Unità Didattica Pluridisciplinare: Fisica e Filosofia

Docenti: M. F. Marino e D. Pattumelli

Classe IV A Indirizzo Sociale

NEWTON

DAL MOTO DEI PIANETI

ALLA LEGGE DI

GRAVITAZIONE UNIVERSALE

LICEO CLASSICO “PROPERZIO”

INDIRIZZO SOCIALE

m. f. marino

La legge di gravitazione universale

La massa inerziale la massa gravitazionale

Concetto di campo

La considerazioni energetiche

La valutazione di Newton

Il moto dei pianeti e le leggi di Keplero

Newton e la visione Moderna del mondo

m. f. marino

La gravitazione universale

Fin dall’antichità si riteneva che la terra fosse al centro dell’universo e che le stelle ruotassero intorno ad essa. Aristotele, in particolare, convinto che l’universo fosse di origine divina, concluse che la forma dei corpi celesti e le loro traiettorie dovevano essere perfette, quindi circolari.

Nel corso dei secoli ci si accorse che le traiettorie descritte dai pianeti erano in contraddizione con la teoria del moto circolare.

Furono studiate varie teorie che spiegavano la traiettoria dei pianeti come combinazione di opportuni moti circolari.

teoria geocentrica

TEORIE

teoria eliocentrica

m. f. marino

Teoria geocentrica

La teoria più completa di tipo geocentrico fu quella di Tolomeo.

Secondo Tolomeo il moto dei pianeti si svolge su una circonferenza detta epiciclo, il cui centro ruota intorno alla terra su una seconda circonferenza detta deferente.

Negli intervalli di tempo in cui il pianeta si muove sull’epiciclo nello stesso verso dell’epiciclo sul deferente, sembra che il pianeta si muova più velocemente. Quando invece il pianeta sull’epiciclo si muove in verso opposto al moto del centro dell’epiciclo sul deferente, sembra che il pianeta si muova più lentamente e torni indietro.

Il numero delle inversioni del moto dipende dal rapporto delle velocità angolari del pianeta intorno al centro dell’epiciclo e intorno alla Terra.

m. f. marino

Claudio Tolomeo

Astronomo, matematico e geografo, visse nel II secolo d.C. La sua vita non è molto conosciuta: non sono certi né la data di nascita né il luogo. Si è potuto stabilire solo che tra il 127 e il 151 lavorò ad Alessandria e che morì dopo il 161.

Tolomeo dopo un accurato studio adattò tutte le opere di astronomia, elaborate fino a quel tempo, nella sua famosa opera ALMANEGESTO, che, per la sua completezza, venne considerata una grande enciclopedia astronomica.

Si interessò anche di ottica e di matematica.

La sua influenza sugli antichi fu grandissima, dello stesso livello di quella esercitata da Aristotele.

IL SISTEMA TOLEMAICO

m. f. marino

Teoria eliocentrica

In contrapposizione alla teoria tolemaica, l’astronomo N. Copernico, riprendendo una teoria di Aristarco (III sec. a.C.), fu il divulgatore della teoria eliocentrica, in base alla quale il Sole è immobile al centro dell’universo, mentre la Terra e i pianeti ruotano su orbite circolari intorno ad esso.

La teoria eliocentrica spiega i moti retrogradi con il fatto che i pianeti vengono osservati dalla Terra in movimento.

“… Pertanto, postulando la mobilità della terra, noi dimostreremo, forse più brevemente e convenientemente, anche ciò che a questo proposito gli astronomi antichi credevano di aver dimostrato mediante la stabilità di essa” (De Revolutionibus libro VI)

pianeta

centro dell’orbita terrestreepicicl

o

deferen

te del

pian

eta

Schema della teoria planetaria nel De Revolutionibus

centro dell’orbita terrestre

epiciclo

min

epiciclo mag

Schema della teoria planetaria nel Commentariolus

“…Egli suppone che la sfera della Luna includa la Terra con gli elementi adiacenti e che il centro del suo deferente sia il centro della terra, intorno al quale si aggiri uniformemente portando con se il centro dell’epiciclo della luna… ,al primo epiciclo aggiunge un secondo piccolo epiciclo che trasporta il corpo della luna …” (De Libris Revolutionibus di G.G:Retico)

pian

eta

m. f. marino

Nikolaus Kepperlingk (1473 – 1543).

Il nome latinizzato divenne

Nicolò Copernico

Astronomo polacco, fu fautore della teoria eliocentrica. La sua maggiore opera, De Rivolutionibus orbium coelestium, richiese circa trennt’anni di lavoro e fu pubblicata quando Copernico stava ormai per morire.

Il Sistema Copernicano

m. f. marino

Massa gravitazionale e massa inerziale

Quella che riguarda la massa inerziale e la massa gravitazionale è una questione concettuale di importanza rilevante.

Con il secondo principio della dinamica viene introdotto il concetto di massa inerziale, come

la proprietà che hanno tutti i corpi di opporsi alle variazioni del loro stato di quiete o di moto rettilineo uniforme.

Se spingiamo, per es., un libro su un tavolo, interviene la massa inerziale come misura dell’inerzia, ossia dello sforzo necessario per imprimere al libro una certa accelerazione.

Se invece teniamo in mano il libro dobbiamo applicare ad esso una forza che faccia equilibrio alla forza di gravità: qui non entra affatto la proprietà inerziale del libro, bensì la massa gravitazionale.

Se effettuiamo la misura del libro con una bilancia, non facciamo altro che equilibrare la forza di gravità; ancora entra in gioco la massa gravitazionale.

La massa gravitazionale è la proprietà dei corpi responsabile della forza di attrazione gravitazionale.

I concetti di massa inerziale e massa gravitazionale sono profondamente diversi l’uno dall’altro, tuttavia

sperimentalmente è stato provato che il rapporto:

massa gravitazionale

massa inerziale

Tale rapporto non dipende né dalla natura né dalle dimensioni del corpo.

= cost.

m. f. marino

Concetto di campo

Dall’antichità fino ai tempi di Newton si pensava che le forze si originassero a seguito di un contatto. Il concetto primitivo di forza veniva associato a una spinta, a una trazione o a un urto.

Soltanto dopo la teoria della gravitazione universale si incominciò a pensare che due corpi potevano interagire senza che vi fosse tra loro un mezzo materiale che potesse esercitare la funzione di supporto per la propagazione delle forze.

Newton cercò di capire questo nuovo aspetto delle forze senza però riuscirvi, infatti nei Principia si legge:

“Ma finora non sono riuscito a scoprire la causa di quelle proprietà della gravità… non avanzo ipotesi… È sufficiente che la gravità esista realmente, agisca secondo le leggi che abbiamo spiegato, e basti a spiegare tutti i moti dei corpi celesti”.

Poiché la forza gravitazionale e quella elettromagnetica agiscono anche attraverso lo spazio vuoto,dopo Newton si cercò di giustificare i fenomeni di interazione mediante un’azione a distanza agente istantaneamente da un corpo all’altro.

Più tardi sempre per le stesse ragioni venne inventato l’etere, mezzo imponderabile attraverso il quale

si potevano propagare le forze e quindi i corpi potevano interagire.

La teoria dell’etere rimase in voga per circa due secoli. Venne spazzata via dalla relatività di Einstein.

In contrasto con la teoria newtoniana dell’interazione istantanea fra i corpi, dopo il 1880 incominciò a farsi strada il concetto di campo, che si affermò definitivamente con le teorie di Maxwell.

Secondo la teoria dei campi, ogni effetto fisico si propaga nello spazio con velocità finita in modo che il mezzo in cui si diffonde l’azione non sia un supporto passivo. Lo spazio non è più lo sfondo puramente geometrico in cui avvengono i fenomeni, ma esprime un luogo perturbato che può essere descritto in funzione di alcune grandezze.

Un campo indica l’insieme dei valori che una data grandezza fisica assume in una regione dello spazio.

m. f. marino

Il campo gravitazionale

r

g

P

Esaminiamo il campo gravitazionale come modello tipico di campo di forza.

La Terra esercita nello spazio circostante un campo di forza, chiamato campo gravitazionale terrestre, infatti una massa m, chiamata massa esploratrice, risente nello spazio circostante, dell’azione della forza di gravità :

F = G

Dove M è la massa della Terra, r è la distanza di m dal centro della Terra.

Si definisce intensità del campo il rapporto:

g =

Tra la forza F di attrazione gravitazionale agente sulla massa m e m stessa.

Il vettore campo gravitazionale coincide in ogni punto con il vettore accelerazione di gravità, quindi nel SI la sua misura si esprime in m/s

Rappresentazione del campo gravitazionale terrestre in un punto P situato a distanza r dal centro della terra.

Mm

r2

Fm

2

A che cosa è uguale il modulo del vettore g?

Tenendo conto della forza F di attrazione e dell’intensità del campo gravitazionale si dimostra che:

g =

Dove

G è la costante di gravitazione universale

M è la massa della Terra

r è la distanza di m dal centro della Terra

g = 9,8.. m/s

GM

r 2

2

m. f. marino

G. Keplero

Giovanni Keplero

1571 - 1630

Matematico e astronomo tedesco fu convinto difensore della teoria copernicana.

Attraverso l’analisi di dati sperimentali, scoprì le tre famose leggi sul moto dei pianeti, note come le leggi di keplero

m. f. marino

Le leggi di Keplero

Keplero nel 1609 dimostrò che le orbite dei pianeti intorno al sole sono delle ellissi. Le sue famose tre leggi sintetizzano i risultati di tutti i suoi studi.

I legge

I pianeti descrivono intorno al sole orbite ellittiche di cui il sole occupa uno dei due fuochi.

Sole

F1 F2

perielio afelio

Ricordiamo che l’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali la somma delle distanze dai fuochi è costante.

II legge

Le are descritte dal raggio vettore tracciato dal Sole ai pianeti sono proporzionali ai tempi impiegati a descriverle.

Δt Δt

Sole

Le aree descritte in uguali intervalli di tempo sono uguali, qualunque sia la posizione del pianeta

m. f. marino

Leggi di Keplero

III Legge

I quadrati dei tempi impiegati dai pianeti a descrivere le proprie orbite sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle ellissi.

pianeta

a1

a2

sole

Se a1 e a2 sono i semiassi maggiori delle due ellissi descritte dai pianeti, i cui periodi di rivoluzione sono rispettivamente T1 e T2, si ha:

T1 : T2 = a1 : a2

Segue inoltre che il periodo di rivoluzione aumenta con la distanza dei pianeti dal sole

pianeta

2 2 3 3

E’ interessante vedere come dalla legge delle aree segue che la forza agente su un pianeta è di tipo centrale con il centro sul Sole.

Sole

pianeta

pianetaωΔ

t

Se ω è la velocità angolare di un pianeta in orbita intorno al sole, l’area descritta dal raggio vettore, nell’intervallo di tempo Δt, è uguale rtr

2

1

I pianeti sono trattenuti nel loro moto intorno al Sole su un’orbita circolare per effetto della forza centripeta con cui il sole li attrae.

m. f. marino

Il lavoro della forza gravitazionale

A

B

P1

P2

Il lavoro compiuto dalla forza gravitazionale

2r

MmGF

per lo spostamento della massa m da A a B è uguale alla somma dei lavori compiuti durante gli spostamenti parziali.

A

B

A’

forza gravitazionale

Il lavoro compiuto dalla forza gravitazionale quando una massa m viene spostata da A a B assume sempre lo stesso valore indipendentemente dal fatto che A e B stiano sulla stessa verticale.

AB

T rrmGML

11

Il lavoro è sempre lo stesso per una fissata coppia di punti A e B, nel senso che non varia al variare della traiettoria che unisce i due punti A e B, ma dipende dalle loro distanze rA e rB dal centro della Terra.

La forza gravitazionale è una forza conservativa

m. f. marino

1) Energia potenziale gravitazionale

r

mMGU T

La grandezza

rappresenta l’energia potenziale della massa m nel campo gravitazionale generato dalla Terra. Il lavoro può essere espresso anche in funzione dell’energia potenziale

L = UA – UB

In cui UA e UB sono i valori dell’energia potenziale in A e in B.

2) La conservazione dell’energia nel campo gravitazionale

Ricordando che il lavoro compiuto dalla risultante delle forze agenti su un punto materiale è uguale alla variazione dell’energia cinetica, possiamo esprimere il lavoro della forza gravitazionale per lo spostamento della massa m da A a B, con la relazione:

L = ECB – ECA

Dal confronto con la precedente segue che:

ECB – ECA = UA – UB

Da cui: ECB + UB = ECA + UA

Esplicitando sia l’energia cinetica che quella potenziale possiamo scrivere:

Cioè la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale assume lo stesso valore in A e in B. Più in generale possiamo affermare che durante il moto della massa m nel campo gravitazionale l’energia totale è costante:

Questa formula esprime il principio di conservazione dell’energia meccanica nel campo gravitazionale.

A

T

A

B

TB

r

mMGmv

r

mMGmv 22

2

1

2

1

ter

mMGmv T tancos

2

1 2

m. f. marino

Isaac Newton

Isacco Newton

fisico e matematico inglese

1642 - 1727

Alcune osservazioni di Lord Keynes, famoso economista e attento studioso dell’opera newtoniana:

“ A partire dal diciottesimo secolo Newton fu considerato il primo e maggiore scienziato dell’età moderna, un razionalista, un uomo che ci insegnò a pensare lungo le direttrici di una ragione fredda e pura.

[…] Newton non fu il primo rappresentante dell’età della ragione. Egli fu l’ultimo dei maghi, l’ultimo dei babilonesi e dei sumeri, l’ultima grande mente che guardò il mondo visibile e intellettuale con gli stessi occhi di coloro che cominciarono a costruire la nostra tradizione culturale un po’ meno di 10.000 anni fa. Isaac Newton, il figlio postumo nato nel giorno di Natale del 1642, senza padre, fu l’ultimo bambino miracoloso al quale i Magi potessero presentare omaggi sinceri e appropriati.”

Newton nacque a Woolsthorpe, in Inghilterra, il giorno di Natale del 1642, lo stesso anno in cui moriva Galilei. I suoi studi superiori iniziarono nel 1661 quando entrò al Trinity College di Cambridge. Nel 1664 divenne scholar e l’anno successivo otteneva il grado di Bachelor of Arts. Lo stesso anno la peste colpì l’Inghilterra e l’università venne chiusa per evitare i contagi. Newton tornò a Woolsthorpe. Qui scoprì la legge di gravitazione universale e la dinamica del sistema solare.

“Tutto ciò accadeva durante i due anni della peste del 1665 e 1666; infatti in quei giorni ero nel fiore degli anni quanto alle invenzioni, e mi occupavo di matematica e di filosofia più di che in qualsiasi altro periodo successivo” (Newton)

m. f. marino

La valutazione di newton

Newton, partendo dalle leggi di Keplero e dopo i lavori di Galilei sempre più convinto che i fenomeni della natura fossero regolati da leggi universali, riuscì a determinare la legge di gravitazione universale.

Seguiamo lo stesso procedimento ma, per semplificare i calcoli, supponiamo che le orbite descritte dai pianeti intorno al sole siano circolari anziché ellittiche.

Nel caso semplificato delle orbite circolari, le leggi di Keplero si enunciano nel modo seguente:

legge n. 1 – i pianeti descrivono intorno al Sole orbite circolari aventi tutte al centro il Sole;

legge n. 2 – il moto dei pianeti è uniforme;

legge n. 3 – i quadrati dei tempi impiegati dai pianeti a descrivere le orbite sono proporzionali ai

cubi dei raggi delle orbite.

Sole

I pianeti sono trattenuti nel loro moto intorno al Sole su un’orbita circolare per effetto della forza centripeta con cui il sole li attrae.

Dalla II legge si deduce che i pianeti hanno un’accelerazione centripeta e quindi sono soggetti alla forza centripeta diretta verso il Sole. Indicando con m la massa di un pianeta, con r e con T rispettivamente il raggio dell’orbita e il periodo, la forza centripeta è:

, con K costante universale, si ha:

mrT

F2

24

Tenendo conto che per la III legge è 32 KrT

r

mC

r

m

KF

2

24

Con C costante uguale a

KC

24

m. f. marino

La forza di attrazione del sole è direttamente proporzionale alla massa del pianeta. Per il principio di azione e reazione anche il pianeta attrae il Sole con una forza che dovrà avere la stessa intensità ed essere proporzionale alla massa M del Sole. La costante C è quindi proporzionale alla massa del Sole:

C = GM

La forza di attrazione reciproca è:

Con G costante universale.

Successivamente Newton estese la legge di attrazione tra il Sole e i pianeti a due masse puntiforme qualsiasi, formulando così la legge di gravitazione universale:

Dove G è la costante universale:

A questo risultato Newton giunse confrontando l’accelerazione della Luna lungo la sua orbita con l’accelerazione di gravità di un corpo sulla superficie terrestre.

2r

MmGF

2

21

r

mmGF

2

2

111067,6kg

mnewtonG

FF

Due corpi sferici si attraggono come due masse puntiformi, poste nel loro centro.

Nei Principia Mathematica (1687), Newton dice: “…e nello stesso anno* incominciai a pensare alla gravità estendendola all’orbita lunare. Dedussi che le forze che mantengono i pianeti nelle loro orbite dovessero essere inversamente proporzionali al quadrato delle loro distanze dai centri attorno ai quali ruotano: quindi paragonai la forza necessaria a mantenere la Luna nella sua orbita con la forza di gravità alla superficie terrestre e trovai che corrispondono abbastanza bene.”

* si riferisce al 1666, anno in cui eseguì i calcoli

d. pattumelli

“La natura e le leggi naturali giacevano nascoste nell’oscurità

della notte

Ma Dio disse: che sia Newton! E tutto fu rischiarato.”

Questi versi del poeta inglese Alexander Pope (1688-1744) documentano

la straordinaria influenza che Newton esercitò sulla cultura dei secoli

XVIII e XIX, grazie alla qualità e alla ricchezza del suo contributo

scientifico e filosofico.

NEWTON E LA VISIONE MODERNA DEL MONDO

d. pattumelli

TEMPO, SPAZIO E MOTO ASSOLUTI

Newton si propone di determinare in modo scientificamente rigoroso nozioni a tutti note, ma intorno alle quali sorgono equivoci originati proprio dal senso comune. Si tratta di nozioni fondamentali della fisica quali quelle di tempo, spazio e moto.

Per esse Newton intende superare le definizioni suggerite dall’esperienza sensibile, che conducono a concetti relativi o “apparenti” per arrivare a concetti basati su determinazioni puramente quantitative, matematiche, e quindi assoluti, veri.

• “Il tempo assoluto, vero, matematico in sé e per sua natura senza relazione ad alcunché di esterno scorre uniformemente”.

Esso non è dunque, come in Aristotele, una funzione del movimento dei corpi.

• “Lo spazio assoluto, per sua natura senza relazione ad alcunché di esterno, rimane sempre uguale e immobile”.

• “Il moto assoluto è la traslazione di un corpo da un luogo assoluto in un luogo assoluto”.

d. pattumelli

LA SOLUZIONE DEI PROBLEMI FISICI DELLA COSMOLOGIA COPERNICANA

La dottrina copernicana aveva lasciato aperti problemi nuovi, non

avvertiti nell’immagine tolemaica del mondo.

• Cosa sostiene e fa muovere i corpi celesti in assenza delle sfere

cristalline?

• Perché i corpi cadono verso il basso e non vengono proiettati nello

spazio dal moto rotatorio della terra?

La teoria newtoniana della gravitazione universale fornisce la

risposta definitiva a questi interrogativi, completando così la

rivoluzione astronomica.

d. pattumelli

LA LEGGE DELLA GRAVITAZIONE UNIVERSALE

Tutti i corpi si attraggono con una forza che è direttamente

proporzionale alle loro masse e inversamente proporzionale al

quadrato delle distanze e che dipende da una costante universale.

Si tratta di una legge generalissima, valida per tutte le parti di materia: per la

stessa forza una mela cade dall’albero e la Luna ruota attorno alla Terra.

Con essa Newton realizza l’unificazione della fisica celeste e di quella terrestre.

Essa descrive come, ossia secondo quale regola matematica, le masse si

attraggano reciprocamente. Non spiega invece perché lo facciano, cioè quale

sia l’essenza della forza di gravità che le fa avvicinare: la nuova scienza si pone

domande diverse da quelle della filosofia tradizionale.

d. pattumelli

LA RIFLESSIONE SUL METODO SCIENTIFICO

La verifica sperimentale delle teorie

• N. porta a compimento il processo di matematizzazione della ricerca scientifica

avviato da Galilei, grazie a una nuova e raffinatissima tecnica di calcolo da lui

stesso messa a punto.

• N. insiste inoltre sull’importanza dell’osservazione e della pratica sperimentale:

gli esperimenti rappresentano l’unica efficace verifica delle teorie scientifiche.

• La certezza di tali teorie tuttavia, per N., non può mai essere assoluta: occorre

accontentarsi di un elevato grado di probabilità. Le teorie fisiche risultano sempre

rivedibili e soggette alle correzioni richieste da ulteriori risultati sperimentali.

• Alla base del metodo di N. troviamo il postulato della fondamentale semplicità ed

uniformità della natura.

d. pattumelli

LA RIFLESSIONE SUL METODO SCIENTIFICO

La critica al procedimento ipotetico

• Per N. il ricorso ad ipotesi e congetture è legittimo e proficuo quando è

strettamente collegato all’esame del materiale osservativo e serve a suggerire

nuovi percorsi di ricerca, da sottoporre poi a un costante e scrupoloso

controllo sperimentale.

• N. contesta invece l’idea che sia possibile spiegare i fenomeni fisici sulla

base di ipotesi non fondate sull’osservazione e sugli esperimenti. Nei

Principia egli afferma: “hypotheses non fingo”, “io non immagino ipotesi”. Tale

affermazione è rivolta principalmente contro la pretesa dell’aristotelismo di

proporre ipotesi non verificabili circa l’essenza ultima e profonda della realtà.

• La nuova scienza rinuncia a chiedersi gli ultimi perché e si volge invece alla

descrizione, in forma di leggi matematiche, dei fenomeni osservabili.

d. pattumelli

DIO COME CAUSA INTELLIGENTE DEL MONDO

• Pur distinguendo con chiarezza il procedimento scientifico dalla

riflessione filosofica sul mondo, Newton tentò di conciliare la sua

visione scientifico-meccanicistica della realtà con l’esistenza di Dio, da

cui egli fa dipendere l’origine e il mantenimento dell’ordine cosmico.

• Per Newton il mondo, con le sue leggi matematiche, non può non

essere l’effetto del piano creativo di un Dio trascendente, infinitamente

potente e dotato di intelligenza matematica.