Università degli Studi di Cagliari

Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Corso di Laurea in Matematica

Una Scala Diabolica

Relatore Tesi di Laurea di Prof. Lucio Cadeddu Atzori Valentina

Anno Accademico 2010/2011

Indice:

Capitolo 1

Retrospettiva storica…………………………………………………………........1

Capitolo 2

Costruzione dell’ Insieme di Cantor……………………………………............7

2.1 Rappresentazione dei numeri reali in base 3………………………….10

Capitolo 3

Funzione di Cantor o Scala diabolica………………………………………………12

3.1 Definizione analitica della Funzione di Cantor…………………………..12

3.2 Funzione di Cantor come limite di una successione…………………….19

Capitolo 4

Curva di Peano………………………………………………………………………………..22

4.1 Costruzione analitica della curva di Peano………………………………...22

4.2 Costruzione della curva di Peano……………………………………………….26

BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………………29

SITIGRAFIA……………..…………………………………………………………………31

Prefazione

Intorno al 1880, il matematico tedesco Georg Cantor (1845-1905)

scrivendo una serie di articoli intitolati “Über unendliche, lineare

Punktmannichfaltigkeiten” introduce i concetti da noi oggi

conosciuti come insieme (ternario )di Cantor e funzione di Cantor (o

scala diabolica).

Scopo del nostro lavoro è quello di studiare il comportamento di

questa funzione, sia sull’insieme di Cantor che su tutto l’intervallo

[0, 1].

Iniziamo col dare una definizione di insieme di Cantor e poi

proseguiamo con lo studio delle proprietà abbastanza inconsuete

della “scala diabolica”; essa è un esempio di funzione continua e

crescente nonostante abbia derivata zero in quasi tutti i punti

essendo costante in tutti i sotto intervalli di [0, 1] che non

contengono punti dell'insieme di Cantor. Intuitivamente, è una scala

con infiniti gradini, tutti di pendenza zero, ma ad altezze

progressivamente crescenti, in modo che la pendenza media risulti

comunque pari a 1.

Diamo inoltre la definizione di una strana curva, detta curva di

Peano, la quale riempie completamente un quadrato, che viene

definita da un'applicazione β:[ ]→[ ] [ ] continua e

suriettiva.

1

Capitolo 1

Retrospettiva storica

In questo capitolo vogliamo dare alcuni cenni su come Cantor arrivò

alla definizione dell’insieme e della funzione di Cantor. Sebbene

l’insieme di Cantor debba le sue origini alla geometria, pare invece

che il matematico tedesco arrivò alla definizione di insieme e

funzione di Cantor per via puramente aritmetica senza coinvolgere

minimamente la geometria.

Lo studio della topologia della retta reale ebbe inizio intorno al

1880, periodo nel quale i matematici erano impegnati nello studio

di due problemi molto importanti:

1. condizioni sotto le quali una funzione può essere integrata, e

2. unicità e convergenza di serie trigonometriche.

E’ stato nell’ ambito di queste indagini che le due scoperte

apparentemente indipendenti dall’insieme di Cantor sono state fatte.

Il matematico Bernhard Riemann (1826 -1866) dedicò molto del

suo tempo allo studio del primo problema, suggerendo le condizioni

secondo le quali una funzione poteva essere integrata, arrivando

allo sviluppo della teoria della misura e dell’ integrazione. Un passo

importante in questa direzione è stato compiuto da Hermann Hankel

(1839-1873) intorno ai primi anni del 1870. Hankel ha mostrato che

l'integrabilità di una funzione dipende dalla natura di certi insiemi di

punti relativi alla funzione. In particolare osservò che una funzione

2

risultava Riemann-integrabile se e solo se risultava puntualmente

discontinua a tratti, ossia se l’ insieme di punti x in cui la funzione è

definita è un insieme non ovunque denso. Alla base del

ragionamento di Hankel c’era la convinzione che insiemi della forma

{

} rappresentavano un modello per tutti i sottoinsiemi ovunque

non densi della retta reale. Lavorando a questa ipotesi Hankel

affermò che tutti i sottoinsiemi ovunque non densi della retta reale

potevano essere contenuti in intervalli di lunghezza arbitrariamente

piccola.

La prima persona che definì un insieme, che oggi può ricordarci

l’insieme di Cantor, fu un professore di geometria a Oxford, ovvero

H.J.S. Smith, il quale in un articolo [2] del 1875, fornì una definizione

di insiemi non ovunque densi. Dopo un esposizione sull’integrazione

delle funzioni discontinue, Smith presentò un metodo per costruire

insiemi ovunque non densi di fatto molto più sostanziali rispetto

all’insieme {

}.

In particolare Smith osservò quanto segue:

Sia m un numero intero maggiore di 2. Dividiamo l’intervallo [0, 1]

in m parti uguali ed escludiamo l’ultimo sub intervallo da qualsiasi

successiva divisione. Dividiamo poi ciascuno degli m-1 intervalli

restanti in m parti uguali ed escludiamo gli ultimi segmenti da

qualsiasi divisione successiva. Eseguendo tale operazione all’ infinito,

otteniamo un numero infinito di punti di divisione P sulla retta da

0 a 1. Questi punti si trovano in ordine sparso. [2,p. 147] .

3

Nella terminologia moderna quello che Smith intendeva per ordine

sparso si ritrova nel concetto di insieme ovunque non denso. Ciò che

risulta implicito nella definizione di Smith è che gli intervalli esclusi

da qualsiasi divisione sono aperti di modo che l’insieme risultante

sia chiuso. Oggi questo insieme sarebbe stato conosciuto come un

insieme generico di Cantor e questo sembra essere il primo esempio

pubblicato relativamente a tale tipologia di insieme.

Successivamente, nello stesso articolo, Smith dimostrò che

dividendo gli intervalli rimanenti prima dell’ n-esimo passo in

parti uguali ed escludendo l’ultimo intervallo da qualsiasi divisione

si ottiene un insieme ovunque non denso di contenuto esterno

positivo. Smith era ben consapevole dell’ importanza di questa

scoperta poiché come egli stesso affermava, il risultato ottenuto

nell’ultimo esempio si caratterizzava per la sua opposizione ad una

teoria delle funzioni discontinue, la quale ricevette l’approvazione

del geometra H. Henkel. Egli inoltre spiegò le difficoltà nelle teorie

contemporanee sull’integrazione.

E’ interessante notare che l’osservazione dell’editore a conclusione

del lavoro di Smith affermava “questo documento, sebbene non sia

stato letto, è stato offerto alla London Mathematical Society ed

accettato in modo usuale”. In realtà, questo lavoro è passato in gran

parte inosservato tra i matematici del continente europeo e,

purtroppo, le importanti scoperte di Smith restarono a lungo

sconosciute. Almeno dieci anni dopo, grazie alla riscoperta di idee

simili da parte di Cantor, è stato possibile comprendere le difficoltà

4

delle teorie contemporanee sull’integrazione e iniziare l’evoluzione

della teoria della misura e dell’ integrazione.

Cantor arriva, invece, allo studio della topologia della retta reale

negli anni 1879-1884 scrivendo una serie di articoli intitolati “Über

unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten [3-8]”. Nel primo

articolo di questa serie Cantor definisce cosa significa, per un

insieme, essere ovunque denso, un termine il cui utilizzo è ancora di

uso corrente. Egli fornisce alcuni esempi tra cui uno riguardante

l’insieme dei numeri della forma ,

, dove n e m sono dei numeri

interi. Egli prosegue con gli insiemi densi e le relazioni che

intercorrono con i loro derivati. Vale a dire, P⊂ (α, β) è ovunque

denso in (α, β) se e solo se P’ = (α, β). Dove con P indica un insieme

finito e con P’ il suo derivato ossia l’insieme dei punti di

accumulazione di P [3,p. 2-3] . Nel quinto articolo Cantor discute la

partizione di un insieme in due componenti che egli definisce

riducibili e perfette [7,p. 575]. La sua definizione di insieme perfetto

è ancora attuale : un insieme P è perfetto se e solo se P = P’.

Dopo aver introdotto il termine perfetto, nel quinto articolo, Cantor

afferma che un insieme per essere perfetto non ha bisogno di essere

ovunque denso [7,p. 575]. Nella nota in calce a questa dichiarazione

Cantor introduce l’insieme che oggi è noto come insieme (ternario) di

Cantor.

L’ insieme dei numeri reali della forma:

x =

+

+……………………+

+……………

5

dove è 0 oppure 2 per ogni numero intero v. Cantor nota che tale

insieme è infinito, perfetto secondo la proprietà che lo definisce non

ovunque denso in ogni intervallo, indipendentemente da quanto

piccolo l’intervallo venga considerato. Non ci viene data alcuna

indicazione su come Cantor arrivi alla definizione di questo insieme.

Nel periodo in cui Cantor lavora sulla serie di articoli

“Punktmannichfaltigkeiten”, altri si dedicano alle estensioni del

Teorema Fondamentale del Calcolo delle funzioni discontinue.

Cantor affronta tale questione in una lettera [9] del 1883(scritta in

realtà nel mese di Ottobre del 1882). Nella lettera Cantor definisce la

funzione di Cantor. In primo luogo viene definita sul complementare

dell’ insieme di Cantor, la funzione i cui valori sono:

+

+………+

+

per qualsiasi numero compreso tra a e b con:

a =

+

+………+

+

e b =

+

+………+

+

dove ogni è 0 o 2. Cantor conclude poi questa parte della lettera

notando che questa funzione può essere estesa naturalmente ad una

funzione continua e crescente su [0,1] .

6

Tale funzione serve da contro esempio per il Teorema

Fondamentale del Calcolo delle funzioni discontinue di Harnack, che

era in voga in quel periodo. Anche in questo caso, non ci viene data

alcuna indicazione su come Cantor arrivò alla definizione di questa

funzione né, a quanto sembra, esiste una prova sostanziale di come

Cantor arrivò alla definizione dell’insieme. Tuttavia, la strada seguita

da Cantor nello studio della topologia della retta reale,

nell’introduzione dell’insieme e della funzione di Cantor sembra

seguire metodi puramente aritmetici. E’ possibile che sia proprio

nell’ambito dell’espansione aritmetica dei numeri binari e ternari

che Cantor arrivò proprio alla definizione dei concetti di insieme e di

funzione di Cantor.

7

Capitolo 2

Costruzione dell’ insieme di Cantor

Per definire l’Insieme di Cantor procediamo costruttivamente.

Prendiamo l’intervallo [0, 1], dividiamolo in tre parti uguali ed

eliminiamo da esso l’intervallo aperto centrale, ovvero l’ intervallo

(

).

[ ( ) ]

0

1

Dopo questa operazione ciò che resta è l’unione dei due intervalli

chiusi [

] e [

]. Suddividiamo ora ciascuno dei due intervalli

rimanenti in tre parti uguali ed eliminiamo gli intervalli aperti

centrali, cioè (

)e (

).

( ) ]

0

1

Ciò che resta è l’unione di quattro intervalli chiusi più piccoli.

Procedendo ulteriormente restano otto intervalli ancora più piccoli,

8

( ) ( ( ( ( ( ( )

0

1

e così via proseguendo all’infinito.

Cerchiamo, ora, di descrivere l’insieme con una scrittura compatta.

Al primo passo abbiamo :

= [ , 1]

mentre al secondo passo:

= [

] ∪ [

]

e al passo successivo:

= [

] ∪ [

] ∪ [

] ∪[

]

cosi via, e ricordandoci che con indichiamo l’unione degli

intervalli rimasti al k-esimo passo. Possiamo quindi definire

l’insieme di Cantor :

⋂

Tutti i sono chiusi in , perché unione di un numero finito di

intervalli chiusi. Quindi anche è chiuso, poiché intersezione di una

9

famiglia di insiemi chiusi. Gli insiemi sono poi anche incapsulati

sono cioè una successione di intervalli tali che il successivo è

incluso nel precedente כ כ e diventano via via ..…………… כ

più piccoli al crescere di k.

Ogni consiste di intervalli chiusi e disgiunti, ognuno di

lunghezza

.

Abbiamo:

| | = | | = (

)

= 0

si dice, quindi, che ha misura nulla.

Inoltre nell'intorno di ogni punto dell'insieme di Cantor ci sono sia

punti contenuti nell'insieme che punti contenuti nel suo

complementare. Ne segue che ogni punto dell'insieme di Cantor è

punto di accumulazione: un insieme chiuso con questa proprietà è

detto perfetto, da ciò deduciamo che non è numerabile.

Infatti l’ insieme di Cantor contiene tanti punti quanti ne contiene

l’intervallo [0, 1], entrambi hanno la cardinalità del continuo.

10

2.1 Rappresentazione dei numeri reali in base 3

Ogni numero ∊[0, 1], rappresentato in base 3, può essere scritto

nella seguente forma:

= 0, …… ……… con ∊ { } ∀ k ∊N.

E’ fondamentale tener presente che tale rappresentazione significa:

∑(

)

Esempi:

-

=

-

Adotteremo la convenzione per cui:

i numeri ternari finiti con ultima cifra uguale a 1 vengono modificati

in numeri ternari periodici di periodo 2.

11

Per esempio:

= 0,1 = 0,0 = 0, 0222222 ……………………..

Questo è lecito perché:

∑(

)

∑(

)

(

)

=

12

Capitolo 3

Funzione di Cantor o Scala diabolica

Vogliamo definire sull’insieme di Cantor una funzione con delle

proprietà abbastanza inconsuete, che viene chiamata funzione di

Cantor o scala diabolica.

3.1 Definizione analitica della Funzione di Cantor

Da un punto di vista analitico definiamo la funzione di Cantor nel

seguente modo:

{

[ ]

Cominciamo col definirla sull'insieme di Cantor e poi la

estendiamo a tutto [0, 1]. Se è un elemento di , la sua scrittura

in base 3 è del tipo : = 0, …… ……… , in cui gli

sono solo 0 oppure 2.

13

Poniamo ora:

Otteniamo così l’immagine di sostituendo tutti i 2 della scrittura

ternaria con degli 1, e interpretando il numero cosi ottenuto in base

due.

Questa funzione non è iniettiva, possiamo infatti far vedere che sugli

estremi di ciascun intervallo, che abbiamo eliminato per costruire

l’insieme di Cantor, essa assume valori uguali.

Lo verifichiamo, per esempio, sul primo intervallo che abbiamo

eliminato (

); questo intervallo ha come estremi i punti

e

,

quindi dobbiamo calcolare (

) e (

) . Abbiamo:

(

) = = ( ) = ( ) = =

e

(

) = = =

.

La nostra funzione risulta essere suriettiva. Infatti possiamo scrivere

ogni numero dell’intervallo [0, 1], in forma binaria, con una

scrittura del tipo 0, …… ……. e tale numero è sicuramente

l’immagine dell’elemento dell’insieme di Cantor che si scrive, in

forma ternaria, sostituendo come ben sappiamo gli 1 con i 2.

14

Inoltre è una funzione crescente. Consideriamo due numeri dell’

insieme di Cantor x e y, tali che x < y, i quali hanno la seguente

rappresentazione ternaria:

x = 0, …… ………. e y = 0, …… …….

con n il primo indice dopo la virgola per cui i due numeri

differiscono.

Dobbiamo, quindi, avere = 0 e = 2. I nostri due numeri sono

allora:

x = 0, … 0 .… e y = 0, … 2 …

e per le immagini abbiamo:

( )

≤

≤

( )

15

come volevamo dimostrare.

Possiamo ora estendere la funzione a tutto [0, 1], come detto

sopra, in corrispondenza di tutti gli intervalli che

abbiamo cancellato per costruire l’insieme di Cantor, ossia in

[ ] .

La funzione che otteniamo è anche continua.

Per farci un idea del grafico dobbiamo immaginarla costruita per

passi, esattamente come abbiamo fatto per l’insieme di Cantor.

16

In sostanza, man mano che procediamo nel raffinamento del grafico

otteniamo un sempre maggior numero di tratti orizzontali,

corrispondenti a tutti i segmenti che abbiamo cancellato

dall’ intervallo [0, 1] durante la costruzione dell’insieme di Cantor;

mentre la salita si spezzetta in tratti sempre più corti, ma sempre più

pendenti. La funzione vera e propria ha quindi infiniti tratti

orizzontali, che corrispondono alle “pedate” della scalinata.

La prima cosa che ci sorprende è che se calcoliamo la lunghezza

totale delle “pedate” otteniamo 1, cioè tanto quanto lo spazio

orizzontale occupato dalla scala stessa. Questo dipende dal fatto che,

proprio per costruzione, [ ] è costituito dall’unione di

intervalli aperti (i terzi medi eliminati) disgiunti e quindi possiamo

17

determinare la sua lunghezza sommando quella di tutti gli intervalli

che lo costituiscono.

Abbiamo quindi:

L [ ] = L (

) ∪ (

)∪ (

) ∪ …………. =

= L (

) + L (

) + L (

) +…………...=

=

+ 2

+ 4

+ 8

+ ……………… =

∑(

)

(

)

Un'altra cosa che ci sorprende è che, pur essendo crescente dal

valore 0 al valore 1, non risulta strettamente crescente su nessun

sotto intervallo di [ ]: per giustificare questo fatto dobbiamo

tener ben presente l’insieme di Cantor ricordandoci che su ogni

sotto intervallo di [ ] c’è sempre un segmento in cui la funzione

risulta costante.

18

Notiamo inoltre che la funzione è continua (questo discende dal fatto

che la funzione è crescente e la sua immagine è un intervallo), e

quindi pur avendo infiniti gradini, non c’è nessun salto o

discontinuità di prima specie (tipo salto).

Derivabilità:

E’ anche interessante osservare che questa funzione è derivabile

quasi ovunque (tranne che sull’insieme , che ha misura nulla), con

derivata nulla. Abbiamo quindi:

{ [ ]

Consideriamo, ora, una funzione cosi definita:

{ [ ]

Dove è una qualunque quantità limitata, possiamo notare che

coincide quasi ovunque (ossia tranne che per un insieme di misura

nulla) con la derivata di ossia . La funzione è

sicuramente integrabile secondo Riemann, in quanto proprio per

definizione, una funzione è integrabile secondo Riemann perché

nulla tranne che in un insieme di misura nulla, in questo caso ;

19

abbiamo quindi :

= ∫

= 0.

A differenza di quanto ci aspettavamo, otteniamo, ≠ , per

> 0.

In altri termini l’integrale della derivata della scala diabolica

(quando essa è derivabile) non è la scala diabolica. In simboli :

= ∫

= ∫

≠

3.2 Funzione di Cantor come limite di una successione

In maniera alternativa possiamo definire la funzione di Cantor come

limite di una successione di funzioni ∊ [ ] (lo spazio delle

funzioni continue definite sull’ intervallo [ ]).

In particolare queste successioni di funzioni sono definite per

ricorrenza come poligonali su [ ].

20

Costruiamo la successione di funzioni nel seguente modo:

- Poniamo = ;

- è una funzione crescente il cui grafico è la poligonale, come

possiamo vedere in figura, avente -1 lati: di cui lati

sono obliqui di coefficiente angolare (

)

e -1 lati

orizzontali, ciascuno di lunghezza (

)

. Per ogni n ∊ N

abbiamo = 0, = 1. In figura sono rappresentate

, , .

21

Possiamo “costruire” la n+1-esima poligonale come una

trasformazione di infatti, indichiamo con

, per k=1,……, la

proiezione sull’asse delle ascisse dei lati obliqui e con

, per

k=1,……, -1 la proiezione sull’asse delle ascisse dei lati

orizzontali, quindi f assume il valore costante nell’ intervallo

,

e questo valore lo possiamo indicare con {

}, allora abbiamo che

= in

per ogni k, mentre ogni lato obliquo di che ha

come proiezione sull’asse delle ascisse l’intervallo

lo

modifichiamo in tre lati, di cui due obliqui in corrispondenza agli

intervalli

e

, e uno orizzontale in corrispondenza

all’ intervallo

.

Abbiamo quindi:

{ [ ] { ( ) - ( ) }} <

< ɛ

se n è grande.

Da questo risultato deduciamo che la successione è di Cauchy in

[ ], cioè nello spazio delle funzioni continue definite

sull’ intervallo [ ].

Dunque per essa converge uniformemente ad una funzione

limite che appartiene allo stesso spazio, chiamata funzione di Cantor.

22

Capitolo 4

Curva di Peano

Nel 1890 il matematico Giuseppe Peano (1858−1932) pubblicò un

articolo intitolato “Sur une courbe qui remplit toute une aire plane”

sui Mathematische Annalen nel quale dimostrava l'esistenza di una

'strana' curva (da allora detta di Peano) che riempie completamente

un quadrato, definita da un'applicazione

β:[ ]→[ ] [ ]continua e suriettiva.

4.1 Costruzione analitica della curva di Peano

Vogliamo innanzitutto definire una funzione γ continua e suriettiva

dall’ insieme di Cantor nel quadrato [ ] [ ].

Definiamo una funzione σ, considerando la rappresentazione

ternaria usata per definire l’insieme di Cantor, nel seguente modo:

σ : → con σa = σ a , σ a

σ’

=

cifre di a = di posto dispari

23

σ’’

=

cifre di a = di posto pari

La nostra funzione γ sarà quindi definita nel seguente modo:

γ = , [ ] [ ]

con = 0, …… ….

Ricordandoci, inoltre, che:

: →

∑(

)

e

: → [0, 1]

∑(

)

Dove

= 0 se = 0 e

= 1 se = 2.

24

Abbiamo ottenuto il valore di γ in un punto in tre passi:

1. trovato lo sviluppo ternario a = ;

2. sdoppiato a tramite σ ottenendo = σ a , σ a;

3. calcolato la “binarizzazione” di b e c con la funzione

introdotta in precedenza : γ = b , c;

Per capire meglio come si comporta γ facciamo alcuni esempi:

= 0, a = 000…….., b = c = 000……., b c = 0,

γ = 0, 0;

= 1, a=222…, b = c =222…,

b c = 0,111…2 = 1, γ = 1, 1;

=

, a = 0222…….., b = 0222……., c = 222…….,

b = 0,0111…2=

, c = 1, γ (

) = (

);

=

, a = 2000…….., b = a, c = 000…….,

b = 0,12=

, c = 0, γ (

) = (

);

25

L’ applicazione γ è suriettiva, non è iniettiva. Inoltre, grazie alle

proprietà delle funzioni componenti non è difficile provare che è

continua.

Possiamo finalmente dare la definizione della curva di Peano:

β : [0, 1] → [0, 1] × [0, 1] con β = γ per .

Vogliamo capire come è fatta β nell’intervallo [ ] .

Sia [ ] e siano gli estremi dell’ intervallino

contenente , per cui: =

.

Definiamo come β quel punto di [ ] [ ] che divide il

segmento che congiunge γ con γ nella stessa proporzione

in cui divide il segmento [ ]:

________________________ ________________________

γ β γ

Questo procedimento è detto “ interpolazione lineare ”. In formula:

β =

γ +

γ .

Visto che γ e γ appartengono a [ ] [ ], anche

tutto il segmento che li congiunge giace nel quadrato.

26

La nostra funzione è suriettiva e continua.

4.2 Costruzione della curva di Peano

Dividiamo un segmento unitario in tre segmenti uguali.

Sulla parte centrale si costruisce un rettangolo formato da due

quadrati e il lato di ognuno e

del segmento iniziale. E esattamente

una poligonale, formata da 9 segmenti, che puo essere percorsa

senza alzare la matita e senza passare due volte sullo stesso tratto.

Tale costruzione si ripete su ciascuno dei 9 segmenti, dividendo

ognuno in tre parti uguali e costruendo sulla parte centrale un

rettangolo con il medesimo procedimento esposto in precedenza

27

Cerchiamo di capire come la curva di Peano riempie un quadrato,

per questo motivo analizziamo con attenzione la costruzione iniziale

della curva di Peano.

La poligonale e formata da 9 segmenti che si possono ottenere

partendo dal segmento iniziale e costruendo, su questo, un quadrato.

Si scompone tale quadrato in 9 quadratini uguali. Si possono mettere

tali 9 quadratini in corrispondenza biunivoca con i 9 segmenti della

poligonale iniziale e si rende visualizzabile tale corrispondenza, in

modo che ogni segmento della poligonale sia la diagonale di un

quadratino.

28

Ripetendo la costruzione su ciascuno dei 9 quadratini, si capisce che,

continuando a reiterare lo stesso procedimento, la poligonale tende

a una curva che passera per tutti i punti del quadrato.

29

BIBLIOGRAFIA

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2. H.J.S. Smith, On the integration of discontinous functions; Proc .London Math.Soc. (1) 6(1875), pp.140-153.

3. G.Cantor, Über unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten;

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4. G.Cantor, Über unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten;

Part.2, Math. Ann. 17(1880),pp.355-358.

5. G.Cantor, Über unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten;

Part.3, Math. Ann. 20(1882),pp.113-121.

6. G.Cantor, Über unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten;

Part.4, Math. Ann. 21(1883),pp.51-58.

7. G.Cantor, Über unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten;

Part.5, Math. Ann. 21(1883),pp.545-591.

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8. G.Cantor, Über unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten;

Part.6, Math. Ann. 23(1884),pp.453-488.

9. G.Cantor, De la puissance des ensembles parfaits de points,

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10. Antonio Avantaggiati, Introduzione alla teoria della misura e

dell’integrazione, Università “La Sapienza” di Roma.

11. Vincenzo Valori, L’insieme di Cantor , Università degli Studi di

Firenze 2005.

12. G.Gorni. 2006/07, L'Insieme di Cantor e la Curva di Peano.

13. G.D.Pagani,S.Salsa, Analisi matematica, volume 2.

14. Giacomo d’Antonio, Appunti di Analisi Funzionale 2008.

31

SITIGRAFIA

1. www.batmath.it, di maddalena falanga e luciano battaia.

2. it.wikipedia.org/wiki/Insieme_di_Cantor.

3. it.wikipedia.org/wiki/Funzione_di_Cantor.