1

INTRODUZIONE AL CORSO 2011-12

Una passeggiata fra i numeri.

Dagli albori della civiltà: necessità di contare, di rappresentare il risultato e di eseguire operazioni.

ESEMPIO: le tacche incise su una tibia di lupo 30.000 anni fa. Non può funzionare per numeri grandi.

Il sistema attuale, in uso dal XIII secolo, rappresenta i numeri naturali mediante le cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9: ognuno è una specie di polinomio basato sulle potenze di dieci: 1, 10, 100, 1000, 10000, …

!

7408 = 7 "1000 + 4 "100 + 0 "10 + 8. Ma certi numeri sono troppo grandi, e si ricorre talvolta

all’uso delle potenze:

!

10000 = 104

Il numero

!

264 "1 (citato anche nel “Paradiso”) vale 18.446.744.073.709.551.615, oltre 18 miliardi di miliardi.

2

Si possono scrivere i numeri non interi con la virgola, se si prosegue la divisione col resto: • per la metà di un intero si ricava 0,5

• la quarta parte di un intero è 0,25

• la decima parte di un intero è 0,1

• la terza parte di un intero è 0,333333333333……..

Il simbolo di frazione rappresenta meglio quei numeri:

!

12

,

!

14

,

!

110

,

!

13

Nella metà ci sono cinque decimi,

!

12

=0,5=5

10;

Analogamente:

!

14

=0,25=2

10+

5100

.

Il numero 523,47 si può scrivere come:

!

523,47 = 5 "102 + 2 "10 + 3 "100 + 4 "1

10+ 7 " 1

102 .

Ma:

!

13

= 0,333333K =3

10+

3

102+

3

103+

3

104+ K =

3

10nn=1

"

# ,

ed è una somma con infiniti addendi!!!!

3

OSSERVAZIONI.

a) La notazione anglosassone usa il punto decimale al posto della virgola:

Noi scriviamo 5,74 Loro scrivono 5.74

Per noi:

!

7.408 = 7 "103 + 4 "102 + 0 "10 + 8

Per loro:

!

7.408 = 7+4

10+

0

102+

8

103

b) I numeri decimali con un pacchetto di cifre che si ripetono sono detti periodici. Il periodo si rappresenta con un soprassegno o mettendolo fra parentesi. Si possono trasformare in frazioni e

viceversa.

!

1

3= 0,333333K= 0,3

!

191

303= 0,63036303K = 0,6303

c) Non c’è unicità nella rappresentazione, né come frazioni, né come numeri decimali periodici:

!

1

3= 2

6= 3

9= -1

-3= ...

!

1= 1,0 = 0, 9

!

8,25 = 8,250 = 8,249

4

Nella storia della Geometria e dell’Architettura ci sono altri numeri più difficili da scrivere: A) la lunghezza d della diagonale del quadrato di lato 1; B) la base b di un rettangolo di altezza 1, dal quale si

possa ritagliare un quadrato di lato 1 ed ottenere un rettangolo simile a quello di partenza;

C) la lunghezza c della circonferenza di diametro 1.

Soluzioni escogitate per rappresentare in modo maneggevole anche questi numeri:

A) Dal teorema di Pitagora:

!

d2 = 12 + 12 = 1+ 1 = 2 .

Si scrive

!

d = 2 =1,41421356……, ma non si può

scrivere come frazione.

Però si ha

!

d2 "2 = 0, ossia il numero

!

2 è legato ai numeri interi da semplici relazioni.

Lo stesso accade per le frazioni:

!

x = 53

diventa

!

3"x#5=0.

5

B) Si ha la proporzione

!

b:1=1: b"1#

$ % %

&

' ( ( , quindi

!

b2 " b "1 = 0,

ossia b è una soluzione dell’equazione

!

x2 " x "1 = 0.

Si rappresenta nella forma

!

b =5 +12 = 1,61803398…,

è chiamato numero aureo ed indicato con γ (l’altra

soluzione è

!

1" 52

< 0). Non si può scrivere come frazione

di interi, ma è anch’esso legato ai numeri interi da

semplici relazioni:

!

"2 # " #1 = 0.

C) La lunghezza della circonferenza di diametro 1 è denotata con π , ma quanto vale? Archimede lo stimò

circa

!

227 . Si ha

!

"=3,141592653589K

Si può scrivere come frazione? O almeno è radice di un

polinomio a coefficienti interi, come la diagonale del quadrato

o il numero aureo?

Le risposte, trovate nel XVIII e nel XIX secolo, sono entrambe

no: o ci si accontenta del simbolo π , che non dice nulla del suo

valore, o si usa un numero finito di sue cifre decimali.

6

I numeri che sono soluzioni di equazioni algebriche a coefficienti interi sono detti algebrici. Gli altri numeri, che come π non sono soluzioni di equazioni a

coefficienti interi, sono detti trascendenti.

Un ragionamento non proprio semplice porta a dimostrare che i numeri sono “sostanzialmente” tutti trascendenti. Quindi, i numeri algebrici sono una parte trascurabile della totalità dei numeri. Ossia, un numero “preso a caso”, è “quasi sicuramente” trascendente. Ma lo è davvero? Questo di solito non lo possiamo sapere. Abbiamo un’informazione certa sulla totalità dei numeri, ma non su un singolo numero preso a caso.

NOTA. Questa è la situazione usuale nella Statistica: si

possono fare affermazioni sulla situazione globale, ma

non sul singolo elemento.

7

Le potenze operano con due numeri: la base e

l’esponente. Per esempio,

!

34 = 3 "3 "3 "3 = 81.

Per completezza, si pone

!

31 = 3,

!

30 = 1,

!

3"1 =13

In particolare:

!

1n = 1 per ogni esponente n.

Poi,

!

0n = 0 per ogni n >0.

ATTENZIONE: Per n ≤ 0, il simbolo

!

0n non ha significato!!!

Non meravigliamoci: in ogni linguaggio ci sono espressioni

senza significato: che cosa significa abo in italiano?

Ci sono anche parole che in una lingua hanno uno o più

significati e in un’altra lingua ne hanno altri: sale, mare

Chissà se hanno qualche significato nella Scienza le

espressioni

!

31 2,

!

3 2 ,

!

3"? Ebbene sì, ce l’hanno, purché la base sia maggiore di 0.

!

31 2 = 3 = 1,73K è il numero tale che

!

31 2"

# $

%

& ' 2

= 3 .

8

Le potenze si usano in problemi di tipo probabilistico o geometrico, ma anche per modelli matematici di fenomeni naturali.

ESEMPIO: calcolare il numero di possibili esiti nel lancio di

una moneta. Ogni volta abbiamo T(esta) o C(roce) e quindi:

• dopo un lancio, due possibili esiti, T oppure C

• dopo due lanci, quattro possibili sequenze:

TT, TC, CT, CC

• dopo tre lanci, otto sequenze:

TTT, TTC, TCT, CTT, TCC, CTC, CCT, CCC

e dopo n lanci? Due possibilità per ciascun esito, quindi

!

2 "2 "L "2n

1 2 4 3 4 = 2n sequenze diverse.

Qui la base è sempre 2 e l’esponente è variabile.

UN ALTRO ESEMPIO: l’area di un quadrato di lato intero.

• Se il lato è unitario, l’area è

!

1 "1 = 1

• Se il lato è due unità, l’area è

!

2 "2 = 4

• Se il lato è tre unità, l’area è

!

3 "3 = 9

• E se il lato è n unità? L’area è

!

n "n = n2.

Qui la base è variabile e l’esponente è sempre 2.

9

Confrontiamo le due successioni al crescere di n: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

2^n 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192

n^2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169

Notiamo che la successione esponenziale

!

2n cresce

più rapidamente del monomio

!

n2.

10

PROBLEMA. Quante tabelle con k caselle si possano compilare con n simboli, uno per casella?

ESEMPIO: quante parole di 3 lettere si possono scrivere con

le sole 4 lettere A, C, G, T?

Abbiamo 4 scelte per ogni casella, quindi

!

4 "4 "4 = 43 = 64

parole distinte (senza considerare un loro possibile significato,

ovviamente: la Natura ne usa solo 20).

RISPOSTA GENERALE: le tabelle possibili sono

!

nk .

Caso particolare: k = n. Le tabelle possibili sono

!

nn .

Esistono

!

22 = 4 parole di due lettere con le sole lettere A, B:

AA, AB, BA, BB;

ci sono 27 parole di 3 lettere con le lettere A, B, C

e ben 256 parole di 4 lettere con le lettere A, B, C, D.

11

Se abbiamo a disposizione una sola copia di ogni simbolo, che cosa cambia?

ESEMPIO. In una finale mondiale di nuoto ci sono 8

concorrenti: il primo è uno degli 8, ma il secondo è uno dei

sette rimanenti, e il terzo è uno degli altri sei, e così via.

L’ottavo è l’ultimo rimasto dopo che gli altri sette sono

arrivati. Allora,

!

8 "7 "6 "5 "4 "3 "2 "1 = 40320 possibili

ordini d’arrivo.

Questo tipo di numeri non si scrive facilmente come potenza, ed allora si usa un simbolo particolare: n!, che si legge n fattoriale. Esso indica il prodotto dei numeri interi da 1 ad n. È il numero di liste distinte di lunghezza n, compilabili con n simboli tutti diversi fra loro.

Osserviamo che

!

n+ 1( )!= n! " n+ 1( ). ESEMPIO. Gli anagrammi della parola “cane”, che ha 4

lettere distinte, sono

!

4!=4"3"2"1=24 (anche qui si prescinde

da possibili significati).

12

Confronto fra le due successioni

!

nn ed n! , con calcolo

del rapporto, arrotondato ai centesimi (da Excel):

n n^n n! (n^n)/n! 1 1 1 1,00 2 4 2 2,00 3 27 6 4,50 4 256 24 10,67 5 3.125 120 26,04 6 46.656 720 64,80 7 823.543 5.040 163,40 8 16.777.216 40.320 416,10 9 387.420.489 362.880 1.067,63

la prima succes-

sione cresce assai

più rapidamente,

come si vede

anche dal loro

rapporto.

Calcoliamo il quoziente tra termini successivi

dell’ultima colonna:

!

an =n +1( )n +1

n +1( )!nn n!

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

!

an 2,000 2,250 2,370 2,441 2,488 2,522 2,546 2,566 2,581 2,594 2,604 2,613

Usiamo le proprietà delle potenze e delle frazioni a più piani per semplificare i fattori comuni ed ottenere:

!

an =n +1( )n+1

n +1( )!nn n!

=n +1( )n " n +1( )

nn"

n!n!" n +1( )

=n +1

n

#

$ % %

&

' ( (

n= 1+

1

n

#

$ % %

&

' ( (

n

13

Questa è una successione importantissima, che si ritrova in varie situazioni in Economia ed Ecologia. Al tendere di n all’infinito, essa cresce sempre più lentamente, fino ad un numero e detto numero di Nepero (o di Eulero a seconda delle nazioni) e che vale

circa

!

e " 2,718281828459 .

Purtroppo, non è né una frazione né un numero algebrico, ma è trascendente come π.

Si può calcolare e anche come somma dei reciproci dei

fattoriali, purché si ponga 0! = 1 (ci sono ottime ragioni):

!

e =10!

+11!

+12!

+13!

+14!

+ K = 1 +1 +12

+16

+1

24+ K =

1n!

n=0

"

#

n 0 2 4 6 8 10 e≈ 1 2,5 2,70833 2,71806 2,71828 2,71828

14

Nella storia ci sono stati molti studi e tentativi per arrivare a dimostrare le affermazioni riguardanti il numero di Nepero, perché è uno dei cinque numeri più importanti della matematica: 0, 1, π, e, i.

Il numero i è la cosiddetta unità immaginaria.

Fu scoperta dai bolognesi Scipione Dal Ferro e Raffaele

Bombelli nel 1500 come soluzione dell’equazione

!

x2 +1 = 0 ,

quindi è un numero algebrico.

Nel 1700, il matematico svizzero Eulero dimostrò

l’uguaglianza

!

ei" +1 = 0 , riunendo in una sola formula quei cinque numeri.

15

Torniamo agli anagrammi. La parola “cavalla” ha lettere ripetute, ossia hanno frequenze diverse:

la a ha frequenza 3 la l ha frequenza 2 la c e la v hanno frequenza 1.

Se permutiamo tra loro le tre a (ci sono 3! = 6 modi per

farlo), otteniamo sei volte la stessa parola. Idem se permutiamo (in 2 = 2! modi) la lettera l. Allora le parole distinte ottenute anagrammando la

parola “cavalla” non sono 5040 = 7!, ma

!

7!3!"2!

=420.

Formula generale: sia n la lunghezza della parola, sia r il

numero di lettere distinte, siano

!

f1,K , f r le loro frequenze.

Allora ci sono

!

n!f1!"f2!"L " fr ! anagrammi distinti.

Caso r = 2. Sia k la frequenza della prima lettera, quindi

n-k quella dell’altra. Gli anagrammi sono:

!

n!k!" n # k( )!

Esempio: “mamma” ha

!

5!2!" 5 # 2( )!

=5 " 4 "3 "2 "1

2 "1( ) " 3 "2 "1( )=

5 " 4

2= 10

anagrammi.

16

Dati i numeri naturali n, k, il numero

!

n!k!" n # k( )! si denota

anche con

!

n

k

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' ' e si chiama coefficiente binomiale.

Ha applicazioni in Combinatoria, Algebra, Teoria degli Insiemi, Genetica, Probabilità, Statistica, ecc. APPLICAZIONE 1. Quanti sottoinsiemi Y distinti con k

elementi posso estrarre da un insieme X con n elementi?

Fissiamo il sottoinsieme Y; esaminiamo uno dopo l’altro gli n

elementi di X: se l’elemento estratto appartiene ad Y

scriviamo I; se no, scriviamo O.

Abbiamo alla fine una fila (= parola) di n lettere, di cui k sono

I e n-k sono O: IOOOIIOIIIOO…

I sottoinsiemi Y con k elementi sono tanti quanti gli

anagrammi di queste parole con k lettere I e n-k lettere O:

sono proprio

!

n!k!" n # k( )!

=n

k

$

% & & '

( ) ) in tutto.

ESEMPIO: da 90 numeri distinti quante cinquine possiamo

estrarre?

!

90

5

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

= 43.949.268.

17

APPLICAZIONE 2. Calcoliamo le potenze di (a+b).

n 0 1 2

!

a + b( )n

1

!

a + b

!

aa + ab + ba + bb

!

a + b( )n= a + b( ) " a + b( )L a + b( )

n1 2 4 4 4 4 3 4 4 4 4

Il suo sviluppo è costituito da termini di grado n che contengono solo i simboli a e b, in tutti i modi possibili.

Per k = 0, 1, …, n, i termini con k lettere a e n-k lettere b

sono in tutto

!

n

k

"

# $ $ %

& ' ' .

Poiché a⋅b = b⋅a, ognuno di essi si riscrive

!

ak "bn#k .

Dopo la riduzione dei termini simili, si hanno i monomi

!

n

k

"

# $ $ %

& ' ' a

k (bn)k e il risultato è la loro somma:

!

a + b( )n=

n

k

"

# $ $ %

& ' ' a

k (bn)k

k=0

n

*

Questa formula è spesso detta binomio di Newton.

18

IL TRIANGOLO ARITMETICO (o di Tartaglia)

• Contiene i coefficienti binomiali

!

n

k

"

# $ $ %

& ' ' , che sono tutti numeri

naturali. • La prima colonna (k = 0) è sempre 1. • Se k > n viene sempre 0. • Ogni termine con n, k > 0 è somma dei due che lo

sovrastano:

!

n

k

"

# $ $ %

& ' ' =

n - 1

k - 1

"

# $ $

%

& ' ' +

n - 1

k

"

# $ $

%

& ' ' .

• La somma di ogni riga è una potenza di 2. • Fornisce i coefficienti dello sviluppo delle potenze di a+b.

n\k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 3 1 3 3 1 0 0 0 0 0 4 1 4 6 4 1 0 0 0 0 5 1 5 10 10 5 1 0 0 0 6 1 6 15 20 15 6 1 0 0 7 1 7 21 35 35 21 7 1 0 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

(gli zeri non li ho messi per comodità)

!

a + b( )5= a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5