avvenimento esterno percepito od osservato direttamente per mezzo di dispositivi e strumenti. La conoscenza della natura deve essere oggettiva, cioè indipendente dalla persona che la acquisisce, e quindi anche i metodi per conseguirla devono avere questo carattere di assoluta oggettività. Ciò discende da un postulato fondamentale dell'indagine scientifica: i fenomeni naturali sono indipendenti, a parità di condizioni sperimentali, dal luogo e dal momento in cui vengono osservati. Nell'indagine scientifica è necessario seguire una metodologia che tenga conto di questa esigenza fondamentale. Tale metodologia può essere schematizzata nei seguenti punti: - occorre individuare o definire il fenomeno che si vuole studiare; - il fenomeno risulta descritto da un certo numero di sue caratteristiche, dette grandezze fisiche,

ognuna delle quali deve potersi valutare quantitativamente per mezzo di operazioni di confronto con un'altra grandezza ad essa omogenea, assunta come campione. Le operazioni di confronto si chiamano operazioni di misura ed i risultati ottenuti si dicono misure. Misurare una grandezza significa quindi determinare il numero che esprime il rapporto tra la grandezza ed il suo campione. Il campione viene chiamato unità di misura;

- le misure opportunamente elaborate forniscono le informazioni mediante le quali si possono determinare le modalità con cui ogni grandezza risulta, nell'ambito del fenomeno osservato, legata alle altre.

Un'operazione di misura può essere diretta o indiretta. Nel primo caso vengono individuate e misurate solo grandezze fondamentali e le relazioni tra queste risultano ancora essere grandezze fondamentali. Nel secondo caso individuate le grandezze fondamentali, misurabili direttamente, si ottengono le grandezze indirette o derivate mediante relazioni che le collegano a quelle fondamentali. Grandezze fondamentali, il Sistema Internazionale Nel sistema internazionale S.I. sono assunte come grandezze fondamentali: la massa, il tempo, la lunghezza, la corrente elettrica, la temperatura termodinamica, l'intensità luminosa, la quantità di materia. 1) Il kilogrammo [kg] è la massa del prototipo realizzato in lega di 90% di platino e 10% di iridio realizzato nel 1889. 2) il secondo [s] è la durata di 9192631770 periodi della radiazione corrispondente alla transizione tra i due livelli iperfini dello stato fondamentale dell'atomo di cesio 133 (133 Cs). 3) il metro [m] è la lunghezza pari a 1650763,73 lunghezze d'onda nel vuoto della radiazione corrispondente alla transizione tra i livelli 2p10 e 5d5 dell'atomo di kripton 86 (86 Kr). 4) l'Ampere [A] è l'intensità della corrente elettrica costante che percorrendo due conduttori paralleli, rettilinei e di lunghezza infinita, di sezione circolare e di diametro infinitesimo, posti alla distanza di 1 metro l'uno dall'altro nel vuoto, produce fra i conduttori una forza uguale a 2.10-7 N per metro di lunghezza. 5) il kelvin [K] è la frazione di 1/273,16 della temperatura termodinamica del punto triplo dell'acqua. 6) la candela [cd] è l'intensità luminosa nella direzione perpendicolare di una superficie di 1/600000 di m2 di un corpo nero alla temperatura di solidificazione del platino sotto la pressione di 101325 Pa (pressione atmosferica al livello del mare)

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7) la mole [mol] è la quantità di materia di un sistema che contiene tante entità elementari quanti sono gli atomi di 0,012 kg di carbonio 12, le entità devono essere specificate e possono

essere atomi, molecole, ioni, elettroni, o altre particelle. Grandezze derivate del S.I. grandezza nome e simbolo Unità di misura superficie - m2 volume - m3 velocità - m/s accelerazione - m/s2 densità - kg/m3 frequenza Hertz Hz s-1 forza Newton N Kg m s-2 Energia, lavoro, quantità di calore Joule J N m = Kg m2 s-2 potenza Watt W Kg m2 s-3 = J/s =W pressione Pascal Pa Kg m-1 s-2 = N/m2 = Pa Peso specifico - Kg m-2 s-2 = N/m3 Momento di una forza - Kg m2 s-2 = Nm Momento d'inerzia - Kg m2 Capacità termica, entropia - Kg m2 s-2 K-1 = J/K Calore specifico, entropia specifica - Kg m2 s-2 K-1 kg-1= J/(kg K) Conducibilità termica - Kg m s-3 K-1 = W/(m K) Angolo piano radiante Rad adimensionale Angolo solido Steradiante sr adimensionale Carica elettrica Coulomb C sA = C Tensione elettrica Volt V m2 kg s-3 A-1 = V Potenziale elettrico Volt V m2 kg s-3 A-1 = V Forza elettromotrice Volt V m2 kg s-3 A-1 = V Resistenza elettrica Ohm Ω m2 kg s-3 A-2 = Ω Capacità elettrica Farad F m-2 kg-1 s4 A2 = F Induttanza elettrica Henry H m2 kg s-2 A-2 = H Flusso magnetico Weber Wb m2 kg s-2 A-1= Wb Induzione magnetica Tesla T Kg s-2 A-1 = T Flusso luminoso Lumen lm Cd sr = lm illuminamento Lux lx m-2Cd sr = lx Prefissi dei multipli e sottomultipli fattore prefisso simbolo fattore prefisso simbolo 1012 tera T 10-1 deci d 109 giga G 10-2 centi c 106 mega M 10-3 milli m 103 chilo k 10-6 micro m 102 etto h 10-9 nano n 101 deca da 10-12 pico p 10-15 femto f

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Altre unità di misura di pratico utilizzo

grandezza Nome e simbolo Unità o fattore di conversione Velocità angolare - Rad/s Accelerazione angolare - Rad/s2 pressione bar 105 Pa mbar 102 Pa atm 101325 Pa Torr 133,322 Pa volume litro l 10-3 m3 Energia Elettronvolt eV 1,6021892 .10-19 J Kilowattora kWh 3,6.106 J Caloria Cal 1cal =4,1868 J potenza Cavallo vapore hp 735,498 W

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Strumenti ed errori di misura

Gli strumenti possono essere schematizzati come costituiti da: - un elemento rivelatore sensibile alla grandezza da misurare, tale elemento può interagire con

quest'ultima. - un trasduttore, il quale trasforma l'informazione ottenuta dal rivelatore in una grandezza di più

facile utilizzazione da parte dello sperimentatore. - un dispositivo che fornisce visivamente o graficamente il risultato della misura, ad esempio un

indice mobile su una scala graduata o un visualizzatore digitale. Le caratteristiche fondamentali di uno strumento di misura sono: - la sensibilità, cioè la più piccola quantità misurabile con quello strumento; - l'intervallo di funzionamento, cioè il massimo valore, detto portata, ed il minimo, detto soglia,

della grandezza da misurare che lo strumento è in grado di fornire; - la precisione, che può essere espressa dal rapporto fra l'errore massimo commesso dallo

strumento e il valore più probabile della grandezza misurata; - la prontezza, cioè la velocità con la quale lo strumento indica il valore misurato. La sensibilità è definita come il rapporto tra la risposta dello strumento R(G) e la corrispondente variazione V(G) della grandezza misurata:

S= d R(G)/d V(G) Si osservi che in generale la risposta non dipende linearmente dal valore misurato e pertanto la sensibilità è funzione del valore V(G). In ogni strumento esiste un limite alla accuratezza con cui può essere rilevata la risposta, ciò comporta che l'osservatore annoterà un valore compreso tra R(G) -∆R(G) e R(G) +∆R(G). Questa incertezza si ripercuote sul valore della grandezza misurata, in particolare si ottiene una misura data da M(G)- ∆V(G) e M(G)+ ∆V(G), dove M(G) rappresenta il valore vero della misura. In definitiva si esprime l'indeterminazione nel seguente modo:

M(G)± ∆V(G)

La quantità 2∆V(G) è detta errore di sensibilità dello strumento. In alcuni strumenti R(G) può assumere valori continui, in altri valori discreti; per esempio un righello, un tester o un oscilloscopio sono del primo tipo, mentre un cronometro a lancetta o uno strumento digitale sono del secondo tipo. In quest'ultimo caso l'errore di sensibilità 2∆V(G) è pari all'unità sulla cifra meno significativa. Nel primo caso invece la scala graduata fornisce direttamente l'errore di sensibilità, infatti su un righello è possibile leggere direttamente il valore della misura e l'errore di sensibilità pari alla metà della minima lunghezza apprezzabile. L'intervallo di funzionamento dello strumento stabilisce che al di fuori di questo vi è la possibilità di danneggiare lo strumento oppure che la sua risposta non è più legata a V(G) in modo noto o riproducibile. Si osservi che la maggior parte degli strumenti impiegati, per motivi di fisica realizzabilità, hanno una portata limitata. La precisione di uno strumento fornisce un'indicazione di quanto la R(G) non dipende solo dal valore V(G). Infatti in qualsiasi strumento non possono essere trascurati alcuni effetti quali gli attriti, i giochi meccanici, le fluttuazioni elettriche, i disturbi elettromagnetici, gli effetti termici etc, tali effetti fanno sì che la risposta R(G) non sia sempre la stessa a parità di sollecitazione applicata. In conseguenza di ciò i risultati M(G) di varie operazioni di misura eseguite nelle stesse condizioni sperimentali non sono sempre identici in corrispondenza dello stesso valore V(G).

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Si osservi a tal proposito il grafico 1, in esso sono riportati i valori M(G) in corrispondenza dello stesso valore V(G) raccolti con due strumenti di precisione differente in N prove.

0 5 10 15 20 25 300,0

0,5

1,0

1,5

2,0

strumento a strumento b

valo

re (u

.a.)

N

Grafico 1 I valori delle misure dello strumento a hanno una distribuzione molto maggiore rispetto a quelli relativi allo strumento b, nel senso che sono molto più sparpagliate intorno al valor medio. Si noti che entrambi gli insiemi hanno un valore medio pari ad 1. Nel caso a possiamo apprezzare una larghezza della distribuzione pari a 1,25 mentre per il caso b circa 0,65. Quanto minore è la larghezza della distribuzione tanto più lo strumento fornisce misure ripetibili e tanto migliore è la qualità delle misure fornite da esso. Per convenzione si stabilisce che la precisione è una quantità inversamente proporzionale alla larghezza della distribuzione. Nel caso precedente abbiamo quindi che la precisione dello strumento a ∝1/1,25 =0,8, mentre nel secondo caso è ∝1/0,65 =1,5. Spesso accade che l'errore di sensibilità risulta più piccolo della larghezza della distribuzione delle misure, in questi casi è necessario ripetere più volte l'operazione di misura per determinare il valore medio e la larghezza della distribuzione delle misure. Per queste ragioni spesso gli strumenti vengono costruiti in modo che l'errore di sensibilità e la larghezza di distribuzione delle misure siano confrontabili. In questo caso è indifferente parlare di sensibilità o di precisione ed è per questo che le due grandezze, concettualmente diverse, vengono spesso confuse tra loro. La prontezza di uno strumento è legata al tempo necessario perché lo strumento risponda ad una data variazione della sollecitazione. Quanto minore è questo tempo, detto tempo caratteristico, tanto maggiore è la prontezza. Si osservi che quanto minori sono i tempi di variazione della grandezza fisica G rispetto al tempo caratteristico dello strumento, tanto peggio lo strumento riesce ad evidenziare tali variazioni e, nei casi limite non lo farà affatto. Ad esempio un voltmetro con tempo caratteristico di 0,5 s non riesce a misurare differenze di potenziale che varino in meno di 4-5s; un oscilloscopio riesce invece a misurare differenze di potenziale variabili anche in tempi di 10-8 s.

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Distribuzione delle misure

Come accennato precedentemente quando l'errore di sensibilità risulta inferiore alla larghezza di distribuzione delle misure, è necessario ripetere più volte le misure in quanto la M(G) risulta affetta sia dagli errori della misura della grandezza G che da quelli strumentali. La variabilità della M(G) si evidenzia mediante dei grafici detti istogrammi. Questo grafico si realizza ponendo sulle ascisse i valori delle M(G) spaziati con passo non inferiore a 2∆V(G), e sulle ordinate il numero N delle misure il cui valore è compreso nell'intervallo corrispondente. Con riferimento all'insieme dei dati dello strumento a, possiamo realizzare il relativo istogramma nel seguente modo: nella tabella sono riportati i dati di misura rappresentati nel grafico 1.

N M(G) 1 1,505 2 1,759 3 0,857 4 0,516 5 0,914 6 1,327 7 0,427 8 0,963 9 1,697 10 0,139 11 1,647 12 0,525 13 0,849 14 0,796 15 1,047 16 1,176 17 0,888 18 1,038 19 0,908 20 0,386 21 1,185 22 1,412 23 0,808 24 1,279 25 0,568 26 0,386 27 1,089 28 0,501

Tab 1

L'istogramma relativo sarà una funzione f(M(G)) che rappresenta il numero di volte che una data misura M(G) ricorre in un intervallo di larghezza 2∆V(G) fissato. Supponiamo di avere una sensibilità pari a 2∆V(G)=0,6, allora l'istogramma sarà quello di figura 2:

7/7

0,0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,80

2

4

6

8

10

12

14

0,6

N

M(G)

strumento a

Figura 2 Dalla figura 2 si osserva immediatamente che 8 valori cadono nell'intervallo centrato in 0,3 e largo 0,6, 13 valori cadono nell'intervallo centrato in 0,9 e 7 in quello centrato in 1,5. Come si modifica l'istogramma se consideriamo un intervallo 2∆V(G) pari a 0,3? Per rappresentare sinteticamente la distribuzione delle misure M(G) si introducono due grandezze, la media aritmetica )(GM e la deviazione standard s, date rispettivamente da:

n

MM i

i∑= (1)

( )

1

)( 2

−

−=∑

n

GMMs i

i

(2)

dove gli Mi sono i valori delle singole misure ed n è il loro numero totale. Il significato della (1) è immediato mentre vale la pena sottolineare che la (2) tiene conto di quanto ogni misura è diversa dalla )(GM in sostanza fornisce il grado di variabilità delle misure intorno al valore medio. Inoltre si osservi che quanto maggiore è n tanto migliore sarà l'informazione che si ottiene sulla distribuzione delle Mi. Nel caso in cui le cause di non riproducibilità sono in gran numero e i loro effetti sono dello stesso ordine di grandezza ed hanno uguale probabilità di assumere valori maggiori o minori della media, allora la funzione f(M(G)) assume una forma simmetrica a campana. Tale curva è caratterizzata da due valori: la media e la deviazione standard, essa prende il nome di curva di Gauss o gaussiana. In figura 3 viene mostrata tale curva riferita alla distribuzione dei valori misurati dallo strumento a.

8/8

0,0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,80

2

4

6

8

10

12

14

0,6

N

M(G)

strumento a f(M(G))

Figura 3

In riferimento alla curva mostrata in figura 3 si dimostra che la probabilità che una singola misura assuma un valore compreso nell'intervallo ( )(GM -s, )(GM +s) è circa del 68%, nell'intervallo ( )(GM -2s, )(GM +2s) è del 96% e nell'intervallo ( )(GM -3s, )(GM +3s) è circa del 99,7%. Le caratteristiche della curva descritte sono del tutto generali e si applicano in tutte le operazioni di misura di una grandezza fisica. Nel caso in esame otteniamo che la media )(GM =0,9498, mentre la deviazione standard s = 0,42898. Pertanto la misura ottenuta dallo strumento sarà: )(GM ± s = 0,9498± 0,42898 si osservi che l'insieme dei dati sperimentali, mostrato nella Tab 1, contiene 3 cifre decimali, pertanto il risultato della misura dovrà contenere un equivalente numero di cifre significative, in definitiva: )(GM ± s = 0,950 ± 0,429. Errori massimi Se effettuando le misure si ottiene sempre lo stesso risultato significa che ∆V(G) è molto più grande della distribuzione s prodotta dalle fluttuazioni della grandezza fisica G e da quelle introdotte dall'apparato di misura a causa della sua limitata precisione. In pratica pur sapendo che all'interno dell'intervallo di sensibilità dello strumento 2∆V(G) si avrebbe una distribuzione di valori, non si ha alcuna informazione per valutare il valore medio né la distribuzione s. In questo caso si assume ∆V(G) come errore massimo e il risultato della misura sarà:

M(G)± ∆V(G) In tutti gli altri casi l'errore massimo ∆V(G) può essere valutato a partire dall'insieme dei dati raccolti come ∆V(G)= (Vmax-Vmin)/2.

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Errori statistici Nel caso in cui ∆V(G) << s ripetendo le misure otterremo valori diversi il cui istogramma approssima tanto meglio la distribuzione che rappresenta, generalmente una gaussiana, quanto più ∆V(G) è minore di s. In questo caso s è detto errore statistico e il risultato della misura sarà:

)(GM ± s Si presentano dei casi in cui ∆V(G) e s sono confrontabili. In questo caso ripetendo le misure si hanno ancora valori diversi, ma l'istogramma risulta fatto su pochi intervalli e ciò porta a perdere i dettagli della distribuzione e a valutazioni di )(GM ed s errate quanto minore è il numero degli intervalli. Errore relativo L'entità di un errore si può valutare definendo i seguenti rapporti er(G) = ∆V(G)/M(G) nel caso di errore massimo er(G) = s(G)/ )(GM nel caso di errore statistico dove s(G) è la deviazione standard calcolata in base alla (2). Nell'esempio precedente otteniamo che l'errore relativo statistico vale s(G)/ )(GM = 0,45, in pratica questo risultato ci dice che l'incertezza della misura è del 45%. Esempio: misurando il tempo di caduta di una pallina sono state rilevate le seguenti misure con un cronometro analogico:

N M(G) 1 0,54 2 0,54 3 0,55 4 0,55 5 0,55 6 0,55 7 0,57 8 0,57 9 0,57 10 0,57 11 0,57 12 0,57 13 0,57 14 0,57 15 0,57 16 0,57 17 0,58 18 0,58 19 0,58 20 0,58 21 0,58 22 0,6 23 0,6 24 0,6 25 0,61

Tab 2

10/10

La sensibilità del cronometro analogico è S=0.01 s. La distribuzione statistica delle misure è

mostrata nell'istogramma di figura 4.

0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,620

2

4

6

8

10

misure di tempo

N

M(G)

Figura 4

L'istogramma ha una distribuzione che, come precisato in precedenza, viene ben rappresentato dalla curva di Gauss. La media può essere calcolata applicando la (1), )(GM =0,5718, si osservi che essendo la sensibilità pari a 0,01 s non ha senso esprimere gli errori con 4 cifre dopo la virgola. Pertanto la media sarà arrotondata ai centesimi: )(GM = 0,57. L'errore massimo si ottiene a partire dai dati della tabella 2: ∆V(G)= (Vmax-Vmin)/2 = (0,61-0,54)/2 = 0,035 s =0,04 s dal calcolo della deviazione standard ottenuto in base alla (2) otteniamo: s = 0,0113 =0,01 in questo caso si osservi che l'errore massimo ∆V(G) è dello stesso ordine di grandezza della deviazione standard, pertanto l'errore sulla misura può essere posto pari all'errore massimo. In definitiva avremo che il tempo di caduta sarà pari a:

)(GM ± ∆V(G) = 0,57 ± 0,04 [s] l'errore relativo ci consente di calcolare la precisione della misura che nel nostro caso sarà er(G) = ∆V(G)/ )(GM = 0,04/0,57 =0,07 =7%

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Errori sistematici

Gli errori sistematici si presentano ogni volta che misurando una grandezza nota V(G) osserviamo un valore diverso da quello effettivo. Per esempio con una bilancia misurando una massa di 100g otteniamo 101g. Se ripetendo la misura otteniamo sempre un valore maggiore o minore di quello noto allora siamo in presenza di un errore sistematico. Naturalmente nella pratica non è nota a priori la grandezza fisica da misurare V(G) e pertanto l'errore sistematico può essere presente ma non facilmente evidenziabile. Le cause di errori sistematici sono molteplici, le più comuni sono: Difetto di funzionamento dello strumento. Un caso importante è quello relativo ad un difetto di taratura. In questo caso il funzionamento dello strumento può apparire normale, in realtà non è verificata la corrispondenza prevista tra la sua risposta e il valore della grandezza. Errate condizioni di impiego. In questo caso lo strumento in sé non presenta difetti, esso può essere impiegato in modo non corretto e in particolare in condizioni in cui non è previsto che abbia la taratura giusta. Questo capita con gli strumenti che risentono dell'effetto della dilatazione termica, come quelli per misure di lunghezza (calibro) o di volume (pipette e cilindri graduati)i quali hanno una taratura giusta quando si trovano alla temperatura di 20° C. Interazione tra strumento e sistema di misura. In questo caso si osservi che la parte sensibile dello strumento viene posta in relazione col sistema fisico. Come conseguenza quest'ultimo, in linea di principio, ne risulta sempre modificato. In pratica il sistema in studio si modifica in uno nuovo comprendente come parte non trascurabile lo strumento stesso. Per esempio il tester di misura sia come amperometro che come voltmetro una volta inserito in un circuito di misura preleva dal sistema in misura una certa quantità di corrente facendola circolare nelle sua resistenza interna. In questo modo modifica i valori di tensione e di corrente preesistenti alla sua inserzione, che sono proprio quelli che si voleva misurare! Disturbi Con questo termine indichiamo le risposte dello strumento non generate dalla grandezza in misura. La possibilità di risalire al valore della grandezza in misura risulta limitata e a volte compromessa nei casi peggiori. La risposta complessiva dello strumento sarà la sovrapposizione della risposta alla grandezza in misura e dei disturbi. L'effetto di un disturbo si manifesta sul valore misurato in quanto il suo valor medio si somma al valore della grandezza in esame producendo così un effetto sistematico. Inoltre le eventuali fluttuazioni si ripercuotono sul valore di misura determinando così un effetto di tipo casuale. I disturbi possono essere generati sia dallo strumento che dal modo stesso in cui viene adoperato. Per esempio in ogni circuito elettrico possono esserci delle tensioni indotte da circuiti posti nelle vicinanze o semplicemente dalle linee elettriche di potenza a frequenza di rete (50Hz). Altri tipi di disturbo invece traggono origine da proprietà intrinseche della materia, come quello generato dall'agitazione termica delle cariche elettriche di conduzione, chiamato rumore termico. Si osserva che questo effetto produce ai capi di un conduttore una differenza di potenziale (ddp) di ampiezza casuale e quindi di valore medio nullo, senza una frequenza fissa.

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Propagazione degli errori Precedentemente ci siamo occupati delle misure e degli errori di misura di grandezze

misurabili direttamente. Oltre a queste misurabili direttamente con gli strumenti esistono delle grandezze Z legate alle prime da una generica relazione del tipo

Z=f(G)

Si può ottenere una misura, chiamata indiretta o derivata, inserendo le misure dirette nella corrispondente relazione

M(Z)= f(M(Gi)) Gli errori casuali sulle M(Gi) si propagano sulla misura indiretta di Z secondo modalità che dipendono dalla loro natura, a seconda che siano errori massimi o statistici, oltre che in modo dipendente dalla forma funzionale di f. Per esempio per trovare l'area di un rettangolo dobbiamo misurare la sua lunghezza a e la sua altezza h quindi si calcola l'area A come il prodotto a*h. Analogamente per calcolare la velocità di un corpo è necessario calcolare la distanza percorsa d ed il tempo impiegato t e quindi calcolare il rapporto d/t. La grandezza da misurare, l'area del rettangolo e la velocità, si ottengono in due passi distinti. Anche l'errore delle grandezze da misurare si ottiene in due passi distinti. Inizialmente occorre stimare gli errori nelle grandezze misurate direttamente e quindi studiare come questi errori si propagano attraverso i calcoli per produrre un errore nel risultato finale. Nel caso dell'area del rettangolo in esame abbiamo che se la lunghezza è a ± ∆a, e l'altezza h ± ∆h, l'errore relativo dell'area sarà ∆A/A = ∆a/a + ∆h/h, da cui si calcola ∆A. In definitiva il risultato della misura dell'area sarà dato da A ± ∆A Analogamente nel caso della misura della velocità abbiamo che la misura della distanza percorsa è d ± ∆d, mentre il tempo è t ± ∆t, l'errore relativo sulla velocità sarà ∆v/v = ∆d/d + ∆t/t, in definitiva la misura della velocità è v ± ∆v. Si osservi che il risultato della propagazione dell'errore sia nel prodotto che nel quoziente è dello stesso tipo, in pratica gli errori relativi si sommano sempre. In generale tutto ciò si dimostra calcolando per la funzione f = f(x) il differenziale totale

ii i

dxxff ∑∂∂

=

che rappresenta la variazione infinitesima di f in corrispondenza di una variazione infinitesima delle xi, una relazione analoga vale per le variazioni finite ∆x purché sufficientemente piccole rispetto ad x.

ii i

xxff ∆

∂∂

≈∆ ∑ (3)

applichiamo la (3) al caso dell'area del rettangolo A= a*h:

∆A(a,h) = haahhhAa

aA

∆+∆=∆∂∂

+∆∂∂ dividendo ambo i membri per a*h otteniamo l'errore

relativo ∆A(a,h)/A(a,h)= ∆a/a + ∆h/h. si applichi la (3) per verificare che anche nel caso del quoziente si ottiene lo stesso risultato.

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Per la somma e la differenza di due grandezze fisiche otteniamo stavolta che semplicemente gli errori si sommano, infatti se f(x,y) = x+y, allora l'errore della somma sarà dato, applicando la

(3), dalla: ∆f = ∆x + ∆y. Si provi a dimostrare che un risultato analogo si ottiene nel caso in cui f(x,y) = x - y. Alcuni casi notevoli Prodotto di una grandezza misurata per un numero esatto Si voglia calcolare la lunghezza della circonferenza di un cerchio a partire dalla misura del diametro. Sappiamo che la lunghezza della circonferenza è C = π*d, pertanto l'errore relativo sulla lunghezza della circonferenza sarà, ∆C/C = π ∆d/d. Per ottenere questo risultato abbiamo assunto che il numero π ha errore ∆π nullo. Questo risultato è generalizzabile a tutti quei casi in cui abbiamo il prodotto o il quoziente di un numero per una grandezza fisica, l'errore propagato sarà semplicemente il prodotto del numero per l'errore della grandezza fisica. Potenze Nel caso della propagazione dell'errore di grandezze fisiche in forma di potenza abbiamo che l'errore sarà pari ad n volte la grandezza, dove n è l'esponente della potenza. Es. nel caso dell'energia cinetica di una particella 1/2mv2 l'errore relativo sarà ∆K/K = ∆m/m + 2∆v/v Es. vogliamo calcolare l'errore sulla misura del volume di un cubo di lato l, sappiamo che il volume del cubo è V= l3, pertanto applicando la (3) si ottiene ∆V = 3l2 ∆l, dividendo ambo i membri per il volume l3 otteniamo ∆V/V = 3 ∆l/l. Es. calcoliamo l'errore sulla misura di densità ρ = M/l3, dove M è la massa e l3 il volume ∆ρ/ρ = ∆M/M + 3 ∆l/l si osservi che l'errore relativo sul volume è lo stesso del caso precedente anche se esso compare al denominatore. In generale se a= xn, allora l'errore relativo di a sarà |n|∆x/x, dove n può essere un numero qualsiasi. Propagazione degli errori statistici Nelle sezioni precedenti abbiamo considerato la propagazione degli errori massimi. Ricordiamo che parliamo di errori massimi quando ∆V(G) è molto più grande della deviazione standard s(G). Implicitamente abbiamo assunto che la propagazione degli errori massimi ci dia la stima più pessimistica circa la precisione di una misura. In realtà si può dimostrare che nel caso in cui gli errori sono casuali e quindi di natura statistica essi devono essere sommati in quadratura. Ad esempio nel caso di errori statistici il calcolo dell'errore sulla misura di densità sarà:

( ) ( ) ( )22 /3/ lls∆+∆= ρρ

ρρ

il risultato della misura sarà ( )ρρ s± . Che il risultato ottenuto sia una stima meno pessimistica può essere dimostrato ricorrendo a semplici considerazioni geometriche.

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Infatti in un triangolo qualunque lato è minore della somma degli altri due e pertanto è sempre vero che

( ) ( ) ( ) ( llll /3//3/ 22 ∆+∆<∆+∆ ρρρρ )

( ) ( )22 /3/ ll∆+∆ ρρ

( )ρρ /∆

( )ll /3∆

Nel caso in cui abbiamo sia errori massimi che statistici, nella propagazione degli errori trasformiamo quelli statistici in massimi. Ciò si ottiene moltiplicando per 3 l'errore statistico. Infatti risulta estremamente poco probabile che uno dei valori cada fuori dall'intervallo di semiampiezza 3 s. Esempio di organizzazione della tabella di misura Supponiamo che effettuando la misura del peso di una certa massa otteniamo i seguenti valori: numero della prova, n Valore misurato, xi (g) Deviazione xi- x (xi- x )2 1 71 -0,8 0,64 2 72 0,2 0,04 3 72 0,2 0,04 4 73 1,2 1,44 5 71 -0,8 0,64 n= 5 x =71,8 2)( xxi −∑ =2,80

∆x= (73-71)/2 =1

σx =( )

84,01

2

=−

−∑n

xxi

i

Si osservi che l'errore massimo è ∆x =1 mentre la deviazione standard vale σx =0,84, pertanto possiamo supporre che gli errori siano di tipo statistico e quindi il risultato della misura sarà: x ±σx =71,8 ± 0,8 [g] l'errore relativo è e(s) = σx / x =0,01 =1% con l'errore relativo calcolato possiamo affermare che le singole misure xi sono affette da un'incertezza del 1%.

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Misure separate

Può capitare che una stessa grandezza fisica sia misurata più volte da differenti sperimentatori o addirittura in laboratori differenti. Sorge allora il problema di combinare queste misure per ottenere una singola stima. Esempio Supponiamo che in tre laboratori differenti venga misurata molte volte una resistenza di pari valore nominale. I risultati delle singole misure siano: I ) R= 11 ± 1 II) R = 12 ± 1 III) R = 10 ± 3 Il nostro compito è valutare quale sia la miglior stima per la resistenza R. La miglior stima di R si ottiene effettuando la media pesata dei valori nel seguente modo:

∑∑=

i

iibest w

RwR

dove i pesi wi = 1/σi2, mentre l'incertezza sulla misura sarà

2/1)1(∑

=

ii

best wσ

il risultato della misura è quindi bestbestR σ± numericamente abbiamo w1 = 1; w2 = 1; w3 = 1/9, quindi Rbest =11,42 ohm, mentre σbest= 0,69

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Grafici di misure

I valori di due grandezze fisiche di cui si vuole studiare la dipendenza possono essere riportate su un grafico. Questa operazione è utile per avere un quadro completo e più rappresentativo di quanto si possa ottenere con una semplice tabella. Esistono due differenze tra i grafici di funzioni analitiche e quelli di misura di grandezze fisiche: nel primo caso, per una funzione analitica, possiamo calcolare in linea di principio un numero grande a piacere di coppie di valori corrispondenti alle due variabili. Nel secondo caso il numero di coppie di valori è stabilito dal numero di misure effettuate che possono essere solo un numero limitato. Inoltre i valori delle coppie di punti di una funzione analitica possono essere dati con un numero di cifre significativo dipendente solo dalle modalità di calcolo. Al contrario per le grandezze fisiche il numero di cifre significativo dipende dalle modalità con cui sono eseguite le misure e dalle incertezze introdotte durante le stesse. Esempio Consideriamo le coppie sperimentali di valori di temperatura e tempo ottenute in una misura di prontezza del termometro come mostrate in tabella.

t (s) ± ∆ t T (°C) ± ∆ T 2 0,6 2 0,5 5 0,6 2,5 0,5 6,6 0,6 3,2 0,5 9 0,6 3,4 0,5 11 0,6 3,9 0,3 13 0,6 4,6 0,3 14,8 0,6 4,8 0,3

Il corrispondente grafico è mostrato in figura 5

0 2 4 6 8 10 12 14 160

1

2

3

4

5

6

T (° C)

t (s)

Figura 5

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Si osservi che le barre verticali rappresentano le incertezze sulle temperature così come riportate in tabella, mentre quelle orizzontali le incertezze sul tempo.

Resta ora da verificare che andamento ha sperimentalmente la funzione T = T(t). Apparentemente sembra lineare, ma se osserviamo attentamente il grafico, è intuitivo pensare che una retta di interpolazione deve giacere all'interno di tutti i rettangoli di incertezza, come mostrato in figura 6.

0 2 4 6 8 10 12 14 160

1

2

3

4

5

6

b

a

T (° C)

t (s)

Figura 6 In figura 6 sono riportate due rette a e b che soddisfano entrambe alla condizione di essere contenute all'interno dei rettangoli di incertezza. Pertanto possiamo concludere che esistono più rette che fanno al caso nostro. In realtà la retta a massimizza l'errore, mentre la b lo minimizza. Si pone il problema di trovare la migliore retta che si adatta alle misure sperimentali. Tale problema può essere rappresentato nel modo seguente: trovare la retta y = A + Bx che meglio si adatti ai dati. In pratica si tratta di trovare le costanti A e B che meglio si adattano alle coppie di valori (xn, yn). Il metodo analitico che consente di trovare la migliore retta che interpola una serie di punti sperimentali è chiamato regressione lineare o curva dei minimi quadrati per una retta.

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)

Algoritmo per il calcolo della retta ai minimi quadrati

Di seguito viene mostrato l'algoritmo di calcolo per la retta ai minimi quadrati, per una dimostrazione, che esula dagli scopi di questo corso di laboratorio, si rimanda ai corsi di statistica. Data la retta y = A +Bx le costanti A e B sono date dalle seguenti espressioni:

( )( ) ( )(

∆

−= ∑∑∑∑ iiiii yxxyx

A2

( ) ( )( )

∆

−= ∑∑∑ iiii yxyxN

B

( ) ( )22 ∑∑ −=∆ ii xxN per calcolare le incertezze sulle costanti A e B è necessario calcolare prima l'incertezza sulle yi, ciò può essere ottenuto ricorrendo alla definizione di varianza data precedentemente:

( ) 2/12

1

)2

1( ∑=

−−−

=n

iiiy bxAy

Nσ

con quest'ultima espressione calcoliamo le incertezze su A e B nel seguente modo

∆= ∑ /222iyA xσσ

∆= /22yB Nσσ

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Esempio numerico

Con i dati riportati in tabella calcoliamo la retta ai minimi quadrati, T =A + Bt

t (s) ± ∆ t T (°C) ± ∆ T A+Bt 2 0,6 2 0,5 1,97 5 0,6 2,5 0,5 2,66 6,6 0,6 3,2 0,5 3,03 9 0,6 3,4 0,5 3,58 11 0,6 3,9 0,3 4,04 13 0,6 4,6 0,3 4,5 14,8 0,6 4,8 0,3 4,91

∑ it = 61,4 = 662,6 = 24,4 = 241,96 ∑ 2

it ∑ iT iiTt∑ ∆ = 868,24

( )( ) ( )( )∆

−= ∑∑∑∑ iiiii TttTt

A2

= 1,51

( ) ( )( )∆

−= ∑∑∑ iiii TtTtN

B = 0,23

pertanto la nostra retta sarà T = 1,51 + 0,23t, i valori della T calcolati in corrispondenza dei tempi t sono riportati in tabella, il grafico della retta ai minimi quadrati così ottenuta è mostrato in figura 7 per il calcolo delle incertezze su A e B abbiamo:

( ) 2/12

1

)2

1( ∑=

−−−

=n

iiiT btAT

Nσ = 0,13

∆= ∑ /222iTA tσσ = 0,0992

2/122 )/( ∆= ∑ iTA tσσ = 0,31

∆= /22TB Nσσ

20/20

0 2 4 6 8 10 12 14 161

2

3

4

5

6

T (° C)

t (s)

Figura 7

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