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TOMO IV ELETTROMAGNETISMO convenzione: i simboli in grassetto vanno frecciati

Modulo 3 I FENOMENI ELETTROMAGNETICI

Unità 3 Le correnti alternate

3.0 L’elettricità costituisce una forma di energia estremamente flessibile e conveniente, ma anche

un mezzo eccellente per elaborare informazioni e trasmetterle a distanza. Energia e informazione

sono dunque i due grandi campi di applicazione dell’elettricità, che nel corso del tempo hanno

condotto a cambiamenti radicali nel nostro modo di lavorare, di comunicare e di trascorrere il

tempo libero. Sull’informazione torneremo in seguito, mentre in questa Unità ci occupiamo

dell’energia elettrica e dei suoi impieghi.

Ma perchè diciamo che questa forma di energia è flessibile e conveniente? Perchè può

essere facilmente trasmessa a distanza attraverso conduttori elettrici e perchè ci permette di ottenere

calore (senza dover bruciare combustibili) e lavoro meccanico (senza dover usare motori termici)

dove e quando ci serve.

Dell’importanza dell’elettricità, d’altra parte, ci rendiamo veramente conto soltanto quando

viene a mancare, perchè consideriamo ovvio disporne in ogni momento. Innumerevoli prese di

corrente ci forniscono infatti l’elettricità che ci occorre per tutti i suoi impieghi. Ma da dove

proviene? In che forma ci viene fornita? In questa Unità cercheremo di rispondere a questi e altri

interrogativi.

Figura 0. La macchina lavastoviglie è un eccellente esempio di impiego pratico dell’elettricità in casa, sia come forma

di energia che come mezzo per elaborare informazioni. Il ciclo di programmazione del lavaggio viene predisposto e

attuato da un microprocessore, cioè un calcolatore realizzato interamente in un cristallo di silicio, che provvede ad

azionare in sequenza vari dispositivi. Nelle diverse fasi di funzionamento della macchina, poi, l’energia elettrica viene

trasformata in calore (riscaldando l’acqua) e in energia meccanica (azionando le pompe che prelevano l’acqua pulita ed

espellono quella sporca, i dispositivi che mescolano all’acqua il detersivo, .....). E il risultato di tutto ciò è quello di

liberarci dalla fatica di lavare i piatti.........

(fotografia di macchina lavastoviglie; meglio uno spaccato che metta in evidenza pompe, riscaldatori e altri dispositivi)

3.1 La corrente alternata

Il più semplice generatore elettrico basato sull’induzione elettromagnetica è una spira che ruota in

un campo magnetico in modo che il flusso concatenato con essa subisca delle variazioni. Queste

variazioni provocano una tensione indotta nella spira, e quindi una corrente indotta. E in effetti

questo è il principio di funzionamento degli alternatori impiegati nelle centrali elettriche.

Esaminiamo il fenomeno in termini quantitativi, considerando una spira di area S che ruota

in un campo uniforme B attorno a un asse perpendicolare alla direzione del campo, come mostrato

in figura 1. Ricordando che il flusso concatenato con la spira è dato dal prodotto di S per il prodotto

scalare di B e n ( formula (1) dell’Unità 2), possiamo scrivere: C = BS cos, chiamando

l’angolo fra B e la normale n alla superficie della spira. Se la spira ruota con velocità angolare

costante assegnando t = 0 all’istante in cui la spira si trova nella posizione a) in figura, il valore

istantaneo dell’angolo è uguale a t e si ha pertanto:

(1) C(t) = BS cost

Cioè il flusso concatenato con la spira varia periodicamente con legge sinusoidale

La tensione indotta V(t) nella spira si ricava applicando la legge di Faraday-Neumann, cioè

calcolando la derivata temporale del flusso cambiata di

segno:

cos

senCd BS td

V t BS tdt dt

Ricordiamo che le grandezze costanti

possono essere portate fuori del segno

di derivazione e che la derivata rispetto

al tempo di cos(t) è -sen(t).

2

che ponendo V0 = BS possiamo scrivere nella forma

(2) 0 senV t V t

Questa tensione, in un circuito di resistenza R, fa scorrere una corrente indotta la cui

intensità varia nel tempo corrispondentemente con la legge

(3) 0 seni t i t

dove i0 = V0/R.

Flusso concatenato, tensione indotta e corrente indotta sono tutte grandezze periodiche (

figura 2), con uguali periodo T e frequenza f, legati come segue alla velocità angolare della spira

(4) 2 1

;2

T fT

Queste grandezze, il cui segno s’inverte periodicamente e il cui valor medio è nullo, prendono il

nome di grandezze alternate. La tensione indotta nella spira è una tensione alternata, la corrente è

una corrente alternata, come quelle che ci forniscono le prese di rete usuali. In Italia e nella

maggior parte degli altri Paesi, la tensione e la corrente della rete elettrica hanno la frequenza di 50

Hz e quindi periodo di 20 ms; in Usa e in Canada la frequenza di rete è invece di 60 Hz.

Notate la differenza fra una corrente continua e una alternata: la corrente continua scorre

sempre nello stesso senso e con la stessa intensità, l’intensità di una corrente alternata varia invece

continuamente e il suo senso s’inverte due volte durante ogni periodo. Non tutte le correnti variabili

periodiche seguono però la legge sinusoidale, e del resto non tutte le correnti variabili sono

periodiche.

Negli schemi elettrici i generatori di tensione alternata si rappresentano con il simbolo

grafico .

3.2 Il valore efficace delle correnti e delle tensioni alternate

Possiamo caratterizzare una corrente o una tensione alternata dandone il valore dell’ampiezza

massima, cioè V0 e i0 nelle formule (2) e (3). Ma nella pratica si utilizza il valore efficace. Quando

per esempio diciamo che la tensione di rete è di 220 volt ci riferiamo appunto al valore efficace di

questa tensione e non alla sua ampiezza.

La definizione del valore efficace di una corrente o di una

tensione alternata è basata sull’effetto Joule che esse producono

in un conduttore ohmico. In particolare, il valore efficace di una

corrente alternata è l’intensità della corrente continua che,

attraversando lo stesso conduttore, dissiperebbe per effetto Joule

la stessa potenza della corrente alternata.

Ma che relazione c’è fra il valore efficace ieff di una

corrente alternata e la sua ampiezza i0? Per stabilirla

consideriamo la potenza istantanea dissipata in una resistenza R

da una corrente alternata i(t), rappresentata nel grafico di figura 4:

(5) P(t) = R i2(t) = R i0

2 sen

2t

Il valor medio di questa potenza, ricordando l’uguaglianza trigonometrica sen2 = (1 - cos2e

tenendo presente che la funzione coseno ha valor medio nullo, è

Quando si cominciarono a usare

le correnti alternate, nella

seconda metà dell’Ottocento, si

trovò che il modo più semplice

per caratterizzare una corrente

alternata era quello di basarsi

sull’effetto Joule. Cioè di

stabilirne l’effetto di

riscaldamento equivalente a

quello di una corrente continua di

intensità nota, utilizzando un

resistore posto in un calorimetro.

3

(6) 2 2 2 2

0 0 0

1 1( ) (sen ) cos 2

2 2P t Ri t Ri t Ri

Ma questa è anche la potenza dissipata nella stessa resistenza da una

corrente continua di intensità i = i0/√2. Concludiamo pertanto che il

valore efficace ieff di una corrente alternata di ampiezza massima i0 è:

(7) 0

2eff

ii

Per analogia, lo stesso criterio si applica a qualsiasi altra grandezza alternata che varia nel tempo

con legge sinusoidale. In particolare, il valore efficace di una tensione alternata è:

(8) 0

2eff

VV

E quindi il valor massimo della tensione di rete è 0 2 1,414 220 311effV V V . La potenza

media può quindi esprimersi come prodotto della tensione efficace per la corrente efficace:

(9) ( ) eff effP t V i

Ma questa relazione, come vedremo fra breve, vale soltanto per un circuito resistivo.

Esempio 1. Calcoliamo il valore efficace della corrente che scorre in un tostapane.

Vogliamo calcolare il valore efficace della corrente che scorre in un tostapane, conoscendo la

potenza assorbita dall’apparecchio, che rappresenta evidentemente la potenza media. Sulla targa del

tostapane leggiamo: P = 500 W. Possiamo utilizzare la formula (9) dato che il tostapane funziona

grazie all’effetto Joule prodotto da un resistore usato come riscaldatore. Conoscendo il valore

efficace della tensione di rete, Veff = 220 V, dalla formula (9) ricaviamo:

ieff = P/Veff = 500/220 = 2,27 A.

Figura 1. La spira di area S ruota in un campo magnetico uniforme B. A ogni diversa orientazione della spira

corrisponde un diverso valore del flusso concatenato, il cui andamento è mostrato nella parte (b) in funzione dell’angolo

fra B e la normale n alla spira. Il flusso è massimo (C = BS) nella

posizione 1, dove = 0; poi diminuisce, annullandosi nella posizione 2 (

= /2) e raggiungendo il minimo (C = -BS) nella posizione 3 ( = ); e

quindi riaumenta, annullandosi nella posizione 4 ( = 3/2) per poi

riassumere il valore massimo iniziale.

(Parte a): Adattare da Hecht, vol.2, pag. 734, solo la parte con le 5 posizioni

della spira, indicate con scritte 1, 2, 3, 4, 5, eliminando le frecce e le scritte

v, aggiungendo delle frecce nere con la scritta n uscenti dal centro della

spira (diretta a destra la prima in alto; diretta in basso la seconda, a sinistra

la terza e così via. Parte b), grafico che rappresenta un periodo intiero di un

coseno, indicando l’asse x con la scritta angolo e l’asse y con la scritta

flusso ; con le scritte 1, 2, 3, 4 rispettivamente in corrispondenza al

massimo iniziale della curva, al primo zero e così via. Sull’asse x tacche

indicate con , , 3/4, 2)

Figura 2. Grafici del flusso concatenato, della tensione indotta e della

corrente indotta in funzione del tempo per la spira di figura 1 (supponendo che gli estremi della spira siano collegati a

una resistenza). Si nota che la tensione indotta, in accordo con la legge di Faraday-Neumann, si annulla agli istanti di

tempo in cui il flusso ha un massimo o un minimo (e quindi la sua derivata è nulla), mentre il suo valore assoluto è

massimo agli istanti in cui il flusso varia più rapidamente (e quindi la sua derivata è massima).

Con la notazione ( )f t

indichiamo il valore medio

nel tempo della grandezza

periodica f(t), calcolato su

un periodo.

4

Figura 3. Non tutte le correnti (o le tensioni) periodiche sono sinusoidali: una corrente periodica può avere la forma di

un’onda triangolare (a), di un’onda quadra (b) o altre forme ancora. E del resto neanche tutte le grandezze variabili sono

periodiche: le tensioni che trasportano informazione,

chiamate segnali, variano infatti nel tempo

corrispondentemente alle informazioni che esse

rappresentano. Come il segnale musicale (c) oppure il

segnale binario (d), che rappresenta una sequenza di bit.

(nella parte c) aggiungere la forma d’onda di un segnale

musicale.

Figura 4. La potenza istantanea (curva rossa) dissipata

da una corrente alternata (curva blu) di ampiezza i0 in

una resistenza R varia periodicamente fra 0 e Ri02, con

valor medio Ri02/2.

3.3 Gli alternatori

Per disporre di tensioni e correnti alternate, in laboratorio come in molti impieghi pratici, si

utilizzano vari tipi di generatori, costituiti generalmente da circuiti elettronici ( figura 5). Questi

strumenti producono tensioni alternate di opportuna ampiezza, frequenza e forma. Ma le potenze in

gioco sono relativamente modeste. Un tipico generatore da laboratorio può fornire infatti tensioni e

correnti fino a circa 10 Veff e 100 mAeff.

Tensioni alternate più elevate e correnti più intense, come è necessario per esempio per

alimentare le rete elettrica, sono prodotte nelle centrali elettriche, utilizzando generatori chiamati

alternatori, che convertono in energia elettrica grandi quantità di energia meccanica. Il principio di

funzionamento di un alternatore ( figura 5bis) è lo stesso della spira ruotante in un campo

magnetico che abbiamo esaminato nel paragrafo precedente. I terminali della spira sono collegati,

mediante due contatti striscianti (A e B in figura 5bis) al circuito utilizzatore esterno, nel quale

sorrerà, come nella spira, una corrente alternata.

Naturalmente la spira, quando è percorsa dalla corrente indotta, è soggetta a forze

magnetiche che si oppongono alla sua rotazione. Perché essa possa ruotare con continuità occorre

dunque compiere lavoro, vincendo queste forze, e questo compito è affidato al motore che aziona

l’alternatore. Il risultato finale è la trasformazione in energia elettrica dell’energia meccanica fornita

dal motore.

Esempio 2. Calcoliamo l’intensità della forza magnetica che si oppone alla rotazione di una

spira in un campo magnetico.

Consideriamo una spira quadrata di lato L = 0,2 m percorsa da una corrente alternata

0 seni t i t , con i0 = 5 A e = 6,2850 rad/s, che ruota in un campo magnetico di intensità B =

0,1 T come mostrato nella figura A. Vogliamo calcolare a) le forze magnetiche agenti sulla spira

quando il piano in cui essa si trova forma un angolo = 45° rispetto al campo, b) il valore, istante

per istante, della potenza del motore che la mantiene in rotazione con velocità angolare . Notiamo innanzitutto che il flusso concatenato con la spira è dato dalla formula (1) e quindi la

corrente indotta dalla formula (3). Nella posizione indicata in figura, cioè per = t = 45°, il flusso

è in aumento, e quindi la corrente è diretta nel senso delle frecce blu, in modo da contrastare

l’aumento del flusso secondo la legge di Lenz.

a)

b)

c)

d)

5

a) Ricordiamo ( pag. xxx) che la forza agente su un conduttore rettilineo percorso da corrente in

un campo magnetico uniforme è: F i L B

, dove il vettore L ha modulo pari alla lunghezza del

filo, la direzione del filo e il verso della corrente. Si capisce che le forze agenti sui tratti BC e DA

della spira sono perpendicolari all’asse di rotazione e dunque non compiono lavoro. Le forze agenti

sui tratti AB e CD sono dirette come le frecce rosse in figura, con intensità F = iBL. Esse

costituiscono una coppia, dato che hanno versi opposti, con modulo del momento M = Fb, dove b =

L cosè la distanza fra le loro rette d’azione.

Il modulo del momento è dunque:

M = i0 BL2 cos

2 = 50,10,2

20,5 = 0,01 Nm.

b) Il lavoro compiuto durante lo spostamento

angolare = t è L = Mt. Pertanto la potenza

istantanea del motore, quando la spira si trova nella

posizione in figura, è P = L/t = M =

0,016,2850 = 3,14 W.

Figura A. La spira quadrata, di lato L, ruota attorno a un asse

disposto nel piano orizzontale, in presenza di un campo

magnetico diretto orizzontalmente.

La formula (9) mostra che un alternatore, per fornire grandi potenze, deve generare al tempo stesso

tensioni elevate e correnti molto intense. Per ottenere alte tensioni indotte, tipicamente attorno a 10

kV negli alternatori usati nelle centrali elettriche, invece di una singola spira si utilizzano bobine

costituite da un gran numero di spire, che devono presentare bassa resistenza essendo attraversate

da forti correnti, e campi magnetici molto intensi generati da potenti elettromagneti.

Negli alternatori, inoltre, la corrente indotta viene prelevata da bobine fisse, mentre

l’elettromagnete è montato sulla parte rotante (il rotore). In altre parole, si preferisce usare bobine

fisse soggette al campo magnetico variabile prodotto da un elettromagnete rotante, come è mostrato

nella figura 6, anziché bobine rotanti in un campo fisso (come in figura 5bis). Questa scelta evita

che correnti molto intense debbano passare attraverso contatti striscianti, che inevitabilmente

introducono resistenze indesiderate. Attraverso contatti di questo tipo scorrono invece le correnti

ausiliarie, assai meno intense, che alimentano l’elettromagnete rotante.

Negli alternatori i rendimenti di conversione fra energia meccanica ed energia elettrica sono

generalmente molto alti, arrivando fino al 98 % per le macchine più grandi, con potenze di centinaia

di MW. Oltre che nelle centrali elettriche e negli impianti per la generazione autonoma di elettricità

(usati per esempio negli ospedali), gli alternatori trovano impiego nelle automobili, nelle moto e

nelle biciclette.

Collegamento storico 1. Le macchine generatrici di corrente continua, da Faraday a Pacinotti.

Il primo generatore elettrico, tanto semplice quanto poco efficace, fu realizzato da Faraday nel

1831 facendo ruotare un disco di rame fra i poli di un magnete permanente ( figura A). La forza

di Lorentz dovuta al moto del disco nel campo agisce radialmente sugli elettroni del metallo

creando una corrente nella direzione vB quando il circuito viene chiuso attraverso dei contatti striscianti collegati all’asse e al bordo del disco. Mantenendo costante la velocità di rotazione del

disco, si ottiene una corrente costante nel tempo, cioè una corrente continua.

Negli anni seguenti furono realizzate varie macchine per generare correnti continue, in

alternativa alle batterie di pile che erano le uniche sorgenti di corrente allora disponibili. Queste

macchine, chiamate prima generatori magnetoelettrici, poi dinamoelettriche e in seguito dinamo,

non trovarono però impiego pratico per il loro basso rendimento. Una svolta si ebbe parecchi anni

dopo, quando attorno al 1860 il fisico pisano Antonio Pacinotti (1841-1912) costruì una dinamo di

elevate prestazioni, impiegando un anello di ferro (anello di Pacinotti) con una spirale di rame, che

ruotava in un campo magnetico ( figura C).

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Pacinotti descrisse la sua macchina sulla rivista scientifica Il Nuovo Cimento, ma trascurò di brevettarla. La brevettò invece il belga Zènobe

Gramme, a cui Pacinotti aveva mostrato il suo

prototipo, il quale poi ne promosse lo sviluppo

industriale. L’inizio della diffusione degli impieghi

dell’elettricità, prima nel campo dell’illuminazione

e poi anche per la trazione di tram e altri veicoli,

risale agli anni fra il 1870 e il 1880, grazie alla

disponibilità delle

intense correnti

generate dalle dinamo.

Figura A. Il primo generatore basato sull’induzione elettromagnetica fu il disco di

Faraday (1831). Gli elettroni liberi presenti nel rame, quando il disco ruota, sotto

l’azione della forza di Lorentz, si spostano radialmente verso il centro del disco. Fra i

contatti esterni, di conseguenza, scorre una corrente continua. L’intensità di questa

corrente è proporzionale alla velocità di rotazione del disco.

(Adattare da Hecht, vol. 2, pag. 733)

Figura B. Nella figura una delle prime macchine magnetoelettriche, costruita dal

francese Antoine-Hippolyte Pixii nel 1832.

Figura C. Rappresentazione schematica della

dinamo di Pacinotti. Fra i poli di un

magnete fisso ruota un anello di ferro

(anello di Pacinotti), attorno al quale è

avvolta una spirale di rame chiusa su se stessa. Durante la rotazione

dell’anello, nei diversi tratti della spirale vengono indotte delle tensioni la

cui somma si manifesta fra i contatti striscianti dai quali si preleva la

corrente indotta.

Approfondimento 1. La corrente trifase.

La corrente alternata, prodotta da un generatore di tensione sinusoidale e trasmessa a destinazione

attraverso i collegamenti costituiti da due conduttori, prende anche il nome di corrente monofase.

Nei grandi sistemi elettrici di generazione e trasporto a distanza dell’elettricità si utilizza invece la

corrente trifase, costituita da un insieme di tre correnti sfasate di 120° l’una rispetto all’altra, che

sono prodotte da tre generatori di tensione sinusoidali indipendenti, sfasati fra loro allo stesso

modo. Il vantaggio di questa scelta sta nel fatto che in tal caso, come mostrato nello schema di

figura A, sono sufficienti linee costituite da tre, anziché sei, conduttori: la classica terna di

conduttori che si osserva appunto nelle linee ad alta tensione.

Per generare queste correnti, in pratica, non si utilizzano tre diversi alternatori, ma

alternatori trifase: macchine dotate di tre bobine fisse disposte a 120° l’una rispetto all’altra, come

mostrato in figura B, oltre che del normale elettromagnete rotante che produce il campo magnetico.

Figura A. I tre generatori di tensione producono tensioni sinusoidali della stessa ampiezza, ma sfasate fra loro di 120°

(a). Ciascun generatore alimenta un carico simboleggiato da una resistenza. Se i carichi sono equilibrati, cioè hanno la

stessa resistenza e quindi sono percorsi da correnti della stessa intensità, allora la corrente nel conduttore di ritorno

(chiamato neutro) è nulla. In pratica, l’intensità di questa corrente non è nulla ma è comunque molto minore di quelle

che attraversano i tre conduttori principali, sicché il conduttore di ritorno può essere realizzato molto economicamente,

con sezione molto minore di quella degli altri conduttori.

(a) adattare da Amaldi, La Fisica, vol. 3, pag. 264, fig. 31; b) adattare da Amaldi, La Fisica, vol. 3, pag. 264, fig.

33 modificata ponendo a sinistra, al posto delle tre bobine, tre generatori (rappresentati con il simbolo a fianco),

collegati con linee più lunghe ai tre resistori, posti a destra, senza la scritta utilizzatori)

Figura B. Schema semplificato di un alternatore trifase con tre bobine fisse uguali, i cui assi sono disposti a 120° gradi

fra loro. Le tensioni indotte nelle tre bobine hanno la stessa ampiezza, ma sono sfasate fra loro di 120°.

(adattare da Caforio, Nuova Physica 2000, pag. E256, fig. 36, modificandone la parte centrale come nella figura 6).

Il funzionamento reversibile della dinamo, cioè la

possibilità di usarla come motore anziché come

generatore, fu osservato per caso da Gramme,

nell’occasione del guasto del motore che azionava

una dinamo. Questa, che era collegata elettricamente

in parallelo a un’altra dinamo in funzione, continuò

a girare nonostante il guasto. Gramme, infatti, aveva

copiato il progetto di Pacinotti, ma non aveva letto

l’articolo sul Nuovo Cimento, dove era descritto il

funzionamento reversibile della macchina.

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La Fisica della tecnologia 1. I motori a corrente alternata.

Eseguendo il semplice esperimento illustrato nella figura A si nota che l’ago magnetico ruota in

perfetto sincronismo con il magnete. Sebbene quasi banale, l’esperimento dimostra il principio di

funzionamento dei motori sincroni a corrente alternata. In queste macchine vi sono delle bobine

fisse che generano un campo magnetico rotante, il quale esercita una coppia di forze sulla parte

rotante del motore, costituita da un elettromagnete, provocandone appunto la rotazione. E’ chiaro

che il rotore dei motori sincroni non deve perdere il passo con il campo rotante (da cui la loro

denominazione), altrimenti il momento della coppia s’indebolisce o addirittura cambia segno.

Si può ripetere l’esperimento (ma questa volta perché funzioni occorre un magnete assai

potente) ruotando il magnete al di sopra di un dischetto di metallo libero di ruotare. Questo ruoterà

a sua volta, ma con una velocità di rotazione più bassa, senza inseguire il campo rotante in modo

sincrono. In questo caso, infatti, la coppia di trascinamento non proviene dalla magnetizzazione

della parte rotante, ma dalle correnti parassite indotte dalle variazioni del campo del magnete, più

precisamente dall’interazione fra il campo rotante e queste correnti. Che vengono indotte dal campo

nel disco a prescindere dalla sua posizione angolare, esercitando così sempre un momento di

rotazione. Questo esperimento dimostra il funzionamento dei motori asincroni, introdotti

dall’ingegnere italiano Galileo Ferraris (1847-1897), che sono i motori a corrente alternata di

impiego più comune, usati nelle lavatrici come nei locomotori.

Figura A. Esperimento. Il principio del motore elettrico sincrono. Sospendete un magnete a ferro di cavallo al di

sopra di una bussola. Imprimendo al magnete un moto di rotazione attorno al suo asse, osserverete che l’ago della

bussola ruoterà a sua volta, e che i due moti sono esattamente sincronizzati.

(adattare da Delaruelle, vol. 3, pag. 311: una calamita a ferro di cavallo sospesa con un filo a un sostegno, che ruota al

di sopra dell’ago di una bussola, che ruota a sua volta)

Figura B. Fotografia dello spaccato di un motore in alternata con dida appropriata

Figura 5. (a) Un tipico generatore da laboratorio fornisce tensioni alternate, delle quali si può scegliere la forma

(sinusoidale, triangolare, rettangolare, …), la frequenza (generalmente da frazioni di Hz a qualche MHz) e l’ampiezza.

(b) Un’onda triangolare osservata all’oscilloscopio

(foto di generatore da laboratorio e di onda triangolare sullo schermo di un oscilloscopio)

Figura 5 bis. Gli anelli A e B, collegati rigidamente alla spira che ruota nel campo magnetico, sono collegati ai contatti

striscianti C e C’, consentendo alla corrente indotta nella spira di scorrere nel carico esterno R.

(adattare da Cforio, Fisica 3, pag. 271, aggiustando le scritte e disegnando un resistore R collegato con due fili ai

contatti striscianti)

Figura 6. Schema semplificato di un alternatore, che utilizza bobine fisse in un campo magnetico rotante. La parte

rotante è infatti costituita da un elettromagnete, alimentato da una corrente continua esterna attraverso contatti

striscianti, mentre le bobine dove sviluppa la corrente indotta sono disposte sulla parte fissa della macchina. La tensione

indotta è direttamente proporzionale al numero di spire di questi avvolgimenti.

(adattare da il Mondo della Fisica, vol. B, pag 467)

3.4 I circuiti in corrente alternata

Abbiamo già visto che in un circuito resistivo alimentato da una tensione alternata scorre una

corrente che ha la stessa frequenza e la stessa fase della tensione, e intensità data dalla formula (3),

come è mostrato nella figura 7. Se V0 è l’ampiezza della tensione ed R la resistenza del circuito,

l’ampiezza della corrente è: i0 = V0/R. La stessa relazione vale ovviamente anche per i valori

efficaci: ieff = Veff/R.

Ma se il circuito contiene induttanza o capacità, la nozione di “resistenza” come rapporto fra

tensione e corrente perde senso. Per rappresentare questo rapporto, non importa se fra le ampiezze o

i valori efficaci, si deve infatti introdurre una grandezza più generale, che prende il nome di

impedenza. Tale grandezza, che come la resistenza si misura in ohm, dipende in generale sia dalla

resistenza, dall’induttanza e dalla capacità inserite nel circuito sia dalla frequenza della tensione

8

alternata che lo alimenta. E naturalmente l’impedenza di un circuito puramente resistivo si riduce

alla sua resistenza.

Notiamo inoltre che la corrente e la tensione hanno sempre la stessa frequenza anche se nel

circuito sono inseriti induttori e condensatori. Però in generale la corrente non è in fase con la

tensione, ma presenta uno sfasamento che dipende dalle caratteristiche del circuito. In questi

circuiti, in altre parole, a una tensione 0 senV t V t corrisponde sempre una corrente

0 sen( )i t i t .

La presenza di uno sfasamento fra la corrente e la tensione nei circuiti a corrente alternata ha

un’importante conseguenza per quanto riguarda la potenza che il generatore fornisce al circuito.

Infatti la formula (9) è stata ricavata nel caso particolare di un circuito resistivo in cui la corrente e

la tensione sono esattamente in fase fra loro, cioè quando = 0. Nel caso generale, esprimendo la

potenza media come valor medio del prodotto dei valori istantanei della tensione e della corrente, si

ottiene ( Problema 11) la formula di Galileo Ferraris:

(10) 0 0( ) sen sen( ) coseff effP t V t i t V i t t V i

dove il fattore cos prende il nome di fattore di potenza.

3.5 Il circuito induttivo

Consideriamo un circuito puramente induttivo, in pratica un circuito comprendente un induttore di

trascurabile. In tal caso l’equazione del circuito, costituito da un generatore collegato a un induttore

( figura 8), si ottiene eguagliando la tensione del generatore a quella ai capi di un induttore

percorso da una corrente i(t):

(11) 0sen di

V t V t Ldt

Ora sappiamo che l’andamento della corrente deve essere sinusoidale, della stessa frequenza della

tensione, cioè deve avere la forma i(t) = i0 sen (t+ L’ampiezza i0 e la fase si ricavano sostituendo tale espressione nella (11) e imponendo l’uguaglianza fra i due membri. Sostituendo

nella (11) la derivata temporale di i0 sen(t+ cioè i0 cos(t +), si ha:

0 0sen cosV t Li t L’uguaglianza è verificata se i0 = V0/L e = -/2 (infatti: cos(t-2)

= sen t). Si ha pertanto, sostituendo i valori di i0 e nell’espressione della corrente:

(12) 0 sen2

Vi t t

L

Qui si notano due cose: a) l’ampiezza della corrente, a parità di

valori di V0 e L, è inversamente proporzionale a , cioè alla

frequenza (ricordiamo che f = /2); b) l’onda che rappresenta la

corrente è sfasata di /2 in ritardo rispetto a quella della tensione.

Con la conseguenza che, in base alla (10), il generatore, in media, non fornisce potenza al circuito

(e del resto, in assenza di resistenza, la potenza dove verrebbe dissipata?).

Dalla (12) si ricava anche l’impedenza dell’induttore, definita come abbiamo detto dal

rapporto fra l’ampiezza della tensione e quella della corrente:

(13) Z = V0/i0 = Veff/ieff = L

Il fatto che nel circuito induttivo

l’intensità della corrente sia tanto

minore quanto maggiore è la

frequenza deriva dalla proprietà

di un induttore di opporsi alle

variazioni della corrente che

l’attraversa. E queste variazioni

sono appunto tanto più rapide

quanto maggiore è la frequenza.

9

Questa grandezza non è una costante del circuito (come in un circuito resistivo, in cui Z = R), ma è

direttamente proporzionale alla frequenza. In particolare l’impedenza si annulla a frequenza zero,

cioè l’induttore si comporta (idealmente) come un cortocircuito per una corrente continua.

E se il circuito comprende sia induttanza che resistenza (circuito RL)? Si trova che la

corrente scorre sempre in ritardo rispetto alla tensione: lo sfasamento è compreso fra zero (quando

L=0, in pratica per L<<R) e -/2 (quando R=0, in pratica per RL). Il circuito si comporta infatti come resistivo alle frequenze più basse, come induttivo a quelle più alte.

3.6 Il circuito capacitivo

Consideriamo ora un circuito puramente capacitivo, in pratica un circuito comprendente un

condensatore di resistenza trascurabile. In tal caso l’equazione del circuito, costituito da un

generatore collegato a un condensatore ( figura 9), si ottiene eguagliando la tensione del

generatore a quella ai capi di un condensatore sulle cui armature si trova la carica q

(14) 0

( )sen

q tV t V t

C

L’andamento della corrente (naturalmente anche qui sinusoidale e della stessa frequenza

della tensione), si determina ricordando che i(t) = dq/dt. E quindi, ricavando q dalla (14), si ha:

(15) 0 0( ) cos sin2

dVi t C CV t CV t

dt

In questo caso l’onda che rappresenta la corrente è sfasata di /2 in anticipo rispetto a quella della

tensione e la sua ampiezza è direttamente proporzionale alla frequenza. Ciò è in accordo col fatto

che la corrente che attraversa un condensatore è tanto più intensa quanto più rapide sono le

variazioni della tensione, cioè, nel caso di una tensione alternata, quanto maggiore è la frequenza.

Anche in questo caso, inoltre, lo sfasamento fra corrente e tensione è tale che, in base alla (10), il

generatore, in media, non fornisce potenza al circuito

Dalla (15) si ricava poi che l’impedenza del condensatore è:

(16) Z = V0/i0 = 1/C

Z è inversamente proporzionale alla frequenza: per =0, l’impedenza è infinita (e infatti il condensatore per una corrente continua si comporta come un circuito aperto); alle frequenze più

alte, invece, l’impedenza tende a zero, cioè il condensatore si comporta come un cortocircuito

E se il circuito comprende sia capacità che resistenza (circuito RC)? Si trova che la corrente

scorre sempre in anticipo rispetto alla tensione: lo sfasamento compreso è fra zero (quando

1/C=0, in pratica per C>>1/R) e /2 (quando R=0, in pratica per RC). Il circuito si comporta infatti come resistivo alle frequenze più alte, come capacitivo a quelle più basse.

Figura 7. (a) Resistore alimentato da un generatore di tensione alternata. (b) L’intensità della corrente che scorre nel

circuito (linea blu), a ogni istante di tempo, è proporzionale alla tensione (linea rossa) (b).

(adattare da Amaldi, La Fisica, vol. 3, pag. 258, rimettendo per dritto il circuito: generatore a sinistra e resistore a

destra)

Figura 8. (a) Induttore alimentato da un generatore di tensione alternata. (b) La corrente che scorre nel circuito (linea

blu) è sfasata di /2 (corrispondenti a ¼ di periodo) in ritardo, rispetto alla tensione (linea rossa); la sua ampiezza è

inversamente proporzionale alla frequenza.

(adattare da Amaldi, La Fisica, vol. 3, pag. 259, rimettendo per dritto il circuito: generatore a sinistra e induttore a

destra)

10

Figura 9. (a) Condensatore alimentato da un generatore di tensione alternata. (b) La corrente che scorre nel circuito

(linea blu), è sfasata di /2 (corrispondenti a ¼ di periodo) in anticipo rispetto alla tensione (linea rossa); la sua

ampiezza è direttamente proporzionale alla frequenza.

(adattare da Amaldi, La Fisica, vol. 3, pag. 260, rimettendo per dritto il circuito: generatore a sinistra e condensatore a

destra)

3.7 Il circuito RLC serie

Consideriamo ora il caso, più generale, del circuito rappresentato nella figura 10, comprendente

cioè resistenza, induttanza e capacità. L’equazione di questo circuito si ottiene uguagliando la

tensione del generatore alla somma delle tensioni ai capi dei tre elementi. Sviluppando i calcoli, si

ricava l’espressione della corrente e si trova che l’impedenza del circuito è la seguente:

(17)

2

2 1Z R L

C

e che lo sfasamento della corrente rispetto alla tensione è dato dalla relazione:

(18)

1

tang

LC

R

Notiamo subito che l’impedenza complessiva del circuito non è uguale alla somma delle impedenze

dei tre elementi. Essa si ottiene infatti dalla radice quadrata della somma dei quadrati della parte

resistiva (R) dell’impedenza e della parte chiamata reattiva (L – 1/C). Esaminando la formula

(17) si osserva che per frequenze molto basse l’impedenza si riduce a quella (1/C) del

condensatore; per frequenze molto alte a quella (L) dell’induttanza. In queste due condizioni

estreme si semplifica anche la formula (18): a bassa frequenza lo sfasamento è /2 in anticipo; ad

alta frequenza, /2 in ritardo. Come appunto avviene, rispettivamente, in un circuito puramente

capacitivo o puramente induttivo.

Esempio 3. Calcoliamo la corrente in un circuito RLC collegato a una presa di rete.

Vogliamo calcolare il valore efficace della corrente e lo sfasamento della corrente rispetto alla

tensione quando si collega a una presa di rete (Veff = 220 V) un circuito RLC con R = 100 , L =

0,5 H e C = 10 F. (Esperimenti al riguardo sono vivamente sconsigliati ai non esperti.)

Ricaviamo l’impedenza del circuito alla frequenza di rete f = 50 Hz, cioè per = 2f = 314 rad/s,

dalla formula (17):

2 2

2 2

6

1 1100 314 0,5 112

314 30 10Z R L

C

E quindi il valore efficace della corrente è ieff = Veff/Z = 220/112 = 1,96 A.

Ricaviamo la tangente dello sfasamento della corrente dalla formula (18):

6

1 1314 0,5

314 10 10tang 1,61100

LC

R

. Da cui si ottiene -58,2°. Cioè la fase

della corrente è in anticipo rispetto alla tensione, indicando che il circuito, alla frequenza di rete, ha

un comportamento di tipo capacitivo.

Esempio 4. Ricaviamo l’impedenza di un circuito RL e di un circuito RC da quella del

circuito RLC.

La formula (17), che rappresenta l’impedenza di un circuito RLC, può essere specializzata a vari

casi particolari, per esempio quando nel circuito è assente la resistenza, cioè R = 0, o l’induttanza,

cioè L = 0, o la capacità, in tal caso assumendo 1/C = 0.

11

Nel caso di un circuito RL, ponendo 1/C = 0 nella (17), si ottiene: 22Z R L .

Nel caso di un circuito RC, ponendo L = 0 nella (17), si ottiene:

2

2

1Z R

C .

3.8 Il fenomeno della risonanza

La formula (17) mostra che quando in un circuito RLC l’impedenza della capacità (1/C) è uguale

a quella dell’induttanza (L), cioè è verificata la condizione di risonanza

(19) 1

RLC

l’impedenza del circuito assume il valore minimo in quanto si riduce a quella della resistenza. E

quindi l’intensità della corrente è massima. La formula (18) mostra poi che lo sfasamento si

annulla, cioè la corrente è in fase con la tensione come se il circuito fosse puramente resistivo.

L’induttanza e la capacità restano forse a riposo? No certamente, perchè fra questi due

elementi si verificano scambi continui di energia ( Approfondimento 2): l’energia nell’induttore è

infatti massima quando l’intensità della corrente attraverso il circuito raggiunge il valor massimo

(positivo o negativo) e in tal caso l’energia nel condensatore si annulla, mentre l’energia nel

condensatore è massima quando la corrente si annulla, e con essa l’energia nell’induttore. In queste

condizioni, inoltre, la tensione agli estremi di questi elementi può risultare anche assai maggiore di

quella del generatore, e in ciò si manifesta appunto il fenomeno della risonanza. Se infatti la

tensione del generatore è Veff e la sua frequenza f = 2R, la corrente che scorre nel circuito è ieff = Veff/R; e allora la tensione ai capi dell’induttore, o del condensatore, è:

(20) V’eff = ieff RL = Veff RL/R

il cui valore dipende dal rapporto RL/R, che può essere anche assai maggiore dell’unità. L’effetto della risonanza è infatti tanto più vistoso quanto minore è la resistenza, e la dissipazione di energia

che essa comporta ( figura 12).

Il fenomeno della risonanza non si verifica soltanto nei circuiti elettrici. Esso si manifesta

infatti in tutti i processi fisici nei quali nei quali le forze sono conservative (o comunque le

dissipazioni di energia sono di modesta entità) e si possono avere scambi periodici di energia fra

una forma e un’altra. I fenomeni di risonanza, in particolare, sono comuni nella meccanica, nel

moto di un pendolo come nelle oscillazioni di una massa sospesa a una molla ( Tomo III, Modulo

1, Unità 1). In tali casi gli scambi di energia avvengono fra l’energia cinetica di una massa e

l’energia potenziale, gravitazionale nel caso del pendolo, elastica nel caso della molla. E del resto

sui fenomeni di risonanza meccanica è basato il funzionamento di gran parte degli strumenti

musicali.

Esempio 5. Il circuito risonante di un ricevitore radio. Il circuito d’ingresso di un radioricevitore è costituito da un circuito RLC, schematizzato nella

fìgura A, che serve a un duplice scopo: a) selezionare il segnale proveniente dall’antenna, fra i tanti

ricevuti, in base alla sua frequenza caratteristica (la selezione è affidata a un condensatore di

capacità variabile); b) accrescerne l’ampiezza per facilitarne la ricezione.

Vogliamo calcolare la frequenza selezionata da un circuito costituito da una bobina di induttanza L

= 90 H e resistenza R = 25 e da un condensatore variabile, quando esso presenta capacità C = 300 pF, e il fattore di amplificazione che il circuito fornisce a tale frequenza.

La condizione di risonanza, in base alla formula (19), si ha per:

12

6

6 12

1 15,63 10 /

90 10 350 10R rad s

LC

. E quindi la frequenza di risonanza, cioè la

frequenza delle onde radio selezionate dal circuito, è: fR = R/2= 0,897 MHz.A tale frequenza il fattore di amplificazione del circuito, cioè il rapporto fra la tensione ai capi del

condensatore e quella indotta nel circuito (rappresentata in figura dal generatore G), è dato dalla

formula (20): RL/R = 5,63∙10690∙10

-6/25 = 20,3.

Figura A. (a) La bobina, avvolta su un nucleo di ferrite, si accoppia alla componente magnetica del campo a

radiofrequenza, che vi induce una tensione secondo la legge di Faraday-Neumann; (b) Il

generatore di tensione alternata G rappresenta la tensione indotta nella bobina; la corrispondente

tensione di uscita VC viene prelevata ai capi del condensatore, amplificata grazie al fenomeno

della risonanza. La freccia sul simbolo del condensatore indica che si tratta di un condensatore

variabile, del quale cioè si può variare la capacità.

(a) fotografia di una bobina avvolta su un nucleo di ferrite collegata a un condensatore variabile;

b) schizzo a fianco)

Approfondimento 2. Risonanza e scambi di energia in un circuito RLC. Per studiare gli scambi di energia in circuito RLC in condizioni di risonanza conviene esaminare

cosa avviene quando un condensatore C, inizialmente carico alla tensione V0 e quindi dotato di

carica q0 = CV0, viene collegato a una induttanza L in serie a una resistenza R che per ora

assumiamo di valore trascurabile. Quando l’interruttore è chiuso, la tensione q/C ai capi del

condensatore è certamente uguale a quella ai capi dell’induttore, -Ldi/dt, se si trascura la caduta

sulla resistenza. Imponendo questa uguaglianza, e ricordando che i = dq/dt, si ottiene l’equazione

differenziale:

(A) Ld2q/dt

2 + q/C = 0

la cui soluzione generale, come si apprende dallo studio dell’analisi matematica, è di tipo

sinusoidale. Si ha cioè: q(t) = A sen (t +), dove restano da determinare le due costanti A e .

Derivando tale espressione due volte rispetto al tempo si ha

d2q/dt

2 = -

2 A sen (t +)

che sostituiamo nella (A) ottenendo:

-L 2 A sen (t +) + (A/C) sen (t +) = 0

Tale uguaglianza è verificata per R = 1/√(LC). Imponendo poi che al tempo t = 0 la carica del condensatore sia q(0) = q0 e che la corrente (i = dq/dt) sia nulla, si ricavano i valori delle due

costanti: A = q0 e = /2. Da cui si ottiene q(t) = q0 cos(Rt). E quindi la tensione del condensatore

e la corrente nel circuito seguono rispettivamente le leggi:

V(t) = V0 cos(Rt) ; i(t) = RCV0 sen(Rt)

Possiamo ora occuparci dell’energia. Ricordando le espressioni dell’energia di un induttore e di un

condensatore e sostituendovi le espressioni della corrente e della tensione, abbiamo:

(B) EL(t) = ½ Li2(t) = ½ L(RCV0 sen(Rt))

2 = CV0

2 (1 - cos(2Rt))/4

(C) EC(t) = ½ CV2(t) = ½ C(V0 cos(Rt))

2 = CV0

2 (1 + cos(2Rt))/4

13

E quindi l’energia totale è costante e pari a quella posseduta inizialmente dal condensatore:

E(t) = EL(t) + EC(t) = ½ C V02

come del resto, in assenza di dissipazioni, si poteva prevedere.

Esaminando le formule (B) e (C), si nota che l’energia dei due elementi oscilla

continuamente con frequenza doppia di quella della corrente, con scambi continui fra i due

elementi. Più precisamente, come mostrato nella figura B, ci sono degli istanti in cui tutta l’energia

del sistema è energia elettrostatica immagazzinata nel condensatore. e degli altri in cui invece essa è

tutta immagazzinata nell’induttore come energia magnetica.

E se la resistenza R non è trascurabile? In tal caso si trova che la dissipazione si manifesta

introducendo un fattore esponenziale (exp(-Rt/2L)) nelle espressioni della corrente e della tensione,

che quindi si smorzano gradualmente fino ad annullarsi ( figura A(b)). E naturalmente anche

l’energia diminuirà nel tempo fino ad annullarsi.

Figura A. (a) Il condensatore C possiede inizialmente

la carica q(0). Al tempo t=0 l’interruttore I viene

chiuso provocando il passaggio nel circuito della

corrente i(t). Questa corrente, nel caso ideale R = 0, è

una sinusoide alla frequenza di risonanza del circuito;

(b) In pratica, per R piccola ma diversa da zero, la

corrente è una sinusoide smorzata con legge

esponenziale. Con smorzamento tanto maggiore quanto maggiore è la

resistenza.

(aggiungere sulle ordinate la scritta i(t), sulle ascisse la scritta tempo)

Figura B. La curva rossa rappresenta l’energia del condensatore del circuito in

figura A, quella blu l’energia dell’induttore, quella nera tratteggiata l’energia

totale; quest’ultima è costante nel tempo (in assenza di dissipazioni, cioè per R

= 0).

(aggiungere sulle ordinate la scritta energia, sulle ascisse la scritta tempo)

Figura 10. Circuito comprendente resistenza, induttanza e capacità disposte in serie, alimentato da un

generatore sinusoidale.

Figura 11. L’impedenza di un circuito RLC, fissati i valori dei tre parametri (R, L e C) che lo

caratterizzano, dipende dalla frequenza. Il minimo dell’impedenza si ha alla frequenza fR per cui

verificata la condizione di risonanza (19) e allora la corrente è massima perchè Z si riduce a R . Il

grafico rappresenta l’impedenza complessiva di un circuito RLC (curva nera), mostrando anche l’andamento

dell’impedenza dell’induttore (curva blu) e di quella del condensatore (curva rossa).

Figura 12. Andamento della corrente in

funzione della frequenza in un circuito

RLC, con L = 1 H e C = 5 F,

alimentato da un generatore di tensione

di ampiezza costante e frequenza

variabile per tre diversi valori della

resistenza: R = 1 (curva rossa), R = 3

(curva blu), R = 10 (curva verde).

Il picco alla frequenza di risonanza

diventa sempre più pronunciato al

diminuire della resistenza.

3.9 I trasformatori

Il trasformatore elettrico è un dispositivo basato sul fenomeno dell’induzione elettromagnetica fra

due bobine ben accoppiate magneticamente, cioè avvolte su un medesimo nucleo di materiale

ferromagnetico. La storia del trasformatore è curiosa: infatti il suo principio di funzionamento risale

0 10 20 30 401

0

1

i t( )

t

0 5 10

1x t( )

y t( )

x t( ) y t( )

t

60 65 70 75 800

0.001

0.002

i w 1( )

i w 3( )

i w 10( )

w

2

frequenza (Hz)

c

o

r

r

e

n

t

e

14

al primo degli esperimenti svolti da Faraday nel 1831 ( Unità 2, §2.1), ma alla sua realizzazione

pratica, e poi alla sua diffusione, si arrivò soltanto mezzo secolo dopo, attorno al 1880.

La figura 13 mostra la struttura essenziale di un trasformatore e il simbolo usato per

rappresentarlo negli schemi elettrici. Quando applichiamo una tensione alternata a una delle bobine,

chiamata primario, la corrente che vi circola genera un campo magnetico variabile che induce una

tensione nell’altra bobina, chiamata secondario. Il campo, in effetti, è quasi completamente

racchiuso nel nucleo ferromagnetico, grazie all’elevata permeabilità magnetica del materiale nel

quale le linee del campo vengono “incanalate”. Sicché il flusso magnetico nelle due bobine è sempre (approssimativamente) lo stesso, non importa se generato da correnti circolanti nell’una,

nell’altra o in tutte e due.

Chiamando N1 il numero delle spire dell’avvolgimento a cui è applicata la tensione alternata

V1, tale tensione equilibra la tensione autoindotta nella bobina stessa dalle variazioni del flusso

nel nucleo. Quindi, essendo N1 il flusso concatenato con questa bobina, dalla formula (7) dell’unità 2 si ha:

V1 = N1 /t

Corrispondentemente, la tensione indotta nella seconda bobina, con N2 spire e flusso concatenato

N2, è:

V2 = N2 /t

E quindi il rapporto fra le due tensioni è dato dal rapporto spire:

(21) V2/V1 = N2/N1.

I trasformatori sono realizzati di solito in modo da ridurre al minimo le perdite di energia:

sia quelle dovute alle correnti che scorrono negli avvolgimenti, usando quindi conduttori di bassa

resistenza, sia quelle dovute alle correnti parassite che vengono indotte nel nucleo, che perciò non

non consiste di un unico blocco, ma di tanti strati sottili di materiale ferromagnetico, ben isolati fra

loro. Da ciò consegue che quando la seconda bobina è collegata a un carico esterno, e quindi vi

scorre corrente, la potenza V2eff i2eff che viene fornita al carico è approssimativamente uguale alla

potenza V1eff i1eff assorbita dal generatore. Cioè il rendimento è poco inferiore all’unità, con valori

tipici fino al 98% nei grandi trasformatori. Dall’uguaglianza (approssimata) fra le due potenze si

ricava che il rapporto fra le intensità delle correnti deve essere

(22) i2eff/i1eff ≈ V1eff/V2eff = N1/N2

I risultati espressi dalle formule (21) e (22) rappresentano le proprietà essenziali di un

trasformatore, come dispositivo in grado di convertire una intensa corrente alternata a bassa

tensione in una corrente meno intensa a tensione più alta, o viceversa. E per questo i trasformatori

trovano un gran numero di impieghi. Notiamo poi che un trasformatore elevatore, usato per

esempio per innalzare la tensione da 125 a 220 V, può essere usato anche come trasformatore

riduttore, per abbassarla da 220 a 125 V, semplicemente scambiando fra loro le due bobine.

Si realizzano anche trasformatori con avvolgimenti dotati di prese intermedie, ciascuna delle

quali fornisce una tensione diversa in rapporto a quella d’ingresso, e anche trasformatori variabili,

dotati di un cursore che permette di variare il numero di spire effettivamente utilizzato per prelevare

la tensione d’uscita, consentendo quindi di sceglierne il valore.

Esempio 6. L’adattatore di tensione di un calcolatore portatile.

15

L’adattatore di tensione usato per ricaricare le batterie di un calcolatore portatile, come di qualsiasi altro oggetto elettronico portatile (telefonino, riproduttore di suoni, …) contiene un trasformatore

riduttore che converte a una tensione più bassa la corrente prelevata dalla rete elettrica e un circuito

che converte poi questa corrente alternata in una corrente continua. Vogliamo calcolare il numero di

spire N1 dell’avvolgimento primario di un trasformatore che fornisce in uscita una corrente alternata

a 12 Veff, sapendo che il numero di spire dell’avvolgimento secondario è N2 = 30.

Essendo V1eff = 220 V e V2eff = 12 V, dalla formula (21) si ricava:

N1 = N2 V1/V2 = 30220/12 = 550 spire

Fotografia dello spaccato di un adattatore di tensione, che evidenzi il trasformatore

Esempio 7. Il calore sviluppato da un trasformatore di grande potenza.

Un trasformatore di grande potenza, con rendimento = 98%, viene usato per elevare da 8 kV a

150 kV la corrente generata da un alternatore da 10 MW, allo scopo di trasmetterla a distanza

attraverso una linea elettrica ad alta tensione. Vogliamo calcolare la quantità di calore sviluppata

ogni ora dal trasformatore durante il suo funzionamento.

La potenza dissipata nel trasformatore è P = 10∙106(1 - ) = 2∙10

5 W. Pertanto la quantità di

calore sviluppata durante un’ora di funzionamento è : 2∙1053600/4187 = 1,78∙10

5 kcal.

Figura 13. a) Schema costruttivo di un trasformatore; b) simbolo usato per rappresentare il trasformatore negli schemi

elettrici. Se N1 = 100 e N2 = 50, quando alla prima bobina si applicano 220 V, un voltmetro collegato alla seconda

indicherà 110 V. E se scambiamo fra loro i due avvolgimenti, applicando 220 V al secondo?

(Adattare da il Mondo della Fisica, vol. B, pag. 439: a) con più spire a sinistra che a destra, con meno spazio vuoto in

orizzontale nella parte interna, aggiungendo due freccette dirette verso destra accanto alle scritte i1 e i2)

Figura 14. Negli impianti dell’Enel si usano trasformatori di grande potenza per innalzare o abbassare le tensioni delle

correnti alternate. Nella fotografia … (Simile a quella in Mondo della Fisica, vol. B, pag. 439, con dida appropriata)

Figura 15. a) Trasformatore con secondario “universale”, che permette di ottenere in uscita tensioni di valore diverso, b)

Trasformatore di tipo variabile, che permette di ottenere una tensione il cui valore dipende dalla posizione del cursore.

(adattare da Fisica per tutti, pag. 408)

3.10 La produzione dell’energia elettrica

Il grafico in figura 16 rappresenta i consumi annui di energia elettrica (curva blu in basso) e di

energia totale (curva rossa in alto) in Italia nel corso degli ultimi decenni (andamenti simili a questi

si registrano anche negli altri Paesi). Non soltanto il consumo di energia elettrica è aumentato nel

corso del tempo, ma è cresciuta anche la frazione dell’energia totale che viene richiesta come

elettricità. Ciò deriva dalla grande convenienza pratica di questa forma di energia. Essa infatti,

come si è già detto, ci permette di ottenere luce e calore, senza dover bruciare combustibili, e lavoro

meccanico dove e quando ci serve, senza dover usare motori termici, ed è inoltre essenziale per il

funzionamento degli apparati di elaborazione e di trasmissione delle informazioni.

Occorre tuttavia precisare che l’elettricità non è una “fonte” di energia, come il carbone o il

petrolio. Essa è piuttosto un “vettore” di energia, cioè un mezzo per trasportare energia a distanza e

per distribuirla agli utilizzatori. La generazione dell’energia elettrica avviene infatti attraverso la

conversione di altre forme di energia. Questi processi vengono attuati nelle centrali elettriche,

generalmente impiegando vari tipi di motori per azionare degli alternatori.

Nelle centrali idroelettriche si utilizza l’energia idraulica, cioè l’energia cinetica di un

flusso d’acqua, per mettere in rotazione delle turbine, cioè delle ruote dotate di palette. Nelle

centrali termoelettriche si utilizza l’energia termica ottenuta bruciando un combustibile, che a sua

volta deriva dall’energia chimica (energia di legame fra gli atomi) di queste sostanze, per azionare

dei motori termici, generalmente del tipo a turbina. Centrali termoelettriche di tipo particolare sono

le centrali geotermiche, che sfruttano il calore del sottosuolo, le centrali nucleari, che utilizzano il

calore prodotto da reazioni nucleari di fissione ( Tomo V, pag. xxx) di particolari sostanze

radioattive e le centrali solari termiche, che impiegano il calore del Sole. Nelle centrali solari

16

fotovoltaiche si sfrutta la conversione diretta della radiazione solare in elettricità utilizzando le celle

fotovoltaiche ( Tomo V, pag. xxx); nelle centrali eoliche, l’energia cinetica del vento.

Una caratteristica importantissima dei processi fisici utilizzati per convertire le diverse

forme di energia in energia elettrica è il rendimento. Per quanto riguarda gli alternatori, abbiamo già

detto che in queste macchine la conversione da energia cinetica in energia elettrica non presenta

limiti teorici e infatti in pratica il rendimento è appena inferiore all’unità. Diverso è il caso dei

motori termici, il cui rendimento, come sapete ( Tomo II, pag. xxx), dipende dalle temperature a

cui queste macchine scambiano energia termica con la sorgente calda e la sorgente fredda. I motori

termici, in pratica, convertono l’energia termica in energia cinetica con rendimenti fra il 30% e il

50%, fino al 60% negli impianti di più recente concezione. Le turbine idrauliche usate nelle centrali

idroelettriche, infine, offrono rendimenti assai elevati, fra l’80 e il 90%, nella conversione

dell’energia cinetica di un flusso d’acqua in quella di rotazione necessaria per azionare gli

alternatori.

Altre caratteristiche importanti delle centrali riguardano l’inquinamento che esse producono,

i costi di esercizio (che nel caso delle centrali termoelettriche dipendono dai combustibili usati) e la

continuità della fornitura dell’energia. Le centrali nucleari, per esempio, devono funzionare con

continuità; le centrali termoelettriche possono invece esser “accese” o “spente” quando è

necessario; il funzionamento delle centrali idroelettriche dipende dalla portata dei corsi d’acqua che

le alimentano o dalla disponibilità di acqua nei bacini montani, le centrali solari possono

evidentemente funzionare soltanto nelle ore centrali del giorno e se cielo è sereno, …

Di questi argomenti ci occuperemo più in dettaglio nel Tomo V.

Figura 16. Consumi annui di energia

elettrica (curva blu in basso) e di energia

totale (curva rossa in alto) in Italia. Dal 1960

a oggi è aumentata anche, dall’8 al 15%, la

frazione di energia elettrica rispetto

all’energia totale.

Figura 17. Schema del sistema di

generazione, trasmissione e distribuzione

dell’energia elettrica in corrente alternata.

Parti essenziali del sistema sono gli

alternatori, le linee di trasmissione e i

trasformatori.

(Adattare da il Mondo della Fisica, vol. B,

pag. 471, riducendo la torre a media

tensione )

Figura 18. Il consumo totale di energia elettrica in Italia nel

2004 è stato di 349 TWh = 1,26 EJ (1 EJ = 1015

J) al quale i

diversi tipi di centrali hanno contribuito come mostrato

nella figura A, con concorso prevalente delle centrali

termoelettriche e con forti importazioni dall’estero di

energia prodotta in centrali nucleari. La potenza totale delle

centrali italiane, 84,4 MW, è infatti insufficiente a

assicurare il fabbisogno. Tale potenza è fornita attualmente

per la maggior parte da centrali termoelettriche (61,5 MW)

e idrauliche (21,1 MW).

La Fisica della tecnologia 2. Le centrali di pompaggio.

I consumi di energia elettrica variano grandemente durante le stagioni, i giorni e le ore del giorno.

La figura A mostra per esempio che in una giornata invernale il fabbisogno nel pomeriggio è quasi

il doppio di quello delle ore notturne. Per fronteggiare la richiesta di energia nelle ore di punta

sarebbe necessario disporre di un numero di centrali assai maggiore di quanto occorrerebbe se il

fabbisogno fosse costante nel tempo. Risulta allora conveniente trasformare in energia potenziale

75,6%

21,5%

1,7%

0,6%

14,0%

termoelettrico

idraulico

geotermico

fotovoltaico ed eolico

importazioni

energia totale ed energia elettrica (EJ)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010

17

gravitazionale l’energia elettrica prodotta in eccesso nei periodi di minor consumo, per riottenerla poi quando serve. A questo scopo si utilizzano le cosidette centrali di pompaggio, nelle quali

l’energia elettrica in eccesso viene usata per pompare acqua da un bacino a un altro a quota più alta;

quando poi si richiede energia

elettrica, l’impianto funziona come

una normale centrale idroelettrica.

Uno dei maggiori impianti di questo

tipo, con potenza di 1 GW, si trova a

Presenzano, Caserta. I due bacini si

trovano rispettivamente a 150 e 630

metri di quota; la centrale comprende

quattro alternatori da 300 MW,

collegati ad altrettante turbine

idrauliche reversibili, che possono

funzionare sia come pompe che come

normali turbine (cioè motori idraulici).

Figura A Il grafico rappresenta il fabbisogno

orario di potenza elettrica (in GW) in Italia durante le 24 ore di giovedì 15 dicembre 2005.

(solo la linea rossa, in ascissa solo le ore pari, in ordinata le scritte senza virgole e zeri)

3.11 Il trasporto e la distribuzione dell’energia elettrica

Le centrali elettriche si trovano generalmente in luoghi lontani dalle città e dai siti industriali dove

si utilizza l’energia prodotta da esse, spesso anche a distanze notevoli. Perché le centrali

idroelettriche vanno situate in montagna o lungo i fiumi, le centrali termoelettriche vengono

costruite lontano dalle città per evitare di inquinarne l’aria con i fumi della combustione del carbone

o del petrolio, e gli altri tipi di centrali devono essere impiantate dove è disponibile calore dal

sottosuolo a profondità convenienti (centrali geotermiche), dove il vento soffia intensamente e con

continuità (centrali eoliche) o dove sono disponibili grandi spazi con forte insolazione (centrali

solari). Ma questo non è il solo motivo per cui occorre trasportare energia elettrica a distanza. Vi è

infatti anche la necessità di collegare fra loro le centrali di un Paese, e anche di più Paesi diversi, in

modo che esse possano contribuire assieme nel modo più conveniente e sicuro alla fornitura di

energia elettrica.

Per trasmettere l’energia elettrica a distanza si usa una rete di linee di trasmissione,

impiegando sia linee aeree, costituite da conduttori di rame o di alluminio sorretti da grandi torri,

sia cavi sotterranei, costituiti da conduttori ben isolati fra loro, posti all’interno di una guaina di

protezione, sia cavi sottomarini, attraverso bracci di mare.

A queste linee si richiede di trasportare grandi quantità di energia, con potenze quindi assai

elevate, e conseguentemente con inevitabili dissipazioni per effetto Joule nella resistenza dei

conduttori che le costituiscono. Per ridurre le dissipazioni si potrebbe diminuire la resistenza dei

conduttori, aumentandone la sezione, ma ciò non è conveniente dal punto di vista sia economico

(costo del metallo) sia pratico (peso eccessivo dei conduttori delle linee aeree). La scelta seguita

comunemente è perciò quella di ridurre l’intensità delle correnti a parità di potenza trasmessa. Ciò

si realizza, ricordando che la potenza è il prodotto della tensione per la corrente, con linee a tensioni

molto elevate, fino a centinaia di migliaia di volt. A questo scopo si impiegano dei trasformatori,

elevatori all’ingresso della linea, riduttori alla sua uscita; questi naturalmente introducono ulteriori

dissipazioni ma, come sappiamo, di modesta entità.

Esempio 8. Le linee ad alta tensione permettono di ridurre le perdite per effetto Joule.

Gli alternatori situati in una centrale elettrica generano corrente alternata alla tensione V1eff = 12

kV, con potenza P = 50 MW. Questa viene trasmessa a distanza con una linea elettrica i cui

conduttori presentano resistenza totale R = 1 . Vogliamo calcolare le dissipazioni per effetto Joule

18

nella linea, e quindi il suo rendimento energetico quando la corrente viene trasmessa: a) alla

tensione dell’alternatore , b) alla tensione V2eff = 220 kV.

La corrente erogata dagli alternatori ha intensità: i1eff = P/V1eff = 50∙106/12∙10

3 = 4,17∙10

3 A.

a) Alimentando direttamente la linea con questa corrente, la potenza dissipata nella linea è: P1diss =

i1eff2 R = (4,17∙10

3)21 = 1,74∙10

7 W, quella fornita al carico all’uscita della linea: P1’ = P - P1diss =

50∙106 - 1,74∙10

7 = 3,26∙10

7 W. Sicché il rendimento energetico della linea è: 1 = P1’/P =

3,26∙107/50∙10

6 = 65,2%.

b) Innalzando la tensione, con un trasformatore, da 12 kV a V2eff = 220 kV, la corrente inviata sulla

linea avrà intensità i2eff = P/V2eff = 50∙106/220∙10

3 = 227 A. In questo caso la potenza dissipata nella

linea è: P2diss = i2eff2 R = (227)

21 = 5,15∙10

4 W, quella fornita al carico all’uscita della linea: P2’ =

P – P2diss = 50∙106 - 5,15∙10

4 = 4,995∙10

7 W. Sicché il rendimento della linea è: 2 = P2’/P =

4,995∙107 /50∙10

6 = 99,9%.

Nei grandi sistemi elettrici si utilizzano linee a diversi livelli di tensione. Le tensioni più alte, in

Italia 220 e 380 kV, sono impiegate per trasmettere grandi quantità di energia a grandi distanze,

tensioni via via minori per trasmetterla localmente e poi per distribuirla agli utilizzatori: nelle

abitazioni e negli uffici a 220 V, alle industrie a tensioni più alte. In Italia la lunghezza totale delle

linee ad altissima tensione (220 e 380 kV) è di oltre 20000 km; circa altrettanto quella delle linee a

120 e 150 kV.

Collegamento con la storia 1. Corrente continua o corrente alternata? Sebbene nel corso dell’Ottocento gli impieghi pratici dell’elettricità avessero trovato un certo

sviluppo, le potenze utilizzabili in pratica erano relativamente modeste, in quanto le uniche sorgenti

di elettricità erano i generatori elettrochimici: pile e accumulatori. Una svolta decisiva si ebbe negli

anni attorno al 1880, grazie all’introduzione di generatori

elettromeccanici azionati da motori: la dinamo e

l’alternatore, che producevano rispettivamente correnti

continue e correnti alternate, in entrambi i casi fornendo

potenze considerevoli. E proprio in quegli anni sorse un

acceso dibattito su quale tipo di corrente fosse più

conveniente distribuire agli utilizzatori.

Acceso fautore delle correnti continue fu Edison,

che nel 1882 realizzò a New York una delle prime centrali elettriche, impiegando delle dinamo, per

alimentare gli impianti di illuminazione delle strade e degli edifici della città, sostituendo

l’illuminazione a gas usata a quel tempo. Ma si trovò presto che queste centrali potevano distribuire

l’elettricità soltanto a distanze relativamente brevi, oltre le quali le dissipazioni per effetto Joule

nelle linee elettriche di collegamento risultavano inaccettabili. Le tensioni utilizzate erano infatt i

relativamente basse (240 V) e conseguentemente le correnti molto intense. Sicché le centrali,

alimentate a carbone, dovevano essere situate

nel centro delle città, con evidenti inconvenienti,

ma l’attenzione ai problemi ambientali era

all’epoca assai minore di oggi.

Per l’affermazione delle correnti

alternate risultò decisivo l’impiego dei

trasformatori, che consentivano di innalzare a

tensioni elevate le correnti generate dagli

alternatori, trasmetterle a distanza senza perdite

eccessive, e poi ridurne la tensione per

distribuirle convenientemente agli utilizzatori.

Uno dei primi impianti di questo tipo fu

realizzato nel 1892 dal fisico italiano Giuseppe

Nella sua polemica contro l’impiego delle

correnti alternate, mirata all’affermazione

delle tecnologie in suo possesso, Edison

tentò per anni di screditarle, insistendo sulla

loro maggiore pericolosità per l’uomo. Egli

riuscì addirittura a far adottare la corrente

alternata per le esecuzioni capitali nello

stato di New York.

19

Mengarini, professore di elettrotecnica all’università di Roma, collegando la rete elettrica della città

a una centrale idroelettrica situata a Tivoli con una linea ad alta tensione funzionante a 5000 volt.

Figura. Le prime centrali elettriche, che usavano motori termici e dinamo per generare correnti continue, erano situate

nel centro delle città. Nella fotografia la prima centrale italiana, costruita nel 1883 a Milano in via Santa Radegonda, nei

pressi del Duomo. Quattro dinamo fornivano 350 kW complessivi: quanto bastava per accendere 4800 lampade ad

incandescenza da 16 candele, alimentate a circa 100 V. Ma soltanto nel raggio di poche centinaia di metri.

La Fisica intorno a noi 1. I blackout elettrici.

Si verificano talvolta, sebbene assai di rado, delle interruzioni della fornitura di energia elettrica di

durata relativamente lunga (ore o giorni) e riguardanti regioni più o meno estese, che prendono il

nome di blackout (oscuramento). Le conseguenze, si capisce, sono pesantissime: tutte le luci si

spengono, gli apparecchi elettrici smettono di funzionare, si bloccano gli ascensori delle case come

pure le ferrovie metropolitane, il traffico impazzisce perché i semafori non funzionano, …

Uno di questi eventi ebbe luogo nel novembre 1965, in una vasta regione degli Stati Uniti e

del Canada comprendente la città di New York. 30 milioni di persone dovettero aspettare molte ore,

in alcune zone addirittura giorni, prima che il servizio venisse ristabilito. Un altro caso del genere,

sempre in Usa, si verificò nell’agosto 2003, questa volta riguardando ben 50 milioni di persone. In

Italia si ricorda il blackout del settembre 2003, che coinvolse tutto il Paese, ad eccezione della

Sardegna, e una parte della Svizzera. L’interruzione della fornitura ebbe inizio alle 3:30 della notte

del 28 settembre e terminò poche ore dopo in alcune zone, protraendosi in altre fino al pomeriggio.

Le cause dell’evento del 28 settembre sono state investigate. Causa specifica fu il ramo di

un albero (evidentemente non potato a regola) che il vento portò a sfiorare i conduttori di un

elettrodotto in Svizzera, provocando alle 3:01 un cortocircuito che mise fuori servizio la linea, che

trasmetteva energia verso l’Italia. A seguito di ciò, altre linee, che portavano anch’esse energia

verso l’Italia dalla Francia e dalla Svizzera, subirono un aumento dell’intensità di corrente per

compensare il deficit. Esse subirono un graduale riscaldamento dei conduttori, fino

all’interruzione, alle 3:25, per l’intervento degli interruttori di sicurezza (ciò si sarebbe evitato se gli

operatori delle reti elettriche dei tre Paesi si fossero scambiati in tempo le informazioni sulla

situazione). A quel punto tutto il sistema elettrico nazionale entrò in crisi: gli interruttori di

protezione delle centrali in funzione in quel momento, insufficienti alla bisogna, le distaccarono

automaticamente dalla rete e l’Italia rimase al buio.

Cause più remote, d’altra parte, sono la debolezza del nostro sistema di produzione di

elettricità, che richiede forti approvvigionamenti dall’estero. Le importazioni sono, d’altra parte,

fortemente incentivate dal fatto che l’energia elettrica prodotta in Italia è più costosa di quella

prodotta altrove (per esempio in Francia, dove sono attive numerose centrali nucleari). Nel

momento dell’interruzione, infatti, l’Italia stava importando ben 6,4 GW di potenza.

20

Test di verifica

1) La tensione indotta in una spira che ruota in un campo magnetico è sempre nulla quando il

campo è diretto

Ο parallelamente Ο perpendicolarmente Ο a 45° rispetto

all’asse di rotazione della spira

2) Vero o falso? V F

- la tensione indotta in una spira in un campo magnetico è direttamente proporzionale al flusso

concatenato con essa O O

- la tensione indotta in una spira che ruota in un campo magnetico è direttamente proporzionale

alla derivata rispetto al tempo del flusso concatenato con essa O O

- l’ampiezza della tensione indotta in una spira che ruota in un campo magnetico è direttamente

proporzionale alla sua velocità di rotazione O O

- la tensione indotta in una spira che ruota in un campo magnetico è direttamente proporzionale

all’area della sua superficie O O

- una corrente elettrica non può scorrere in un circuito nel quale non vi è un generatore O O

3) La tensione indotta in una spira che ruota in un campo magnetico ha

Ο la stessa ampiezza Ο la stessa fase Ο la stessa frequenza

delle variazioni del flusso concatenato con essa

4) Sottolineate gli errori che individuate nella frase seguente.

La corrente continua scorre sempre nello stesso senso con intensità variabile; la corrente

alternata scorre con intensità costante, e il suo senso s’inverte una volta durante ogni periodo.

5) Completate la frase seguente

Il valore efficace di una corrente alternata è l’intensità della corrente continua che, attraversando

lo stesso conduttore, dissiperebbe per effetto Joule la stessa potenza della corrente alternata.

6) La corrente alternata descritta dalla legge 0 seni t i t ha valore efficace

O i0 O i0/√2 O √2 i0

7) Il valore efficace della corrente che scorre in un resistore da 1000 ohm collegato a una

tensione alternata di ampiezza V0 = 100 volt è

O 0,1 A O 0,141 A O 0,0707 A

8) La corrente che scorre in un resistore alimentato da una tensione alternata con frequenza di

400 Hz ha il periodo di

O 400 ms O 400 Hz O 2,5 ms

9) La potenza media dissipata da una corrente alternata in un circuito resistivo si può esprimere

come prodotto del valore efficace della corrente per

O la resistenza del circuito O il reciproco della resistenza O il valore efficace della tensione

10) Negli alternatori la corrente indotta viene generata in bobine

O rotanti in un campo magnetico costante O fisse in un campo magnetico

variabile O fisse in un campo magnetico costante

11) Le bobine usate negli alternatori hanno generalmente

O molte spire O poche spire O una elevata resistenza elettrica

21

12) Gli alternatori convertono energia meccanica in energia elettrica con rendimenti di circa il

O 30% O 50% O 90%

13) Alla frequenza di risonanza un circuito RLC si comporta come un circuito puramente

O resistivo O induttivo O capacitivo

14) Nei circuiti costituiti da resistori, condensatori e induttori percorsi da una corrente alternata

la corrente e la tensione hanno sempre la stessa

O ampiezza O frequenza O fase

15) L’impedenza di un circuito in corrente alternata è definita come il rapporto fra i valori

efficaci della

O tensione e della corrente O corrente e della tensione O tensione e della resistenza

16) Un generatore di tensione sinusoidale con valore efficace

di 220 V alimenta un circuito nel quale scorre una corrente

con valore efficace di 0,18 A, con ritardo di fase di 30°

rispetto alla tensione. Pertanto la potenza fornita dal

generatore è

O 1222 W O 39,6 W O 34,3 W

17) Se l’onda a) rappresenta la tensione che alimenta un

circuito in corrente alternata, la corrente che vi scorre non è

certamente rappresentata nel grafico

O b) O c) O d)

18) Vero o falso? V F

In un circuito induttivo la corrente è in anticipo rispetto alla tensione O O

In un circuito capacitivo la corrente è direttamente proporzionale alla frequenza O O

L’impedenza di un induttore è direttamente proporzionale alla frequenza O O

La condizione di risonanza non può verificarsi in un circuito privo di capacità O O

In un circuito RLC la corrente può scorrere sia in anticipo che in ritardo rispetto alla tensione

O O

19) Raddoppiando la frequenza della tensione applicata a un induttore, l’intensità della corrente

che lo attraversa

O si raddoppia O resta uguale O si dimezza

20) Raddoppiando la frequenza della tensione applicata a un condensatore, l’impedenza

dell’elemento

O si raddoppia O resta uguale O si dimezza

21) La corrente che scorre in un circuito RLC in condizioni di risonanza ha sfasamento

O in anticipo O nullo O in ritardo

rispetto alla tensione

22) I trasformatori servono a modificare

O la frequenza O la fase O la tensione

di una corrente elettrica

22

23) La potenza che il secondario di un trasformatore eroga a un circuito esterno è

O maggiore di O poco inferiore a O decisamente minore di

quella che il generatore fornisce al primario

24) Sottolineate gli errori che individuate nella frase seguente.

Il trasformatore è un dispositivo il cui funzionamento è basato sull’induzione elettrostatica. Esso

permette di innalzare o abbassare la tensione di una corrente continua.

25) In un trasformatore elevatore di tensione il numero di spire dell’avvolgimento primario è

O minore di O uguale a O maggiore di

quello dell’avvolgimento secondario

26) Vero o falso? V F

Il funzionamento dei trasformatori è basato sull’induzione elettromagnetica O O

Un trasformatore elevatore può essere usato come riduttore, scambiando fra loro gli

avvolgimenti O O

I trasformatori possono avere un rendimento poco inferiore all’unità O O

Il rendimento di un trasformatore dipende dall’entità delle correnti parassite nel nucleo O O

27) Un trasformatore assorbe 1,2 A quando il primario è collegato alla tensione di 220 V. Se la

tensione al secondario, collegato a un carico, è di 125 V, la corrente nel carico è di circa

O 2,1 A O 0,68 A O 2,4 A

28) Due linee elettriche sono usate per trasmettere la stessa energia. La linea A lavora a 10 kV e

presenta resistenza di 1 . La linea B lavora a 100 kV e presenta resistenza di 100 . La dissipazione di energia nella linea A è

O maggiore O uguale a O minore di

quella nella linea B

29) A parità di potenza trasmessa lungo una linea elettrica, e a parità di resistenza della linea, le

dissipazioni di potenza nei suoi conduttori sono

O inversamente proporzionali alla

O direttamente proporzionali alla

O inversamente proporzionali al quadrato della

tensione di lavoro della linea.

23

Problemi e quesiti

1. La nozione di valore efficace di una corrente alternata, secondo voi, si può applicare anche a

correnti elettriche di forma non sinusoidale? Risoluzione. Sì. La definizione di valore efficace è infatti basata sull’equivalenza fra il calore sviluppato da una

corrente continua e da una alternata, e quindi è applicabile anche a onde di forma diversa da quella sinusoidale.

2. Calcolate la corrente che scorre in una stufetta elettrica che assorbe dalla rete l’energia di 4

kWh durante 5 ore di funzionamento. . Risoluzione. La potenza della stufetta è P = E/t = 4 kWh/5 h = 800 W. Dato che si tratta di un circuito resistivo,

possiamo ricavare il valore efficace della corrente dalla formula (9): ieff = P/Veff = 800/220 = 3,64 A.

3. Determinate il valore efficace di un’onda rettangolare di corrente ( fig. 4 b)) la cui

intensità assume periodicamente i valori 2 A e –2 A. Risoluzione. La potenza dissipata per effetto Joule è direttamente proporzionale al quadrato dell’intensità di

corrente, e quindi non dipende dal segno dell’intensità, cioè dal senso in cui scorre la corrente. Pertanto il valore

efficace della corrente considerata, la cui intensità ha modulo costante di 2 A, è 2 A.

4. * Vogliamo misurare il valore efficace di una tensione alternata v(t) utilizzando i circuiti

elettronici A, B e C che svolgono le seguenti funzioni. L’uscita di A fornisce il valor medio

del suo ingresso; l’uscita di B fornisce il quadrato del suo ingresso; l’uscita di C fornisce la

radice quadrata del suo ingresso. Spiegate come disporreste i tre circuiti per eseguire la

misura. Risoluzione. La potenza dissipata in un resistore di resistenza R al quale è applicata una tensione continua V è Pcc =

V2/R; la potenza media dissipata in un resistore al quale è applicata una tensione alternata v(t) è 2 /caP v t R .

Si ha dunque l’equivalenza quando 2

effV V v t . Il valore efficace di una tensione alternata, e in generale di

una tensione variabile, si calcola pertanto eseguendo il quadrato della tensione, poi calcolando il valor medio del

quadrato e infine calcolando la radice quadrata

del risultato. Pertanto i tre circuiti vanno

disposti come indicato a fianco.

5. Un alternatore genera 1 MW alla tensione efficace di 15 kV. Quale deve essere la resistenza

elettrica delle sue bobine per ottenere un rendimento del 95%? Risoluzione. La corrente indotta nelle bobine dell’alternatore è i = (1 MW)/(15 kV) = 66,7 A. E’ ragionevole imporre

che la macchina abbia un rendimento del 95%, che ammettiamo sia dovuto alle perdite per effetto Joule nelle bobine. Si

ha pertanto Pdiss = 1 MW 5/100 = 50 kW. La potenza dissipata nelle bobine è evidentemente Pdiss = i2 R, da cui si

ricava la resistenza R = Pdiss/i2 = 50∙10

3/66,7

2 = 11,2 .

6. Spiegate perché la potenza istantanea in figura 4 presenta due massimi per ogni periodo

della corrente alternata. Risoluzione. Il valore istantaneo della potenza dissipata è i

2(t)R, che presenta un massimo sia quando i = i0 sia quando

i = -i0, e quindi due volte durante ciascun periodo della corrente

7. Su un quotidiano economico si legge che sono in vendita le azioni di una società che

produce un nuovo tipo di generatore elettrico, in grado di trasformare 50 MJ di energia

meccanica in 25 kWh di energia elettrica ogni secondo. Comprereste le azioni di questa

società? Risoluzione. No. Il nuovo generatore dovrebbe avere un rendimento di 25 kWh / (50 MJ 1 s) = 25∙10

33600/50∙10

6 =

180%. E ciò è impossibile in base al principio di conservazione dell’energia.

8. * Due normali lampadine a incandescenza, una da 150 W, molto luminosa, e una da 40 W,

meno luminosa, vengono collegate in serie alla rete elettrica. Stabilite se esse brillano con la

stessa intensità oppure se una di esse brilla più intensamente dell’altra, e in tal caso quale.

v(t) v2(t) v

2(t) Veff

B A C

24

Risoluzione. La lampadina a incandescenza è un oggetto resistivo, il cui funzionamento è basato sull’effetto Joule: se la

sua resistenza è R, la potenza sviluppata in corrente alternata è P = i2

eff R = V2

eff/R, dove R = Veff/ieff. Concludiamo che

la resistenza delle due lampadine A e B, di potenza PA = 150 W e PB = 40 W è rispettivamente: RA = V2

eff/PA =

2202/150 = 323 e RB = V

2eff/PB = 220

2/50 = 968 . Quando esse sono collegate in serie alla rete, il valore efficace

della corrente che le attraversa è ieff = Veff/(RA + RB) = 220/(323 + 968) = 0,17 A. La potenza sviluppata nella

lampadina A è PA’ = i2

eff RA = 0,172323 = 9,33 W. La potenza sviluppata nella lampadina B è PB’ = i

2eff RB =

0,172968 = 30 W. Quindi sarà quest’ultima a brillare più intensamente della prima (che in effetti resterà praticamente

spenta). Conviene osservare che, in realtà, la resistenza delle lampadine dipende dalla temperatura a cui si trova il

filamento e quindi dalla potenza sviluppata effettivamente, sicché l’ipotesi di considerarla costante nei calcoli

precedenti costituisce una approssimazione.

9. Una lampadina a incandescenza è attraversata da una corrente alternata con frequenza di 5

Hz. Calcolate il numero di bagliori di luce che essa emette durante 10 s. Risoluzione. La potenza istantanea dissipata in un resistore da una corrente alternata di frequenza f ha frequenza 2f,

come mostra la figura 3. Pertanto, se la corrente ha frequenza 5 Hz, la potenza istantanea ha frequenza 10 Hz, sicché il

numero dei bagliori di luce emessi in 10 s dalla lampadina è 1010 = 100.

10. Utilizzate i risultati dell’Esempio 2, supponendo di sostituire la spira con una bobina di 100

spire percorsa da una corrente alternata con i0 = 200 A, per calcolare: a) la potenza

istantanea del motore quando il piano della bobina forma un angolo di 45° rispetto alla

direzione del campo magnetico; b) la potenza media del motore. Risoluzione. Le forze agenti sulla bobina di 100 spire percorse da una corrente di intensità 200/5 = 40 volte maggiore

sono complessivamente 10040 = 4000 volte più intense di quelle calcolate nell’esempio. Ne consegue che quando la

bobina si trova a 45° rispetto al campo il modulo del momento M è 0,014000 = 40 Nm e la potenza istantanea del

motore è: P = 3,144000 = 12,56 kW.

11. Dimostrate la formula (10), ricordando che i valori medi di sen2 e sencos (per 0 ),

quando e variano da 0 a 2, sono 2sen 1/ 2 e sen cos 0 .

Risoluzione. Essendo Veff = V0/2 e ieff = i0/2, si ha V0i0 = 2Veffieff. La formula (10) si dimostra utilizzando l’identità

sen( + ) = sen cos + cos sen e quelle ricordate nell’enunciato.

12. Una tensione alternata con valore efficace 380 volt viene applicata a un circuito dove scorre

una corrente con valore efficace di 4,18 A. La potenza media assorbita dal circuito è 1,2

kW, sebbene il prodotto Veff ieff fornisca il valore: 3804,18 = 1588 W. Spiegate l’apparente

incongruenza. Risoluzione. La formula (9) vale soltanto per un circuito puramente resistivo. In generale, per un circuito a corrente

alternata si deve applicare la formula (10), che tiene conto del fatto che vi può essere uno sfasamento fra la tensione e

la corrente. Nel caso in questione da tale formula si ricava: cos = P/(Veff Ieff) =1200/1588 = 0,756. A tale valore del

coseno corrispondono i seguenti due possibili valori dello sfasamento della corrente rispetto alla tensione: 40,9°, -40,9°.

13. La corrente che scorre nel conduttore di ritorno di un sistema trifase ( La Fisica della

tecnologia 2.) è la somma delle seguenti tre correnti: i1(t) = i01 sen(t), i2(t) = i02 sen(t +

120°), i3(t) = i03 sen(t + 240°). Dimostrate matematicamente che questa corrente è nulla

quando le tre correnti hanno la stessa ampiezza, cioè: i01 = i02 = i03 = i0. Risoluzione. Il problema si risolve utilizzando l’identità trigonometrica sen( + ) = sencos + cos sen. Si ha

infatti: i1(t) + i2(t) + i3(t) = i0[sen(t) + sen(t) cos(120°) + cos(t) sen(120°) + sen(t) cos(240°) + cos(t) sen(240°)].

Essendo cos(120°) = cos(240°) = 0,5; sen(120°) = - sen(240°), si ha: i1(t) + i2(t) + i3(t) = 0.

14. Un motore elettrico, alimentato alla tensione Veff = 380 volt, viene utilizzato per sollevare di

14 m una tonnellata di pietre. Durante la manovra, che dura T = 10 s, il motore è

attraversato da una corrente che presenta un ritardo di fase 20° rispetto alla tensione, con

valore efficace di 45 A. Calcolate il rendimento del motore. Risoluzione. La potenza elettrica assorbita dal motore, utilizzando la formula (10), è P = Veff ieff cos = 380450,94

W = 16,1 kW. E quindi l’energia elettrica assorbita nell’intervallo di tempo T è Eel = PT = 1,61∙10410 = 1,61∙10

5 J.

25

L’energia meccanica necessaria a sollevare il carico è: Em = mgh = 1039,814 =1,37∙10

5 J. Pertanto il rendimento del

motore è: Em/Eel = 1,37∙105/1,61∙10

5 = 85,1%.

15. Una bobina di induttanza L = 50 mH e resistenza trascurabile è alimentata da una tensione

alternata con valore efficace Veff = 24 volt e frequenza f = 400 Hz. Calcolate il valore

massimo dell’intensità della corrente. Ripetete il calcolo alle frequenze f/2 e 2f. Risoluzione. L’impedenza della bobina è data dalla formula (13): Z = 2fL = 6,284000,05 = 126 . Pertanto il

valore efficace della corrente è: ieff = Veff/Z = 24/126 = 0,19 A; il valore massimo, 0,19 √2 = 0,269 A. Alla

frequenza f/2 = 200 Hz, l’impedenza si dimezza e la corrente si raddoppia, con valore massimo 0,538 A. Alla

frequenza 2f = 800 Hz, l’impedenza si raddoppia e la corrente si dimezza, con valore massimo 0,135 A.

16. Determiniamo la capacità di un condensatore collegandolo a un generatore di tensione (Veff

= 10 volt) alla frequenza di 20 kHz e misurando la corrente che lo attraversa: ieff = 2,5 mA.

Calcolate il valore della capacità. Risoluzione. L’impedenza del condensatore, data dalla formula (16), rappresenta il valore del rapporto fra la

tensione agli estremi dell’elemento e la corrente che lo attraversa a una data frequenza. Si ricava pertanto: C = ieff

/(Veff) = 2,5∙10-3

/(6,2820∙10310) = 1,99∙10

-9 F.

17. Vogliamo determinare l’induttanza di una bobina

collegandola a un generatore di tensione (Veff = 10

volt) e misurando la corrente che la attraversa a

varie frequenze. I risultati sono raccolti nelle

prime due colonne della tabella. Utilizzate questi

dati per calcolare l’impedenza della bobina alle

varie frequenze, compilando la terza colonna, e la

corrispondente induttanza della bobina, impiegando la formula (13) per compilare la quarta

colonna. Discutete le discrepanze fra i valori che avete riportato nella quarta colonna della

tabella, giungendo a una stima attendibile dell’induttanza della bobina. Risoluzione. L’impedenza della bobina alle varie frequenze si calcola eseguendo il rapporto fra la tensione del

generatore (10 volt) e la corrente, come rappresentato nella terza colonna della tabella. L’induttanza della bobina,

supponendo di poterne trascurare la resistenza, si ricava dalla formula

(13): L = Z/, come rappresentato nella quarta colonna della tabella. I

valori di induttanza così ottenuti sono evidentemente diversi a causa

degli inevitabili errori sperimentali. Per ricavare una stima

complessiva dell’induttanza si può calcolarne il valor medio,

ottenendo così: L = 0,1345 H. Si nota tuttavia che i valori di

induttanza determinati alle frequenze più basse si discostano dagli

altri, essendo decisamente più elevati. Ciò induce a supporre che a

queste frequenze non sia corretto trascurare l’effetto della resistenza

della bobina sulla sua impedenza ( Esempio 4); e in effetti lo scostamento è tanto maggiore quanto più bassa è le

frequenza. Conviene perciò ripetere il calcolo del valor medio escludendo i dati a 0,5 kHz e 1 kHz. Si ottiene così la

stima L = 0,1215 H, a cui si potrebbe assegnare un errore utilizzando in qualche modo gli scarti fra la stima e i valori

sperimentali. Applicando metodi statistici più raffinati si potrebbe poi utilizzare tutti i dati per stimare sia l’induttanza

che la resistenza della bobina, rappresentando in tal caso l’impedenza con la formula riportata nell’Esempio 4.

18. Vogliamo realizzare una impedenza Z = 1000 alla frequenza di 100 kHz usando un condensatore. Calcolate il valore della capacità necessaria.

Risoluzione. L’impedenza di un condensatore è data dalla formula (16). Da questa si ricava: C = 1/(2fZ) =

1/(6,281051000) = 1,59∙10

-9 F = 1,59 nF.

19. Ricavate graficamente il valore della frequenza di risonanza del circuito costituito da un

condensatore di capacità C = 2,56 nF in serie a una bobina di induttanza L = 10 H,

individuando la frequenza a cui l’impedenza della bobina uguaglia quella del condensatore.

(Suggerimento: tracciate i grafici dell’impedenza dei due elementi fra 0,6 MHz e 1,2 MHz

con passo di 0,1 MHz.). Controllate il risultato confrontandolo con il valore della frequenza

di risonanza ottenuto applicando la formula (19).

frequenza

(kHz)

corrente

(mA)

impedenza

(kΩ)

induttanza

(H)

0,5 18,2

1 10,9

2 6,80

5 2,53

10 1,39

20 0,62

frequenza

(kHz)

corrente

(mA)

impedenza

(kΩ)

induttanza

(H)

0,5 18,2 0,549 0,175

1 10,9 0,917 0,146

2 6,80 1,47 0,117

5 2,53 3,95 0,126

10 1,39 7,2 0,115

20 0,62 16,1 0,128

26

Risoluzione. La tabella rappresenta le impedenze dei due

elementi, calcolate con le

formule (13) e (16).

Tracciando i grafici, si trova

che le due impedenze sono

uguali fra loro alla frequenza

di circa 1 MHz. Tale valore è

in buon accordo con quello

calcolato usando la formula

(19): fR = 1/(2√(LC)) =

1/(6,28√(10-52,56∙10

-9) =

9,995∙105 Hz = 0,995 MHz.

20. * Un circuito, costituito da un resistore R = 1000 e da un induttore L = 100 mH disposti

in serie, è alimentato da una tensione alternata di valore efficace 10 V alla frequenza di 20

kHz. Calcolate il valore efficace della corrente che scorre nel circuito. Volgiamo aumentare

questa corrente di un fattore 10, a parità di tensione applicata, inserendo nel circuito un altro

elemento, senza modificarne gli altri componenti. Quale elemento? Di che valore?

Risoluzione. L’impedenza del circuito ( Esempio 4) è: 22 2 2 41000 (6,28 20000 0,1) 1,26 10Z R L . Per

aumentare la corrente occorre diminuire l’impedenza del circuito. Ciò si può ottenere disponendo in serie al circuito un

condensatore C. In tal caso, come mostra la formula (17) qui riportata2

2 1Z R L

C

, l’impedenza diminuisce

perché al termine L viene sottratto il termine 1/C. In particolare, per aumentare la corrente di un fattore 10 occorre

diminuire l’impedenza dello stesso fattore, cioè scegliere un valore di capacità per cui Z = 1260 . Elevando al

quadrato, si ha 2

2 2 1Z R L

C

, da cui si ricava:

10

2 2 2 2

1 1 1 16,75 10

6,28 20000 6,28 20000 0,1 1260 1000C F

L Z R

21. Un generatore di tensione sinusoidale, di valore efficace Veff = 12 volt e frequenza f = 5000

Hz, viene collegato a un circuito comprendente una bobina di induttanza L = 0,15 H, un

resistore di resistenza R = 1000 e un condensatore di capacità C = 10 nF, disposti in serie. Calcolate i valori efficaci delle tensioni misurate disponendo un voltmetro in parallelo a

ciascuno degli elementi e delle correnti misurate disponendo un amperometro in serie a

ciascuno di essi. Calcolate inoltre lo sfasamento fra la corrente e la tensione applicata, per

stabilire se il comportamento complessivo del circuito è di tipo capacitivo o induttivo. Risoluzione. L’impedenza complessiva del circuito, data dalla formula (17), è:

22

2 2

9

1 11000 6,28 5000 0,15 1824

6,28 5000 10 10Z R L

C

. Pertanto il valore

efficace della corrente che attraversa il circuito, la stessa nei tre elementi, è: ieff = Veff /Z =12/1824 = 6,58∙10-3

A. Le

tensioni efficaci agli estremi dei tre elementi si determinano moltiplicando la corrente per l’impedenza di ciascuno di

essi: VeffR = ieff R = 6,58∙10-3

1000 = 6,58 volt; VeffL = ieff L = 6,58∙10-3

6,2850000,15 = 31,0 volt; VeffR = ieff

/C = 6,58∙10-3

/(6,28500010-8

) = 21,0 volt. Lo sfasamento della corrente si ricava dalla formula (18):

8

116,28 5000 0,15

6,28 5000 10tang 1,53

1000

LC

R

. Da cui si ha: = arctang(1,53) = 56,8°.

Siccome lo sfasamento è positivo, la corrente ritarda rispetto alla tensione, indicando che il comportamento del circuito

è di tipo induttivo.

frequenza ZL ZC

(MHz) (ohm) (ohm)

0,6 37,7 103,7

0,7 44,0 88,9

0,8 50,2 77,8

0,9 56,5 69,1

1 62,8 62,2

1,1 69,1 56,5

1,2 75,4 51,8

0,0

20,0

40,0

60,0

80,0

100,0

120,0

0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

27

22. Collegando separatamente un

resistore, un induttore e un

condensatore a un generatore

di tensione alternata, si

ottengono i grafici a fianco

che descrivono l’intensità della corrente al variare della frequenza mantenendo costante la

tensione. Attribuite i grafici agli elementi corrispondenti, giustificando le vostre scelte. Risoluzione. L’impedenza di un resistore (R) non dipende dalla frequenza e quindi la corrente è anch’essa indipendente

dalla frequenza, sicché a tale elemento si attribuisce il grafico C. L’impedenza di un induttore (L) è direttamente

proporzionale alla frequenza e quindi la corrente è inversamente proporzionale alla frequenza, sicché a tale elemento si

attribuisce il grafico A. L’impedenza di un condensatore (1/C) è inversamente proporzionale alla frequenza e quindi la

corrente è direttamente proporzionale alla frequenza, sicché a tale elemento si attribuisce il grafico B.

23. Una lampadina da 220 V non si accende correttamente perché è collegata alla rete attraverso

un condensatore. Come si può modificare il circuito, senza eliminare il condensatore, per

alimentare correttamente la lampadina? Si può disporre un induttore in serie al circuito, scegliendone l’induttanza in modo che la frequenza di risonanza del

circuito eguagli quella della rete. In tal caso infatti, come mostra la formula (17), l’impedenza complessiva del circuito

si riduce a quella della resistenza della lampadina, che quindi sarà attraversata da una corrente sufficiente ad accenderla.

24. Il valore istantaneo della tensione di un generatore di laboratorio varia fra –15 e +15 volt

con legge sinusoidale alla frequenza di 1 kHz. Calcolate il valore efficace della corrente che

attraversa un condensatore da 100 nF collegato allo strumento. Risoluzione. L’ampiezza massima della tensione del generatore è V0 = 15 volt e pertanto il suo valore efficace è

Veff = 15/√2 = 10,6 volt. L’impedenza del condensatore a 1000 Hz si calcola utilizzando la formula (16): Z = 1/C

= 1/(6,28100010-7

) = 1592 Ω. E quindi il valore efficace della corrente attraverso il condensatore è: ieff = Veff/Z =

10,6/1592 = 6,66∙10-3

A.

25. Un trasformatore, il cui primario viene alimentato a 220 volt, deve fornire in uscita le

seguenti tensioni: 24 V, 12 V e 6 V. Disegnate lo schema del trasformatore, indicando il

numero di spire di ciascun avvolgimento, sapendo che il primario ha 587 spire. Risoluzione. Il trasformatore dovrà avere tre diversi avvolgimenti secondari, il numero delle spire dei quali si

calcola utilizzando la formula (21). L’avvolgimento che fornisce 6 V avrà 5876/220 = 16 spire. L’avvolgimento

che fornisce 12 V avrà 58712/220 = 32 spire. L’avvolgimento che fornisce 24 V avrà 58724/220 = 64 spire.

(disegno di un trasformatore con un primario e tre secondari, indicandone le tensioni e il numero di spire)

26. Il trasformatore A, per errore, viene realizzato avvolgendone le bobine su un nucleo chiuso

di plastica anziché di materiale ferromagnetico. Il trasformatore B, sempre per errore, viene

realizzato avvolgendone le bobine su un nucleo chiuso di alluminio anziché di materiale

ferromagnetico. Che succede, secondo voi, nei due casi? Dando tensione al primario, si

osserva tensione al secondario? Risoluzione. In entrambi i casi viene a mancare il materiale ad alta permeabilità magnetica, che guida le linee del

campo magnetico generato dal primario. E quindi, in prima approssimazione, il campo generato dal primario è

sostanzialmente quello di una bobina in aria, sicché il secondario è attraversato soltanto da una modesta frazione

delle linee del campo del primario con la conseguenza che la tensione indotta è assai minore del previsto. Nel caso

del trasformatore B, inoltre, nel nucleo di alluminio si sviluppano intense correnti parassite, che lo riscaldano.

27. Una linea elettrica per trasmettere energia a distanza viene collegata a un alternatore di

potenza P = 10 MW. Calcolate la resistenza della linea perchè le perdite nella linea siano il

5% della potenza dell’alternatore nell’ipotesi che la tensione di linea sia rispettivamente di:

a) 1 kV, b) 25 kV, c) 220 kV. Calcolate nei tre casi la sezione dei conduttori di rame da

utilizzare nella linea, che deve collegare due località situate a 10 km di distanza. Risoluzione. La corrente efficace nella linea, trascurando gli sfasamenti, è rispettivamente: a) ia = 10 MW/1 kV = 10000

A, b) ib = 10 MW/25 kV = 400 A, c) ic = 10 MW/220 kV = 45,5 A. La potenza che può essere dissipata nella linea è

Pdiss = (5/100)10 MW = 5105 W, che va uguagliata a i

2 R per calcolare la resistenza R = Pdiss/i

2 della linea nei tre casi.

frequenza frequenza frequenza

A B C

28

Si ottiene così: a) Ra = 5105 /10000

2 = 0,005 , b) Rb = 510

5/400

2 = 3,13 , c) Rc = 510

5/45,5

2 = 242 . La sezione S

del conduttore si ricava dalla seconda legge di Ohm: S = L/R, dove la resistività del rame, in unità pratiche ( tabella

2 a pag. xxx) è = 0,017 mm2/m e la lunghezza totale dei conduttori è L = 20000 m. Si ha pertanto: a) Sa =

(0,01720000/0,005) mm2 = 68000 mm

2, b) Sb = (0,017 20000/3,13) mm

2= 109 mm

2, c) Sc = (0,017 20000/242) =

1,4 mm2.

28. Nel 2002 il Patent Office degli Stati Uniti ha assegnato il brevetto n. 6362718 a un nuovo

tipo di generatore elettrico denominato MEG (Motionless Electrical Generator, generatore

elettrico senza parti in movimento). Questa macchina è costituita da due bobine avvolte su

un nucleo ferromagnetico, all’interno del quale si trova un potente magnete permanente.

L’inventore afferma che, quando si fornisce energia elettrica all’avvolgimento primario, dal

secondario si può ottenere una maggiore quantità di energia, che viene fornita dal magnete

permanente. Esprimete la vostra opinione al riguardo. Risoluzione. E’ evidentemente impossibile, in base al principio di conservazione dell’energia, che il dispositivo MEG

possa effettivamente offrire le prestazioni dette sopra. Del resto, in base alla sommaria descrizione (maggiori dettagli al

sito http://peswiki.com/index.php/PowerPedia:Motionless_Electrical_Generator), il dispositivo appare costituito

essenzialmente da un trasformatore, e non ha senso inoltre ammettere che il campo magnetico statico di un magnete

permanente possa intervenire, per di più fornendo energia, nel fenomeno dell’induzione elettromagnetica fra i due

avvolgimenti del trasformatore. Stupisce pertanto che a un dispositivo siffatto sia stato assegnato un brevetto.

29. Un trasformatore, dopo essere stato fissato a un sostegno usando una staffa metallica

disposta attorno al nucleo magnetico, non funziona correttamente, presentando al secondario

una tensione assai più bassa del previsto e sviluppando forte calore. Spiegate perché. (disegno di un trasformatore fissato a un sostegno con una staffa chiusa attorno al nucleo)

Risoluzione. La staffa metallica attorno al nucleo costituisce una spira in cortocircuito, nella quale scorre una

intensa corrente indotta, con conseguente forte dissipazione di potenza.

30. Calcolate la resistenza dei conduttori di un trasformatore da 100 kW, con primario a 25 kV e

secondario a 1 kV, in modo che le perdite totali per effetto Joule siano il 2%. Eseguite il

calcolo ammettendo che nei due avvolgimenti si dissipi la stessa potenza. Risoluzione. La corrente che attraversa il primario è: i1 = P/V1 = 10

5/25∙10

3 = 4 A. Quella che attraversa il secondario

(supponendo per semplicità che la potenza erogata dal secondario sia uguale a quella assorbita dal primario) è: i2 = P/V2

= 105/1000 = 100 A. Se la potenza dissipata in ciascuno degli avvolgimenti è Pdiss = P/100 = 1 kW, la resistenza del

primario dovrà essere R1 = Pdiss/i12 = 1000/4

2 = 62,5 , la resistenza del secondario dovrà essere R2 = Pdiss/i2

2 =

1000/1002 = 0,1 .

31. Vogliamo smaltire il calore prodotto dalle dissipazioni di potenza in un trasformatore da 100

MW con rendimento del 96%, utilizzando un flusso d’acqua a 15°C con temperatura

d’uscita di 60°C. Calcolate la portata del flusso d’acqua necessario al raffreddamento in

unità di metri cubi/ora. Risoluzione. La potenza dissipata nel trasformatore durante il suo funzionamento è P(1 – η) = 10

8(1-0,96) = 4∙10

6

W = (4∙106/4187) Cal/s = 955 Cal/s. Per smaltire questa potenza usando un flusso d’acqua la cui temperatura viene

innalzata di T = 60 – 15 = 45°C, occorre una portata Q = (955/45) litri/secondo= 21,2 litri/secondo =

(21,23600/1000) m3/ora = 76,3 m

3/ora.

32. Uno degli eventi che condussero al blackout elettrico in Italia del 2003 ( La Fisica della

tecnologia 4) fu il cortocircuito di una linea elettrica, che era percorsa da una corrente più

intensa del normale, provocato dal contatto fra un conduttore e un albero. Spiegate perché,

secondo voi, un conduttore sospeso fra due torri di una linea aerea può abbassarsi quando è

percorso da una corrente molto intensa. Risoluzione. Qualsiasi conduttore, percorso da corrente, dissipa energia per effetto Joule e quindi si riscalda. A una

corrente più intensa corrisponde un riscaldamento maggiore. In tal caso il conduttore, per effetto della dilatazione

termica, si allunga e di conseguenza si abbassa. Il massimo abbassamento si ha al centro della campata fra due torri.

29

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hph.html

per di moltiplicazione (da Omegagrande Latino 1, scelta rapida: Alt Per) ± (da Omegagrande Latino 1)

punto di moltiplicazione normale ∙ (da Omegagrande, operatori, scelta rapida: Alt Dot)

lo stesso in grassetto: ∙

circa uguale ≈ AltC ≤ ≥ ∞ ≠ (da Omegagrande, operatori)

circa uguale ~ (latino di base, scelta rapida: Control C,I in Symbol)

radice √ (Alt R)

B 2L 1, 3M 2, 5V 4, 8D 5, 9L 6, 10M 7, 11M 9, 14S 10, 15D 11, 16L 12, 17M 13, 18M 14, 19G 15, 20V 16, 21S 17, 22D 19,

ppppppppp

hhh