UN CASO DE APLICACIONDE LA

ESTADISTICA MATEMATICAA LA

PRODUCCION FOREST ALPOR

JaSE AGUADO SMOLIN5KIINGENI~R.O DE MONTES

,MINISTERIO DE AGRICULTURA

INSTITUTO FORESTAL DE INVESTIGACIONES Y EXPERIENCIA.S

MADRID ... 1947AÑO XVIII NÚM. 35

Los métodos estadísticos han tomado desde fecha reciente granimportancia y son aplicables en los más variados aspectos..La técnicay la economía, de ahora en adelante, cuentan con un valioso elementopara el mejor conocimiento y progreso de las cuestiones que com-p~ooen. .

La estadística propiamente dicha o conjunto de datos productode la observación y la matemática, en feliz conjunción, han hechoposible disponer de un nuevo procedimiento de investigación.

Forestalmente, escasos son los trabajos que se han realizado, ydada la índole de los problemas que el monte plantea no hay dudade que por el camino iniciado se podrá llegar a interesantes conclu­siones {que permitirán aportar valiosas deducciones), las cuales hande traducirse en señalados avances, no sólo científicamente, sinotambién en el campo de las actividades prácticas.

Estudiar el crecimiento de las masas ha de ser forzosamente laborque requiere una gran meticulosidad, experiencias, comprobacionesnumerosas y largo tiempo. Suelo y atmósfera son factores complejos;el elemento mineral y biológico del primero y las variaciones meteoro­lógicas del segundo están sujetos, en SU combinación, a formas va­riadas que repercuten de modos diversos en el crecimiento de losárboles y, por 10 tanto, hemos de hallarnos ante resultados que noson fáciles de interpretar sin antes contar con deducciones que seanproducto de observaciones en multitud de casos.

Por tales razones, este primer ensayo no tiene otro alcance que elde orientación, y las conclusiones que podamos formular no se hade considerar que tienen un carácter estable, ya que muy bien pudie­ra ocurrir que posteriormente sean rectificadas, Una sola parcelaestudiada no es lo suficiente para establecer reglas. El método esta­dístico requiere el conocimiento de numerosas experiencias, muchomás cuando están sometidas a una gran variabilidad y no es posible,en consecuencia, determinar los limites de oscilación cuando se harealizado una sola, y menos aún es posible pretender haber encontra­do una ley que refleje el hecho observado.

Hemos escogido el P. insignis para este estudio atendiendo a su

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rápido crecimiento, 10 que nos consiente, al considerar nueve años,como 10 hacemos, abarcar un período que en otra especie requeriríaun transcurso de tiempo de alguna consideración. Precisamente elescaso desarrollo que se observa en numerosos árboles constituye unode los principales obstáculos para esta clase de investigaciones, puesen ellas hace falta tiempo, mucho tiempo, para observar la marchade los crecimientos y llegar a las consecuencias que de su evoluciónpuedan deducirse. No es posible de otro modo sentar los principiosque rigen la formación de las masas que, por otra parte, no han dereputarse de caprichosos, sino que aquí, como en otros ejemplos quela Naturaleza ofrece, no existe una irregularidad tal que conduzca aformas sin orden tú ley. El fenómeno puede ser complejo, pero nuncaarbitrario, y entre las cantidades extremas que 10 comprenden hade presentarse el modo de variación, que una fórmula matemáticapodrá expresarla, como en una síntesis, acaso con relativa sencillez.

Los datos que nos sirven de fundamento nos han sido facilitadospor el distinguido Ingeniero de Montes D. Ignacio Echeverría, quienha estudiado, con la competencia en él característica, las masas deP. insignis, dando a conocer sus trabajos en varias publicaciones edi­tadas por el Instituto Forestal de Investigaciones y Experiencias,que han sido objeto, como es sabido, de merecidos elogios.

La parcela a que vamos a referirnos tiene una extensión superficialde 400 m2; su vuelo está constituido por P. insignis de tres años; hasido clasificada como de primera calidad y su altitud es de 30 metros.Está situada en la provincia de Pontevedra, en el término de Salcedo.

Los primeros datos fueron tomados en el año r935, existiendo en­tonces un número de árboles igual a 340. Si nos fijamos primero enlos diámetros, vemos que considerando el intervalo con ro milimetrosexisten nueve, que van desde ro mm. a 99 mm., con puntos mediosentre 15 mm. y 95 mm., distribuyéndose las frecuencias y desviacio­nes, así como los productos de ambas, en la forma que figura en latabla primera.

El estudio de esta distribución de frecuencia es sencillo y los pro­medios que la expresan nos permitirán ulteriores comparaciones, quede otra forma son difíciles de efectuar.

El diámetro medio viene representado por 49,62 mm.; la frecuen­cia más numerosa corresponde a 63, y la mediana queda expresadapor 52,3, o sea que a partir de este diámetro el número de árbolesque le presentan inferior y el de los que le tienen superior se iguala.

Estas tres cifras nos dicen que la CUNa de frecuencia no es preci-

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samente la normal, ya que en ésta coinciden los valores anteriores.Vemos también cómo la asimetría, por ser mayor la mediana que lamedia, ha de ser negativa, y, en consecuencia, que aquélla se mani­fiesta hacia la derecha. Tiene por valor --0,42. Hallados los promediosy la asimetría, nos falta una medida de dispersión, y de esta formaquedará definida con sencillez la distribución que nos ocupa, para locual determinamos la desviación típica, que vale 18".

A:l01935 TABU. DE PRECUENCIAS

DIAJUtTROS

TABI,A N.O I

.bacUBN- DS8YL\-

1N'lJUl-P. MEDIO ClA CIÓN Id Id' (el + 1)1 1(4+1)'VAI,O

I d ----r

10-19 15 24 -4 - 96 384 9 21620-29 25 41 -3 -123 369 4 16430-39 35 47 -2 - 94 188 1 4740-"9 45 ..3 -1 - 43 43 o o

50-59 SS 65 o o o 1 65

60-69 65 80 1 80 80 .. 320

70"79 75 29 2 58 1I6 9 261

80-89 85 9 3 a7 81 . 16 1....

90"99 9,5 . 2 4 8 32 ' 25 50

].40 -I8, 1.293 1.1167

,Aflto 1935 TABLA DE PRECUENCIAS

ALTURASTUr.AN.02

FUCU_N- DESVIA-1N'tBR-

P. JOtDI0 ClA C1ÓN Id I¡JI (el + 1)1 I (rl+ 1)'VAI,O I tl

6,,5-6.9 6.75 1 ,5 S as 36 36

6,0-6,4 6,a,5 1 4 28 1I2 25 .115,5.5-5.9 5.75 21 3 63 189 16 336

5,0-5.4 5.25 58 2 116 232 9 522

4.5-4.9 4.15 59 1 59 59 4 a36

4,0-4.4 4,25 51 o o o 1 SI

3.,5-3,9 3,75 69 -1 -69 69 °o·

3,0-3.4 3,25 36 -2 -72 IH I 36

2.5-2.9 2.75 22 -3 -66 198 4 88

2.0-2.4 2.25 13 -4 -52 208 9 117

1.5-1.9 1.75 3 -S -15 75 16 48-----

340 - 3 1.31 1 1.645

-6-

Siendo la oscilación de go, vemos por ello cómola curva que definela frecuencia no ha de ser alargada; por esta circunstancia y aten­diendo al valor modal, creemos que puede decirse, aunque no se hayacalculado, que se trata de una curva subnormal.

Construyendo el polígono de frecuencias (fig. 1), se compruebanlos resultados analíticos. Como el nd.mero de árboles considerado noes grande, no son de extrañar las irregularidades que presenta, lascuales quedarían disminuídas si las frecuencias aumentaran.

Ha de estimarse CODlo natural la asimetrla negativa, pues es lógicoque el número de árboles con diátnetro inferior al valor modal sea su­perior a los de mayor Cliámetro que éste. En toda masa son corrienteslos árboles dominados que, juntamem:e con los que normalmentedeben existir en los intervalos inferiores al modal, han de sumar unnúmero más elevado que el que representan los que han logrado des­arrollarse superándole.

En la figura 2 trazamos la curva suavizada de frecuencias.Veamos los resultados a que llegamos al repetir el estudio con las al­

turas (tabla núm. 2). Los intervalos los hemos fijado de 0,50en 0,50 me­tros, variando entre l,5-I,9 y 6,5-6,9,y, en consecuencia,los puntos me­dios de 1,75 a 6,75. Deducimos para valor de los promedios: M - 4,24Mo = 3,8 y Md = 4,26. La media y la mediana se' presentan con, .

valores relativamente próximos. La asimetría continúa siendo nega-tiva, al igual que en los diámetros, siendo su valor -0,06.

El número de frecuencias que superan al valor modal es grande,lo contrario que en los diámetros, debido a que los árboles han tra­tado de buscar la luz, 10 que queda acusado ~n el polígono (fig. 3).Los tres primeros intervalos comprenden 38, y los tres últimos, 29; esdecir, que los posibles dominados representan un XI por lOO, y los demayor desarrollo; el 8 por 100. La oscilación es de 5,5, y la desviacióntípica, de 0,98, COn 10 que se demuestra que las frecuencias se agrupanfuertemente en la proximidad del valor medio. De aquí y del valormodal podemos decir que también a la curva suavizada (fig. 4) cabeincluirla en las del tipo Poisson.

Vistos los polígonos de frecuencia de diámetros y alturas, consi­deremos matemáticamente la relación que existe entre estas dos me­didas. Para ello, formamos la tabla número 3, de correlación, en laque se aprecia que no solamente no están dispersos los valores, sinoque se agrupan de un modo señalado. Habiendo hallado anterior­mente las desviaciones típicas y determinado en la tabla 3 el produc­.to dx dy, es sencillo encontrar el coeficiente de correlación, el cual,

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en este caso, toma el valor 0,90, que prueba una grande pendenciaentre diámetros y alturas.

Determinemos ahora los valores de las alturas medias correspon­dientes a cada intervalo de diámetros; tenemos:

INTRRVAJ,O DR DIÁIIltTRoS

10-19~0-29

30-3940-4950-5960-6970-7980-89

90-99

Al.TURAS MJU>L\S

2.41

3.17

3.663.9~

4,445.065.325.976.25

Según la anterior relación, las alturas medias oscilan entre 2,41 me­tros y 6,25 m., con una dperen~a entre estos valores extremos de 3,84metros. De uno a otro intervalo. los incrementos en altura comienzantomando el valor má:ldm0 alp~delpqm~o al segundo con 0,76 me­tros terminat1do.~daento:eonel v61éf 0,28,.••• muy próximo alos mínimos de 0,26, que se presentan en el cuarto y séptimo. No hay.pues, una señalada tendencia de aumento o disminución, sino más bienuna oscilación de pequeña amplitud. En efecto, dibujada la poligo­nal se aprecia que la dependencia entre diámetro y altura puede con­siderarse, sin gran error, lineal. Determinada la ecuación de regresión,y = 0,046, X + 1,9. y construida, vemos cómo los valores medioshallados directamente sesepafan muy poco de la recta, la cual nospuede representar, por ta~to, Detfectamente la ley de asociación entrediámetros y alturas, y \endrebl06, de esta forma, el procedimientopara encontrar la altura que corresponde a un determinado diámetro.El valor marginal, o bien la derivada de la función, tiene por valorel coeficiente angular, y de ello deducimos que de uno a otro intervaloel incremento en altura es de 46 cm. Aplicando la fórmula del errorhallamos, Sy = 0,392, qne nos demuestra la utilidad de la ecuaciónde la línea de regresión, pudiendo suponer que el 68 por 1QO de loscasos que se consideren están dentro de la oscilación 0,39 m. La dis­persión es, pues, pequeña. El error que' pueda cometerse no llegaría,en la generalidad de los casos, a un intervalo. '

En resumen, refiri~ndonosa los valores extremos y unointermedio,

POLlGONOS DE FRECUENCIADIAMETROS

i 2 3 4 .~ 6 7 8 9 roFIG. lo

ALTUR.AS

2~ 5 n 4 4~!)

PIC. 3.

A~o 1935

-9­

CURVAS SUAVIZADAS

DIAMETROS

AÑo 1935

FlG. :2.

ALTURAS

-.

FIG. 4.

TABLA N.o 3

DIAMETROS EN MM.Ailto 1935

:Si5~::J

~

'ltElftLl I 10-19 20-29 30-39 40-49 50-59 60-69 7°-79 80-89 \ 90-99 ", •d'y I f·d'y !f·d'Y' 1: ("d',

i,·MOtI-- 1-----

15 35· 35 "5 55 65 75 85 ~ ------------6.S:-6,9 I 6,75 • 1 1 -±...L __5_ 25~-- ---6.0-6.4 ~. 6,35 : :1 • : :z 38~ __1_ --±--L II:Z 84~--

lillt' 85.5-5.9 5.75 -'-,''lo... , W Ii .,.~ .....~ 2I -±L 63 189 III

1..1~~-- __o

h ••

~ --..6 fiUD!!:;'''; ¡i: 11 ,85.0-5.4 ..

• 1+:z 116 ~~..-- 1---. · ......... m!H!·· ¡= 84.5-4.9 4.75 . :Z' 2 ::::::- 23 :Lf -22.-- +1 ~~~-- 1--- 1--'--. . ..... ¡i¡EH";, !i (í4.°-4.4 'P5 • 2: 31::: ."13 .:»:~ O O O-- ----

¡I 5 !!!!U¡¡¡:~ !E51¡··:¡6 ...8- 6g3.5-3.9 3.75

_.1 -1 -69 69 98..--

~. ----~ :1

•... · ~ 18:z3,0-3.4 3. 25 . • ···x9 ::= 12 • :z 1 -2 -72~.. - -----... .....~2.5-2,9 2,75 :: 7 ::::: 15 e :a:z e-=-L -66 219

I ~-I-----

2 ..0-2,. I 2,25 1:la 12 ___ • 1 13 -4 -52 208 200--,-- -------------1.5- 1.9 I 1.75 E 3 I 3 -5 -15 75 60

f~

I~I~I 47 I 43 6S

1

80:9 I 9 :2 340 --I-=--;-~I~

d'~

I ;1 ":1 =~- I ° 1 __3 _ __4_

f·d'~ I -43

1

O

I80 58 27 8 - 183

f·il'xI 38.. 369 188 43 ° 80 116 81 'U 1.293

-11-

tendremos que a los diámetros 10,40 y 90 corresponden las alturas2, 3,7 y 6, respectivamente.

Si hallamos las medias de cada una de las filas de la tabla decorrelación y construfmos, de análoga manera a la anterior, la poli­gonal, obtendremos la asociación, por término medio, de los diáme­tros con las alturas correspondientes. Ahora figuran como variableindependiente, las alturas, y como función, los diámetros. Calculemoslos valores:

1,5-1,92,0-2,.2,5-2,9

3.0-3••3.5-3.9....-...••5-'l>95,0-5••5.5-5,96,0-6,.

6.5-6.9

D~ JaDI08

15,00

16.5321.81

29.72

4°.7951 •27

60.76

66.20

72 ,6 1

85.0085.00.

Al igual que en el caso anterior, no se observa en los incrementosuna mareada tendencia al aumento o disminución, sino que oscilaalrededor de un valor medio. Existe una diferencia eseneíal. Así

. como en las alturas medias el incremento máximo se presentaba alpasar del primero al segundo intervalo, aquí este primer incrementopuede considerarse el mínimo. El incremento en diámetro comienzacon una señalada tendencia al aumento hasta el quinto intervalo,para luego disminuir, presentando un descenso fuerte; después; unaumento mUY acusado, y luego, el valor cero.

La poligonal, que tiene por vértice los anteriores valores medios,vemos que no 'presenta grandes diferencias en relación con la recta deregresión X = 17,1 Y - 22,2. El incremento por unidad de la varia­ble independiente, viene representado en la función o diámetros por17,1 mm. nI error, Sx = 7,48.

Las alturas extremas y una intermedia, 2,7 y 4, se asocian, res­pectivamente, con los diámetros 12, 97,5 Y 46,2.

A1llegar al año de 1937, Y como consecuencia de las claras, el nú­mero de árboles ha quedado reducido a 298; han sido cortados, portanto, 42. Construyendo la tabla de frecuencia correspondiente a diá­metros (tabla núm. 4), apreciamos que ei intervalo inferior es 20-29 y

Ift·~ ~ ~,c) ~

:S'OoIfiMM w tOJn4l'f

"~"-,~

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""'"~~"~~ ""t()

~..+~-oto11

:;.. ~ .o =

o~

..~..I

:;..

-- 13 -

el superior 140-149. Las marcas de clase han aumentado, pasandode 9 a 13; quiere ello decir que los árboles comprendidos en el inter­valo inferior, o parte de ellos, sólo se han incrementado en diámetroen un centímetro, o tal vez menos, mientras que en los de los superio­res el avance es considerable, llegando, en el peor de los casos, a 4 cm.

Afto 1937 T4BLA DE PRBCUENClAS

DIAMETROS

TUI,AN.04

16 176

9 2344 132

1 33

° °1 424 200

9 26116 25625 27536 216

49 4964 64

1.938

(4 + I)a 1 (d + I)a

275416

297132

39o

Id'

120

Id I1----1

- - -1- - - 1- - -

I =1~~ I- 99 I

- 66 I- 3: I

so58

48443°6

7

5°116

1«1761.50

1---1-,,:: I

PJtKCUgN- D2SVL\-CIA crÓN1 d

11 -526 -433 -333 -2

39 -1

42 °.so I

29 2

16 3II 46 .5I 6

1 71----1

298

2535455565

758595

105

lIS125135

145

P. MEDIO~.

VAI,O

20-29

30-39

4°-4950-5960-6970-7980-8<)90099

100-109110-119

lZo-U9

130- 139

140-149

Los efectos de las claras se han acusado de modo notable en los árbo­les que se manifestaban vigorosos. Hallando los promedios para mejorapreciar el polígono de frecuencias se tiene: M =71 mm., Mo = 84,08y Mtl = 71,66.

Siendo la media en 1935 de 49,62, deducimos que el aumento deldiámetro medio es de 21,38 mm.

Al igual que en el año 1935, la mediana supera a la media; pero ladiferencia entre los promedios extremos es análoga: 13,38 en 1935 y13,08 en 1937. La desviación típica es igual a 24; encontramos queha aumentado y, en consecuencia, el polígono es más extenso. Laasimetría continúa siendo negativa e igual a - 0,08; sigue, pues,manifestándose a la derecha.

El número de frecuencias colocadas a la izquierda del valor modalcontinúa siendo superior al de ias situadas a la derecha, y existe unpredominio, ~on relación a este valor, de los árboles que son más del-

-14-

gados, que, concretando en tantos por ciento, para mejor efectuarla comparación. resulta que es de 64 por 100 en 1935 y 61 por loo

en 1937.El polígono de frecuencias y la curva suavizada son más regulares

en este caso (figs. 7 y 8), 10 que nos parece normal, pues si en una masase presentan irregularidades y, en general, un número más o menosimportante de árboles dominados y deformados deben desaparecerpor las claras, suponiendo que no existan razones que aconsejen laconservación de alguno, y ante una mayor uniformidad, se produciráun equilibrio a uno y otro lado de los promedios, que tenderán a coin­cidir, y, por lo tanto; las curvas suavizadas se aproximarán a la deGaus. Claro está que la manifestación de individualidades, que debenrespetarse, alterará estos resultados; pero cuando estas alteracionestengan lugar a la derecha de los promedios revelarán la convenienciade aprovechar estas excepciones y, de un modo especial, como árbo­les padres.

Pasando a las alturas y formando la tabla número 5, nos encontra­mos con que los intervalos son 16. o sea cinco más que en 1935. El

At::to 1937 TABLA DE FRECUENCIASALTURAS

TABI,A N.0.5

INTD-J'JlJtCUICN· DJt8VtA- I(d + 1)1P. MEDIO cus CIÓN Id IdI 1(d + 1)1v.u.o 1 d

10.0-1°.4° 10.25 1 7 7 49 64 64

9.5'"9.90 9.75 7 6 42 252 49 3439,0'"9,20 9,25 8 5 4° 200 36 288

8,5-8,90 8,75 13 4 52 208 25 335

8.0-8,4° 8.25 34 3 102 306 16 544705-7.90 7·75 43 2 80 172 9 387

7,0-7,40 7.25 34 1 34 34 4 136

6,5-6.90 6.75 32 ° ° ° 1 326.0-6.4 0 6.25 J6 -1 -36 36 ° o

5,05-5.90 .5,75 25 -2 -50 100 1 25

5.0-5.4° 5,25 17 -) -51 153 4 68

4.5-4.90 4.75 17 -4 -68 272 9 1534.°-4.4° 4.25 19 -5 -95 475 16 3°43.5-3.9° 3.75 8 -6 -48 :z88 25 300

3.°-3.4° 3.35 3 -7.

-14 9S 36 723.5- 2,90 2.75 3 -8 -16 128 49 98

298 -15 2.771 3·°39

- 15-

POLIGONOS DE FRECUENCIA

DIAMETROS

2 ~ 4 5 6 1 e 9 10 ti t2 f~ U 15

FIo. 7.

ALTURAS

~\ , ,\ 7 71. 8\ 9 '1 te to',

1"IG. 9.

A~o 1937

•

- 16-

CURVAS SUAVIZADAS

DIAMETROS

ANO 1937

•

PIc.8.

ALTU.RAS

PIC. 10.

-17-

punto medio mínimo era en este año de 1,75 yen 1937 de 2,75, luegoel aumento es de un metro, y en lo que se refiere al intervalo máxi­mo, cuyos valores medios son 6,75 y 10,25, respectivamente, la dife­rencia llega a 3.5 m., que, ciertamente, es importante.

Los promedios están definidos de la siguiente manera: M = 6.72,Mo = 7,75 Y Mil = 6,85·

La diíerencia de las medias aritméticas en los años que venimosconsiderando es de 2,48.

La mayor amplitud del polígono (fig. 9) queda señalada en la des­viación típica, que es iguala 1,52, y en cuanto a la asimetría, S == - 0,24, su valor sigue siendo negativo. Las diferencias se aprecianclaramente al comparar las curvas suavizadas (figs. 4 y 10).

Construida la tabla de correlación número 6, nos damos cuenta deque también aquí la dependencia entre diámetros y alturas debe sergrande. Llaman la atención las alturas de los últimos intervalos de losdiámetros, con igual frecuencia en cada uno y con igual valor en ambos.inferiores al que correspondería con arreglo a la marcha normal quepresenta la tabla. También se observa que el intervalo 80-89 corres­pondiente a la moda es el que contiene mayor diversidad de alturas,llegando una frecuencia a la misma que la del intervalo más elevado,140-149. Viniendo al inferior, 20-29. nos hallamos con cuatro fre­cuencias. que representan los valores mínimos en las alturas, quetoman los valores medios 2.7 y 3.5 m., los cuales, en condiciones co­rrientes, deben desaparecer. Estos valores mínimos y la circunstan­cia de hallarse retrasados en sus alturas los árboles correspondientesa las clases superiores en diámetros, determina que la correlacióndisminuya. No obstante, hechos los cálculos. encontramos para coefi­ciente de correlación 0,91, superior aún al hallado para 1935.

Calculados los valores medios de diámetros y alturas y represen­tados gráficamente.. tenemos las poligonales de las figuras II y 12;

según ellas, la asociación entre diámetros y alturas y la de alturascon diámetros es la siguiente:

INT8llVAI.QSALTuRAS KUDIAS

INT8llVALOSDIÁME'l'ROS MEDIOSDE DIÁlIETllOS DE ALTURAS

_.~-----

20-29 3.65 2.5- 2,9 2.53°-39 ....s 3,0-3.4 254°-49 5,29 3.5-3.9 31,25

.5°-.59 5.93 4.0-4.4 3.560-69 6,57 4.5-4.9 42,05

7°-79 7.0S 5,0-5.4 49.7°

2)

IN'J.'BIlVALOSDE DIÁJomTJlOS

80-8990-99

100-109

110-119120-129130-139140-149

- 18-

AI,,'fURAS JOIDIAS

7.737.908.189.06

9.50

9.759.75

IN'tBIlV.AJ,OSDB AI"TURAS

5.5-5.96,0-6.46.5-6.97.°-7.4t.s-t»8.0-8.48.5-8.9

9.o-g.49.5-9.9

10.0-10 04

DIÁlIltTaOS MEDIOS

55.8062.2269.0680.58

84.30

92.35

104.:2311:2.5°12:2.14115

y si hacemos la comparación con 1935, las diferencias son:

IN'l'D.VAI"OS IN'tBItVAI"OSDl.úon'ROS MEDIOSDE DLÚm'TRos AI"TURAlI JOIDJAS Da AI"TURAS

20-:29 0.48 2.5-:2.9 3.19

3°-39 0.8:2 3,0-3.4 .- -5.28

40-49 1.37 3.5-3.9 -9.545°-59 1.49 4.°-4.4 -16.2760-69 1.51 4.5-4.9 ,-18.71

70079 1.76 5,0-5.4 -16.4480-89 1.76 5.5-5.9 -16.81

9G-99 1.65 6.0-6,4 -18,78

6.5-6.9 -15.94

De donde se deduce, por 10 que se refiere a igualdad de diámetros,que la mayor diferencia se presenta en los intervalos 70,79 y.80,89, Ypor lo que respecta alas alturas, para 6-6,4 m. A igual diámetro corres­ponde mayor altura en 1937. e inversamente, a igual altura corres­ponde menor diámetro, salvo para la altura mínima, en que el diá­metro es 25, siendo así que en 1935 era 21,81.

Conocidas las poligonales a que nos venimos refiriendo, nos quedaencontrar las rectas de regresión, cuyas situaciones son: Y =. 0,057,X + 2,61 y X = 14,35, Y-25,S (figs. II Y 12). Los valores quemás se apartan de la primera son las alturas correspondientes a losúltimos intervalos, que en la: tabla de correlaciones aparecían retra­sadas, y es de creer que si se estudiasen nuevas parcelas se encontra­rían valores más próximos a los que se obtienen en la ecuación. Eldiámetro correspondiente a la altura más elevada y que se muestracon retroceso es el valor que seguramente no se hallaría en una nuevaexperiencia. Los errores son: Sy = 0,62 Y Sx = 10,12.

TABI.A N.o 6

DIAMETROS EN MM.A:ito 1937

11

:s~

~

~

liMA" ao-., 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 lIo-8t 90-99 1.1. 11"'" 1"'. 1..1. 1..1. fJ (J', '·d', ,.(J'y2 E (t'1fJ--------------- 1--------- - ------

'.181' 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 u5 135 145----------------------------------- !-----10-10.4 10,25 • 1 1 7 __7 49 28------------- --1-

i ~--

9.5-9.9 9.75 • 1 • 1 • 1 le 1 ¡-1 6~ 2521gB

9,0-9.4 9,25 • 1 • 1 r3 1__3 8 5~ 200 150

8.5-8,9 8.75 I la I la¡¡--F5 ¡-

2081 152I .. ~ .. 52

8.0.8.4 8.25¡¡--

~~~IO :1: 8 306 171: 4 • I .l.1 3 102.-.--UI 9'-'-- r---

172[ 807.5-709 7.75 : .. .18¡¡ 10 I 2 ~2 86

7,0-7.4 7.25 I¡¡-ti ¡ill IJ III n~ : '2 .l.1 1~~~..?5-6.9 6.75 : 2~ :m IClii 7~ I :z __0 __0ª-- •• .E o O

6,0-6.4 6.25 • 1 P , eE: 8 =1 I~ UI 9 1. 1 ~=..!- -36 _36 .. ti-- P 5....--- ",-.-- ---- ------- --

.~5.5-5.9~• 1 0:: 12 L...-2 : :z 25 -2 -SO 100

5,0-5.4 : 2... H 6 : 2 153 12lj5.25 • 7 .!1 -3 -SI-- !! 6.....- --------

4.5-4.9 4.75 ::: 10.. I 17 -4 -68 271. 224----~

-..--3&~ 4.25 : 4 -:- 11~ -- 19 -5 -95 475

3.5-3.9 .--P , 8 -6 -48 288 2103.75 L.-2 -------- --- --3.0-3.4 3.25 : 2 2 -7 -14 98 7°--------- ~1-8 -s;;2.5-2.9 2.75 : 2 1-16 128

fx II 26 --R --R--12.. 42 So 29 16 II

.~I 2gB - 15 2.771 2.039

I-s» - 5 =-!. - 3

_ 2- 1 ° I 2 3 __4_ 5 6 1--

¡·a'x -55 - 104 -99 -66 -39 o SO 58 48 44 30 6 7 -120

f·a'xI 275 416 297 132 39 o 50 116 1...... 176 150 6 49 1.880

v = 0,0.57 X + '1.,67

-J()-

Ai!to 1937

10.5

10

9.S

9

.,1

8

1/' p -O

~~p

/ V/

If'IJS"

d}

/.Ir#<

.JI~

~,~

I~l~

j¿ r

/~'t'

/.i

r I20 .50 40 SO eo ~ 80 00, 100 110 120 1ao WO 150

.(U~ (4048) ~) Cs.':!!) (l57) (lOS) (JJ5) (;0:90) (8.11) (9.06) (9.50) ('15) (1.75)

DtQme~~ en milímetros

FIG, rr.

x == T4.35 Y - 25 •.~

-21-

.'\~o 1937

1OJ»

10

~

e

8,6

8

1.6

1

ª6.~

"i e

ti &,&

~ ~

=ªoC 4,5

.4

.5.5

.3

2,5

~ !¡

j)~

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.1'tY~

r,P7

irl/,sj

I~r'/

r¡'

J',q

/)

I I

(115.001

(112.14)

(112,30)

(104,13)

(f2.35)

(14.30)

(10,58)

(69.06)

(12.12)

(55.80)

(.9.70)

(.2.05)

(15.00)

(31.25)

(25,00)

(25.00)

Diómmro.s en milím~

PIc. 12.

-u-

Los valores marginales se obtienen de los coeficientes angularesy, por lo tanto, 0,057 y 14,35 nos representa los incrementos en altu­ras y en diámetros, que, comparados con los de 1935. vemos que sonsuperiores por 10 que respecta a los de las alturas e inferiores en losde los diámetros, siendo estas diferencias de 1,1 cm. en las primerasy 2,7 mm. en los segundos.

Al igual que en los años anteriores, comenzamos en el de 1939por construir la tabla de frecuencias de los diámetros, que comprende175 árboles. variando los intervalos desde 40-49 a 180-189. Segúnesto, y puesto que el primer intervalo de 1937 era 20-29. tenemosque existe un incremento de 20 mm., es decir, doble del que se pre­senta al pasar de 1935 a 1937. Por lo que respecta a los superiores, elincremento núnimo es de 30 mm., al menos con relación a los añosque acabamos de citar. Hallada la media aritmética, resulta ser de 94,7.El aumento, pues, desde 1937 es de 23,7, superior en 2,3 al de 1935­1937. El valor modal llega a 86, y la mediana, a 92,1 mm.

Resulta que la media aritmética es el parámetro con valor más ele­vado y, como consecuencia, la asimetría ha de tener un valor posi­tivo. Se presenta, por lo tanto, una diferencia esencial con relación

A:!lo 1939 TABLA DE FRECUENCIAS

DIAMETROS

TABI..AN.07

INTaR-JlaltCUItN- D:BSVIA- I

P.IUtDIO CIA CIÓN Id Idl (d + 1)1 I (d + 1)1VAI,O

f d

"°-..9 "5 .. - .. -16 6.. 9 365°-59 55 10 -3 -3° 90 I .. ..o

60-69 65 13

I-2 -26 52 1 13

7°-79 75 20 - 1 -20 20 o °80-89 85 3.. ° o o 1 3..90-99 95 3° I 3° 30 .. 120

100-109 1°5 22 2 .... 88 9 198IIo-II9 115 15 3 "5 135 16 2"0120-129 125 9 .. 36 144 25 22513°-139 135 7 5 35 175 36 252

1"0-1"9 1"5 9 6 5" 32.. ..9 ....1150-159 155 o 7 ° ° 6.. o160-169 165 1 8 8 6.. 81 811]0-179 175 ° 9 o ° 100 o180-ISg 185 1 10 10 100 121 121

~--- ¡175 170 1.286 1.801

- 33-

a 1935 Y 1937, ya que en estos años era negativa. viniendo representa­da ahora por 0,30. La amplitud de los promedios es de 8.7, bastanteinferior a la de 1937, que era de 13,08. El número de intervalos sigueaumentando, llegando a 15. El polígono y la curva suavizada (figs. 13y 14), son una consecuencia de estos valores; vemos que continúaalargándose y que sigue en aumento la desviación típica, que tomael valor 25,3.

En las alturas (tabla núm. 8), observamos que el número de inter­valos no sufre alteración, pero las frecuencias están muy apretadasa los promedios, 10 que ha de reflejarse en el valor de la desviación

Alto 1939 TABLA DE FRECUENCIAS

ALTURAS

TABLA N.o8

INTER- IP. IolltDI0

'PRltCUEN- DESVIA-CIA CIÓN fd l11 {d + 1)1 I {d + 1)1

VAI.of d

12.5-12.90 12.75 5 6

I3° 180 49 245

12,0-12.40 12.25 7

I5 35 175 36 252

11.5-11•90 1 11.75 9 4 36 IH 25 22511.0-11.4°' 11.25 17 3 51 153 16 • 70770

10,5-10.90 10,75 3° 2 60 17.0 9 27010,0-10.4° 10.25 34 I 34 34 4 136

9.5-9.90 9.75 24 o o ° I 2...9,0-9.4° 9.25 14 -1 -14 14 ° o

8.5- 8.90 8.75 8 -2 '-16 32 1 88,0-8.40 8.25 8 -3 -24 72 4 32

7.5-7.90 7.75 7 -4 -28 II2 9 63

7,0-7.4° 7.25 I 7 -5 -35 175 16 112

6.5-6.90 6.75 ° -6 ° ° 25 °6.0-6.40 6.25 2 -7 -14 98 36 770

5.5-5.90 5.75 I -8 - 8 64 49 495.°-5.4° 5. 705 2 -9 -18 162 64 128

175 89 1.535 . 1.888

típica, que será menor. La media aritmética es 10 y se ha incrementadoen 3,28 con relación a 1937. El valor modal y la mediana son 10,27y 10,21, respectivamente, como vemos, sumamente próximos. Laamplitud de los promedios ha disminuído y solamente vale 0,27.La desviación típica. con 1,45, es algo inferior a la de 1937. con­forme se había previsto. El polígono y la curva quedan .representa­dos en las figuras 15 y 16. La asimetría, en contraste con la de losdiámetros, es negativa. Es igual a - 0,43.

-24-

POLIGONOS DE FRECUENCIA

DIAMETROS

.4 ~ 6 7 8 , 10 fl t1 '3 M I~ !EI 17 tI 19

PIo. '3

,A J. T U R A S

A~o 1939

~ ~'6 ", 7 7' 8 n 9 9'S /O 101 tl 11'5 It m 13

PIe". 15.

- 25-

CURVAS SUAVIZADAS

DIAMETROS

A~o 1939

PIc. 14.

ALTURAS

FIC. 16.

- :z6-

La tabla número 9, de correlación, presenta una mayor disper­sión. El intervalo 80-89 contiene gran diversidad de frecuencias, quellegan a tener 10 alturas diferentes, variando de 7,2 m. a 12,2 m., conuna diferencia de 5 m. Contiene árboles con desarrollo vigoroso y otrosque si han sido conservados es por haber atendido seguramente aevitar que se produzcan claros. La altura, 10,75, se distingue por con­tener árboles cuyos diámetros varían desde 75 a 145 mm., con unaamplitud de 70 mm., que no deja de ser importante. En general,se caracteriza esta tabla por una mayor variedad, tanto en alturas comoen diámetros. Existe una fuerte manifestación de individualidad:hay, en efecto, árboles que han adquirido un desarrollo extraordinario,como son los correspondientes a los intervalos 160-169 y 180-189,Ypor lo que se refiere a las alturas, vemos cómo en el intervalo 130-139,de los diámetros, existe un árbol con 12,75 m. de altura y que el140-149 contiene tres, también con igual altura, que es la máximay sólo alcanzada por el único árbol incluido en el último intervalo,que corresponde al diámetro medio, 185 mm. Finalmente, observa­mos que no contienen frecuencias los intervalos 150-159 y 170-179,ni tampoco las alturas correspondientes al cuarto intervalo, 6,5-6,9.Calculando el coeficiente de correlación, encontramos r = 0,80, infe­rior a los anteriores, pero 10 suficiente alto para probar la estrechaunión que existe entre los caracteres diamétricos que se estudian.

Los valores medios de alturas y diámetros se distribuyen de lasiguiente forma:

INTERVALOS INTBRVAI,OSDIÁJmTROS MF:DIOS

D~ DIÁMETROS ALTUIUS HltDIAS D:BAI,TURAS-_._._.__._--

40-49 6,00 5,0-5.4 4550-59 7>45 5.5-5.9 4560-69 8.44 6,0-6,4 5570-79 . 9.30 6,5-6,9 °80-89 9,90 7,0-7.4 66.4 2

90-99 10.35 7,5-7.9 57.85

100-109 10.56 8,0-8", 68.75r ro-r re U.Ol 8.5-8.9 7705°1~0-129 10.69 9.°-9,4 80.7 1

130-139 U.53 10.5-9.9 87.12

14Cl-149 12.13 10.0-10.4 96.47

150-159 ° 10.5-10.9 1°5160-169 U,25 i r.o-r r.a u2.05

170-179 ° u.5-II.9 120.55180-189 12,75 12,0-12.4 127.85

12.5-12.9 151

TABUN.09 AÑo 1939DIAMETROS EN MM"...11-11I I I ... 1,•.,.111..1111....1111,..,1111,41.1411,..,11: '''''·1'''11·1'''''·1~1~1 t·(J', 1"0'" ¡E (....)....141-41IITDUW

P.IOII -45 55 75 9S lOS ns 13S 1-45 17S lBS

.1--11 "~ ----12.5.12.91 12,75 I • r: 3 • I S 6 30 ISo lC)!!12.0-12," 12.25 ==! . 1-:- .2-;---1------13---· I Z 5 _35 175 Ise

11.5-11,9 11,75 I l. 1" l· l' 1" 1¡:. 2: 2 9 4 36 1.... I2~:S 11.0-11,4 11,25 ~- _'__1: _-=~-1!~' 1: 3_==----'-r.----~ 3 -511 153 138

o, ••• !~ l.. i 1- 1:z: 10.5-10.9 10,75 __ • 11" SI: 7:. 5!L-1F-=-2~_·_2. 1__ ~__a ~rI~~f., •• ..i- •••• ••. 8 ••- 10,o-IO,..~ : 7 a::· II ::0--. L--4------- ~ --'-1 "~en - .... •• •-< 9.5-9.9 9,75 "11· S::: 10:. 5~~_·__1___ ~_o o __e

o::: 9,0-9.4' 9.25 ¡ 3:" .. :" .. : 2" 1, 1-4 -1 -14 14 t~ 8.5-8.9 8.¡;-f--' : 3 • I 3 " -~--- ----. 8 =;- 16 - 32 ---;;

~ 8,0-8.-4 8.25 !~; 2i _-..1~. I -----==--==~_ 8 3 24_72 3~_~S:~...1.!.l1.. 0 1 :- ~O__._I ~__I __"_,...--__1--__ -.1--4 1

- 28~I~

7,0-7.4 7.25 *:2,: 31~· 1 __---_1-._-.1-51~__.!751~6.5-6.9 ~.!.l1.. __ . _ , ~ - 61__0 _~I__c

. 6,25 : 2 2 - 7 i- 14 981 -42

5.5-5.9 5.75' l' . ---~----_._--- . -1-8 1- 8~~

5.0-5.-4 ~-;;-~ -- -1---------------;-9:-18 1621 7~

" Í.~__-4_ lO 13. 20 I 34 30 22 I 15 9 7 I 9 ~_I I ..-3_~~ 175 89 I.;i35 1.117d;;j- .. 1-=2. - a --=-7l o 1 2 3 4 5r6 7 /8 9 10

!.d'% ~I~ 26 ~ o 30 H _±L--;6 35 I 54 -;;-1'-8- o ~ 1170

!·d'r 6 90 S2 20 o '10 88 135 144 175 324 o 64 o 100 1.286

-:18-

En las poligonales de los valores medios (figs. 17 Y 18) se acusannotables diferencias en este año, particularmente en 10 que se refierea las alturas medias. Debe señalarse que al intervalo de diámetroI20~129 corresponde una altura media inferior al del 1I0~1I9. Por

. lo que se refiere a las alturas, vemos cómo al intervalo 7,5-7,9 corres­ponde un diámetro inferior al del anterior. Las líneas de regresióntienen por ecuaciones: Y = 0,045, X + 5,7 y X = 13,9, Y - 44,3.

El coeficiente angular de la primera ecuación nos dice que los incre­mentos en la altura son menores a los de 1931Y del segundo se dedtteeque los incrementos en di4.metro han dismiauído, deJDaDeI1l que ambosson inferiores a los del último año. Los errores vienen representadospor Sy = 0,87 y Sx = 5i,18, notablemente aumentados con rela­ción a 1937.

No han variado, en el año 1941, el número de los intervalos delos diámetros, que oscilan entre 70-79 y 210-219; el menor se haincrementado en 30 mm., Y el superior, en igual cantidad. Las fre­cuencias han quedado reducidas a 88, y la tabla correspondiente, mí­mero 10, nos muestra cómo en los intervalos cuyos puntos medios son

Afto 19of1 TABLA DE PRECUENCIAS

DIAMETROS

TABLA N o 10

IN'1'EIl-JI1lltCUltN- DltSVIA· I I (d +P. IBDIO CIA CIÓN Id Id l 1)1 I(d + 1)1v.u..o I d

I- ----

70-79 75 I -5 - 5 25 16 1680-89 85 2 -4 - 8 32 I

9 18

90-99 95 15 -3 -45 '35 .. 60100-109 105 l2 -2 -24 ,,8 T 12no-Il9 II5 II -1 - TI 11 o o

Uo-U9 125 17 o o o I 17130-139 135 10 I 10 10 4 40

140-149 145 2 2 " 8 9 18150-159 1.55 10 3 30 90 16 160160-169 165 3 4 12 ,,8 25 75170-179 175 4 5 20 100 36 1<ti

180-189 185 o 6 o o 49 o

190-199 195 o 7 o o 6" o

200-209 205 o 8 o o 81 o

210-219 215 I 9 9 81 100 100

88 - 8 588 660I

y ....0.04.5 X -+-.5

-39-

Atto 1939

11

. ~11)

9,!)

6

/~

/O

¿ 11"

a / V~~~~. l

~

V VV /, V,~

~V

/VI" ,

/1."

/,~i

I

,I

!O

o

~ se eo 7t:> 80 90 100 110 120 130 .40 150 l450 1]0Dlómetros en milíme+ros:

{UO (1A5) (1lU) (9.30) (9.IJO) (Io.J5) (10.56)' (JO./JI) (1G.69) (U.53) (I2.lJ)C o) (12.25) (o) (tqS)

PIC. 11.

-JO-

x = 13.9 Y - 44.3 .:\No 1939

("7.15)

(JIO.~)

(mAS)

(106.00)

(MA7)

(8].11)

(11.71)

(77,50)

(66.]5)

(5].8~)

(66.At)

(o)

(SSJlO

(400)

($O)

o ("1.GO)~-,-

I,~

)'1'

JI"v

~.c9~V

,V~I

.

4#~V

( I ..

/ '~

II

I ,P

(6

-

10

6

n

.. ~oJ:g~6&.5~&

.:. 7,$;¡

1

lS

PIe. 18.

- 31 -

18S, 19S y 205, no existen árboles y tan sólo uno en el 21S, que esprecisamente el último; es decir, que a no haber sido por él, la oscila­ción del polígono hubiera disminuído en cuatro intervalos. En rea­lidad, en este aspecto la diferencia es escasa en relación con el añoanterior, en el que la última clase sólo contenía un árbol, ninguno lapenúltima y las dos anteriores uno y cero, de mayor a menor.

Lospromedios quedan definidos de la siguiente manera: M = 124,1,Mo = 124,7, MIl = 121,7. La amplitud es de 3 mm., inferior a lade 1939. La asimetría definida por 0,27 es positiva, al igual que en1937. El polígono presenta una gran irregularidad, con tan sólouna y dos frecuencias en los dos primeros intervalos, pasa a IS en eltercero, con escasa diferencia respecto al valor modal, que se presentados intervalos d~és. A' la derecha de este valor continúan las osci­laciones y se aprecia cómo el intervalo siguiente, correspondientea 130-139, contiene iguales frecuencias que el 150-159, mientras queen el intermedio sólo hay dos; luego prosigue todavía la irregularidady, finalmente, como hemos indicado antes, de los cuatro últimosintervalos es el superior el que contiene una sola frecuencia.

La desviación típica es igual a 25,8. El polígono (fig. 19) continúa,pues, con tendencia a alargarse. • '

Por 10 que respecta a las alturas, una vez construída la tabla nú­mero II yel polígono (fig. 21), así como la curva suavizada (fig. 22),

TABLA DE FRECUENCIAS

ALTURAS

TABI,A N.O r r

INT.8R- FIUtCUltN- DESVIA-P. MJtDIO CIA eÓN Id ItJI (d + Il1 1(4 + III

VALOf 4

16,0-16,4 16,25 2 6 12 72 49 9615.5- 15.9 ·15.75 I , .5 25 36 3615.0- 15.4 15. 25 3 ·4 u 48 25 7514.5-14.9 14.75 9 3 21 81 16 14414.0- 14.4 14,25 7 2 14 28 9 6313.5-13.9 13.75 18 I 18 18 4 7213,0-13.4 13.25 19 ° ° o 1 1912.5-12.9 12.75 13 -1 -13 13 o °12,0-12.4 12.25 7 -2 -14 28 1 7II.5-II,9 II.75 8 -3 -24 72 4 32

11,0-11.4 n.25 I -4 - 4 16 9 9

88 33 4°1 555

-- 31 -

POLIGONOS DE FRECUENCIA

DIAMETROS

7 8 9 10 11 12 1) ti I~ ti \7 la .. 2D 1\ 12

FIG. 19.

•

A J. TU R A S

lt 11' 12 12'5 13 131 14 14'5 15 ~'5 16 16'5

PIC. 21.

- 33-

CURVAS SUAVIZADAS

DIAMETROS

PIe. 20.

ALTURAS

Flc. 22.

Allo 1941

3)

: .r. ':~ ,/).•~"'"•..~.. -. ~~; ...• ' ;Ir. 1, '-«,..JI!:: ..~. \"",'." \~~'-'-":-~", ':"' v.: - 34 -

, ,4oX ... illf).,i/~,

Ne'tP ' ,,~9(n6mero de intervalos ha disminuido, pasando de 16 a II;\i1.a~1Iitdád..&' alturas es menor y se tiende hacia una mayor unifor-.i'n~4;.~¿;~ '~iib la oscilación es inferior a la del caso análogo anterior.El \;alor de los promedios es: M = 13.38, Mo = 13,29 Y Md = 13.39'Llama la atención la casi coincidencia de estos valores, ya que la am­plitud entre ellos queda reducida a 10 cm., diferencia entre la medianay la moda. Entre la mediana y la media casi no hay variación, todavez que un centímetro, tratándose de altura, no tiene la menor impor­tancia; de manera que bien puede decirse que hay igualdad entre lospromedios. Como consecuencia de estés resultados la asimetría ape­nas existe, toma el valor -0,02 y se manifiesta a la derecha. La desvia­ción típica está representada por 1,05.

Pasando a la correlación (tabla núm. 12).. observamos una mayordispersión, que ha de conducirnos a un valor inferior a los hallados.En el intervalo I10-II9 se presentan dos frecuencias, que saltan dosintervalos de altura, llegando a valores que existen en los de ordensuperior, 130-139, 15°-159. 160-169 Y 170-179. En el 120-129 hayuna muy retrasada, que corresponde a la altura 11,75, igual a la quese encuentra en el segundo y tercero, 80-89 y 90-99. Tampoco haynormalidad en las alturas del intervalo 140-149,' muy inferiores a lasque debían esperarse. Lo mismo ocurre en los intervalos 160-169 y170-179, que contienen frecuencias con las mayores alturas, puestoque son superiores a las del último, 210-219, y se aprecia que tres inter­valos, 180-189, 190-199 Y 200-209, no tienen frecuencia.

Al considerar las alturas en relación con los diámetros se comprue­ban análogos resultados; así, por ejemplo, en el intervalo II,5-II,9comienzan los árboles con el diámetro 80-89, continúan en el siguien­te 90-99, siguen dos más sin frecuencia y, hay otra en el 120-129.Algo parecido sucede en los intervalos 12,5-12,9, 14-14,4 Y 14,5-14.9.Calculando, tenemos para coeficiente de correlación r = 0,74, valormuy inferior a los anteriores.

TABI,A N.o 12

IITmAU

.--.-Hi 13.25

Ix

DIAMETROS EN MM.AÑo 19+1

-'j6-

Las tablas de valores medios de alturas y diámetros son:

lN'1'BRVALOS lNTEIlVALOSDIÁKE1'JlOS amDIOSDJC DIÁKJCTIlOS ALTUllAS WItDIA9 nl\ ALTURAS

70-79 l1.as 11,0-11." 7580-89 1I.7S 1I.5-Il.9 96.25

90-99 12...8 12.0-12,,, 103.281000109 13.12 12.5- 12.9 118.07no-JI9 13.43 13.0- 13... Jl7.1O

120-129 13.51 13.S-13.9 u6.JI

130-139 13."0 1...0-1 ..... " 1.3.1"

1..0-1..9 13.50 14.5- 1...9 1..6.11

150-159 1".IS 15.0-15... 168.33160-169 15.2S 15.5-1S.9 215¡"¡0-179 15.37 16,0-16,.. 17°180-189 o

190-199 °2000209 °210-219 15.75

Con los valores anteriores construímos las poligonales correspon­dientes, presentando la de las alturas un punto aislado y la de losdiámetros un retroceso muy acusado (figs. 23 Y24).

Las ecuaciones de las líneas de regresión son: Y = 0,029, X +- 9,8. .y X = 18,13. Y - II8,S; vemos que aumenta grandemente el incre-mento en diámetros y disminuye el de las alturas, conforme se deducedel valor de los coeficientes angulares, manifestándose con intensidad ..los efectos de las claras. Los errores son: Sy = 0,735 y Sx = 18,06.

Construida la tabla número 13 de frecuencias de los diámetroscorrespondiente al año 1943. se observa que se caracteriza por un grannúmero de intervalos. pues llegan a 19; existen, en consecuencia, árbo­les muy diversos. Las frecuencias han quedado reducidas a 66, y elpolígono (fig. 25) es sumamente alargado, así como su curva suavi­zada (fig. 26), que puede calificarse de hipernormal. Con relación alaño anterior. no se ha presentado en el intervalo menor incremento; demanera que ha habido árboles"que apenas han variado en diámetro.y su crecimiento ha tenido lugar dentro del mismo intervalo en queestaban clasificados. En cambio, en los intervalos superiores el incre­mento menor ha sido de 30 mm. Anotamos la existencia de cuatrointervalos sin frecuencia. Los promedios tienen por valores M = 143.Mo = 145 Y MIl = 141 ,1 ; resulta que la oscilación es de 3.9 mm.

La curva se muestra alargada hacia la derecha, 10 que es lógico,

- 37-

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x = [8,13 Y - 118,8 A~o '94[

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III II ~ -1 I .....

IS,5

15

16

11

(170,00)

11.5

16.5

(j'5.00

.' 14,5(1.oi!1J4)3

Lo. 14o+-

(126.1J) VE 13.5

(117.10) ~13

(118.07) OLo. 125:l .

(J43,'2ab:::~1'2

(96.25

(146.11)

(21S,OO)

(168,55)

10 80 QO 100 110 120 130 lAG 150 110 1]0 leo 190 .0 2fO flO 230 740

Diómetro en milímetrosFIG. 24.

A$:o 19-43

- 39-

TABLA DE FRECUENCIAS

DIAMETROS

TABr.4 NY 13

FRI.;cUEN -! ¡t

DESVIA-

1,

I:NTER- P. MEDIO CIA ! CIÓN Id Idl (d + 1)1 1(4 + 1)1VALO I

Itl

I70-79 75 I -7 - 7 1-49 36 36

80-89 85 o -6 - o ° 25 °90-99 95 6 -5 -30 150 16 96

100-109 lOS 4 -4 -16 64 9 36110-119 lIS 6 -3 - 18 54 4 24120-129 12S 8 -2 -16 32 I 8

130- 139 13S 7 -1 - 7 7 o O

14°-149 14S 9 ° O ° I 9150- 159 15S 7 I 7 7 4 28160-1Ó9 16S 2 2 4 8 9 18

170- 179 175 8 3 24 72 16 128180-189 185 3 4 12 48 25 75199-199 195 2 S 10 50 36 72200-209 205 I 6 6 36 49 49:no-219 215 I 7 7 -49 64 64220-229 225 O 8 ° ° 81 °230-239 235 O 9 O O 100 o240-249 245 O

,10 o ° J21 o

25°-259 255 I IJ IJ 121 144 144----66 -13 747 787

pues al llegar a este momento las claras deben suprmnr, si esposible, los árboles con menor diámetro; por eso resulta que la asi­metría es positiva e igual a 0,16, o bien que se manifiesta hacia laizquierda. La desviación típica, al alargarse el polígono, se ha incre­mentado, llegando a 33,6.

A la vista de la tabla relativa a las alturas (núm. 14), comproba­mos que el número de intervalos es de 15, o sea cuatro más que en 1941;es decir, que en este año la diversidad en diámetros y alturas es bas­tante mayor que en el último indicado. Se han acusado, pues, de modosensible las condiciones genéticas de cada árbol y el medio, ya que,aun cuando la parcela tenga una misma calidad, la uniformidad nopuede llegar hasta el extremo de ser absoluta y pueden existir diferen­cias de suelo.

Siendo el biotipo la resultante de dos fuerzas: medio y constitu­ción genética, encontramos natural que al alcanzar la masa este estado

Alo 1943 TABLA. DE PRECUENCIAS

ALTURAS

TABLA N.0 14

IN1'1Ul-paacuaN- D&SVIA-

VAI,OP. )(JtJ)JO CJA. CJÓN Id Id' (d -+ 1)' I (d -+ 1)1

I d,i

J8•.5-18.9 J8.75 6 6I

36I1

49 4918,0-18.4 18,25 o .5 o i O 36 O17.5- 17.9 5

.' I 8017.75 4 20 I 25 12517.0- 17.4 17.25 6 3 18 I 54 16 9616.5-J6.9 J6.75 4 2 8 i J6 9 36J6.0-J6,4' 16.25 10 I

J JO I lO 4 40,J5.5-15,9 15.75 J2 o O i O I J2

J5,0-15.4.I

15.25 JI -1 -JI!

JI o O

14.5-14.9 14.75 5 -2 - 10

I20 I 5

14.0- 14.4 14.25 4 -3 -12 36 4 16

13.5-J3.9 13.75 2 -4 - 8

I32 9 18

13.0- J3.4 J3.25 2 -5 -JO 50 16 32J2.5-12.9 12.75 2 -6 - J2 I 72 25 5012.0-12.4 12.25 I -7 - 7 49 36 3611.5- 11.9 II.75 I -8 - 8 64 49 49

,66 I -16 530 564I

de su tratamiento se hayan manifestado las diferencias. Cuando estaresultante sea defectuosa. o más bien. a medida que se vaya obser­vando que no adquiere el v:alor debido, es cuando la clara intentarála modificación conveniente para llegar. si no hay razones que 10impidan, a que dicha resultante oscile entre límites previamente cono­cidos que aseguren las utilidades máximas. conservando los árbolesmás vigorosos. El incremento medio en el intervalo inferior ha sidode.o.y, y en el superior, de 2,S. Los promedios son: M = IS.6. Mo = IS.7y Md = IS.62, que. como vemos, dan lugar a una amplitud pequeña.de 8 cm., menos que en 1941. La asimetría es negativa y la desviacióntípica tiende a aumentar, tomando el valor 1,41.

La tabla de correlación (núm. IS) 'nos muestra claramente el gradode dispersión. Con rapidez se aprecia la distribución del arbolado yen seguida llaman la atención los valores extremos. El primero, porsu defectuoso crecimiento. y el último, por ser .éste grande en diá­metro. Ha llegado la frecuencia en el intervalo 2S0-2S9 a una alturade 17.S-17,9. Existe otro árbol también con condiciones de excepción;es el comprendido en el intervalo 200-209, con 18,S-18,9 m. Fijérno-

- 4 1 -

POLIGONOS DE FRECUENCIA

DIAMETROS

A~o 1943

7 8 9 10 ti 11 11 ~ I~ " 17 ti 19 20 21 22 n 24 Z5 26

PIe. 25.

ALTURAS

el

•

.,-, n In B 1~'5 14 141 15 "'161M 17 t71 te 11'5 ..

PIe. 27 .

-4:&-

CURVAS SUAVIZADAS

DIAMETROS

A~o 1943

FlG. :.16.

ALTURAS

.-e •

Fzo. aS.

•

TABUN.O 15

•

DIAMETROS EN MM.

ARo 1943

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nnuUlI¡ 11-71 M-n II·H ~11-lnltll-1I1~-IZl..·'·f··'·..·,· .·1. lII'IH¡

ZM-ZSf 'Y l1'y '.I1'y '·d'r' E (i"',

'"l~ ••• 111-111 DI·m 81·231 Ztl-Z.---- ~ ---

l" .DIO~~~I 105 IJ5 125 135 145 155 165 175 185 195 205 215 22.5 23.5 24.5 2.5.5

1- ----18.5-18,9 18.75 • I I 6 6 36 36

==F *I

-------------- - ----18,0-18.4 18,25 • O 5 O O o

17,5- 17,9 17.75 : 2 • 1 • 1 5 4 20 80~l- e.---

17.0-17.9 17.25 I 2 .. I • 1 I :1 6 3 18 _1!--R1-

16.5- 16.9 16.75 --f- ~ ,• 1 .. 2 8 16 28• I • 1

. • I .. --16.0.16.4 16.25 • l. 1

• I : 2I~

10 I [O 10 14

=1-1· 1• II 2 : 3: 3

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15.5'15.9 15.75 : 2 12 O O O O

15,0-15.4 [5. 25 5 3= 2 : 2: 3 • IJI -1 -[1 II 14

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~ -3 - 12 36 27

I : 2

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13.5- 13.9 13.75 2 ..:--1. - 8 32 40-,-. 11· I

1- ----13,0-13,4 13.25 2 -.5 -10 50 4.5

--1-·' 11· I---- ----

12.5- 12,9 12.75 2 -6-u 72 54

I I~'- ---- ----

12,0-12.4 12,25 1 -7 - 7 49 3.5:-;'--1--~- - -- --1-- -=-"8. 81JI.5-1 1 .9" 1I.75 1 64 56

Ix I~I 61

4~ t=: _.2 9 .--l.- 2 8 3 2 1 1 [ 66 - 16 530 .500

-7,-61 f' 1--- ------

d'» -1 O I 2 3 .. _L 6 _7 8 9 lO II¡-----

j-a'x -71-01=-~~ 18FI6 -7 o _L _L 2L I:Z 10 6 _L O O O II -131-- - ----J....

¡·d'x" 49 O [5 64 54 32 7 o 7 8 72 48 50 36 49 o o O I22 748

•

•

-44-

nos, por último, en otro ejemplar de gran crecimiento en altura,representado. por la frecuencia que existe en el intervalo 120-129,con tina altura de 17,5-17,9. Estos árboles de excepción y los bajosvalores en altura, en general, de los primeros intervalos nos conducena que el coeficiente de correlación no llegue a los valores que hemosencontrado en un principio; no obstante, y dado que en la mayor partede la tabla se observa la dependencia entre diámetro y altura, resul­tará que el coeficiente ha de tener un valor superior a los de los últi­mos años. En efecto, hecho el cálculo, resulta, = 0,80.

Los valores medios de diámetros y alturas tienen la siguiente dis-tribución: •

. INTl'tRVALOS INTKll.V.u.osDIÁMKTJloS JonmIOSDE DLÚOlTIl08 AI,TURAS IlIltDIAS DE AI,TURAS

70-79 1I.75 lI,5-II.9 1580-89 ° 12,0-12.4 90590-99 13.058 12.05-12.9 100

100-109 13.75 13,0- 13.4 100IJo-II9 15.08 13.05-13.9 90512o-U9 105,62 1.40°-1-4-.4 U2.S013°-139 15.53 14.05-14.9 127140-149 15.058 15,0-15.4 132.27150-159 16.03 105.05-15.9 13.4016160-161) 16,25 16,0-16.4 159170-179 16.81 16,5-16.9 ISo180-189 17.205 17,0-17.4 176,6619o-l99 17,25 17.05-17.9 183200-209 18.705 18,0-18.4 °210-219 16.705 18.5-18.9 :2°5:220-229 °230-:239 °240-249 °250-259 17.705

Construidas las poligonales de las alturas, vemos que muestranun acusado retroceso en el intervalo, 210-219, y la de diámetrosmedios, un punto aislado (figs. 29 y 30).

. Las líneas de regresión están representadas por las siguientesecuaciones: Y = 0,03. X + 10,8 y X = 19. Y - 153, que nos reve­lan fuertes crecimientos en diámetro. Por unidad de altura, variableindependiente, o sea un metro, la función, diámetro, se incrementaen 19·mm., valor del coeficiente angular. Por el contrario, los incre­mentos en la altura, aun cuando algo superiores a los del año último,

•

y = 0,033 X + 10,8

- 45-

Aito 190

18;S

18

170S

r¡

16

13

11,5

1\Vl /

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.

O

-'" 80 90 100 110 120 130 140 150 160 118 180 tOO 200 '2.0

Diómetros en milímetros:(11.75) (o) (~ (13.15) (15.08) (15,62) (15.5~ (15S8.> (15.03) (Ui) t1\81) (17.2$ (17oZ) 6l1S)(ll75)

FIG. 29.

x = r o V -~ 153 AÑo 1943

(205.00)18.&

O

1f(113.00}

11.&

t7&,76)11

'(180.00>16.b

(159.00)16

(IJA.16) "lI)

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(100.00)l3

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(95,00)12

(75.00)11.5

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7.0 se 90 100 110 120 130 1.40 11;0 160 170 ISO 190 200

Di6metro~ en mi Iímetros 1

FIG. 30.

- 47-

se presentan disminuídos con relación a todos los anteriores, y a unincremento de un milímetro en diámetro corresponden tres centí­metros en altura. Los errores vienen representados por Sy = 0,846Y Sx = 20,16. .

Estudiados los polígonos de frecuencia de diámetros y alturas,así como los coeficientes de correlación y líneas de regresión, hagamosahora una comparación de conjunto que nos consienta apreciar' conmayor claridad la evolución de la masa. Veamos primeramente losdiámetros y alturas medias:

Ail'osDIÁJIltTROS

INCJlJlM.RNTOSAJ.I'VRAS

INCREMENTosMKDIOS MJlDlAS

1935 49. 6 4.24

1937 71 21.4 6.7 2 2,4 8

1939 94·7 23.7 lO 3,28

194 1 124.1 29.4 13.38 3,38

1943 143 18,9 15.68 2.3 0

Con el fin de buscar una primera orientación, construyamos lalínea poligonal relativa a los.incrementos en altura (fig. 31), y vamosa hallar su tendencia refiriéndola a una recta; hechos los cálculos,deducimos: y = - 0,044, x + 2,91, que prueba que los incrementostienden a la disminución, puesto que el coeficiente angular es nega­tivo. Operando de la misma manera con los diámetros, resulta:y = - o,I8,'x + 23,8. Comparando las ecuaciones de tendencia, vemosque el crecimiento en altura cesa antes que el crecimiento en diá­metro, no creyendo que de momento sea pertinente formular otradeducción, puesto que como en realidad no se puede admitir que ladisminución de los incrementos observe una proporcionalidad con laedad, resultará que no es la línea recta la más adecuada para señalarla tendencia, y, por tanto, es conveniente disponer de mayor númerode elementos para fijar la de mejor adaptación.

Las desviaciones típicas han sido:

A~OSDESVIACIONES DESVIACIONJlS

DIÁMETROS INTERVAI,OS AI"TURAS INTERVAI.os

1935 18,7 9 0.98 JI

1937 24 13 1.52 16

1939 25.3 15 1.45 16

194 1 25. 8 15 1,05 II

1943 33,6 19 1.4 1 15

-4M-

LINEAS DE TENDENCIA

INCREMENTOS EN Al,TUllA

y = - 0,044 X + 2,91

r4r r1

1.9372

1.939:5

UWl

PIG. 31.

..1.943

INCREMENTOS EN DIAMETROS

y = - 0,18 X + 23.8

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]. I I l1

1.G372

I.G393

tUlFIG. 32.

4l043

- 49-

De la anterior relación deducimos que han ido aumentando enlos diámetros, dejando de condensarse las frecuencias en las inme­diaciones de los valores de los promedios, para repartirse en los dis­tintos intervalos, que han tendido a aumentar. Las desviaciones enlas alturas aumentan en el segundo año y se contraen en el tercero ycuarto, para volver a aumentar en el quinto. El número de inter­valos aumentan en el segundo, permanece invariable en el tercero,disminuye en el cuarto y aumenta en el quinto. Es decir, que asícomo en los diámetros la tendencia es a aumentar, en las alturas sepresenta alternativamente. Al igual que en los diámetros, comienzanlas alturas por reunirse en los intervalos inmediatos a los promedios,o sea que los polígonos tienden a no ser alargados. Después se ex­tienden, para contraerse en el penúltimo año y volver a alargarse enel último.

Los coeficientes de correlación han tomado los siguientes valores:

1935 .1937 .

1939 .

1941

1943 .

A:iiOS

------------------COEFICJItN'tgS

0,90

0,91

0,80

0.740,80

Como vemos, la dependencia entre diámetros y alturas fué grandeen el primer año, y en el segundo esta dependencia aumenta aún, ynos atreveríamos a decir que es casi perfecta. En el tercero, la acu­sada manifestación de individualidades, por una parte, y por otra,la necesidad de conservar árboles con crecimiento retrasado, todoello perfectamente definido en la tabla de correlación, di6 lugar aque el coeficiente disminuyese; pero sin duda a causa del crecimientode los que debían conservarse por sus mejores condiciones y permi­tir ya poder eliminar, sin temor a producir claros los peor confor­mados, el coeficiente de correlación aumentó en el último año y se­guramente que este aumento continuará señalándose en los suce­sivos.

Construyendo las líneas de regresión de Y sobre X, podremosdeducir gráficamente la asociación de un diámetro cualquiera en unaño determinado con el valor medio que le corresponde en las altu­ras, y dada la posición de las rectas en la figura 33. se advierte cómo

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- 50-

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PIG. 3J.

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a mayor edad e igualdad en diámetro las alturas son mayores, sibien estas diferencias no son constantes, e incluso fuera de los inter­valos a que se refiere la experiencia llegan a ser contrarias.

A la vista de la figura podemos resumir con claridad cuanto hemosdejado expuesto sobre los incrementos de los intervalos inferioresy superiores. En efecto, el intervalo inferior del año 1935, 10-19,pasa en 1937 al valor inmediato, o sea 20-29, de manera que el creci­miento medio de los árboles comprendidos en él ha sido de 10 milí­metros; en cambio, el intervalo máximo pasa de 90-99 a 140-149, 10que representa nn avance de 50 mm. Los intervalos llegan a 13.

De 1937 a 1939, los árboles del intervalo inferior, 20-29, pasaron,cuando menos, al 40-49, con un aumento medio de 20 mm., dobledel registrado anteriormente. Los superiores 10 hacen, como máximo,de 140-149 a 180-189, con diferencia de 40 mm. Siguen los intervalosaumentando, llegando a 15.

En el tercer período considerado, 1939-1941, continúa aumen­tando la diferencia entre los intervalos inferiores, siendo el avancede 30 mm. En los superiores se observa igual incremento de 30 milí­metros, puesto que de 180-189 se llega a 210-219. Hasta aquí losaumentos en el intervalo inferior se incrementan de 10 en 10 mm. yel avance en los superiores disminuye en otros 10 mm.

Finalmente, al fijarnos en las últimas líneas, nos encontramoscon el hecho singular de que el intervalo inferior no sufre alteración;quiere ello decir que los árboles en él comprendidos apenas han su­frido incremento en sus diámetros, pues considerando los puntos me­dios resulta que de haber llegado a 10 mm. hubiesen pasado al si­guiente; en contraste, los del intervalo superior presentan un creci­miento de 40 mm. Existe, por tanto, una marcada diferencia que de­muestra la conveniencia de prescindir, si fuese posible, de los árbolescon diámetro inferior. Debido a este defectuoso incremento de losárboles más delgados, se producen considerables aumentos de inter­valos, que llegan a 19.

Este gran número de intervalos no puede reputarse como expre­sión normal, ya que en realidad debe considerarse disminuido, puestoque, conforme se aprecia en las tablas de correlación, los intervalosanteriores al último carecen de frecuencia; se trata, en suma, de uncaso de excepción.

Las velocidades de crecimiento de las alturas de uno a otro inter­valo quedan puestas de manifiesto en los coeficientes angulares delas rectas de regresión. Han sido máximas en 1937, tomando valor

- 52-

mínimo en 1941, año que, dada la importancia de la disminución y elincremento observado en el período 1941-1943, ha de suponerse in­fluenciado posiblemente por circunstancias meteorológicas adversas;de no haber sido así, estimamos que el crecimiento habría podidoser bastante superior al observado en 1943, si bien inferior alde 1939.

Examinando las líneas de X sobr¡{ Y, observamos el mismo hechoque anteriormente se señala: a igualdad de altura corresponde menosdiámetro, de mayor a menor edad (fig. 34).

En el período 1935-1937 se pasa de uno a otro intervalo inferiorcon un metro, y en los superiores con 3,5 m., Y su número aumentade Ir a 16.

En el de 1937-1939, los intervalos inferiores y superiores experi­mentan un gran avance.

En el año siguiente llama la atención la extraordinaria diferenciaque se presenta en los intervalos menores, pasándose de 5-5,4 aJI-HA; es decir, que hay que creer que han sido suprimidos losárboles de los intervalos inferiores, y los que hayan podido quedarhan experimentado crecimientos importantísimos. Los superiores pa­san de 12,5-12,9 a 16-16,4; podemos decir que ha existido en ellosun crecimiento medio en altura que ha llegado a 3,5 m.

Por último, de 1941 a 1943 aumentan aún los intervalos, que lle­gan en este último año a 15, mostrándonos los puntos medios de losinferiores un aumento de 50 cm., y, en cambio, en los superiores llegaéste a 2,5 m.

De cuanto antecede resulta que, en general, los incrementosen altura de los árboles delgados son relativamente pequeños, sise les compara con el que llegan a alcanzar los de mayor diá­metro, en los cuales el crecimiento es corrientemente 3,5 m., Yaun más.

Si estudiamos los coeficientes de regresión de las líneas Y sobre X.vemos cómo varían las alturas en 4,6 cm. en el primer año, consideradopor milímetro de diámetro; en 5,7 cm., en el segundo; después, a 4,5 cen­tímetros en el tercero, y disminuye en los dos últimos, en los que toma,aproximadamente, el mismo valor en ambos, 2,9 y 3,3 cm. De maneraque el aumento en altura es en 1937 más elevado que en 1935, lo que nosdice que si las claras primeras han retrasado los crecimientos en altura,no lo ha sido en cantidad suficiente para que aquél fuese igualo infe­rior al que venía presentando el arbolado. Por 10 tanto, se produce,como ya hemos indicado, que a mayor altura en 1937 corresponden

-- 53-

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Altura) en metros

PIc. 34.

- 54-

árboles más delgados. Al continuar las claras se muestra la tendenciaa la disminución en la velocidad de crecimiento en la forma a queantes nos hemos referido.

Pasando a las líneas de regresión X sobre V, apreciamos cómo elincremento en diámetro por unidad de altura, un metro en este caso,es de 17,1 mm. en 1935, descendiendo a I.h35 en 1937 y disminuyendoen 0,4 mm. en 1939, para mostrar después una tendencia al aumentocuando el número de árboles apeados por las claras es ya de algunaconsideración.

Según esto, no se manifiestan con claridad en los primeros añoslos efectos de las cortas de mejoras, y solamente cuando éstas hansido intensas es cuando se aprecia aquél.

No es suficiente el estudio realizado en una parcela escogida alazar para obtener consecuencias, que exigen que éste se ejecute sobrenumerosas, mucho más cuando hay que convenir que son múltiplesy complejos los factores que intervienen, como hemos señalado alprincipio, en los resultados. Cuando esta clase de trabajo haya podidollegar a ser hecho con alguna profusión podremos, por especie, edad,calidad y espaciamiento, determinar unos promedios, con sns varia­ciones, en más o en menos, de los que han de considerarse como tipos,que podrán' indicar las normas que deben seguirse en la ejecuciónde las claras. Existiendo, como hemos podido apreciar, una dependen­cia entre diámetros y alturas, la tabla de correlación señalará losárboles que deben ser apeados. Por eso, antes de efectuar una cortabuscaremos en dicha tabla los que deben suprimirse teóricamente;ello obligará a fijarse detenidamente en los mismos cuando se consi­dere que deben ser respetados, y se anotarán las razones que se hantenido para obrar de esta manera. Puede, pues, llegarse a estableceruna orientación perfectamente definida, que probablemente condu­cirá a que las curvas de frecuencia tiendan a una regularidad que lasaproximará a la normal, y si bien en un principio, a causa de la pre­sencia de árboles dominados y mal conformados, pueden los inter­valos, particularmente los primeros, contener numerosas frecuencias,a medida que las daras avanzan, han de desaparecer, y, por lo tanto,se agruparán los árboles a los lados de los promedios, que, por su parte,como hemos visto, toman cada vez valores más próximos, hasta lle­gar incluso a la coincidencia. En todo caso, ante la manifestación deindividualidades que deben conservarse, podrán las curvas presentarun alargamiento hacia la derecha. Queremos deducir, si bien un pocoprematuramente, que el tratamiento de una masa, cuando es bien

- 55-

llevad o, conduce a elevados coeficientes de correlación y polígonosque producen curvas que se aproximan a la normal.

Si de claras bien conducidas deducimos lOE promedios y coeficien­tes de correlación que corresponden a una masa debidamente tratada,invirtiendo el problema podremos decir que determinados estos pará­metros, llegaríamos a establecer unas directrices que fijarían la orien­tación conducente a los resultados previstos.

Todo error cometido en una corta de mejora quedará, por tanto,acusado en unos pocos valores, que son los parámetros de los polí­gonos y los coeficientes de correlación. Nos referimos, elaro está, acircunstancias normales y generales, pues en masas con crecimientosirregulares en exceso, o que han estado sometidas a los efectos deincendios, plagas, huracanes, etc., la situación es de excepción; perono tratándose de estos casos, creemos que es fácil corregir los defectosobservados al apreciar las diferencias entre los valores tipos y loshallados directamente en pequeñas superficies que sirven de compro­bación, valores que, por otra parte, pueden determinarse con sencillez.I..a posibilidad de conseguirlo queda señalada en este primer ensayo,que si bien prueba que es largo el camino que ha de recorrerse, de­muestra también que se puede llegar por él a unas conclusiones queestimamos han de reportar gran utilidad, al tener un mayor y másexacto conocimiento. del desarrollo de las masas forestales.

EDICIONESDEL

INSTITUTO fORESTAL DEINVESTIGACIONES Y EXPERIENCIAS

BOLETINES

Número Pesetas

Trabajos de las Secciones de Flora y Mapa Forestal, Repoblacio-

nes, Madel'as, Resinas, Celulosas y Combustibles. 1928. 206 pá-

ginas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Agotado.

2 Trabajos de las Secciones de Hidráulica Torrencial, Flora y Mopa

Forestal y Resinas. 1928. 164 págs. . . . . . . . . . . . . Agotado.

3 Trabajos de las Secciones de Hidráulica Torrencial, Combustibles

Vegetales, Flora y Mapa Forestal. Resinas. 1'}1'). 142 págs. . . Agotado.

4 Trabajos de las Secciones de Suelos, Hidráulica Torrencial, M a-

deras, Celulosas, Resinas, Química y Rep-;r;laeiones. 1929.

296 págs. . . . Agotado.

5 La Semana Forestal de Barcelona; trabaqos de las Secciones de

Celulosas, Resinas y Combustibles Vegetales. 1929. 126 págs. . Agotado.

6 Trabaios de las Secciones de Flora, lllapa y Suelos Forestales,

Resinas y otros jugos e Hidráulica Torrencial. 1930. 200 págs. Agotado.

7 J. I'I'URRAI,DE y M. SEVILLA: Establecimiento de sitios de ensayo

de I'esinas y resultados obtenidos.-M. TOMllO y J. G.\RCf.o\

VIANA: Las mieras amarillas. Estudio [isico-quimico de las

colofonias españolas. 1931. 122 págs. . . . . . . . . 10,-

8 T. BA'I'UECAS: Estudios sistemáticos sobre combustibles vegetales.y contribuci6n al estudio de las maderas coloniales de la Guinea

española.e-:T. BA'I'UECAS y E. MORALllS: Análisis físico­

qulmico de un aceite esencial de Eucalyptus globulus.-J. BENI­

To MARTiNEZ: Hongos pal'ásitos y saprofitos de las plantas

leñosas de España; estudio acerca del Trametes pini. 1931.

89 págs.. . . . . . . . . . . . . . . . Agotado.

Número

9 J. ECHEVERRIA y S, 1)1.; PEDRO: 1:"t Pinus insignis C'II ,.¡ Sorl,' de

Espaila. 1931. 45 págs. . . . . . . . .....

Pesetas

Agot ado.

10 A. KA]A:-;DliR: La teoría de los tipos de montes, 1<)3~. 89 págs. . . Agotado.

1 I I,. VELAZ DE MEDRANO y J. CG.\RTE: Estudio monoerütic» del río

Manzanares. 1933. 68 págs. . . . . . . . . . . . . . . . Agotado.

12 G. MARINA Y E. BEZARES: Información sot.re los cuervos de España.

1933. 40 págs. . . . . . . . . . . . . . . . . . Agotado.

13 G. MARINA: Cigüeñas de Avila. 1934. 11 págs. y lO Iáms. Agotado.

14 J. ELoRRm'l'A y T. DE EPALZA: El castaño en Vi ccaya; lo enfer-

medad de la tinta. 1935. 42 págs. . . . . . . . . " 12,-

15 J. Bl,NITO MARTINEZ: La grafiosis del olmo 1'11 España. 1936

29 págs.. . . . . . . . . . . . . 7.-

16 E. MORALEs: Análisis mecánico. físico-químico y químico de los

suelos forestales. 1936.57 págs. . . . . . . 7.-

17 J. BENITO MARl'lN1tz: Valor eficaz de UlI antiséptico. 1939. 50 pá-

ginas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7.-

18 A. CID y RUIZ-ZORRILLA: La rcsinacián del Pinus pinaster en los

montes de las llanuras de Castilla. 194 L 141 págs. . . 7.-

19 O. ELORRlETA: Ordenacitfn económica de la produccián agraria.

1941. 166 págs. 15.-

20 J. GARciA NÁJHRA: Teoría matcmdtica IÜ 111 corrccciiin de turren-

tes. 1941. 41 págs. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7.--

21 G. RICO AVELLO: Fórmulas aplicables a la inspección de combustio-

nes. 1941. 47 págs . 7.-

22 1. EClIEVERRfA: Ensayo de labias de produccián' en el Pinus insignis

en el Norte de España. 1941. ú7 págs. . . . . . . . . . .

23 J. BENrrO l\Lo\RTb;EZ: Las micosis del Pin us insigni» en Gui púscoa,

1942. 72 págs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Númtro Pesetas

l.. L. Pxxoo: La Albufera de Valencia. Estudio limnográfico, biolá-

gico, l'Conómica .l' antropotogico. 1<)42.268 págs. y 42 láms..

25 ¡l. 1\.\]ER.\: Estudio sobre los perfeccionamientos de que es suscepti-

Me el sislnna de r"sú""i<í'l 1f11,~ltC.'. i<).f2. H págs . 7, -

26 I. ECHIlVERRíA: Tratamiento del Pinus insignís: espesuras, elatas

y podas. 1943. 153 págs.

27 M. MARtiN BOLAÑoS: Consideraciones sobre los enciltares de Es-

paña. 1943. 106 págs. . . . . . . . . . . . . . . .

28 J. l'GARTE: Estudiu analitico de los carbones vegetales. 1<)43. 46 pá-

ginas , .

29 P. GAI,LI¡GO: Compendio de microbiología del suelo. Primera parte:

Procesos biolágicos del suelo. 1<)43. 129 págs .

30 L. Vf:LAZ DE MEDRANO: Contribución a la fauna ictiológica cspa­

1101a. 1944. 66 págs, y 15 láms. . . . . . . . . . . , . .

31 I. I~('BEVERR1A y S. DE PEDRO: El Pinus insignis en el Norte de

España. 2.- edición. 1944. 54 págs. . . . . . . . . . . .

32 M. MARTíN BOLAÑOS: Impresiones comentadas sobre los eucaliptos

de Sierm Cabello. 1946. 92 págs. . . . . . . . . . . . . .

33 L. C¡.;nALLos y F. ()RTUÑo: Notas sobre [lora canariense. 1947.

31 págs. y 10 láms, . . . . . . . .

3. M. MARTíN BOI,AÑOS: Ensayo de investigación indirecta sobre

origen, desarrollo y producciones del monte alto. I9.í·. 143 págs.

35 J, AGUADO SMOI.INSKI: Un caso de aplicaCión de la estadistica ma·

temdtica a la producción forestal. 1947. 56 págs .

18,-

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7.-

18,-

l5,--

20,-

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lO,~

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OTRAS PUBLICACIONES

Pesetas•

J. ECHEVERRiA: Celulosa leñosa. 1928. 110 págs. Agotado.

F. NÁJERA: La Guinea española y su riqueza [orestal. 1930. 63 págs. y

52 láms., , . . . . , . , . . . . . . . . . . Agotado.

L. CEBAr.LOS y M. MARTis BOl,AÑOS: j1lapa forestal de la provincia de

Cádiz, en escala r : roo.ooo. 1930. . . . . . . . . . . . . . . . Agotado.

L. CEBAl,LOS y M. l\[ARTÍ:>: BOLA."10S: Estudio sobre la vegetación forestal

de la provincia de CádiJ. 1930. 353 págs. . . . . . . . . . . .. 3°,-

I,. CEBALLOS y C. VICIOSO: Mapa forestal de la provincia de AUlaga, en

escala r: roo.ooo. 1930. ., . , . , . . . . . , . . . , , Agotado.

1,. C¡¡BALl.oS y C. VICIOSO: Estudio sobre la vegetación y la [lora [orestal

de la provincia de M'álaga. 1933. 285 pág.... , . . . . . . . . Agotado.

G . .MARI:-;A: Aves anilladas, 1935. r o págs ~

J. GARCÍA NAJERA: Principios de hidráulica torrencial. Su aplicación a

la corrección de torrentes. 1'143. 294 págs. . . . . . " . . , , .

M. PRATS ZAPIRAIN: Orientaciones modernas en el ensayo de semillas [o-

restales. 1944. 84 págs. . . . . .

F. NÁJÉRA: La evolución de la técn.ica en el empleo y aplicaciones de la

madera de construcción. 1944. 132 págs. . . . . . . . . . . . . .

E. GUU..-EA: Aspecto forestal del desierto. La vegetación leñosa y los pastos

del Sáhara español. 1945. ISO págs., . . . , . . . . . . . . . .

1,50

12,-

35,-

50 . - - -

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Pesetas

L. PARDO: Diccionario de ictiología. piscicultura)' pesca jluvial. 1"45.

340 págs .

\\'. SCIIMIllT: Influencia de la radiactiridad en 1'1 tropismo)' crecimiento

de las plantas. (Conferencia.) 1'J43. . . . . . . . .. . ....

W. ScJlMlDT: Aspectos actuales de la genética [orestal etl Europa. (Con­

ferencia.) 1944. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L. VELAZ Di'; MEDRANO: La hidrobiologia en Galicia. (Conferencia.) 1'J44.

M. PRATS ZAPIRAIN: Producción y consumo de semillas en el año forestal

I943-44. 63 págs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M. PRATS ZAPIRAI:<l: Produccián y consunlO de semillas en el año fores­

tal I944-45. 64 págs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

M. PRATs ZAPIRAIN: Producción y CMlsumo de semillas en el aito fores­

tal I94~-46. 78 págs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PUBLICACIONES DEL INSTITUTO FORESTAL EN PREPARACION:

Dos notas sobre ictiología española. - Localidades de B. barbus bocagei, Stoind., y

B. Cominza, Steind, -- Fórmula dentaria-jarlngea de los barbos, por I,UIS VEl,Al

DE MEDRANO SANZ.

Fitoquírnica forestal.-Primera parte, por JI'SÚS UGARTB LAISECA.

El pino gallego y su aplicación en la industria de la celulosa, por IGNACIO ECHJWE­

RRtA BALLARÍN Y SIMF;ÓN Di'; PEDRO ABELLü.

Estudio del antiséptico aceite de alquitrán, primario de lignitos españoles, desde elpunto de vista de conservación de la madera.-Preccdido de una exposición de las

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